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精品课件
旋转变换
cos sin T=sin cos
精品课件
平移变换的矩阵表示
平移变换怎么进行矩阵表示
x' = x + tx x' = ax + cy y' = y + t y y'= bx + dy
精品课件
齐次坐标矩阵变换
x'= x + tx
y'= y + ty
a b
T
=
c
d
l m
x'= x y'= y
x'= x y'= y
精品课件
对称变换的解析表示
精品课件
错切变换的解析表示
x = x+by y = y
精品课件
几何变换的矩阵表示形式
平面上的点可由一行矩阵表示：x y
由多个点组成的复杂图形可由n*2矩阵表示
图形变换可用矩阵运算来实现， x 1 y 1
需要二维图形变换矩阵
x x' = x + dx
(x,
(dx, dy)
y' = y + dy
y)
精品课件
平移变换的解析表示
dy dx
直线、多边形的平移变换通过端点的平移变换来实现
精品课件
比例变换的解析表示
一个图形中的坐标点(x,y)，若在x轴方向有一个比例系数sx,在y轴方 向有一个比例系数sy，则新坐标点为
x ' = xs x
二维图形几何变换
精品课件
二维图形几何变换
在不改变图形连线次序的情况下，对一个平面点集进行的线性变 换。
几何变换目的： 1 图形位置的改变 2 图形的变形 变换形式： 1 平移变换 2 旋转变换 3 比例变换 4 对称变换 5 错切变换
精品课件
平移变换的解析表示
(x’, y’)
精品课件
齐次坐标矩阵变换
变换矩阵：
T
=
a
c
b d
p
q
l m s
a b
T
=
c
d
能实现图形的比例、对称、错切以及旋转等基本变换
l m 可以实现图形平移变换
p q 可以实现图形透视、投影变换
s
可以实现图形全比例变换
精品课件
恒等变换 比例变换
1 0 0
T
=
0பைடு நூலகம்
1
0
0 0 1
a 0 0
T
=
0
d
0
0 0 1
图形变换前后无 变化
a为x向的比例因 子 d为y向的比例因 子
精品课件
对称变换
1 0 0
T
=
0
1
0
0 0 1
X轴对称
1 0 0
T
=
0
1
0
0 0 1
Y轴对称
0 1 0
T
=
1
0
0
0 0 1
－45°线对称
0 1 0
T
=
1
0
0
0 0 1
1 0 0
T
=
0
1 0
0 0 1
精品课件
45°线对称 坐标原点对称
错切变换
旋转变换 平移变换
1 0 0
T
=
c
1
0
0 0 1
1 b 0
T
=
0
1
0
0 0 1
cos sin 0
T = sin cos 0
0
0 1
1
T
=
0
l
0 0
1
0
m 1
精品课件
沿x向错切
沿y向错切
θ是旋转角，逆 时针为正，顺时 针为负 l是x向的平移量， m是y向的平移量
精品课件
对称变换的矩阵表示
图形关于x轴对称时： x ' = x A=1,b=0,c=0,d=-1 y ' = y
1 0
图形对x轴对称时候，变换矩阵为：
0
1
若对称轴为过原点的45°线，则变换矩阵？
精品课件
错切变换
沿y轴方向的错切变换时，变换矩阵：
1 k
0
1
x'= x y = kx+ y
x' = ax + cy x'=ax+cy+l y' = bx + dy y'=bx+dy+m
a b
x y 1c d=ax+cy+l bx+dy+m
l m
精品课件
齐次坐标矩阵变换
将〔x y〕扩充为〔x y 1〕，实际上是 由二维向量变为三维向量，但是看作z=1 平面上的点。用n+1维向量表示n维向量 的方法，称为齐次坐标法。
y
(x’,
y ' = ys y
y’)
(x,
y)
x
精品课件
旋转变换的解析表示
图形中坐标点绕原点逆时针旋转角度θ，则该点变 换后，新坐标为：
x'=xcos ysin y'=xsin+ycos
y
(x’, y’)
q
(x,
y) f
x
精品课件
对称变换的解析表示
变换后图形与变换前图形关于x轴、y轴对 称，则对应关系分别为：
x
2
y
2
a b
c
d
x x
3 4
y y
3 4
x 5 y 5
精品课件
几何变换的矩阵表示形式
x1 y1
ax1 +cy1 bx1 +dy1
x2 xx43
y2 y3 y4
ac
b d
=
ax2 aaxx43
+cy2 +cy3 +cy4
bx2
+
dy2
bx3 bx4
+ +
dy3 dy4
x5 y5
ax5 +cy5 bx5 +dy5
变换矩阵中各元素的值决定着图形各种不同的变换
精品课件
比例变换的矩阵表示
x ' = xs x x' = ax + cy y ' = ys y y' = bx + dy
所以：a=sx c=0 b=0 d=Sy
x ya 0 d 0=axdy =x' y'
a>1 d=1 时，图形沿x轴方向放大， a=1 d=0时，图形被压缩成线段 a=1 d=1时，图形不变
旋转变换
cos sin T=sin cos
精品课件
平移变换的矩阵表示
平移变换怎么进行矩阵表示
x' = x + tx x' = ax + cy y' = y + t y y'= bx + dy
精品课件
齐次坐标矩阵变换
x'= x + tx
y'= y + ty
a b
T
=
c
d
l m
x'= x y'= y
x'= x y'= y
精品课件
对称变换的解析表示
精品课件
错切变换的解析表示
x = x+by y = y
精品课件
几何变换的矩阵表示形式
平面上的点可由一行矩阵表示：x y
由多个点组成的复杂图形可由n*2矩阵表示
图形变换可用矩阵运算来实现， x 1 y 1
需要二维图形变换矩阵
x x' = x + dx
(x,
(dx, dy)
y' = y + dy
y)
精品课件
平移变换的解析表示
dy dx
直线、多边形的平移变换通过端点的平移变换来实现
精品课件
比例变换的解析表示
一个图形中的坐标点(x,y)，若在x轴方向有一个比例系数sx,在y轴方 向有一个比例系数sy，则新坐标点为
x ' = xs x
二维图形几何变换
精品课件
二维图形几何变换
在不改变图形连线次序的情况下，对一个平面点集进行的线性变 换。
几何变换目的： 1 图形位置的改变 2 图形的变形 变换形式： 1 平移变换 2 旋转变换 3 比例变换 4 对称变换 5 错切变换
精品课件
平移变换的解析表示
(x’, y’)
精品课件
齐次坐标矩阵变换
变换矩阵：
T
=
a
c
b d
p
q
l m s
a b
T
=
c
d
能实现图形的比例、对称、错切以及旋转等基本变换
l m 可以实现图形平移变换
p q 可以实现图形透视、投影变换
s
可以实现图形全比例变换
精品课件
恒等变换 比例变换
1 0 0
T
=
0பைடு நூலகம்
1
0
0 0 1
a 0 0
T
=
0
d
0
0 0 1
图形变换前后无 变化
a为x向的比例因 子 d为y向的比例因 子
精品课件
对称变换
1 0 0
T
=
0
1
0
0 0 1
X轴对称
1 0 0
T
=
0
1
0
0 0 1
Y轴对称
0 1 0
T
=
1
0
0
0 0 1
－45°线对称
0 1 0
T
=
1
0
0
0 0 1
1 0 0
T
=
0
1 0
0 0 1
精品课件
45°线对称 坐标原点对称
错切变换
旋转变换 平移变换
1 0 0
T
=
c
1
0
0 0 1
1 b 0
T
=
0
1
0
0 0 1
cos sin 0
T = sin cos 0
0
0 1
1
T
=
0
l
0 0
1
0
m 1
精品课件
沿x向错切
沿y向错切
θ是旋转角，逆 时针为正，顺时 针为负 l是x向的平移量， m是y向的平移量
精品课件
对称变换的矩阵表示
图形关于x轴对称时： x ' = x A=1,b=0,c=0,d=-1 y ' = y
1 0
图形对x轴对称时候，变换矩阵为：
0
1
若对称轴为过原点的45°线，则变换矩阵？
精品课件
错切变换
沿y轴方向的错切变换时，变换矩阵：
1 k
0
1
x'= x y = kx+ y
x' = ax + cy x'=ax+cy+l y' = bx + dy y'=bx+dy+m
a b
x y 1c d=ax+cy+l bx+dy+m
l m
精品课件
齐次坐标矩阵变换
将〔x y〕扩充为〔x y 1〕，实际上是 由二维向量变为三维向量，但是看作z=1 平面上的点。用n+1维向量表示n维向量 的方法，称为齐次坐标法。
y
(x’,
y ' = ys y
y’)
(x,
y)
x
精品课件
旋转变换的解析表示
图形中坐标点绕原点逆时针旋转角度θ，则该点变 换后，新坐标为：
x'=xcos ysin y'=xsin+ycos
y
(x’, y’)
q
(x,
y) f
x
精品课件
对称变换的解析表示
变换后图形与变换前图形关于x轴、y轴对 称，则对应关系分别为：
x
2
y
2
a b
c
d
x x
3 4
y y
3 4
x 5 y 5
精品课件
几何变换的矩阵表示形式
x1 y1
ax1 +cy1 bx1 +dy1
x2 xx43
y2 y3 y4
ac
b d
=
ax2 aaxx43
+cy2 +cy3 +cy4
bx2
+
dy2
bx3 bx4
+ +
dy3 dy4
x5 y5
ax5 +cy5 bx5 +dy5
变换矩阵中各元素的值决定着图形各种不同的变换
精品课件
比例变换的矩阵表示
x ' = xs x x' = ax + cy y ' = ys y y' = bx + dy
所以：a=sx c=0 b=0 d=Sy
x ya 0 d 0=axdy =x' y'
a>1 d=1 时，图形沿x轴方向放大， a=1 d=0时，图形被压缩成线段 a=1 d=1时，图形不变