最优化方法-线性规划
线性规划的基本定理-最优化方法
j 1
j 1
现构造两个点X（1），X（2），使满足
X（1）=（x1+αλ1,…, xk+αλk ,0,…,0）T X（2）=（x1-αλ1,…, xk-αλk ,0,…,0）T
线性规划解的基本定理
定理2：设X是可行域D的极点，那么，X最多有m个 正分量。
证明：设X=(x1，···xk，0，···，0)T，若k>m，由
z=λx+(1-λ)y
这说明当0 ≤ λ ≤1 时，λx+(1λ)y 表示以x.y为端点的直线段上的所 有点，因而它代表以 x.y为端点的直线 段。
一般地，如果x.y是n维欧氏空间Rn中的两点，则 有如下定义：
如果 x=(x1…xn)T,y=(y1…yn)T是Rn中任意两点，定 义z=λx+(1-λ)y(0≤λ≤1),z=(z1…zn)T 的点 所构成的集合为以x,y为端点的线段，对应λ=0， λ=1的点 x, y叫做这线段的端点，而对应 0<λ<1的点叫做这线段的内点。
表明X不是D的极点，与已知条件矛盾，故k≤m。
线性规划解的基本定理
定理1.4：对标准形式的线性规划，基可行解与可行 域的极点一一对应。
证明：首先证明极点必是基可行解。设X是极点， 由定理1.3,可设X=(x1,…xk,0,…,0)T xj>0,k≤m 若X不是基可行解，由定理1.2，向P1,P2,…,Pk应 线性相关。仿照定理1.3的证明过程，可推导出X 不是极点，与已知条件矛盾。故可知X是基可行解。
其次证明充分性。设X的正分量为x1，x2,…,xk，其对 应的列向量P1,P2,…,Pk线性无关。显然k≤m。
若k=m，则P1,P2,…,Pk可用来构成一个基，所 以X是基本解。而已知X是可行解，故X又是基可行 解。
线性规划的解与最优解知识点总结
线性规划的解与最优解知识点总结在现实生活和工作中，我们经常会遇到需要最优化某个目标函数的问题。
线性规划作为一种常见的数学优化方法，在各个领域中得到了广泛应用。
它能够帮助我们在一定的约束条件下，找到目标函数的最佳解。
本文将对线性规划的解与最优解的相关知识点进行总结。
1. 基本概念线性规划问题由目标函数和一组线性约束条件组成。
目标函数的形式通常是最大化或最小化一些变量的线性组合，而约束条件则给出了这些变量的取值范围。
线性规划问题的一般形式如下：```max/min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙsubject to:a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0```其中，Z表示目标函数的值，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数的系数，aᵢₙ为约束条件中的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的右边常数，x₁,x₂, ..., xₙ为决策变量。
2. 解的存在性线性规划问题存在三种解的情况：无解、有界解和无界解。
如果约束条件与目标函数之间存在矛盾，例如出现一个约束条件为 a₁₁x₁ +a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁，而目标函数的系数为 c₁ > a₁₁，那么这个线性规划问题就没有解。
有界解指的是线性规划问题在满足所有约束条件的情况下，能够找到目标函数的最大值或最小值。
无界解意味着目标函数可以无限制地增大或减小。
3. 最优解的性质线性规划问题的最优解具有以下性质：- 最优解必然出现在可行域的顶点上。
可行域是指所有满足约束条件的解的集合，而顶点则指可行域的边界上的点。
- 如果最优解存在，那么至少存在一个顶点是最优解。
- 如果可行域是有限的，则一定存在一个顶点是最优解。
- 如果最优解存在，那么一定有一条或多条约束条件在最优解上取等号。
最优化方法-线性规划
引言
对线性规划贡献最大的是美国数学家G.B.Dantig(丹捷格)，他 在1947年提出了求解线性规划的单纯形法（Simple Method），并同时给出了许多很有价值的理论，为线性规划 奠定了理论基础。在1953年，丹捷格又提出了改进单纯形法， 1954年Lemke(兰母凯)提出了对偶单纯形法（dual simplex method）。 在1976年， R. G. Bland 提出避免出现循环的方法后，使线 性规划的理论更加完善。但在1972年，V. Klee和G .Minmty 构造了一个例子，发现单纯形法的迭代次数是指数次运算，不 是好方法——并不是多项式算法（多项式算法被认为是好算 法），这对单纯形法提出了挑战。
B2
B3
70
50 60
A2
60 110 160
[解] 设xij 表示 Ai运往Bj的运量（万块） minS=50x11+60x12+70x13+60x21+110x22+160x23 S.t. x11+x12+x13=23 x21+x22+x23=27 x11+x21=17 x12+x22=18 x13+x23=15 xij≥0, i=1,2、j=1,2,3
2.线性规划问题的几何意义
2.1基本概念 凸集：设k为n维欧氏空间的一点集，任取X,Y∈K,若 连接X,Y的线段仍属于K,则称K为凸集。即任取α ,0<α <1 α X+(1-α )Y∈K 称K为凸集。 顶点（极点）：设K是凸集，X∈K,若X不能用不同的两
点 X(1) ∈K,X2) ∈K 的线性组合表示为 X=α X(1)+(1-α )X(2) (0<α <1) 则称X为极点。
最优化方法-线性规划的基本定理
若k=m，则P1,P2,…,Pk可用来构成一个基，所以X是基 本解。而已知X是可行解，故X又是基可行解。
若k<m，由于A的秩为m，比可从A中再挑出m-k个列向 量，与P1,P2,…,Pk ，一起构成一个线性无关极大组，即 为一个基，由此可知X是基可行解。
定义1.7：设集合S是n维欧式空间En中的闭凸 集，d是En中的非零向量。如果对于S的每 个点X，以及一切非负的数λ，都有
X+λd∈S，λ≥0
则称向量d是凸集S的一个方向。如果d1， d2是S的方向，且d1≠αd2， ∀ α>0，则d1， d2是两个不同的方向。
进一步，如果d是凸集S的一个方向，且 不能表示为S的另外两个不同的方向的正组 合，则称d是S的一个极方向。
约定A是行满秩的m行n列矩阵。
2、基、基向量、基变量、基本解、基本可 行解、可行基、最优解、最优基
基：矩阵A中一个m阶非奇异子矩阵 基向量：基的列向量 基变量：基向量对应的变量 基本解：非基变量全为零的解
基本可行解：非基变量为零，基变量都大 于等于零的解
可行基：基可行解对应的基 最优解：基本解中使目标函数最大的解 最优基：最优解对应的基
X=λX（1）+（1-λ）X（2）
上式的分量表达形式为 显然，当j>m时，有
x
j
xj
xj1 xj1x j2
1 0
xj2
,
j
1,
2,
,n
m
再由于X（1），X（2）均是可行点，故可推知 xjiPj b,i 1, 2
两式相减，得
决策优化方法
决策优化方法在当今信息爆炸的社会中，决策是各个领域中不可或缺的环节。
无论是企业管理、政策制定，还是个人生活中的抉择，决策都直接关系到成败与否。
因此，如何有效地进行决策就成为了研究的焦点。
随着计算机科学和数学的发展，决策优化方法应运而生，极大地提高了决策的准确性和效率。
本文将介绍以下几种主要的决策优化方法：线性规划、整数规划、动态规划和遗传算法。
一、线性规划线性规划是一种基于线性数学模型的最优化方法。
它的决策变量和目标函数都是线性的，并且满足一定的约束条件。
线性规划在管理、经济学和运筹学等领域具有广泛的应用。
通过确定目标函数和约束条件，并结合线性规划算法，可以求得最优解，从而做出最佳决策。
线性规划方法简单有效，但对于非线性问题的处理能力有限。
二、整数规划整数规划是线性规划的一种扩展形式，在决策变量中引入了整数约束条件。
整数规划可以更准确地刻画现实世界中的问题，并且适用范围更广。
在许多实际问题中，决策变量只能取整数值，比如生产批量、货物配送路线等。
整数规划求解复杂度较高，需要采用专门的算法和工具进行求解。
但整数规划方法能够提供更可行、更实际的解决方案。
三、动态规划动态规划是一种寻找最优决策序列的方法，适用于问题具有重叠子问题和最优子结构的情况。
动态规划通过将原问题分解为一系列子问题，并利用子问题的最优解来构造原问题的最优解。
动态规划方法通常用于具有多阶段、多决策的问题，比如资源分配、项目管理等。
动态规划方法能够充分利用已知信息，避免重复计算，从而提高决策的效率。
四、遗传算法遗传算法是一种模拟自然生物进化过程的启发式搜索方法。
它通过模拟自然选择、遗传变异和交叉等操作，生成新的解，并通过适应度函数评估解的适应性。
遗传算法可以应用于多种决策问题，特别适合于复杂的优化问题。
遗传算法方法具有良好的全局搜索能力和较强的鲁棒性，但求解过程较为复杂，需要充分考虑问题的特点和约束条件。
在实际应用中，根据问题的特点和需求，可以综合运用以上几种决策优化方法，以获得更好的决策结果。
最优化方法：第2章 线性规划
Z=CBB-1b+(σm+1,
σm+k ,
xm+1
σn
)
CB B-1b+σ m+k
xn
因为 m+k 0，故当λ→+∞时，Z→+∞。
用初等变换求改进了的基本可行解
假设Ｂ是线性规划 maxZ=CX,AX=b,X 0的可行基，则
AX=b
(BN)
XB XN
b
(I,B-1 N)
➢ 若在化标准形式前，m个约束方程都是“≤”的形式， 那么在化标准形时只需在一个约束不等式左端都加上一个松弛变 量xn+i (i=12…m)。
➢ 若在化标准形式前，约束方程中有“≥”不等式， 那么在化标准形时除了在方程式左端减去剩余变量使不等式变 成等式以外，还必须在左端再加上一个非负新变量，称为 人工变量．
单纯形法简介
考虑到如下线性规划问题 maxZ=CX AX=b X 0
其中Ａ一个m×n矩阵，且秩为m，ｂ总可以被调整为一 个m维非负列向量，Ｃ为n维行向量，Ｘ为n维列向量。
根据线性规划基本定理： 如果可行域Ｄ={ Ｘ∈Ｒn / ＡＸ=ｂ，Ｘ≥0}非空有界， 则Ｄ上的最优目标函数值Ｚ=ＣＸ一定可以在Ｄ的一个顶 点上达到。 这个重要的定理启发了Dantzig的单纯形法， 即将寻优的目标集中在D的各个顶点上。
非基变量所对应的价值系数子向量。
要判定 Z=CBB-1b 是否已经达到最大值，只需将
XB =B-1b-B-1NX N 代入目标函数，使目标函数用非基变量
表示，即：
Z=CX=(CBCN
)
XB XN
=CBXB +CNXN =CB (B-1b-B-1NXN )+CNXN
大学数学易考知识点线性规划与最优化方法
大学数学易考知识点线性规划与最优化方法线性规划与最优化方法（Linear Programming and Optimization Methods）是大学数学中的一门重要知识点，它在实际问题中有着广泛的应用。
本文将介绍线性规划的基本概念和应用，以及常用的最优化方法。
一、线性规划的基本概念1.1 线性规划的定义线性规划是一种数学建模方法，通过建立数学模型，利用线性关系来描述问题的约束条件和目标函数，从而找到使目标函数达到最大或最小值的最优解。
1.2 线性规划的基本元素线性规划包括约束条件、目标函数和决策变量三个基本元素。
约束条件描述了问题的限制条件，目标函数描述了问题的优化目标，决策变量表示问题中需要决策的变量。
1.3 线性规划的标准形式线性规划的标准形式可以表示为：```max/min z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙsubject toa₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0```其中，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数的系数，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件中的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件中的常数，并且x₁, x₂, ..., xₙ为决策变量。
二、线性规划的解法与应用2.1 线性规划的解法线性规划有多种解法，常见的有图解法和单纯形法。
图解法适用于二维平面的线性规划问题，通过构建约束条件的直线和目标函数的等值线，找到最优解。
单纯形法是一种迭代算法，通过不断调整基变量和非基变量的取值，找到使目标函数达到最大或最小值的最优解。
2.2 线性规划的应用线性规划在实际问题中有广泛的应用，例如生产计划、资源分配、运输问题等。
通过建立合适的线性规划模型，可以有效地解决这些问题，优化资源的利用，提高生产效率。
最优化方法—线性规划问题
称xj为决策变量，cj为价值系数和费用系数， aij为约束系数或技术系数，bi为资源系数。
线性规划有关的问题
• 4.运输问题 ：m个物资产地B1, B2, …, Bm，n个物资销地A1, A2,…, An，si为 产地Bi产量，dj为销地Aj的销量，cij表 示把物资从产地Bi运到销地Aj的单位 运价，xij表示把物资从产地Bi运到销 地Aj的运输量，问应如何运输才能使 运费最小？
j 1 n
n aij x j bi i 1, , m s.t. j 1 x 0 j 1, , n j
min f C T X AX b s.t. X 0
min{CT X | AX b, X 0}
求线性规划方法－软件
LINDO软件包首先由Linus Schrage开 发，现在，美国的LINDO系统公司 （LINDO System Inc.）拥有版权，是 一种专门求解数学规划（优化问题）的 软件包。它能求解线性规划、（0，1） 规划、整数规划、二次规划等优化问题， 并能同时给出灵敏度分析、影子价格以 及最优解的松弛分析，非常方便实用。
线性规划问题
某工厂拥有A、B、C三种类型的设备， 生产甲、乙两种产品，每种产品在生产中需 要占用的设备机时数，每件产品可以获得的 利润以及三种设备可利用的机时数如下表
产品甲 设备A 设备B 3 2 产品乙 设备能力（h） 2 1 65 40
设备C
利润（元/件）
0
1500
3
2500
最优化方法及应用
最优化方法及应用最优化方法是一种数学领域的研究方法，旨在寻找最佳解决方案或最佳结果的方法。
最优化方法广泛应用于各个领域，如工程、经济、物流、管理等。
本文将介绍最优化方法的基本原理、常用模型和应用案例。
最优化方法的基本原理是通过建立数学模型，定义目标函数和约束条件，利用数学方法求得最佳解决方案。
最常见的最优化方法包括线性规划、非线性规划、动态规划、整数规划、模拟退火等。
线性规划是最常见的最优化方法之一，适用于目标函数和约束条件都是线性的问题。
线性规划通常使用单纯形法或内点法进行求解。
一个经典的应用案例是生产计划问题，通过最小化生产成本或最大化利润来确定最佳生产量和产品组合。
非线性规划是一个更一般的最优化方法，适用于目标函数和约束条件中包含非线性项的问题。
非线性规划可以使用梯度下降法、牛顿法等迭代算法进行求解。
一个典型的应用案例是参数估计问题，通过最小化误差函数来确定最佳参数值。
动态规划是一种适用于具有阶段性决策的问题的最优化方法。
动态规划通常将一个大问题划分为若干小问题，并通过递推的方式求解最优解。
一个常见的应用案例是背包问题，通过在每个阶段选择是否放入物品来最大化总价值。
整数规划是一种最优化方法，适用于目标函数和约束条件中包含整数变量的问题。
整数规划的求解比线性规划更困难，通常使用分支定界法等算法进行求解。
一个典型的应用案例是旅行商问题，通过确定一条最短路径来解决路线规划问题。
模拟退火是一种全局优化方法，通过模拟退火的过程来搜索最优解。
模拟退火可以应用于各种问题，如旅行商问题、机器学习算法优化等。
最优化方法在实际应用中具有广泛的应用场景。
在工程领域，最优化方法可以应用于产品设计、流程优化、资源调度等问题。
在经济领域，最优化方法可以应用于投资组合优化、货币政策制定等问题。
在物流领域，最优化方法可以应用于仓库位置选择、路径规划等问题。
在管理领域，最优化方法可以应用于员工排班、生产计划等问题。
总之，最优化方法是一种求解最佳解决方案或最佳结果的数学方法。
最优化方法及其在实际生活中的应用研究
最优化方法及其在实际生活中的应用研究最优化方法是指在一定的条件下，通过改变某些变量的值使某一目标函数达到最大或最小的一种数学方法。
最优化方法的应用非常广泛，涉及到经济、科学、工程等各个领域，如实现企业利润最大化、找到最佳的投资方案、最优化工程设计等。
在本文中，我们将介绍最优化方法的几种类型及其在实际生活中的应用研究。
一、线性规划线性规划是指以线性目标函数和线性约束条件为基础的最优化方法。
它通过线性代数和数学规划理论等方法来求解最优解。
线性规划在实际中的应用非常广泛，如在企业管理中用于决策分析，如生产计划、物流运输等，以及在金融领域中用于资产配置、投融资决策等。
二、整数规划整数规划是一种将线性规划中变量限制为整数的方法。
它可以模拟现实问题中的离散决策和数量限制，如在生产、物流配送等领域中用于解决仓库调度、货运路线优化等问题，也广泛应用于供应链管理、生产调度等领域。
非线性规划是指目标函数和约束条件中存在非线性关系的最优化方法。
它包括凸规划、非凸规划等不同类型。
在实际中，非线性规划被广泛应用于诸如化学反应、生产过程优化等领域。
四、启发式算法启发式算法是指用于求解复杂优化问题的近似算法。
他们无法保证优化结果的最优性，但它们能够在合理的时间内得到接近最优的结果。
在实际中，启发式算法被广泛应用于人工智能、图像识别、机器学习等领域。
五、模拟退火算法模拟退火算法是一种利用物理学中退火过程的思想来寻求最优解的算法。
它在实际中被广泛用于计算机科学、统计学、物理学、生物学、化学等领域。
综上所述，最优化方法在实际中被广泛应用于各个领域。
通过对现实问题的建模和求解，它们能够帮助我们做出更加明智、更加有效的决策，并最大程度地提高生产效率和经济效益。
五种最优化方法范文
五种最优化方法范文最优化是一个数学领域，在解决实际问题时，通过寻找最优解的方法，使得目标函数的值最小或最大化。
在最优化问题中，有许多不同的方法可以用来求解。
以下是五种常见的最优化方法。
1.梯度下降法梯度下降法是一种基于梯度信息的迭代算法，用于求解最小化目标函数的最优解。
其基本思想是从初始点开始，根据负梯度方向进行迭代求解，直到达到预定的停止条件或收敛到最优解。
梯度下降法的优点是简单易实现，适用于大规模问题。
缺点是容易陷入局部最优或鞍点，并且收敛速度可能较慢。
2.牛顿法牛顿法是一种基于二阶导数信息的迭代算法，用于求解非线性最优化问题。
其基本思想是通过二阶泰勒展开近似目标函数，以牛顿法的更新方程进行迭代求解。
与梯度下降法相比，牛顿法收敛速度更快。
但牛顿法的缺点是需要计算目标函数的二阶导数矩阵，计算代价较大，并且需要满足一定的收敛条件。
3.拟牛顿法拟牛顿法是一种通过拟合目标函数的局部特征来逼近牛顿法的方法。
常用的拟牛顿法有DFP（Davidon-Fletcher-Powell）方法和BFGS （Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno）方法。
拟牛顿法利用目标函数的一阶导数信息来近似目标函数的二阶导数矩阵，从而避免了计算二阶导数的复杂性，且收敛速度比梯度下降法更快。
拟牛顿法的缺点是需要存储和更新一个Hessian矩阵的逆或近似逆。
4.线性规划线性规划是一种最优化问题的形式，其中目标函数和约束条件都是线性的。
线性规划问题可以通过线性规划算法求解，如单纯形法、内点法等。
线性规划问题具有良好的理论基础和高效的求解方法。
线性规划在工业、供应链管理、运输问题等方面有广泛的应用。
5.整数规划整数规划是一种最优化问题的形式，其中决策变量只能取整数值。
整数规划问题可以通过整数规划算法求解，如分支定界法、割平面法等。
整数规划在许多实际情况下具有重要的应用，例如在生产计划、线路设计、货物装载等问题中。
五种最优化方法范文
五种最优化方法范文最优化方法是指为了在给定的条件和约束下，找到一个最优解或者接近最优解的问题求解方法。
这些方法可以用于解决各种实际问题，例如优化生产计划、项目管理、机器学习、数据分析等。
下面将介绍五种常见的最优化方法。
1. 线性规划（Linear Programming）：线性规划是一种数学优化技术，用于解决线性目标函数和线性约束条件下的问题。
线性规划方法可以用于优化生产计划、资源分配、供应链管理等问题。
它的基本思想是将问题转化为一个线性目标函数和线性约束条件的标准形式，然后使用线性规划算法求解最优解。
2. 非线性规划（Nonlinear Programming）：与线性规划不同，非线性规划处理非线性目标函数和约束条件。
非线性规划方法适用于一些复杂的问题，例如优化机器学习模型、最优化投资组合配置等。
非线性规划方法通常使用梯度下降、牛顿法等迭代算法来逐步优化目标函数，找到最优解。
3. 整数规划（Integer Programming）：整数规划是一种数学优化技术，用于求解在决策变量为整数的情况下的优化问题。
整数规划方法通常用于优化工程排程、选址和布局问题等。
整数规划在求解时需要考虑变量取值范围的整数要求，使用分支定界、割平面等方法求解，保证最优解是整数。
4. 动态规划（Dynamic Programming）：动态规划是一种将复杂问题分解为一系列子问题来求解的最优化方法。
它通常用于处理具有重叠子问题和最优子结构特性的问题，例如最优路径问题、背包问题等。
动态规划方法通过记忆化或者状态转移的方式来求解最优解，可以有效避免重复计算，提高求解效率。
5. 元启发式算法（Metaheuristic Algorithm）：元启发式算法是一类基于启发式的最优化方法。
与传统的优化方法不同，元启发式算法通常不需要依赖目标函数的导数信息，适用于处理复杂问题和无法建立数学模型的情况。
常见的元启发式算法包括遗传算法、蚁群算法、粒子群算法等，它们通过模拟自然界中的生物群体行为来最优解。
最优化方法及其应用
最优化方法及其应用1.线性规划：线性规划是一种用于解决线性约束条件下的最优化问题的方法。
它的目标函数和约束条件都是线性的。
线性规划在经济学中的应用非常广泛，比如生产规划、资源分配以及投资组合等问题。
2.整数规划：整数规划是线性规划的扩展，它将变量限制为整数，而不仅仅是实数。
整数规划在许多实际问题中都有应用，比如指派问题、货车路径问题以及资源分配问题等。
3.非线性规划：非线性规划是指目标函数或约束条件中存在非线性项的最优化问题。
非线性规划在工程学领域中的应用较为广泛，比如机械设计、控制系统设计以及电路设计等。
4.动态规划：动态规划是一种通过将问题划分为多个阶段，逐个解决各个阶段的最优化问题，最终得到整体问题的最优解的方法。
动态规划广泛应用于路径规划、资源分配以及金融投资等领域。
5.遗传算法：遗传算法是模拟生物进化过程的一种优化方法。
它通过模拟进化的过程，使用选择、交叉和变异等操作，逐代优化解的质量。
遗传算法在排队问题、旅行商问题以及机器学习等领域得到广泛应用。
6.粒子群优化算法：粒子群优化算法是模拟鸟群觅食行为的一种优化方法。
它通过模拟粒子在空间中的飞行路径，不断调整速度和位置，最终找到最优解。
粒子群优化算法在信号处理、机器学习以及图像处理等领域有广泛应用。
7.最小二乘法：最小二乘法是一种通过寻找与观测数据的残差平方和最小的参数值来拟合数据的方法。
最小二乘法在回归分析、信号处理以及图像处理等领域都有广泛的应用。
除了以上几种最优化方法，还存在着许多其他的最优化方法，比如模拟退火算法、蚁群算法以及神经网络算法等等。
每种最优化方法都有其特定的应用领域和适用范围。
在实际应用中，选择适合的最优化方法对于问题的解决至关重要。
最优化计算方法-第5章(线性规划)
第五章线性规划线性规划（Linear Programming，简记为LP）是数学规划的一个重要的分支，其应用极其广泛．1939年，前苏联数学家康托洛维奇（Л.B.Kah ）在《生产组织与计划中的数学方法》一书中，最早提出和研究了线性规划问题．1947年美国数学家丹泽格（G. B. Dantzig）提出了一般线性规划的数学模型及求解线性规划的通用方法─单纯形方法，为这门科学奠定了基础．此后30年，线性规划的理论和算法逐步丰富和发展．1979年前苏联数学家哈奇扬提出了利用求解线性不等式组的椭球法求解线性规划问题，这一工作有重要的理论意义，但实用价值不高．1984年在美国工作的印度数学家卡玛卡(N. Karmarkar)提出了求解线性规划的一个新的内点法，这是一个有实用价值的多项式时间算法．这些为线性规划更好地应用于实际提供了完善的理论基础和算法．第一节线性规划问题及其数学模型一、问题的提出例1 某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知条件如表所示。
问应如何安排计划使该工厂获利最多？ⅠⅡ现有资源设备原材料A 原材料B 14248台时16kg12kg每件利润23ⅠⅡ现有资源设备原材料A 原材料B 1402048台时16kg12kg每件利润23解: 设x 1、x 2 分别表示在计划期内产品Ⅰ、Ⅱ的产量。
12max 23z x x =+..s t 1228x x +≤1416x ≤2412x ≤12,0x x ≥二、线性规划问题的标准型112211112211211222221122123max ..,,0n nn n n n m m m mn n mn z c x c x c x s t a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b x x x x =+++⎧⎪+++=⎪⎪+++=⎨⎪⎪+++=⎪≥⎩，，其中1,,0m b b ≥11max ..,1,2,,0,1,2,,nj jj nij j i j j z c x s t a x b i mx j n=====≥=∑∑ 12(,,,)T n c c c =c 12(,,,)Tn x x x =x 12(,,,)Tm b b b =b 111212122212n nm m mn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 12[,,,]n = p p pmax ..()Tz s t ⎧=⎪=≥⎨⎪≥⎩c x Ax b b x 001max ..()Tnj j j z s tx =⎧=⎪⎪=≥⎨⎪⎪≥⎩∑c xp bb x 00对于不是标准形式的线性规划问题，可以通过下列方法将线性规划的数学模型化为标准形式：（1）目标函数的转换对min z 可以化max()z -（2）右端项的转换对0i b <，给方程两边同时乘以1-（3）约束条件的转换约束条件为≤方程左边加上一个变量,称为松弛变量约束条件为≥方程左边减上一个变量,称为剩余变量（4）变量的非负约束变量j x 无限制时，令,,0j j j j j x x x x x ''''''=-≥变量0j x ≤时，令j jx x '=-例将下列线性规划模型转化为标准形式12312312312312min 23..7232500x x x s t x x x x x x x x x x x -+-⎧⎪++≤⎪⎪-+≥⎨⎪--=-⎪≥≥⎪⎩，解（1）变量的非负约束令345x x x =-1245max 233x x x x -+-..s t 612457x x x x x ++-+=712452x x x x x -+--=12453225x x x x -++-=§2 两变量线性规划问题的图解法例1 求下列线性规划的解12121212max ..284300z x x s t x x x x x x =+⎧⎪+≤⎪⎪≤⎨⎪≤⎪≥≥⎪⎩，解（1）画可行域c A B D C 2x 1x O （2）画出目标函数的梯度向量：（3）作目标函数的一条等值线,120x x z +=将等值线沿梯度方向移动当等值线即将离开可行例2 求下列线性规划的解12121212max 2..284300z x x s t x x x x x x =+⎧⎪+≤⎪⎪≤⎨⎪≤⎪≥≥⎪⎩，解（1）画可行域c A B D C 2x 1x O （2）画出目标函数的梯度向量：（3）作目标函数的一条等值线,1202x x z +=将等值线沿梯度方向移动当等值线即将离开可行域时与可行域“最后的交点点为问题的最优解例3 求下列线性规划的解12121212max ..2200z x x s t x x x x x x =+⎧⎪-≤⎪⎨-≥-⎪⎪≥≥⎩，c2x 1x O无解例4 求下列线性规划的解12121212min 3..123600z x x s t x x x x x x =-⎧⎪≤⎪⎨≥⎪⎪≥≥⎩++，2x 1x O线性规划问题的性质：（1）线性规划的可行域为凸集，顶点个数有限．若可行域非空有界，则可行域为凸多边形．（2）线性规划可能有唯一最优解，可能有无数多个最优解，也可能无解最优解．无最优解可能是目标函数在可行域上无界，也可能可行域为空集．（３）若线性规划有最优解，则最优解必可在可行域的某个顶点达到．若两个顶点都为最优解，那么这两点连线上的所有点都是线性规划的最优解．§3 线性规划解的概念及其性质1 线性规划解的概念考虑线性规划问题max ..()Tz s t ⎧=⎪=≥⎨⎪≥⎩c x Ax b b x 00定义.1 矩阵A 中任何一组m 个线性无关的列向量构成的可逆矩阵B 称为线性规划的一个基矩阵与这些列向量对应的变量称为基变量(basis variable ）其余变量称为基对应的非基变量(nonbasis variable ）B 若设一个基为12(,,)m B p p p = ，12,,,m x x x ——为基B 对应的基变量1,,m n x x + ——为基B 对应的非基变量1B m x x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1m N n x x x +⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦12(,,,)m m n ++= N p p p (,)=A B N 从而令=Ax b 则(,)N x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B x B N b11B Nx B b B Nx --=-B N Bx Nx b+=令0N x =则1B x B b-=10B b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦——基本解（basis solution ）满足10B b -⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦,=≥0Ax b x 的基本解——基本可行解（basis feasible solution ）对应的基称为可行基（feasible basis ）．B 可以写成即:定义4 若基本可行解中所有基变量都为正，这样的基本可行解称为非退化解（non-degenerate solution）．若基本可行解中某基变量为零，这样的基本可行解称为退化解（degenerate solution）．例1212112max ..28400z x x s t x x x x x =-⎧⎪+≤⎪⎨≤⎪⎪≥≥⎩，标准化得：12123141234max ..28400,00z x x s t x x x x x x x x x =-⎧⎪++=⎪⎨+=⎪⎪≥≥≥≥⎩，，12341210(,,,)1001⎡⎤==⎢⎥⎣⎦A p p p p 子阵是否为基基变量非基变量基本解目标函数值134(,)=B p p 34,x x 12,x x (0,0,8,4)是231(,)=B p p 31,x x 24,x x (4,0,4,0)312(,)=B p p 12,x x 34,x x (4,2,0,0)424(,)=B p p 24,x x 13,x x (0,4,0,4)-4514(,)=B p p 14,x x 23,x x (8,0,0,4)-是是是是042基本可行解1x O(4,0)(4,2)(0,4)(8,0)2x 顶点2 解的判别定理定理1 最优解的判别准则设B 为线性规划LP 的一个基，1(1)0-≥B b 1(2)T T--≥0Bc B A c 则基对应的基本可行解1-⎡⎤⎢⎥⎣⎦0B b 是LP 的最优解．1(1,2,,)σ--== TBj j j c B p c j n 为变量对应的检验数j x 112[0,,0,,,]σσσ-++-= ，T TBm m n c B A c 显然基变量对应得检验数为零．定理2 无穷多个最优解的判别定理在线性规划的最优解中，某个非基变量对应的检验数为零，则线性规划有无数多最优解．定理3 无界解的判别定理设B 为线性规划的一个可行基，若基本可行解中s x 对应的检验数0σ<s ，且1-≤0s B p 则线性规划具有无界解（或称无解）．某非基变量§3.4 单纯形表设B 为线性规划的一个基，x 为对应的可行解，则=Ax b两边同乘得1-B 11--=B Ax B b两边同乘得T Bc 11T T --=BBc B Ax c B b T z =c xTz -=c x 11T T --+-=TBBz c B Ax c x c B b 11(T T --+-=)TBBz c B A c x c B b1111()T TT z ----⎧+-=⎨=⎩BBc B A c x c B b B Ax B b 11111T T Tz ----⎡⎤⎡⎤-⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦0BBc B b c B A c x B A B b 定义矩阵1111TT----⎡⎤-⎢⎥⎣⎦T BBc B b c B A c B bB A 为基B 对应的单纯形表（table of simplex ）,记为()T B1111()T T----⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦T BBc B b c B A c T B B bB A 检验数函数值基变量的值各变量的系数100T b -=Bc B b 101020(,,,)--= T TBn c B A c b b b 10201-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥ b b B b则单纯形表可写成000101011102()⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B n n m m mn b b b b b b T b b b 1112121222111112(,,)---⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦n n n m m mn b b b b b b B A B p B p bb b上例中1212112max ..28400z x x s t x x x x x =-⎧⎪+≤⎪⎨≤⎪⎪≥≥⎩，标准化得：121231412max ..28400z x x s t x x x x x x x =-⎧⎪++=⎪⎨+=⎪⎪≥≥⎩，12341210(,,,)1001⎡⎤==⎢⎥⎣⎦A p p p p 子阵是否为基基变量非基变量基本解目标函数值134(,)=B p p 34,x x 12,x x (0,0,8,4)是231(,)=B p p 31,x x 24,x x (4,0,4,0)312(,)=B p p 12,x x 34,x x (4,2,0,0)424(,)=B p p 24,x x 13,x x (0,4,0,4)-4514(,)=B p p 14,x x 23,x x (8,0,0,4)-是是是是042基本可行解1x O(4,0)(4,2)(0,4)(8,0)2x 顶点13410(,)01⎡⎤==⎢⎥⎣⎦B p p 231(,)=B p p 12341210(,,,)1001⎡⎤==⎢⎥⎣⎦A p p p p T(0,0)=B C 10()T⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦c T B b A 34011008121041001z x x -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦23140101()4021141001x x ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥z T B 121101--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B 31401014021141001z x x ⎡⎤⎢⎥−−→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦T(0,1)=B C单纯形表的特点：1、基变量对应的检验数为零2、基变量的系数构成单位阵§5旋转变换（基变换）设已知12(,,,,,)= r m j j j j B p p p p T()=B 1 r m j j j z x x x 1sn x x x 0001001011110102⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦sn s n r r rs rn m m ms mn b b b b b b b b b b b b b b b b为了将s x 变为基变量，而将r j x 变为非基变量，必须使表中的第s 列向量变为单位向量，变换按下列步骤进行：（1）将()T B 中第r 行，第s 列的元素化为1．01(,,,,,1,,) rj r rnr rs rs rs rsb b b b b b b b （2）将()T B 中第s 列的的其余元素化为0．0101(,,,,,0,,)---- is rn is rj is r is r i i ij in rs rs rs rsb b b b b b b b b b b b b b b b由此得出变换后矩阵中各元素的变换关系式如下，其中,01== ，，，rjrj rsb b j nb ,,01,01=-≠== ，，，，，，is rjij ij rsb b b b i r i m j nb 变换式称为旋转变换rs b 称为旋转元，r称为旋转行称为旋转列，s s x 称为入基变量，称为出基变量，r j x {,}r s定理3.5.1,01== ，，，rj rj rsb b j n b ,,0,01=-≠== ，，，，，is rj ij ij rsb b b b i r i m j n b 在变换之下，将基12(,,,,,)= r m j j j j B p p p p 的单纯形表变为基12(,,,,,)= m j s j j B p p p p 的单纯形表第6节单纯形法基本思路是：线性规划(通常是求最小值的形式)若有最优解，其必定在可行域(在相应几何空间中是一个凸多面体)的顶点达到，故从某一个顶点出发，沿着凸多面体的棱向另一顶点迭代，使得目标函数的值增加,经过有限次迭代，将达到最优解点.1.入基变量及出基变量的确定入基变量的确定由上面可知，目标函数用非基变量表示的形式为01n j jj m z z x σ=+=-∑若某检验数0j σ<则j x 的系数大于零，将j x 由零变为非零，目标函数值增大．所以，为了使的取值目标函数值增加，可以将某检验数0j σ<对应的非基变量j x 中的某个变为基变量．{}min 0j s j σ=<则s x 可选作为入基变量．即：在负检验数中，列标最小的检验数对应的非基变量入基．２．出基变量的确定在确定出基变量时应满足两个原则：（1）目标函数值不减；（2）保证新的基本解为基本可行解．0min 0,0i is is b b i m b θ⎧⎫=>≤≤⎨⎬⎩⎭min ,00i is is b r i b i m b θ⎧⎫==>≤≤⎨⎬⎩⎭，2 单纯形法设已知一个初始可行基及B T()B 基变量指标集合为{}1,,B m J j j = 非基变量的指标集合为{}1,2,,\N BJ n J =单纯形法若所有()00j N b j J ≥∈，则停止，最优解为0,1,,0,ij i j N x b i m x j J **⎧==⎪⎨=∈⎪⎩否则转（2）．（1）最优性检验（2）选入基变量{}0min 0,j N s j b j J =<∈若()01~is b i m ≤=,则停止,(LP)无最优解，否则转(3)（3）选出基变量0min 0,0i is is b b i m b θ⎧⎫=>≤≤⎨⎬⎩⎭0min ,00i is is b r i b i m b θ⎧⎫==>≤≤⎨⎬⎩⎭，（4）作{},r s 旋转运算,01rj rj rsb b j n b == ，，，,,01,01is rj ij ij rsb b b b i r i m j n b =-≠== ，，，，，，得B 的单纯形表()()ijT B b =，以ij b 代替ij b ，转(1)例1 求线性规划问题的解解标准型为:121231425max 2328416.412,,,,0z x x x x x x x s t x x x x x x x =+++=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪≥12121212max 2328416.412,0z x x x x x s t x x x =++≤⎧⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥⎩12123142512345max 2328416.412,,,,0z x x x x x x x s t x x x x x x x =+++=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪≥⎩-20-381612121004001004001345z x x x 12345x x x x x 000⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢0T()B =0345[,,]B p p p =00T()T c B bA ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦-20-381612121004001004001345z x x x 12345x x x x x 000⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣0T()B =8/116/408-3441202101001/400400135z x x 12345x x x x x 01/20⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢1/4-41x08-3441202101001/400400135z x x 12345x x x x x 01/20⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1/4-1x 4/212/40140244011/201001/40002-15z x 12345x x x x x 3/21/80⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1/8-1x 32x 1/2例2求线性规划问题的解解标准型为:121231425max 228416.412,,,,0z x x x x x x x s t x x x x x x x =+++=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪≥12121212max 228416.412,0z x x x x x s t x x x =++≤⎧⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥⎩12123142512345max 228416.412,,,,0z x x x x x x x s t x x x x x x x =+++=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪≥⎩-10-281612121004001004001345z x x x 12345x x x x x 000⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢0T()B =0345[,,]B p p p =00T()T c B bA ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦-10-281612121004001004001345z x x x 12345x x x x x 000⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣0T()B =8/116/404-2441202101001/400400135z x x 12345x x x x x 01/40⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢1/4-41x0-2441202101001/400400135z x x 12345x x x x x 00⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1/4-1x 4/212/4080244011/201001/400015z x 12345x x x x x 100⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1/8-1x 32x 41/42-1/2080244011/201001/400015z x 12345x x x x x 100⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1/8-1x 2x 2T 0803280101/410101/2-004-12z 12345x x x x x 00⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣01x 2x 42-1/25x 11212x k x k x =+12120,1,1k k k k ≤≤+=全部最优解为§7 两阶段法第二阶段从初始可行基开始，用单纯形法求解原问题．（LP ）max ..(0)0T z c x s t Ax b b x ⎧=⎪=≥⎨⎪≥⎩（ALP ）max ..0()T w s t z ⎧=-⎪-=⎪⎨+≥⎪⎪≥⎩00T e y c x A =b b x y x 第一阶段引入人工变量，构造辅助问题，求辅助问题的最优解，得出原问题的初始可行基及对应的基本可行解．（ALP）12112211112211121122222211212312max..0 ,,,,0mn nn nn nm m mn n m mn mw y y ys t z c x c x c xa x a x a x y ba x a x a x y ba x a x a x y bx x x x y y y=----⎧⎪----=⎪⎪++++=⎪++++=⎨⎪⎪++++=⎪⎪≥⎩，，，，，121111211112122122212000000100()010001m m m m i i i in i=1i i i n n n m m m mn b a a a c c c b a a a T B b a a a b a a a ===⎡⎤----⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑。
数学建模中的最优化算法
数学建模中的最优化算法数学建模是一项综合性强、难度较大的学科，涉及到数学和实际问题的结合。
在数学建模中，最常见的问题是优化问题，即在给定的约束条件下，求出最优解。
最优化算法是解决优化问题的重要手段，包括线性规划、非线性规划、动态规划等。
这些算法在不同的问题中有不同的应用，下面我们将分别介绍。
一、线性规划线性规划是一种数学工具，它可以在一系列线性约束条件下最大化或最小化具有线性关系的目标函数。
在数学建模中，线性规划被广泛应用于资源分配问题、制造流程优化等方面。
线性规划的求解方法主要有单纯形法、对偶理论、内点法等。
其中单纯形法是最常用的方法之一，它通过迭代搜索寻找最优解。
但是对于规模较大的问题，单纯形法的效率会降低，因此近年来对于线性规划的求解，研究者们也开始关注内点法这种算法。
内点法通过可行路径寻找最优解，因此在理论和实际的问题中都有广泛的应用。
二、非线性规划非线性规划主要是解决一些非线性问题，这种问题在实际问题中很常见。
与线性规划不同的是，非线性规划的目标函数往往是非线性的。
非线性规划的求解方法主要有牛顿法、梯度法、共轭梯度法等。
其中，牛顿法是一种迭代法，通过利用函数的一、二阶导数进行求解。
梯度法则是利用函数的一阶导数进行搜索最优解。
共轭梯度法是一种联合使用前两种方法的算法，比前两种算法更加高效。
三、动态规划动态规划是一个将一个问题分解为相互重叠的子问题的技巧，并将子问题的解决方法组合成原问题的解决方法。
动态规划的优势在于能够处理具有重叠子问题和最优子结构等性质的问题。
在数学建模中，动态规划通常被用来处理具有最优子结构的优化问题。
动态规划的求解方法主要有记忆化搜索、状态转移方程等。
其中，记忆化搜索是一种保存结果以便后续使用的技术。
状态转移方程则是一种寻找题目的最优子结构的方法，它通过减小问题规模寻找最优解。
总之，数学建模中的最优化算法是解决现实问题的有效手段。
通过学习和掌握这些算法，我们可以更加深入地理解和解决实际问题。
《最优化方法》课程讨论总结(原创)
I 线性规划
1.1 分支定界法与隐枚举法
分支定界法与隐枚举法对比见表 1。
表1 项目 解决问题 分支定界法 用于求解纯整数规划和混合整数规划问题 1.标准型 Min z=c0+cjxj s.t.ai,jxj≤bi 将要求解的最小整数问题为(I0)，将不考 虑整数条件的线性规划问题称为该整数规划 的松弛问题， 记为(L0)， I0 和 L0 的解存在以下 关系： 1.若 L0 没有可行解， 则 I0 也没有可行解； 理论依据 2.若 L0 有最优解，且满足 I0 整数条件， 则 L0 的最优解即为 I0 的最优解；若不满足 I0 整数条件，则 L0 的最优目标函数值必是 I0 最 优目标函数值 z*的下界 z1，而 I0 的任意可行 解的目标函数值将是 z*的一个上界 z2，即 z1≤z*≤z2。 1)若
表3 1.与牛顿法的区别 牛顿法优缺点： 二次收敛，程序简单，需要二阶导数，需要计算 Hesse 矩阵，而此矩阵可能非正定，可能导致搜索方 向不是下降方向。 拟牛顿法：用不包含二阶导数的矩阵 Bk 近似 Hesse 矩阵 Gk（与牛顿法的本质区别） ，其特点为：1）不 必计算 Hesse 矩阵；2）当 Hk>0 时，算法产生的方向均为下降方向，具有二次终止性；3）存储量较大。 拟牛顿法是无约束最优化方法中最有效的一类算法，简单的“拟”是革命性的进步。 2.与牛顿法迭代公式对比 牛顿法：Pk=-Gk-1gk，xk+1=xk+Pk 拟牛顿法：Pk=-Bk-1gk（Pk=-Hkgk） ，xk+1=xk+αkPk，线性搜索求解 αk，计算框图如下。 拟牛顿法特点及求解思路
jFk
分支定界法与隐枚举法对比 隐枚举法 对于 0-1 规划问题，考虑其特殊性，提出该法 (cj≥0) (i=0,1,2,……,m) (j=0,1,2,……,n)
第二章 最优化 线性规划
优点：简单易行，适用于各种线性规划问题，特别是大规模问题。
缺点：对于某些问题，可能存在计算量大、时间长、易陷入局部最优解等问题。
改进方向：研究更高效的算法，如内点法、梯度法等；结合启发式算法，如遗传算法、模拟退火算法等，以寻找更好的解。
章节副标题
线性规划的应用案例
生产计划问题
具体案例：以某企业为例，通过线性规划的方法制定生产计划，实现了生产效率的提高和成本的降低。
最优化问题面临的挑战与未来发展前景
单击此处输入你的正文，请阐述观点
未来发展前景：利用人工智能技术、优化算法改进、拓展应用领域等 最优化问题的实际应用与挑战
最优化问题的实际应用与挑战
单击此处输入你的正文，请阐述观点
挑战：处理大规模问题、考虑各种约束条件、处理不确定性等 最优化与线性规划
最优化与线性规划
单击此处输入你的正文，请阐述观点
线性规划问题定义：在给定约束条件下，寻找一组变量的最优解，使得目标函数为线性函数
单击此处输入你的正文，请阐述观点
单击此处输入你的正文，请阐述观点
最优化与线性规划的应用：生产计划、资源分配、物流优化、金融投资等
单击此处输入你的正文，请阐述观点
Thank you
学院
感谢观看
线性规划问题中的约束条件是等式或不等式约束。
章节副法的基本原理
线性规划问题的定义和求解目标
单纯形表和最优解的确定方法
单纯形法的收敛性和计算效率
单纯形法的基本思路和迭代过程
单纯形法的算法步骤
确定初始基本可行解
确定最优解所在的迭代方向
确定迭代步长
更新基本可行解
单纯形法的优缺点及改进方向
资源分配问题的数学模型和求解方法
最优化方法-线性规划
可行解
基本可行解
基本解
m 基本解数量 C n
是否在基本可行解中一定存在最优解？
退化： 非 零 分 量 个 数 小 于的 基 本 解 为 退 化 的 基 解 ； 称 m 本
否 则 称 非 退 化 的 基 本 。 如 果 LP)的 所 有 基 本 解 都 是 解 ( 非 退 化 的 ， 称LP)是 非 退 化 的 。 (
(1) 一组决策变量； (2) 一个线性目标函数； (3) 一组线性的约束条件。
线性规划模型 )的一般形式： (LP
min (max)
c x
i i 1
n
i
a11 x1 a12 x 2 a1n x n ( , )b1 a x a x a x ( , )b 22 2 2n n 2 21 1 s.t . a x a x a x ( , )b m2 2 mn n m m1 1 x i ( , )0 , i 1 , 2 ,, n
二. 标准型
1. 标准型
m in
c x
i 1 i
பைடு நூலகம்
n
i
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 22 2 2n n 2 21 1 s.t . a x a x a x b m2 2 mn n m m1 1 x i 0 , i 1 , 2 , , n
A
B
x1 x1 2 x2 4
极大值点为 顶点B。
o
C
2 x1 x2 5
例 3 将例2中的目标函数改为 x1 2 x2 。 z x2 解：分析同例2。 等值线：1 2 x2 z。 x
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x0
(2) (3)
可行解：满足（2）、（3）式的解x ( x1 , x2 , , xn )T 称为 (LP )的可行解。
可行域：D { x| Ax b , x 0}。
定理 线性规划问题的可行域D是凸集。 证明： 任取 x1, x2 D, 0 1。
A( x1 (1 )x2 ) Ax1 (1 )Ax2 b (1 )b
定理3 线性规划问题(LP )如果有最优解，则必有最优 的基本可行解。
定理4 线性规划问题(LP )的解 x 是基本可行解的 充分必要条件是 x 是 可行域 D的顶点。
五. 单纯形算法
1. 算法思路：从一个基本可行解开始，判断其是否为最优解。 是则算法结束。不是，则转换到另一个更好的基本可行解， 直到找到最优解，或者判断出不存在最优解。
2x1 u2 v2 3x3 x4 x5 3
s.t .
x1
3x1 2u2 2v2 2x4 4u2 4v2 3x3 x4
7 x7
6
x1 , x3 , x4 , x5 , x7 , u2 , v2 0
三. 图解法
例 2 求解线性规划 max z 4x1 3x2
s.t .
x2 1
且 x2 1时，x3 0。即x2变为基变量，x3变为非基变量。
x2 x1
1 2
2
3 1
3
x3 x3
1
3 2
3
x4 x4
25 z 11 3 x3 3 x4
令 x3
x4
0,则
x1 x2
2 1
基本可行解 x3 ( 2 ,1, 0 , 0 )T 。目标函数值 z3 11。
问题： (1) 如何得到第一个基本可行解？ (2)最优解的判定法则？
(3) 如何从一个基本可行解变换到另一个基本可行解？
2. 单纯形算法分析
例1 求解线性规划问题 (LP ) min s.t .
解：系数矩阵A 1 2 1 0。 2 1 0 1
Z 4x1 3x2
2x1x12
x2 x2
x3 x4
16
9 14
9
x2 ( 16 ,0,0,14 )T 是基本可行解。
9
9
可行解
基本可行解 基本解
基本解数量 Cnm
是否在基本可行解中一定存在最优解？
退化：称 非 零 分 量 个 数 小 于m的 基 本 解 为 退 化 的 基 本解 ；
否 则 称 非 退 化 的 基 本 解。 如 果( LP)的 所 有 基 本 解 都 是 非 退 化 的 ， 称( LP)是 非 退 化 的 。
4. 数学模型
min S 4 x1 5 x2 7 x3
s.t .
2
x1 x1
1.5x2 2x2 2
3x3 100 x3 150
xi 0, i 1,2,3
线性规划模型：
(1) 一组决策变量； (2)一个线性目标函数； (3)一组线性的约束条件。
线性规划模型( LP )的一般形式：
A
x1 x2 2 C
不存在最大值。
原问题无界。
x1
o
B
x1 x2 2
结果：
在顶点取到唯一最优解
线性规划问题的解
有最优解 无最优解
有无穷多最优解
解无界 可行域为空集
四. 线性规划解的概念和性 质
1. 线性规划解的概念
( LP )
min z cT x (1)
s.t .
Ax b
max 2 x1 3 x2 x3 3 x4
2x1 x2 3x3 x4 3
s.t .
3 x1 x1
2x2 4x2
2x4 3x3
7 x4
6
x1 , x3 , x4 0 , x2无约束
解： 令x2 u2 v2 ,则
min 2 x1 3u2 3v2 x3 3 x4
基本可行解：满足非负条件 的基本解称为基本可行解。
例 给定(LP)问题 min z x1 2x2 x3 2x4
s.t .
2xx1122xx22x23x3
4 x4 x4
8 2
x1 , x2 , x3 , x4 0
求此问题的一个基本解和一个基本可行解。
解： 系数矩阵A 1 2 1 4 。 2 2 2 1
解：分析同例 2。
x2
等值线：x1 2x2 z。
A
B
极大值点为线段AB 上的 任一点。
x1
o
C x1 2 x2 4
2 x1 x2 5
例4 求解线性规划 max s.t .
解：分析同例 2。
z 4 x1 3 x2
x1 x1
x2 x2
2 2
x1 , x2 0
x2
等值线：4x1 3x2 z。
1. 标准型
min
n
ci xi
i 1
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
s.t .
a21 x1
a22 x2
a2n xn
b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
xi 0,i 1,2, ,n
记 c ( c1 , c2 , , cn )T , b ( b1 , b2 , , bm )T 0, x ( x1 , x2 , , xn )T , A (aij )mn 。则线性规划
x3 x4
0 0
x1 4
x1
5 2
x1
5 2
且
x1
5 2
时
，x
4
0。
即
x1变
为
基
变
量
，x
变
4
为
非
基
变量
。
x3 x4
4 5
x1 2x2 2x1 x2
x3
x1
3
2 5
2
3
2 1
2
x2 x2
1
2 1
2
x4 x4
z 10 x2 2x4
令
x2
x4
0,则
x1
x
3
5
产品
资源
A
B
C
资源总量
原材料 2
1.5
3
100
工时
1
2
2
150
解：1. 确定决策变量
设 A、B、C的产量分别为x1、x2、x3。
2. 确定目标函数
设总利润为S，则
S 4 x1 5 x2 7 x3 3. 确定约束条件
2 x1 1.5 x2 3 x3 100 x1 2x2 2x3 150 xi 0, i 1,2,3
是否为最优解？利用目标函数分析。
z 0 4x1 3x2 目标函数中非基变量x1 和 x2 的系数为负数，因此若x1 和 x2 的 取值可以增大为正数，则目标函数值就可以减小。
固定 x2 不变，考察x1 是否可以增大？
x3 x4
4 5
x1 2x2 2x1 x2
x3 x4
4 x1 5 2x1
标准型可记为
min cT x
s.t .
Ax b
x0
2. 化标准型 (1)目标函数：
原问题目标函数 : max cT x min cT x
(2)约束条件：
(i) 原问题条件： ai1 x1 ai2 x2 ain xn bi
ai1 x1
ai2 x2
ain xn xni 0
因为
Ax b
即
P1 x1 Pm xm Pm1 xm Pn xn b
所以
P1 x1 Pm xm b Pm1 xm Pn xn
令非基变量xm1 xn 0,解得 ( x1 , , xm )T B1b
基本解：取定线性规划问题的基B，令非基变量取零，求得基 变量的取值B1b, 称解(B1b , 0)T 为对应于基B的基本解。
2x1x12
x2 x2
4 5
x1 , x2 0
解 ：(1) 画出可行解的范围。
(2) 利用等值线平移的方法求极值点。 x2
以 z 为参数，则方程4x1 3x2 z
表示一族等值平行线。
A
B
极大值点为顶点 B。
x1
o
C x1 2 x2 4
2 x1 x2 5
例3 将例2中的目标函数改为z x1 2x2 。
b
所以x1 (1 )x2 D。即D是凸集。
顶点：设S为凸集，x S。如果不存在x1 x2 S，及0 1。 使 x x1 (1 )x2 ，则称 x为S的一个顶点。
x
x2
x1
基 : 设 A为m n的系数矩阵,秩为m。若B为A中m m阶的非 退化子阵，则称B为A的(或( LP )问题)一个基。
设基 B ( Pi1 , Pi2 , , Pim ) , 称 Pik (k 1, , m ) 为基向量，称 Pik 对应的变量 xik (k 1, , m )为基变量，不是基变量的变量称为 非基变量。
已知r( Amn ) m，不妨设 A的前m列向量线性无关，则可取 B ( P1 , P2 , , Pm )为基，则x1 , , xm 为基变量。
2. 线性规划解的性质
定理1 设x ( x1, x2 , , xn )T 是Ax b的一个解，则x是基本 解的充要条件是x的非零分量xi1 , xi2 , , xir 对应的A的列向量 pi1 , pi2 , , pir 线 性无 关 。 定理2 线性规划问题(LP )如果有可行解，则必有基本 可行解。
取 B 1 2
2 2
，则令非基变量x3
x4
0,得
2xx1122xx22
8 2
x1 x2
10
3 7
3
x1 ( 10 , 7 ,0,0 )T 是基本解，但不是基本可行解。 33