(完整word版)悬臂梁固有频率的计算
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悬臂梁固有频率的计算
试求在0x =处固定、x l =处自由的等截面悬臂梁振动的固有频率(求解前五阶)。
解:法一:欧拉-伯努利梁理论
悬臂梁的运动微分方程为:4242(,)(,)+0w x t w x t EI A x t ρ∂∂=∂∂;
悬臂梁的边界条件为:2222(0)0(1),(0)0(2)0(3),(EI )0(4)x l x l
dw w w
w x x dx x x x ==∂∂∂======∂∂∂,; 该偏微分方程的自由振动解为(x,t)W(x)T(t)w =,将此解带入悬臂梁的运动微分方程可得到
1234(x)C cos sin cosh sinh W x C x C x C x ββββ=+++,(t)Acos t Bsin t T w w =+;其中2
4
A EI
ρωβ=
将边界条件(1)、(2)带入上式可得13C 0C +=,24C 0C +=;进一步整理可得
12(x)C (cos cosh )(sin sinh )W x x C x x ββββ=-+-;再将边界条件(3)、(4)带入可得
12(cos cosh )C (sin sinh )0C l l l l ββββ-+-+=;12(sin sinh )C (cos cosh )0C l l l l ββββ--+-+=要
求12C C 和有非零解,则它们的系数行列式必为零,即
(cos cosh )
(sin sinh )
=0(sin sinh )(cos cosh )
l l l l l l l l ββββββββ-+-+--+-+
所以得到频率方程为:cos()cosh()1n n l l ββ=-;
该方程的根n l β表示振动系统的固有频率:12
2
4
()(),1,2,...n n EI w l n Al βρ==满足上式中的各
n l β(1,2,...n =)的值在书P443表8.4中给出,现罗列如下:123451.875104 4.6940917.85475710.99554114.1372l l l l l βββββ=====,,,,;
若相对于n β的2C 值表示为2n C ,根据式中的1n C ,2n C 可以表示为21cos cosh ()sin sinh n n n n
n n l l C C l l
ββββ+=-+;
因此1cos cosh (x)C (cos x cosh x)(sin x sinh x),1,2,...sin sinh n n n n n n n n n n l l
W n l l ββββββββ⎡⎤+=---=⎢⎥+⎣⎦由此可得
到悬臂梁的前五阶固有频率,分别将n=1,2,3,4,5带入可得:
111
2
22
222123444
1.875104() 4.694091()7.854757()EI EI EI Al Al Al
ωωωρρρ===,,, 112
22
24544
10.995541()14.1372()EI EI Al Al
ωωρρ==,;
法二、铁摩辛柯梁梁理论
1.悬臂梁的自由振动微分方程:
4242442224(,)(,)(1)0w x t w x t E w I w EI A I kG kG x t x t t ρρρ∂∂∂∂+-++=∂∂∂∂∂;
边界条件:(0)(0)0w x x φ====(1),0x l
x l
w x x φ
φ
==∂∂-==∂∂(2)
; 设方程的通解为:(,)Csin
cos n n x
w x t w t l
π=;易知边界条件(1)满足此通解,将通解带入上面的微分方程可得到频率方程为:4
22222224442224r ()(1)0n
n
n r n r E n w w kG l l kG l ρππαπ-+++=;其中22
I EI r A A
αρ==,;若转
动惯量与剪切变形的影响均忽略,上式的频率方程简化为22
2n n w l απ=
;当n=1,2,3,4,5时可分别
求得固有频率为:
12345w w w w w =====
多自由度系统频率的计算方法
等效质量:连续系统悬臂梁简化为5个相等的集中质量1
2345m
5
m m m m m =====
。 1.邓克莱法
邓克莱公式为:
111222555211
a a a m m m ω≈+++L ,其中33333
11223344558964,,,,3753751253753l l l l l a a a a a EI EI EI EI EI
=
====,12345m
5
m m m m m =====;将其代入上式可求得系统的基频为:1214
2.887()EI w Al ρ;,此基频比用伯努利-欧拉梁求得的一阶固有频率
1
2
214
1.875104()EI Al ωρ=偏小,误差为17.42%,与邓克莱法的推导预期相符。
2.瑞利法
系统的质量矩阵、刚度矩阵和柔度矩阵分别为
0000000010
000500000
m
m
M m m m ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
3
3
33
3333333
333333333333341173751503757503758144261503753757537541492718375375125250125114276488750752503753757261888375375125375l l l l l EI EI EI EI EI l l l l l EI EI EI EI EI l l l l l EI EI EI EI EI l l l l l EI EI EI EI EI l l l l EI EI EI
∆=33l EI
EI
⎡⎤⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥
⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
135177986279322212700045002258541811818627911172112447194500157505861931811813222112447156221261631422154933222442700094500261633827982500181181223118145001575014221825001811814418EI K l --------=∆=-----60291
30⎡⎤⎢⎥
⎢
⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢
⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥⎢⎥
⎢
⎥⎣⎦
取静变形曲线为假设阵型,设(40141279436600)T
A =有
32
31122000EI 28401503l m 649418m,,75EI
T
T
T A MA A KA A M MA l ==∆=
所以448.648.57(A)=,(A)T T T T A KA EI A MA EI
R R A MA l A M MA l ρρI II
===∆,
此基频比用伯努利-欧拉梁求得的一阶固有频率1
2
214
1.875104()EI Al ωρ=偏大,误差为15.23%,与瑞利法的推导预期相符。
3.里茨法
系统的质量矩阵和刚度矩阵由上面给出,设阵型为12(1
2345)(13579)T T ψψ==,;