线性规划应用 作业

第五节 线性规划应用举例

例1 生产计划问题

某工厂可以生产n A A A 、、、 21共n 种产品，生产中需要消耗m B B B 、、

、 21共m 种资源。生产每单位产量的A j 产品需要消耗B i 种资源的数量为a ij ，各种产品每

单位的利润分别为n c c c 、、、 21。工厂的资源是有限的，每种资源的数量分别为m b b b 、、、 21。

上述情况可表示在如下生产情况表中。

解：

设：n A A A 、、

、 21的产量分别为n x x x 、、、 21。 问题的线性规划模型为：

,,,z max 21221122222121112121112211≥≤+++≤+++≤++++++=n m n mn m m n n n n n

n x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a x c x c x c

例2．货运问题

某企业租用了一节火车车皮运送甲、乙两种货物到外地销售。这两种货物每箱的重量分别为：甲—0.2吨，乙—0.3吨；每箱的体积分别为：甲—1米3，乙—0.6米3；每箱可获得的利润分别为：甲—500元，乙—400元。一节车皮的有效载重为56吨，有效容积为180米3。问：为获得最大利润，甲、乙各应运载多少箱？

可将该问题视为一个生产计划问题，产品为甲、乙，资源为载重量和容积，可列出相应的生产情况表如下：

解：设甲、乙货物的运送两分别为x 1、x 2。

模型为：

,1805.0563.02.0400500z max 2121212

1≥≤+≤++=x x x x x x x x

解得：x 1＝130，x 2＝100，z ＝105000

例3：混合配料问题

某饲养厂每天需要1000公斤饲料，其中至少要含7000克蛋白质、300克矿物质、1000毫克维生素。现有五种饲料可供使用，各种饲料每公斤营养含量及价格如下表所示：

解：设每天各种饲料的选用量依次为：54321,,,,x x x x x 。

模型为：

,,,,100010008.022.05.03005.022.05.07000182638.03.04.07.02.0min 543215432154321543215432154321≥=++++≥++++≥++++≥++++++++=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z

求解得：X=[438.6,0,0,276.3,285.1]，z=398.7

例4：下料问题

现需要90根3米长和90根4米长的钢筋，现有一种10米长的钢筋，问：如何

切割这种10米长的钢筋，才能使所切割的钢筋数量最少？

有如下三种非劣的切割方案： 方案1：3，3，4； 方案2：3，3，3； 方案3：4，4。

解：设按方案1切割钢筋的数量为x 1；

按方案2切割钢筋的数量为x 2；

按方案3切割钢筋的数量为x 3；

模型：

,,9029032z min 32131213

21≥≥+≥+++=x x x x x x x x x x

解得：46，0，22

例5：排班问题

某旅行社对一日游导游的需求如下：

时间：周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 需求： 40 34 32 35 28 46 42

导游每周工作五天，连续休息两天。问应如何安排导游的工作时间，能使所需配备的导游人数最少？

解：从周一至周日开始上班的导游人数依次为：7654321,,,,,,x x x x x x x

则周一处于上班状态的导游人数为：76541x x x x x ++++，该人数应大于等于周一的需求人数40。同理可得其它各天的工作人数。

所配备的导游人员的总数为7654321x x x x x x x ++++++，其应尽量小。 可得如下线性规划模型：

0,,,,,, 42 46 28 35 32 34 40 min 7654321765436543254321743217632176521765417654321≥≥++++≥++++≥++++≥++++≥++++≥++++≥++++++++++=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z

教材P44，例13 混合配料问题

教材P45，例14 投资组合问题

教材P49，作业：1.13 仓库租赁问题

解：设x ij 为第i 月初起租借到第j 月末止的租借面积，41≤≤≤j i 。

模型为：

)

41(0 12 20 10 15 280045002800 600045002800 7300600045002800 min 443424143324231413221413121413121144343324232214131211≤≤≤≥≥+++≥++++≥+++≥++++++++++++=j i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z ij

求解得：118400,8,12,3331411====z x x x

作业四：

列出如下问题的线性规划模型，并用Excel求解。

1. 某厂生产A、B、C三种产品，每单位产品的原材料、工时消耗、利润及资源的限制量如下表。

解法：设A,B,C产品各生产X1,X2,X3时利润最大化

Max z=20 X1+16 X2+12 X3

S.T. 3 X1+ X2+2X3《1600

2 X1+ 4X2+2X3《2000

X1,X2,X3》0所以X1,X2,X3分别为440，280，0所以Max z=13280

2. 上题中，根据市场情况，三种产品的最低生产量分别为300、250、100，最高生产量分别为400、350、200。试制定利润最大的生产计划。

由题意可以知道：

Max z=20 X1+16 X2+12 X3

S.T. 3 X1+ X2+2X3《1600

2 X1+ 4X2+2X3《2000

300《X1《400

250《X2《350

100《X3《200

3. 某公司准备把下表所示的5种现有合金混合起来，配置一种含铅30%、铜20%、铝50%的新合金，共1000公斤。问现有合金应各用多少公斤才能使总费用最省。

1,2,3,4, 5

Max z=49 X1+65 X2+732X3+53 X4+75 X5

0.3 X1+0.1 X2+0.5 X3+0.2 X4+0.4X5=300

0.4 X1+0.1X2+0.2X3+0.2 X4+0.2 X5=200

0.3 X1+0.8 X2+0.3X3+0.5 X4+0.4X5=500