高中数学专题：抛物线

抛物线专题复习

一、抛物线的知识点：

标准方程

图形

顶

点

对称轴

焦点

准线 离

心

率

焦半径

焦点弦公式

()

022

>=p px

y

x

y

O

F

l

()

0,0

x

轴

⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2p 2

p x -=

1=e 0

2x p

PF +=

)(21x x p AB ++= ()

022>-=p px y

x

y

O F l

()

0,0

x

轴

⎪⎭⎫

⎝⎛-0,2p

2

p x = 1=e

2x p PF -=

)(21x x p AB +-= ()

022>=p py

x

()

0,0

y

轴

⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0p 2

p y -=

1=e 0

2y p

PF +=

)(21y y p AB ++= ()

022>-=p py x

()

0,0

y

轴

⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-2,0p

2

p y = 1=e 0

2y p PF -=

)(21y y p AB +-= 通径：d 2=

AB 为抛物线px y 22=的焦点弦，则=B A x x 4

2

p

，=B A y y 2p -，||AB =p x x B A ++

考点1 抛物线的定义

[例1 ]已知点P 在抛物线x y 42=上，则点P 到点)1,2(-Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为

考点2 抛物线的标准方程

[例2 ] 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： (1)过点)2,3(-； (2)焦点在直线240x y --=上 考点3 抛物线的几何性质

[例3 ]设B A ,为抛物线px y 22=上的点,且O AOB (2

π

=∠为原点),则直线AB 必过的定点坐

标为_______

[例 4 ]设F 是抛物线2:4G x y =的焦点．（I ）过点(04)P -，作抛物线G 的切线，求切线方程；

（II ）设A B ，为抛物线G 上异于原点的两点，且满足,0=⋅→

→

FB FA 延长AF ,BF 分别交抛物线G 于点C D ，，求四边形ABCD 面积的最小值． 二．基本题型

1．过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，如果621=+x x ，那么

||AB =( )

（A ）10 （B ）8 （C ）6 （D ）4

2．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且||1F P 、||2F P 、||3F P 成等差数列， 则有 （ ）

A ．321x x x =+

B ． 321y y y =+

C ．2312x x x =+ D. 2312y y y =+

3．已知M 为抛物线x y 42=上一动点，F 为抛物线的焦点，定点()1,3P ，则||||MF MP +的最小值为（ ）

（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 4．过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作直线交抛物线于P 、Q 两点，则

=+|

|1

||1QF PF （ ） （A ）a 2 （B ）

a 21 （C ）a 4 （D ）a

4 5．已知抛物线C ：24y x =的焦点为,F 准线为,l 过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3：1，则点A 的坐标为( )

A ．(2,22)

B ．(2，－22)

C ．(2，±2)

D ．(2，±22) 6．过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于两点A 、B,若A 、B 在抛物线准线上的射影为11,B A ,

则=∠11FB A （ ）

A. 45

B. 60

C. 90

D. 120

7．两个正数a 、b 的等差中项是92

，一个等比中项是且,b a >则抛物线2()y b a x =-的焦点坐标为（ ）

A ．1(0,)4

- B ．1(0,)4 C ．1(,0)2- D ．1(,0)4

-

8．抛物线,42F x y 的焦点为=准线为l l ,与x 轴相交于点,E 过F 且倾斜角等于3

π

的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点,,l AB A ⊥垂足为,B 则四边形ABEF 的面积等于（ ） A ．33 B ．34 C ．36 D ．38

9．已知抛物线C ：21

2

x y =,过点(0,4)A -和点(,0)B t 的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是( )

A

．

(,1)(1,)-∞-+∞ B.

22

(,)(,)22

-∞-

+∞ C ．(,22)(22,)-∞-+∞

D ．(,22)(2,)-∞-+∞

10．如果1P ，2P ，…，8P 是抛物线24y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，8x ，

F 是抛物线的焦点，若)(,,,21*∈N n x x x n 成等差数列且45921=+++x x x ，则||5F P =（ ）．

A ．5

B ．6

C ． 7

D ．9

11．设O 是坐标原点，F 是抛物线24y x =的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60，则OA 为 ．

12．若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a =

13．若抛物线2

2y px =的焦点与双曲线2

213

x y -=的右焦点重合,则p 的值

14．(文)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为60°的直线l ，交抛物线于

A 、

B 两点，且|FA |＝3，则抛物线的方程是________．

15．抛物线的顶点在原点,开口向上,F 为焦点M ,为准线与y 轴的交点A ,为抛物线上一点,且3||,17||==AF AM ，求此抛物线的方程．

16．在抛物线24y x =上求一点，使该点到直线45y x =-的距离为最短，求该点的坐标．

(理)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线l 依次交抛物线及其准线