第七讲非线性拟合
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例1.对以下数据作出散点图，然后用多项式拟合： (0.5,1.75),(1,2.75),(1.5,3.81),(2,4.8),(2.5,7),(3,8.6) 解：x = [0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0];
y = [1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]; plot(
其中 ? y ?
1 n
n
yi
i?1
R2越趋近于 1表明拟合效果越好 .
在Matlab 中实现可决系数的命令：
R2=1-sum((y-y1).^2)/sum((y-mean(y)).^2)
如果是多项式函数，则称为多项式回归，此时 的参数即多项式的系数；如果为指数函数、对数函 数、幂函数或三角函数等，则称为非线性拟合 .下面 的图形给出了常见曲线与方程的对应关系：
plot(x,y, '*' )
发现：有点像抛物线，故选 二次函数拟合 .
p=polyfit(x,y,2)
p = 0.1660 -13.3866 271.6231
(图6.2)
y ? 0.166x 2 - 13.3866x ? 271.6231 即为所求拟合曲线
误差平方和： R=sum((polyval(p,x)-y).^2)= 0.2523
第六讲 曲线拟合
在生产和科学实验中，自变量 x与因变量 y之间的函 数关系式有时不能直接写出表达式，而只能得到函数在 若干个点的函数值或导数值 . 当要求知道观测点之外的 函数值时，需要估计函数在该点的数值 . 这就要根据观 测点的值，构造一个比较简单的函数 y=φ(x)，使函数在 观测点的值等于已知的数值或导数值，寻找这样的函数 φ(x)，办法是很多的 . 根据测量数据的类型有如下两种处理观测数据的方法： ① 测量值是准确的，没有误差，一般用插值 . ② 测量值与真实值有误差，一般用曲线拟合 .
min
n
?
|
f (xi
)
?
yi
|2
i?1
通常，在解决实际问题时先将已知数据的散点图
画出，然后设计拟合的曲线类型，最后根据某种准则
选定最佳的曲线 .
1.多项式拟合
多项式拟合就是选择适当的多项式对数据集进行拟合， 其命令为：格式： p=polyfit(X, Y,n).
来自百度文库
说明：求出已知数据 (X,Y)的n阶拟合多项式 f(x)按 降幂排列的系数 p，X必须是单调的 .
2.非线性拟合
设有实验数据
( xi , yi ), (i
?
1,2,?
,n), 寻找函数
?
f (x, y)
使得函数在点 xi ,(i ? 1,2,? , n) 处的函数值与观测数据偏差
的平方和达到最小
.即求满足如下条件的函数f (
x,
?
y
)
使得
n
?
? ( f (xi , y) ? yi )2
i?1
最小
p = 0.5614 0.8287 1.1560 即拟合函数为：y ? 0.5614x 2 ? 0.8287x ? 1.156 此时误差平方和为：
sum((polyval(p,x)-y).^2) =0.1781
根据误差平方和最小原则：二次函数优于线性函数
是否有误差等于零的多项式？有，那就是该数据点 的插值多项式（五次多项式）
p = -1.6000 13.7400 -44.0733 65.6650 -42.6317 11.3500
y ? -1.6x 5 ? 13.74x 4 - 44.0733x 3 ? 65.665x 2 - 42.6317x ? 11.35
此时多项式在 x处的函数值为： polyval(p,x) ans =1.7500 2.4500 3.8100 4.8000 7.0000 8.6000
x 37 37.5 38 38.5 39 39.5 40 40.5 41 41.5 42 42.5 43 y 3.4 3 3 2.27 2.1 1.83 1.53 1.7 1.8 1.9 2.35 2.54 2.9
解：首先作出散点图 : x=37:0.5:43; y=[3.4,3,3,2.27,2.1,1.83,1.53,1.7,1.8,1.9,2.35,2.54,2.9];
幂函数
y ? axb
指数函数 y ? aebx
双曲线函数
y? x ax ? b
对数函数 y ? a ? b ln x
b
指数函数 y ? ae x
S形曲线
y
?
1 a ? be ? x
具有S形曲线的常见方程有：
罗杰斯蒂（ logistic ）模型：
一. 曲线拟合
已知离散点上的数据集 [( x1 , y1 ),(x2 , y 2 ),? ,(xn , y n )]
求得一解析函数 y=f(x)，使f(x)在原离散点 xi上尽可能接
近给定yi的值，这一过程叫曲线拟合 . 最常用的曲线拟合
是最小二乘法曲线拟合，拟合结果可使误差的平方和最
小，即找出使下式最小的 f(x) :
解决此类问题有以下几个步骤：（ 1）首先作出散点 图，确定函数的类别；（ 2）根据已知数据确定待定 参数的初始值，利用 Matlab 软件计算最佳参数；（ 3） 根据可决系数，比较拟合效果。
可决系数的计算公式为
n
? ( yi ? y?i )2
R2 ? 1?
i? 1 n
? (yi ? y)2
i? 1
通常，给出两点的坐标，我们可以得到一条直线； 若给出三点的坐标，我们可以得到一条抛物线； …，给 出n个点的坐标，我们可以得到一个 n-1阶的多项式 .
是否多项式的阶数越高越好呢？非也！在解决实际问 题时，只要达到所需的精度，应尽量选择简单的函数 .
例2. 某种合金中的主要成分为 A,B两种金属，经过试 验发现：这两种金属成分之和 x与合金的膨胀系数 y有 如下关系，建立描述这种关系的数学表达式 .
发现：这些点大致地位于某条直 线附近，故可考虑线性拟合：
p=polyfit(x,y,1) ans: p =2.7937 -0.1540 即拟合函数为： y=2.7937x-0.154
(图6.1)
上述函数的拟合效果如何？我们可以通过计算误差 平方和的大小进行考察（两种方法）：
(1)sum((2.7937*x-0.154-y).^2)=0.9136 (2)sum((polyval(p,x)-y).^2) )=0.9136 如果用二次函数进行拟合，则有： p=polyfit(x,y,2)
y = [1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]; plot(
其中 ? y ?
1 n
n
yi
i?1
R2越趋近于 1表明拟合效果越好 .
在Matlab 中实现可决系数的命令：
R2=1-sum((y-y1).^2)/sum((y-mean(y)).^2)
如果是多项式函数，则称为多项式回归，此时 的参数即多项式的系数；如果为指数函数、对数函 数、幂函数或三角函数等，则称为非线性拟合 .下面 的图形给出了常见曲线与方程的对应关系：
plot(x,y, '*' )
发现：有点像抛物线，故选 二次函数拟合 .
p=polyfit(x,y,2)
p = 0.1660 -13.3866 271.6231
(图6.2)
y ? 0.166x 2 - 13.3866x ? 271.6231 即为所求拟合曲线
误差平方和： R=sum((polyval(p,x)-y).^2)= 0.2523
第六讲 曲线拟合
在生产和科学实验中，自变量 x与因变量 y之间的函 数关系式有时不能直接写出表达式，而只能得到函数在 若干个点的函数值或导数值 . 当要求知道观测点之外的 函数值时，需要估计函数在该点的数值 . 这就要根据观 测点的值，构造一个比较简单的函数 y=φ(x)，使函数在 观测点的值等于已知的数值或导数值，寻找这样的函数 φ(x)，办法是很多的 . 根据测量数据的类型有如下两种处理观测数据的方法： ① 测量值是准确的，没有误差，一般用插值 . ② 测量值与真实值有误差，一般用曲线拟合 .
min
n
?
|
f (xi
)
?
yi
|2
i?1
通常，在解决实际问题时先将已知数据的散点图
画出，然后设计拟合的曲线类型，最后根据某种准则
选定最佳的曲线 .
1.多项式拟合
多项式拟合就是选择适当的多项式对数据集进行拟合， 其命令为：格式： p=polyfit(X, Y,n).
来自百度文库
说明：求出已知数据 (X,Y)的n阶拟合多项式 f(x)按 降幂排列的系数 p，X必须是单调的 .
2.非线性拟合
设有实验数据
( xi , yi ), (i
?
1,2,?
,n), 寻找函数
?
f (x, y)
使得函数在点 xi ,(i ? 1,2,? , n) 处的函数值与观测数据偏差
的平方和达到最小
.即求满足如下条件的函数f (
x,
?
y
)
使得
n
?
? ( f (xi , y) ? yi )2
i?1
最小
p = 0.5614 0.8287 1.1560 即拟合函数为：y ? 0.5614x 2 ? 0.8287x ? 1.156 此时误差平方和为：
sum((polyval(p,x)-y).^2) =0.1781
根据误差平方和最小原则：二次函数优于线性函数
是否有误差等于零的多项式？有，那就是该数据点 的插值多项式（五次多项式）
p = -1.6000 13.7400 -44.0733 65.6650 -42.6317 11.3500
y ? -1.6x 5 ? 13.74x 4 - 44.0733x 3 ? 65.665x 2 - 42.6317x ? 11.35
此时多项式在 x处的函数值为： polyval(p,x) ans =1.7500 2.4500 3.8100 4.8000 7.0000 8.6000
x 37 37.5 38 38.5 39 39.5 40 40.5 41 41.5 42 42.5 43 y 3.4 3 3 2.27 2.1 1.83 1.53 1.7 1.8 1.9 2.35 2.54 2.9
解：首先作出散点图 : x=37:0.5:43; y=[3.4,3,3,2.27,2.1,1.83,1.53,1.7,1.8,1.9,2.35,2.54,2.9];
幂函数
y ? axb
指数函数 y ? aebx
双曲线函数
y? x ax ? b
对数函数 y ? a ? b ln x
b
指数函数 y ? ae x
S形曲线
y
?
1 a ? be ? x
具有S形曲线的常见方程有：
罗杰斯蒂（ logistic ）模型：
一. 曲线拟合
已知离散点上的数据集 [( x1 , y1 ),(x2 , y 2 ),? ,(xn , y n )]
求得一解析函数 y=f(x)，使f(x)在原离散点 xi上尽可能接
近给定yi的值，这一过程叫曲线拟合 . 最常用的曲线拟合
是最小二乘法曲线拟合，拟合结果可使误差的平方和最
小，即找出使下式最小的 f(x) :
解决此类问题有以下几个步骤：（ 1）首先作出散点 图，确定函数的类别；（ 2）根据已知数据确定待定 参数的初始值，利用 Matlab 软件计算最佳参数；（ 3） 根据可决系数，比较拟合效果。
可决系数的计算公式为
n
? ( yi ? y?i )2
R2 ? 1?
i? 1 n
? (yi ? y)2
i? 1
通常，给出两点的坐标，我们可以得到一条直线； 若给出三点的坐标，我们可以得到一条抛物线； …，给 出n个点的坐标，我们可以得到一个 n-1阶的多项式 .
是否多项式的阶数越高越好呢？非也！在解决实际问 题时，只要达到所需的精度，应尽量选择简单的函数 .
例2. 某种合金中的主要成分为 A,B两种金属，经过试 验发现：这两种金属成分之和 x与合金的膨胀系数 y有 如下关系，建立描述这种关系的数学表达式 .
发现：这些点大致地位于某条直 线附近，故可考虑线性拟合：
p=polyfit(x,y,1) ans: p =2.7937 -0.1540 即拟合函数为： y=2.7937x-0.154
(图6.1)
上述函数的拟合效果如何？我们可以通过计算误差 平方和的大小进行考察（两种方法）：
(1)sum((2.7937*x-0.154-y).^2)=0.9136 (2)sum((polyval(p,x)-y).^2) )=0.9136 如果用二次函数进行拟合，则有： p=polyfit(x,y,2)