(完整word版)悬臂梁固有频率的计算

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悬臂梁固有频率的计算

试求在0x =处固定、x l =处自由的等截面悬臂梁振动的固有频率(求解前五阶)。

解:法一:欧拉-伯努利梁理论

悬臂梁的运动微分方程为:4242(,)(,)+0w x t w x t EI A x t ρ∂∂=∂∂;

悬臂梁的边界条件为:2222(0)0(1),(0)0(2)0(3),(EI )0(4)x l x l

dw w w

w x x dx x x x ==∂∂∂======∂∂∂,; 该偏微分方程的自由振动解为(x,t)W(x)T(t)w =,将此解带入悬臂梁的运动微分方程可得到

1234(x)C cos sin cosh sinh W x C x C x C x ββββ=+++,(t)Acos t Bsin t T w w =+;其中2

4

A EI

ρωβ=

将边界条件(1)、(2)带入上式可得13C 0C +=,24C 0C +=;进一步整理可得

12(x)C (cos cosh )(sin sinh )W x x C x x ββββ=-+-;再将边界条件(3)、(4)带入可得

12(cos cosh )C (sin sinh )0C l l l l ββββ-+-+=;12(sin sinh )C (cos cosh )0C l l l l ββββ--+-+=要

求12C C 和有非零解,则它们的系数行列式必为零,即

(cos cosh )

(sin sinh )

=0(sin sinh )(cos cosh )

l l l l l l l l ββββββββ-+-+--+-+

所以得到频率方程为:cos()cosh()1n n l l ββ=-;

该方程的根n l β表示振动系统的固有频率:12

2

4

()(),1,2,...n n EI w l n Al βρ==满足上式中的各

n l β(1,2,...n =)的值在书P443表8.4中给出,现罗列如下:123451.875104 4.6940917.85475710.99554114.1372l l l l l βββββ=====,,,,;

若相对于n β的2C 值表示为2n C ,根据式中的1n C ,2n C 可以表示为21cos cosh ()sin sinh n n n n

n n l l C C l l

ββββ+=-+;

因此1cos cosh (x)C (cos x cosh x)(sin x sinh x),1,2,...sin sinh n n n n n n n n n n l l

W n l l ββββββββ⎡⎤+=---=⎢⎥+⎣⎦由此可得

到悬臂梁的前五阶固有频率,分别将n=1,2,3,4,5带入可得:

111

2

22

222123444

1.875104() 4.694091()7.854757()EI EI EI Al Al Al

ωωωρρρ===,,, 112

22

24544

10.995541()14.1372()EI EI Al Al

ωωρρ==,;

法二、铁摩辛柯梁梁理论

1.悬臂梁的自由振动微分方程:

4242442224(,)(,)(1)0w x t w x t E w I w EI A I kG kG x t x t t ρρρ∂∂∂∂+-++=∂∂∂∂∂;

边界条件:(0)(0)0w x x φ====(1),0x l

x l

w x x φ

φ

==∂∂-==∂∂(2)

; 设方程的通解为:(,)Csin

cos n n x

w x t w t l

π=;易知边界条件(1)满足此通解,将通解带入上面的微分方程可得到频率方程为:4

22222224442224r ()(1)0n

n

n r n r E n w w kG l l kG l ρππαπ-+++=;其中22

I EI r A A

αρ==,;若转

动惯量与剪切变形的影响均忽略,上式的频率方程简化为22

2n n w l απ=

;当n=1,2,3,4,5时可分别

求得固有频率为:

12345w w w w w =====

多自由度系统频率的计算方法

等效质量:连续系统悬臂梁简化为5个相等的集中质量1

2345m

5

m m m m m =====

。 1.邓克莱法

邓克莱公式为:

111222555211

a a a m m m ω≈+++L ,其中33333

11223344558964,,,,3753751253753l l l l l a a a a a EI EI EI EI EI

=

====,12345m

5

m m m m m =====;将其代入上式可求得系统的基频为:1214

2.887()EI w Al ρ;,此基频比用伯努利-欧拉梁求得的一阶固有频率

1

2

214

1.875104()EI Al ωρ=偏小,误差为17.42%,与邓克莱法的推导预期相符。

2.瑞利法

系统的质量矩阵、刚度矩阵和柔度矩阵分别为

0000000010

000500000

m

m

M m m m ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

3

3

33

3333333

333333333333341173751503757503758144261503753757537541492718375375125250125114276488750752503753757261888375375125375l l l l l EI EI EI EI EI l l l l l EI EI EI EI EI l l l l l EI EI EI EI EI l l l l l EI EI EI EI EI l l l l EI EI EI

∆=33l EI

EI

⎡⎤⎢⎥⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣

135177986279322212700045002258541811818627911172112447194500157505861931811813222112447156221261631422154933222442700094500261633827982500181181223118145001575014221825001811814418EI K l --------=∆=-----60291

30⎡⎤⎢⎥

⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎥⎢⎥⎢⎥

⎥⎣⎦

取静变形曲线为假设阵型,设(40141279436600)T

A =有

32

31122000EI 28401503l m 649418m,,75EI

T

T

T A MA A KA A M MA l ==∆=

所以448.648.57(A)=,(A)T T T T A KA EI A MA EI

R R A MA l A M MA l ρρI II

===∆,

此基频比用伯努利-欧拉梁求得的一阶固有频率1

2

214

1.875104()EI Al ωρ=偏大,误差为15.23%,与瑞利法的推导预期相符。

3.里茨法

系统的质量矩阵和刚度矩阵由上面给出,设阵型为12(1

2345)(13579)T T ψψ==,;

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