高考压轴题：导数题型及解题方法

高考压轴题：导数题型及解题方法

一．切线问题

题型1 求曲线)(x f y =在0x x =处的切线方程。

方法：)(0x f '为在0x x =处的切线的斜率。

题型2 过点),(b a 的直线与曲线)(x f y =的相切问题。

方法：设曲线)(x f y =的切点))(,(00x f x ，由b x f x f a x -='-)()()(000求出0x ，进而解决相关问题。

注意：曲线在某点处的切线若有则只有一，曲线过某点的切线往往不止一条。

例 已知函数f （x ）=x 3﹣3x ．

（1）求曲线y=f （x ）在点x=2处的切线方程；（答案：0169=--y x ）

（2）若过点A )2)(,1(-≠m m A 可作曲线)(x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围、 （提示：设曲线)(x f y =上的切点（)(,00x f x ）；建立)(,00x f x 的等式关系。将问题转化为关于m x ,0的方程有三个不同实数根问题。（答案：m 的范围是()2,3--）

练习 1. 已知曲线x x y 33

-=

（1）求过点（1，-3）与曲线x x y 33-=相切的直线方程。答案：（03=+y x 或027415=--y x ）

（2）证明：过点（-2,5）与曲线x x y 33-=相切的直线有三条。

2.若直线0122=--+e y x e 与曲线x ae y -=1相切，求a 的值. （答案：1）

题型3 求两个曲线)(x f y =、)(x g y =的公切线。

方法：设曲线)(x f y =、)(x g y =的切点分别为（)(,11x f x ）。（)(,22x f x ）；

建立21,x x 的等式关系，12112)()(y y x f x x -='-，12212)()(y y x f x x -='-；求出21,x x ，进而求出切线方程。解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。

例 求曲线2x y =与曲线x e y ln 2=的公切线方程。（答案02=--e y x e ）

练习 1.求曲线2x y =与曲线2)1(--=x y 的公切线方程。（答案012=--y x 或0=y ）

2．设函数,ln 2)1()(x x x p x f --=2

)(x x g =，直线l 与函数)(),(x g x f 的图象都相切，且与函数

)(x f 的图象相切于（1,0）

，求实数p 的值。（答案1=p 或3）

二．单调性问题

题型1 求函数的单调区间。

求含参函数的单调区间的关键是确定分类标准。分类的方法有：（1）在求极值点的过程中，未知数的系数与0的关系不定而引起的分类；（2）在求极值点的过程中，有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定）；(3) 在求极值点的过程中，极值点的大小关系不定而引起的分类；(4) 在求极值点的过程中，极值点与区间的关系不定而引起分类等。注意分类时必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏。

例 已知函数x a x x a x f )1(2

1ln )(2+-+= （1）求函数)(x f 的单调区间。（利用极值点的大小关系分类）

（2）若[]e x ,2∈，求函数)(x f 的单调区间。（利用极值点与区间的关系分类）

练习 已知函数12

1)1()(2++-+-=kx x e k x e x f x x ，若()2,1-∈x ,求函数)(x f 的单调区间。（利用极值点的大小关系、及极值点与区间的关系分类）

题型2 已知函数在某区间是单调，求参数的范围问题。

方法1：研究导函数讨论。

方法2：转化为0)(0)('

'≤≥x f x f 或在给定区间上恒成立问题，

方法3：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增区间或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集。

注意：“函数)(x f 在()n m ,上是减函数”与“函数)(x f 的单调减区间是()b a ,”的区别是前者是后者的子集。

例 已知函数2()ln f x x a x =++

x 2在[)+∞,1上是单调函数，求实数a 的取值范围． （答案[)+∞,0）

练习 已知函数232

)1(31)(x k x x f +-=，且)(x f 在区间),2(+∞上为增函数．求实数k 的取值范围。（答案：31-

题型3 已知函数在某区间的不单调，求参数的范围问题。

方法1：正难则反，研究在某区间的不单调

方法2:研究导函数是零点问题，再检验。

方法3:直接研究不单调，分情况讨论。

例 设函数1)(23+++=x ax x x f ，R a ∈在区间⎪⎭

⎫

⎝⎛1,21内不单调，求实数a 的取值范围。 （答案：()3,2--∈a ））

三．极值、最值问题。

题型1 求函数极值、最值。

基本思路：定义域 → 疑似极值点 → 单调区间 → 极值 → 最值。

例 已知函数12

1)1()(2++-+-=kx x e k x e x f x x ，求在()2,1-∈x 的极小值。 （利用极值点的大小关系、及极值点与区间的关系分类）

练习 已知函数32

()2f x x mx nx =++-的图象过点(1,6)--，且函数()()6g x f x x '=+的图象关于y 轴对称.若0a >，求函数()y f x =在区间(1,1)a a -+内的极值.

（答案：当01a <<时，()f x 有极大值2-，无极小值；当13a <<时，()f x 有极小值6-，无极大值；当1a =或3a ≥时，()f x 无极值.）

题型2 已知函数极值，求系数值或范围。

方法：1.利用导函数零点问题转化为方程解问题，求出参数，再检验。

方法2.转化为函数单调性问题。

例 函数1)1(2

1)1(3141)(234+----+=

x p p px x p x x f 。0是函数)(x f 的极值点。求实数p 值。（答案：1）