第10章线性规划方法3

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线性规划法

线性规划法
线性规划（Linear Programming）是数学规划的一种方法，用于确定一组决策变量的最佳值，以实现目标函数的最大
化或最小化。

在线性规划中，决策变量需要满足一组线性约束条件，这
些约束条件可以用一系列线性方程或不等式表示。

目标函
数可以是需要最大化的利润、最小化的成本或其他衡量指标。

线性规划的一般形式如下：
最大化(C^T * X)
满足约束条件：A * X <= B
X >=0
其中，C为包含决策变量的系数矩阵，X为决策变量向量，A为约束矩阵，B为约束约束向量。

线性规划可以通过图形法、单纯形法、内点法等多种方法求解。

求解过程中，需要确定目标函数的最优解，使其满足约束条件。

线性规划在实际应用中非常广泛，例如在生产计划、资源分配、供应链规划等领域，都可以使用线性规划方法进行决策优化。

运筹学线性规划图解法

j =1
证明：线性规划 max z =CX s.t. AX=b X≥0 设x(1)≠x(2)为D内任取两点，则Ax(1)=b,Ax(2)=b,x(1) ≥ 0, x(2) ≥ 0,令x为线段x(1) ,x(2)上任一点,既有 x=μx(1)+(1-μ)x(2) (0≤μ≤1) 则 Ax=A[μx(1) + (1-μ) x(2)] (0≤μ≤1) =μAx(1)+Ax(2)-μAx(2) =μb+b–μb=b 又因为 x(1) ≥ 0, x(2) ≥ 0, 0≤μ≤1 所以 x ≥ 0 即 x∈D 证毕
x2 x1+2x2=8
4x2=12
线段Q1Q2上的任意点都是最优解
Q1
Q2 x1
3x1=12
x2 •无可行解例3：
maxz = 3x1 + 2x2 2x1 + x2 ≤ 2 s.t 3x1 + 4x2 ≥ 12 x , x ≥ 0 1 2
约束条件围不成区域 (又称矛盾方程) x1
•无有限最优解(无界解) 例4：
图解法得出线性规划问题解的几种情况
解的几种情况约束条件图形特点唯一解一般围成有限区域,最优值只在一个顶点达到无穷多解在围成的区域边界上,至少有两个顶点处达到最优值无可行解 (无围不成区域解) 无界解(无解) 围成无界区域 , 且无有限最优值方程特点
目标和某一约束方程成比例有矛盾方程缺少一必要条件的方程
•有唯一解例1： max z=2x1+ 3x2 s.t. x1+2x2≤8 4x1≤16 x1,x2≥0 画图步骤：画图步骤 1、约束区域的确定 2、目标函数等值线 3、平移目标函数等值线求最优值 x2

线性规划图解法

.
X = X1 + (1- ) X2 则必定有X = X1 = X2，则称X为S的一个顶点。
.
图解法
Page 24
可以证明，线性规划的可行域以及最优解有以下性质：
（1）、若线性规划的可行域非空，则可行域必定为一凸集；
（2）、线性规划问题的基本可行解对应于可行域的顶点；
（3）、若可行域有界，线性规划问题的目标函数一定可以在其可行域的顶点上达到最优，或在可行域的某个顶点（唯一最优解）或在某两个顶点及其连线上（无穷多最优解）得到。
.
图解法
Page 4
（3）任意给定目标函数一个值作一条目标函数的等值线，并确定该等值线平移后值增加的方向，平移此目标函数的等值线，使其达到既与可行域有交点又不可能使值再增加的位置（有时交于无穷远处，此时称无有限最优解）。若有交点时，此目标函数等值线与可行域的交点即最优解（一个或多个），此目标函数的值即最优值。
凸集：如果集合C中任意两个点X1、X2，其连线上的所有点也都是集合C中的点，称C为凸集。
凸集
顶点
凸集
.
不是凸集
图解法
Page 23
在凸集中，不能表示为不同点的凸组合的点
称为凸集的极点，用严格的定义描述如下。
定义3 设C为一凸集，如果C中不存在任何两个不同的点X1、X2，使得X成为这两个点连线上的一个点，即X S，X1 S，X2 S。如果对于0 1，若
2x1+ x2 50 z = 40x1+30x2
4x1+3x2 120
.
图解法
图解法的观察（二）
Page 14
如果可行域为空集，线性规划问题无可行解；
如果目标函数等值线可以无限制地在可行域内向改善的方向移动，线性规划问题无界;

线性规划解决最优化问题的数学方法

线性规划解决最优化问题的数学方法线性规划是一种常见的数学方法，用来解决最优化问题。

它能够帮助我们在给定一组线性约束条件下，找到最优的目标函数值。

在实际应用中，线性规划方法被广泛用于制定优化决策、资源配置、生产计划等领域。

本文将介绍线性规划的基本概念、公式以及解决最优化问题的具体步骤。

一、线性规划的基本概念与公式线性规划的目标是在给定约束条件下，找到使目标函数（也称为优化函数）取得最大或最小值的解。

它包含三个基本要素：决策变量、约束条件和目标函数。

1. 决策变量：决策变量是问题中需要确定的变量，它们可以是实数、整数或布尔变量。

决策变量的取值范围和类型由问题的实际情况决定。

2. 约束条件：约束条件是对决策变量的限制条件，它们可以是线性等式或不等式。

约束条件用于描述问题的限制条件，例如资源约束、技术限制等。

3. 目标函数：目标函数是求解问题的目标，它可以是最小化或最大化一个线性函数。

目标函数的形式通常是关于决策变量的线性组合。

线性规划问题可以用如下的标准形式表示：最小化 Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ约束条件：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙ非负约束：x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0, ... , xₙ ≥ 0其中，Z为目标函数值，c₁, c₂, ... , cₙ为目标函数的系数，aᵢₙ为约束条件的系数，b₁, b₂, ... , bₙ为约束条件的常数项，x₁, x₂, ... , xₙ为决策变量。

二、线性规划的解决步骤解决线性规划问题一般可以遵循以下步骤：1. 定义问题：明确问题的目标函数、约束条件和决策变量，并将其转化为标准形式。

2. 建立数学模型：根据问题的实际情况，根据标准形式建立数学模型，将问题转化为求解目标函数最大或最小值的数学问题。

线性规划知识点

线性规划知识点一、引言线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。

它在各个领域都有广泛的应用，如经济学、管理学、工程学等。

本文将详细介绍线性规划的基本概念、模型构建、求解方法以及应用案例。

二、基本概念1. 变量：线性规划中的变量是决策的对象，通常用x1、x2、...、xn表示。

2. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，通常表示为Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn。

3. 约束条件：线性规划的变量需要满足一系列线性约束条件，通常表示为a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1，...，am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤ bm。

4. 非负约束：线性规划中的变量通常需要满足非负约束条件，即xi ≥ 0。

三、模型构建1. 目标函数的确定：根据问题的具体要求，确定最大化或最小化的目标函数。

2. 约束条件的确定：根据问题的限制条件，确定各个变量的线性约束条件。

3. 变量的非负约束：确定各个变量的非负约束条件。

四、求解方法1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以使用图形法进行求解。

首先画出目标函数的等高线图和约束条件的线性图形，然后找到使目标函数取得最大（最小）值的交点。

2. 单纯形法：对于多维线性规划问题，可以使用单纯形法进行求解。

该方法通过迭代计算，逐步找到使目标函数取得最大（最小）值的解。

3. 整数规划方法：当变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法进行求解。

该方法通过将线性规划问题转化为整数规划问题，并应用相应的算法进行求解。

五、应用案例假设某公司生产两种产品A和B，产品A每单位利润为10元，产品B每单位利润为15元。

公司的生产能力限制为每天生产不超过100个单位的产品A和150个单位的产品B。

另外，公司还有两个约束条件：产品A的生产量不能超过产品B的两倍，产品B的生产量不能超过产品A的三倍。

问如何安排生产计划以最大化利润。

运筹学基础-线性规划(方法)

问题描述
线性规划问题通常由三个基本部分组成，即决策变量、约束条件和目标函数。决策变量是问题中需要求解的未知数，约束条件是限制决策变量取值的条件，目标函数是要求最大或最小的函数。
线性规划的应用领域
01
02
03
04
生产计划
在制造业中，线性规划可以用于制定最优的生产计划，以最大化利润或最小化成本。
02
线性规划的基本概念
线性方程组
线性方程组是由多个线性方程组成的数学模型，描述了多个变量之间的线性关系。
线性方程组可以用矩阵和向量表示，通过矩阵运算和代数方法求解。
线性方程组有多种解法，如高斯消元法、LU分解、迭代法等。
约束条件与目标函数
02
01
03
约束条件是限制变量取值的条件，通常表示为变量的上界、下界或等式约束。
目标函数是描述问题目标的数学表达式，通常是最小化或最大化的线性或非线性函数。
约束条件和目标函数共同构成了线性规划问题的数学模型。
线性规划的解
线性规划的解是指满足所有约束条件并使目标函数取得最优值的变量取值。
线性规划问题可能有多个解，也可能无解或无界解。
最优解的性质包括最优性、可行性和唯一性。
最优解可以通过求解线性方程组或使用专门的优化软件获得。
03
线性规划的求解方法
单纯形法
01
基本概念
单纯形法是一种求解线性规划问题的迭代算法，通过不断迭代寻找最优解。
02 1. 初始化选择一个初始可行解，并确定初始基可行解。
03
2. 迭代
根据目标函数系数和约束条件系数，计算出单纯形表格，然后进行迭代更新。
运筹学基础-线性规划(方法)

线性规划化问题的简单解法

简单线性规划问题的几种简单解法依不拉音。

司马义（吐鲁番市三堡中学，838009）“简单的线性规划问题”属于高中数学新课程必修5，进入了高考试题，并且保持了较大的考察比例，几乎是每年高考的必考内容，也是高中数学教学的一个难点。

简单的线性规划是指目标函数只含两个自变量的线性规划。

简单线性规划问题的标准型为：1112220(0)0(0),(),0(0)m m m A x B y C A x B y C m N z Ax By A x B y C +++≥≤⎧⎪++≥≤⎪∈=+⎨⎪⎪++≥≤⎩L约束条件目标函数，下面介绍简单线性规划问题的几种简单解法。

1. 图解法第一步、画出约束条件表示的可行区域，这里有两种画可行区域的方法。

⑴代点法：直线Ax+By+C=0（c 不为0）的某侧任取一点，把它的坐标代入不等式，若不等式成立，则不等式表示的区域在该点的那一侧；若不成立，则在另一侧。

⑵B 判别法：若Ｂ＞0（＜０），则不等式Ax+By+C ＞0（＜０）表示的区域在直线Ax+By+C ＝0的上方；若Ｂ＞０（＜０），则不等式Ax+By+C ＜０(＞0)表示的区域在直线Ax+By+C ＝0的下方。

（即若B 与0的大小方向跟不等式的方向相同，则可行区域是边界线的上方；若B 与0的大小方向与不等式的方向相反，则可信分区域是边界线的下方）用上面的两种方法画出可行区域是很简单，所以这里不必举例说明。

第二步、在画出的可行区域内求最优解（使目标函数取最大值或最小值的点），这个可以用下面的两种办法解决。

⑴y 轴上的截距法：若b >0，直线y a b x z b=-+所经过可行域上的点使其y 轴上的截距最大（最小）时，便是z 取得最大值（最小值）的点；若b <0，直线y a b x z b =-+所经过可行域上的点使其y 轴上的截距最大（最小）时，是z 取得最小值（最小值）的点（提醒：截距不是距离，截距可以取正负）。

线性规划教案

线性规划教案一、引言线性规划是运筹学中的一种优化问题求解方法，它可以用来解决多种实际问题，如生产计划、资源分配、投资决策等。

本教案旨在介绍线性规划的基本概念、求解方法和应用案例，帮助学生理解和掌握线性规划的原理和应用。

二、教学目标1. 理解线性规划的基本概念，包括目标函数、约束条件、可行解等。

2. 掌握线性规划的求解方法，包括图形法、单纯形法等。

3. 能够应用线性规划解决实际问题，如生产计划、资源分配等。

4. 培养学生的逻辑思维能力和数学建模能力。

三、教学内容1. 线性规划的基本概念1.1 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。

1.2 约束条件：线性规划的决策变量需要满足一系列线性等式或不等式，称为约束条件。

1.3 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。

2. 线性规划的图形法2.1 二元线性规划的图形解法：通过绘制目标函数和约束条件的图形，确定最优解的方法。

2.2 三元或多元线性规划的图形解法：通过绘制等高线图，确定最优解的方法。

3. 线性规划的单纯形法3.1 单纯形表格法：通过构造单纯形表格，通过迭代计算找到最优解的方法。

3.2 单纯形法的基本步骤：初始化、选择主元、计算新的单纯形表格、迭代计算等。

4. 线性规划的应用案例4.1 生产计划问题：如何安排生产计划，使得利润最大化。

4.2 资源分配问题：如何合理分配资源，满足各项需求。

4.3 投资决策问题：如何选择最佳投资组合，最大化收益。

（可以根据实际情况增加或修改案例内容）四、教学方法1. 讲授法：通过讲解线性规划的基本概念和求解方法，帮助学生理解和掌握知识点。

2. 实例演示法：通过具体的应用案例，演示线性规划的解题过程，培养学生的应用能力。

3. 讨论互动法：引导学生参与讨论，思考问题，提高学生的思维能力和合作能力。

4. 练习和作业：布置练习和作业，巩固学生的知识和技能。

五、教学评估1. 课堂表现：观察学生在课堂上的学习态度、参与度和表达能力。

线性规划的求解算法

线性规划的求解算法线性规划（linear programming ）是运筹学中的一个重要分支，在现代工业、农业、商业、交通运输、国防军事及经济管理等诸多领域都有着广泛重要的应用。

在数学系的竞赛数学建模中，也多次应用线性规划来建模从而解决实际问题。

在这里介绍单纯性法和对偶单纯形法两种求解线性规划的方法。

一、单纯形法算法主体思想标准线性规划简记如下：LP-max LP-mins.t {0Ax b x =≥ s.t {0Ax b x =≥ 这里只以LP-min 为例。

1、算法思想单纯形法是在已知一个可行基的前提下采用的解决线性规划的算法。

步骤如下：（1）输入初始矩阵：01020,111121,112,1n n m m m n a a a a a a a a a +++⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦K L M M O M K ，并化为典则形式。

用R （i ）记录单位矩阵I 中元素1的位置。

（2）求{}0min |0,1j j a j n t >≤≤@若t 不存在，则得到最优解；(i),1R i n x a += （i=1,2,...m ）.其他j x =0，停。

否则，转到（3）。

（3）求,1min{|0,1}i n it it a a i m a λ+>≤≤@。

若λ不存在，则LP-min 无下届，所以无最优解，停；否则，求,1min (i)|,0,1(s)i n it it a R a i m R a λ+⎧⎫=>≤≤⎨⎬⎩⎭@，转到（4）。

（4）sjsj sta a a ⇐，（j=1，2....n+1） ij ij sj it a a a a ⇐-,(i=0,1,2...m;i ≠s;j=1,2,....,n+1), (s)t R ⇐,转到（2）.二、对偶单纯形法对偶单纯形法是在已知一个正则基的条件下的求解线性规划的方法。

步骤如下:(1)输入初始矩阵：01020,111121,112,1n n m m m n a a a a a a a a a +++⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦K L M M O M K ，并化为典则形式。

线性规划方法及其应用

05
线性规划方法优缺点分析
优点分析
有效处理多变量问题
线性规划能够同时处理多个决策变量，通过优化算法寻找最优解。
直观易懂的数学模型
线性规划在各个领域都有广泛的应用，如生产计划、资源分配、运输问题等。
广泛应用
线性规划的数学模型相对简单，易于理解和应用。
可求解大规模问题
随着计算机技术的发展，线性规划可以求解大规模的问题，满足实际应用的需求。
复杂约束处理
研究如何处理包含复杂约束条件的线性规划问题，提高求解效率和准确性。
不确定性问题建模
针对包含不确定性因素的线性规划问题，发展有效的建模和求解方法。
应用领域拓展
探索线性规划方法在更多领域（如机器学习、大数据分析等）的应用潜力，推动相关领域的理论和技术创新。
感谢您的观看
THANKS
3
考虑不确定性
将不确定性因素引入资源分配问题中，通过线性规划求解鲁棒性强的资源分配策略，以应对潜在的风险和变化。
04
线性规划软件介绍
MATLAB软件介绍
1
MATLAB是一款由MathWorks公司开发的数学计算软件，广泛应用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算等领域。
2
MATLAB提供了丰富的工具箱，其中包括优化工具箱（Optimization Toolbox），可用于解决线性规划问题。
线性规划方法及其应用
目录
• 线性规划基本概念 • 线性规划方法 • 线性规划应用举例 • 线性规划软件介绍 • 线性规划方法优缺点分析 • 线性规划方法发展趋势与展望
01
线性规划基本概念
定义与特点
定义：线性规划是一种数学方法，用于优化一组线性不等式约束下的线性目标函数。

线性规划的方法及应用

线性规划的方法及应用1 引言运筹学最初是由于第二次世界大战的军事需要而发展起来的，它是一种科学方法，是一种以定量的研究优化问题并寻求其确定解答的方法体系．线性规划（Linear Progromming ，简称LP ）是运筹学的一个重要分支，其研究始于20世纪30年代末，许多人把线性规划的发展列为20世纪中期最重要的科学进步之一．1947年美国的数学家丹泽格提出了一般的线性规划数学模型和求解线性规划问题的通用方法――单纯形法，从而使线性规划在理论上趋于成熟．此后随着电子计算机的出现，计算技术发展到一个高阶段，单纯形法步骤可以编成计算机程序，从而使线性规划在实际中的应用日益广泛和深入．目前，从解决工程问题的最优化问题到工业、农业、交通运输、军事国防等部门的计划管理与决策分析，乃至整个国民经济的综合平衡，线性规划都有用武之地，它已成为现代管理科学的重要基础之一．2 线性规划的提出经营管理中如何有效地利用现有人力物力完成更多的任务，或在预定的任务目标下，如何耗用最少的人力物力去实现．这类问题可以用数学语言表达，即先根据问题要达到的目标选取适当的变量，问题的目标通常用变量的函数形式（称为目标函数），对问题的限制条件用有关变量的等式或不等式表达（称为约束条件）．当变量连续取值，且目标函数和约束条件为线性时，称这类模型为线性规划的模型．有关对线性规划问题建模、求解和应用的研究构成了运筹学中的线性规划分支．线性规划实际上是:求一组变量的值，在满足一组约束条件下，求得目标函数的最优解.从而线性规划模型的基本结构为： ①变量：变量又叫未知数，它是实际系统的位置因素，也是决策系统中的可控因素，一般称为决策变量，常引用英文字母加下标来表示，如n x x x ,,,21 等．②目标函数：将实际系统的目标用数学形式表示出来，就称为目标函数，线性规划的目标函数是求系统目标的数值，即极大值（如产值极大值，利润极大值）或极小值（如成本极小值，费用极小值等等）． ③约束条件：约束条件是指实现系统目标的限制因素．它涉及到企业内部条件和外部环境的各个方面，如原材料供应设备能力、计划指标．产品质量要求和市场销售状态等等，这些因素都对模型的变量起约束作用，故称其为约束条件．约束条件的数学表示有三种，即≤=≥,,,线性规划的变量应为非负值，因为变量在实际问题中所代表的均为实物，所以不能为负．线性规划问题有多种形式，函数有的要求实现最大化，有的要求最小化；约束条件可以是“≤”，也可以是“≥”，还可以是“=”，这种多样性给讨论带来不便. 为了便于讨论其一般解法，我们通常将线性规划问题的约束条件归结为线性方程和一组非负性限制条件，并且对目标函数统一成求最大值,也就是说,将线性规划问题的数学模型化成如下形式,并称它为线性规划问题的标准形式:),,2,1(..max11m i b x at s x c f ij nj ijjnj j ===∑∑==),,2,1(0n j x j =≥任何非标准形式的线性规划问题都能化成上述标准形式,这是由于不等式约束k j nj ijb x a≤∑=1等价于约束条件0,1≥=+++=∑k n k k n nj j ijx b x x a；不等式约束l j nj ijb x a≥∑=1等价于约束条件；0,1≥=-++=∑l n l l n nj j ijx b x x a这里增添的变量k n x +和l n x +称为松弛变量.还有,求函数f 的最小值解可转化为求函数f -的最大值解.以下讨论线性规划问题时以标准型为主.3 线性规划的解法3.1 图解法满足约束条件的决策变量的一组值叫做这个线性规划的一个可行解;把所有可行解构成的集合叫做这个线性规划的可行域.因此,求解一个线性规划的问题,使目标函数取得最大值或最小值的可行解称为线性规划的最优解.一般求解线性规划问题是讨论它的最优解．下面介绍只有两个决策变量的线性规划问题的图解法.例１用图解法求解21m axx x f +-=22..21-≥-x x t s2221≤-x x 521≤+x x12,0x x ≥解第一步先画出可行域以21,x x 为坐标轴作直角坐标系,因为0,021≥≥x x ，所以问题的可行解必在第一象限（含坐标轴）；约束条件222-≥-x x 要求问题的可行解必在直线222-=-x x 的右下方的半平面上；约束条件2221≤-x x ，要求问题的可行解必在直线2221=-x x 的左上方的半平面上；约束条件521≤+x x ，要求问题的可行解必在直线521=+x x 的左下方的半平面上.因为所有的约束条件都必须同时满足,所以问题的可行解域必为闭区域4321Q Q Q OQ ,如图3.1.1中的阴影部分. 第二步从可行域中找出最优解现在分析目标函数21x x f +-=,在坐标平面上,它可以看作是以f 为参数的一族平行线:f x x +=12位于同一条直线上的点,都有相同的目标函数值,因而称它为等值线.当f 由小变大时,直线f x x +=12沿其法线方向向左上方移动.当移动到2Q 点时,f 的取值最大,这就得出了本题的最优解,如图3.1.2 ,此时f 最大,得 3411max =+⨯-=f .显然用图解法求解线性规划问题时,简单直观；但是当决策变量多于两个的时候,用图解法就失效了.3.2 单纯形法这一方法是丹泽格在1947年提出的，它以成熟的算法理论和完善的算法及软件统治线性规划近30年．单纯形法是求解线性规划问题的最重要、最基本的方法，它的解题思路[7](p27)是：将线性规划问题化为标准型后，先找出一个单位可行基，对这个可行基给出可行解，然后用判定定理——称为检验数，判定其是否为最优解．若是，求解过程结束；若不是，在单位可行基的基础上，进行换基迭代，该过程叫做迭代，直到得出最优解或证明无最优解为止.它有很强的程序性,它的具体操作是从一张叫做初始表的表格开始的.初始表由四部分构成[7](p27-28):第一部分A A B =-1(B 是单位可行基) 即约束方程组的系数矩阵.第二部分b b B =-1(B 是单位可行基) 即约束方程组的常数项构成的列向量.第三部分是检验数C A CB --1 (B C 为单位可行基变量所对应的目标函数中的系数列向量;C 是目标函数的系数行向量).第四部分b C B 该数为目标函数值.它的表格形式为:例２用单纯形法求解 2136m axx x f +=40x 23..21≤+x t s 21421≤+x x12,0x x ≥ ．解第一步将原问题化为标准型 43210036m ax x x x x f +++=40x 23..321=++x x t s214421=++x x x )4,3,2,1(0=≥j x j ．第二步观察原问题是否存在现成的单位可行基因为约束方程组的系数矩阵为),,,(101401234321p p p p A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛= ，所以原问题存在现成的单位可行基()1341001B p p ⎛⎫== ⎪⎝⎭，第三步列出初始表，计算⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-10140123)111A A B ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-2140)211b b B ， 3)1B C 是目标函数中基变量43,x x 的系数构成的列向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛00，)0,0,3,6()4111--=-=--C C A B C B ，15)0B C b = ，1346)B x X x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ .由上面计算结果，列出初始表（如下表）表3.2.1第四步判定由初始表知，检验数中含有负数，故可行解Tx )21,40,0,0(=不是最优解，还需要进行迭代运算（若检验数均为非负数，则可行解即为最优解）第五步迭代运算迭代一：①确定主元在检验数中，找出最小负数。

线性规划问题的两种求解方式

线性规划问题的两种求解方式线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。

线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好。

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。

解决线性规划问题常用的方法是图解法和单纯性法，而图解法简单方便，但只适用于二维的线性规划问题，单纯性法的优点是可以适用于所有的线性规划问题，缺点是单纯形法中涉及大量不同的算法，为了针对不同的线性规划问题，计算量大，复杂繁琐。

在这个计算机高速发展的阶段，利用Excel建立电子表格模型，并利用它提供的“规划求解”工具，能轻松快捷地求解线性模型的解。

无论利用哪种方法进行求解线性规划问题，首先都需要对线性规划问题建立数学模型，确定目标函数和相应的约束条件，进而进行求解。

从实际问题中建立数学模型一般有以下三个步骤；1、根据所求目标的影响因素找到决策变量；2、由决策变量和所求目标的函数关系确定目标函数；3、由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。

以下是分别利用单纯形法和Excel表格中的“规划求解”两种方法对例题进行求解的过程。

例题：某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时分别为1台时、2台时，所需原材料A分别为4单位、0单位，所需原材料B分别为0单位、4单位，工厂中设备运转最多台时为8台时，原材料A、B的总量分别为16单位、12单位。

每生产出I、II产品所获得的利润为2和3，问I、II两种产品的生产数量的哪种组合能使总利润最大？问题的决策变量有两个：产品I的生产数量和产品II的生产数量；目标是总利润最大；需满足的条件是：(1)两种产品使用设备的台时<= 台时限量值(2) 生产两种产品使用原材料A、B的数量<= 限量值(3)产品I、II的生产数量均>=0。

线性规划课件ppt

根据实际问题的特点，选择适合的线性规划模型进行建模和优化。
详细描述
在选择线性规划模型时，应根据实际问题的特点进行选择。例如，对于简单的最优化问题，可以使用标准型线性规划模型；对于需要约束条件或特殊处理的问题，可以选择扩展型线性规划模型。在建立模型后，还可以使用优化软件对模型进行优化，以提高求解效率和准确性。
CHAPTER
线性规划的求解方法
总结词
最常用的方法
要点一
要点二
详细描述
单纯形法是一种迭代算法，用于求解线性规划问题。它通过不断地在可行解域内寻找新的解，直到找到最优解或确定无解为止。单纯形法的主要步骤包括建立初始单纯形、确定主元、进行基变换和更新单纯形等。该方法具有简单易行、适用范围广等优点，但在某些情况下可能会出现迭代次数较多、计算量大等问题。
在选择变量时，应考虑其物理意义、数据的可靠性和敏感性等因素。
选择变量时，首先要考虑变量的物理意义和实际背景，以便更好地理解模型和求解结果。同时，要重视数据的可靠性，避免使用不可靠的数据导致模型失真或错误。敏感度分析可以帮助我们了解变量对目标函数的影响程度，从而更好地选择变量。
总结词
详细描述
总结词
线性规划在工业生产中的应用已经非常广泛，未来将会进一步拓展其应用领域。
工业生产
线性规划在物流运输领域中的应用也将会有更广阔的前景，例如货物的合理配载、车辆路径规划等。
物流运输
线性规划在金融管理中的应用也将逐渐增多，例如投资组合优化、风险控制等。
金融管理
非线性优化
将线性规划拓展到非线性优化领域是一个具有挑战性的研究方向，但也为线性规划的应用提供了更广阔的发展空间。
软件特点
Lingo具有强大的求解能力，可以高效地解决大规模线性规划问题，同时具有友好的用户界面，方便用户进行模型输入和结果输出。

线性规划的基本概念与解法

线性规划的基本概念与解法线性规划（Linear Programming，简称LP）是一种运筹学中的数学方法，用于寻找最优解决方案的问题。

它在各个领域中得到广泛应用，包括经济学、管理学、工程学等。

本文将介绍线性规划的基本概念和解法，并探讨其实际应用。

一、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是求解一个线性函数的最大值或最小值。

这个线性函数称为目标函数，通常以z表示。

例如，z=c1x1+c2x2+…+cnxn，其中c1、c2…cn为常数，x1、x2…xn为变量。

2. 约束条件：线性规划的约束条件是一组线性不等式或等式。

通常以Ax≤b或Ax=b的形式表示，其中A为系数矩阵，x为变量向量，b为常数向量。

3. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。

可行解存在于约束条件所定义的空间中。

4. 最优解：在所有可行解中，目标函数取得最大值或最小值时的解称为最优解。

最优解可以是唯一的，也可以有多个。

二、解法方法1. 图形法：当线性规划问题为二维或三维时，可以利用图形的方法求解。

通过绘制目标函数的等高线或平面与约束条件的交点，找到目标函数的最优解。

2. 单纯形法：单纯形法是一种基于迭代的线性规划求解方法，适用于高维问题。

该方法通过不断改变基变量的取值，寻找使目标函数达到最优值的解。

3. 内点法：内点法是一种与单纯形法相比更为高效的求解线性规划问题的方法。

该方法通过在可行域内部搜索最优解，避免了对可行域的边界进行逐个检验的过程。

三、实际应用线性规划在实际问题中有着广泛的应用。

以下是几个常见的应用领域：1. 生产计划：线性规划可以用于确定生产计划中的最佳生产数量和产品组合，以最大化利润或最小化成本。

2. 资源分配：线性规划可以用于优化资源分配，例如分配有限的人力、物资和资金，以实现最佳利用和效益。

3. 供应链管理：线性规划可以用于优化供应链中的库存管理、运输计划和物流调配，以降低成本并提高响应速度。

4. 金融投资：线性规划可以用于投资组合优化，以确定最佳的资产配置，以及风险控制和收益最大化。

线性规划求解

线性规划求解线性规划是一种数学优化问题，用于求解具有线性约束条件的最优解。

线性规划通常用于制定决策，优化资源分配等问题。

在线性规划中，目标函数以线性形式表示，约束条件也以线性形式表达。

为了求解线性规划问题，需要使用线性规划求解算法，如单纯形法等。

线性规划的数学模型如下所示：目标函数：求解最大化或最小化目标的数学函数。

约束条件：限制决策变量的取值范围或者满足某些条件。

决策变量：用于描述决策问题中需要确定的变量。

下面以一个简单的例子来说明线性规划的求解过程。

假设某公司要制造两种产品A和B，每种产品的单位利润分别是3和5。

公司有两个工厂，分别需要投入的时间分别是10和20小时。

另外，产品A需要1个单位的材料，产品B需要2个单位的材料。

公司有50个单位的材料供应。

公司要求最大化利润。

首先，我们定义决策变量。

假设生产产品A的数量是x，生产产品B的数量是y。

然后，我们定义目标函数。

由于公司要求最大化利润，所以目标函数可以表示为z = 3x + 5y。

接下来，我们定义约束条件。

根据工厂的时间限制，我们可以得到第一个约束条件：10x + 20y <= 100。

根据材料数量限制，我们可以得到第二个约束条件：x + 2y <= 50。

另外，由于生产数量必须大于等于0，所以我们有第三个约束条件：x >= 0和y >= 0。

现在，我们需要求解这个线性规划问题。

使用线性规划求解算法，可以得到最优解。

这里我们以单纯形法为例进行求解。

首先，我们将这个线性规划问题转化为标准形式，并构建初始单纯形表。

然后，根据单纯形法的迭代过程，计算并更新单纯形表，直到找到最优解或者发现无界解。

在这个例子中，通过计算和迭代，我们得到最优解：生产产品A的数量为0，生产产品B的数量为25，最大利润为125。

线性规划是一种重要的数学优化工具，可以帮助解决各种决策问题。

通过对线性规划问题的数学建模和求解，可以优化资源分配，提高效益和效率。

数学建模中的线性规划方法

数学建模中的线性规划方法随着科技和经济的发展，线性规划在多个领域中得到广泛应用，特别是在数学建模中，它是一种非常重要的工具。

在本文中，我们将探讨线性规划的基本概念、求解方法以及在数学建模中的实际应用。

一、基本概念线性规划是一种最优化的数学模型，通常用于寻找最大或最小值的解决方案。

这种模型通常由多个线性约束条件组成，并有一个或多个变量需要优化。

线性规划的目标是通过最小化或最大化目标函数，找到最优解。

一个典型的线性规划问题可以用如下的形式表示：\begin{aligned} & \min/\max\ f(x_1, x_2, \ldots, x_n) \\ &\text{subject to:} \\ & a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n\leq b_1 \\ & a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n \leq b_2 \\ & \vdots \\ & a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n \leqb_m \\ & x_1 \geq 0, x_2 \geq 0, \ldots, x_n \geq 0 \end{aligned}其中，$f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$是待优化的目标函数，$a_{ij}$和$b_i$是已知的线性不等式限制条件。

二、求解方法线性规划有多种求解方法，包括单纯形法、内点法、网络流方法等。

其中，单纯形法是最常用的方法之一。

单纯形法是一种迭代的算法，它从一个起始基（基向量组成的矩阵）开始，不断交替地找出进入基的变量和离开基的变量，从而求出最优解。

具体步骤如下：1. 将线性规划问题转化为标准形式，即目标函数为最小化，并且所有约束条件都是等式形式。

2. 构造初始基。

3. 计算基的费用向量，即基所对应的目标函数系数。

求解线性规划问题算法

u4 u5 b 0 04 1 0 14 0 13 0 0 Z=0 0 17 1 -3 5 0 13 0 0 Z=-9
0 u3 0 0 1 -1/5 8/5 6
-2 u2 0 1 0 1/5 –3/5 1
-3 u1 1 0 0 1/5 2/5 4
cs ciais 0 0 0 1 0 Z=-14
x4
1 -2 1 cB xB x1 x2 x3 1 x1 1 1 3 0 x5 0 -2 1 0 x6 0 -1 6
cs ciais 0 -3 -2
1 x1 1 3 2 -3 x4 0 -2 1 0 X6 0 -3 7
3 -11 7
-3 0 0 x4 x5 x6 100 110 -1 0 1 -4 0 0 0 10 1 10 0 01 000
给新问题列单纯形表
cB xB M x4 M x5
M x4 4 x1
1 x3 4 x1
1 x3 1 x2
4 1 1 MM x1 x2 x3 x4 x5 2 12 10 3 31 01
4-5M 1-4M 1-3M 0 0
b 4 3
J=7M
比值 4/ 2 3/3
0 -1 4/3 1 -2/3 2
3/2
cs ciais 11/3 0
2/3 0 7/3 1 90 28/3 0
-1/3 0 1/3 0 01 1/3 0
b 6 3 4 J=6 6 15 10 J =-12
1 5 10 J =-17
比值 6/ 1 3/-2 4/-1
6/1 15/3 10/0
四求初始基本可行解的方法由标准形化为典范形的方法
第二步：从原来的基本变量中选出一个使其进入非基本变量中，即令这个选中的为零称这个为离基变量。

线性规划算法详解

线性规划算法详解线性规划算法详解线性规划首先什么是线性规划，大致的定义我总结为在线性的目标和约束中，找出一个最优解。

举个例子：M1和M2两种原料用于生产内外墙涂料，M1日最大可用量24吨，M2日最大可用量为6吨，外墙涂料每吨需要6吨M1，1吨M2，内墙涂料每吨需要4吨M12，吨M2，外墙涂料每吨利润5个单位，内墙涂料每吨利润4个单位。

且市场需求调查数据得出，内墙日需求量不超过外墙的日需求量+1吨，内墙最大日需求量为2吨怎样在这样的各个线性的条件中，得到最优的内外墙生产吨数，就是我们线性规划算法要做的事情。

设外墙生产x1吨,内墙生产x2吨,设利润为z，要得到z的最大化，也就是最优解，上述条件罗列为公式可得出6x1+4x2=24x1+2x2=6-x1+x2=1z=5x1+4x2如何从这个公式中求出最优解？有以下两大方法我们将上述约束条件画图，y轴为x2，x轴为x1，得出如下：圈红色的部分就是所有的可行解，表示这个区间内都的x1x2能满足约束条件对于我们的z函数，其实表示的是一条截距为z斜率为-(5-4)的线性直线，我们要求z最大化的最优解，就是在所有的可行区域内找到可以满足z曲线截距最大的点。

最后我们发现，可行区域内能让z函数达到最大截距的点就是我圈出来的那个角点，z再增大的话，就超出可行区域了，所以不满足要求，所以最终得出最优解为x1=3,x2=1.5这就是图解法的做法，一个定理就是，线性规划的最优解总是发生在约束几何平面的角点上，例如上面圈出来的点，先当做是个定理，我也不知道怎么证明这个定理。

以上就是线性规划的图解法，优点是简单明了，缺点就是当参数超过3个时，我们很难直观画出一个jihe几何平面来找角点，所以我们需要下面的另一种解法。

单纯形法当超过3个参数时，单纯形法就派上用场了，单纯形法首先要做的就是把方程化为标准形式：所有的变量都是非负数所有的约束都是等式(非负限制除外)，且具有非负的右端项像上述的方程，如果化为标准形式，将会是如下6x1+4x2+s1=24x1+2x2+s2=6-x1+x2+s3=1x2+s4=2z=5x1+4x2+0s1+0s2+0s3+0s4新加入的s1-4表示的是松弛变量(非负)，根据大于号小于号来决定他们的正负号对于标准化形式，我们设有n个参数，设列举出的约束方程个数m，当m=n时，方程组就只有唯一的解，当mn时，说明有无穷个可行解，也就是解是一个区域。