初一数学尖子生学案Day1(主讲人：刘蒋巍)
初中数学尖子生教案
教案名称：初中数学尖子生培养计划年级：八年级学科：数学课时：1课时教材：《数学》教学目标：1. 提高学生的数学思维能力，培养学生的逻辑推理和解决问题的能力。
2. 通过培养尖子生，带动全体学生的学习兴趣和成绩的提高。
3. 培养学生的团队合作意识和竞争意识。
教学内容：1. 复习上节课的内容，了解学生的掌握情况。
2. 讲解新的数学知识点，通过例题和练习题让学生巩固所学知识。
3. 针对尖子生进行拓展训练，提供一些具有挑战性的题目，让学生独立思考和解决问题。
4. 组织学生进行小组讨论和交流，分享解题思路和解题方法。
5. 总结本节课的学习内容，布置作业。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 复习上节课的内容，通过提问的方式了解学生的掌握情况。
2. 引入新的数学知识点，激发学生的学习兴趣。
二、讲解新知识（15分钟）1. 讲解新的数学知识点，通过例题和练习题让学生巩固所学知识。
2. 针对尖子生进行拓展训练，提供一些具有挑战性的题目，让学生独立思考和解决问题。
三、小组讨论和交流（15分钟）1. 组织学生进行小组讨论和交流，分享解题思路和解题方法。
2. 鼓励学生提出问题，培养学生的提问能力和解决问题的能力。
四、总结和布置作业（5分钟）1. 总结本节课的学习内容，强调重点和难点。
2. 布置作业，要求学生在规定时间内完成。
教学评价：1. 通过课堂表现和作业完成情况评估学生的学习效果。
2. 定期进行测试，了解学生的学习进步情况。
3. 鼓励学生参加数学竞赛和活动，提高学生的数学素养。
4. 定期与学生和家长沟通，了解学生的学习需求和问题，及时调整教学方法和策略。
以上是一份初中数学尖子生教案，通过系统的教学和培养，相信学生的数学能力会得到很大的提高。
尖子生培优教材数学七年级上第一讲 有理数讲义及答案
第一讲有理数知识导引本讲的主要内容是从自然数到分数和有理数的概念，小学数学主要学习了自然数、分数（小数）及数的运算，并且这种“数”的概念是建立在一种意义上的，实际上，仅有自然数和分数是不够的，数还需作进一步的扩展，实际生活、生产中大量的量从其意义上来理解却具有相反的意义，为了准确地区分这些相反意义的量就有必要引入负数，用正数和负数来区分这些具有相反意义的量，这样就产生了有理数的概念，所以有理数其实是对数的进一步认识，是数的一次重要扩充。
建立了有理数的概念之后，又不要对有理数进行分类，有理数通常按两种不同的标准进行分类：一是以有理数的正负性为主要标准，将有理数分为正数、零和负数三大类；二是以有理数的整数和非整数为主要标准，将有理数分为整数和分数两大类。
这里要注意的是零既不是正数也不是负数，具体的数的概念应从其意义上理解，例如“负整数”应理解为“负数中的整数”等等。
典例精析例1：珠穆朗玛峰和吐鲁番盆地处都标有表明高度的数（单位：米），如图所示，这些数通常称为海拔，它是相对于海平面来讲的，请说出图中所示的数8848和－155表示的实际意义，海平面的高度用什么数表示？例2：（1）如果把商店盈利100元记做＋100，那么亏损20元记做（2）如果把仪表的指针逆时针转3圈记做＋3，那么－2圈表示把仪表的指针（3）正常水位为0，水位高于正常水位0.2米时可记做＋0.2米，那么－0.5米表示什么意思？例2—1：（1）下列说法中，不具有相反意义的一对量是（）A、向东3.5米和向南2千米B、上升5米和下降1.8米C、收入5000元和亏损1500元D、零上6℃和零下7℃（2）若火箭发射点火前5秒记为－5秒，那么火箭发射点火后10秒应记为（）A、－10秒B、－5秒C、＋5秒D、＋10秒例3：把数－7，4.8，4，0，－9，－7.9，－12，213-，23，800%，54，851-分别填在相应的位置内。
正数：{ }； 负数：{ }； 整数：{ }； 正整数：{ }； 负分数：{ }； 非负数：{ }。
新初三数学尖子生学案Day20(主讲人：刘蒋巍)
教学内容 新初三数学尖子生学案 Day20：根与系数的关系，圆的基本性质（涉及相似）
教学目标 理解根与系数的关系；理解相似三角形；理解圆周角定理
教学重点 理解根与系数的关系；理解相似三角形；
教学难点 理解相似三角形；理解圆周角定理
教学准备 教材，考纲
教学过程
根与系数的关系
【例题求解】
【例 1】 已知 、 是方程 x 2 x 1 0 的两个实数根，则代数式 2 ( 2 2) 的值为
。
思路点拨：所求代数式为 、 的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化
【例 2】如果 a 、 b 都是质数，且 a 2 13a m 0 ， b 2 13b m 0 ，那么 b a 的值为( ) ab
。
2、已知 、 是方程的两个实数根，则代数式 3 2 2 2 的值为
。
3、CD 是 Rt△ABC 斜边上的高线，AD、BD 是方程 x 2 6x 4 0 的两根，则△ABC 的面积是
。
4、设 x1 、 x2 是关于 x 的方程 x 2 px q 0 的两根， x1 +1、 x2 +1 是关于 x 的方程 x 2 qx p 0 的两根，则 p 、 q 的值分别等于( ) A．1，-3 B．1，3 C．-1，-3 D．-1，3
注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别式△≥0 这一条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性。
【例 5】 已知：四边形 ABCD 中，AB∥CD，且 AB、CD 的长是关于 x 的方程 x 2 2mx (m 1 ) 2 7 0 的两个 24
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新初三数学尖子生学案Day14(主讲人：刘蒋巍)
新初三数学尖子生学案Day14主讲人：刘蒋巍（，﹣4）代入y中得，k1＝4，为，4，﹣1），＝x，，解得，或，的垂直平分线，（x＜0）的图象于点D，∵动点P从点D出发，沿射线个单位长度，到达反比例函数（点，∴设移动后的点P的坐标为（，（则代数式．或（舍去），），∴；y（；93399DE，DE∴，∴，4的最小值是．，1．0，﹣4）、B（2，0）代入一次函数y＝kx+b得，，解得，，＝2x﹣4，＝2，在反比例函数的图象上，∴反比例函数的关系式为y，答：一次函数的关系式为y＝2x﹣4，反比例函数的关系式为y；（2）点P在反比例函数的图象上，点Q在一次函数的图象上，∴点P（n，），点Q∴PQ（2n﹣4）[2，62 6B为线段AC的黄金．＝20cm，则AB的长为（10）cm；20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF对应点H，得折痕CG．试说明：G是AB的黄金分割点；，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E（AE＞，延长EF、CB交于点P．他发现当PB与BC满足某种关系时，E、的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．【解答】解：（1）∵点B为线段∴AB20＝（10故答案为：（101010，，10BCG，，，求的值；的值．AO，∴．，，+44+8 0，求的值；OB′上的一个动点，将△，求的取值范围．，∴，BM，10，，AC．，，上运动，OA＝OC，AB′6，PA，．•扬州）如图，已知点A（1，2）、B（5，n）（n＞0），点P为线段AB上的一个动点，反比例函数（x＞0）的图象经过点P．小明说：k值最小，在点B位置时（1）当n＝1时．①求线段AB所在直线的函数表达式．）代入得：，解得：，所在直线的函数表达式为y x；不完全同意小明的说法，理由为：）（x）2，当x时，k max，则不完全同意；（2）当n＝2时，A（1当n≠2时，y x（（，时，为x5 n1．21共页第页。
新初三数学尖子生学案Day28(主讲人：刘蒋巍)
新初三数学尖子生学案Day28在研究)0(2>++=a c bx ax y 性质之前，我们可以对)0(2>++=a c bx ax y 作“配方”工作，a b ac a b x a c bx ax y 44)2(222-++=++=（最值问题的研究）我们从“配方法求最值”的角度分析，若0>a ，则a b ac a b ac a b x a c bx ax y 4444)2(2222-≥-++=++=，什么时候取得“＝”号呢？当0)2(2=+a b x a 的时候，也就是02=+a b x 的时候，即ab x 2-=的时候，从图象上来看，就是在a b x 2-=处取得最值（0>a 的时候是最小值，0<a 的时候是最大值）。
且最值为ab ac 442-。
（对称性的研究）当m a b x +-=2（0>m ）时，ab ac am y 4422-+=，此时点坐标（m a b +-2，a b ac am 4422-+）当m a b x --=2（0>m ）时，a b ac am y 4422-+=，此时点坐标（m a b --2，ab ac am 4422-+）当m 任意变化时，这两个点是关于垂直于x 轴的直线a b x 2-=对称的，所以抛物线ab ac a b x a c bx ax y 44)2(222-++=++=具有对称性，对称轴为直线a b x 2-=。
（单调性的研究）由于初中阶段不要求掌握单调性的研究方法，所以我们只需记住结论：“当0>a 时，a b ac a b x a c bx ax y 44)2(222-++=++=，关于对称轴a b x 2-=对称，当a b x 2-<，函数单调递减，当a b x 2->，函数单调递增。
当0<a 时，ab ac a b x a c bx ax y 44)2(222-++=++=，关于对称轴a b x 2-=对称，当a b x 2-<，函数单调递增，当ab x 2->，函数单调递减。
新初三数学尖子生学案Day18(主讲人：刘蒋巍)
新初三数学尖子生学案Day18．2（2020•鄂州）已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两实数根．（1）求k的取值范围；（2）设方程两实数根分别为x1、x2，且x1x2﹣4，求实数k的值．【解答】解：（1）△＝16﹣4（k+1）＝16﹣4k﹣4＝12﹣4k≥0，∴k≤3．（2）由题意可知：x1+x2＝4，x1x2＝k+1，∵x1x2﹣4，∴x1x2﹣4，∴，∴k＝5或k＝﹣3，由（1）可知：k＝5舍去，∴k＝﹣3．（2020•广东）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为．【解答】解：如图，连接BE，BD．由题意BD2，∵∠MBN＝90°，MN＝4，EM＝NE，∴BE MN＝2，∴点E的运动轨迹是以B为圆心，2为半径的弧，∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小，∴DE的最小值为22．故答案为22．（4分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC的中点为O，分别以点A，C为圆心，以AO的长为半径画弧，分别与正方形的边相交，则图中的阴影部分的面积为4﹣π．（结果保留π）【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝2，∠DAB＝∠DCB＝90°，由勾股定理得，AC2，∴OA＝OC，∴图中的阴影部分的面积＝222＝4﹣π，故答案为：4﹣π．（4分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，反比例函数y（x＞0）的图象经过OA的中点C．交AB于点D，连结CD．若△ACD的面积是2，则k的值是．【解答】解：连接OD，过C作CE∥AB，交x轴于E，∵∠ABO＝90°，反比例函数y（x＞0）的图象经过OA的中点C，＝S△BOD，S△ACD＝S△OCD＝2，∴S△COE∵CE∥AB，∴△OCE∽△OAB，∴，＝S△OAB，∴4S△OCE∴4k＝2+2k，∴k，故答案为：．（2020•随州）设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、R，则下列结论不正确的是（）A．h＝R+r B．R＝2r C．r a D．R a【解答】解：如图，∵△ABC是等边三角形，∴△ABC的内切圆和外接圆是同心圆，圆心为O，设OE＝r，AO＝R，AD＝h，∴h＝R+r，故A正确；∵AD⊥BC，∴∠DAC∠BAC60°＝30°，在Rt△AOE中，∴R＝2r，故B正确；∵OD＝OE＝r，∵AB＝AC＝BC＝a，∴AE AC a，∴（a）2+r2＝（2r）2，（a）2+（R）2＝R2，∴r，R a，故C错误，D正确；故选：C．（2020•随州）将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x•x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，则x4﹣2x3+3x的值为（）A．1B．3C．1D．3【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，∴x2＝x+1，∴x3＝x•x2＝x（x+1）＝x2+x＝x+1+x＝2x+1，x4＝x•x3＝x（2x+1）＝2x2+x＝2（x+1）+x＝3x+2，∴x4﹣2x3+3x＝3x+2﹣2（2x+1）+3x＝3x+2﹣4x﹣2+3x＝2x，解方程x2﹣x﹣1＝0得x1，x2，∵x＞0，∴x，∴x4﹣2x3+3x＝21．故选：C．（2020•随州）如图，直线AB与双曲线y（k＞0）在第一象限内交于A、B两点，与x轴交于点C，点B为线段AC的中点，连接OA，若△AOC的面积为3，则k的值为2．【解答】解：过点A、B分别作AM⊥OC，BN⊥OC，垂足分别为M、N，∵B是AC的中点，∴AB＝BC，∵AM∥BN，∴，∴CN＝MN，设BN＝a，则AM＝2a，∵点A、B在反比例函数的图象上，∴OM•AM＝ON•BN，∴OM ON，即：OM＝MN＝NC，设OM＝b，则OC＝3b，∵△AOC的面积为3，即OC•AM＝3，∴3b×2a＝3，∴ab＝1OM•AM b×2a＝ab＝1|k|，∴S△AOM∴k＝﹣2（舍去），k＝2，故答案为：2．（2020•鄂州）如图，点A是双曲线y（x＜0）上一动点，连接OA，作OB⊥OA，且使OB＝3OA，当点A在双曲线y上运动时，点B在双曲线y上移动，则k的值为﹣9．【解答】解：∵点A是反比例函数y（x＜0）上的一个动点，∴可设A（x，），∴OC ＝x ，AC，∵OB ⊥OA ，∴∠BOD +∠AOC ＝∠AOC +∠OAC ＝90°，∴∠BOD ＝∠OAC ，且∠BDO ＝∠ACO ，∴△AOC ∽△OBD ，∵OB ＝3OA ，∴，∴OD ＝3AC ，BD ＝3OC ＝3x ，∴B （，﹣3x ），∵点B 反比例函数y图象上，∴k （﹣3x ）＝﹣9，故答案为：﹣9．如图，AB 是半圆O 的直径，,C D 是半圆O 上不同于,A B 的两点,AD BC AC =与BD 相交于点,F BE 是半圆O 所任圆的切线，与AC 的延长线相交于点E ，()1求证：CBA DAB ∆∆≌；()2若,BE BF =求AC 平分DAB ∠．【答案】()1证明见解析；()2证明见解析．【解析】【分析】()1利用,AD BC =证明,ABD BAC ∠=∠利用AB 为直径，证明90,ADB BCA ∠=∠=︒结合已知条件可得结论；()2利用等腰三角形的性质证明：,EBC FBC ∠=∠再证明,CBF DAF ∠=∠利用切线的性质与直径所对的圆周角是直角证明：,EBC CAB ∠=∠从而可得答案．【详解】()1证明：,AD BC = ,AD BC∴=,ABD BAC ∴∠=∠AB Q 为直径，90,ADB BCA ∴∠=∠=︒,AB BA = CBA DAB ∴ ≌．()2证明：,90,BE BF ACB =∠=︒ ,FBC EBC ∴∠=∠90,,ADC ACB DFA CFB ∠=∠=︒∠=∠ ,DAF FBC EBC ∴∠=∠=∠BE 为半圆O 的切线，90,90,ABE ABC EBC ∴∠=︒∠+∠=︒90,ACB ∠=︒ 90,CAB ABC ∴∠+∠=︒,CAB EBC ∴∠=∠,DAF CAB ∴∠=∠AC ∴平分DAB ∠．已知：如图， ABC 为锐角三角形，AB=BC ，CD ∥AB ．求作：线段BP ，使得点P 在直线CD 上，且∠ABP=12BAC ∠．作法：①以点A 为圆心，AC 长为半径画圆，交直线CD 于C ，P 两点；②连接BP ．线段BP 就是所求作线段．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵CD ∥AB ，∴∠ABP=．∵AB=AC ，∴点B 在⊙A 上．又∵∠BPC=12∠BAC （）（填推理依据）∴∠ABP=12∠BAC【答案】（1）见解析；（2）∠BPC ，在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半【解析】【分析】（1）按照作法的提示，逐步作图即可；（2）利用平行线的性质证明：,ABP BPC ∠=∠再利用圆的性质得到：∠BPC=12∠BAC ，从而可得答案．【详解】解：（1）依据作图提示作图如下：（2）证明：∵CD ∥AB ，∴∠ABP=BPC ∠．∵AB=AC ，∴点B 在⊙A 上．又∵∠BPC=12∠BAC （在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．）（填推理依据）∴∠ABP=12∠BAC 故答案为：∠BPC ；在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．()3如图2，连接AG，求证：EG【答案】（1）见解析；（2）152+；（3【解析】如图1，⊙I 与直线a 相离，过圆心们把点P 称为⊙I 关于直线a 的“远点（1）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点E 的坐标为()0,4，半径为1的⊙D ．①过点E 画垂直于y 轴的直线m ，则⊙O 关于直线m 的“远点”是点_________关于直线m 的“特征数”为_________；②若直线n 的函数表达式为4y =+，求O 关于直线n 的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点()1,4M ，点F 是坐标平面内一点，以)1,0是⊙F 关于直线l 的“远点”，且⊙F 关于直线y=∵直线n的函数表达式为3当x=0时，y=4；当y=0时，x=-∴直线n经过点E（0，4），点F设直线l 的解析式为y=kx+b 1（k≠0）,将点()1,4M 与A （m ，n ）代入y=kx+b 1中，114=k b n mk b +⎧⎨=+⎩①②②-①得：n-4=mk-k ，③又∵直线NF ⊥直线l ，。
刘蒋巍：《尖子生学案：初三期末复习(2021.01)》
刘蒋巍：《尖子生学案：初三期末复习》2021.01几何最值问题（1）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝8，BC＝3，运动过程中，点D到点O的最大距离为94，F是线段AC上一点，过点A的（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3⊙F交AB于点D，E是线段BC上一点，且ED=EB，则EF的最小值为2.3（3）在线段NP上从左向右依次有点A、O、B三点，其中NA=AO=OB=BP=1，以O为圆心，1为半径作圆，M为⊙O上任意一点，连接PM向外作等边△PMQ，NQ的取值范围为≤≤NQ12+1-332AB 如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，P为+的最小值为上一动点，则2PC PD.如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是正方形内切圆圆O 上的一动点，则BE AE 22的最小值为10如图，二次函数y=﹣+bx+2的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为（﹣4，0），P 是抛物线上一点（点P 与点A 、B 、C 不重合）．（1）b=，点B 的坐标是；（2）连接AC 、BC ，判断∠CAB 和∠CBA 的数量关系，并说明理由．解：（1）∵点A （﹣4，0）在二次函数y=﹣+bx+2的图象上，∴﹣﹣4b+2=0，∴b=﹣．当y=0时，有﹣x 2﹣x+2=0，解得：x 1=﹣4，x 2=，∴点B 的坐标为（，0）．故答案为：﹣；（，0）．（2）∠CBA=2∠CAB ，理由如下：作∠CBA 的角平分线，交y 轴于点E ，过点E 作EF ⊥BC 于点F ，如图2所示．∵点B （，0），点C （0，2），∴OB=，OC=2，BC=．设OE=n ，则CE=2﹣n ，EF=n ，由面积法，可知：OB•CE=BC•EF ，即（2﹣n ）=n ，解得：n=．∵==，∠AOC=90°=∠BOE，∴△AOC∽△BOE，∴∠CAO=∠EBO，∴∠CBA=2∠EBO=2∠CAB．已知y=ax²+bx+c(a≠0).a,b,c均为整数.对于任意实数x,均有x≤y≤2x²+0.25.(1)求c的值.(2)求解析式.已知抛物线p x y 22=，过2,0(pF 的直线与此抛物线交于),,(),,(2211y x B y x A 两点，求（1）21x x （2）21y y （3）FBFA 11+（4）由B A ,分别向直线2py -=作垂线BM AM ,，垂足为N M ,，求证90=∠MFN X 、y 互换证明：设A (11,y x )、B (22,y x )，直线AB 的方程为2(px k y -=。
尖子生学案：初三期末复习(2021.01.10)主讲人：刘蒋巍
尖子生学案：初三期末复习主讲人：刘蒋巍2021.01.10函数图像一次函数与几何轨迹问题新定义问题在直角坐标系中，点P（a，b）的“变换点”的坐标定义如下：当a≥b时，点P1的坐标为（a，﹣b）；当a＜b时，点P1的坐标为（b，﹣a）．（1）直接写出点A（5，6）、B（3，2）、C（4，4）的变换点A1、B1、C1的坐标；（2）P（a，b）为直线y=﹣2x+6上的任一点，当a＜b时，点P（a，b）的变换点在一条直线M上，求直线M的函数解析式并写出自变量的取值范围；1,32k b ==-解：（1）A （5，6）的变换点坐标是（6，﹣5），B （3，2）的变换点坐标是（3，﹣2），C （4，4）的变换点坐标是（4，﹣4）；…………6分（2）∵当a ＜b 时，∴x ＜﹣2x +6，得x ＜2，…………2分在x ＜2范围内任取两点，并求出变换点坐标设直线M 的函数解析式为y =kx +m ，......3分∴13(2)2y x x =-<． (1)分定义:如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”.（1）如图1，△ABC 中，AB =AC ，∠A 为36°，求证：△ABC 是倍角三角形；（2）若△ABC 是倍角三角形，C B A ∠>∠>∠，∠B=30°，AC=24，求△ABC 面积；（3）如图2，△ABC 的外角平分线AD 与CB 的延长线相交于点D ，延长CA 到点E ，使得AE =AB ，若AB +AC =BD ，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明.（图1）（图2）（1）∵AB=AC ，∴∠B=∠C∵∠A+∠B+∠C =180°，∠A =36°∴∠B=∠C =72°——————————————————2分∴∠A =2∠C即△ABC 是倍角三角形——————————————————3分（2）∵∠A >∠B >∠C ，∠B =30°①当∠B =2∠C ,得∠C =15°过C 作CH ⊥直线AB ，垂足为H ，可得∠CAH =45°∴AH=CH =22AC =4.∴BH =34∴AB=BH-AH=34-4—————————————————4分∴S=83821-=⋅CH AB —————————————————5分②当∠A =2∠B 或∠A =2∠C 时，与∠A >∠B >∠C 矛盾，故不存在。
新初三数学尖子生学案Day27(主讲人：刘蒋巍)
新初三数学尖子生学案 Day27（主讲人：刘蒋巍)
教学内容 教学目标
新初三数学尖子生学案 Day27
主讲人：刘蒋巍
新初三数学尖子生学案 Day27
理解相似三角形综合问题；理解圆综合问题；理解三角函数
教学重点 理解相似三角形综合问题；理解三角函数
教学难点 理解相似三角形综合问题；理解圆综合问题；理解三角函数
（2）①如图②-1，当 AB＝AP 时，若 PC＝2AC，则AC＝1，∴AC＝1；······················ 4 分 AP 3 AB 3
3
新初三数学尖子生学案 Day27（主讲人：刘蒋巍)
②如图②-2，当 PA＝PB 时，易证△ABC∽△APO，∴AC＝AB， AO AP
∵2AC＝PC，设 AC＝k，则 PC＝2k，∴1AkB＝A3Bk ，AB＝
O
B
B
P2
③
④
P4
答案:D
4
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新初三数学尖子生学案 Day27（主讲人：刘蒋巍)
教学反思
6k，∴AC＝ 1 ＝ 6．···········6 分 AB 6 6
2
P
P
C A
C A
O
O
B
②-1
B
②-2
（1）如图③④，满足条件的点 P 共有 4 个．··················································· ······9 分
数学优等生成绩提升的四条路径(刘蒋巍)
数学优等生成绩提升的四条路径刘蒋巍（学思堂教育研究院，江苏 常州，213000）一.学会引申数学试题引申通常解释为从旧义得出新义。
引申数学试题就是从已知题目出发，沿纵横两个方向演绎深化得出新题目。
1. 不改变原题条件，在原题的结论的基础上继续向纵深思考，引申新题例1.如图1，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，D 、E 分别是在AB,AC 的中点，BE 、CD 相交于点O ，求证:（1）OD=OE. （2）AO 平分∠BAC.引申思考：这是在学习等腰三角形时，许多老师都会让学生练习的一道题目。
如果在此基础上，我们联想到三角形的中线可以将三角形分成面积相等的两个三角形，再加上△与△AEO全等，那么很容易得出△ADO 、△AEO 、△BDO△CEO 这四个三角形的面积相等，都是△A BC 面积的1/6.因此，我们可以在原题的基础上增加第(3)问:求△BOC 与△ABC 的面积比.2.在原题的基础上，再适当添加条件，将问题引向深入例2.如图2，△ABC 中，AB=AC ，点D 在AB 上，点E 在AC 的延长线上，且BD=CE ，DE 与BC 相交于F 点，求证:DF=EF.引申思考：这是一道经典老题，过点D 作AC 的平行线DG 交BC 于点G ，很容易证得△CEF ≌△GDF ，从而得到结论.其实，由△CEF ≌△GDF 还可以得到GF=CF=1/2GC此时，如果再作DH ⊥BC 于H ，我们还可以得到HG=1/2BG ，因此可以得到HF=1/2BC2010年湖北黄冈市的一条选择题正是这样改编过来的:如图3，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA=CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为（ ）A ．1/3B ．1/2C ．2/3D ．不能确定3.将原来题目中的某些条件从特殊转化为一般进行推广，引申新题如图4，已知在Rt △ABC 中，∠BAC =90º，AB =AC ，M 是BC 边的中点，点P 在线段BA 上运动，同时点Q 在线段AC 上运动，且始终保持MQ ⊥MP ．试探求BP 2、PQ 2、CQ 2三者之间的数量关系，并说明理由．引申思考：进一步延伸，如果三角形ABC 不是等腰直角三角形，而是一般的直角三角形呢？这个结论是否成立呢？经研究发现，这个结论是成立的。
新初三数学尖子生学案Day17(主讲人：刘蒋巍)
新初三数学尖子生学案Day17．．【解答】解：设水池里水的深度是x 尺，由题意得，x 2+52＝（x +1）2，解得：x ＝12，答：水池里水的深度是12尺．故答案为：12．如图，AB 是O 的弦，点C 是优弧AB 上的动点（C 不与A 、B 重合），CH AB ⊥，垂足为H ，点M 是BC 的中点．若O 的半径是3，则MH 长的最大值是（）A.3B.4C.5D.6【答案】A【解析】【分析】根据直角三角形斜边中线定理，斜边上的中线等于斜边的一半可知MH=12BC ，当BC 为直径时长度最大，即可求解．【详解】解：∵CH AB⊥∴∠BHC=90°∵在Rt △BHC 中，点M 是BC 的中点A.22B.4【答案】D【解析】【分析】作AE BD ⊥交BD 的延长线于点长度，设出点A 的坐标，表示出点【详解】作AE BD ⊥交BD 的延长线于点∵135ADB ︒∠=∴45ADE ︒∠=∴ADE 为等腰直角三角形∵2,2BD S ABD ==△=232,2)22,32) m∴222)3232⨯=322【答案】2【答案】4或2【解析】【分析】分当点F在点D右侧时，当点当点F在点D左侧时，过点B作BN⊥综上：BG的值为4或2.故答案为：4或2.（2020•黄冈）已知：如图，AB是⊙O的直径，点E为使∠CBE＝∠BDE，BD与AE交于点F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BD平分∠ABE，求证：AD2＝DF•DB．【解答】证明：（1）∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°，∴∠EAB +∠EBA ＝90°，∵∠CBE ＝∠BDE ，∠BDE ＝∠EAB ，∴∠EAB ＝∠CBE ，∴∠EBA +∠CBE ＝90°，即∠ABC ＝90°，∴CB ⊥AB ，∵AB 是⊙O 的直径，∴BC 是⊙O 的切线；（2）证明：∵BD 平分∠ABE ，∴∠ABD ＝∠DBE ，∵∠DAF ＝∠DBE ，∴∠DAF ＝∠ABD ，∵∠ADB ＝∠ADF ，∴△ADF ∽△BDA ，∴，∴AD 2＝DF •DB ．如图，AB 是半圆O 的直径，,C D 是半圆O 上不同于,A B 的两点,AD BC AC =与BD 相交于点,F BE 是半圆O 所任圆的切线，与AC 的延长线相交于点E ，()1求证：CBA DAB ∆∆≌；()2若,BE BF =求AC 平分DAB ∠．【答案】()1证明见解析；()2证明见解析．【解析】【分析】()1利用,AD BC =证明,ABD BAC ∠=∠利用AB 为直径，证明90,ADB BCA ∠=∠=︒结合已知条件可得结论；()2利用等腰三角形的性质证明：,EBC FBC ∠=∠再证明,CBF DAF ∠=∠利用切线的性质与直径所对的圆周角是直角证明：,EBC CAB ∠=∠从而可得答案．【详解】()1证明：,AD BC = ,AD BC∴=,ABD BAC ∴∠=∠AB Q 为直径，90,ADB BCA ∴∠=∠=︒,AB BA = CBA DAB ∴ ≌．()2证明：,90,BE BF ACB =∠=︒ ,FBC EBC ∴∠=∠90,,ADC ACB DFA CFB ∠=∠=︒∠=∠ ,DAF FBC EBC ∴∠=∠=∠BE 为半圆O 的切线，90,90,ABE ABC EBC ∴∠=︒∠+∠=︒90,ACB ∠=︒ 90,CAB ABC ∴∠+∠=︒,CAB EBC ∴∠=∠,DAF CAB ∴∠=∠AC ∴平分DAB ∠．已知：如图， ABC 为锐角三角形，AB=BC ，CD ∥AB ．求作：线段BP ，使得点P 在直线CD 上，且∠ABP=12BAC ∠．作法：①以点A 为圆心，AC 长为半径画圆，交直线CD 于C ，P 两点；②连接BP ．线段BP 就是所求作线段．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵CD ∥AB ，∴∠ABP=．∵AB=AC ，∴点B 在⊙A 上．又∵∠BPC=12∠BAC （）（填推理依据）∴∠ABP=12∠BAC【答案】（1）见解析；（2）∠BPC ，在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半【解析】【分析】（1）按照作法的提示，逐步作图即可；（2）利用平行线的性质证明：,ABP BPC ∠=∠再利用圆的性质得到：∠BPC=12∠BAC ，从而可得答案．【详解】解：（1）依据作图提示作图如下：（2）证明：∵CD ∥AB ，∴∠ABP=BPC ∠．∵AB=AC ，∴点B 在⊙A 上．又∵∠BPC=12∠BAC （在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．）（填推理依据）【答案】(1)见解析；(2)OE=5，BG=2.()3如图2，连接AG，求证：EG【答案】（1）见解析；（2）152+；（3【解析】如图1，⊙I 与直线a 相离，过圆心们把点P 称为⊙I 关于直线a 的“远点（1）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点E 的坐标为()0,4，半径为1的⊙D ．①过点E 画垂直于y 轴的直线m ，则⊙O 关于直线m 的“远点”是点_________关于直线m 的“特征数”为_________；②若直线n 的函数表达式为4y =+，求O 关于直线n 的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点()1,4M ，点F 是坐标平面内一点，以)1,0是⊙F 关于直线l 的“远点”，且⊙F 关于直线y=∵直线n的函数表达式为3设直线l 的解析式为y=kx+b 1（k≠0）,将点()1,4M 与A （m ，n ）代入y=kx+b 1中，114=k b n mk b +⎧⎨=+⎩①②②-①得：n-4=mk-k ，③。
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初一数学尖子生学案Day1②2,3- 分析：绝对值为非负数，已知几个非负数和为0,则这几个非负数均为0,因为023=-++y x ，则03=+x ，02=-y ，则3-=x ，2=y③4 分析：321-+-++x x x 表示数轴上点x 到点3,2,1-的距离之和，根据几何意义绘图，得：2=x 时，321-+-++x x x 取得最小值，即413322212=+=-+-++数轴动点问题（一）与数轴上的动点问题相关的基本概念数轴上的动点问题离不开数轴上两点之间的距离.主要涉及以下几个概念：1．数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值d =|a-b|,也即用右边的数减去左边的数的差.即数轴上两点间的距离=右边点表示的数—左边点表示的数.2.两点中点公式：线段AB 中点坐标=（a+b ）÷2.3.点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向左运动的速度看作负速度.这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标.即一个点表示的数为a ，向左运动b 个单位后表示的数为a —b ；向右运动b 个单位后所表示的数为a+b .4.数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系.（二）数轴上的动点问题基本解题思路和方法：1、表示出题目中动点运动后的坐标（一般用含有时间t 的式子表示）.2、根据两点间的距离公式表示出题目中相关线段长度（一般用含有时间t 的式子表示）.3、根据题目问题中线段的等量关系（一般是和、差关系）列绝对值方程.4、解绝对值方程并根据实际问题验算结果. 注：数轴上线段的动点问题方法类似热身训练.如图，数轴上两点B A 、分别表示有理数2-和5，我们用AB 来表示B A 、两点之距离. （1）直接写出AB 的值_______（2）若数轴上一点C 表示有理数m ，则AC 的值是_______（3）当代数式52-++n n 的值取最小值时，写出表示n 的点所在的位置_________（4）若点B A 、分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度同时向数轴负方向运动，求经过多少秒后，点A 到表示1-的点的距离是点B 到表示1-的距离的2倍.（1）数轴上两点B A 、分别表示有理数2-和5，则AB 的值为7)2(5=-- （2）若数轴上一点C 表示有理数m ，则AC 的值是_2+m（3）当52-++n n 的值取最小值时，则n 的点所在的位置为_线段AB(包括端点)_（4）若点B A 、分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度同时向数轴负方向运动，求经过多少秒后，点A 到表示1-的点的距离是点B 到表示1-的距离的2倍.因为点B A 、分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度同时向数轴负方向运动所以A 点坐标)22(t --，B 点坐标)35(t -，又因为点A 到表示1-的点的距离是点B 到表示1-的距离的2倍.则)1(352)1(22---=----t t ，即t t -=--2621，解得=t 811或413秒问题1、如图：在数轴上A 点表示数a ，B 点示数b ，C 点表示数c ，b 是最小的正整数，且a ，b满足2a ++(c －7)2=0．(1) a = ，b = ，c = ．(2) 若将数轴折叠，使得A 点与C 点重合，则点B 与数 表示的点重合．(3) 点A ，B ，C 开始在数轴上运动，若点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C 分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t 秒钟过后，若点A 与点B 之间的距离表示为AB ，点A 与点C 之间的距离表示为AC ，点B 与点C 之间的距离表示为BC ．则AB = ，AC = ，BC = ．(用含t 的代数式表示)(4) 请问：3BC －2AB 的值是否随着时间t 的变化而改变? 若变化，请说明理由；若不变，请求其值．问题2、如图，射线OM 上有三点A 、B 、C ，满足OA=20cm ，AB=60cm ，BC=10cm （如图所示），(第24题图)M C B A O 点P 从点O 出发，沿OM 方向以1cm/秒的速度匀速运动，点Q 从点C 出发在线段CO 上向点O 匀速运动（点Q 运动到点O 时停止运动），两点同时出发. （1）当PA=2PB 时，点Q 运动到的位置恰好是线段AB 的三等分 点，求点Q 的运动速度； （2）若点Q 运动速度为3cm/秒，经过多长时间P 、Q 两点相距70cm ？（3）当点P 运动到线段AB 上时，分别取OP 和AB 的中点E 、F ，求EFAPOB 的值.问题3、已知：b 是最小的正整数，且a 、b 、c 满足（c -5）2+|a +b |=0，请回答问题 （1）请直接写出a 、b 、c 的值．a =________，b =________，c =________（2）a 、b 、c 所对应的点分别为A 、B 、C ，点P 为一动点，其对应的数为x ，点P 在0到2之间运动时（即0≤x ≤2时），请化简式子：|x +1|-|x -1|+2|x +5|.（3）若点A 、点C 分别以每秒1个单位和2个单位长度的速度向左运动，请问几秒时，A ，C 之间的距离为1个单位长度？（4）点A 、B 、C 开始在数轴上运动，若点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B 和点C 分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t 秒钟过后，若点B 与点C 之间的距离表示为BC ，点A 与点B 之间的距离表示为AB ．请问：BC -AB 的值是否随着时间t 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．问题4、若点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，且a，b满足｜a＋2｜＋（b－1）2＝0.（1）求线段AB的长；（2）点C在数轴上对应的数为x，且x是方程2x－1＝12x＋2的根，在数轴上是否存在点P，使P A＋PB＝PC，若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由.（3）若P是A左侧的一点，P A的中点为M，PB的中点为N，当P点在A点左侧运动时，有两个结论：①PM＋PN的值不变；②PN－PM的值不变，其中只有一个结论正确，请判断正确结论，并求出其值.问题5、已知多项式－m3n2－2中含字母的项的系数为a，多项式的次数为b，常数项为c，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数。
（1）求a、b、c的值，并在数轴上标出A、B、C。
（2）若甲、乙、丙三个动点分别从A、B、C三点同时出发沿数轴的负方向运动，它们的速度分别是12、2、14（单位长度／秒），当乙追上丙时，乙是否追上了甲？为什么？4321-2-156-3-4-5-60（3）在数轴上是否存在一点P，使P到A、B、C的距离和等于10？若存在，请直接指出点P 对应的数；若不存在，请说明理由。
找规律例题1 下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有1颗棋子，第②个图形一共有6颗棋子，第③个图形一共有16颗棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为（）···图①图②图③（第11题图）A．51 B．70 C．76 D．81例题 2 观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有的个数为（用含n的代数式表示）．例题3 如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．例如：称图中的数1，5，12，22…为五边形数，则第6个五边形数是．例题4 如图，是用火柴棒拼成的图形，则第n个图形需根火柴棒．例题5 观察规律：1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，则1+3+5+…+2013的值是．例题6 如下图，每一幅图中均含有若干个正方形，第①幅图中含有1个正方形；第②幅图中含有5个正方形；……按这样的规律下去，则第（6）幅图中含有 个正方形；例题7 将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆， 第2个图形有10个小圆， 第3个图形有16个小圆， 第4个图形有24个小圆， ……，依次规律，第6个图形有 个小圆．思考题1 下面是按一定规律且形式相似的一列数：第1个数：)211(21-+-；第2个数：]4)1(1][3)1(1)[211(3132-+-+-+-； 第3个数：]6)1(1][5)1(1][4)1(1][3)1(1)[211(415432-+-+-+-+-+-； （1）试写出第n 个数的式子：___________________________;（2）试猜想第2014个数、第2015个数的大小，并写一写你是怎么想的. 思考题2 按如下规律摆放三角形：（1） （2） （3） 则第（n ）堆图形的三角形的个数为••••••①② ③……………例题1 C第①个图形有1个棋子，第②个图形有1+5个棋子，第③个图形有1+5+10个棋子，由此可以推知：第④个图形有1+5+10+15个棋子，第⑤个图形有1+5+10+15+20个棋子，第⑥个图形有1+5+10+15+20+25个棋子．故选C．例题2 (n+1)2 找出点数的变化规律，先用具体的数字等式表示，再用含字母的式子表示．例题3解：∵5﹣1=4，12﹣5=7，22﹣12=10，∴相邻两个图形的小石子数的差值依次增加3，∴第4个五边形数是22+13=35，第5个五边形数是35+16=51．故答案为：51．例题4 解：根据图形可得出：当三角形的个数为1时，火柴棒的根数为3；当三角形的个数为2时，火柴棒的根数为5；当三角形的个数为3时，火柴棒的根数为7；当三角形的个数为4时，火柴棒的根数为9；由此可以看出：当三角形的个数为n时，火柴棒的根数为3+2（n﹣1）=2n+1．故答案为：2n+1．例题5 解：∵1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，∴1+3+5+…+2013=（212013+）2=10072=1014049．故答案为：1014049．例题6 第①幅图中含有1个正方形，第②幅图中含有5个正方形；第③幅图中含有14个正方形……，211=；22512=+；22214123=++……，则第⑥幅图中含有：22222212345691+++++=个正方形例题7 观察上图可发现所有图形中外侧都有四个小圆，这是不变的而中间小圆的个数第一个图形可表示为1⨯2，第二个图形可表示为2⨯3，第三个图形可表示为3⨯4，第四个图形可表示为4⨯5，所有第n个图形中小圆的个数可表示为4+n(n+1)故第6个图形中小圆的个数为46.教学反思。