第9章 线性规划方法及其应用 ppt课件
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线性规划方法PPT
在上述变换中有关系式
xi
(1)
xi ( 0 ) − θβ i ,m+t , i ≠ l = θ , i = l
，
i = 1,2,L, m 1 ≤ l ≤ m,1 ≤ t ≤ n − m
其中
θ=
β l ,m +t
m i =1
xl
(0)
xi ( 0 ) = min β i , m + t > 0 1≤i ≤ m β i ,m +t
j =1
n
n 约束条件： ∑ aij x j ≤ bi (i = 1,2,L , m) j =1 x ≥ 0( j = 1,2,L , n) j
概念：如果问题的目标函数和约束条件分 别是关于决策变量的线性函数和线性不等 式，则称该问题为线性规划问题，其模型 称为线性规划模型。
二 线性规划模型的一般形式
的最优性 ，由约束方程组对任意解 X = ( x1 , x2 , L xn )T 有
xi = ∑ a′ x , i = 1,2,L, m.
ij j
n
将基可行解 X (1) 和任意可行解 X = ( x1 , x2 , L xn )T 分别代入 目标函数得
z
(1)
= ∑ ci xi
等号为“≥”和“＝”，则首先引入松弛变量化为标准型， m Im 再通 m B=I I
m
m
过人工变量法总能得到一个 阶单位矩阵 ，综上所述，取 如上 阶单位矩阵 为初始可行基，即 ；将相应的 xi = bi − aim +1 xm+1 − L − ain xn , i = 1,2,L m. 约束方程组变为
六、线性规划的求解方法
高二数学简单线性规划的应用PPT优秀课件
• 1．⑪________——设未知数，写出约束 条件与目标函数，将实际应用问题转化为 数学上的线性规划问题；
• 2．⑫________——解这个线性规划问题；
• 3．⑬________——根据应用题提出的问 题作答．
• 答案：
• ①最大值 ②最小值 ③资源配置 ④环 境优化 ⑤产品配方 ⑥合理下料 ⑦可
• [例2] 某工厂生产甲、乙两种产品，每生 产 值品1．种t如产电下品力表需度(所要千) 示的煤：电(力吨、) 煤劳、动人劳力)动( 力及产产值元(千)
甲
4
3
5
7
乙
6
6
39Βιβλιοθήκη • 该厂的劳动力满员150人，根据限额每天用 电不超过180千度，用煤每天不得超过150 t， 问每天生产这两种产品各多少时，才能创 造最大的经济效益？
• 1.线性规划的理论和方法主要在哪几类问 题中得到应用？线性规划问题的常见类型 有哪些？
• (1)线性规划的理论和方法主要在两类问题 中得到应用：
• 一是在人力、物力、资金等资源一定的条 件下，如何使用它们来完成最多的任务；
• 二是给定一项任务，如何合理安排和规划，
• (2)线性规划问题的常见类型有： • ①物资调运问题 • 例如已知A1、A2两煤矿每年的产量，煤需
• 4．3 简单线性规划的应用
• 一、线性规划问题
• 一般地，求线性目标函数在线性约束条件 下的①________或②________问题即为线 性规划问题．
• 二、线性规划解决的常见问题 • (1)③________问题． • (2)④________问题． • (3)⑤________问题．
• 三、线性规划问题的求解步骤
由35xx＋ ＋63yy＝ ＝115500， ， 解得yx＝＝11570700， ， 即点 P 坐标为(1570，1070)． 故每天生产甲种产品1570吨、乙种产品1070吨时，才能 创造最大的经济效益．
• 2．⑫________——解这个线性规划问题；
• 3．⑬________——根据应用题提出的问 题作答．
• 答案：
• ①最大值 ②最小值 ③资源配置 ④环 境优化 ⑤产品配方 ⑥合理下料 ⑦可
• [例2] 某工厂生产甲、乙两种产品，每生 产 值品1．种t如产电下品力表需度(所要千) 示的煤：电(力吨、) 煤劳、动人劳力)动( 力及产产值元(千)
甲
4
3
5
7
乙
6
6
39Βιβλιοθήκη • 该厂的劳动力满员150人，根据限额每天用 电不超过180千度，用煤每天不得超过150 t， 问每天生产这两种产品各多少时，才能创 造最大的经济效益？
• 1.线性规划的理论和方法主要在哪几类问 题中得到应用？线性规划问题的常见类型 有哪些？
• (1)线性规划的理论和方法主要在两类问题 中得到应用：
• 一是在人力、物力、资金等资源一定的条 件下，如何使用它们来完成最多的任务；
• 二是给定一项任务，如何合理安排和规划，
• (2)线性规划问题的常见类型有： • ①物资调运问题 • 例如已知A1、A2两煤矿每年的产量，煤需
• 4．3 简单线性规划的应用
• 一、线性规划问题
• 一般地，求线性目标函数在线性约束条件 下的①________或②________问题即为线 性规划问题．
• 二、线性规划解决的常见问题 • (1)③________问题． • (2)④________问题． • (3)⑤________问题．
• 三、线性规划问题的求解步骤
由35xx＋ ＋63yy＝ ＝115500， ， 解得yx＝＝11570700， ， 即点 P 坐标为(1570，1070)． 故每天生产甲种产品1570吨、乙种产品1070吨时，才能 创造最大的经济效益．
线性规划PPT课件
线性规划的基本定理
线性规划的解存在性
对于任何线性规划问题，都存在至少一个最优解。
最优解的唯一性
在某些情况下，线性规划问题的最优解是唯一的，这取决于目标函 数和约束条件的形状和位置。
解的稳定性
线性规划问题的最优解是稳定的，即使目标函数或约束条件略有变 化，最优解也不会发生大的变化。
03
线性规划的求解方法
优缺点：内点法具有全局收敛性和对初始点不敏 感的优点，但计算量较大，需要较高的计算资源 。
椭球法
01
总结词：几何方法
02
03
04
详细描述：椭球法是一种基 于几何方法的线性规划算法。 它将可行解的边界表示为椭 球，通过迭代移动椭球中心
来逼近最优解。
算法步骤：椭球法的基本步 骤包括初始化、构建椭球和 迭代更新。在每次迭代中， 根据当前椭球的位置和方向 来更新中心和半径，直到满
运输问题
总结词
运输问题是线性规划在物流和供应链管理中的重要应用，旨在优化运输成本、 运输时间和运输量等目标。
详细描述
运输问题通常需要考虑多个出发地、目的地、运输方式和运输成本等因素。通 过线性规划方法，可以找到最优的运输方案，使得总运输成本最低、运输时间 最短，同时满足运输量和运输路线的限制。
投资组合优化问题
03
单纯形法
单纯形法是线性规划的标 准算法，通过迭代和优化， 找到满足约束条件的最大 或最小目标函数值。
初始解
在应用单纯形法之前，需 要先找到一个初始解，这 可以通过手动计算或使用 软件工具来实现。
迭代过程
单纯形法通过不断迭代和 优化，逐步逼近最优解， 每次迭代都需要重新计算 目标函数值和最优解。
线性规划的几何意义
线性规划 ppt课件
约束条件为：
8 25 x1 8 15 x2 1800 8 25 x 1800 1 8 15 x2 1800 x1 0, x2 0
6
线性规划模型：
min z 40 x1 36 x2
5 x1 3 x2 45 x 9 1 s.t. x2 15 x1 0, x2 0
2
两个引例 问题一 ： 任务分配问题：某车间有甲、乙两台机床，可用
于加工三种工件.假定这两台车床的可用台时数分别为800和 900，三种工件的数量分别为400、600和500，且已知用二种 不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如 下表.问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加工工件的要 求，又使加工费用最低？
注：lingo的灵敏度分析需要激活（系统默认是不激活的）为了激活灵敏性分析， 运行LINGO|Options…，选择General Solver Tab， 在Dual Computations列表 框中，选择Prices and Ranges选项。 确认并运行LINGO|Ranges或快捷键 ctrl+R.
在LINGO模型 min 13* x1 9* x 2 10* x3 11* x 4 12* x5 8* x6; 窗口输入： x1 x 4 400;
x 2 x5 600; x3 x6 500; 0.4* x1 1.1* x 2 x3 800; 0.5* x 4 1.2* x5 1.3* x6 900;
Cost
X1 X2 X3 X4 X5 X6 Row Price
影子价格
Slack or Surplus
1 2 3 4 5 6
13800.00 0.000000 0.000000 0.000000 140.0000 50.00000
8 25 x1 8 15 x2 1800 8 25 x 1800 1 8 15 x2 1800 x1 0, x2 0
6
线性规划模型：
min z 40 x1 36 x2
5 x1 3 x2 45 x 9 1 s.t. x2 15 x1 0, x2 0
2
两个引例 问题一 ： 任务分配问题：某车间有甲、乙两台机床，可用
于加工三种工件.假定这两台车床的可用台时数分别为800和 900，三种工件的数量分别为400、600和500，且已知用二种 不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如 下表.问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加工工件的要 求，又使加工费用最低？
注：lingo的灵敏度分析需要激活（系统默认是不激活的）为了激活灵敏性分析， 运行LINGO|Options…，选择General Solver Tab， 在Dual Computations列表 框中，选择Prices and Ranges选项。 确认并运行LINGO|Ranges或快捷键 ctrl+R.
在LINGO模型 min 13* x1 9* x 2 10* x3 11* x 4 12* x5 8* x6; 窗口输入： x1 x 4 400;
x 2 x5 600; x3 x6 500; 0.4* x1 1.1* x 2 x3 800; 0.5* x 4 1.2* x5 1.3* x6 900;
Cost
X1 X2 X3 X4 X5 X6 Row Price
影子价格
Slack or Surplus
1 2 3 4 5 6
13800.00 0.000000 0.000000 0.000000 140.0000 50.00000
线性规划课件
线性规划李建恩在现实生活以及工业生产中，我们会遇到各种各样的优化问题。
其实呢，很多优化问题都可以归类于规划问题，如线性规划、非线性规划、二次规划、整数规划、动态规划、多目标规划等等。
什么是优化问题，如何将问题最优化？今天，我给大家讲解的是线性规划，它属于规划类问题，是运筹学的一个重要分支。
什么是线性规划？1.1 实例与定义例 1 某工厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。
生产甲机床需用B A 、机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用C B A 、、三种机器加工，加工时间为每台各一小时。
若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？上述问题的数学模型：设该厂应每天生产1x 台甲机床和2x 乙机床，此时总利润最大，则21,x x 应满足：(1)（目标函数）2134max x x z +=A B C 利润（千元/台）甲 2 1 0 4 乙 1 1 1 31087（2）s.t.（约束条件）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≤+0,781022122121x x x x x x x这里变量12,x x 称之为决策变量，（1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。
上述即为一规划问题数学模型的三个要素。
由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数，故被称为线性规划问题。
总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。
线性规划问题简称LP （linear programming ）问题。
在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解效果。
而选取适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。
线性规划的图解法2134maxx x z += ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≤+0,781022122121x x x x x x x246810012345678910x2=72x1+x2=10x1+x2=8z=12(2,6)图解法简单直观，有助于了解线性规划问题求解的基本原理。
线性规划PPT课件
基解：令所为 有 0， 非求 基出 变的 (1量 .2)的 满解 足 称为基解。
基可行解与可行 足基 (1.3)： 的满 基解称为基可 对应基可行解的 为基 可， 行称 基。基 显可 然 解的数目 基解的数 C目 nm
基本最优解与最优基 满： 足(1.1) 的基可行解称为基本 优最 解，
对应m,如果 B是矩A中 阵的一 mm个 阶非奇异 (|B子 |0)矩 ,则阵 称 B是线性规 题的一个基。
基向量与非基向B量 中： 的基 列向量称为，基向 矩阵A中除B之外各列即为非，基 A中 向共 量 有nm个非基向量。
基变量与非基 基变 向P量 j量 对： 应与 的xj变 称量 为基变量；否 基则 变称 量为 。非
将文件存储并命名后，选择菜单 “Solve” 并对提示 “ DO RANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS? ”回答“是”，即 可得到如下输出：
“资源” 剩余 为零的约束为 紧约束（有效 约束）
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
3360.000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
可行解 基 解
基可行解
1.4 线性规划问题的图解法
下面结合例1的求解来说明图解法步骤。
例1
max Z 4 x1 3 x2
2 x1 3 x2 24
s. t 3 x1 2 x2 26
x2
x1, x2 0
Q3(6,4)
第一步：在直角坐标系中分
别作出各种约束条件，求出
3x1+2x2=26
Q2(6,4)
B
条 件
3x1 100
x1,x2 0
l3:3x1 100 l4
l4:x10,l5:x200
线性规划方法及其应用
05
线性规划方法优缺点分析
优点分析
有效处理多变量问题
线性规划能够同时处理多个决策变量，通过 优化算法寻找最优解。
直观易懂的数学模型
线性规划在各个领域都有广泛的应用，如生 产计划、资源分配、运输问题等。
广泛应用
线性规划的数学模型相对简单，易于理解和 应用。
可求解大规模问题
随着计算机技术的发展，线性规划可以求解 大规模的问题，满足实际应用的需求。
复杂约束处理
研究如何处理包含复杂约束条件的线性规划问题，提高求解效率和 准确性。
不确定性问题建模
针对包含不确定性因素的线性规划问题，发展有效的建模和求解方 法。
应用领域拓展
探索线性规划方法在更多领域（如机器学习、大数据分析等）的应用 潜力，推动相关领域的理论和技术创新。
感谢您的观看
THANKS
3
考虑不确定性
将不确定性因素引入资源分配问题中，通过线性 规划求解鲁棒性强的资源分配策略，以应对潜在 的风险和变化。
04
线性规划软件介绍
MATLAB软件介绍
1
MATLAB是一款由MathWorks公司开发的数学 计算软件，广泛应用于算法开发、数据可视化、 数据分析以及数值计算等领域。
2
MATLAB提供了丰富的工具箱，其中包括优化工 具箱（Optimization Toolbox），可用于解决线 性规划问题。
线性规划方法及其应用
目录
• 线性规划基本概念 • 线性规划方法 • 线性规划应用举例 • 线性规划软件介绍 • 线性规划方法优缺点分析 • 线性规划方法发展趋势与展望
01
线性规划基本概念
定义与特点
定义：线性规划是一种数学方法，用于 优化一组线性不等式约束下的线性目标 函数。
线性规划PPT优秀课件
y
1
x+y-1>0
1
O
x+y-1<0 x+y-1=0
x
复习二元一次不等式表示平面区域的范例 例1 画出不等式2x+y-6<0表示的平面区域。 y
6
注意：把直
线画成虚线以 表示区域不包 括边界
O
2x+y-6=0
3
x
复习二元一次不等式表示平面区域的范例 y
5Hale Waihona Puke 例2 画出不等式组 x+y=0
x y 5 0 x y 0 x 3
探索结论
复习判断二元一次不等式表示哪一 侧平面区域的方法
由于对在直线ax+by+c=0同 一侧所有点(x，y)，把它的坐标 (x，y)代入ax+by+c，所得的实 数的符号都相同，故只需在这条 直线的某一侧取一特殊点(x0，y0) 以ax0+by0+c的正负的情况便可 判断ax+by+c>0表示这一直线 哪一侧的平面区域，特殊地，当 c≠0时常把原点作为此特殊点
可行域
(5,2)
(1,1)
线性规划
例1 解下列线性规划问题： 求z=2x+y的最大值和最小值，使式中x、y满足下 列条件： 2x+y=0 y
解线性规划问题的一般步骤：
2x+y=-3 y x 1 1 第一步：在平面直角坐标系中作出可行域； C( , ) 2 2 第二步：在可行域内找到最优解所对应的点； x y 1 O y 1 第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数 B(2,-1) 2x+y=3
x-y=7 C(3,6) y=6
线性规划课件ppt
根据实际问题的特点，选择适合的线性规划模型进行建模和优化。
详细描述
在选择线性规划模型时，应根据实际问题的特点进行选择。例如，对于简单的最优化问题，可以使用标准型线性规划模型；对于需要约束条件或特殊处理的问题，可以选择扩展型线性规划模型。在建立模型后，还可以使用优化软件对模型进行优化，以提高求解效率和准确性。
CHAPTER
线性规划的求解方法
总结词
最常用的方法
要点一
要点二
详细描述
单纯形法是一种迭代算法，用于求解线性规划问题。它通过不断地在可行解域内寻找新的解，直到找到最优解或确定无解为止。单纯形法的主要步骤包括建立初始单纯形、确定主元、进行基变换和更新单纯形等。该方法具有简单易行、适用范围广等优点，但在某些情况下可能会出现迭代次数较多、计算量大等问题。
在选择变量时，应考虑其物理意义、数据的可靠性和敏感性等因素。
选择变量时，首先要考虑变量的物理意义和实际背景，以便更好地理解模型和求解结果。同时，要重视数据的可靠性，避免使用不可靠的数据导致模型失真或错误。敏感度分析可以帮助我们了解变量对目标函数的影响程度，从而更好地选择变量。
总结词
详细描述
总结词
线性规划在工业生产中的应用已经非常广泛，未来将会进一步拓展其应用领域。
工业生产
线性规划在物流运输领域中的应用也将会有更广阔的前景，例如货物的合理配载、车辆路径规划等。
物流运输
线性规划在金融管理中的应用也将逐渐增多，例如投资组合优化、风险控制等。
金融管理
非线性优化
将线性规划拓展到非线性优化领域是一个具有挑战性的研究方向，但也为线性规划的应用提供了更广阔的发展空间。
软件特点
Lingo具有强大的求解能力，可以高效地解决大规模线性规划问题，同时具有友好的用户界面，方便用户进行模型输入和结果输出。
详细描述
在选择线性规划模型时，应根据实际问题的特点进行选择。例如，对于简单的最优化问题，可以使用标准型线性规划模型；对于需要约束条件或特殊处理的问题，可以选择扩展型线性规划模型。在建立模型后，还可以使用优化软件对模型进行优化，以提高求解效率和准确性。
CHAPTER
线性规划的求解方法
总结词
最常用的方法
要点一
要点二
详细描述
单纯形法是一种迭代算法，用于求解线性规划问题。它通过不断地在可行解域内寻找新的解，直到找到最优解或确定无解为止。单纯形法的主要步骤包括建立初始单纯形、确定主元、进行基变换和更新单纯形等。该方法具有简单易行、适用范围广等优点，但在某些情况下可能会出现迭代次数较多、计算量大等问题。
在选择变量时，应考虑其物理意义、数据的可靠性和敏感性等因素。
选择变量时，首先要考虑变量的物理意义和实际背景，以便更好地理解模型和求解结果。同时，要重视数据的可靠性，避免使用不可靠的数据导致模型失真或错误。敏感度分析可以帮助我们了解变量对目标函数的影响程度，从而更好地选择变量。
总结词
详细描述
总结词
线性规划在工业生产中的应用已经非常广泛，未来将会进一步拓展其应用领域。
工业生产
线性规划在物流运输领域中的应用也将会有更广阔的前景，例如货物的合理配载、车辆路径规划等。
物流运输
线性规划在金融管理中的应用也将逐渐增多，例如投资组合优化、风险控制等。
金融管理
非线性优化
将线性规划拓展到非线性优化领域是一个具有挑战性的研究方向，但也为线性规划的应用提供了更广阔的发展空间。
软件特点
Lingo具有强大的求解能力，可以高效地解决大规模线性规划问题，同时具有友好的用户界面，方便用户进行模型输入和结果输出。
线性规划教材教学课件
02
线性规划的基本理论
线性规划的几何解释
01
线性规划问题可以解释为在多维 空间中寻找一个点，该点使得某 个线性函数达到最大或最小值。
02
线性规划问题可以用图形表示， 通过观察图形可以直观地理解问 题的约束条件和目标函数。
线性规划的基本定理
线性规划问题存在最优解，且最优解必定在约束条件的边界 上。
大M法的优点是计算量较小， 可以快速找到一个近似解，但 解的精度和可靠性相对较低。
大M法适用于一些对解精度要 求不高，但需要快速得到近似 解的场合。
两阶段法
两阶段法是一种求解线性规划问题的分 解方法，将原问题分解为两个阶段进行
求解。
第一阶段是求解一个初始的线性规划问 题，得到一个初步的解；第二阶段是在 初步解的基础上进行修正和调整，以得
Python求解线性规划
总结词
Python是一种通用编程语言，也提供了求解线性规划的 库。
详细描述
Python的PuLP库可以用来求解线性规划问题，用户只需 要编写Python代码来定义线性规划的约束条件和目标函 数，然后调用PuLP库的函数即可得到最优解。
总结词
PuLP库提供了多种求解器选项，包括GLPK、CBC、 CP，这些最优解称为最优 解集。
线性规划的解的概念
线性规划问题的最优解称为最优解， 而所有最优解的集合称为最优解集。
在最优解集中，存在一个最优解被称 为最优基解，它是线性规划问题的一 个基可行解。
03
线性规划的求解方法
单纯形法
单纯形法是一种求解线性规划问题的 经典方法，通过不断迭代和寻找最优 解的过程，最终找到满足所有约束条 件的解。
单纯形法具有简单易行、适用范围广 等优点，但也有计算量大、需要多次 迭代等缺点。
线性规划简介及引例及模型 PPT
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2
…
…
am1x1+am2x2+…+amnxn=bm x1,x2,…xn≥0(称为非负约束) 其中bi≥0(否则等式两端乘以-1即可)
(LP)
注:实际中的线性规划问题均可化为此标准形式
20
•线性规划问题标准化方法
(i)max c1x1+…+cnxn可转化为 min -(c1x1+…+cnxn) (ii)关于“≥”的约束 可 减去一个非负变量化为一等式 (iii)关于“≤”的约束 可 加上一个非负变量化为一等式 (iv)若关于变量xi无要求, 可 令xi=xi’-xi”,xi’,xi” ≥0
线性规划简介及引例及模型
5、1 线性规划简 介
• 运筹学中应用最广泛的方法之一 • 运筹学的最基本的方法之一,网络规划,整数规划,目标
规划和多目标规划都是以线性规划为基础的 • 解决稀缺资源最优分配的有效方法,使付出的费用最小
或获得的收益最大
2
线性规划是运筹学的一个重要分支。线性规划在理论 上比较成熟,在实用中的应用日益广泛与深入。特别是在 电子计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线 性规划问题之后,线性规划的适用领域更为广泛了。从解 决技术问题的最优化设计到工业、农业、商业、交通运 输业、军事、经济计划和管理决策等领域都能够发挥作 用。它已是现代科学管理的重要手段之一。解线性规划
5
➢应用广泛
• 市场营销(广告预算和媒介选择,竞争性定价,新产品开发,制 定销售计划)
• 生产计划制定(合理下料,配料,库存,劳力综合) • 库存管理(合理物资库存量,停车场大小,设备容量) • 运输问题 • 财政、会计(预算,贷款,成本分析,投资,证券管理) • 人事(人员分配,人才评价,工资和奖金的确定) • 设备管理(维修计划,设备更新) • 城市管理(供水,污水管理,服务系统设计、运用)
第9章 线性规划方法及其应用 ppt课件
当要求决策变量 xj(j1,2,,n)均取0或1时，称（9.1） 为 0 1 整数线性规划问题.
当要求决策变量 xj(j1,2,,n) 既取实数又取整数时， 称（9.1）为混合整数线性规划问题. 我们把满足所有约束条件的解称为线性规划问题（9.1） 的可行解.全体可行解的集合称为问题（9.1）的可行域,
19
9.2 建立线性规划模型的一般步骤
其中称 f c 1 x 1 c 2 x 2 c nx n为目标函数，xj(j1,2,,n) 为决策变量，bj(i =1,2,L,m)为约束常数，后面的式子为 约束条件.这里的 c j,b i,a ij(i 1 ,2 ,L ,m ;j 1 ,2 ,L ,n ) 为常数. 当要求决策变量 xj(j1,2,,n)均为整数时，称（9.1） 为纯整数线性规划问题；
的计划产量分别为 x1,x2,L ,xn 单位，则问题的数学模型
为
max f c1x1 c2 x2 L cn xn s.t. a11x1 a12 x2 L a1n xn b1,
a21x1 a22 x2 L a2n xn b2 , ........................................... am1x1 am2 x2 L amn xn bm , x j 0 ( j 1, 2,L , n).
3 x1 x2 3 x3 100, x j 0 ( j 1, 2, 3).
其中s . t . 为英文“subject to”的缩写，表示决策变量xj( j 1,2,3) 受 它后面的条件约束. 最优解为x10,x22,5 x325（具体解法后面 介绍），代入总利润的表达式f4x13x27x3 得对应的目标函 数最大值为250.由此得到该企业在现有资源条件下，日生产的最 优安排是：产品A 1 不生产A ，2 生产25吨A ，3 生产25吨，可实现最大 利润250千元/日.
当要求决策变量 xj(j1,2,,n) 既取实数又取整数时， 称（9.1）为混合整数线性规划问题. 我们把满足所有约束条件的解称为线性规划问题（9.1） 的可行解.全体可行解的集合称为问题（9.1）的可行域,
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9.2 建立线性规划模型的一般步骤
其中称 f c 1 x 1 c 2 x 2 c nx n为目标函数，xj(j1,2,,n) 为决策变量，bj(i =1,2,L,m)为约束常数，后面的式子为 约束条件.这里的 c j,b i,a ij(i 1 ,2 ,L ,m ;j 1 ,2 ,L ,n ) 为常数. 当要求决策变量 xj(j1,2,,n)均为整数时，称（9.1） 为纯整数线性规划问题；
的计划产量分别为 x1,x2,L ,xn 单位，则问题的数学模型
为
max f c1x1 c2 x2 L cn xn s.t. a11x1 a12 x2 L a1n xn b1,
a21x1 a22 x2 L a2n xn b2 , ........................................... am1x1 am2 x2 L amn xn bm , x j 0 ( j 1, 2,L , n).
3 x1 x2 3 x3 100, x j 0 ( j 1, 2, 3).
其中s . t . 为英文“subject to”的缩写，表示决策变量xj( j 1,2,3) 受 它后面的条件约束. 最优解为x10,x22,5 x325（具体解法后面 介绍），代入总利润的表达式f4x13x27x3 得对应的目标函 数最大值为250.由此得到该企业在现有资源条件下，日生产的最 优安排是：产品A 1 不生产A ，2 生产25吨A ，3 生产25吨，可实现最大 利润250千元/日.
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9.1 线性规划是什么
类似于例9.1的这类问题称为最优生产计划问题.其一般描述是利
用资源m 种B i 的资限源制B1,，Bc 2j,表,示Bm产组品织A生j 产的单n 位种利产润品，Aa1,ijA表2, 示,单An.位以产b品i 表A示j
(j1,2, ,n)消耗资源 B i (i1,2, ,m) 的数量（代表该企业当
随着电子计算机的发展和计算速度的不断提高，
其适用的领域更加广泛，它已成为必不可少的重要手 段之一。
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4、1975年库伯曼斯(Koopmans)因对资源最 优分配理论的贡献而获诺贝尔经济学奖；
5、冯•诺伊曼和摩根斯坦1944年发表的 《对 策论与经济行为》涉及与线性规划等价的对策问题 及线性规划对偶理论。
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1、康托洛维奇生产组织与计划中的数学方法,一 本小册子，1939;
2、康托洛维奇“最佳资源利用的经济计算”— —1942完成、1959发表的著作 ；
3、自1947年丹兹格（G.B.Dantzing）提出求解 线性规划问题的一般方法--单纯形法之后，线性规划 在理论上趋于成熟，应用日益广泛与深入；
【例9.2】 某钢铁厂熔炼一种新型不锈钢，需要4种合金 T1,T2,T3,T4 为原料经测定这4种原料关于元素铬（Cr）、锰（Mn）和镍（Ni） 的质量分数（%）、单价以及这种新型不锈钢所需铬、锰和镍的最 低质量分数，情况如表9.3所示. 假设熔炼时质量没有损耗，问： 要熔炼100吨这样的不锈钢，应选用原料T1,T2,T3,T4 各多少吨，能 够使成本最小？
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运筹学的主要内容
数
ห้องสมุดไป่ตู้
非线性规划
学
整数规划
规
动态规划
划
多目标规划
学
双层规划
科
组
最优计数问题
合 网络优化
内
优 排序问题 化 统筹图
容
对策论 随 排队论 机 优 库存论 化 决策分析
可靠性分析
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9.1 线性规划是什么 9.2 建立线性规划模型的一般步骤 9.3 线性规划问题的图解法 9.4 线性规划问题解的性质 9.5 解线性规划问题的单纯形法 9.6 线性规划的应用
的计划产量分别为 x1,x2, ,xn 单位，则问题的数学模型
为
max f c1x1 c2 x2 cn xn s.t. a11x1 a12 x2 a1n xn b1,
a21x1 a22 x2 a2n xn b2 , ........................................... am1x1 am2 x2 amn xn bm , x j 0 ( j 1, 2, , n).
第9章 线性规划方法及其应用 ppt课 件
线性规划（Linear Programming）作为运筹学的一个重要分支， 是研究较早、理论较完善、应用最广泛的一个学科。它所研 究的问题主要包括两个方面：一是在一项任务确定后，如何 以最低成本（如人力、物力、资金和时间等）去完成这一任 务；二是如何在现有资源条件下进行组织和安排，以产生最 大收益。因此，线性规划是求一组变量的值，使它满足一组 线性式子，并使一个线性函数的值最大（或最小）的数学方 法。线性规划不仅仅是一种数学理论和方法，而且已成为现 代管理工作中帮助管理者做出科学决策的重要手段。
3 x1 x2 3 x3 100, x j 0 ( j 1, 2, 3).
其中s . t . 为英文“subject to”的缩写，表示决策变量xj( j 1,2,3) 受 它后面的条件约束. 最优解为x10,x22,5 x325（具体解法后面 介绍），代入总利润的表达式f4x13x27x3 得对应的目标函 数最大值为250.由此得到该企业在现有资源条件下，日生产的最 优安排是：产品A 1 不生产A ，2 生产25吨A ，3 生产25吨，可实现最大 利润250千元/日.
x12x22x3100（原料甲的限制）
3x1x23x3100（原料乙的限制） 此外，由于未知数（我们称之为决策变量）x1, x2, x3 是计划产量，
应有为非负的限制，即 xj ≥0, j =1,2,3
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9.1 线性规划是什么
由此得到问题的数学模型为
m ax f 4 x1 3 x2 7 x3 s.t. x1 2 x2 2 x3 100,
表9.1 企业生产数据表
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9.1 线性规划是什么
试问：该企业怎样安排生产才会使每天的利润最大？
解 设该企业每天生产产品 A1, A2, A3 的数量分别为 x1, x2, x3 （单位：吨），则总利润的表达式为
f4x13x27x3
我们希望在现有资源条件下总利润最大.现有资源的限制为
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9.1 线性规划是什么
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9.1 线性规划是什么
我们先通过几个实际问题来认识什么是线性规划. 1. 利润最大化问题
【例9.1】 某企业生产 A1, A2, A3 三种产品，这些产品分别需要 甲、乙两种原料.生产每种产品一吨所需原料和每天原料总限 量及每吨不同产品可获利润情况如表9.1所示.
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9.1 线性规划是什么
模型中 c 1 ,c 2 , ,c n ,b i,a i j( i 1 ,2 , ,m ;j 1 ,2 , ,n ) 的都是实际 问题给定的常数；未知量 x1,x2,,xn为决策变量.这类决策问
题的应用领域非常广泛.
注 本章的数学模型均可用软件求解。
2. 成本最小化问题
前的技术水平），情况如表9.2所示. 现在的问题是：如果该企 业生产的这 n 种产品 A1, A2,..., An都可以卖出，如何合理充分地 利用现有的资源，给出一个使总利润达到最大的产品生产计划？
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9.1 线性规划是什么
有了解决上述问题的经验，我们可以假设产品 A1, A2, , An
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线性规划方法是数学规划中发展较快、 应用较广和比较成熟的一个分支。
最优化/运筹学的最基本的方法之一， 网络规划，整数规划，目标规划和多目 标规划都是以线性规划为基础的。
解决稀缺资源最优分配的有效方法，使 付出的费用最小或获得的收益最大。
线性规划的基础是线性变换。
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