线性代数3.4 线性方程组解的结构

a21x1 a22 x2 L LLLLL
a2n xn LLL
0
am1x1 am2 x2 L 非a齐m次n线xn性方 0
程组 Ax
的导出组
Ax
其中 A 1,2,L
,n ， j
a1 j M
(1
～
am j
增广矩阵记为 A 1,2,L ,n .
Ax 0
b1
j
n) ，
0 1 0
1 5
3
10
0
即
x1
2 x2
1 5
x4
x3
3 10
x4
x2 , x4 是自由未知量.
线性代数----金审学院
第3章 向量空间与§线3.5性线方性方程程组组解解的的结结构构 25
x1
2 x2
1 5
x4
x3
3 10
x4
x2 , x4 是自由未知量.
2
令
x2
x4
二、齐次线性方程组解的结构
解的性质
Ax 0 （4-2）
(1) 若1 ,2 是(4-2)的解，则 1 2 也是它的解. (2) 若 是(4-2)的解，则 c 也是它的解.(c为常数)
(3) 若1,2 ,L ,s是(4-2)的解，则其线性组合
c11 c22 L css
也是它的解.( c1, c2 ,L , cs是任意常数 )
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 1
目录/Contents
3.1 向量组及其线性组合 3.2 向量组的线性相关性 3.3 向量组的秩与矩阵的秩 3.4 线性方程组解的结构
目录/Contents
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 2
3.4 线性方程组解的结构
一、线性方程组有解的判定定理 二、齐次线性方程组解的结构 三、非齐次线性方程组解的结构
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 3
一、线性方程组有解的判定定理
n 元非齐次线性方程组
n 元齐次线性方程组
a11x1 a12 x2 L a1n xn b1
a21x1 a22 x2 L LLLLL
L
a2n xn LL
b2
am1x1 am2 x2 L amn xn bm
a11x1 a12 x2 L a1n xn 0
例2 讨论齐次线性方程组的解.
x1
3
x1 x1
x2 5x3 x4 0 x2 2x3 3x4 0 x2 8x3 x4 0
x1 3x2 9x3 7 x4 0
解 对系数矩阵施以如下初等行变换
1 1 5 1 1 1 5 1
1
1 2
3 1 8
3 1
0 0
即
x1
3 2
x3
x4
x2
7 2 x3 2x4
其中 x3, x4 为自由未知量.
取x3=c1, x4=c2, c1 、 c2为任意常数
方程组的全部解为：
xx1x2x21 xx3xx4 34
72327232cc11cc11 2c2c2c2c22
c1
c1
c2 c2
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 14
k2n xn L
xr krr1xr1 krr2 xr2 L krn xn
其中 xr1, xr2 ,L , xn 为 n–r 个自由未知量.
对 n–r 个自由未知量分别取
xr1
xr 2
M
1
0
,
M
xn
0
0
0
1
,
L
,
0
M
M
0
1
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 19
定理的证明过程给我们指出了求齐次线性方程组 基础解系步骤.
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 23
求齐次线性方程组基础解系的步骤 1. 将方程组的系数矩阵经初等行变换化为行最简形T; 2. 根据T写出方程组的一般解; 3. 在一般解中，每次让一个自由未知量取值1，其余 自由未知量取值为0，求方程组的一个解，依次得到的 n– r个解构成了一个基础解系.
解 对系数矩阵 A作初等行变换，有
解
无穷多个解的集合 （解向量组）
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 10
n维向量 n维向量组
可由解向量组的 极大无关组线性 表示
可由极大无关 组线性表示
定义
如果 1,2,L ,s 是齐次线性方程组(4-2)
的解向量组的一个极大无关组，则称 1,2,L ,s
是线性方程组(4-2)的一个基础解系.
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 11
R
～
A
n 时，
～
R 的首元的个数等于未知量的个数，
从而线性方程组 Ax 有唯一解；
当
R
A
R
～
A
r
n
时，
首元的个数小于未知量的个数，
线性方程组 Ax 有无穷多解.
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 6
定定理理11
(1)
线性方程组 Ax
无解的充分必要条件是
R
A
R
～
A
；
(2)
线性方程组 Ax
dr1 dr1
krndn
d
r
2
dr2
M
dn
dn
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 21
k1r1
k2r
1
k1r2
k2r
2
L L
d
r
1
krr 1 1
dr2
krr 2 0
L
0 1
M 0
M 0
k1n
k2
n
L
dn
krn 0
0
M 1
1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1
A, B
1,2 ,3 1, 2 , 3
0
1
21
1
0
:
0
1
21
1
0
1 2 5 0 1 1 0 0 4 0 0 2
可知 R A R A, B 3，
另外单独计算矩阵 的秩得 RB 3 ， 所以这两个向量组等价.
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 9
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 24
例3 用基础解系表示如下线性方程组的全部解
x1 2 x1
2 x2 4 x2
4 x3 8 x3
x4 2 x4
0 0
3x1 6x2 2x3
0
解
1
A
2 3
2 4 6
4 8 2
1 1
2 0
0 0
24 0 10 00
1
3 0
1
0
0
2 0 0
得到方程组 (4-2) 的 n–r个解.
k1r1
k2r
1
k1r2
k2
r
2
M
M
1
krr 1 1
,
2
krr 2 0
,
0
1
M 0
M 0
k1n
k2
n
M
L,
nr
krn 0
0
M 1
待解决问题： 解向量1,2 ,L ,nr 线性无关？显然
所有解均可由 1,2 ,L ,nr 线性表示?
2 2
7 7
4 4
1
3 9
7
0
4 14
8
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 12
1 1 5 1
0
2 7
4
0 0 0 0
0
0
0
0
1
0
0 0
0
2 0 0
3 2 7 0 0
1
4 0 0
1
0
31 2
0
1
7 2
Hale Waihona Puke Baidu
2
0
0
00
0 0 0 0
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 13
M ， x
bm
x1
x2
.
M
xn
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 4
定理 1
证明
(1)
线性方程组 Ax
无解的充分必要条件是
R
A
R
～
A
；
(2)
线性方程组 Ax
有解的充分必要条件是
R
A
R
～
A
，
且当
R
A
R
～
A
n
时有唯一解，
当
R
A
R
~
A
r
n
时有无穷多解.
对增广矩阵
的秩 r(A)=r<n, 则方程组的基础解系存在，且每个
基础解系中，恰含 n-r 个解.
分析：① 找到方程组的所有解，即解向量组 消元解法解方程组
系数矩阵 初等行变换 行最简形
② 在解向量组中找到极大无关组
找出若干个线性无关的解向量 1 ,2 ,L ,s 证明所有解均可由 1 ,2 ,L ,s线性表示.
0 0 L 0 0 L L 0
L L L L L L L L
0 0 L 0 0 L L 0
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 18
则方程组(4-2) 与下面的方程组同解
x1 k1r1xr1 k1r2 xr2 L k1n xn
x2
k2r1xr1 LLL
k2r2 xr2 LL
L L
有解的充分必要条件是
R
A
R
～
A
，
且当
R
A
R
～
A
n
时有唯一解，
当
R
A
R
~
A
r
n
时有无穷多解.
定理 2
(1) 线性方程组 Ax 0只有零解的充分必要条件是 R A n ； (2) 线性方程组 Ax 0有非零解的充分必要条件是 R A r n .
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 7
～
A
实施初等行变换，化为行最简形矩阵
～
R
，
～
为叙述方便，不妨设 R 为：
1 0 L
0
1
L
M M
～
R
0
0
L
0 0 L
0
0
L
M M
0 0 L
0 a1,r1 L 0 a2,r1 L MM 1 ar,r1 L 0 0L 0 0L MM 0 0L
a1n d1
a2 n
d2
M M
arn
dr
，
0
d
r
1
方程组的所有解为：
x1 x2 x3 x4
3 2 7 2
c1 c2
c1 2c2 c1 c2
c1
3 2 7 2
c2
1 2 0
1
0
1
c11 c22
1,2 就是方程组的一个基础解系.
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 16
定理
如果齐次线性方程组（4-2）的系数矩阵A
0 0
x1 2 x2 4 x3 0
解
1 2 3 1 2 3
A
3
6
10
0
1
1
2 5 7 0 0 1
1
2
4
0
0
0
r A 3 =未知量个数，所以只有零解.
基础解系不存在！
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 27
练 习 求下面齐次线性方程组的基础解系与全部解.
x1 x2 x3 x4 0, 2 x1 5 x2 3 x3 2 x4 0, 7 x1 7 x2 3 x3 x4 0
dr 1 1 dr22 L dnnr 即方程组的任意一个解都可以用1,2,L ,nr线性表示.
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 22
所以 1,2 ,L ,nr 是方程组 (4-2) 的一个基础解系
因此，方程组(4-2)的全部解为
c11 c22 L cnr nr
其中 c1, c2 ,L , cnr 为任意常数.
0 0
M M
0 0
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 5
线性方程组
Ax
无解的充分必要条件是
～
R
的首元出现在
～
R
的最后一列，
即 dr1 0 ，
此时
R
A
r
，而
R
～
A
r
1
.
线性方程组
Ax
有解的充分必要条件是
～
R
的首元不出现在
～
R
的最后一列，
即 dr1 0 ，
此时
R
A
R
～
A
.
且当 R A
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 17
证明：因为 r(A)=r<n, 所以对方程组 (2) 的系数矩阵 A 施以初等行变换，可化为如下的形式：
1 0 L 0 k1r1 k1r2 L k1n
0
1L
0 k2r1 k2r2 L k2n
L L L L L L L L
0 0 L 1 krr1 krr2 L krn
要证明向量组 A :1,2,3 和向量组 B : 1, 2, 3 等价，
只需证明矩阵方程 AX B 与 BY A均有解， 也就是要证明 R A R A, B 且 RB RB, A . 而 R A,B RB, A ，
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 8
于是需要证明 R A RB R A, B 即可.
定理 3 矩阵方程 AX B 有解的充分必要条件是 R A R A, B .
例1
已知向量组
1 1 1
A :1
0
,
2
1
,3
2
1
2
5
1 0 1
B
:
1
1
,
2
1
,
3
0
0
1
1
证明：向量组A和向量组B等价.
令矩阵 1,2,3 ， . 1, 2, 3
1 0
得 1
1 0 0
1
则方程组的全部解为：
x c11 c22
令
x2 x4
0
1
得
2
5
0
3
10 1
( c1 , c2 为任意常数)
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 26
例4 x1 2 x2 3 x3 0
3 2
x1 x1
6 x2 5 x2
10 x3 7 x3
x1 x2 x3 x4
3 2 7 2
c1
c1 c1 c2
c2 2c2
让自由未知量
得方程组的两个线性无关的解为：
1
x3 x4
取值
1 0
3 2
7 2
,
2
1
0
,
0
1
1
2
0
1
,
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 15
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 20
设方程组 (4-2) 的任意一个解为
d1 d2 dr dr1 dn T
则
d1 k1r1dr1 k1r2dr2 L k1ndn d2 k2r1dr1 k2r2dr2 L k2ndn
LLLLLLL
dr
krr1dr1 krr2dr2 L