高考数学第一轮复习教学案

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高三数学第一轮复习教学计划

高三数学第一轮复习教学计划一、指导思想以学校和高三年部的教学计划为目标, 深入钻研教材及总复习大纲, 依靠集体智慧处理教研、教改资源及多媒体信息。

根据我校实际, 合理运用现代教学手段、技术, 提高课堂效率, 全面提高数学教学质量, 以确证学生在明年高考中取得好的成绩。

二、目标要求1. 深入钻练教材, 结合所教学生实际, 确定好每节课所教内容, 及所采用的教学手段、方法。

2. 本学期重点为高考第一轮复习, 为明年的下一轮复习以及高考打基础。

3. 继续培养学生的学习兴趣, 帮助学生解决好学习教学中的困难, 提高学生的数学素养和综合能力。

4. 本期重点培养和提升学生的抽象思维、概括、归纳、整理、类比、相互转化、数形结合等能力, 最终提升学生的整体解题能力。

三、教材分析本期教材: 高中全部必修、选修教材及第一轮复习资料。

四、具体方法措施1. 高质量备课, 参考网上的课件资料, 结合我校学生实际, 充分发挥全组老师的集体智慧, 确保每节课件都是高质量的。

统一教案、统一课件。

2. 高效率的上好每节课, 真正体现学生主体、教师主导作用。

保证练的时间, 运用多媒资源, 让学生对知识充分理解。

3. 狠抓作业批改、讲评, 教材作业、练习课内完成, 课外作业认真批改、讲评。

一题多思多解, 提炼思想方法, 提升学生解题能力。

4. 认真落实月考, 考前作好指导复习, 试卷讲评起到补缺长智的作用。

5. 继续抓紧培优补差工作, 让优等生开阔知识视野, 丰富各种技能, 达到思维多角度, 解题多途径, 效果多功能之目的。

让弱科学生基础打牢, 技能提升, 方法灵活得当, 收到弱科不弱之效果。

链接汇总:集合的概念与运算向量平面向量的坐标运算平面向量的数量积线段的定比分点、平移正弦定理、余弦定理不等式的性质不等式的解法不等式的应用不等式的证明（二）不等式的证明（一）轨迹问题含有绝对值的不等式抛物线双曲线算数平均数与几何平均数椭圆平面向量圆锥曲线的综合问题直线与圆锥曲线位置关系目前考生正处于高考的第二轮复习当中, 要注意培养和提高数学能力, 同时避免题海战术。

高考数学第一轮复习教案

高考数学第一轮复习教案（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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高三数学第一轮复习高三数学一轮复习计划(优秀11篇)

高三数学第一轮复习高三数学一轮复习计划(优秀11篇)时间就如同白驹过隙般的流逝，我们的工作又进入新的阶段，我们的高考数学一轮复习很重要，让我们一起来学习写计划吧。

熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟，以下是作者细心的小编给大家收集整理的高三数学一轮复习计划【优秀11篇】，欢迎参考阅读。

高考数学六大重点题型篇一应注意的问题：注意归一公式、诱导公式的正确性(转化成同名同角三角函数时，套用归一公式、诱导公式(奇变、偶不变；符号看象限)时，很容易因为粗心，导致错误！一着不慎，满盘皆输！).应注意的问题：1.证明一个数列是等差(等比)数列时，较后下结论时要写上以谁为首项，谁为公差(公比)的等差(等比)数列。

2.较后一问证明不等式成立时，如果一端是常数，另一端是含有n的式子时，一般考虑用放缩法；如果两端都是含n的式子，一般考虑数学归纳法(用数学归纳法时，当n=k+1时，一定利用上n=k时的假设，否则不正确。

利用上假设后，如何把当前的式子转化到目标式子，一般进行适当的放缩，这一点是有难度的。

简洁的方法是，用当前的式子减去目标式子，看符号，得到目标式子，下结论时一定写上综上：由①②得证。

3.证明不等式时，有时构造函数，利用函数单调性很简单(所以要有构造函数的意识).应注意以下几个问题：1.证明线面位置关系，一般不需要去建系，更简单；2.求异面直线所成的角、线面角、二面角、存在性问题、几何体的高、表面积、体积等问题时，较好要建系；3.注意向量所成的角的余弦值(范围)与所求角的余弦值(范围)的关系(符号问题、钝角、锐角问题)。

应注意的问题：1.搞清随机试验包含的所有基本事件和所求事件包含的基本事件的个数；2.搞清是什么概率模型，套用哪个公式；3.记准均值、方差、标准差公式；4.求概率时，正难则反(根据p1+p2+...+pn=1);5.注意计数时利用列举、树图等基本方法；6.注意放回抽样，不放回抽样；7.注意“零散的”的知识点(茎叶图，频率分布直方图、分层抽样等)在大题中的渗透；8.注意条件概率公式；9.注意平均分组、不完全平均分组问题。

高三数学第一轮复习计划(推荐10篇)

高三数学第一轮复习计划(推荐10篇)高三数学第一轮复习计划篇一高考数学命题近年来经历了由“知识立意”向“能力立意”的转变，体现了对能力和潜能的考察，使知识考查服务于能力考查。

针对这一命题走向，怎样在短暂的时间内搞好总复习，提高效率，减轻负担是我的核心理念。

一、夯实基础。

今年高考数学试题的一个显著特点是注重基础。

扎实的数学基础是成功解题的关键，从学生反馈来看，平时学习成绩不错但得分不高的主要原因不在于难题没做好，而在于基本概念不清，基本运算不准，基本方法不熟，解题过程不规范，结果“难题做不了，基础题又没做好”，因此在第一轮复习中，我们将格外突出基本概念、基础运算、基本方法，具体做法如下：1.注重课本的基础作用和考试说明的导向作用；2.加强主干知识的生成，重视知识的交汇点；3.培养逻辑思维能力、直觉思维、规范解题习惯；4.加强反思，完善复习方法。

二、解决好课内课外关系。

课内：（1）例题讲解前，留给学生思考时间；讲解中，让学生陈述不同解题思路，对于解题过程中的闪光之处或不足之处进行褒扬或纠正；讲解后，对解法进行总结。

对题目尽量做到一题多解，一题多用。

一题多解的题目让学生领会不同方法的优劣，一题多用的题目让学生领会知识间的联系。

（2）学生作业和考试中出现的错误，不但指出错误之处，更要引导学生寻根问底，使学生找出错误的真正原因。

（3）每节课留10分钟让学生疏理本节知识，理解本节内容。

课外：除了正常每天布置适量作业外，另外布置一两道中档偏上的题目，判作业时面批面改，指出知识的疏漏。

三、注重师生互动1.多让学生思考回答问题，对于有些章节知识，按难易程度选择六至八道，尽量独自完成，无法独立解决的可以提示思路。

2.让学生自我小结，每一章复习完后，是络结构，包括典型题目、思想方法、解题技巧，易错易做之题；3.每次考试结束后，让学生自己总结：①试题考查了哪些知识点；②怎样审题，怎样打开解题思路；③试题主要运用了哪些方法，技巧，关键步在哪里；④答题中有哪些典型错误，哪些是知识、逻辑心理因素造成，哪些是属于思路上的。

高考数学一轮复习教案

高考数学一轮复习教案教案标题：高考数学一轮复习教案教案目标：1. 确保学生对高考数学考试的各个知识点有全面的了解和掌握。

2. 帮助学生提高解题能力，培养分析和推理的能力。

3. 强化学生的数学思维和解题策略，提高应试能力。

教学内容：本教案主要围绕高考数学考试的各个知识点展开复习，包括代数、函数、几何、概率与统计等内容。

教学步骤：第一步：复习代数知识1. 复习一元二次方程的求根公式和应用。

2. 复习指数与对数的性质和运算法则。

3. 复习不等式的性质和解法。

第二步：复习函数知识1. 复习函数的定义和性质。

2. 复习函数的图像与性质，包括一次函数、二次函数、指数函数和对数函数等。

3. 复习函数的运算法则和复合函数的求解。

第三步：复习几何知识1. 复习平面几何的基本概念和性质。

2. 复习三角函数的定义和性质，包括正弦、余弦和正切等。

3. 复习平面几何中的相似三角形和勾股定理等。

第四步：复习概率与统计知识1. 复习概率的基本概念和计算方法。

2. 复习统计学中的数据收集、整理和分析方法。

3. 复习概率与统计在实际问题中的应用。

第五步：解题技巧和策略的讲解1. 教授解题的基本思路和步骤，包括审题、分析、解答和检查等。

2. 引导学生掌握解题中常用的技巧和策略，如代入法、逆向思维和分类讨论等。

3. 提供一些典型例题和解题方法的讲解和练习。

第六步：模拟考试和反馈1. 安排模拟考试，模拟高考数学试卷的形式和要求。

2. 收集学生的答卷并进行批改，给予详细的评价和建议。

3. 针对学生的错误和不足，进行有针对性的指导和讲解。

教学评估：1. 教师对学生的参与度和理解程度进行观察和评估。

2. 模拟考试的成绩和学生的答卷质量作为评估指标。

3. 学生对教学内容的反馈和问题的解答情况作为评估依据。

教学资源：1. 高考数学教材和辅助教材。

2. 高考数学模拟试卷和真题。

3. 多媒体设备和投影仪等。

教学延伸：1. 鼓励学生进行自主学习和拓展阅读，加深对数学知识的理解和应用能力。

2024年高三数学第一轮复习计划（五篇）

高三数学第一轮复习计划在一轮复习中，数学科目当年的《考试说明》和《教学大纲》是非常重要的。

这些材料你可以通过网络或者通过老师来获取。

找到之后要好好研究，不能大致浏览，要了解每一部分要求学习到怎样的程度。

虽然这些工作老师也会进行，但是由于你比较了解自己的优势和不足，所以研究起来更加有针对性。

对于这两部分材料的研究，最终目的是即使丢开课本，头脑中也能有考试所要求的数学知识体系。

数学知识之间都有着千丝万缕的联系，仅仅想凭着对章节的理解就能得到高分的时代已经远去了。

第一轮复习时要尝试把相关的知识进行总结，方便自己联系思考，既能明白知识之间的区别，又能为后面的专题复习做好准备。

一轮复习的重点永远是基础。

要通过对基础题的系统训练和规范训练，准确理解每一个概念，能从不同角度把握所学的每一个知识点、所有可能考查到的题型，熟练掌握各种典型问题的通性、通法。

第一轮复习一定要做到细且实，切不可因轻重不分而出现“前紧后松，前松后紧”的现象，也不可因赶进度而出现“点到为止，草草了事”的情况，只有真正实现低起点、小坡度、严要求，实施自主学习，才能真正达到夯实“双基”的目的。

运算能力是学习数学的前提。

因为高考并不要求你临场创新，事实上，那张考卷上的题目你都见过，只不过是换了数字，换了语句，所以能不能拿高分，运算能力占据半边天。

而运算能力并不是靠难题练出来的，而是大量简单题目的积累。

其次，强大地运算能力可以弥补解题技巧上的不足。

我们都知道，很多数学题目往往都有巧妙地解决方法，不过很难掌握。

可那些通用性的方法，每个人都能学会，缺点就是需要庞大的计算量。

再者，运算迅速可以节省时间，也不会让你因为粗心而丢分。

此外，复习数学也和其它科目一样，也不能忽视表达能力和阅读理解能力的运用。

再有，本阶段要避免特难题、怪题、偏题，而是抓住典型题。

每道题都要反复想，反复结合考点琢磨，最好是一题多解，一题多变，借助典型题掌握方法。

最后，同学们在复习的时候还要注重以下几点：、跟住老师复习。

高考数学的第一轮复习方案

高考数学的第一轮复习方案进入高三就要面临高考,为了实现美好的升学梦想,高三是关键,因此,高三数学复习相当重要,我们不仅要掌握科学有效的数学复习方法,还要在高三数学一轮复习中注意一些细节问题。

接下来是小编为大家整理的高考数学的第一轮复习方案，希望大家喜欢!高考数学的第一轮复习方案一高三数学一轮复习方法：重视“一题多解”“多题同解”学好数学要做大量的习题，但做了大量的题，数学都未必好，为何会出现这种反差呢?究其原因，是片面追求做题数量，而没有发挥做题的效果。

进入复习阶段后，大量的试题铺天盖地而来，这时我们一定要保持清醒的头脑，要有所为，有所不为。

学习数学不做题肯定不对，但不能陷入题海不能自拔，要充分发挥教材在知识形成过程中的作用，注意典型例题的示范价值，能够举一反三，重视“一题多解”和“多题同解”，做到以一题带一片。

要有针对性地做题，典型的题型，应该规范完成，同时还应了解自己，有选择地做一些课外的题;要循序渐进，由易到难，对做过的典型题型有一定的体会和变通，即按“学、练、思、结”程序对待典型的问题，这样做才能起到事半功倍的效果。

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高考数学的第一轮复习方案二(1)增强对数学函数性质的理解，就必须从函数单调性、对称性(奇偶性)、周期性等基本性质出发，探讨这些性质的内在联系和运用。

同时一定要注意函数性质与函数图象之间的联系，在高三数学第一轮复习中首要的就是弄明白这些基础。

(2)在此基础上去研究高中阶段常见的函数，掌握这些函数的内在规律，善于运用函数的性质去解决实际问题，利用好高三数学第一轮复习时间，把数学成绩做到有效提升。

(3)注重对数学函数思维方法的总结。

函数体系的每一个部分，都有相应的典型题型和主要思维方法。

注意解题规范，训练解题技巧有很多学生数学解题不规范，解题不注重策略，导致即使做的正确都要扣分，所以同学们一定要注意高三数学答题规范，答题层次不分，导致阅卷时感到同学做题是思路不清，这样很难拿到满分，在高三数学第一轮复习中一定要解决好这一问题。

高中一轮复习教案数学

高中一轮复习教案数学第一课：函数及其性质
1.1 函数的定义和性质
概念：函数的定义和表示方法
性质：单调性、奇偶性、周期性等
1.2 函数的基本变换
平移、翻转、缩放等基本函数的变换方法
例题：给出函数图像，要求根据变换规律求新函数的图像1.3 复合函数
概念：复合函数的定义和计算方法
例题：计算复合函数的值，并分析其性质
1.4 反函数
概念：反函数的存在条件及求解方法
例题：给定函数，求其反函数，并验证是否合理
第二课：三角函数及其应用
2.1 三角函数的概念与性质
正弦、余弦、正切等三角函数的定义和性质
例题：解三角函数方程，证明恒等式等
2.2 三角函数的图像与变换
三角函数的图像特征及平移、翻转、缩放等变换规律
例题：给定函数图像，要求根据变换规律求新函数的图像2.3 三角函数的应用
三角函数在几何、物理等领域的应用
例题：实际问题中的三角函数应用
第三课：导数与微分
3.1 导数的概念与性质
导数的定义、导数与函数图像的关系等基本性质
例题：求函数的导数，研究导数的性质
3.2 导数的计算
常见函数的导数计算方法
例题：计算给定函数的导数，并分析其变化规律
3.3 微分的应用
微分的定义及在近似计算、最值问题等方面的应用
例题：利用微分求函数的极值点，解几何问题等
以上是高中数学一轮复习的教案范本，希望对你的备考有所帮助。

祝你取得优异的成绩！。

高三第一轮复习市公开课获奖教案省名师优质课赛课一等奖教案

高三第一轮复习教案一、教学目标：1.回顾和巩固高二各学科的基础知识和概念。

2.了解高考考纲的要求，掌握各科目的考试内容和考点。

3.培养学生良好的学习方法和复习策略，提高学习效率。

二、教学内容：1.数学复习：(1)课程重点回顾：集合、函数、三角函数、数列、概率等。

(2)解题技巧讲解：快速逼近法、巧用函数性质、逆向思维等。

(3)例题演练：通过大量的例题演练，掌握解题的基本步骤和方法。

(4)模拟考试：组织学生进行模拟考试，检验复习效果，并针对考试中的问题进行解答和讲解。

2.物理复习：(1)重点知识复习：电磁感应、电路、光学、力学等。

(2)实验操作能力培养：通过实验操作，让学生巩固物理知识，提高实验操作能力。

(3)题型练习和解析：针对各个考点设置题目，进行练习和解析，帮助学生掌握思路和解题方法。

(4)名师讲解：邀请物理学科的知名老师进行讲解和答疑，提高学生的学习兴趣和理解能力。

3.化学复习：(1)知识总结和巩固：化学元素及其周期表、化学键、化学反应平衡、化学能等。

(2)题目分析和解题技巧：针对高考常考题型，分析解题技巧和思路。

(3)实验操作能力训练：通过实验操作和实例讲解，提高学生的实验操作能力。

(4)知识拓展：扩展学生的化学知识，了解化学在现实生活和科学实践中的应用。

4.英语复习：(1)语法和词汇总结：复习英语语法和常见词汇，通过例句和练习加深理解。

(2)阅读理解训练：针对高考阅读理解的题型和要求，进行大量的阅读训练。

(3)听力训练：提供高质量的听力材料和练习，提高学生的听力理解和应试能力。

(4)写作练习：培养学生的写作能力，进行作文训练和改进。

5.政治复习：(1)政治基础知识复习：复习政治基本概念、制度和理论。

(2)政治实践训练：通过政治实践活动和模拟演练，培养学生的政治意识和能力。

(3)题型训练和解析：针对高考政治题型进行练习和解析，培养学生的解题思路和方法。

三、教学方法：1.讲授法：通过教师讲授复习知识和解题方法，帮助学生理解和掌握知识点。

高三数学一轮复习教案范文

高三数学一轮复习教案范文高三数学一轮复习教案2021范文1教学目标(1)正确理解加法原理与乘法原理的意义，分清它们的条件和结论;(2)能结合树形图来帮助理解加法原理与乘法原理;(3)正确区分加法原理与乘法原理，哪一个原理与分类有关，哪一个原理与分步有关;(4)能应用加法原理与乘法原理解决一些简单的应用问题，提高学生理解和运用两个原理的能力;(5)通过对加法原理与乘法原理的学习，培养学生周密思考、细心分析的良好习惯。

教学建议一、知识结构二、重点难点分析本节的重点是加法原理与乘法原理，难点是准确区分加法原理与乘法原理。

加法原理、乘法原理本身是容易理解的，甚至是不言自明的。

这两个原理是学习排列组合内容的基础，贯穿整个内容之中，一方面它是推导排列数与组合数的基础;另一方面它的结论与其思想在方法本身又在解题时有许多直接应用。

两个原理回答的，都是完成一件事的所有不同方法种数是多少的问题，其区别在于：运用加法原理的前提条件是，做一件事有n类方案，选择任何一类方案中的任何一种方法都可以完成此事，就是说，完成这件事的各种方法是相互独立的;运用乘法原理的前提条件是，做一件事有n个骤，只要在每个步骤中任取一种方法，并依次完成每一步骤就能完成此事，就是说，完成这件事的各个步骤是相互依存的。

简单的说，如果完成一件事情的所有方法是属于分类的问题，每次得到的是最后结果，要用加法原理;如果完成一件事情的方法是属于分步的问题，每次得到的该步结果，就要用乘法原理。

三、教法建议关于两个计数原理的教学要分三个层次：第一是对两个计数原理的认识与理解.这里要求学生理解两个计数原理的意义，并弄清两个计数原理的区别.知道什么情况下使用加法计数原理，什么情况下使用乘法计数原理.(建议利用一课时).第二是对两个计数原理的使用.可以让学生做一下习题(建议利用两课时)：①用0，1，2，，9可以组成多少个8位号码;②用0，1，2，，9可以组成多少个8位整数;③用0，1，2，，9可以组成多少个无重复数字的4位整数;④用0，1，2，，9可以组成多少个有重复数字的4位整数;⑤用0，1，2，，9可以组成多少个无重复数字的4位奇数;⑥用0，1，2，，9可以组成多少个有两个重复数字的4位整数等等.第三是使学生掌握两个计数原理的综合应用，这个过程应该贯彻整个教学中，每个排列数、组合数公式及性质的推导都要用两个计数原理，每一道排列、组合问题都可以直接利用两个原理求解，另外直接计算法、间接计算法都是两个原理的一种体现.教师要引导学生认真地分析题意，恰当的分类、分步，用好、用活两个基本计数原理.教学设计示例加法原理和乘法原理教学目标正确理解和掌握加法原理和乘法原理，并能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题，从而发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力.教学重点和难点重点：加法原理和乘法原理.难点：加法原理和乘法原理的准确应用.教学用具投影仪.教学过程设计(一)引入新课从本节课开始，我们将要学习中学代数内容中一个独特的部分——排列、组合、二项式定理.它们研究对象独特，研究问题的方法不同一般.虽然份量不多，但是与旧知识的联系很少，而且它还是我们今后学习概率论的基础，统计学、运筹学以及生物的选种等都与它直接有关.至于在日常的工作、生活上，只要涉及安排调配的问题，就离不开它.今天我们先学习两个基本原理.(二)讲授新课1.介绍两个基本原理先考虑下面的问题：问题1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船.一天中，火车有4个班次，汽车有2个班次，轮船有3个班次.那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法?因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每种走法都可以完成由甲地到乙地这件事情.所以，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有4+2+3=9种不同的走法.这个问题可以总结为下面的一个基本原理(打出片子——加法原理)：加法原理：做一件事，完成它可以有几类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，，在第n类办法中有mn种不同的方法.那么，完成这件事共有N=m1+m2++mn种不同的方法.请大家再来考虑下面的问题(打出片子——问题2)：问题2：由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条(见下图)，从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?这里，从A村到B村，有3种不同的走法，按这3种走法中的每一种走法到达B村后，再从B村到C村又各有2种不同的走法，因此，从A村经B村去C村共有3×2=6种不同的走法.一般地，有如下基本原理(找出片子——乘法原理)：乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，，做第n步有mn种不同的方法.那么，完成这件事共有N=m1×m2××m n种不同的方法.2.浅释两个基本原理两个基本原理的用途是计算做一件事完成它的所有不同的方法种数.比较两个基本原理，想一想，它们有什么区别?两个基本原理的区别在于：一个与分类有关，一个与分步有关.看下面的分析是否正确(打出片子——题1，题2)：题1：找1～10这10个数中的所有合数.第一类办法是找含因数2的合数，共有4个;第二类办法是找含因数3的合数，共有2个;第三类办法是找含因数5的合数，共有1个.1～10中一共有N=4+2+1=7个合数.题2：在前面的问题2中，步行从A村到B村的北路需要8时，中路需要4时，南路需要6时，B村到C村的北路需要5时，南路需要3时，要求步行从A村到C村的总时数不超过12时，共有多少种不同的走法?第一步从A村到B村有3种走法，第二步从B村到C村有2种走法，共有N=3×2=6种不同走法.题2中的合数是4，6，8，9，10这五个，其中6既含有因数2，也含有因数3;10既含有因数2，也含有因数5.题中的分析是错误的.从A村到C村总时数不超过12时的走法共有5种.题2中从A村走北路到B村后再到C村，只有南路这一种走法.(此时给出题1和题2的目的是为了引导学生找出应用两个基本原理的注意事项，这样安排，不但可以使学生对两个基本原理的理解更深刻，而且还可以培养学生的学习能力)进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能单独完成这件事.只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以.如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有m种不同的方法，那么计算完成这件事的方法数时，就可以直接应用乘法原理.也就是说：类类互斥，步步独立.(在学生对问题的分析不是很清楚时，教师及时地归纳小结，能使学生在应用两个基本原理时，思路进一步清晰和明确，不再简单地认为什么样的分类都可以直接用加法，只要分步而不管是否相互联系就用乘法.从而深入理解两个基本原理中分类、分步的真正含义和实质)(三)应用举例现在我们已经有了两个基本原理，我们可以用它们来解决一些简单问题了.例1 书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书.(1)若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法?(2)若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法?(3)若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法?(让学生思考，要求依据两个基本原理写出这3个问题的答案及理由，教师巡视指导，并适时口述解法)(1)从书架上任取一本书，可以有3类办法：第一类办法是从3本不同数学书中任取1本，有3种方法;第二类办法是从5本不同的语文书中任取1本，有5种方法;第三类办法是从6本不同的英语书中任取一本，有6种方法.根据加法原理，得到的取法种数是N=m1+m2+m3=3+5+6=14.故从书架上任取一本书的不同取法有14种.(2)从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本，需要分成三个步骤完成，第一步取1本数学书，有3种方法;第二步取1本语文书，有5种方法;第三步取1本英语书，有6种方法.根据乘法原理，得到不同的取法种数是N=m1×m2×m3=3×5×6=90.故，从书架上取数学书、语文书、英语书各1本，有90种不同的方法.(3)从书架上任取不同科目的书两本，可以有3类办法：第一类办法是数学书、语文书各取1本，需要分两个步骤，有3×5种方法;第二类办法是数学书、英语书各取1本，需要分两个步骤，有3×6种方法;第三类办法是语文书、英语书各取1本，有5×6种方法.一共得到不同的取法种数是N=3×5+3×6+5×6=63.即，从书架任取不同科目的书两本的不同取法有63种.例2 由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三位整数(各位上的数字允许重复)?解：要组成一个三位数，需要分成三个步骤：第一步确定百位上的数字，从1～4这4个数字中任选一个数字，有4种选法;第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，共有5种选法;第三步确定个位上的数字，仍有5种选法.根据乘法原理，得到可以组成的三位整数的个数是N=4×5×5=100.答：可以组成100个三位整数.教师的连续发问、启发、引导，帮助学生找到正确的解题思路和计算方法，使学生的分析问题能力有所提高.教师在第二个例题中给出板书示范，能帮助学生进一步加深对两个基本原理实质的理解，周密的考虑，准确的表达、规范的书写，对于学生周密思考、准确表达、规范书写良好习惯的形成有着积极的促进作用，也可以为学生后面应用两个基本原理解排列、组合综合题打下基础.(四)归纳小结归纳什么时候用加法原理、什么时候用乘法原理：分类时用加法原理，分步时用乘法原理.应用两个基本原理时需要注意分类时要求各类办法彼此之间相互排斥;分步时要求各步是相互独立的.(五)课堂练习P222：练习1～4.(对于题4，教师有必要对三个多项式乘积展开后各项的构成给以提示)(六)布置作业P222：练习5，6，7.补充题：1.在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的共有多少个?(提示：按十位上数字的大小可以分为9类，共有9+8+7++2+1=45个个位数字小于十位数字的两位数)2.某学生填报高考志愿，有m个不同的志愿可供选择，若只能按第一、二、三志愿依次填写3个不同的志愿，求该生填写志愿的方式的种数.(提示：需要按三个志愿分成三步，共有m(m-1)(m-2)种填写方式)3.在所有的三位数中，有且只有两个数字相同的三位数共有多少个?(提示：可以用下面方法来求解：(1)△△□，(2)△□△，(3)□△□，(1)，(2)，(3)类中每类都是9×9种，共有9×9+9×9+9×9=3×9×9=243个只有两个数字相同的三位数)4.某小组有10人，每人至少会英语和日语中的一门，其中8人会英语，5人会日语，(1)从中任选一个会外语的人，有多少种选法?(2)从中选出会英语与会日语的各1人，有多少种不同的选法?(提示：由于8+5=13>10，所以10人中必有3人既会英语又会日语.(1)N=5+2+3;(2)N=5×2+5×3+2×3)高三数学一轮复习教案2021范文2教学目标(1)正确理解排列的意义。

第一轮高考数学复习方案

第一轮高考数学复习方案要想在考试中取得好成绩，绝对要做好第一轮复习。

那么你知道第一轮高考数学怎么复习吗？下面是小编整理的第一轮高考数学复习方案，欢迎大家阅读分享借鉴，希望对大家有所帮助。

复习计划进度表(第一轮复习)第一章集合 (1课时模拟考试1次)1、集合的概念及集合的运算2、绝对值不等式、一元二次不等式的解法3、简易逻辑第二章函数 (4课时模拟考试1次)1、函数的概念及表示方法2、函数的解析式及定义域,函数的值域3、函数的奇偶性及函数的单调性4、反函数5、指数函数与对数函数,幂函数6、二次函数及方程的根7、函数的最值 8、函数的图象9、函数综合应用第三章数列 (3课时模拟考试1次)1、数列的有关概念2、等差数列3、等比数列4、等差与等比数列5、数列求和6、数列的应用第四章三角函数 (2课时模拟考试1次)1、任意角的三角函数2、同角的三角函数关系式及诱导公式3、两角和与差的三角函数4、三角函数的图象5、三角函数的性质6、已知三角函数值求角7、解三角形 8、三角形中的有关问题第五章平面向量 (1课时模拟考试1次 )1、向量与向量的运算2、平面向量的坐标运算3、平面向量的数量积及运算4、线段的定比分点和图象的平移5、解斜三角形第六章不等式 (1天模拟考试1次)1、含绝对值不等式与一元二次不等式的解法2、不等式的性质3、不等式的证明4、不等式的解法举例5、不等式的应用第七章直线和圆的方程 (1课时模拟考试1次)1、直线的方程2、两条直线的位置关系3、简单的线性规划4、曲线与方程5、圆的方程第八章圆锥曲线方程 (2课时模拟考试1次)1、椭圆、双曲线、抛物线2、直线与圆锥曲线的位置关系3、圆锥曲线的综合问题第九章立体几何初步 (3课时模拟考试1次)1、空间几何体2、点.线.之间的位置关系第十章排列、组合、二项式定理 (1课时模拟考试1次)1、两个计数原理2、排列、组合3、二项式定理及其应用第十一章概率与统计 (2课时模拟考试1次)1、随机事件的概率2、互斥事件有一个发生的概率3、相互独立事件同时发生的概率 4.抽样方法第十二章导数及其应用 (2课时模拟考试1次)1、导数的概念及运算2、导数的应用复习策略1.吃透大纲，把握复习方向(1)全面复习，突出重点内容高考，能力立意，考察数学思想，倡导理性思维的基本指导思想不会改变，高考命题不会过分追求知识的覆盖率，所以教学时应做到既要紧扣新大纲，抓好三基，全面复习，又要突出高中数学的重点内容和主干知识。

2024年高三数学第一轮复习的教学计划(精选5篇)

2024年高三数学第一轮复习的教学计划（精选5篇）高三数学第一轮复习的教学计划1一、背景分析近几年来的高考数学试题逐步做到科学化、规范化，坚持了稳中求改、稳中创新的原则。

考试题不但坚持了考查全面、比例适当，布局合理的特点，也突出体现了变知识立意为能力立意这一举措。

更加注重考查学生进入高校学习所需的基本数学素养，这些变化应引起我们在教学中的关注和重视。

二、指导思想在全面推行素质教育的背景下，努力提高课堂复习效率是高三数学复习的重要任务。

通过复习，让学生在数学学习过程中，更好地学会从事社会生产和进一步学习所必需的数学基础知识，从而培养学生思维能力，激发学生学习数学的兴趣，使学生树立学好数学的信心。

老师要在教学过程中不断了解新的教学信息，更新教育观念，探求新的教学模式，加强教改力度，准确把握课程标准和考试说明的各项基本要求，立足基本知识、基本技能、基本思想和基本方法教学，针对学生实际，指导学法，着力培养学生的创新能力和运用数学的意识和能力。

三、目标要求第一轮复习要结合高考考点，紧扣教材，以加强双基教学为主线，以提高学生能力为目标，加强学生对知识的理解、联系、应用，同时结合高考题型强化训练，提高学生的解题能力。

为此，我们确立了一轮复习的总体目标：通过梳理考点，培养学生分析问题、解决问题的能力;使学生养成思考严谨、分析条理、解答正确、书写规范的良好习惯，为二轮复习乃至高考奠定坚实的基础。

具体要求如下：1、第一轮复习必须面向全体学生，降低复习起点，在夯实双基的前提下，注重培养学生的能力，包括：空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。

提高学生对实际问题的阅读理解、思考判断能力;以及数学地提出、分析和解决问题(包括简单的实际问题)的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力。

复习教学要充分考虑到本班学生的实际水平，坚决反对脱离学生实际的任意拔高和只抓几个“优等生”放弃大部分“中等生”的不良做法，不做或少做无效劳动，加大分层教学和个别指导的力度，狠抓复习的针对性、实效性，提高复习效果。

一轮复习教案高中数学

一轮复习教案高中数学
主题：数学复习
教学时间：3周
教学目标：
1. 完成对高中数学知识的全面复习，巩固知识点，提高解题能力。

2. 能够灵活运用数学方法解决实际问题。

3. 为高考数学打下坚实的基础。

教学内容：
第一周：函数与导数、数列和数学归纳法、平面向量
第二周：三角函数、立体几何、概率与统计
第三周：解析几何、三角、导数课程
教学方法：
1. 教师讲解：通过清晰简洁的讲解，帮助学生理解数学知识点。

2. 例题演练：通过实例演练，让学生掌握解题技巧。

3. 课堂练习：结合教材的习题，让学生在课堂上进行答题，巩固知识点。

4. 作业布置：每天布置适量的作业，让学生巩固所学知识。

评价方法：
1. 每周进行一次小测验，检验学生的掌握情况。

2. 每周进行一次模拟考试，检验学生的应用能力和解题能力。

3. 根据学生的表现，及时调整教学内容，帮助学生提高成绩。

复习建议：
1. 每天安排固定的学习时间，保持持续性的复习。

2. 多做题，多思考，找出解题方法和思路。

3. 认真对待每一次作业，及时批改并总结错误。

注意事项：
1. 考虑到学生吸收能力和注意力有限，教学过程中控制教学进度，确保学生理解。

2. 鼓励学生积极参与讨论和提问，激发学生的学习兴趣。

3. 督促学生遵守规定的学习计划和复习安排，确保高效学习。

希望以上教案能够对您进行高中数学的复习有所帮助，祝学习顺利！。

高三数学第一轮复习计划范文(4篇)

高三数学第一轮复习计划范文一，第一轮复习的目标第一轮复习是对高中所学的数学知识进行全面的梳理和复习，即系统地整理知识，优化知识结构。

其指导思想是全面、扎实、系统、灵活。

全面-即全面覆盖;扎实-抓好单元知识的理解、巩固、深化;系统-注意知识的前后联系，有机结合，完整性、系统性，使学生初步建立明晰的知识网络;灵活-增强小综合训练，克服单向性、定向性，初步培养综合运用知识、灵活解题的能力。

复习的直接目标是解决高考中的基础题，其根本目的是为数学素质的提高作物质准备。

在这一阶段主要抓好对基本概念准确记忆和实质性的理解，抓基本方法、基本技能的熟练应用，抓公式和定理的正用、逆用、变用、巧用，抓基本题型的训练和熟化。

二.第一轮复习中需要注意的几个问题首先，教师认真研读高考考试标准，明确“考什么，怎么考，考多难”，考试标准上对于高考所要考查的数学思想，数学方法，数学能力，题型比例和题量都有明确的说明，甚至对题目的能力要求，做题目用多少时间都有说明。

教师只有熟悉考试标准，复习中才能做到胸有成竹，得心应手。

其次，教师要熟悉和研究近几年新高考试题，掌握高考试题的结构与特征，明确哪些内容在近几年的考题中已经出现，那些还从未涉及过，哪些知识点常考常新，逐一排查找出知识的重点、难点、疑点，做到心中有数，有的放矢。

充分利用图像、表格、框图，使学生在头脑中构建知识网络，使之变成清晰的几条线，而不是模糊的一大片。

对概念、定义、公式、定理要让学生深刻理解，牢固记忆，融会贯通，熟练提取，力求做到提起一根线带起一大遍。

第三，教师在复习教学中要以提高学生解题能力为核心，注重对数学思想，数学方法，考试常识和艺术的渗透。

立足基础，突出通法，揭示知识发生、发展和深化过程，充分展示问题的思维过程，让学生从中领悟基础知识、基本方法的应用，通过变式训练，引导学生归纳解题方法、技巧、规律和思想方法，促进由知识向能力转化，实现自我完善，争取收到做一题得一法，会一类通一片的效果。

高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案集合

第一节集合1．集合的含义与表示(1)了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系．(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题． 2．集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． (2)在具体情境中，了解全集与空集的含义． 3．集合间的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集． (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． (3)能使用韦恩(Venn)图表示集合的关系及运算．知识点一集合的基本概念1．集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． 2．元素与集合的关系：属于或不属于，表示符号分别为∈和∉. 3．集合的三种表示方法：列举法、描述法、V enn 图法．易误提醒在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．[自测练习]1．已知a ∈R ，若{－1,0,1}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，a 2，0，则a ＝________.解析：1a ≠0，a ≠0，a 2≠－1，只有a 2＝1.当a ＝1时，1a ＝1，不满足互异性，∴a ＝－1.答案：－1知识点二集合间的基本关系描述关系文字语言符号语言集合间的基本关系子集 A 中任意一元素均为B 中的元素A ⊆B 或B ⊇A真子集A 中任意一元素均为B 中的元素，且B 中至少有一个元素A 中没有AB 或B A相等集合A与集合B 中的所有元素都相同A＝B 必记结论若集合A中有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.易误提醒易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．[自测练习]2．已知集合A＝{x|x＝a＋(a2－1)i}(a∈R，i是虚数单位)，若A⊆R，则a＝()A．1 B．－1 C．±1 D．0解析：A⊆R，∴a2－1＝0，a＝±1.答案：C3．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，xy∈A}，则集合B的所有真子集的个数为()A．512 B．256C．255 D．254解析：由题意知当x＝1时，y可取1,2,3,4；当x＝2时，y可取1,2；当x＝3时，y可取1；当x＝4时，y可取1.综上，B中所含元素共有8个，所以其真子集有28－1＝255个．选C.答案：C知识点三集合的基本运算及性质并集交集补集图形表示符号表示A∪B＝{x|x∈A或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}性质A∪∅＝AA∪A＝AA∪B＝B∪AA∪B＝A⇔B⊆AA∩∅＝∅A∩A＝AA∩B＝B∩AA∩B＝A⇔A⊆BA∪(∁U A)＝UA∩(∁U A)＝∅∁U(∁U A)＝A易误提醒运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．必记结论∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．[自测练习]4．(2015·广州一模)已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合M ＝{3,4,5}，N ＝{1,2,5}，则集合{1,2}可以表示( )A ．M ∩NB ．(∁U M )∩NC ．M ∩(∁U N )D ．(∁U M )∩(∁U N )解析：M ∩N ＝{5}，A 错误；∁U M ＝{1,2}，(∁U M )∩N ＝{1,2}，B 正确；∁U N ＝{3,4}，M ∩(∁U N )＝{3,4}，C错误；(∁U M )∩(∁U N )＝∅，D 错误．故选B.答案：B5．(2015·长春二模)已知集合P ＝{x |x ≥0}，Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋1x －2≥0，则P ∩(∁R Q )＝( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，－1] C ．(－1,0)D ．[0,2]解析：由题意可知Q ＝{x |x ≤－1或x >2}，则∁R Q ＝{x |－1<x ≤2}，所以P ∩(∁R Q )＝{x |0≤x ≤2}．故选D.答案：D考点一集合的基本概念|1．已知集合S ＝{x |3x ＋a ＝0}，如果1∈S ，那么a 的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3解析：∵1∈S ，∴3＋a ＝0，a ＝－3. 答案：A2．设集合A ＝{1,2,4}，集合B ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈A }，则集合B 中的元素个数为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 解析：∵a ∈A ，b ∈A ，x ＝a ＋b ，∴x ＝2,3,4,5,6,8，∴B 中有6个元素，故选C. 答案：C3．(2015·贵阳期末)已知全集U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是集合U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a 1∈A ，则a 2∈A ；②若a 3∉A ，则a 2∉A ；③若a 3∈A ，则a 4∉A .则集合A ＝________.(用列举法表示)解析：若a 1∈A ，则a 2∈A ，则由若a 3∉A ，则a 2∉A 可知，a 3∈A ，假设不成立；若a 4∈A ，则a 3∉A ，则a 2∉A ，则a 1∉A ，假设不成立，故集合A ＝{a 2，a 3}．答案：{a2，a3}判断一个元素是某个集合元素的三种方法：列举法、特征元素法、数形结合法．考点二集合间的基本关系及应用|(1)已知全集A＝{x∈N|x2＋2x－3≤0}，B＝{y|y⊆A}，则集合B中元素的个数为()A．2B．3C．4 D．5[解析]依题意得，A＝{x∈N|(x＋3)(x－1)≤0}＝{x∈N|－3≤x≤1}＝{0,1}，共有22＝4个子集，因此集合B中元素的个数为4，选C.[答案] C(2)已知集合M＝{x|－1<x<2}，N＝{x|x<a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是()A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，－1][解析]依题意，由M⊆N得a≥2，即所求的实数a的取值范围是[2，＋∞)，选B.[答案] B1．判断两集合的关系常有两种方法(1)化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系．(2)用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．2．已知两集合间的关系求参数时的两个关键点(1)将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．(2)合理利用数轴、Venn图帮助分析．1．(2015·辽宁五校联考)设集合P＝{x|x>1}，Q＝{x|x2－x>0}，则下列结论正确的是() A．P⊆Q B．Q⊆PC．P＝Q D．P∪Q＝R解析：由集合Q＝{x|x2－x>0}，知Q＝{x|x<0或x>1}，所以选A.答案：A考点三集合的基本运算|(1)(2015·高考全国卷Ⅱ)已知集合A＝{－2，－1，0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)<0}，则A∩B＝()A．{－1,0}B．{0,1}C．{－1,0,1} D．{0,1,2}[解析]由于B＝{x|－2<x<1}，所以A∩B＝{－1,0}．故选A.[答案] A(2)(2015·郑州期末)已知函数f(x)＝2－x－1，集合A为函数f(x)的定义域，集合B为函数f(x)的值域，则如图所示的阴影部分表示的集合为________．[解析]本题考查函数的定义域、值域以及集合的表示．要使函数f(x)＝2－x－1有意义，则2－x－1≥0，解得x≤0，所以A＝(－∞，0]．又函数f(x)＝2－x－1的值域B＝[0，＋∞)．阴影部分用集合表示为∁A∪B(A∩B)＝(－∞，0)∪(0，＋∞)．[答案](－∞，0)∪(0，＋∞)集合运算问题的四种常见类型及解题策略(1)离散型数集或抽象集合间的运算．常借助Venn图求解．(2)连续型数集的运算．常借助数轴求解．(3)已知集合的运算结果求集合．借助数轴或Venn图求解．(4)根据集合运算求参数．先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解．2．(2015·高考陕西卷)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝()A．[0,1]B．(0,1]C．[0,1) D．(－∞，1]解析：∵M＝{x|x2＝x}＝{0,1}，N＝{x|lg x≤0}＝{x|0<x≤1}，∴M∪N＝{x|0≤x≤1}，故选A.答案：A考点四集合的创新问题|设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4,5}，定义A⊙B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A⊙B中元素的个数是()A．7B．10C．25D．52[解析]A∩B＝{2,3}，A∪B＝{1,2,3,4,5}，由列举法可知A⊙B＝{(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)}，共有10个元素，故选B.[答案] B解决集合创新问题的三个策略(1)遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质．(2)按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．(3)对于选择题，可以结合选项通过验证，用排除、对比、特值等方法求解．3．设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|log2x<1}，Q＝{x||x－2|<1}，那么P－Q＝()A．{x|0<x<1} B．{x|0<x≤1}C．{x|1≤x<2} D．{x|2≤x<3}解析：由log2x<1，得0<x<2，所以P＝{x|0<x<2}；由|x－2|<1，得1<x<3，所以Q＝{x|1<x<3}．由题意，得P－Q＝{x|0<x≤1}．答案：B1.遗忘空集致误【典例】设全集是实数集R ，A ＝{x |2x 2－7x ＋3≤0}，B ＝{x |x 2＋a <0}．若(∁R A )∩B ＝B ，则实数a 的取值范围是________．[解析] ∵A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 12≤x ≤3，∴∁R A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <12或x >3，当(∁R A )∩B ＝B 时，B ⊆∁R A 即A ∩B ＝∅.①当B ＝∅，即a ≥0时，满足B ⊆∁R A ； ②当B ≠∅，即a <0时， B ＝{x |－－a <x <－a }，要使B ⊆∁R A ，需－a ≤12，解得－14≤a <0.综上可得，实数a 的取值范围是a ≥－14.[答案] a ≥－14[易误点评] 由∁R A ∩B ＝B 知B ⊆∁R A ，即A ∩B ＝∅，又集合B 中元素属性满足x 2＋a <0，当a ≥0时B ＝∅易忽视导致漏解．[防范措施] (1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容．解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征．(2)已知集合B ，若已知A ⊆B 或A ∩B ＝∅，则考生很容易忽视A ＝∅而造成漏解．在解题过程中应根据集合A 分三种情况进行讨论．[跟踪练习] 已知U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，B ∩(∁U A )＝∅，则m ＝________.解析：A ＝{－1,2}，B ＝∅时，m ＝0；B ＝{－1}时，m ＝1；B ＝{2}时，m ＝－12.答案：0,1，－12A 组考点能力演练1．集合U ＝{0,1,2,3,4}，A ＝{1,2}，B ＝{x ∈Z |x 2－5x ＋4<0}，则∁U (A ∪B )＝( ) A ．{0,1,3,4} B ．{1,2,3} C ．{0,4}D ．{0}解析：因为集合B ＝{x ∈Z |x 2－5x ＋4<0}＝{2,3}，所以A ∪B ＝{1,2,3}，又全集U ＝{0,1,2,3,4}，所以∁U (A ∪B )＝{0,4}．所以选C.答案：C2．已知集合A＝{0,1,2,3,4}，B＝{x|x＝n，n∈A}，则A∩B的真子集个数为() A．5 B．6C．7 D．8解析：由题意，得B＝{0,1，2，3，2}，所以A∩B＝{0,1,2}，所以A∩B的真子集个数为23－1＝7，故选C.答案：C3．(2015·太原一模)已知全集U＝R，集合M＝{x|(x－1)(x＋3)<0}，N＝{x||x|≤1}，则阴影部分表示的集合是()A．[－1,1)B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪[－1，＋∞)D．(－3，－1)x|－1≤x≤1，∴阴影部分表示的集解析：由题意可知，M＝{}x|－3<x<1，N＝{}合为M∩(∁U N)＝{}x|－3<x<－1.答案：D4．集合A＝{x|x－2<0}，B＝{x|x<a}，若A∩B＝A，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－2] B．[－2，＋∞)C．(－∞，2] D．[2，＋∞)解析：由题意，得A＝{x|x<2}．又因为A∩B＝A，所以a≥2，故选D.答案：D5．(2015·山西质检)集合A，B满足A∪B＝{1,2}，则不同的有序集合对(A，B)共有() A．4个B．7个C．8个D．9个解析：由题意可按集合A中的元素个数分类．易知集合{1,2}的子集有4个：∅，{1}，{2}，{1,2}．若A＝∅，则B＝{1,2}；若A＝{1}，则B＝{2}或B＝{1,2}；若A＝{2}，则B ＝{1}或B＝{1,2}；若A＝{1,2}；则B＝∅或B＝{1}或B＝{2}或B＝{1,2}．综上所述，不同的有序集合对(A，B)共有9个，故选D.答案：D6．(2015·广州模拟)设集合A＝{(x，y)|2x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝4}，满足C⊆(A∩B)的集合C的个数为________．解析：依题意得，A ∩B ＝{(8，－10)}，因此满足C ⊆(A ∩B )的集合C 的个数是2. 答案：27．设集合S n ＝{1,2,3，…，n }，若X ⊆S n ，把X 的所有元素的乘积称为X 的容量(若X 中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0)．若X 的容量为奇(偶)数，则称X 为S n 的奇(偶)子集，则S 4的所有奇子集的容量之和为________．解析：∵S 4＝{1,2,3,4}，∴X ＝∅，{1}，{2}，{3}，{4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{1,2,3,4}．其中是奇子集的为X ＝{1}，{3}，{1,3}，其容量分别为1,3,3，所以S 4的所有奇子集的容量之和为7.答案：78．已知集合P ＝{－1，m }，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1<x <34，若P ∩Q ≠∅，则整数m ＝________. 解析：由{－1，m }∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1<x <34≠∅，可得－1<m <34，由此可得整数m ＝0. 答案：09．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }． (1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．解：由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}， B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)∵A ∩B ＝[0,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0，m ＋2≥3.∴m ＝2.(2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}，∴A ⊆∁R B ， ∴m －2>3或m ＋2<－1，即m >5或m <－3. 因此实数m 的取值范围是{m |m >5或m <－3}．10．设全集I ＝R ，已知集合M ＝{x |(x ＋3)2≤0}，N ＝{x |x 2＋x －6＝0}． (1)求(∁I M )∩N ；(2)记集合A ＝(∁I M )∩N ，已知集合B ＝{x |a －1≤x ≤5－a ，a ∈R }，若B ∪A ＝A ，求实数a 的取值范围．解：(1)∵M ＝{x |(x ＋3)2≤0}＝{－3}， N ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}，∴∁I M ＝{x |x ∈R 且x ≠－3}， ∴(∁I M )∩N ＝{2}．(2)由(1)知A ＝(∁I M )∩N ＝{2}，∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴B ＝∅或B ＝{2}，当B ＝∅时，a －1>5－a ，∴a >3；当B ＝{2}时，⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝2，5－a ＝2，解得a ＝3，综上所述，实数a 的取值范围为{a |a ≥3}．B 组高考题型专练1．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x <2}，则A ∩B ＝( )A ．[－2，－1]B ．[－1,2)C ．[－1,1]D ．[1,2)解析：由不等式x 2－2x －3≥0解得x ≥3或x ≤－1，因此集合A ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，又集合B ＝{x |－2≤x <2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}，故选A.答案：A2．(2014·高考课标全国卷Ⅱ)设集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，则M ∩N ＝( ) A ．{1} B ．{2} C ．{0,1}D ．{1,2}解析：由已知得N ＝{x |1≤x ≤2}，∵M ＝{0,1,2}，∴M ∩N ＝{1,2}，故选D. 答案：D3．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }，B ＝{6,8,10,12,14}，则集合A ∩B 中元素的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }，当n ＝0时，3n ＋2＝2，当n ＝1时，3n ＋2＝5，当n ＝2时，3n ＋2＝8，当n ＝3时，3n ＋2＝11，当n ＝4时，3n ＋2＝14，∵B ＝{6,8,10,12,14}，∴A ∩B 中元素的个数为2，选D.答案：D4．(2015·高考福建卷)若集合A＝{i，i2，i3，i4}(i是虚数单位)，B＝{1，－1}，则A∩B 等于()A．{－1} B．{1}C．{1，－1} D．∅解析：因为A＝{i，－1，－i,1}，B＝{1，－1}，所以A∩B＝{1，－1}，故选C.答案：C5．(2015·高考浙江卷)已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1<x≤2}，则(∁R P)∩Q＝() A．[0,1) B．(0,2]C．(1,2) D．[1,2]解析：∁R P＝{x|0<x<2}，故(∁R P)∩Q＝{x|1<x<2}．答案：C6．(2015·高考重庆卷)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则()A．A＝B B．A∩B＝∅C．A B D．B A解析：由真子集的概念知B A，故选D.答案：D。

新课标人教版高三数学第一轮复习全套教学案

新课标人教版高三数学第一轮复习全套教学案引言本教学案旨在帮助高三学生进行数学第一轮复，以应对新课标人教版高考数学考试。

以下是教学案的详细内容。

目标1. 复并巩固高三数学的核心知识点。

2. 提供高质量的练题和解析，以帮助学生熟悉考试形式和题型，提高解题能力。

3. 培养学生的数学思维和分析能力，以便他们能够在考试中灵活应用知识。

教学内容教学内容主要包括以下部分：1. 数系与代数- 实数与复数- 集合与命题- 数列与数列极限- 等差数列与等比数列2. 函数与方程- 函数与方程基本概念- 一次函数与二次函数- 指数与对数- 三角函数与三角方程3. 解析几何与向量- 平面与空间几何- 二次曲线与常平面- 直线与平面的位置关系- 向量与向量运算4. 概率与统计- 随机事件与概率- 离散型随机变量与连续型随机变量- 统计与抽样调查- 相关与回归分析教学方法为了最有效地进行数学复，我们将采用以下教学方法：1. 系统性研究：按照教学内容的顺序进行研究，逐步巩固知识点。

2. 理论与实践相结合：注重理论知识的讲解，并提供大量的练题和解析，以帮助学生巩固理论知识并提高解题能力。

3. 互动教学：鼓励学生积极参与课堂讨论和提问，激发学生的研究兴趣和数学思维。

4. 小组合作研究：安排学生进行小组合作研究，提倡彼此讨论和合作解题，培养学生的团队合作精神和交流能力。

教学评估为了评估学生的研究效果和掌握程度，我们将采用以下评估方法：1. 阶段性测试：安排定期的阶段性测试，检验学生对各个知识点的理解和掌握情况。

2. 作业批改：及时批改学生的作业，给予针对性的指导和建议。

3. 课堂互动评估：评估学生在课堂上的积极参与程度和表现。

4. 模拟考试：进行模拟考试，让学生体验真实考试环境，以便他们熟悉考试形式和提高应试能力。

结语通过本教学案的实施，相信学生们在第一轮数学复习中将取得良好的成绩。

希望学生们能够认真学习、勤于练习，并与老师和同学们积极合作，共同进步。

高三数学第一轮复习备考计划范本(三篇)

高三数学第一轮复习备考计划范本一、指导思想：我们高三数学备课组将结合本年级学生的实际，本着“让每一个学生成功”的思想，以“提升教育教学质量，培养学生的综合能力”为主线，把“抓好高三学生数学思维的培养工作，进一步研究高考的应对策略”作为工作重点，以提高课堂和作业效率为核心、关注细节，严格过程管理，统一思想，注重学习，科学规划，狠抓落实，全面提高教育教学质量。

二、工作重心：1、氛围营造：承蒙学校信任安排我们担任高三数学的教学工作，我们承担着学校领导和每一位学生家长的重托，全组教师必将进一步增强责任意识，以饱满的热情，昂扬的斗志迎接挑战。

备课组全体成员将充分发挥组内骨干教师的“以身作则，率先垂范”的模范带头作用，发扬精诚团结、精心合作、精益求精的精神，不怕吃苦，不折不扣地完成了各项工作任务，力争做到言必谈高考，行必为高考的良好氛围。

我们的工作目标是：提高每个学生的数学素养，保证在实现年级大面积丰收的基础上优秀学生培养有新突破，为他们能升入更理想的高等学校出力，在高考中，学校均分位于扬州市七大校前列，达到保三争二的目标。

2、健全全员参与的备课组“主体性”工作的组织网络备课组做到分工明确、目标具体、责任到人、通力协作，发扬“甘于奉献、敢打敢拼”的工作作风，严格管理，狠抓落实。

精心安排好每周的集体备课，及时总结上周工作，布置安排下周工作。

根据教育教学实际及时进行研讨和调整。

在成就学生的同时，努力促进教师成长，使每个教师的教学观念不断更新、教学行为不断改进、教学能力和教科研水平不断提高。

3、在研究状态下工作，在工作过程中研究（1）研究教材、研究《考试说明》我们高三数学备课组将组织全体教师仔细研读《考试说明》，逐条对照，特别是研究《考试说明》细化的要求，吃透《考试说明》的精神实质，进而对教学策略作相应的调整。

确保功夫花在刀刃上。

我们还将组织全体教师做____份今年我省及，其他省市高考数学试卷，分析研究其信息及命题走向，明确数学教学所存在的难度，要根据现有时间和课时，计划好教学进度，要精确到每一节课，杜绝内容的随意性。

第03讲平面向量基本定理及其拓展(爪子定理)(高阶拓展)(教师版) 2025年高考数学一轮复习学案

第03讲平面向量基本定理及其拓展（“爪子定理”）（高阶拓展）（3类核心考点精讲精练）1. 5年真题考点分布2. 命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分【备考策略】1.理解平面向量基本定理及其意义2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示3.掌握基底的概念及灵活表示未知向量4.会综合应用平面向量基本定理求解【命题预测】本节一般考查平面向量数量积基本定理的基底表示向量、在平面几何图形中的应用问题，易理解，易得分，需重点复习。

1.平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．（1）．基底e 1，e 2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．（2）基底给定，同一向量的分解形式唯一．　2．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．应用平面向量基本定理应注意的问题(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组．(2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减运算或数乘运算.3. 形如AD xAB y AC =+uuu r uuu r uuu r条件的应用（“爪子定理”）“爪”字型图及性质：（1）已知,AB AC uuu r uuu r 为不共线的两个向量，则对于向量AD uuu r，必存在,x y ，使得AD xAB y AC =+uuu r uuu r uuu r 。

则,,B C D 三点共线Û1x y +=当01x y <+<，则D 与A 位于BC 同侧，且D 位于A 与BC 之间当1x y +>，则D 与A 位于BC 两侧1x y +=时，当0,0x y >>，则D 在线段BC 上；当0xy <，则D 在线段BC 延长线上（2）已知D 在线段BC 上，且::BD CD m n =，则n m AD AB AC m n m n=+++uuu r uuu r uuu r 3、AD xAB y AC =+uuu r uuu r uuu r中,x y 确定方法（1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定,x y（2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程AD xAB y AC =+uuu r uuu r uuu r，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于,x y 的方程，再进行求解（3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于,x y 的方程，再进行求解B1．（2024高三·全国·专题练习）下列各组向量中，可以作为基底的是（）．A ．()10,0e =r，()21,2e =-r B ．()11,2e =-r ，()25,7e =r C ．()13,5e =r，()26,10e =r D ．()12,3e =-r，213,24e æö=-ç÷èør 【答案】B【分析】不共线的非零向量可以作为向量的基底.【详解】因为()11,2e =-r 与()25,7e =r不共线，其余选项中1e r 、2e r 均共线，所以B 选项中的两向量可以作为基底．故选：B【点睛】本题考查平面向量的基本定理及其意义，属于基础题.2．（2024高三·全国·专题练习）如果12,e e r r是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（）A ．1e r 与12e e +r r B ．122e e -r r 与122e e +r r C ．12e e +r r 与12e e -r r D ．123e e +r r 与1226e e +r r 【答案】D【分析】分别验证四个选项中的两向量是否共线即可选出正确答案.【详解】选项A 中，设121=e e e l +r r r，无解，则两向量不共线；选项B 中，设()12122=2e e e e l -+r r r r，则=11l l ìí=-î，无解，则两向量不共线；选项C 中，设()1212=e e e e l +-r r r r，则=11l l ìí=-î，无解，则两向量不共线；选项D 中，()121213262e e e e +=+r r r r，所以两向量是共线向量．故选:D .【点睛】本题考查了基底的涵义，考查了两向量是否共线的判定.本题的关键是判断两向量是否共线.3．（2023高三·福建·阶段练习）下列向量组中，可以用来表示该平面内的任意一个向量的是（）A ．()1,2a =r ，()0,0b =r B ．()1,2a =r，()1,2b =--r C ．()1,2a =r，()5,10b =r D ．()1,2a =r，()1,2b =-r 【答案】D【分析】根据平面向量基本定理可知，表示平面内的任意向量的两个向量不能共线，结合选项，即可判断.【详解】表示平面内的任意一个向量的两个向量不能共线，A.向量b r是零向量，所以不能表示平面内的任意向量，故A 错误；B.a b =-r r，两个向量共线，所以不能表示平面内的任意向量，故B 错误；C.5b a =r r，两个向量共线，所以不能表示平面内的任意向量，故C 错误；D.不存在实数l ，使b a l =r r，所以向量,a b r r 不共线，所以可以表示平面内的任意向量，故D 正确.故选：D1．（2023·陕西西安·一模）设R k Î，下列向量中，可与向量()1,1q =-r组成基底的向量是（）A ．(),b k k =rB ．(),c k k =--rC ．()221,1k d k =++u rD ．()221,1k e k =--r 【答案】C【分析】根据构成基地向量的条件不共线的两个非零向量解决.【详解】对于AB 项，若0k =时，()0,0b =r，()0,0c =r 不满足构成基向量的条件，所以AB 都错误；对于D 项，若1k =±时，()0,0e =r不满足构成基向量的条件，所以D 错误；对于C 项，因为2R,10k k "Î+¹，又因为()()()2211110k k +´--+´¹恒成立，说明d u r 与q r 不共线，复合构成基向量的条件，所以C 正确.故选：C2．（2023高三·全国·专题练习）设{}12,e e u r u u r为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（）A ．12e e +u r u u r 和12e e -u r u ur B ．1224e e +u r u u r 和2124e e -u u r u rC ．122e e +u r u u r 和1212e e +u r u u r D ．122e e -u r u u r 和2142e e +u u r u r【答案】C【分析】根据基底的概念确定正确答案.【详解】平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成，C 选项中，12121222e e e e æö+=+ç÷èøu r u u r u r u u r ，即122e e +u r u u r 和1212e e +u r u u r 为共线向量，所以它们不能作为基底.其它选项中的两个向量都没有倍数关系，所以可以作为基底.故选：C1．（2022·全国·高考真题）在ABC V 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==uuu r uuu r r r ，，则CB uuu r=（）A ．32m n-r r B ．23m n -+r r C ．32m n +r r D ．23m n +r r【答案】B【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =uuu r uuu r，即()2CD CB CA CD -=-uuu r uuu r uuu r uuu r ，所以CB uuu r =3232CD CA n m -=-uuu r uuu r r u r 23m n =-+r r ．故选：B ．2．（全国·高考真题）在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =uuu vA ．3144AB AC-uuuv uuu v B ．1344AB AC-uuuv uuu v C ．3144+AB AC uuuv uuu v D ．1344+AB AC uuuv uuu v 【答案】A【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BD =+uuu v uuu v uuu v，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+uuu v uuu v uuu v，之后将其合并，得到3144BE BA AC =+uuu v uuu v uuu v ，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC =-uuu v uuu v uuu v，从而求得结果.【详解】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v1113124444BA BA AC BA AC uuuv uuu v uuu v uuu v uuu v =++=+，所以3144EB AB AC =-uuu v uuu v uuu v，故选A.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.3．（2024·陕西安康·模拟预测）在ABC V 中，M 是AB 的中点，3,AN NC CM =uuu r uuu r 与BN 相交于点P ，则AP =uuu r（）A ．3155AB AC +uuu r uuu r B ．1355AB AC +uuur uuu r C ．1324AB AC +uuur uuu r D ．3142AB AC +uuur uuu r 【答案】B【分析】根据向量的线性运算、三点共线等知识列方程组，由此求得正确答案.【详解】设AP AB AC l m =+uuu r uuu r uuu r ，由M 是AB 的中点，得2AB AM =uuu r uuuu r，由3AN NC =uuu r uuu r，得43AC AN =uuu r uuu r ，所以2AP AM AC l m =+uuu r uuuu r uuu r，且43AP AB AN l m =+uuu r uuu r uuu r ，由CM 与BN 相交于点P 可知，点P 在线段CM 上，也在线段BN 上，由三点共线的条件可得21413l m l m +=ìïí+=ïî，解得1535l m ì=ïïíï=ïî，所以1355AP AB AC =+uuu r uuu r uuu r .故选：B1．（广东·高考真题）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC a =uuu v v ，BD b =uuu v v ，则AF =uuu vA ．1142a b+v v B ．2133a b+v vC ．1124a b+vv D ．1233a b+v v【答案】B【分析】利用平面几何知识求解【详解】如图，可知222()333AF AC CF AC CD AC AB AC AO OB =+=+=-=-+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r =2112112132232233AC AC BD a a b a b æöæö--=--=+ç÷ç÷èøèøuuu r uuu r uuu r r r r rr ，选B.【点睛】本题考查向量的运算及其几何意义，同时要注意利用平面几何知识的应用，2．（2024·山西吕梁·三模）已知等边ABC V 的边长为1，点,D E 分别为,AB BC 的中点，若3DF EF =uuu r uuu r ，则AF =uuu r （）A ．1526AB AC +uuur uuu r B ．1324AB AC +uuur uuu r C ．12AB AC+uuur uuu r D ．1322AB AC+r r 【答案】B【分析】取{},AC AB uuu r uuu r为基底，利用平面向量基本定理结合已知条件求解即可.【详解】在ABC V 中，取{},AC AB uuu r uuu r为基底，则2,,60AC AB AC AB ===ouuu r uuu r uuu r uuu r ，因为点,D E 分别为,AB BC 的中点，3DF EF =uuu r uuu r,所以1124DE AC EF ==uuu r uuu r uuu r ，所以()11132424AF AE EF AB AC AC AB AC =+=++=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r .故选：B.3．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）在ABC V 中，点M 是AB 的中点，N 点分AC 的比为:1:2,AN NC BN =与CM 相交于E ，设,AB a AC b ==uuu r uuu r r r ，则向量AE =uuu r（）A ．1132a b+r r B ．1223a b+rr C ．2155a b+rr D ．3455a b+rr【答案】C【分析】由三点共线性质以及平面向量基本定理解方程组即可得解.【详解】由题意,,B E N 三点共线，所以存在R l Î，使得()113AE AB AN AB AC l l l l -=+-=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，同理,,C E M 三点共线，所以存在R m Î，使得()112AE AC AM AC AB m m m m -=+-=+uuu r uuu r uuuu ruuu r uuu r，由平面向量基本定理可得1213m l lm -ì=ïïí-ï=ïî，解得21,55l m ==，所以2155AE a b =+uuu r rr .故选：C.1．（全国·高考真题）设D 为ABC V 所在平面内一点，且3BC CD =uuu r uuu r，则（）A. 1433AD AB AC =-+uuu r uuur uuu rB. 1433AD AB AC=-uuu r uuu r uuu rC. 4133AD AB AC =+uuu r uuu r uuu rD. 4133AD AB AC=-uuu ruuur uuu r 答案：A解析：由图可想到“爪字形图得：1344AC AB AD =+uuu r uuu r uuu r ，解得：1433AD AB AC=-+uuu r uuur uuu r 2. 如图，在ABC V 中，13AN NC =uuu r uuu r ，P 是BN 上的一点，若211AP mAB AC =+uuu r uuu r uuu r，则实数m 的值为（）A.911 B.511C.311D.211解：观察到,,B P N 三点共线，利用“爪”字型图，可得AP mAB nAN =+uuu r uuu r uuu r ，且1m n +=，由13AN NC =uuu r uuu r 可得14AN AC =uuu r uuu r ，所以14AP mAB nAC =+uuu r uuu r uuu r ，由已知211AP mAB AC =+uuu r uuu r uuu r 可得：12841111n n =Þ=，所以311m =答案：C3. 如图，在ABC V 中，13AN NC =uuu r uuu r ，P 是BN 上的一点，若211AP mAB AC =+uuu r uuu r uuu r，则实数m 的值为（）A.911 B.511C.311D.211解：观察到,,B P N 三点共线，利用“爪”字型图，可得AP mAB nAN =+uuu r uuu r uuu r ，且1m n +=，由13AN NC =uuu r uuu r 可得14AN AC =uuu r uuu r ，所以14AP mAB nAC =+uuu r uuu r uuu r ，由已知211AP mAB AC =+uuu r uuu r uuu r 可得：12841111n n =Þ=，所以311m =答案：C1．（2024·云南昆明·一模）在ABC V 中，点D 满足4AD DB =uuu r uuu r，则（）A ．1344CD CA CB=+uuu r uuu r uuu r B ．3144CD CA CB=+uuu r uuu r uuu r C ．1455CD CA CB =+uuu ruuu r uuu r D ．4155CD CA CB=+uuu ruuu r uuu r 【答案】C【分析】利用平面向量的加减法则，根据向量定比分点代入化简即可得出结果.【详解】如下图所示：易知()()4441455555CD CA AD CA AB CA AC CB CA CA CB CA CB =+=+=++=+-+=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ；即可得1455CD CA CB =+uuu r uuu r uuu r.故选：C2．（2024·广东广州·一模）已知在ABC V 中，点D 在边BC 上，且5BD DC =uuu r uuur ，则AD =uuu r（）A ．1566AB AC +uuur uuu r B ．1566AC AB +r r C ．1455AB AC +uuur uuu r D ．4155AB AC +uuur uuu r 【答案】A【分析】根据向量的线性运算即可.【详解】在ABC V 中，BC AC AB uuu r uuu r uuu r =-，又点D 在边BC 上，且5BD DC =uuu r uuur，则()55156666AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，故选：A.A ．13,22x y ==C ．13,22x y =-=-【分析】用向量的线性运算把向量AD uuu r分解成AD xAB y AC =+uuu r uuu r uuu r 形式即可得答案.【详解】∵3,2AD AB BD BD BC =+=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，∴()33132222AD AB BC AB AC AB AB AC =+=+-=-+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，故选：B ．【分析】分点内分与外分线段BC 讨论，再由向量的线性运算求解即可.【详解】当D 点在线段BC 上时，如图，()331313444444AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC a b ®®=+=+=+-=+=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，所以114334m n ==，当D 点在线段BC 的延长线上时，如图，()331313222222AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC a b ®®=+=+=+-=-+=-+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，则112332m n -==-，故选：BC.1．（2024·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量1e u r 、2e u ur ，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（）A ．122e e +u r u u r 和12e e -u r u u r B ． 123e e +u r u u r 和213e e +u ur u r C ． 123e e -u r u u r 和2126e e -u u r u r D ． 1e u r 和12e e +u r u u r 【答案】C【分析】根据平面向量共线定理，结合选项，进行逐一分析即可.【详解】对A ：不存在实数l ，使得()12122e e e e l +=-u r u u r u r u u r ，故122e e +u r u u r 和12e e -u r u u r不共线，可作基底；对B ：不存在实数l ，使得()122133e e e e l +=+u r u u r u u r u r，故123e e +u r u u r 和213e e +u ur u r 不共线，可作基底；对C ：对 123e e -u r u u r 和2126e e -u u r u r ，因为21,e e u r u u r是不共线的两个非零向量，且存在实数2-，使得()21122326e e e e =---u r u u u u r u rr ，故123e e -u r u u r 和2126e e -u u r u r共线，不可作基底；对D ：不存在实数l ，使得()112e e e l =+u r u r u u r ，故1e u r 和12e e +u r u u r 不共线，可作基底.故选：C.2．（2024·浙江绍兴·二模）已知四边形ABCD 是平行四边形，2EC BE =uuu r uuu r ，2DF FC =uuu r uuu r ，记AB a uuu r r=，AD b =uuu r r ，则EF =uuu r（）A ．1233a b -+r r B ．1233a b--r rC ．2133a b+r rD ．2133a b-r r 【答案】A【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算求解即得.【详解】在ABCD Y 中，2EC BE =uuu r uuu r ，2DF FC =uuu r uuu r ，AB a uuu r r=，AD b =uuu r r ，所以12123333EF CF CE CD CB a b =-=-=-+uuu r u ruuu uu r uuu u r r r r uu .故选：A3．（2024·全国·模拟预测）在平行四边形ABCD 中，2,EB AE BF FC ==uuu r uuu r uuu r uuu r ，记,AB a AD b ==uuu r uuu r r r ，则EF =uuu r（）A ．2132a b-r r B ．2132a b+rr C ．1132a b+r r D ．1223a b+r r 【答案】B【分析】由向量的线性运算，用,AB AD uuu r uuu r 表示EFuuu r【详解】因为2,EB AE BF FC ==uuu r uuu r uuu r uuu r，则有211,322EB AB BF BC AD ===uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，所以2132EF EB BF a b =+=+uuu r uuu r r uur ru .故选：B ．4．（2024·山东济南·二模）在ABC V 中，E 为边AB 的中点，23BD BC =uuu r uuu r ，则DE =uuu r（）A ．1263AB AC -+uuu r uuu r B ．5163AB AC +uuur uuu r C ．1263AB AC+uuur uuu r D ．1263AB AC-uuur uuu r 【答案】D【分析】借助平面向量的线性运算及平面向量基本定理计算即可得解.【详解】因为E 为边AB 的中点，23BD BC =uuu r uuu r，所以()212131262233DE DB BE CB AB AB AC A C B AB A =+=-=---=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu u u uuu r uuu r uuu r u r r uu r u .故选：D.5．（2024·全国·模拟预测）已知等边三角形ABC 的边长为2，P 为ABC V 的中心，PE AC ^，垂足为E ，则PE =uuu r（）A ．1233AB AC -+uuur uuu r B ．1136AB AC-+uuu r uuu r C ．1163AB AC-+uuur uuu r D ．2133AB AC-+r r 【答案】B【分析】连接AP 并延长，交BC 于点D ，根据P 为ABC V 的中心，易得D 为BC 的中点，E 为AC 的中点，利用平面向量的线性运算求解.【详解】解：如图所示：连接AP 并延长，交BC 于点D ，因为P 为ABC V 的中心，所以D 为BC 的中点．又,PE AC E ^\为AC 的中点，1223PE AE AP AC AD \=-=-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，()1211123236AC AB AC AB AC =-´+=-+uuu r uuu r uuu r uuur uuu r ，故选：B ．6．（2024·陕西安康·模拟预测）在梯形ABCD 中，3,DC AB E =uuu r uuu r 为线段AD 的中点，2DF FC =uuu r uuu r ，则EF =uuu r （）A ．12BA BC-+uuu r uuu r B ．12BA BC-+uuur uuu r C ．1122BA BC-+uuur uuu r D ．32BA BC-+uuu r uuu r【答案】A【分析】先用向量和三角形减法法则得EF DF DE =-uuu r uuu r uuu r ，再对它们进行线性运算转化为5122EF BA BD -+=uuu r uuur uuu r ，此时继续找到3BD BC BA =+uuu r uuu r uuu r，从而可得结果.【详解】由图可得：EF DF DE =-uuu r uuu r uuu r，由2,DF FC E =uuu r uuu r 为线段AD 的中点可得，2312EF DC DA =-uuu r uuu r uuu r ，再由3DC AB =uuu r uuu r可得，()()215133222EF BA BA BD BA BD =´---=-+uuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuu r ，又因为3BD BC CD BC BA +==+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，代入得：()5113222EF BA BC BA BA BC =-++=-+uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuu r ，故选：A.7．（2024·四川·模拟预测）已知平行四边形ABCD 中，E 为AC 中点.F 为线段AD 上靠近点A 的四等分点，设AB a =uuu r r，AD b uuu r r =，则EF =uuu r （）A ．1142a b--r r B ．3142a b--rr C ．1124a b--r r D ．1324a b--r r 【答案】C【分析】利用向量的线性运算可得答案.【详解】如图所示，由题意可得AC AB AD a b =+=+uuu r uuu r uuu r rr ，而()111111242424EF EA AF CA AD a b b a b =+=+=-++=--uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r r r r r r ，故选：C.8．（2024·黑龙江·模拟预测）已知在梯形ABCD 中，//AB CD 且满足2AB DC =uuu r uuur，E 为AC 中点，F 为线段AB上靠近点B 的三等分点，设AB a =uuu r r，AD b uuu r r =，则EF =uuu r （）．A ．2132a b-r r B ．3146a b-rr C ．51122a b -rr D ．1126a b-r r【答案】C【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.【详解】如图所示，由题意可得1122AC AD DC AD AB b a =+=+=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r r r ，而121125123223122EF EA AF CA AB b a a a b æö=+=+=-++=-ç÷èøuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r r rr r r .故选：C ．9．（2024·广东汕头·三模）已知四边形ABCD 是平行四边形，2BE EC =uuu r uuu r ，DF FC =uuu r uuu r ，则EF =uuu r（）A ．1123AB AD -+uuur uuu r B ．1123AB AD --uuur uuu r C ．1132AB AD-+uuur uuu r D ．1132AB AD--uuur uuu r 【答案】A【分析】根据给定条件，利用向量的加法，结合共线向量求解即得.【详解】在ABCD Y 中，由2BE EC =uuu r uuu r ，DF FC =uuu r uuur ，得11113223EF EC CF BC CD AB AD =+=+=-+uuu r uuu r uuu r uuu u uu r uuu u r r uu r .故选：A10．（2024·广东佛山·模拟预测）在ABC V 中，,AB a AC b ==uuu r uuu r rr ，若2,2AC EC BC DC ==uuu r uuu r uuu r uuu r ，线段AD 与BE 交于点F ，则CF =uuu r（）A ．1233a b+r r B ．1233a b-rrC ．1233a b-+r r D ．1233a b--r r【答案】B【分析】根据中线性质得出23AF AD = r r，再由平面向量线性运算即可求得结果.【详解】如下图所示：由2,2AC EC BC DC ==uuu r uuu r uuu r uuu r可得,D E 分别为,BC AC 的中点，由中线性质可得23AF AD = r r，又()()1122AD AB AC a b =+=+uuu r uuu r uuu r r r ，所以()()211323AF a b a b =´+=+uuu r r r r r ，因此()112333CF CA AF b a b a b =+=-++=-uuu r uuu r uuu r r r rr r .故选：B一、单选题1．（2024·福建漳州·模拟预测）在ABC V 中，D 是边BC 上一点，且2,BD DC E =是AC 的中点，记,AC m AD n ==uuu r uuu r u r r ，则BE =uuu r（）A ．533n m-r u r B ．732n m-r u r C ．732m n-u r r D ．532m n-u r r 【答案】D【分析】根据平面向量的线性运算法则进行运算即可.【详解】1()2BE AE AB AC AC CB =-=-+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ()113322AC CD AC AD AC =--=---uuu r uuu r uuu ruuu r uuu r 553322AC AD m n =-=-uuu r uuu r r r ，故选：D ．2．（2024·辽宁·二模）已知平行四边形ABCD ，点P 在BCD △的内部（不含边界），则下列选项中，AP uuu r可能的关系式为（）A ．1355AP AB AD=+uuu r uuu r uuu r B ．1344AP AB AD=+uuu r uuu r uuu rC ．2334AP AB AD=+uuu r uuu r uuu rD ．2433AP AB AD=+uuu r uuu r uuu r【答案】C【分析】根据题意，设AP xAB y AD =+uuu r uuu r uuu r，结合平面向量的基本定理，逐项判定，即可求解.【详解】设(,R)AP xAB y AD x y =+Îuuu r uuu r uuu r，由平面向量的基本定理，可得：当1x y +=时，此时点P 在直线BD 上；当01x y <+<时，此时点P 在点A 和直线BD 之间；当12x y <+<时，此时点P 在点C 和直线BD 之间；当2x y +=时，此时点P 在过点C 且与直线BD 平行的直线上，对于A 中，由向量1355AP AB AD =+uuu r uuu r uuu r ，满足13155+<，所以点P 在ABD △内部，所以A 错误；对于B 中，由1344AP AB AD =+uuu r uuu r uuu r ，满足13144+=，所以点P 在BD 上，所以B 错误；对于C 中，由2334AP AB AD =+uuu r uuu r uuu r ，满足231234<+<，所以点P 可能在BCD △内部，所以C 正确；对于D 中，由2433AP AB AD =+uuu r uuu r uuu r ，满足24233+=，此时点P 在过点C 且与直线BD 平行的直线上，所以D错误.故选：C.3．（2023·湖南·一模）在ABC V 中，点D 满足2,AD DB E =uuu r uuu r 为BCD △重心，设,BC m AC n ==uuu r uuu r r r ，则AE uuu r可表示为（）A ．1233m n+r r B ．1233m n-+r rC ．5899m n-+r rD ．5899m n+r r 【答案】C【分析】根据向量的线性运算、三角形的重心等知识求得正确答案.【详解】()211211323333AE AC CE AC CD CB AC CB CA CB æö=+=+´´+=+++ç÷èøuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r .()2199n m =+×-+r r ()()158399n m m n -+×-=-+rrr r .故选：C4．（22-23高三上·全国·阶段练习）在平行四边形ABCD 中，2BE ED =uuu r uuu r ，2AF AC AB =+uuu r uuu r uuu r，若(),EF AB AD l m l m =+ÎR uuu r uuu r uuu r ，则lm=（）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】D【分析】根据向量的加减运算及数乘运算可得8133EF AB AD =+ r r r，从而得解.【详解】223AF AC AB AB AD AB AB AD =+=++=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，Q 22()AE AB BE AB ED AB AD AE =+=+=+-uuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r uuu r，\2331AE AD AB =+uuur uuu ruuu r ，\113283333EF AF AE AB AD AD AB AB AD =-=+--=+uuur uuu ruuur uuur uuu ruuu ruuu r uuu r uuu r ，Q EF AB AD l m =+uuu r uuu r uuu r，83l \=，13m =，8l m \=．故选：D ．5．（2024·内蒙古包头·一模）如图，在菱形ABCD 中，4AB =，60ABC Ð=o ，,E F 分别为,AB BC 上的点，3BE EA =uuu r uuu r ，3BF FC =uuu r uuu r．若线段EF 上存在一点M ，使得()12DM DC xDA x =+ÎR uuuu r uuu r uuu r ，则DM CA ×uuuu r uuu r 等于（）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】A【分析】以,BE BF uuu r uuu r 为基底可表示出BM uuuu r，由三点共线可构造方程求得x，将所求数量积化为()1324BA BC BA BC æö--×-ç÷èøuuur uuu r uuu r uuu r ，根据数量积的定义和运算律可求得结果.【详解】3BE EA =uuu r uuu r Q ，3BF FC =uuur uuu r ，43BA BE \=uuu r uuu r ，43BC BF =uuu r uuu r ，1112422233x DM DC xDA AB xCB BA xBC BE BF \=+=+=--=--uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuu r ，()24133BM BD DM BA BC DM BE x BF \=+=++=+-uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r，,,E M F Q 三点共线，()241133x \+-=，解得：34x =，1324DM BA BC \=--uuuu r uuu r uuu r ，()221311324244DM CA BA BC BA BC BA BA BC BC æö\×=--×-=--×+ç÷èøuuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu r 84cos 60122=--+=o .故选：A.6．（2024·河北衡水·模拟预测）在ABC V 中，D 是BC 的中点，直线l 分别与,,AB AD AC 交于点,,M E N ，且43AB AM =uuu r uuuu r ，2,AE ED AC AN l ==uuu r uuu r uuu r uuu r，则l =（）A ．85B ．53C ．74D ．52【答案】B【分析】根据向量运算法则，利用,AM AN uuuu r uuu r 表示AE uuu r，结合向量三点共线的定理列式运算求解.【详解】由2AE ED =uuu r uuu r，得()21144333393AE AD AB AC AM AN AM AN l l æö==+=+=+ç÷èøuuu r uuu r uuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu r .因为,,M E N 共线，所以4193l+=，解得53l =.故选：B.7．（2024·宁夏银川·模拟预测）在ABC V 中，2BD DC =uuu r uuu r，过点D 的直线分别交直线AB 、AC 于点E 、F ，且,AE mAB AF nAC ==uuu r uuu r uuu r uuu r，其中0m >，0n >，则2m n +的最小值为（）A ．2BC ．3D ．83【答案】C【分析】根据题意以,AB AC uuu r uuu r 为基底表示出AD uuu r ，再根据,,E F D 三点共线，利用共线定理可得12133m n+=，再由基本不等式即可求得2m n +的最小值为3.【详解】如下图所示：因为2BD DC =uuu r uuu r，易知()22123333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，又,AE mAB AF nAC ==uuu r uuu r uuu r uuu r，所以12123333AD AB AC AE AF m n +=+=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，易知,,E F D 三点共线，利用共线定理可得12133m n+=，又0m >，0n >，所以()1212245252223333333333m n m n m n m n n m æö+=++=+++³=´+=ç÷èø；当且仅当2233m nn m=，即1m n ==时，等号成立，所以2m n +的最小值为3.故选：C二、多选题8．（2024·河北廊坊·模拟预测）如图，在矩形ABCD 中，6,4,AB BC E ==是BC 的中点，F 是DC 上的一点，且2DF FC =，则下列说法正确的是（）A ．23AF AB AD=+uuu r uuu r uuu r B ．13AF AB AD=+uuu r uuu r uuu r C ．28AE AF ×=uuu r uuu rD ．32AE AF ×=uuu r uuu r【答案】AD【分析】利用向量加法法则运算判断AB ，先用加法法则求得12AE AB AD =+uuu r uuu r uuu r，再利用数量积的定义及运算律求解判断CD.【详解】2233D AF AD DF A C AB D AD =+==++uuu r uuu uuu r uuu r uuu r uuu u u r rr u ，故A 正确，B 错误；因为1122AE AB BE AB BC AB AD =+=+=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，所以1223AE AF AB AD AB AD æöæö×=+×+ç÷ç÷èøèøuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 22124824032233AD AB AD AB =++×=++=uuu r uuur uuu r uuu r ，故C 错误，D 正确.故选：AD.三、填空题9．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）如图，在ABC V 中，2,3,3AB AC AB AC ==×=uuu r uuu r，点D 是BC 的中点，点E 在边AC 上，3,AE AC BE =uuu r uuu r交AD 于点F ，设(),BF AB AC l m l m =+ÎR uuu r uuu r uuu r ，则l m += ；点G 是线段BC 上的一个动点，则BF FG ×uuu r uuu r的最大值为．【答案】12-/0.5- 98【分析】利用平面向量的基本定理计算即可得空一，利用平面向量数量积的运算律计算即可得空二.【详解】设,AF mAD BF nBE ==uuu r uuu r uuu r uuu r ，由题意可知112222m m AD AB AC AF AB AC =+Þ=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，133n BE AE AB AC AB BF AC nAB =-=-Þ=-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，则()1322n m m AF AB BF AC n AB AB AC =+=+-=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，因为AB AC 、不共线，所以有13223142n m m m n n ìì==ïïïïÞííïï=-=ïïîî，此时3131414424BF AC AB l l m m ì=-ïï=-ÞÞ+=-íï=ïîuuu r uuu r uuu r ；可设()[]()0,1BG k BC k AC AB k ==-Îuuu r uuu r uuu r uuu r ，则()2221334444k k BF FG k AC AB BF AC AB AC k AB AC AB BF æöéù×=--×-=-×+-ç÷ëûèøuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，92794168k =-£当C G 、重合时取得等号.故答案为：12-；98.10．（2024·天津·模拟预测）如图，在ABC V 中，2AB =，5AC =，3cos 5CAB Ð=，D 是边BC 上一点，且2BD DC =uuu r uuu r.若34BP AD =uuu r uuu r ，记(),PD AB AC l m l m =+ÎR uuu r uuu r uuu r ，则l m += ；若点P 满足BP uuu r 与AD uuu r共线，PA PC ^uuu r uuu r，则BP ADuuu r uuu r 的值为.【答案】34-/0.75- 34或316【分析】把2BD DC =uuu r uuu r 两边用,,AD AB AC uuu r uuu r uuu r 表示即可得解；利用共线向量建立BP uuu r ，AD uuu r之间的数乘关系，进而结合第一空把,PA PC uuu r uuu r 用,AB AC uuu r uuu r表示，利用垂直向量点积为零可得解．【详解】2BD DC =uuu r uuu r，∴()2AD AB AC AD -=-uuu r uuu r uuu r uuu r ，∴1233AD AB AC =+uuu r uuu r uuu r ，则()232312343433PD BD BP BC AD AC AB AB AC æö=-=-=--+ç÷èøu u u u u u uuu r uuu r uuu r uuu r u u r uuu r r uu r uu r 111126AB AC =-+uuur uuu r ，又PD AB AC l m =+uuu r uuu r uuu r ，∴111,126l m =-=，所以34l m +=-；∵BP uuu r 与AD uuu r共线，∴可设BP xAD =uuu r uuu r，x ÎR ，∵1233AD AB AC =+uuu r uuu r uuu r ，∴233x x BP AB AC =+uuu r uuu r uuu r，∴PA PB BA=+uuu r uuu r uuu r BP AB=--uuu r uuu r =2133x x AB AC æö-+-ç÷èøuuur uuu r ，PC PA AC =+uuu r uuu r uuu r =21133x x AB AC æöæö-++-ç÷ç÷èøèøuuur uuu r ，∴PA PC ×uuu r uuu r =222422111133333x x x x x AB AB AC AC æöæöæöæö+++-×--ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøuuur uuu r uuu r uuu r ，①∵32,5,cos 5AB AC CAB ==Ð=，∴24AB =uuu r，225AC =uuu r ，6AB AC ×=uuu r uuu r ，②把②代入①并整理得：∴2128829PA PC x x ×=--uuu r uuu r ，∵PA PC ^uuu r uuu r ，∴0PA PC ×=uuu r uuu r，∴21288209x x --=，解得：1233,416x x ==-，∴BP x AD=uuu r uuu r 34=或316，故BP ADuuu ruuu r 的值为34或316．故答案为：34-；34或316．1．（2020·山东·高考真题）已知平行四边形ABCD ，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点（如图所示），设AB a =uuu r r ，AD b =uuu r r，则EF uuu r 等于（）A ．()12a b+r r B ．()12a b-r r C ．()12b a-r r D ．12a b+r r 【答案】A【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；【详解】连结AC ，则AC 为ABC V 的中位线，\111222EF AC a b ==+uuu r uuu r r r ，故选：A2．（全国·高考真题）在ABC V 中，AB c =uuu v v ，AC b =uuu v v ．若点D 满足2BD DC =uuu v uuu v ，则AD =uuu v（）A ．2133b c+v v B ．5233c b-v v C ．2133b c-v vD ．1233b c+v v【答案】A【详解】试题分析：，故选A ．3．（·全国·高考真题）在ABC V 中，D 是AB 边上一点.若12,3AD DB CD CA CB l ==+uuu r uuu r uuu ruuur uuu r ，则l 的值为（）A ．23B ．13C ．13-D ．23-【答案】A【分析】利用向量的加法的法则，以及其几何意义，把CD uuu r 化为1233CA CB +uuur uuu r ，和已知的条件作对比，求出l值．【详解】解：Q 12,3AD DB CD CA CB l ==+uuu ruuu r uuu ruuur uuu r，22()33CD CA AD CA AB CA CB CA =+=+=+-uuu ruuu ruuu ruuu ruuur uuu r uuu r uuuu r2133CA CB +=uur uuur ，23l \=，故选：A ．4．（全国·高考真题）ABC V 中，点D 在AB 上，CD 平分ACB Ð．若CB a =uuu v v ，CA b =uuuv v ，1=v a ，2b =v ，则CD =uuu vA ．1233a b+v v B ．2133a b+v vC ．3455a b+v vD ．4355a b+v v【答案】B【详解】如图所示，由题设条件知∠1＝∠2，∴BD DA＝CB CA＝12，∴BD uuu r ＝13BA uuu r ＝13(CA uuu r －CB uuu r )＝13b －13a ，∴CD uuu r ＝CB uuu r ＋BD uuu r ＝a ＋13b －13a ＝23a ＋13b .5．（安徽·高考真题）在ABCD Y 中，,,3AB a AD b AN NC ===uuu v v uuu v v uuu v uuu v ，M 为BC 的中点，则MN =uuuu v _______．（用a bvv 、表示）【答案】1144MN a b=-+r uuuu v r 【详解】解：343A =3()AN NC AN C a b ==+uuu r uuu r uuu r uuu r rr 由得，12AM a b =+uuuu r r r ，所以3111()()4244MN a b a b a b =+-+=-+uuuu r r r r r r r 。