最优化方法-线性规划的基本定理
最优化方法第二章(1)
min c j x j j 1 n s.t. aij x j bi , i 1, 2, , m j 1 x j 0, j 1, 2, , n.
无关。
定理2.3 设 x D ,则
x R 引理2.2 设 A a1 , a2 , , an mn ， ( A) m ， D。则
D {x Ax b , x 0}
x 是（2.2）的基本容许解 x
是 D 的极点。 从几何角度讲，例2.3中的约束条件 x1 x2 x3 6 x1 2 x2 4 x3 18 x1 , x2 , x3 0 表示空间一条直线在第一象限中的直线段部分。 如图所示：
不失一般性，假定单位矩阵位于前 m 列，即典范 形式呈现为
min c1 x1 c2 x2 cn xn s.t. x1 x2
其中 bi 0(i 1, 2,, m) 。 用向量－矩阵表示法，那么（2.3）可简写成
x j 0,
a1, m 1 xm 1 a1, n xn b1 a2, m 1 xm 1 a2, n xn b2 （2.3） xm am , m 1 xm 1 am , n xn bm j 1, 2, , n
x1 x2 1 x1 x2 3 x1 , x2 0. 化为标准形式，并用图解法求解原问题，给出标准形 式的解。
解 对第1个约束引入松弛变量 x3 ，对第2个约束引入 剩余变量 x4 。于是，该线性规划的标准形式为
线性规划的基本定理-最优化方法
j 1
j 1
现构造两个点X（1），X（2），使满足
X（1）=（x1+αλ1,…, xk+αλk ,0,…,0）T X（2）=（x1-αλ1,…, xk-αλk ,0,…,0）T
线性规划解的基本定理
定理2：设X是可行域D的极点，那么，X最多有m个 正分量。
证明：设X=(x1，···xk，0，···，0)T，若k>m，由
z=λx+(1-λ)y
这说明当0 ≤ λ ≤1 时，λx+(1λ)y 表示以x.y为端点的直线段上的所 有点，因而它代表以 x.y为端点的直线 段。
一般地，如果x.y是n维欧氏空间Rn中的两点，则 有如下定义：
如果 x=(x1…xn)T,y=(y1…yn)T是Rn中任意两点，定 义z=λx+(1-λ)y(0≤λ≤1),z=(z1…zn)T 的点 所构成的集合为以x,y为端点的线段，对应λ=0， λ=1的点 x, y叫做这线段的端点，而对应 0<λ<1的点叫做这线段的内点。
表明X不是D的极点，与已知条件矛盾，故k≤m。
线性规划解的基本定理
定理1.4：对标准形式的线性规划，基可行解与可行 域的极点一一对应。
证明：首先证明极点必是基可行解。设X是极点， 由定理1.3,可设X=(x1,…xk,0,…,0)T xj>0,k≤m 若X不是基可行解，由定理1.2，向P1,P2,…,Pk应 线性相关。仿照定理1.3的证明过程，可推导出X 不是极点，与已知条件矛盾。故可知X是基可行解。
其次证明充分性。设X的正分量为x1，x2,…,xk，其对 应的列向量P1,P2,…,Pk线性无关。显然k≤m。
若k=m，则P1,P2,…,Pk可用来构成一个基，所 以X是基本解。而已知X是可行解，故X又是基可行 解。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在各个领域都有广泛的应用，包括经济学、工程学、管理学等。
本文将对线性规划的基本概念、模型构建、求解方法以及应用领域进行详细介绍。
一、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或者最小化一个线性函数，称为目标函数。
目标函数通常表示为Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn，其中ci为系数，xi为决策变量。
2. 约束条件：线性规划的决策变量需要满足一系列线性约束条件，常用形式为a1x1 + a2x2 + ... + anxn ≤ b，其中ai为系数，b为常数。
3. 可行解：满足所有约束条件的决策变量取值称为可行解。
4. 最优解：在所有可行解中，使目标函数取得最大值或者最小值的解称为最优解。
二、模型构建1. 决策变量：根据具体问题确定需要优化的变量，通常用xi表示。
2. 目标函数：根据问题要求确定目标函数的系数，进而确定是最大化还是最小化。
3. 约束条件：根据问题中给出的条件，建立约束条件方程。
4. 非负约束：决策变量通常需要满足非负约束条件，即xi ≥ 0。
三、求解方法1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以使用图形法进行求解。
首先绘制约束条件的直线，然后确定可行域，最后在可行域内找到目标函数的最优解。
2. 单纯形法：对于多维线性规划问题，常使用单纯形法进行求解。
单纯形法通过不断迭代，逐步接近最优解。
它基于线性规划的基本定理，即最优解一定在可行解的顶点上。
3. 整数规划：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法进行求解。
整数规划问题通常更加复杂，求解时间较长。
四、应用领域1. 生产计划：线性规划可以用于确定最佳的生产计划，使得生产成本最小化或者利润最大化。
2. 运输问题：线性规划可以用于确定最佳的运输方案，使得运输成本最小化。
3. 资源分配：线性规划可以用于确定最佳的资源分配方案，使得资源利用率最高。
最优化方法-线性规划
引言
对线性规划贡献最大的是美国数学家G.B.Dantig(丹捷格)，他 在1947年提出了求解线性规划的单纯形法（Simple Method），并同时给出了许多很有价值的理论，为线性规划 奠定了理论基础。在1953年，丹捷格又提出了改进单纯形法， 1954年Lemke(兰母凯)提出了对偶单纯形法（dual simplex method）。 在1976年， R. G. Bland 提出避免出现循环的方法后，使线 性规划的理论更加完善。但在1972年，V. Klee和G .Minmty 构造了一个例子，发现单纯形法的迭代次数是指数次运算，不 是好方法——并不是多项式算法（多项式算法被认为是好算 法），这对单纯形法提出了挑战。
B2
B3
70
50 60
A2
60 110 160
[解] 设xij 表示 Ai运往Bj的运量（万块） minS=50x11+60x12+70x13+60x21+110x22+160x23 S.t. x11+x12+x13=23 x21+x22+x23=27 x11+x21=17 x12+x22=18 x13+x23=15 xij≥0, i=1,2、j=1,2,3
2.线性规划问题的几何意义
2.1基本概念 凸集：设k为n维欧氏空间的一点集，任取X,Y∈K,若 连接X,Y的线段仍属于K,则称K为凸集。即任取α ,0<α <1 α X+(1-α )Y∈K 称K为凸集。 顶点（极点）：设K是凸集，X∈K,若X不能用不同的两
点 X(1) ∈K,X2) ∈K 的线性组合表示为 X=α X(1)+(1-α )X(2) (0<α <1) 则称X为极点。
最优化方法：第2章 线性规划
Z=CBB-1b+(σm+1,
σm+k ,
xm+1
σn
)
CB B-1b+σ m+k
xn
因为 m+k 0，故当λ→+∞时，Z→+∞。
用初等变换求改进了的基本可行解
假设Ｂ是线性规划 maxZ=CX,AX=b,X 0的可行基，则
AX=b
(BN)
XB XN
b
(I,B-1 N)
➢ 若在化标准形式前，m个约束方程都是“≤”的形式， 那么在化标准形时只需在一个约束不等式左端都加上一个松弛变 量xn+i (i=12…m)。
➢ 若在化标准形式前，约束方程中有“≥”不等式， 那么在化标准形时除了在方程式左端减去剩余变量使不等式变 成等式以外，还必须在左端再加上一个非负新变量，称为 人工变量．
单纯形法简介
考虑到如下线性规划问题 maxZ=CX AX=b X 0
其中Ａ一个m×n矩阵，且秩为m，ｂ总可以被调整为一 个m维非负列向量，Ｃ为n维行向量，Ｘ为n维列向量。
根据线性规划基本定理： 如果可行域Ｄ={ Ｘ∈Ｒn / ＡＸ=ｂ，Ｘ≥0}非空有界， 则Ｄ上的最优目标函数值Ｚ=ＣＸ一定可以在Ｄ的一个顶 点上达到。 这个重要的定理启发了Dantzig的单纯形法， 即将寻优的目标集中在D的各个顶点上。
非基变量所对应的价值系数子向量。
要判定 Z=CBB-1b 是否已经达到最大值，只需将
XB =B-1b-B-1NX N 代入目标函数，使目标函数用非基变量
表示，即：
Z=CX=(CBCN
)
XB XN
=CBXB +CNXN =CB (B-1b-B-1NXN )+CNXN
线性规划的基本定理
考察线性规划的标准形式(3. 2)
设可行域的极点为x(1) , x(2) ,..., x(k) ,极方向为d (1) , d (2) ,..., d (t)。
根据表示定理，任意可行点x可表示为
k
t
x i x(i) id(i)
i=1
i=1
(3.3)
k
i 1
i=1
i 0, i 1,2,..., k
1,(3. 2)存在最优解的充要条件是所有 cd(j) 非负,其中 d(j) 是可行域的极方向 2,若(3. 2)存在有限最优解,则目标数的最优值 可在某极点达到.
5
3.线性规划的基本性质
2021/7/17
• 3最优基本可行解
前面讨论知道们最优解可在极点达到，而极点 是一几何概念，下面从代数的角度来考虑。
x1p1 x2p2 ... xsps 0ps1 ... 0pm b
即 BxB b,且 xB B1b 0
从而xHale Waihona Puke xB xNxB 0
是基本可行解
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3.线性规划的基本性质
2021/7/17
2)设x是Ax=b,x0的基本可行解,记
x
xB xN
xB 0
0
假设存在两点x(1) ,x(2)及某 (0,1),使得
x
8
3.线性规划的基本性质
2021/7/17
• 2 基本性质
– 2.1 线性规划的可行域
定理 线性规划的可行域是凸集.
– 2.2 最优极点
观察上例，最优解在极点(15,2.5)达到，我们 现在来证明这一事实:线性规划若存在最优解, 则最优解一定可在某极点上达到.
9
3.线性规划的基本性质
运筹学—104线性规划的基本定理
0
1
信息系刘康泽
由线性代数知，基矩阵B必为非奇异矩阵并且 | B |≠0。当 矩阵B的行列式等式零，即 | B |＝0 时就不是基。
例如：B10
5 10
1
2
,
B10
0 , B10不是基。
2、基向量: 当确定某一矩阵为基矩阵时，则基矩阵对应
的列向量称为 基向量，其余列向量称为非基向量。
m
n
或
Pj x j b Pj x j
j 1
i m1
m
令非基变量为0，则
Pj x j b
j 1
利用克莱姆法则可得一个基解：x (x1, x2, , xm,0, ,0)T
这个解的非零分量的个数不大于方程个数 m.
x1
特别的: 若
x2
a1m1xm1 a2m1xm1
xm amm1xm1
【注3】若K，L都是凸集，则 K L 也是凸集。
K L { x | x , K , L}
【注4】若K，L都是凸集，则 K L 不一定是凸集。
K
不是凸集
L
信息系刘康泽
2、凸组合：设 x , x(1) , x(2) , , x(K ) 是 Rn 中的点，若
K
存在1，2， K ，且 i 1 ，i 0，使得： i 1 K x i xi 1x1 2 x2 K xK i 1
(它不超过 Cnm个)，
【推论1】 若LP问题的可行解集非空且有界，则最 优解一定可以在可行解域的极点达到。
若可行解集无界，则LP问题可能有最优解，也可能 没有最优解。
【推论2】若LP问题的最优解在可行解域的 t 个极点 达到，则在这些极点的凸组合上也达到最优解。
信息系刘康泽
最优化计算方法-第5章(线性规划)
第五章线性规划线性规划（Linear Programming，简记为LP）是数学规划的一个重要的分支，其应用极其广泛．1939年，前苏联数学家康托洛维奇（Л.B.Kah ）在《生产组织与计划中的数学方法》一书中，最早提出和研究了线性规划问题．1947年美国数学家丹泽格（G. B. Dantzig）提出了一般线性规划的数学模型及求解线性规划的通用方法─单纯形方法，为这门科学奠定了基础．此后30年，线性规划的理论和算法逐步丰富和发展．1979年前苏联数学家哈奇扬提出了利用求解线性不等式组的椭球法求解线性规划问题，这一工作有重要的理论意义，但实用价值不高．1984年在美国工作的印度数学家卡玛卡(N. Karmarkar)提出了求解线性规划的一个新的内点法，这是一个有实用价值的多项式时间算法．这些为线性规划更好地应用于实际提供了完善的理论基础和算法．第一节线性规划问题及其数学模型一、问题的提出例1 某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知条件如表所示。
问应如何安排计划使该工厂获利最多？ⅠⅡ现有资源设备原材料A 原材料B 14248台时16kg12kg每件利润23ⅠⅡ现有资源设备原材料A 原材料B 1402048台时16kg12kg每件利润23解: 设x 1、x 2 分别表示在计划期内产品Ⅰ、Ⅱ的产量。
12max 23z x x =+..s t 1228x x +≤1416x ≤2412x ≤12,0x x ≥二、线性规划问题的标准型112211112211211222221122123max ..,,0n nn n n n m m m mn n mn z c x c x c x s t a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b x x x x =+++⎧⎪+++=⎪⎪+++=⎨⎪⎪+++=⎪≥⎩，，其中1,,0m b b ≥11max ..,1,2,,0,1,2,,nj jj nij j i j j z c x s t a x b i mx j n=====≥=∑∑ 12(,,,)T n c c c =c 12(,,,)Tn x x x =x 12(,,,)Tm b b b =b 111212122212n nm m mn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 12[,,,]n = p p pmax ..()Tz s t ⎧=⎪=≥⎨⎪≥⎩c x Ax b b x 001max ..()Tnj j j z s tx =⎧=⎪⎪=≥⎨⎪⎪≥⎩∑c xp bb x 00对于不是标准形式的线性规划问题，可以通过下列方法将线性规划的数学模型化为标准形式：（1）目标函数的转换对min z 可以化max()z -（2）右端项的转换对0i b <，给方程两边同时乘以1-（3）约束条件的转换约束条件为≤方程左边加上一个变量,称为松弛变量约束条件为≥方程左边减上一个变量,称为剩余变量（4）变量的非负约束变量j x 无限制时，令,,0j j j j j x x x x x ''''''=-≥变量0j x ≤时，令j jx x '=-例将下列线性规划模型转化为标准形式12312312312312min 23..7232500x x x s t x x x x x x x x x x x -+-⎧⎪++≤⎪⎪-+≥⎨⎪--=-⎪≥≥⎪⎩，解（1）变量的非负约束令345x x x =-1245max 233x x x x -+-..s t 612457x x x x x ++-+=712452x x x x x -+--=12453225x x x x -++-=§2 两变量线性规划问题的图解法例1 求下列线性规划的解12121212max ..284300z x x s t x x x x x x =+⎧⎪+≤⎪⎪≤⎨⎪≤⎪≥≥⎪⎩，解（1）画可行域c A B D C 2x 1x O （2）画出目标函数的梯度向量：（3）作目标函数的一条等值线,120x x z +=将等值线沿梯度方向移动当等值线即将离开可行例2 求下列线性规划的解12121212max 2..284300z x x s t x x x x x x =+⎧⎪+≤⎪⎪≤⎨⎪≤⎪≥≥⎪⎩，解（1）画可行域c A B D C 2x 1x O （2）画出目标函数的梯度向量：（3）作目标函数的一条等值线,1202x x z +=将等值线沿梯度方向移动当等值线即将离开可行域时与可行域“最后的交点点为问题的最优解例3 求下列线性规划的解12121212max ..2200z x x s t x x x x x x =+⎧⎪-≤⎪⎨-≥-⎪⎪≥≥⎩，c2x 1x O无解例4 求下列线性规划的解12121212min 3..123600z x x s t x x x x x x =-⎧⎪≤⎪⎨≥⎪⎪≥≥⎩++，2x 1x O线性规划问题的性质：（1）线性规划的可行域为凸集，顶点个数有限．若可行域非空有界，则可行域为凸多边形．（2）线性规划可能有唯一最优解，可能有无数多个最优解，也可能无解最优解．无最优解可能是目标函数在可行域上无界，也可能可行域为空集．（３）若线性规划有最优解，则最优解必可在可行域的某个顶点达到．若两个顶点都为最优解，那么这两点连线上的所有点都是线性规划的最优解．§3 线性规划解的概念及其性质1 线性规划解的概念考虑线性规划问题max ..()Tz s t ⎧=⎪=≥⎨⎪≥⎩c x Ax b b x 00定义.1 矩阵A 中任何一组m 个线性无关的列向量构成的可逆矩阵B 称为线性规划的一个基矩阵与这些列向量对应的变量称为基变量(basis variable ）其余变量称为基对应的非基变量(nonbasis variable ）B 若设一个基为12(,,)m B p p p = ，12,,,m x x x ——为基B 对应的基变量1,,m n x x + ——为基B 对应的非基变量1B m x x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1m N n x x x +⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦12(,,,)m m n ++= N p p p (,)=A B N 从而令=Ax b 则(,)N x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B x B N b11B Nx B b B Nx --=-B N Bx Nx b+=令0N x =则1B x B b-=10B b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦——基本解（basis solution ）满足10B b -⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦,=≥0Ax b x 的基本解——基本可行解（basis feasible solution ）对应的基称为可行基（feasible basis ）．B 可以写成即:定义4 若基本可行解中所有基变量都为正，这样的基本可行解称为非退化解（non-degenerate solution）．若基本可行解中某基变量为零，这样的基本可行解称为退化解（degenerate solution）．例1212112max ..28400z x x s t x x x x x =-⎧⎪+≤⎪⎨≤⎪⎪≥≥⎩，标准化得：12123141234max ..28400,00z x x s t x x x x x x x x x =-⎧⎪++=⎪⎨+=⎪⎪≥≥≥≥⎩，，12341210(,,,)1001⎡⎤==⎢⎥⎣⎦A p p p p 子阵是否为基基变量非基变量基本解目标函数值134(,)=B p p 34,x x 12,x x (0,0,8,4)是231(,)=B p p 31,x x 24,x x (4,0,4,0)312(,)=B p p 12,x x 34,x x (4,2,0,0)424(,)=B p p 24,x x 13,x x (0,4,0,4)-4514(,)=B p p 14,x x 23,x x (8,0,0,4)-是是是是042基本可行解1x O(4,0)(4,2)(0,4)(8,0)2x 顶点2 解的判别定理定理1 最优解的判别准则设B 为线性规划LP 的一个基，1(1)0-≥B b 1(2)T T--≥0Bc B A c 则基对应的基本可行解1-⎡⎤⎢⎥⎣⎦0B b 是LP 的最优解．1(1,2,,)σ--== TBj j j c B p c j n 为变量对应的检验数j x 112[0,,0,,,]σσσ-++-= ，T TBm m n c B A c 显然基变量对应得检验数为零．定理2 无穷多个最优解的判别定理在线性规划的最优解中，某个非基变量对应的检验数为零，则线性规划有无数多最优解．定理3 无界解的判别定理设B 为线性规划的一个可行基，若基本可行解中s x 对应的检验数0σ<s ，且1-≤0s B p 则线性规划具有无界解（或称无解）．某非基变量§3.4 单纯形表设B 为线性规划的一个基，x 为对应的可行解，则=Ax b两边同乘得1-B 11--=B Ax B b两边同乘得T Bc 11T T --=BBc B Ax c B b T z =c xTz -=c x 11T T --+-=TBBz c B Ax c x c B b 11(T T --+-=)TBBz c B A c x c B b1111()T TT z ----⎧+-=⎨=⎩BBc B A c x c B b B Ax B b 11111T T Tz ----⎡⎤⎡⎤-⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦0BBc B b c B A c x B A B b 定义矩阵1111TT----⎡⎤-⎢⎥⎣⎦T BBc B b c B A c B bB A 为基B 对应的单纯形表（table of simplex ）,记为()T B1111()T T----⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦T BBc B b c B A c T B B bB A 检验数函数值基变量的值各变量的系数100T b -=Bc B b 101020(,,,)--= T TBn c B A c b b b 10201-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥ b b B b则单纯形表可写成000101011102()⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B n n m m mn b b b b b b T b b b 1112121222111112(,,)---⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦n n n m m mn b b b b b b B A B p B p bb b上例中1212112max ..28400z x x s t x x x x x =-⎧⎪+≤⎪⎨≤⎪⎪≥≥⎩，标准化得：121231412max ..28400z x x s t x x x x x x x =-⎧⎪++=⎪⎨+=⎪⎪≥≥⎩，12341210(,,,)1001⎡⎤==⎢⎥⎣⎦A p p p p 子阵是否为基基变量非基变量基本解目标函数值134(,)=B p p 34,x x 12,x x (0,0,8,4)是231(,)=B p p 31,x x 24,x x (4,0,4,0)312(,)=B p p 12,x x 34,x x (4,2,0,0)424(,)=B p p 24,x x 13,x x (0,4,0,4)-4514(,)=B p p 14,x x 23,x x (8,0,0,4)-是是是是042基本可行解1x O(4,0)(4,2)(0,4)(8,0)2x 顶点13410(,)01⎡⎤==⎢⎥⎣⎦B p p 231(,)=B p p 12341210(,,,)1001⎡⎤==⎢⎥⎣⎦A p p p p T(0,0)=B C 10()T⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦c T B b A 34011008121041001z x x -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦23140101()4021141001x x ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥z T B 121101--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B 31401014021141001z x x ⎡⎤⎢⎥−−→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦T(0,1)=B C单纯形表的特点：1、基变量对应的检验数为零2、基变量的系数构成单位阵§5旋转变换（基变换）设已知12(,,,,,)= r m j j j j B p p p p T()=B 1 r m j j j z x x x 1sn x x x 0001001011110102⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦sn s n r r rs rn m m ms mn b b b b b b b b b b b b b b b b为了将s x 变为基变量，而将r j x 变为非基变量，必须使表中的第s 列向量变为单位向量，变换按下列步骤进行：（1）将()T B 中第r 行，第s 列的元素化为1．01(,,,,,1,,) rj r rnr rs rs rs rsb b b b b b b b （2）将()T B 中第s 列的的其余元素化为0．0101(,,,,,0,,)---- is rn is rj is r is r i i ij in rs rs rs rsb b b b b b b b b b b b b b b b由此得出变换后矩阵中各元素的变换关系式如下，其中,01== ，，，rjrj rsb b j nb ,,01,01=-≠== ，，，，，，is rjij ij rsb b b b i r i m j nb 变换式称为旋转变换rs b 称为旋转元，r称为旋转行称为旋转列，s s x 称为入基变量，称为出基变量，r j x {,}r s定理3.5.1,01== ，，，rj rj rsb b j n b ,,0,01=-≠== ，，，，，is rj ij ij rsb b b b i r i m j n b 在变换之下，将基12(,,,,,)= r m j j j j B p p p p 的单纯形表变为基12(,,,,,)= m j s j j B p p p p 的单纯形表第6节单纯形法基本思路是：线性规划(通常是求最小值的形式)若有最优解，其必定在可行域(在相应几何空间中是一个凸多面体)的顶点达到，故从某一个顶点出发，沿着凸多面体的棱向另一顶点迭代，使得目标函数的值增加,经过有限次迭代，将达到最优解点.1.入基变量及出基变量的确定入基变量的确定由上面可知，目标函数用非基变量表示的形式为01n j jj m z z x σ=+=-∑若某检验数0j σ<则j x 的系数大于零，将j x 由零变为非零，目标函数值增大．所以，为了使的取值目标函数值增加，可以将某检验数0j σ<对应的非基变量j x 中的某个变为基变量．{}min 0j s j σ=<则s x 可选作为入基变量．即：在负检验数中，列标最小的检验数对应的非基变量入基．２．出基变量的确定在确定出基变量时应满足两个原则：（1）目标函数值不减；（2）保证新的基本解为基本可行解．0min 0,0i is is b b i m b θ⎧⎫=>≤≤⎨⎬⎩⎭min ,00i is is b r i b i m b θ⎧⎫==>≤≤⎨⎬⎩⎭，2 单纯形法设已知一个初始可行基及B T()B 基变量指标集合为{}1,,B m J j j = 非基变量的指标集合为{}1,2,,\N BJ n J =单纯形法若所有()00j N b j J ≥∈，则停止，最优解为0,1,,0,ij i j N x b i m x j J **⎧==⎪⎨=∈⎪⎩否则转（2）．（1）最优性检验（2）选入基变量{}0min 0,j N s j b j J =<∈若()01~is b i m ≤=,则停止,(LP)无最优解，否则转(3)（3）选出基变量0min 0,0i is is b b i m b θ⎧⎫=>≤≤⎨⎬⎩⎭0min ,00i is is b r i b i m b θ⎧⎫==>≤≤⎨⎬⎩⎭，（4）作{},r s 旋转运算,01rj rj rsb b j n b == ，，，,,01,01is rj ij ij rsb b b b i r i m j n b =-≠== ，，，，，，得B 的单纯形表()()ijT B b =，以ij b 代替ij b ，转(1)例1 求线性规划问题的解解标准型为:121231425max 2328416.412,,,,0z x x x x x x x s t x x x x x x x =+++=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪≥12121212max 2328416.412,0z x x x x x s t x x x =++≤⎧⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥⎩12123142512345max 2328416.412,,,,0z x x x x x x x s t x x x x x x x =+++=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪≥⎩-20-381612121004001004001345z x x x 12345x x x x x 000⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢0T()B =0345[,,]B p p p =00T()T c B bA ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦-20-381612121004001004001345z x x x 12345x x x x x 000⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣0T()B =8/116/408-3441202101001/400400135z x x 12345x x x x x 01/20⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢1/4-41x08-3441202101001/400400135z x x 12345x x x x x 01/20⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1/4-1x 4/212/40140244011/201001/40002-15z x 12345x x x x x 3/21/80⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1/8-1x 32x 1/2例2求线性规划问题的解解标准型为:121231425max 228416.412,,,,0z x x x x x x x s t x x x x x x x =+++=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪≥12121212max 228416.412,0z x x x x x s t x x x =++≤⎧⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥⎩12123142512345max 228416.412,,,,0z x x x x x x x s t x x x x x x x =+++=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪≥⎩-10-281612121004001004001345z x x x 12345x x x x x 000⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢0T()B =0345[,,]B p p p =00T()T c B bA ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦-10-281612121004001004001345z x x x 12345x x x x x 000⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣0T()B =8/116/404-2441202101001/400400135z x x 12345x x x x x 01/40⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢1/4-41x0-2441202101001/400400135z x x 12345x x x x x 00⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1/4-1x 4/212/4080244011/201001/400015z x 12345x x x x x 100⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1/8-1x 32x 41/42-1/2080244011/201001/400015z x 12345x x x x x 100⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1/8-1x 2x 2T 0803280101/410101/2-004-12z 12345x x x x x 00⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣01x 2x 42-1/25x 11212x k x k x =+12120,1,1k k k k ≤≤+=全部最优解为§7 两阶段法第二阶段从初始可行基开始，用单纯形法求解原问题．（LP ）max ..(0)0T z c x s t Ax b b x ⎧=⎪=≥⎨⎪≥⎩（ALP ）max ..0()T w s t z ⎧=-⎪-=⎪⎨+≥⎪⎪≥⎩00T e y c x A =b b x y x 第一阶段引入人工变量，构造辅助问题，求辅助问题的最优解，得出原问题的初始可行基及对应的基本可行解．（ALP）12112211112211121122222211212312max..0 ,,,,0mn nn nn nm m mn n m mn mw y y ys t z c x c x c xa x a x a x y ba x a x a x y ba x a x a x y bx x x x y y y=----⎧⎪----=⎪⎪++++=⎪++++=⎨⎪⎪++++=⎪⎪≥⎩，，，，，121111211112122122212000000100()010001m m m m i i i in i=1i i i n n n m m m mn b a a a c c c b a a a T B b a a a b a a a ===⎡⎤----⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑。
1.3 线性规划的基本概念
四、标准型LP的基本概念 基本解:
两端同时左乘B－1，
XB AX B, N b X N
AX BX B NX N b
X B B 1b B 1 NX N
移项整理有：
当取XN = 0，这时有XB=B-1b。
B 1b B 1 X N X XN
2、 基向量：若 B是 LP问题的一个基 问题的一个基， ， 则它的每一个列向量称 为基向量。 。常用Pj表示（j=1，2，…，n） 。 3、基变量：与基向量Pj 相对应的m个变量xj称为基变量 称为基变量。常 用XB表示。 4、非基矩阵：A中除B之外的剩余的n-m列系数所组成的矩阵则 称为一个非基矩阵，常用N表示。 5 、 非 基 向 量 ： 组 成 非 基 N 的 列 为 非 基 向 量 ， 用 Pj 表 示 （j∈N） 。 6、非基变量：与非基向量Pj 相对应的n - m个变量称为非基变 量。常用XN表示。
MaxZ 3 x1 5 x2 x3 16 2 x1 2 x2 x4 10 s.t. x5 32 3 x1 4 x2 x1 , x2 ...x5 0
13
添 x3,x4,x5 三 个 松 弛变量，因为原 模型有三个≤ 的约 束！
三、标准型转换方法（标准化）
请列出其所有的基、基本解和相应的基变量。 提示：本例中一共有几个基？ 10个基 一般地，m×n 阶矩阵A中基的个数最多有多少个？
C 。
m n
22
引例分析
p1 p2 p3 p4 p5
2 A 0 3
B1={p1p2p3} B6={p1p4p5} B2={p1p2p4} B7={p2p3p4}
16
课堂练习
min z 20x1 5x2
运筹学—线性规划第2章
1 1
1 0
0 1
0 0
6 2 0 0 1
1 0 0
则
B 0
1
0
的列是线性无关的，即
1
0
0 0 1
p3 0, p4 1 0 0
•
0
p5 0 是线性无关，因此 1
x3
x4
x5
是, 0
p2
1 2
不在这个基中，所以x1,
x2为非基变量。
定义10：使目标函数达到最优值的基本可行解，称为基
本最优值。
• 例4：（SLP)如例3，试找一个基本可行解。
1 1 0
解：B1
1
0
0
是其一个基矩阵.p1,p3, p5是一个基。
6 0 1
则 x1 , x3, x5为基变量。X2, x4为非基变量。令 x2=x4=0. 得x1=2, x3=3, x5=9. 故 x1=(2,0,3,0,9)是原问题的一个基本 可行解，B1为基可行基。
•当 由0连续变动到1时，点z由y沿此直线连续的变动到x，且 因z-y平行x-y，则有：z y (x y) 于是有：
z x (1 ) y
•这说明当 0 1 时，x (1 ) y表示以x.y为端点的直线段
上的所有点，因而它代表以 x.y为端点的直线段。 一般地，如果x.y是n维欧氏空间Rn中的两点，则有如下定义：
• 定义14：设R是Rn中的一个点集，（即R Rn），对于任意 两点x R, y R 以及满足0 1 的实数 ,恒有
x (1 )y R
则称R为凸集。
• 根据以上定义12及13可以看到，凸集的几何意义是：连接凸 集中任意两点的直线段仍在此集合内。
其可行域如上图，可行解（3，1，0，0）T。用x1, x2 表示则为图上点（3，1）。由图可见这不是可行域的 顶点。而我们将证明基本可行解是可行域的顶点。而 在例4中p1,p3线性无关，所以B=(p1,p3)是一个基矩阵， 对应的基本解为（4，0，0，0）T。用坐标x1, x2表示则 为平面上的点（4，0），是上图可行域的顶点。
第二章 最优化-线性规划概要
10
凸 函 数
定义2.1.4 设函数f (x)定义在凸集D Rn上,若
对任意的x,y ∈D,及任意的a ∈ [0,1]都有
f (a x+(1-a)y) ≤ a f(x)+(1-a) f (y)
则称函数f (x)为凸集D上的凸函数.
11
凸 函 数
定义2.1.5 设函数f (x)定义在凸集D Rn上,若 对任意的x,y∈D,x≠y,及任意的a ∈(0,1)都有 f (a x+(1-a)y) < a f(x)+(1-a) f (y) 则称函数f (x)为凸集D上的严格凸函数.
x1 2 x2 3x3 8 x1 2 x2 3x3 x4 8
29
一般形式转化为标准型
(iv)若某个约束方程右端项 bi 0 ，则在约束 方程两端乘以（-1），不等号改变方向，然 后再将不等式化为等式。
(v) 若变量xj无非负约束，则引入非负变量 xj’≥0, xj’’≥0, 令xj=xj’-xj”.
8
极 点
定义2.1.3 设D为凸集, x∈D.若D中不存在两 个相异的点y,z及某一实数a∈(0,1)使得 x=ay+(1-a)z 则称x为D的极点. 凸 集 极点 凸 集 极点
9
极 点
例 D={x ∈Rn| ||x||≤a}(a>0),则||x||=a上的点 均为极点 证明:设||x||=a,若存在y,z ∈D及a∈(0,1),使得 x=ay+(1-a)z.则 a2=||x||2≤a2||y||2+(1-a)2||z||2+2a (1-a)||y||||z||≤a2 不等式取等号,必须||y||=||z||=a, 容易证明y=z=x,根 据定义可知,x为极点.
最优化方法
经典极值问题在微积分中函数的极值问题就是最简单的最优化问题。
例1 ：对边长为a 的正方形铁板，在四个角处剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？解：)*6()(*2()*2(*)2(*)*2(*2)(*)*2()(22=--=-+--='-=x a x a x a x x a x f xx a x f由此解得两个驻点：6221a x a x ==第一个驻点不合实际意义。
现在来判断第二个驻点是否为最大点04*86*24)6(*824)6(*)*2()*6(*2)(<-=-=''-=--+--=''a a aa f ax a x a x f∴6a x =是极值点，极值为：32722min a 6a *)6a *2a ()6a (f )x (f =-==1.构造辅助函数（称为拉格朗日函数） F=F(x,y,λ)=f(x,y)+λφ（x,y ）其中λ为待定常数，称为拉格朗日乘数。
将原条件极值问题化为求三元函数F(x,y,λ)的无条件极值问题。
2.由无条件极值问题的极值必要条件，有 ∂F/∂x=0 ∂F/∂y=0 ∂F/∂λ=0解出可能的极值点（x,y ）和乘数λ。
3.判别求出的（x,y ）是否为极值点，通常由实际问题的实际意义判定。
例2 指派问题设有四项任务1B 、2B 、3B 、4B 派四个人1A 、2A 、3A 、4A 去完成。
每个人都可以承担四项任务中的任何一项，但所消耗的资金不同。
设i A 完成j B 所需资金为ij c 。
如何分配任务，使总支出最少?分析：设变量⎪⎩⎪⎨⎧=任务完成不指派，任务完成指派j j i ij B A B A x 0,1则总支出可表示为：ij i j ij x c S ∑∑===4141数学模型：ij i j ij x c S ∑∑===4141min∑===414,3,2,1,1..j iji xt s∑===414,3,2,1,1i ijj x{}4,3,2,1,,1,0=∈j i x ij求目标函数()21,x x f z =在可行域D 上的极小点，是在与可行域D 有交集的等值线中找出具有最小值的等值线。
线性规划原理
线性规划原理
线性规划（linear programming）是一种数学建模方法，用于求解含有一组线性约束条件的最优化问题。
它的目标是找到使得线性目标函数取得最大（或最小）值的最优决策变量的组合。
线性规划的基本原理可以概括为以下几个步骤：
1. 建立数学模型：根据实际问题确定决策变量、约束条件和目标函数。
决策变量通常表示决策的选择或分配方案，约束条件指定了这些变量的取值范围或关系，目标函数则衡量了决策的优劣程度。
2. 确定可行解的集合：根据约束条件，找到满足所有条件的决策变量的取值范围。
这个集合被称为可行解集，其中的每个解都满足所有约束条件。
3. 确定最优解：通过在可行解集中搜索，找到使得目标函数取得最大（或最小）值的解。
这个解被称为最优解，它代表了在所有可行解中最优的决策方案。
4. 验证最优性：对于找到的最优解，需要验证它是否确实是最优的。
这可以通过检查满足条件的附加条件、使用灵敏度分析等方法来进行。
线性规划方法的关键在于将实际问题抽象为数学模型，并利用线性关系进行求解。
它在许多领域都有广泛的应用，如生产计
划、资源优化、供应链管理等。
通过线性规划，可以做出高效而优化的决策，达到最大化利益或最小化成本的目的。
优化方法
这是一个原料配制问题，是在生产任务确定的条件下， 这是一个原料配制问题，是在生产任务确定的条件下，合 理的组织生产，使所消耗的资源数最少的数学规划问题。 理的组织生产，使所消耗的资源数最少的数学规划问题。 满足一组约束条件的同时， 寻求变量x 满足一组约束条件的同时 ， 寻求变量 1 和 x2 的值使目标函 数取得最小值。 数取得最小值。
max z=5x1+2x2 30x1+20x2≤160 5x1+ x2 ≤15
甲种药品每周产量不应超过4吨的限制 甲种药品每周产量不应超过 吨的限制 计划生产数不可能是负数， 计划生产数不可能是负数，
x1≤4 x1≥0 x2≥0
每吨产品的消耗 甲 维生素（公斤） 维生素（公斤） 设备（ 设备（台） 单位利润(万元 单位利润 万元) 万元 30 5 5 乙 20 1 ２
主要参考书目： 主要参考书目： 理论方面： 理论方面： (1) 解可新、韩健，《最优化方法》，天津大学出版社 解可新、韩健， 最优化方法》 天津大学出版社,2004 (2) 何坚勇， 《最优化方法》, 清华大学出版社， 2007 何坚勇， 最优化方法》 清华大学出版社， 计算方面： 计算方面： (3) 曹卫华，郭正， 《最优化技术方法及 曹卫华，郭正， 最优化技术方法及MATLAB的实现》， 的实现》 的实现 化学工业出版社， 化学工业出版社，2005 (4) 朱德通，《最优化模型与实验》, 同济大学出版社， 2003 朱德通， 最优化模型与实验》 同济大学出版社， 其它参考书： 其它参考书： (5)卢名高、刘庆吉编著，《最优化应用技术》，石油工业出版社 卢名高、 卢名高 刘庆吉编著， 最优化应用技术》 石油工业出版社,2002 (6)唐焕文，秦学志 《实用最优化方法》，大连理工大学出版社，2004 唐焕文， 唐焕文 秦学志,《实用最优化方法》 大连理工大学出版社， (7)钱颂迪，《运筹学》，清华大学出版社，1990 钱颂迪， 运筹学》 清华大学出版社， 钱颂迪 (8)袁亚湘、孙文瑜著，《最优化理论与方法》，科学出版社，2005 袁亚湘、 袁亚湘 孙文瑜著， 最优化理论与方法》 科学出版社，
最优化之基本概念
最优化之基本概念第一章1.最优化问题的数学模型包含有三个要素：即变量（又称设计变量）、目标函数、约束条件。
（变量、目标函数、约束条件 (4)2.（最优化问题的三种表达形式……P5中）3.称为集约束，通常不作考虑，可认为目标函数的定义域。
一般有。
可行点（容许点）：满足所有约束的点称为可行点或容许点。
可行域（容许集）：全体可行点构成的集合称为可行域，也叫容许集，记为D。
（P5）4.最优点：在可行域内找到的点，使得目标函数值取得最优值。
最优值：目标函数值最优解：，但习惯上把本身称为最优解。
（P5底）5.处理最优化问题的3种方法：解析法、图解法、迭代法6.迭代算法：选取一个初始可行点，然后根据现有的信息确定本次迭代的一个搜索方向和适当的步长，从而得到一个新点。
搜索方向迭代步长下降算法：求有上升算法：求有(P9)7.收敛速度：衡量算好好坏的一个标准。
（P9底）具有超线性收敛或者二阶收敛的算法是较快速的算法。
（P10）8.计算终止的计算终止准则：无约束优化问题的三种计算终止准则：点距准则、函数下降量准则、梯度准则。
（P11）约束优化问题有各自的终止准则。
优化算法的基本迭代过程：（P11底）9.图解法：（P6）运用求解二位优化问题可行域：即约束集合（P6）等高线：在三维空间中，不同的c值得到不同的投影曲线。
没一条投影曲线对应一个c 值，称投影曲线为目标函数的等值线或者等高线。
（P7）10.组合优化问题举例：背包问题即0-1问题：P13 例1.9 需要设为二进制变量，表示装第i个物品。
旅行商问题（TSP）：（P14）组合爆炸P15聚类问题：（P14）组合爆炸P1511.算法复杂性：算法对时间的复杂性T(n)和对空间的复杂性S(n)。
算法的时间复杂性：算法执行基本操作的次数算法的空间复杂性：算法执行期间占用的存储单位（P15）12.组合优化问题分类：根据算法的复杂性，可分为P类、 NP类、NP完全类。
P类问题：具有多项式实践求解算法NP类问题：未找到球最优解的多项式实践算法NP完全类问题：任何一个问题至今未发现有多项式算法；只要其中一个问题找到了多项式算法，那么其他所有问题均有多项式算法。
最优化理论和方法-第二章 线性规划基本理论和算法
其中 向量表示：
给定，变量是
定义标准形 有必要吗?
其中
给定，变量是
标准形的特征：极小化、等式约束、变量非负
第 2 章 线性规划: 基本理论与方法
数学规划基础
LHY-SMSS-BUAA
例4. 化成标准形
等 价 于
最优化问题的等价表述指 两个问题的最优值相等、差一个常数、或者互为相反数， 由其中一个问题的最优解可以得到另一个的最优解。
cT
( x* )T
( 1, 1)
( 0, 0)
( 0, 1) (x1, 0), x1 ≥ 0 ( 1, 0) (0, x2), x2∈[0,1] (-1, -1) 没有 有限 解
解的几何特征
惟一的顶点 一条边 一条边 无(下)界
第 2 章 线性规划: 基本理论与方法
数学规划基础
LHY-SMSS-BUAA
只要有 m 个单位列 e1 , e2 , … , em 即可，次序可以打乱！
◎ 规范形的系数的一种解释
yj B1aj aj y1ja1 y2 ja2 ymjam
规范形第 j 列的系数是用当前基表示 aj 时的系数！
第 2 章 线性规划: 基本理论与方法
数学规划基础
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第 2 章 线性规划: 基本理论与方法
数学规划基础
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线性规划问题解的几种情况
提示: 学习单纯形法之前,请务必学习并理解书上 p.19, 例2.2.1.
第 2 章 线性规划: 基本理论与方法
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2.2 单纯形法
• 适用形式：标准形(基本可行解等价于极点) • 理论基础：线性规划的基本定理！ • 基本思想：从约束集的某个极点/BFS开始，依次
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若k=m，则P1,P2,…,Pk可用来构成一个基，所以X是基 本解。而已知X是可行解，故X又是基可行解。
若k<m，由于A的秩为m，比可从A中再挑出m-k个列向 量，与P1,P2,…,Pk ，一起构成一个线性无关极大组，即 为一个基，由此可知X是基可行解。
定义1.7：设集合S是n维欧式空间En中的闭凸 集，d是En中的非零向量。如果对于S的每 个点X，以及一切非负的数λ，都有
X+λd∈S，λ≥0
则称向量d是凸集S的一个方向。如果d1， d2是S的方向，且d1≠αd2， ∀ α>0，则d1， d2是两个不同的方向。
进一步，如果d是凸集S的一个方向，且 不能表示为S的另外两个不同的方向的正组 合，则称d是S的一个极方向。
约定A是行满秩的m行n列矩阵。
2、基、基向量、基变量、基本解、基本可 行解、可行基、最优解、最优基
基：矩阵A中一个m阶非奇异子矩阵 基向量：基的列向量 基变量：基向量对应的变量 基本解：非基变量全为零的解
基本可行解：非基变量为零，基变量都大 于等于零的解
可行基：基可行解对应的基 最优解：基本解中使目标函数最大的解 最优基：最优解对应的基
X=λX（1）+（1-λ）X（2）
上式的分量表达形式为 显然，当j>m时，有
x
j
xj
xj1 xj1x j2
1 0
xj2
,
j
1,
2,
,n
m
再由于X（1），X（2）均是可行点，故可推知 xjiPj b,i 1, 2
两式相减，得
m
x1j
① 最优解存在的充要条件是 Cdj≤0 j=1,2,···,L
② 若存在最优解，则有某个极点是最优解
谢谢欣赏！
d1
(,1 )
d3 S
d4
d2
( x1, x2 )
定理1.1：设集合D={X|AX=b，X≥0}，其中A是行满秩的m行n 列矩阵。那么，集合D是闭凸集。
证明：首先证明D是凸集。任取D中的两个点X1，X2， 以及λ∈[0,1]，则有AXi=b，Xi≥0，i=1,2
A[λ X1 +(1- λ) X2]= λ AX1 +(1- λ)A X2 = λ b+(1- λ) b=b
（1-5） 因 故 在（1-5）式中，令
，则有
表明， ∈D，所以D是闭集。
四、线性规划解的基本定理
定理1.2：设X是标准线性规划问题的可行解。那 么，X是基可行解的充要条件是X的正分量对应的 列向量线性无关。
证明：首先证明必要性。设X是基可行解，那么，由基可 行解的定义，可知其正分量为基变量，对应的列向量都是 基向量，显然线性无关。
j 1
j
j 1
所以
X（1） ∈D
同理
X（2）∈D
注意到λj不全为零，α>0，所以有 X（1）≠ X（2）
但
X=0.5 X（1） +0.5 X（2）
表明X不是D的极点，与已知条件矛盾，故k≤m。
线性规划解的基本定理
定理1.4：对标准形式的线性规划，基可行解与可行 域的极点一一对应。
证明：首先证明极点必是基可行解。设X是极点， 由定理1.3,可设X=(x1,…xk,0,…,0)T xj>0,k≤m
故
j 1
j 1
现构造两个点X（1），X（2），使满足
X（1）=（x1+αλ1,…, xk+αλk ,0,…,0）T X（2）=（x1-αλ1,…, xk-αλk ,0,…,0）T
其中,α是充分小的正数。显然有X（1）≥0，X（2）≥0
且
K
k
k
AX 1 xj j Pj xjPj j Pj b
若X不是基可行解，由定理1.2，向P1,P2,…,Pk应 线性相关。仿照定理1.3的证明过程，可推导出X 不是极点，与已知条件矛盾。故可知X是基可行解。
其次证明基可行解必是极点。设X是基可行解， 由定义，可设其对应的基向量为P1,P2,…,Pm ,于 是，可设X为
X=(x1,…xk，0,…,0)T
若X不是极点，则存在异于X的两个X（1）,X（2）,X（1）≠ X（2） ， 以及数λ∈（0,1），使得
组合 2.当D无界时，必有且只有有限个极方向。设若D有K
个极点X1,X2,…,XK，有L个极方向d1,d2,…,dL，则 D中任一点X可表现为
其中， 反之，满足上述条件的点必是可行点。
线性规划解的基本定理
定理1.5：如果标准线性规划的可行域D有界，则必 有某个极点是最优解。
定理1.6：设线性规划的可行域D无界,X1 X2,…,XK是 全部极点， d1,d2,…,dL是全部极方向，那么有
则称点X是点X1,…,Xm的一个凸组合。 任取一个集合S，那么S中的点的所有凸 组合的集合是一个凸集。
三、极点与极方向
定义1.6：设集合S是凸集，点X是S中的点。 如果对S中的任意两个相异的点X1，X2，以 及开区间(0,1)上的任意数λ，都不可能有：
X= λ X1 +(1- λ ) X2 则称X是凸集S的一个极点。 设若点X， X1，X2均属于凸集S，0≤λ ≤ 1。那么点X成为S的极点的充要条件是： 如果有等式X= λ X1 +(1- λ ) X2成立 则必有X= X1=X2
且
λ X1 +(1- λ) X2 ≥0
所以
λ X1 +(1- λ) X2 ∈D
由凸集的定义知，D是凸集。
其次，可以证明D是闭集。任取D中的收敛序列{Xk}， 设其极限点为 ，则只需要证明 属于D即可。
注意D是线性规划可行域，可等价地表述为
（1-4） 所以Xk的每个分量Xk j，j=1,2，···，n都满足：
线性规划解的基本定理
定理1.3：设X是可行域D的极点，那么，X最多有m 个正分量。
证明：设X=(x1,…,xk，0,…,0)T，若k>m，由于A的秩为
m，则P1,P2,…Pk线性相关，于是存在k个不全为零的数λj，
使得
k
j Pj 0
j 1
因
n xj PjX∈b D k xj Pj b
二、凸集
定义1.4：设集合S∈En，S≠∅。如果任取S中 的两个点X1，X2，以及区间[0，1]中任一个 数λ，都有 λ X1 + (1- λ ) X2 ∈S 则称集合S是凸集。 规定：单点集 {x} 为凸集，空集∅为凸集。
凸集
非凸集
凸组合
定义1.5：设X1,…,Xm为En中的m个点，若存 在m个数λj满足：
x
2 j
Pj
0
j 1
j 1
已知P1,P2,…,Pm线性无关，所以有 xj1 xj2, j 1,2,,m
综合得：
xj1 xj2
与已知条件矛盾，所以X必是极点。
线性规划解的基本定理
推论：线性规划可行域D必有且只有有限个极点。 表现定理：设D是线性规划的可行域，则 1.当D有界时，D中任意一点均可表现为其极点的凸
线性规划的基本定理
本节主要内容
➢ 上节内容回顾 ➢ 凸集 ➢ 极点与极方向 ➢ 线性规划解的基本定理
一、知识点回顾
1、标准形式的线性规划
设集合
max Z CX
L
s.t.
AX b X 0
D={XⅠAX=b,X≥0}
பைடு நூலகம் 则，D是该线性规划的可行域，可行域中 的点为可行解。