椭圆中的定点与定值问题

椭圆中的定点与定值问题

江苏省苏州第十中学 朱嘉隽

【教学目标】

1. 在解决椭圆定值定点问题的过程中，体验以动态的观点研究解析几何问题的思维方式；

2. 综合、灵活地使用对称、共线以及变量之间的关系，掌握等价转化、数形结合等思想方法.

【基础训练】

1. 已知椭圆

22

1164

x y +=的左顶点为A ，过A 作两条互相垂直的弦AM 、AN 交椭圆于M 、N 两点，直线MN 过x 轴上的一定点，该定点为___________．

【解析】通过特殊位置判断，不妨设直线AM 的斜率为1，直线AN 的斜率为-1，联立椭圆与直线

方程解之，即22

21125324804

1645=+4

x y x x x x y x ⎧+=⎪⇒++=⇒=-=-⎨⎪⎩

或（舍去），由此时点M 、N 的对称性可知，直线MN 过x 轴上的定点12

(,0)5

T -

． 【反思】填空题中涉及定点定值问题的，往往采用特殊位置带入求解，猜测得到答案，在解答题中也经常采用先猜后证的方法，但要注重严格的计算证明．

2. 椭圆22

:182

x y C +=上一点(2,1)A ，若,M N 是椭圆上关于原点对称的两个点，当直线AM 、AN 的斜率都存在时，AM AN k k ⋅=_____________.

【解析】设点求解，抓住点在椭圆上，构建关系，设00(,)M x y 、00(,)N x y --，则001

2

AM y k x -=

-，0012AN

y k x --=--，20002000

111224AM AN y y y k k x x x ----∴⋅=⋅=----，又22

002(1)8x y =-，14AM AN k k ∴⋅=-. 【反思】有关重要结论可识记，若,M N 是椭圆22

221x y a b

+=上关于原点对称的两个点，点A 是椭圆

上一定点，则2

2AM AN b k k a

⋅=-．

3. 设椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右顶点分别为,A B ，点P 在椭圆上且异于,A B 两点，O

为坐标原点，若直线AP 与BP 的斜率之积为12

-，则椭圆的离心率为__________.

【解析】设(,0)A a -、(,0)B a ，再设椭圆上异于,A B 两点的任一点00(,)P x y ，则有

22

2

002(1)x y b a =-，由题意，22000222000AP BP y y y b k k x a x a x a a

⋅=⋅==-+--，22

1

2b a ∴-=-

，e ∴=【反思】利用第2小题的结论即可得到答案，这其实是对椭圆的另一种定义形式，即“一个动点到两个定点的连线斜率乘积为定值，且该定值在(1,0)-内”．

4. 已知椭圆22:143x y C +=上有一点3

(1,)2

P ，点,M N 是椭圆C 上的两个动点，当直线PM 的斜率与直线PN 的斜率互为相反数时，直线MN 的斜率为__________.

【解析】结合前几题的思考过程，本题亦可采用特殊位置猜测得到结论，不妨取点M 为点P 关于原点的对称点，即3

(1,)2M --

，则由直线PM 的斜率与直线PN 的斜率互为相反数可知，3

2

PM k =

，则32PN k =-，故(2,0)N ，恰为椭圆的右顶点，此时12

MN k =.

【反思】若要对本题严格论证，则需要联立直线方程和椭圆方程，分别求解,M N 的点坐标，但仍可从先猜后证的角度入手，适当简化

【例题讲解】

例1 已知椭圆22

:184

x y C +=，设M 是椭圆C 上异于长轴端点的任意一点，试问在x 轴上是否存在两个定点,A B ，使得直线,MA MB 的斜率之积为定值？

【解析】寻找题目中的变量与不变量，分辨清晰，避免因为变量过多造成思路混乱，假设在x 轴上存在满足题意的两个定点,A B ，且设为1(,0)A x 、2(,0)B x ，

再设椭圆上异于长轴端点的任一点00(,)M x y ，则2

2

0004(1)(22)8

x y x =-≠±，

由题意，00

1020

MA MB y y k k x x x x λ--⋅=

⋅=--（定值）

， 即2200102012()y x x x x x x x λ=--+，

即2

200120124()2

x x x x x x x λλλ-=-++，整理得，

20120121

()()402x x x x x x λλλ+-++-=，因00(,)M x y 是椭圆上任一点，

121112

221110222()022********x x x x x x x x λλλλλ⎧⎧⎧=-=-+=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

∴-+=⇒==-⎨⎨⎨⎪⎪⎪

-==-=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎩⎩

或 故在x 轴上存在两个定点(22,0)A 、(22,0)B -，使得1

2

MA MB k k ⋅=-

. 【反思】通过解后反思，可以发现此时的(22,0)A 、(22,0)B -就是椭圆的左右顶点，故对基础训练中的结论又从另一个角度加以了论证和解释，在本题中主要渗透待定系数的方法，要学会在定点定值问题中加以灵活运用.

由本题的设问，可以引申到如果在直线y x =上找两个定点，是否也可以使得直线,MA MB 的斜率之积为定值？诸如此类的推广和探索，可作为学生的课后思考.

例2 如图2，设点P 是椭圆2

2:14

x E y +=上的任意一点，且异于左右顶点,A B ，直线,PA PB 分别交直线10

:3

l x =

于点,M N ． （1）求证：PN BM ⊥；

（2）若连结MB 并延长交椭圆E 与点Q ，试证：

PQ 过x 轴上的一个定点.