数学物理方程积分变换共62页
数理方程第三章行波法与积分变换法-PPT课件
t2
2019/3/8
3
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
x a t 1 1 u ( x , t ) ( x a t ) ( x a t ) ( ) d x a t 2 2 a
4 解的物理意义
u (,) x t ( x a t ) ( x a t ) a. 只有初始位移时，
2 2 u u 2 1 1 a , x ,t 0 2 2 t x u ( x ,0 ) 1 u ( x ,0 ) ( x ) , ( x ) , x 1 t 2 2 u u 2 2 2 a f (xt ,) , x ,t 0 2 2 t x u x ,0 ) 2( u ( x ,0 ) 0 , 0 , x 2 t x a t 1 1 u ( x , t ) ( x a t ) ( x a t ) ( ) d 1 x a t 2 2 a
u u u u u y y y
2 2 2 2 u u u u u u u u 2 2 2 y y y 2
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
第三章 行波法与积分变换法
一 行波法
1 基本思想： 先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定 特解。这一思想与常微分方程的解法是一样的。 2 关键步骤： 通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐 次二阶偏微分方程。 3 适用范围：
积分变换 ppt课件
16
可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示,
这个线段的长度表示d-函数的积分值, 称为d-函数
的强度.
d (t)
1
O
t
d-函数有性质：
d d (t)f(t)dtf(0)及 (tt0)f(t)dtf(t0).
（ ft为 连 续 函 数 ）
可见d-函数和任何连续函数的乘积在实轴上的
这表明在通常意义下的函数类中找不到一个
函数能够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电
流强度, 引进一称为狄拉克(Dirac)的函数, 简单记
成d-函数:
d
t
0
t 0 t 0
有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量,
例如点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技
பைடு நூலகம்
术中的非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的
F() f(t)eitdt 1 eitdt eit 1
1
i
1
1 eiei 2sin
i
f(t)21
F()eitd1
F()costd
0
102s incostd20sin costd
9
例 2求 指 数 衰 减 函 数 f(t) e 0 ,t,
t0的 傅 氏 变 换 及 其 t0
积 分 表 达 式 ,其 中 0.
如果成立
F(w) f(t)ejwdt t
f(t)1 F(w)ejwdt w
2
并称F(ω)为f (t)的象函数
或付里叶变换，记为
F[f(t)]；称f (t)为F(ω)的象 原函数或付里叶逆变换，
记为F-1[F(ω)]
8
例1
求矩形脉冲函数
数学物理方程第三章_行波法和积分变换法
[x − at , x + at ] 上的值,而与其他点上的初始条件无关,这个区间称为点 (x, t ) 的依赖区间,
它是过 ( x, t ) 点分别作斜率为 ±
1 的直线与 x 轴相交所截得的区间,如图 3-2 所示. a
(x,t0)
y
x O x-at0 x+at0
图 3-1
初 始 时 刻 t = 0 时 , 取 x 轴 上 的 一 个 区 间 [x1 , x 2 ] , 过 点 x1 作 斜 率 为
同理可得
2 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ⎤ 2⎡∂ u = + a + 2 ⎢ 2 ∂ξ∂η ∂η 2 ⎥ ∂t 2 ⎣ ∂ξ ⎦
将其代入式(3.1.1),得
∂ 2u =0 ∂ξ∂η
对 ξ 积分,得
∂u = f (η ) ∂η
对此式再关于η 积分,得
u = ∫ f (η )dη + f1 (ξ ) = f1 (ξ ) + f 2 (η )
第三章 行波法与积分变换法 本章我们介绍两个常用的解题方法：行波法和积分变换法。行波法只用于求解无界区 域上的波动方程定解问题， 积分变换法不受方程类型的限制， 一般应用于无界区域的定界问 题，有时也应用于有界域的定解问题.
3.1 达朗贝尔公式及波的传播 在求解常微分方程的特解时,一般先求出方程的通解,然后利用所给的定解条件去解出 通解中含有的任意常数,最后得到了满足所给条件的特解.这个想法能否推广到求解偏微分方 程的过程中呢?一般情况下,随着自变量个数的增加,偏微分方程的通解非常难求,并且偏微分 方程的通解一般都含有任意函数,这种任意函数很难由定解条件确定为具体的函数.所以在求 解数学物理方程时,主要采用通过分析各类具体的定解问题,直接求出符合定解条件的特解的 方法.但事情没有绝对的,在有些情况下,我们可以先求出含任意函数的通解,然后根据定解条 件确定出符合要求的特解.本节我们研究一维波动方程的求解,就采用这种方式. 3.1.1 达朗贝尔公式 如果我们所考察的弦无限长,或者我们只研究弦振动刚一开始的阶段,且距弦的边界较远 的一段,此时可以认为弦的边界,对此端振动的弦不产生影响.这样,定解问题就归结为如下形 式
数学物理方程课件 积分变换法
设F[ f1(x)] F1(), F[ f2 (x)] F2 (),
则F[ f1(x) f2 (x)] F1() F2 ()
(5)
其中，为常数，逆变换也成立，即
F-1[ F1() F2 ()] f1(x) f2 (x)
(6)
试证明Fourier正弦变换和Fourier余弦变换的公式分别为
Fs1[Fs ()]
f (x)
2
0 fs (x) sin xdx
Fc1[Fc ()]
f
(x)
2
0 fc (x) cos xdx
§4.1.1 Fourier变换法
证明：F () F[ f (x)] f (x)eixdx
i
2
0
Fs
(
)
ei
x
d
(欧拉公式)
即Fourier正弦变换的公式为
f (x) 2
0 Fs () cos xd
§4.1.1 Fourier变换法
例9：证明
x 0 1 x2
sin xdx
2
e
(
0)。
证明：本题直接积分不易计算，考虑到fs
1 l
l l
f (x) cos n
l
xdx, n 0,1, 2,...
bn
1 l
l l
f (x) sin n
l
xdx, n 1, 2,...
§4.1.1 Fourier变换法
二、Fourier变换
设f (x)在(-, )上满足
i)逐段光滑（可导）；
数学物理方程——8 积分变换法
下午9时10分
数学物理方法
第五章
积分变换法
拉普拉斯逆变换
1 σ + i∞ f (t ) = F ( p )e pt dp, 2π i ∫σ −i∞
p = σ + iω
又称 f (t )为 原函数 ⇔ F ( p )
为像函数
13
下午9时10分
数学物理方法
第五章
积分变换法
例2
(1) 求 L[1]
1 L[1] = ∫ 1 ⋅ e − pt dt = − e − pt 0 p
∞ ∞ 0
=
1 . p
(2) 求 L[t ]
1 ∞ 1 − pt ∞ 1 ∞ − pt 1 ∞ − pt 1 − pt L[t] = ∫ t ⋅ e dt = − ∫ t ⋅ d(e ) = − [t ⋅ e ] 0 + ∫ e dt = ∫ e dt = 2 . 0 p 0 p p 0 p0 p
− pt ∞
数学物理方法
第五章
积分变换法
1. Fourier变换 1.1 Fourier变换的定义
+∞ +∞
1 f ( x) = 2π
∫ ∫
−∞
(
−∞
f (τ )e −iωτ dτ )e iω x dω ,
（*）
傅里叶积分定理:设f 在 (−∞,+∞) 内满足下面两个条件：
+∞
（1）积分
−∞
∫
f ( x) dx 存在；
⎧ d 2U (ω , t ) t>0 = − a 2ω 2U (ω , t ), ⎪ ⎪ dt 2 ⎨ ⎪U (ω ,0) = Φ (ω ), dU (ω ,0) = Ψ (ω ), ⎪ dt ⎩ U (ω , t ) = A cos aωt + B sin aωt Ψ (ω ) B= U (ω , 0) = A = Φ (ω ) aω Ψ (ω ) U (ω , t ) = Φ (ω ) cos aωt + sin aωt aω
数学物理方程课件第三章行波法与积分变换法
U (,0)
a 2 2U (, t), (), dU (,0)
dt
(),
t0
U (,t) Acosat Bsin at
U (,0) A ()
B () a
U (,t) () cos at () sin at
a
f(x ) F ()e j
x
f()d
F ()
0
j
数学物理方程与特殊函数
u(x,t) 1 (x at) (x at) 1
xat
( )d
t2
2a xat
t
P( x, t )
依赖区间
x
x at x at
x x1 at
x x2 at
决定区域
x1
x2
x
t
x x1 at
影响区域
x1
x2
x x2 at
x at C 特征线 x at x at 特征变换
第3章行波法与积分变换法
补充作业： 解定解问题
4
2u t 2
25
2u x2
,
u(
x,
0)
sin
x,
u ( x, t
0)
3x,
y 0, x x
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
二 积分变换法
1 傅立叶变换法
傅立叶变换的定义
U (, t) u(x, t)e jxdx
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
u(x,t) 1 (x at) (x at) 1
xat
( )d
2
2a xat
5 达朗贝尔公式的应用
utt
a
u |t0
数学物理方法3-4积分变换法
§3.4.1
第三章 偏微分方程的定解问题 第四节 积分变换法
直线上的初值问题
例3.4.1求解热传导 问题
dU(, t) 2 2 a U(, t), t 0 解：利用傅立 dt 叶变换的性质 U(, 0) (), t a22 a22t C () U(, t) e C F(, ) e d
思考 利用积分变换方法求解问题的好处是什么？
第三章 偏微分方程的定解问题 第四节 积分变换法
傅立叶变换的定义
U ( , t ) u ( x, t )e
j x
1 dx , u ( x , t ) 2
U ( , t )e j x d
傅立叶变换的性质 微分性 位移性 f ( n ) (x) ( j ) n F ( )
e
d d
1 2a
t
( )e
2 x
4 a 2t
d
第三章 偏微分方程的定解问题 第四节 积分变换法
§3.4.2
半无界直线上的问题
半无界区域上的热传导（扩散）问题 2 u 2 u 0 x , t 0 t a x 2 0, 例3.4.4 求解 t 0 u (0, t ) u0 , u ( x, 0) 0, 0 x 做代换 u ( x, t ) v( x, t ) u0 转化为直线上热传导方程 2 v v 2 对称延拓法（奇延拓） a , 0 x , t 0 2 x t x0 u0 , v(0, t ) 0, t0 ( x) u0 , x0 v( x, 0) u0 , 0 x 考虑与无界区域上 波传播问题的差别
数学物理方法课件 第十章-积分变换法
第九章积分变换法引言：•无界区域：与系统的特征尺度相比，物理量变化的特征尺度是个小量如个点热源在个体积很大的物体尺度是一个小量。
如：一个点热源在一个体积很大的物体中产生的热传导现象。
“无界区域”是数学上一个理想化的名词，是对实际物理问题的一个近似。
的名词是对实际物问题的个近似•前面讨论的都是有界区域的问题，本征值和本征函数是由齐次边界条件(或周期性边界条件）确定的。
•对于无界问题，前面介绍的分离变量法及傅里叶级数展对于无界问题前面介绍的分离变量法及傅里叶级数展开均不能使用。
本章的主要内容：1、傅里叶积分变换法无界或半无界空域的定解问题；—无界或半无界空域的定解问题；2、拉普拉斯积分变化法—半无界时域，并带有初始值的问题。
3、联合变换法：傅里叶积分变换+拉普拉斯积分变换；傅里叶积分变换+傅里叶级数展开。
，这些变换的目的：“化偏为常，甚至为代”。
特别是：傅里叶积分变换和拉普拉斯积分变换可以处理一些带有奇异性的问题，如点源的热传导。
些带有奇异性的问题如点源的热传导让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶:法国数学家、物理学家。
1768人物传纪巴普蒂斯约瑟夫傅叶法国数学家物理学家年3月21日生于欧塞尔，1830年5月16日卒于巴黎。
9岁父母双亡，被当地教堂收养。
12岁由一主教送入地方军事学校读书。
17岁（1785）回乡教数学1794到巴黎成为高等师范学校的17岁（1785）回乡教数学，1794到巴黎，成为高等师范学校的首批学员，次年到巴黎综合工科学校执教。
1798年随拿破仑远征埃及时任军中文书和埃及研究院秘书，1801年回国后任伊泽尔省地方长官。
1817年当选为科学院院士，1822年任该院终身秘书，后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会主席主席。
主要贡献是在研究热的传播时创立了一套数学理论。
1807年向巴黎科学院呈交《热的传播》论文，推导出着名的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数以由角函数构成的级数形式表示从而提出任函数都以展成角函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。
数学物理方法第十二章积分变换法课件
方程(12.2.4)的通解为
将式(12.2.6)代入式(12.2.5)，可得
将式(12.2.7)与式(12.2.8)联立，解出C1与C2后代入 式(12.2.6) ，可得
(12.2.9)
53
(3)作像函数应
的傅里叶逆变换
第一、三项应用延迟定理 作傅里叶逆变换得
(12.2.10)
54
第二、四项应用延迟定理和积分定理
特别是
证明 将
代入式 (12.1.40)左边，交换积分次序后应用d函数的 傅里叶展开式，便有
41
帕塞瓦尔等式在辐射问题中有着广泛的应用，如 计算切连科夫辐射的电磁能流密度时就会用到
42
【例12.1.5】 求解积分方程
解设 解题的步骤分三步：
(1)作积分方程的傅里叶变换。由卷积的定义
用卷积定理，将积分方程的傅里叶变换写成
可见，只要证明
, 也即证明e-k满足傅
里叶正弦逆变换(见式(12.1.20)
则本题得证
22
实际上，通过两次分部积分可证，留给读者作为练 习．
23
4. d函数的傅里叶展开
d函数可以表示为指数函数与三角函数的傅里叶积分
证明 令f(x)=d (x-x’)代入式(12.1.14), 得 将上式代入式(12.1.15) 即有
若a1 、a2为任意常数，则对任意函数f1(x)及
f2(x) ，有
27
证明 由定义出发
28
2.延迟定理
设x0为任意常数，则
证明由定义出发，令u=x-x0可得
由式(12.1.16)可见,F[f(x)]仅为k的函数，与x无关(x 是定积分的积分变量) 故 F[f(u)]=F[f(x)] (12.1.30)
积分变换法
1 ⎡ f ( x0 + 0 ) + f ( x0 − 0 ) ⎤ . ⎦ 2⎣
7
δ 函数的 Fourier 变换
F (ω ) = F ⎡δ ( x ) ⎤ = ⎣ ⎦
∞
高维 Fourier 变换
1 . 2π
1 2π
∫
∞
−∞
δ ( x ) e − iω x dx =
F ( p) 称为 f ( x) 的象函数或象, f ( x) 称为 F ( p) 的原象。
1 2
Fourier 变换及其逆变换
1 F (ω ) = F ⎡ f ( x ) ⎤ ≡ ⎣ ⎦ 2π
在这种变换下，原来的偏微分方程的自变量个数 减少，原来的常微分方程可以变成代数方程。通过求 解变换后的方程然后再对其解进行逆变换，就可以得 到原问题的解。
3. 延迟性质 设 x0 为任意常数, 则
F ⎡ f ( x − x0 ) ⎤ = e − iω x0 F (ω ) . ⎣ ⎦
4. 相似性质 设 a 为不为零的常数, 则
dn n F ⎡ f ( x ) ⎤ = F ⎡ ( −ix ) f ( x ) ⎤ . ⎦ ⎣ ⎦ dω n ⎣
∞
8. 卷积性质 F [ f1 ∗ f 2 ] = 2π F [ f1 ] F [ f 2 ] , 其中卷积定义为:
r rr f ( x ) eiλ ⋅x dx1 L dxn ,
⇒ δ ( x) =
1 2π
∫
∞
−∞
cos ω xd ω =
1 2π
∫
∞
−∞
e − iω x d ω.
r f (x) =
∫
数学物理方程-第四章积分变换法
第四章 积分变换法积分变换法是求解偏微分方程的一种基本方法. 不仅如此，在自然科学和工程技术的许多领域也有着广泛应用. 本章介绍Fourier 变换在求解偏微分方程定解问题中的应用. 主要以一维热传导方程，一维波动方程及平面上的Laplace 方程为主. 对于高维情形，由于计算过程要复杂一些，故只做简单介绍，也不做过多要求.§4⋅1 热传导方程Cauchy 问题4.1.1 一维热传导方程Cauchy 问题 考虑如下问题2(,), , 0 (1. 1)(,0)(), (1. 2)t xx u a u f x t x t u x x x ϕ⎧-=-∞<<∞>⎨=-∞<<∞⎩ 下面利用Fourier 变换求解该定解问题.设0>β为常数，函数2x e β-的Fourier 变换为()224()x F e e ωββπωβ--=(1.3)为书写方便起见，引入记号ˆ()(())(),f F f x ωω=,如果f 为二元函数),(t x f ， ),))(,((),(ˆt t x f F t fωω=表示对),(t x f 中的空间变量x 作Fourier 变换的像函数，此时t 作为参数对待.对（1.1）—（1.2）关于空间变量x 作Fourier 变换得22ˆ(,)ˆˆ(,)(,), 0ˆˆ(,0)() .du t a u t f t t dtuωωωωωϕω⎧+=>⎪⎨⎪=⎩ 上面是一阶线性常微分方程的初值问题，解之可得2222()0ˆˆˆ(,)()(,)t a t a t ut e f e d ωωτωϕωωττ---=+⎰ (1.4) 利用（1.3）得),)( 21(22224t eta F e ta x t a ωπω--=),)()(21()(4)(2222τωτπττω--=----t e t a F e t a x t a记2241Γ(,)()2x a tx t eu t a πt-=（1.5）其中)(t u 为单位阶跃函数. 则有22ˆ((,))()(,)a t e F x t t ωωω-=Γ=Γ22()ˆ((,))()(,)a t e F x t t ωττωωτ--=Γ-=Γ-利用上面结果将（1.4）改写为ˆˆˆˆˆ(,)()(,)(,)(,)tu t t f t d ωϕωωωτωττ=Γ+Γ-⎰ (1.6) 对（1.6）两边取Fourier 逆变换，并利用Fourier 变换卷积公式 ))(()))((ˆ)(ˆ(21211x f f x f fF *=-ωω 便得0(,)()Γ(,(,)*Γ(,)tu x t x x t)f x x t d ϕτττ=*+-⎰()(,)(,)(,)t x t d d f x t d ϕξξξτξτξτξ∞∞-∞-∞=Γ-+Γ--⎰⎰⎰2222()()4()401()(,)2 2( )x x t a t a td ed f ed at at ξξττϕξξξτξππτ----∞∞--∞-∞=+-⎰⎰⎰(1.7)（1.7）即为定解问题（1.1）—（1.2）的解.在),(t x u 的表达式（1.7）中，函数(;)x t Γ起着一个基本作用. 如果令0≡f ，)()(x x δϕ=，则有(,)()(,)(;).u x t x x t x t δ=*Γ=Γ因此，(;)x t Γ是如下问题的解20, , 0 (1. 8)(,0)(), . (1. 9)t xx u a u x t u x x x δ⎧-=-∞<<∞>⎨=-∞<<∞⎩而(,)x t ξΓ-和(,)x t ξτΓ--分别是下面两问题的解20, , 0 (1. 10)(,0)(), . (1. 11)t xx u a u x t u x x x δξ⎧-=-∞<<∞>⎨=--∞<<∞⎩ 2()(),, 0 (1. 12)(,0)0, . (1. 13)t xx u a u x t x t u x x δξδτ⎧-=---∞<<∞>⎨=-∞<<∞⎩ 由于知道了(;)x t Γ,就可直接写出（1.1）—（1.2）的解（1.7）式. 类似于求解线性方程组0=Ax ，其中A 为n m ⨯矩阵. 如果知道该齐次方程组的一个基解组，则方程的任一解可由基解组的线性组合表出. 因此，),(t x Γ的作用就相当于向量空间中的基，故称),(t x Γ为定解问题（1.1）—（1.2）的基本解(fundamental solution).基本解是线性微分方程的一个很重要的概念，不仅可以表示Cauchy 问题的解，也可用来构造Green 函数表示边值问题的解.基本解有明确的物理解释. 若在初始时刻0t =时在0x =处置放一单位点热源，则此单位点热源在x 轴上产生的温度分布便是(,)x t Γ. 类似地，若在初始时刻0t =时在x ξ=处置放一单位点热源，则此点热源在x 轴上产生的温度分布为(,)x t ξΓ-. 而将初始时刻0t =变为t τ=时，其温度分布就是(,)x t ξτΓ--.注1 在（1.1）—（1.2）解的表达式（1.7）中，如果将其中的第一项和第二项分别记为1(,)u x t 和2(,)u x t ，则1(,)u x t 是相应于(,)0f x t =时齐次方程的解，而2(,)u x t 是相应于0)(=x ϕ时非齐次方程的解.若记1(,)()*Γ(,)(,)u x t x x t M x t ϕϕ==，则由齐次化原理可知20(,)(,)tf u x t M x t d τττ=-⎰.另外，和1(,)u x t 表达式中的卷积形式类似，2(,)u x t 也可表示成某种卷积形式，请同学们试给出这一表示形式. 例1.1 求解如下定解问题20, , 0 (1.14)(,0)(), . (1.15)t xx x u a u bu cu x t u x x x ϕ⎧---=-∞<<∞>⎨=-∞<<∞⎩ 其中,,a b c 均为常数.解 对（1.14）-（1.15）关于x 作Fourier 变换得22ˆ(,)ˆˆˆ(,)(,)(,), 0ˆˆ(,0)()dut a u t bi u t cu t t dtu ωωωωωωωϕω⎧=-++>⎪⎨⎪=⎩解之可得22() ˆˆ(,)().a bi c tut e ωωωϕω---= (1.16)为了求函数22()a bi c teωω---的Fourier 逆变换，利用配方法将其改写为222222224()()42.b a c bi t a t a bi c taaeeeωωω-------=由于222241()(),2x a t a tF eea tωωπ--=利用Fourier 变换的位移性质得000ˆ(())()()()() ,i x F f x e F f f ωωωωωω=-=- 取022biaω=得222222()4221()().2x bibi ixa t a ta aF ee ea tωωπ---=故有2222224()42((,))()b a c bi t a t aaF g x t eeωω----=22(),a bi c teωω---=其中22222244421(,)2b a c x bx taa ta g x t eeea tπ----=22()4.2x bt cta tee a tπ+-=记22()41Γ(,)()2x bt c ta tex t e u t a πt+-=其中)(t u 为单位阶跃函数. 1(;)x t Γ即为定解问题（1.14）—（1.15）的基本解.将（1.16）改写为1ˆˆˆ(,)()(,) ,u t t ωϕωω=Γ.,求Fourier 逆变换得1(,)()Γ(,)u x t x x t ϕ=*1()(,)x t d ϕξξξ∞-∞=Γ-⎰ 22()4() .2x bt cta te ed a tξϕξξπ-+-∞-∞=⎰如果将（1.15）中的齐次方程改为非齐次方程 ，考虑如下定解问题2(,),, 0 (,0)0, . t xx x u a u bu cu f x t x t u x x ⎧=+++-∞<<∞>⎨=-∞<<∞⎩请同学们写出该定解问题的解.例1.2 求解如下定解问题20, , 0(,0)(), .t xx u a u x t u x x x ϕ⎧-=-∞<<∞>⎨=-∞<<∞⎩ 其中0, ()0, .A x x x x x ϕ>⎧=⎨<⎩解 由（1.7）可得该问题的解为22220()()441(,)(),2 2 x x a ta tx A u x t ed ed at at ξξϕξξξππ----∞∞-∞==⎰⎰对积分作变量代换 2x a tξα-=得 02222202020(,) [][]2x x a t x x a t x x a t Au x t e d Aed e d Ae d αααααπααππαπ---∞----∞--==+=+⎰⎰⎰⎰引入下面函数22()xx e d ααπ-Φ=⎰（1.17）该函数称为误差函数. 利用误差函数可得(,)()222x x A A u x t a t-=+Φ. 4.1.2* 二维热传导方程Cauchy 问题为加深对线性微分方程基本解的进一步理解,下面再求解二维热传导方程Cauchy 问题222()(,,), (,)R , 0 (1.18)(,,0)(,), (,)R . (1.19)t xx yy u a u u f x y t x y t u x y x y x y ϕ⎧-+=∈>⎪⎨=∈⎪⎩ 为求解(1.19)—(1.20)，先求二维热传导方程的基本解,即如下定解问题的解222()0, (,)R , 0 (1.20)(,,0)()(), (,)R . (1.21)t xx yy u a u u x y t u x y x y x y δδ⎧-+=∈>⎪⎨=∈⎪⎩引入二元函数的Fourier 变换12()12()(,)(,)i x y F f f x y e dxdy ωωωω∞∞-+-∞-∞=⎰⎰和一元函数Fourier 变换的性质相对应，二元函数的Fourier 变换也有类似性质.对(1.20)-(1.21)关于空间变量作Fourier 变换得22ˆ(,)ˆ(,)0, 0ˆ(,0) 1.dut a u t t dtuωωωω⎧+=>⎪⎨⎪=⎩其中2221212(,) , ωωωωωω==+. 解之可得22222212ˆ(,)a ta t a t ut e e e ωωωω---==.故有2212222211222222222()1121221244421(,,)()(,)(2)11=2211=221=.(2)a t i x y a t ix a t iy xy a t a tx y a tu x y t F f eed d eed e e d eea ta t e a t ωωωωωωωωωωωπωωπππππ∞∞-+--∞-∞∞∞---∞-∞--+-==⎰⎰⎰⎰即(1.18)-(1.19)的基本解为222421Γ(,,)().(2)x y a tx y t eu t a πt +-=与（1.7）相对应，（1.20）—（1.21）的解为(,,)(,)*Γ(,,)(,,)*Γ(,,)tu x y t x y x y t f x y x y t d ϕτττ=+-⎰(,)(,,)x y t d d ϕξηξηξη∞∞-∞-∞=Γ--+⎰⎰(,,)(,,).t d f x y t d d τξητξητξη∞∞-∞-∞Γ---⎰⎰⎰作为练习，同学们试用Fourier 变换求解三维热传导方程Cauchy 问题. §4⋅2 波动方程Cauchy 问题4．2．1 一维波动方程Cauchy 问题考虑如下定解问题2(,), , 0 (2.1)(,0)(), (,0)(), . (2.2)tt xx t u a u f x t x t u x x u x x x ϕψ⎧-=-∞<<∞>⎪⎨==-∞<<∞⎪⎩20, , 0 (2.3)(,0)0, (,0)(), . (2.4)tt xx t u a u x t u x u x x x ψ⎧-=-∞<<∞>⎪⎨==-∞<<∞⎪⎩ 若记（2.3）—（2.4）的解为(,)(,)u x t M x t ψ=，则由叠加原理和齐次化原理可得（2.1）—（2.2）的解为0(,)(,)(,)(,)t f u x t M x t M x t M x t d tτϕψττ∂=++-∂⎰ (2.5)因此，只须求解定解问题（2.3）—（2.4）.对（2.3）—（2.4）关于空间变量x 作Fourier 变换得2222ˆ(,)ˆ(,)0, 0ˆˆˆ(,0)0, (,0)().t d u t a u t t dt u uωωωωωψω⎧+=>⎪⎨⎪==⎩ 解之可得sin ˆˆ(,)() .a tut a ωωψωω= 记1, 2(;) 0, .x atax t x at ⎧<⎪Γ=⎨⎪≥⎩查Fourier 变换表或直接计算可得sin ˆ((;))()(,)a t F x t t a ωωωωΓ=Γ= 故有ˆˆˆ(,)()(,),ut t ωψωω=Γ 对上式取Fourier 逆变换并利用卷积公式得(,)()*Γ(,)u x t x x t ψ=()(,)x t d ψξξξ∞-∞=Γ-⎰1()2x atx at d aψξξ+-=⎰ . 利用（2.5）便得（2.1）—（2.2）的解为0(,)(,)(,)(,)t f u x t M x t M x t M x t d t τϕψττ∂=++-∂⎰11(())()22x at x at x at x at d d t a aϕξξψξξ++--∂=+∂⎰⎰ ()0()1(,)2tx a t x a t d f d a τττξτξ+---+⎰⎰[]11()()()22x at x atx at x at d a ϕϕψξξ+-=++-+⎰ ()0()1(,)2tx a t x a t d f d a τττξτξ+---+⎰⎰ (2.6)当0f ≡时，（2.6）称为一维波方程Cauchy 问题的达朗贝尔（D ’Alembert ）公式.注1 在（2.4）中取()()x x ψδ=，则有(,)(;)u x t x t =Γ，即(;)x t Γ是如下定解问题20, , 0(,0)0, (,0)() .tt xx t u a u x t u x u x x x δ⎧-=-∞<<∞>⎪⎨==-∞<<∞⎪⎩ 的解，称其为一维波动方程的基本解. 利用基本解(;)x t Γ，就可写出（2.1）—（2.2）的解（2.6）式. (;)x t Γ在（2.6）的表达式中也起到一个“基”的作用.4.2.2* 二维和三维波动方程Cauchy 问题下面，首先利用Fourier 变换求解三维波动方程Cauchy 问题,然后用降维法求出二维波动方程Cauchy 问题的解.考虑三维波动方程Cauchy 问题2333(,,,),(,,),0, (2.7)(,,,0)(,,),(,,), (2.8)(,,,0)(,,),(,,). (2.9)tt tu a u f x y z t x y z R t u x y z x y z x y z R u x y z x y z x y z R ϕψ⎧-∆=∈>⎪=∈⎨⎪=∈⎩为求解定解问题(2.7)—(2.9)，先求出三维波动方程的基本解，即如下问题的解,23330, (,,), 0 (2.10)(,,,0)0, (,,) (2.11)(,,,0)()()(), (,,). tt t u a u x y z R t u x y z x y z R u x y z x y z x y z R δδδ-∆=∈>=∈=∈ (2.12)⎧⎪⎨⎪⎩记2222123123(,,) , ωωωωωωωω==++. 对定解问题(2.10)—(2.12)关于空间变量 作Fourier 变换得2222ˆ(,)ˆ(,)0, 0ˆˆ(,0)0, (,0) 1.t d u t a u t t dt uu ωωωωω⎧+=>⎪⎨⎪==⎩解之可得sin ||ˆ(,).||a tut a ωωω=故有123312331 ()1233()1233ˆ(,,,)()(,,,)1ˆ =(,)(2)sin 1 =(2)i x y z R i x y z R u x y z t F u x y z t u t e d d d a t e d d d a ωωωωωωωωωωπωωωωπω-++++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰为计算上面积分,首先对上面积分作变量代换v A ωT T =,其中123(,,) , v v v v =A 为三阶正交矩阵. 选A 使得将(,,)x y z 变为(0,0,)r ，222 r x y z =++. 根据正交变换的保内积性可得，该变换将123 , x y z ωωωω++分别变为3 , v rv .故有33 1233sin 1(,,,)(2)i rv R a v t u x y z t e dv dv dv a v π=⎰⎰⎰，再利用球坐标变换123cos sin sin sin cos v v v ρθϕρθϕρϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩ 可得22 cos 3000cos 200 201sin (,,,)=sin (2) =sin (2) =sin() ()(2)i r i r i r i r a t u x y z t d d e d a i a t e d ar i a t e e d ar ππρϕπρϕρρρθρρϕϕπρρρπρρπ∞∞∞---⎰⎰⎰⎰⎰22sin() ()81( )()16i r i r i a t i a t i r ir i a t e e d ar e e e e d ar ρρρρρρρρπρπ∞--∞∞---∞=--=---⎰⎰. 注意到()(0)2()2()i i e d F e αραρωρπδωαπδα∞=-∞==-=⎰，221(,,,)( )()1612[()(())()()]161[()()]41().4 i a t i a t i r ir u x y z t e e e e d ar r at r at r at at r ar r at r at ar r at ar ρρρρρππδδδδπδδπδπ∞---∞=---=-⋅++-+----=--+=-⎰记1(,,,)()4x y z t r at arδπΓ=- (,,,)x y z t Γ即为三维波动方程的基本解.因此，当0==ϕf 时，(2.7)—(2.9)的解为33R R (,,,)(,,,) =(,,)(,,,)=(,,)(,,,)()=(,,). 4u x y z t M x y z t x y z x y z t x y z t d d d r at d d d arψψψξηζξηζξηζδψξηζξηζπ=*ΓΓ----⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中222()()()r x y z ξηζ=-+-+-.对任一0t >， 记以点(,,)x y z 为心at 为半径的球面为(,,)r S x y z ，即3(,,){ (,,) }r S x y z R r at ξηζ=∈=. 将上面的积分化为累次积分并由δ函数的定义可得(,,)(,,)2(,,)2(,,,)(,,,)(,,)=()()4(,,)=4(,,) =41=(,,4rratS x y z r atS x y z S x y z u x y z t M x y z t r at ds dr ar ds ar ds a t a t ψψξηζδπψξηζπψξηζπψξηζπ∞==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(,,)) . (2.13)at S x y z ds ⎰⎰最后，由叠加原理和齐次化原理便得(2.7)—(2.9)的解为22(,,)(,,)111(,,,)(,,)(,,)44at at S x y z S x y z u x y z t ds ds a t t a t ϕξηζψξηζππ⎛⎫∂=+ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰211(,,,)4r f t d d d a r a ξηζξηζπΩ+-⎰⎰⎰ (2.14) 其中 (,,){ (,,) }a t B x y z r at ξηζΩ==<.(2.14)称为三维波动方程Cauchy 问题的克希霍夫（Kirchhoff ）公式.利用Fourier 变换求二维波动方程的基本解比较难. 利用三维空间中已有的结果（2.13），下面用降维法求二维波动方程Cauchy 问题.考虑如下三维波动方程Cauchy 问题2330,(,,),0 (,,,0)0,(,,,0)(,),(,,) tt t u a u x y z R t u x y z u x y z x y x y z R ψ⎧-∆=∈>⎪⎨==∈⎪⎩（2.15）（2.16）对于定解问题（2.15）—（2.16），由于初始数据与z 无关，可推知解u 与z 也无关，故有zz u ＝0，即定解问题（2.15）－（2.16）其实是一个二维波动方程Cauchy 问题, 由(2.13)可得该问题的解为2(,,)2(,,)1(,,)(,)41=(,) (2.17)2at atS x y z S x y z u x y t ds a t ds a t ψξηπψξηπ+=⎰⎰⎰⎰其中22222(,,){(,,)|()()(),}atS x y z x y z a t z ξηζξηζξ+=-+-+-=≥. 对于上半球面(,,)atS x y z +直接计算得 2222221()() ()()ds d d atd d a t x y ζζξηξηξηξη∂∂=++∂∂=----将上式代入到（2.17）中便得222(,)(,,)(,,)1(,). (2.18)2at B x y u x y t x y t d d a a t rψξηξζπ=Γ=-⎰⎰其中22()()r x y ξη=---，(,){(,)|}at B x y r at ξη=<.和三维情形类似，由（2.18）可得二维波动方程Cauchy 问题2222(,,),(,),0 (2.19)(,,,0)(,),(,), (2.20)(,,,0)(,),(,). (2.21)tt tu a u f x y t x y R t u x y z x y x y R u x y z x y x y R ϕψ⎧-∆=∈>⎪=∈⎨⎪=∈⎩ 的解为222222(,)(,)1(,)1(,)(,,)22at at B x y B x y u x y t d d d d a t a a t r a t r ϕξηψξηξηξηππ∂=++∂--⎰⎰⎰⎰()222(,)1(,,)2()a t tB x y f d d d a a t r τξηττξηπτ---⎰⎰⎰（2.22） （2.22）称为二维波动方程Cauchy 问题的波以松（Poisson ）公式.4.2.3 解的物理意义对一维波动方程Cauchy 问题，如果无外力作用，则解由D’Alembert 公式给出，即[]11(,)()()() .22x atx at u x t x at x at d aϕϕψξξ+-=++-+⎰ 将上式改写为(,)()() ,u x t f x at g x at =++-其中011()()() ,22x atf x at x at d a ϕψξξ++=++⎰11()()() .22x at g x at x at d aϕψξξ--=-+⎰ 记1(,)()u x t f x at =+，2(,)()u x t g x at =-，则12(,)(,)(,).u x t u x t u x t =+.首先考虑1(,)() .u x t f x at =+当0t =时1(,0)() .u x f x =在(,)x u 平面上画出函数()f x 的图形，则()f x at +的图形可通过()f x 的图形向左平移at 个单位长度而得. 随着t 的增加，()f x 的图形不断向左平移，移动速度为a ，故称1(,)u x t 为左传播波，a 为波速. 同样道理，2(,)()u x t g x at =-称为右传播波. D’Alembert 公式表明:弦线在t 时刻的振动是初始振动所产生的右传播波和左传播波的叠加.其次，从D’Alember t 公式还可看出:u 在(,)x t 的值(,)u x t 只与x 轴上区间[],x at x at -+上初始值有关，而与其它点的初始值无关. 这是由于波速为a ，在区间[],x at x at -+外的初始扰动在时刻t 还未传播到点x ，故称区间[],x at x at -+为点(,)x t 的依赖区间. 在(,)x t 平面上，过(,)x t 点分别作斜率为1a±的直线，两条直线在x 轴上所截得的区间便是[],x at x at -+（图2.1()a ）.给定x 轴上的区间[]12,x x ，过点1(,0)x 作直线1x x at =+，过点2(,0)x 作直线2x x at =-，它们和x 轴构成了一个三角形区域（图2.1()b ）.由于该区域内任一点的依赖区间都落在区间[]12,x x 内，因此，解在此三角形区域内的值完全由区间[]12,x x 上的初始值决定，而与此区间外的初始值无关，故称此三角形区域为区间[]12,x x 的决定区域. 同理，过点1(,0)x 作直线1x x at =-，过点2(,0)x 作直线2x x at =+，它们和x 轴构成一个梯形区域（图2.1()c ），该区域称为区间[]12,x x 的影响区域，它表示区间[]12,x x 上初始扰动对弦线振动的作用范围.t (x , t ) t t决定区域 影响区域x x x 0 x at - x a t + 0 1x 2x 0 1x 2x(a ) (b ) (c )图2.1由上面分析可得,波以常速a 沿两族直线x at c ±=向左﹑右两个方向传播，这是波动现象的一个基本特征. 直线x at c ±= 称为一维波动方程的特征线，它们在一维波动问题的研究中起着重要作用.当0f =时，对公式（2.14）和（2.22）进行分析，便可得到和上面类似的结论.对二维波动方程，一点(,,)x y t 的依赖区域是以(,)x y 为心，at 为半径的圆域；而对三维波动方程，一点(,,,)x y z t 的依赖区域是以(,,)x y z 为心，at 为半径的球面，而不是球形区域. 反映在波的传播过程中，平面波有前阵面而无后阵面，正像把一块石子扔在湖中，在湖面上激起层层浪花，这种现象称为波的弥漫现象；而空间波既有前阵面又有后阵面，正像人们听到声音，一会儿就消失了，这种现象称为空间波传播的无后效现象,此即Huygens 原理.§4⋅3 积分变换法举例在前二节中，利用Fourier 变换求出了热传导方程和波动方程Cauchy 问题的解. 下面再进一步举例，说明积分变换法在求解偏微分方程定解问题中的作用.例3.1 求解如下定解问题(,), , 0 (3.1)(,0)(), . (3.2)t x u au f x t x t u x x x ϕ+=-∞<<∞>⎧⎨=-∞<<∞⎩其中a 为实数.解 对（3.1）—（3.2）关于空间变量x 作Fourier 变换得ˆ(,)ˆˆ(,)(,), 0ˆˆ(,0)().du t ai u t f t t dtuωωωωωϕω⎧+=>⎪⎨⎪=⎩ 解之可得()0ˆˆˆ(,)()(,)tait ai t ut e f e d ωτωωϕωωττ---=+⎰ （3.3） 由于(())()ait F x at e ωδω--= ()((()))()ai t F x a t e τωδτω----=故（3.3）可表示为ˆˆˆˆˆ(,)()()()(,)(())()t u t x at f x a t d ωϕωδωωτδτωτ=-+--⎰对上式取Fourier 逆变换得0(,)()()(,)(()tu x t x x at f x x a t d ϕδτδττ=*-+*--⎰()()(,)(())t x at d d f x a t d ϕξδξξτξτδξτξ∞∞-∞-∞=--+---⎰⎰⎰()((),).t x at f x a t d ϕτττ=-+--⎰ 例3.2 求半平面上调和方程边值问题的有界解(,0)(), . (3.5)xx yy u x f x x ⎨=-∞<<∞⎩ 解 对（3.4）—（3.5）关于变量x 作Fourier 变换得222ˆ(,)ˆ()(,)0, 0ˆˆ(,0)().d u y i u y t dy u f ωωωωω⎧+=>⎪⎨⎪=⎩ 解之可得12ˆ(,)y y uy C e C e ωωω-=+ 由于u 有界，故20 .C =结合初始条件可得ˆˆ(,)() y u t f e ωωω-= （3.6） 直接求yeω-的Fourier 逆变换得11()()2y y ix F e x ee d ωωωωπ∞----∞=⎰1cos()y e x d ωωωπ∞-=⎰2201sin()cos()y x x y x e x y ωωωπ∞--=+ 221(,)yg x y x y π==+故（3.6）可表示为ˆˆˆ(,)() g(,)uy f y ωωω= 对上式取Fourier 逆变换得)))(,(*)((),(x y g f y x u ⋅⋅=() g(,)f x y d ξξξ∞-∞=-⎰221().()yf d x y ξξπξ∞-∞=-+⎰ 例3.3* 设有一单位长度均匀杆，侧面绝热，两端温度为零度.若初始温度为sin 2x π，求杆内的温度分布.解 设(,)u x t 为杆内温度分布，则u 满足如下定解问题(0,)(1,)0, 0 (3.8)(,0)sin 2, 0 1. (t xx u t u t t u x x x π==≥=≤≤ 3.9)⎪⎨⎪⎩对（3.7）—（3.9）关于时间变量t 作Laplace 变换,并记(,)u x t 的像函数为(,)u x s 可得222(,)(,)(,0)0(0,)(1,)0.d u x s su x s u x a dx u s u s ⎧--=⎪⎨⎪==⎩即2222(,)1(,)sin 2 (3.10) (0,)(1,)0 (3.11)d u x s s u x s x dx a a u s u s π⎧-=-⎪⎨⎪==⎩（3.10）是常系数二阶线性常微分方程，非齐次项为三角函数. 易得该方程 通解为1222sin 2(,)4s s x x aaxu x s C eC es a ππ-=+++利用边界条件（3.11）得10C =，20,C =故22sin 2(,)4xu x s s a ππ=+取Laplace 逆变换可得224(,)sin 2a tu x t e x ππ-=.例3.4* 求下面半无界弦振动问题有界的解2cos , 0, 0 (3.12) (,0)0, (,0)0, 0 (3.13)(0,)0, 0. tt xx t u a u t x t u x u x x u t t ρω-=>>==≥=≥ (3.14)⎧⎪⎨⎪⎩解 对（3.12）—（3.14）关于时间变量t 作Laplace 变换得222222(,)(,)(0,)0,d u x s s s u x s adx s u s u ρω⎧-=⎪+⎨⎪=⎩有界. 或者2222222(,)(1)(,)()(0,)0,d u x s s su x s dxa a s u s u ρω⎧--=⎪+⎨⎪=⎩有界. 解之可得1222(,)()s s x x aau x s C e C es s ρω-=+++由于u 有界，故20 .C =结合初始条件可得22(,)(1)()s x au x s es s ρω-=-+ (3.15)对（3.15）取Laplace 逆变换可得)()(),(221t s s t x u -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ωρL )()(221t s s e x a s -⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--ωρL (3.16) 由于)()(221t s s -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ωρL =)()1(2221t s s s -⎪⎭⎫ ⎝⎛+-ωωρL =))(())(1(221212t s s t s --ωωρωρ+- L L 2222(1cos )sin 2tt ρρωωωω=-= (3.17) 利用Laplace 变换的延迟性质)()))(()((s f e s t u t f s τττ-=--L其中()u t 为阶跃函数. 取x aτ=得 )()(221t s s e x a s -⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-ωρL =)()()(221a x t u a x t s s ---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ωρL 22()2sin ()2xt x a u t aωρω-=- 22()2sin , 2 0, 0 . x t x a t a x t a ωρω⎧-⎪≥⎪=⎨⎪≤<⎪⎩(3.18)将（3.17）—（3.18）代入到（3.16）中便得222222sin sin () , 22(,)2sin , 0 . 2t x x t t a au x t t x t a ρωωωρωω⎧⎡⎤--≥⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎪≤<⎪⎩ 注1 定解问题（3.7）—（3.9）也可用分离变量法求解. 一般而言，Laplace变换方法的求解过程比较繁琐，而分离变量法已成固定模式，求解过程相对简明.习 题 四1. 用Fourier 变换求解如下定解问题（1） 20, , 0, 2(,0)0, 2.t xx u a u x t A x u x x ⎧-=-∞<<∞>⎪>⎨⎧=⎨⎪<⎩⎩（2） 40, , 0, 1(,0) 0, 1t xx u u x t h x u x x -=-∞<<∞>⎧⎪⎧<⎨⎪=⎨⎪>⎪⎩⎩2*用Fourier 变换求解如下定解问题（1） 20, , 0 , 0(,0) 0, 0.t xx x u a u x t e x u x x -⎧-=-∞<<∞>⎪⎧>⎨=⎨⎪<⎩⎩（2） 2, , 0(,0)0, . t t xx u a u e x t u x x -⎧-=-∞<<∞>⎨=-∞<<∞⎩ 3. 用Fourier 变换求解如下定解问题（1） 2, , 0(,0)sin , .t t x u u xe x t u x x x -⎧+=-∞<<∞>⎨=-∞<<∞⎩（2） 23, , 0(,0)(), . t x u u u x t u x x x ϕ=+-∞<<∞>⎧⎨=-∞<<∞⎩4. 求解如下一维波动方程Cauchy 问题（1） sin , , 0(,0)0, (,0)0, . tt xx t u u t x x t u x u x x -=-∞<<∞>⎧⎨==-∞<<∞⎩（2） 22, , 0 1(,0)sin , (,0), . 1tt xx t u a u tx x t u x x u x x x ⎧-=-∞<<∞>⎪⎨==-∞<<∞⎪+⎩5*求解如下Cauchy 问题（1） 222()0, (,)R , 0(,,0), (,,0)=0, (,)R . tt xx yy t u a u u x y t u x y xy u x y x y ⎧-+=∈>⎪⎨=∈⎪⎩（2） 2222()0, (,)R , 0(,,0)0, (,,0)=, (,)R . tt xx yy t u a u u x y t u x y u x y x y x y ⎧-+=∈>⎪⎨=∈⎪⎩ （3） 2323()0, (,,)R , 0 (,,,0)0, (,,,0)=, (,,)R .tt xx yy zzt u a u u u x y z t u x y z u x y z x z x y z ⎧-++=∈>⎪⎨=∈⎪⎩6. 由三维波动方程Cauchy 问题解的公式，利用降维法求解如下问题20, , 0 (,0)0, (,0)(), .tt xx t u a u x t u x u x x x ψ⎧-=-∞<<∞>⎪⎨==-∞<<∞⎪⎩7. 考虑如下定解问题20, , 0(,0)(), (,0)(), .tt xx t u a u x t u x x u x x x ϕψ⎧-=-∞<<∞>⎪⎨==-∞<<∞⎪⎩ 设()x ϕ和()x ψ为直线R 上奇（偶，周期为T 的）函数，证明该问题的解(,)u x t 关于变量x 也是奇（偶，周期为T 的）函数. 对于一维热传导方程Cauchy 问题，类似结果是否成立？8*设()x ϕ和()x ψ在{0}x x ≥二阶连续可导，(0)(0)0ϕψ==，求解如下波动方程半无界问题20, 0, 0(0,)0, 0(,0)(), (,0)(), 0 . tt xx t u a u x t u t t u x x u x x x ϕψ⎧-=<<∞>⎪=≥⎨⎪==<<∞⎩如将该问题的边界条件换为 (0,)0, 0x u t t =≥，如何求解相应的定解问题？9．考虑如下定解问题000, , 0(), 0, .tt xx t t t u u x t u x u x ϕ==-=-∞<<∞>⎧⎪⎨==-∞<<∞⎪⎩其中初始波形为如下锯齿波1, 12()3, 230, .x x x x x ϕ-<<⎧⎪=-<<⎨⎪⎩其它（1）分别画出1,2t =时刻的(,)u x t 的波形图.（2）如果将初始位移换为1()()()x x x ϕϕϕ=--，分别画出1,2t =时刻的(,)u x t 的波形图.10． 考虑如下定解问题030, , 00, (), . tt xx t t t u u x t u u x x ψ==-=-∞<<∞>⎧⎪⎨==-∞<<∞⎪⎩其中2e , 13()0, .x x x ψ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它 试找出(,)u x t 恒为零的区域,又弦线上10x =-的点在那个时刻开始振动. 11. 考虑如下定解问题2200()0, (,), 00, (,), (,).tt xx yy t t t u u u x y R t u u x y x y R ψ==⎧-+=∈>⎪⎨==∈⎪⎩ 其中, (,)(,)0, .x y x y ψ∈Ω⎧=⎨⎩正值其它 若区域Ω为正方形{ (,) 1 1 , 1 1 }x y x y -<<-<<，试指出(,,10)u x y 恒为零的区域.12. 考虑如下定解问题3300()0, (,,), 00, (,,), (,,).tt xx yy zz t t t u u u u x y z R t u u x y z x y z R ψ==⎧-++=∈>⎪⎨==∈⎪⎩ 若(,,)x y z ψ除在球形域222{ (,,) (1) 1 }x y z x y z -++≤取正值外其它恒为零，试指出(,,,10)u x y z 恒为零的区域.13*求解下面定解问题21200, , 0(,0),0, .tt xx x t t u u u x t u x e u x -=-+=-∞<<∞>⎧⎪⎨==-∞<<∞⎪⎩ 14*考虑下面定解问题20, , 0 (,0)cos , . t xx u a u x t u x x x ⎧-=-∞<<∞>⎨=-∞<<∞⎩求出该定解问题解的有限表达形式.[利用结果2240cos ,0]4b ax ae bxdx ea aπ-∞-=>⎰.15*考虑下面定解问题230, , 0 (,0), . t xx u a u x t u x x x ⎧-=-∞<<∞>⎪⎨=-∞<<∞⎪⎩求出该问题解的有限表达形式.16*利用误差函数求解下面定解问题20, , 0 (,0)(), . t xx u a u x t u x x x ϕ⎧-=-∞<<∞>⎨=-∞<<∞⎩其中, 0(), 0.A x xB x ϕ>⎧=⎨<⎩。
数学物理方程第四章 积分变换法(课堂PPT)
❖ 傅里叶变换建立R了信号时域与频域之间的关系，
频率是信号的物理本质之一。
6
❖ 设f(x)为[-π,π]上的有限信号，则f(x)的傅 里叶变换可简化为：
fˆ ( ) π f (x)eix dx π
❖ 对于只在有限区间，例如在上有定义的函数,可 采取延拓的方法，使其成为某种周期函数，而在 上，。然后再对作傅里叶级数展开，其级数和在 区间上代表f(x),由于f(x)在x=0和x=l无定义，因此 可以有无数种延拓方式，因而有无数种展开式， 它们在上均代表.有时，对函数在边界（区间的 端点）上的行为提出限制，即满足一定的边界条 件，这常常就决定了如何延拓。
第四章 积分变换法 傅立叶变换与拉普拉斯变换
数学物理方程
1
1777年以前，人们普遍采用多项式函数P(x)来对信 N 1
号f(x)进行表征：f (x) P(x) anxn。 n0 1777年，数学家Euler在研究天文学时发现某些函
数可以通过余弦函数之和来表达。1807年，法国科学
家傅里叶进一步提出周期为2π的函数f(x)可以表示为
( x ,t 0)
U ' (t; k) k 2a2U (t; k) F(t; k) U (t; k) |t0 0
其中 U (t; k) 为u(x,t)的傅里叶变换。为求解这个非齐次
e 常微分方程，用 k2a2t 遍乘方程各项 18
d [U (t; k)ek2a2t ] F (t; k)ek2a2t dt
19
❖ 交换积分次序
u(x,t) t
1
= 0
f ( , )[2
e e dk] k2a2 (t ) ik (x ) d d
引用积分公式
e2k2 ek dk =
《数学物理方程》第3章 行波法与积分变换法
2 2 dS 1 dd
M Cat : ( x ) 2 ( y) 2 ( at ) 2 at dd
(at ) 2 ( x ) 2 ( y ) 2
sin( x at ) sin( x at ) 1 x at cos d sin( x at ) 解 u( x , t ) 2 2 x at
u( x ,0) f ( x ) g ( x ) 3 x 2 u ( x ,0) 1 f ( x ) g ( x ) 0 1 f ( x ) g ( x ) C y 3 3 9 2 3 2 解 出f ( x ) x C , g( x ) x C 4 4
2 2
2a t
wtt a 2 w xx ( t , x ) 设w( x , t , )是 的解 w( x , , ) 0, wt ( x , , ) f ( x , ) t x a( t ) 1 t f (,)d 则 u( x, t ) w( x, t , )d d 0 x a ( t ) 2a 0 2
x at uxx u 2u u 变换 u 0 2 x at utt a (u 2u u ) u h( )d g() f ( ) g() 方程通解 u( x , t ) f ( x at ) g( x at )
M Sat
0
0
积分中x y z是常数
2 ( x at sin cos ) ( y at sin sin ) ( z at cos ) 2 d ( at ) sin d 0 t 0 4a at
数学物理方法积分变换法
U (1 , 2 , t ) 2 2 2 a 1 2 U (1 , 2 , t ) F (1 , 2 , t ), t U (1 , 2 , 0) (1 , 2 )
2 2 1 ( x ) ( y ) u ( x, y, t ) 2 exp d d 2 4a t 1 1 4a t y 1 1 2xa1t 2 2 2a t x1 e d y1 e d 1 1
2
数学物理方法2015.02
第一节 Fourier积分变换法
例子
2 2 u u u 2 2 a , ( x , y ) R ,t 0 2 2 x y t u ( x, y, 0) 1, 1 x, y 1 ( x, y) R 2 其它 0,
再例
2 u u 2 Au, x , t 0 a 2 x t u ( x, 0) ( x x ), x 0
( x x0 )2 u ( x, t ) exp At 2 4 a t 2a t 1
其中 R, G, L 和 C 分别表示导线电阻、线间电 漏、电感和电容
数学物理方法2015.02
第二节 Laplace积分变换法
LG RC 做函数变换：v( x, t ) u ( x, t ) exp t 2 LC
则传输线上的电报方程可以约化为
2 2u u 2 2 b u, x , t 0 2 a 2 x t u( x, 0) ( x), u ( x, 0) ( x), x 1 t 1
数理方程第9讲积分变换法
ux, t 表示温度，当 x 时，ux, t 一定有界，
亦有界，从而 U x , p
D . 0
由边值条件可知
C F p
，即
p a x
U x, p F p e
对
p 进行拉普拉斯逆变换，有
1 1 ux, t L F p L e
f g x f x t g t dt
0
则
L f g L f Lg
例 设 y yt 求解常微分方程的初值问题:
解对
y ' '2 y '3 y e y |t 0 0, y ' |t 0 1 t 进行拉普拉斯变换, 设 yt F p , 则
二. 拉普拉斯变换
定义: f (t)定义在 [0, ) 上，若其满足下列条件 1. f (t)分段光滑；
2. 当t<0时, f (t)=0;
3. 存在常数 M 和 s0 0 使得 | f (t ) | M es0t 则称f (t)为初始函数, s0 称为f (t)的增长指数. 反例
e
et
定理:设 f (t)是一以 s0 0 为增长指数的初始函数, 则经变换
t
t
e
1 p 1
y' pF p y0 pF( p)
y' ' p F p py0 y' 0 p F p 1
2
2
于是原方程变为
1 p F ( p) 1 2 pF p 3F p p 1
2
由上式得:
3 1 1 1 1 1 F p 8 p 1 4 p 1 8 p 3
北京大学数学物理方法经典课件第十二章——积分变换法
即为
最后得到定解问题的解为
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17
12.1.3 稳定场问题
我们先给出求半平面内
拉普拉斯方程的第一
边值问题的傅氏变换系统解法（读者可以与格林函数解法进 行比较） 例 5 定解问题
解 对于变量 作傅氏变换，有
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18
定解问题变换为常微分方程
因为 可取正、负值，所以常微分定解问题的通解为
因为
12.2.2半无界区域的问题 例 2 求定解问题
解首先作变量
的拉氏变换
原定解问题即为
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(12.2.6)
27
易得到(12.2.8)式的解为
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28
又 故 由于
及拉氏变换的卷积定理 最后,得原定解问题的解为
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29
12.2.2半无界区域的问题
例 2 求定解问题
【解】首先作变量 的拉氏变换 原定解问题即为
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30
易得到(12.2.8)式的解为
因为 所以 又
故
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31
利用
及拉氏变换的卷积定理 最后,得原定解问题的解为
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32
例3 求解在无失真条件下 电报方程的定解问题
（12.2.16）
解令
并考虑到无失真条件则原方程(15.2.16)化为
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（15.2.17）
33
若对时间 作拉氏变换有 于是定解问题(15.2.16)化为下列常微分方程的边值问题:
上述问题的解为 因为
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(12.2.18)
34
所以 于是 最后利用拉氏变换的延迟定律,得定解问题(15.2.16)的解为：
或