九年级数学培优练习圆相似三角形三角函数压轴题

九年级寒假解题能力训练题（2）

——圆、相似三角形、三角函数相结合的几何压轴题

1.如图，在Rt ∆ABC 中，以AB 为直径作☉O 交AC 于点D，，过D 作AE 的垂线，F 为垂足。

（1）求证：DF 为☉O 的切线；

（2）若DF=3,☉O 的半径为5，求tan∠BAC 的值。

2.如图，AB 是☉O 的直径，BC⊥AB 于点B，连接OC 交☉O 于点E，弦AD ∥OC，弦DF⊥AB 于点G，（1）求证：CD 是☉O 的切线；（2）若

5

3

AB

AD ，☉O

的半径为

5，求DF 的长. 3.如图，AB 是☉O 的直径，CA、CD 分别切☉O 于A、D，CO 的延长线交☉O 于M，连BD、DM.（1）求证：BD ∥CM；

（2）若sin∠MCD=5

3

，求cos∠BDM 的值

4.如图，在Rt△ACB 中，∠ACB=90°，以点A 为圆心，AC 长为半径的圆交AB 于点D，BA 的延长线交⊙A 于点E，连接CE，CD，F 是⊙A 上一点，点F 与点C 位于BE 两侧，且∠FAB=∠ABC，连接BF．（1）求证：∠BCD=∠BEC；

（2）若BC=2，BD=1，求CE 的长及sin∠ABF 的值．

5.(2019苏州）如图，AB 为圆的直径，D 是弧BC 的中点，BC 与AD、OD 分别交于点E、F.（1）求证：DO ∥AC；（2）求证：2

DC DA DE =⋅；（3）若tan∠CAD=

2

1

，求sin∠CDA 的值6.如图，在Rt ∆ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D，O 为AB 上一点，经过点A、D 的☉O 分

别交AB、AC 于点E、F，连接OF 交AD 于点G。（1）求证：BC 是☉O 的切线；

（2）设AB=x，AF=y，试用含x、y 的代数式表示线段AD 的长；（3）若BE=8，sinB=

13

5

,求DG 的长。