两平面垂直的判定和性质

典型例题一

例1.根据叙述作图，指出二面角的平面角并证明.

Q ，连结PQ .

PAQ H ，连结 PH

、QH .

作图与证明在此省略.

说明：本题介绍了作二面角的平面角的三种常用方法， 其中用三垂线定理及逆定理的方 法最常用，还需补充这种方法的其他典型图形.

典型例题二

例2.如图，在立体图形 D ABC 中，若AB CB,AD CD,E 是AC 的中点，则下 列命题中正确的是(

).

(1)如图1,已知

l, A 丨•在内作PA l 于A ，在

内作QA l 于A .

(2)如图2,已知

于P ，在内作AQ l 于

(3)已知

AQ

于Q , l 平面

(A)平面ABC丄平面ABD

(B)平面ABD丄平面BDC

(C)平面ABC丄平面BDE，且平面ADC丄平面BDE

(D)平面ABC丄平面ADC，且平面ADC丄平面BDE

分析：要判断两个平面的垂直关系，就需固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直•

解：因为AB CB,且E是AC的中点，所以BE AC,同理有DE AC，于是AC 平面BDE •因为C A平面ABC，所以平面ABC 平面BDE •又由于AC 平面ACD ,所以平面ACD 平面BDE •所以选C.

说明：本题意图是训练学生观察图形，发现低级位置关系以便得到高级位置关系•在某一个平面内，得到线线垂直的重要途径是出现等腰三角形底边的中线，由线线垂直得到线面

垂直，由线面垂直可得到面面垂直•

典型例题三

例3.如图，P是ABC所在平面外的一点，且PA 平面ABC，平面PAC 平面

PBC •求证BC AC .

分析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条

纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直.

证明：在平面PAC内作AD PC，交PC于D .因为平面PAC 平面PBC于PC ,

AD 平面PAC，且AD PC，所以AD 平面PBC •又因为BC 平面PBC，于是有AD BC①.

另外PA 平面ABC , BC 平面ABC，所以PA BC .由①②及

AD PA A，可知BC 平面PAC •因为AC 平面PAC，所以BC AC .

说明：在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线面垂直线线垂直.

典型例题四

例4.如图，AB是O O的直径，PA垂直于O O所在的平面，C是圆周上异于A、B 的任意一点，求证：平面PAC 平面PBC .

分析：证明面面垂直的有两个依据，一是证明二面角的平面角为直角，二是利用两个平面垂直的判定定理•由于C点的任意性，用方法一的可能性不大，所以要寻求线面垂直.

证明：因为AB是O O的直径，C是圆周上的点，所以有BC AC①.

因为PA 平面ABC , BC 平面ABC，则PA BC②.

由①②及AC PA A，得BC 平面PAC •

因为BC 平面PBC，有平面PAC 平面PBC .

说明：低一级的垂直关系是判定高一级垂直关系的依据，根据条件，由线线垂直线面垂直面面垂直.通过这个例题展示了空间直线与平面的位置关系的内在联系，垂直关系的判定和性质共同构成了一个完整的知识体系.

典型例题五

例5.如图，点A在锐二面角MN 的棱MN上，在面内引射线AP，使AP

与MN所成的角PAM为45，与面所成的角大小为30，求二面角MN 的大

小.

分析：首先根据条件作出二面角的平面角, 好是

直角三角形），通过解三角形使问题得解.

解：在射线AP上取一点B，作BH

连结AH，则BAH为射线AP与平面

BAH30 •再作BQ MN，交MN于Q，连结HQ，则HQ为BQ在平面内

的射影.由三「垂线定理的逆定理，HQ MN , BQH 为二.面角MN的平面角.

设BQ a，在Rt BAQ 中, BQA90,BAM45 ,AB , 2a,在Rt △BHQ 中，

2

•一2BH2a ,2

BHQ90 ,BQ a,BH a, sin BQH

2BQ a2，

BQH是锐角，BQH45 ,即—1面

角MN等于45 .

说明：本题综合性较强，在一个图形中出现了两条直线所称的角，斜线与平面所称的角，

二面角等空间角，这些空间角都要转化为平面角，而且还要彼此联系相互依存，要根据各个平面角的定义添加适当的辅助线.

典型例题六

例6.如图，将边长为a的正三角形ABC以它的高AD为折痕折成一个二面角C AD C .

(1)指出这个二面角的面、棱、平面角；

(2)若二面角C AD C是直二面角，求CC的长；

(3)求AC与平面C CD所成的角；

(4)若二面角C AD C的平面角为120，求二面角A CC D的平面角的正切值.

分析：根据问题及图形依次解决.

解：(1) AD BC, AD DC,AD DC ,二面角C AD C 的面为ADC 和面ADC，棱为AD，二面角的平面角为CDC .

1 42

(2)若CDC 90 , AC a, DC DC -a, CC a .

2 2

(3) AD DC, AD DC, AD 平面 DC C , AC D 为 AC 与平面 1 C CD 所成的角•在直角三角形 ADC 中，DC DC AC, DAC 30，于是

2

AC D 60

(4)取CC 的中点E ，连结AE 、DE ,

DC DC,AC AC, AE CC ,DE CC ， AED 为二面角A C C D 的平面角.

1 1

CDC 120 ,C D CD -a, DE -a,

2 4

不变量.

典型例题七

例7正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1, P 是AD 的中点.求二面角A BD 1 P 的大小.

分析：求二面角关键是确定它的平面角，

按定义在二面角的棱上任取了点，

在二个半平

面上分别作棱的垂线， 方法虽简便，但因与其他条件没有联系， 要求这个平面角一般是很不 容易的，所以在解题中不大应用•在解题中应用得较多的是“三垂线定理”的方法，如图考 虑到AB 垂直于平面AD 1 , BD 1在平面AD 1上的射影就是 AD 1 •再过P 作AD 1的垂线PF , 则PF 面ABD 1，过F 作D 1B 的垂线FE , PEF 即为所求二面角的平面角了.

解：过P 作BD 1及AD 1的垂线，垂足分别是 E 、F ，连结EF .

••• AB 面 AD 1 , PF 面 AD 1 ,

••• AB PF ,

在直角三角形AED 中，AD

.3 a ,

2

tan AED

AD DE

3 a 2 1 a

4

2、3 •

说明：这是一个折叠问题,

要不断地将折叠前后的图形加以比较, 抓住折叠前后的变与

B