悬臂梁固有频率的计算之令狐采学创编之欧阳家百创编
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悬臂梁固有频率的计算
欧阳家百(2021.03.07)
试求在0x =处固定、x l =处自由的等截面悬臂梁振动的固有频率(求解前五阶)。
解:法一:欧拉伯努利梁理论
悬臂梁的运动微分方程为:4242
(,)(,)
+0w x t w x t EI A x t ρ∂∂=∂∂;
悬臂梁的边界条件为:
2222(0)0(1),(0)0(2)0(3),(EI )0(4)x l x l
dw w w
w x x dx x x x ==∂∂∂======∂∂∂,;
该偏微分方程的自由振动解为(x,t)W(x)T(t)w =,将此解带入悬臂梁的运动微分方程可得到
1234(x)C cos sin cosh sinh W x C x C x C x ββββ=+++,(t)Acos t Bsin t T w w =+;
其中2
4
A EI
ρωβ=
将边界条件(1)、(2)带入上式可得13C 0C +=,24C 0C +=;进一步整理可得12(x)C (cos cosh )(sin sinh )W x x C x x ββββ=-+-;再将边界条件(3)、(4)带入可得12(cos cosh )C (sin sinh )0C l l l l ββββ-+-+=;
12(sin sinh )C (cos cosh )0C l l l l ββββ--+-+=要求12C C 和有非零解,则它们
的系数行列式必为零,即
(cos cosh )
(sin sinh )
=0(sin sinh )(cos cosh )
l l l l l l l l ββββββββ-+-+--+-+
所以得到频率方程为:cos()cosh()1n n l l ββ=-;该方程的根n l β表示振动系
统的固有频率:12
2
4
()(),1,2,...n n EI w l n Al βρ==满足上式中的各n l β(1,2,...n =)的值在书P443表8.4中给出,现罗列如下:
123451.875104 4.6940917.85475710.99554114.1372l l l l l βββββ=====,,,,;
若相对于n β的2C 值表示为2n C ,根据式中的1n C ,2n C 可以表示为
21cos cosh (
)sin sinh n n n n n n l l
C C l l
ββββ+=-+;因此
1cos cosh (x)C (cos x cosh x)(sin x sinh x),1,2,...
sin sinh n n n n n n n n n n l l
W n l l ββββββββ⎡⎤+=---=⎢⎥+⎣⎦
由此可得到悬臂梁的前五阶固有频率,分别将n=1,2,3,4,5带入可
得:111
2
22
222123444
1.875104() 4.694091()7.854757()EI EI EI Al Al Al
ωωωρρρ===,,, 112
2
224544
10.995541()14.1372()EI EI Al Al
ωωρρ==,; 法二、铁摩辛柯梁梁理论 1.悬臂梁的自由振动微分方程:
4242442224(,)(,)(1)0w x t w x t E w I w
EI A I kG kG x t x t t ρρρ∂∂∂∂+-++=∂∂∂∂∂;
边界条件:(0)(0)0w x x φ====(1),0x l
x l
w
x
x
φ
φ
==∂∂-=
=∂∂(2)
; 设方程的通解为:(,)Csin
cos n n x
w x t w t l
π=;易知边界条件(1)满足此通解,将通解带入上面的微分方程可得到频率方程为:
4
22222224442224
r ()(1)0n
n
n r n r E n w w kG l l kG l ρππαπ-+++=;其中22
I EI r A A
αρ==,;若转动惯量与剪切变形的影响均忽略,上式的频率方程简化为
22
2n n w l
απ=
;当n=1,2,3,4,5
时可分别求得固有频率为:
12345w w w w w =====
多自由度系统频率的计算方法
等效质量:连续系统悬臂梁简化为5个相等的集中质量
12345m
5
m m m m m =====
。 1.邓克莱法 邓克莱公式为:
1112225552
11
a a a m m m ω≈++
+,其中
33333
11223344558964,,,,3753751253753l l l l l a a a a a EI EI EI EI EI
=====
,
12345m
5
m m m m m =====;将其代入上式可求得系统的基频为:1
21
4
2.887()EI w Al
ρ,此基频比用伯努利欧拉梁求得的一阶固有频率1
2
214
1.875104()EI Al
ωρ=偏小,误差为17.42%,与邓克莱法的推导预期
相符。 2.瑞利法
系统的质量矩阵、刚度矩阵和柔度矩阵分别为