第一讲 线性规划基本原理
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第1讲线性规划及单纯形法
21
解：目标函数： Min 约束条件：
f = 2x1 + 3 x2
s.t.
x1 + x2 ≥ 350
x1 ≥ 125
2 x1 + x2 ≤ 600
x1 , x2 ≥ 0 采用图解法。如下图：得Q点坐标（250，100）为最优解。
x2
x1 =125
600
500
2x1+3x2 =1200
400
2x1+x2 =600
26
凸集
定义 2.2.1：设 S Rn 是 n 维欧氏空间的点集，若对任意 x S, y S 的和任意 [0,1] 都有 x (1 ) y S 就称 S 是一个凸集。
定理 2.2.1 线性规划的可行域 D { x Ax b, x 0} 是凸集 定理 2.2.2 任意多个凸集 Si 的交还是凸集
例1 目标函数： max 50x1+100x2 约束条件：x1+x2+s1=300，
2x1+x2+s2=400， x2+s3=250.
xj≥0 （j=1，2）,sj≥0 （j=1，2,3）
30
它的系数矩阵 ,
1 1 1 0 0
A(p1,p2,p3,p4,p5)2 1 0 1 0
0 1 0 0 1
其中pj为系数矩阵A第j列的向量。A的秩为3,A的秩m小于此方程组的变
a i1 x 1 a i 2 x 2 a in x n s i b i , s i 0
或
a i1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i
松弛变量
a i1 x 1 a i 2 x 2 a in x n s i b i , s i 0
解：目标函数： Min 约束条件：
f = 2x1 + 3 x2
s.t.
x1 + x2 ≥ 350
x1 ≥ 125
2 x1 + x2 ≤ 600
x1 , x2 ≥ 0 采用图解法。如下图：得Q点坐标（250，100）为最优解。
x2
x1 =125
600
500
2x1+3x2 =1200
400
2x1+x2 =600
26
凸集
定义 2.2.1：设 S Rn 是 n 维欧氏空间的点集，若对任意 x S, y S 的和任意 [0,1] 都有 x (1 ) y S 就称 S 是一个凸集。
定理 2.2.1 线性规划的可行域 D { x Ax b, x 0} 是凸集 定理 2.2.2 任意多个凸集 Si 的交还是凸集
例1 目标函数： max 50x1+100x2 约束条件：x1+x2+s1=300，
2x1+x2+s2=400， x2+s3=250.
xj≥0 （j=1，2）,sj≥0 （j=1，2,3）
30
它的系数矩阵 ,
1 1 1 0 0
A(p1,p2,p3,p4,p5)2 1 0 1 0
0 1 0 0 1
其中pj为系数矩阵A第j列的向量。A的秩为3,A的秩m小于此方程组的变
a i1 x 1 a i 2 x 2 a in x n s i b i , s i 0
或
a i1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i
松弛变量
a i1 x 1 a i 2 x 2 a in x n s i b i , s i 0
线性规划PPT课件
线性规划的基本定理
线性规划的解存在性
对于任何线性规划问题，都存在至少一个最优解。
最优解的唯一性
在某些情况下，线性规划问题的最优解是唯一的，这取决于目标函 数和约束条件的形状和位置。
解的稳定性
线性规划问题的最优解是稳定的，即使目标函数或约束条件略有变 化，最优解也不会发生大的变化。
03
线性规划的求解方法
优缺点：内点法具有全局收敛性和对初始点不敏 感的优点，但计算量较大，需要较高的计算资源 。
椭球法
01
总结词：几何方法
02
03
04
详细描述：椭球法是一种基 于几何方法的线性规划算法。 它将可行解的边界表示为椭 球，通过迭代移动椭球中心
来逼近最优解。
算法步骤：椭球法的基本步 骤包括初始化、构建椭球和 迭代更新。在每次迭代中， 根据当前椭球的位置和方向 来更新中心和半径，直到满
运输问题
总结词
运输问题是线性规划在物流和供应链管理中的重要应用，旨在优化运输成本、 运输时间和运输量等目标。
详细描述
运输问题通常需要考虑多个出发地、目的地、运输方式和运输成本等因素。通 过线性规划方法，可以找到最优的运输方案，使得总运输成本最低、运输时间 最短，同时满足运输量和运输路线的限制。
投资组合优化问题
03
单纯形法
单纯形法是线性规划的标 准算法，通过迭代和优化， 找到满足约束条件的最大 或最小目标函数值。
初始解
在应用单纯形法之前，需 要先找到一个初始解，这 可以通过手动计算或使用 软件工具来实现。
迭代过程
单纯形法通过不断迭代和 优化，逐步逼近最优解， 每次迭代都需要重新计算 目标函数值和最优解。
线性规划的几何意义
4.2线性规划ppt课件
4.2线性规划ppt课件
目录
• 线性规划简介 • 线性规划的求解方法 • 线性规划的软件实现 • 线性规划案例分析 • 线性规划的优化策略
01
线性规划简介
线性规划的定义
线性规划是数学优化技术的一种 ，它通过将问题转化为线性方程 组，并寻找满足一定约束条件的 解，以实现目标函数的最优解。
线性规划问题通常由决策变量、 约束条件和目标函数三部分组成
运输问题
总结词
运输问题是在物流和供应链管理中常见的线性规划应用，旨在优化运输成本和时 间。
详细描述
运输问题通常涉及多个起点、终点和运输方式，需要考虑运输成本、时间、容量 和路线等约束条件。通过线性规划方法，可以找到最优的运输方案，使得总运输 成本最低或运输时间最短。
投资组合优化问题
总结词
投资组合优化问题是在金融领域中常见的线性规划应用，旨 在实现风险和收益之间的平衡。
对偶问题在理论研究和实际应用中都 具有重要的意义，可以用于求解一些 特殊类型的问题，如运输问题、分配 问题等。
对偶问题具有一些特殊的性质，如对 偶变量的非负性、对偶问题的最优解 与原问题的最优解之间的关系等。
初始解的确定
初始解的确定是线性规划求解过程中的 一个重要步骤，一个好的初始解可以大
大减少迭代次数，提高求解效率。
。
决策变量是问题中需要求解的未 知数，约束条件是限制决策变量 取值的条件，目标函数是要求最
大或最小的函数。
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型通常由一 组线性不等式和等式约束以及 一个线性目标函数组成。
线性不等式和等式约束条件可 以用来表示各种资源和限制条 件。
目标函数是决策变量的线性函 数，表示要优化的目标。
目录
• 线性规划简介 • 线性规划的求解方法 • 线性规划的软件实现 • 线性规划案例分析 • 线性规划的优化策略
01
线性规划简介
线性规划的定义
线性规划是数学优化技术的一种 ，它通过将问题转化为线性方程 组，并寻找满足一定约束条件的 解，以实现目标函数的最优解。
线性规划问题通常由决策变量、 约束条件和目标函数三部分组成
运输问题
总结词
运输问题是在物流和供应链管理中常见的线性规划应用，旨在优化运输成本和时 间。
详细描述
运输问题通常涉及多个起点、终点和运输方式，需要考虑运输成本、时间、容量 和路线等约束条件。通过线性规划方法，可以找到最优的运输方案，使得总运输 成本最低或运输时间最短。
投资组合优化问题
总结词
投资组合优化问题是在金融领域中常见的线性规划应用，旨 在实现风险和收益之间的平衡。
对偶问题在理论研究和实际应用中都 具有重要的意义，可以用于求解一些 特殊类型的问题，如运输问题、分配 问题等。
对偶问题具有一些特殊的性质，如对 偶变量的非负性、对偶问题的最优解 与原问题的最优解之间的关系等。
初始解的确定
初始解的确定是线性规划求解过程中的 一个重要步骤，一个好的初始解可以大
大减少迭代次数，提高求解效率。
。
决策变量是问题中需要求解的未 知数，约束条件是限制决策变量 取值的条件，目标函数是要求最
大或最小的函数。
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型通常由一 组线性不等式和等式约束以及 一个线性目标函数组成。
线性不等式和等式约束条件可 以用来表示各种资源和限制条 件。
目标函数是决策变量的线性函 数，表示要优化的目标。
第一章1、线性规划问题的基本概念讲解
am1 x1 am2 x2 amn xn (, )bm x1 , x2 ,, xn 0
•通常称 x1, x2 ,, xn 为决策变量，c1,c2 ,,cn 为价值系数， a11, a12, , amn 为消耗系数,b1 , b2 ,, bm 为资源限制系数。
3
运筹学这一名词最早出现于1938年。当时英，美等国盟军 在与德国的战争中遇到了许多错综复杂的战略和战术问题难以 解决，比如
(１)防空雷达的布置问题：
(２)护航舰队的编队问题：
为了应付上述各种复杂问题，英美等国逐批召集不同专业 背景的科学家，在三军组织了各种研究小组，研究的问题都是 军事性质的，在英国称为“Operational Research”，其他英语 国家称为“Operations Research”，意思是军事行动研究。这 些研究小组运用系统优化的思想，应用数学技术分析军事问题， 取得了非常理想的效果。
例１:某制药厂生产甲、乙两种药品，生产这两种药品要消 耗某种维生素。生产每吨药品所需要的维生素量，所占用的 设备时间，以及该厂每周可提供的资源总量如下表所示：
维生素（公斤） 设备（台）
每吨产品的消耗
甲
乙
30
20
5
1
每周资源总量
160 15
已知该厂生产每吨甲、乙药品的利润分别为5万元和2万 元。但根据市场需求调查的结果，甲药品每周的产量不应超 过4吨。问该厂应如何安排两种药品的产量才能使每周获得 的利润最大？
8
4. 学习要求
掌握主要的优化模型的数学计算方法. 了解现代优化方法及其数学原理. 熟练掌握应用数学软件计算优化问题.
9
5. 参考书目
主要参考书目： 理论方面： (1) 解可新、韩健，《最优化方法》，天津大学出版社,2004 (2) 何坚勇， 《最优化方法》, 清华大学出版社， 2007 计算方面： (3) 马昌凤，《最优化方法及其MATLAB程序设计》，科学出版社， 2010 (4) 朱德通，《最优化模型与实验》, 同济大学出版社， 2003
•通常称 x1, x2 ,, xn 为决策变量，c1,c2 ,,cn 为价值系数， a11, a12, , amn 为消耗系数,b1 , b2 ,, bm 为资源限制系数。
3
运筹学这一名词最早出现于1938年。当时英，美等国盟军 在与德国的战争中遇到了许多错综复杂的战略和战术问题难以 解决，比如
(１)防空雷达的布置问题：
(２)护航舰队的编队问题：
为了应付上述各种复杂问题，英美等国逐批召集不同专业 背景的科学家，在三军组织了各种研究小组，研究的问题都是 军事性质的，在英国称为“Operational Research”，其他英语 国家称为“Operations Research”，意思是军事行动研究。这 些研究小组运用系统优化的思想，应用数学技术分析军事问题， 取得了非常理想的效果。
例１:某制药厂生产甲、乙两种药品，生产这两种药品要消 耗某种维生素。生产每吨药品所需要的维生素量，所占用的 设备时间，以及该厂每周可提供的资源总量如下表所示：
维生素（公斤） 设备（台）
每吨产品的消耗
甲
乙
30
20
5
1
每周资源总量
160 15
已知该厂生产每吨甲、乙药品的利润分别为5万元和2万 元。但根据市场需求调查的结果，甲药品每周的产量不应超 过4吨。问该厂应如何安排两种药品的产量才能使每周获得 的利润最大？
8
4. 学习要求
掌握主要的优化模型的数学计算方法. 了解现代优化方法及其数学原理. 熟练掌握应用数学软件计算优化问题.
9
5. 参考书目
主要参考书目： 理论方面： (1) 解可新、韩健，《最优化方法》，天津大学出版社,2004 (2) 何坚勇， 《最优化方法》, 清华大学出版社， 2007 计算方面： (3) 马昌凤，《最优化方法及其MATLAB程序设计》，科学出版社， 2010 (4) 朱德通，《最优化模型与实验》, 同济大学出版社， 2003
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顶点可达到。 4.解题思路是：先找出凸集的任一顶点，计算Z值，比较
Z值最大的顶点为止。
4.无可行解(例1.15):原因是模型本身错误，约束条件之间互相
矛盾，应检查修正。
1、2情形为有最优解 3、4情形为无最优解
-
36
图解法得到的启示
1.求解线性规划问题时，解的情况有：唯一最优解、无 穷多最优解、无界解和无可行解。
2.若线性规划问题的可行域存在，则可行域是一凸集。 3.若线性规划问题的最优解存在，则最优解一定在某个
一般情况，决策变量只取正值（非负值）
x1 0, x2 0
-
6
数学模型
max S=50x1+30x2 s.t. 4x1+3x2 120
2x1+ x2 50 x1,x2 0
线性规划数学模型三要素：
决策变量、约束条件、目标函数
-
7
1-2 线性规划问题的数学模型
例1 .2 营养配餐问题
假定一个成年人每天需要从食物中
第一章 线性规划与单纯形方法
-
1
内容：
线性规划的数学模型，标准形式，基本概念及基本原理；线性规划 的图解法，单纯形法，大M法，两阶段法。
• 重点： • （1）线性规划的基本概念 • （2）单纯形法的基本原理与计算步骤 • 难点： • （1）单纯形法的基本原理与计算步骤
• 基本要求： • （1）理解线性规划的基本概念：目标函数、约束条件、可行解与可行域、基可
和约束方程的影响是独立于其他变量的，
目标函数值是每个决策变量对目标函数
贡献的总和。
-
16
•连续性假定：线性规划问题中的 决策变量应取连续值。
•确定性假定：线性规划问题中的 所有参数都是确定的参数。线性 规划问题不包含随机因素。
Z值最大的顶点为止。
4.无可行解(例1.15):原因是模型本身错误，约束条件之间互相
矛盾，应检查修正。
1、2情形为有最优解 3、4情形为无最优解
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图解法得到的启示
1.求解线性规划问题时，解的情况有：唯一最优解、无 穷多最优解、无界解和无可行解。
2.若线性规划问题的可行域存在，则可行域是一凸集。 3.若线性规划问题的最优解存在，则最优解一定在某个
一般情况，决策变量只取正值（非负值）
x1 0, x2 0
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6
数学模型
max S=50x1+30x2 s.t. 4x1+3x2 120
2x1+ x2 50 x1,x2 0
线性规划数学模型三要素：
决策变量、约束条件、目标函数
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7
1-2 线性规划问题的数学模型
例1 .2 营养配餐问题
假定一个成年人每天需要从食物中
第一章 线性规划与单纯形方法
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1
内容：
线性规划的数学模型，标准形式，基本概念及基本原理；线性规划 的图解法，单纯形法，大M法，两阶段法。
• 重点： • （1）线性规划的基本概念 • （2）单纯形法的基本原理与计算步骤 • 难点： • （1）单纯形法的基本原理与计算步骤
• 基本要求： • （1）理解线性规划的基本概念：目标函数、约束条件、可行解与可行域、基可
和约束方程的影响是独立于其他变量的，
目标函数值是每个决策变量对目标函数
贡献的总和。
-
16
•连续性假定：线性规划问题中的 决策变量应取连续值。
•确定性假定：线性规划问题中的 所有参数都是确定的参数。线性 规划问题不包含随机因素。
管理运筹学线性规划
(2)约束条件。生产这两种产品受到现有生产能力的
制约，原料用量也受限制。
设备的生产能力总量为300台时，则约束条件表述为 x1 +x2 ≤300 A、B两种原材料约束条件为 2x1 + x2 ≤400 x2 ≤250
7
经济管理学院
第一节 线性规划一般模型
(3)目标函数。目标是利润最大化，用Z表示利润，则
目标函数极大化， 约束条件为等式， 右端常数项bi≥0， 决策变量非负。
19
经济管理学院
第三节 线性规划的标准型
二、标准型的表达方式 有代数式、矩阵式： 1. 代数式
maxZ=c1x1+c2x2+…+cnxn a11x1+a12x2+…+a1nxn ＝b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn ＝b2 …………… am1x1+am2x2+…+amnxn＝bm x1,x2,…,xn ≥0 maxZ= c jx j aijxj＝bi
max(min)Z=c1x1+c2x2+…+cnxn a11x1+a12x2+…+a1nxn ≤(≥,＝)b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn ≤(≥,＝)b2 …………… am1x1+am2x2+…+amnxn≤(≥,＝)bm x1,x2,…,xn ≥(≤)0
11
经济管理学院
第二节 线性规划的图解法
• 决策变量xk没有非负性要求
令xk=xk′-x k〃， xk=xk′，x k〃 ≥0 ，用xk′、x k〃 取代模型中xk
22
线性规划的四个基本原理
线性规划的四个基本原理线性规划是一种常见的数学优化方法，它用于在一组限制条件下寻找最优解。
线性规划的基本原理有四个，分别是目标函数、约束条件、可行域和可行解。
目标函数是线性规划的第一个基本原理。
目标函数是需要最大化或最小化的线性方程，通常表示为z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn，其中c1、c2、...、cn是待优化的系数，x1、x2、...、xn是决策变量。
目标函数的最大值或最小值是我们希望找到的最优解。
约束条件是线性规划的第二个基本原理。
约束条件是一组等式或不等式，用于限制决策变量的取值范围。
约束条件通常表示为a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤b1，a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≤b2，...，am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤bm，其中a11、a12、...、amn是系数，b1、b2、...、bm是常数。
这些约束条件定义了可行解的集合，即满足所有约束条件的决策变量取值的集合。
可行域是线性规划的第三个基本原理。
可行域是满足所有约束条件的决策变量取值的集合。
可行域通常是一个多维空间中的一个区域，其边界由约束条件定义。
可行域定义了决策变量的取值范围，并且在该范围内寻找最优解。
可行解是线性规划的第四个基本原理。
可行解是满足所有约束条件的决策变量取值。
可行解通常是可行域中的一个具体点，该点使目标函数达到最大值或最小值。
确定最优可行解是线性规划的关键目标。
线性规划的求解过程是通过求解目标函数在可行域上的最大值或最小值来找到最优解。
这个过程可以通过使用线性规划求解方法来实现，例如单纯形法、内点法等。
总结起来，线性规划的四个基本原理分别是目标函数、约束条件、可行域和可行解。
通过优化目标函数在可行域上的取值，寻找满足约束条件的最优解。
线性规划在数学建模、运筹学、经济学等领域有广泛的应用，可以帮助人们做出最优决策。
线性规划原理与解法
c1 b1 a1,m 1 xm 1 a1,m 2 xm 2 ... a1n xn
z c1b1 c2b ... cmbm
cm1 ci ai,m1
i 1
m
cm 1 c1a1, m 1 c2 a2, m 1 ... cm am , m 1 xm 1 c c a i i ,m 2 m 2
i 1
对增广矩阵 作初等行变换 将基变为单位阵
1 0 0
x2 0 ... 0 a1, m 1 ... a1n b : 1 1 ... 0 a2, m 1 ... a2 n b xm 2 ...... x : m 1 bm 0 ... 1 am, m 1 ... amn : x n
第一节 线性规划求解原理
5）若约束条件为“≥”，“≤”和“=”的混合性， 则综合应用以上方法，确定初始基。
max z 3 x1 4 x2 例： x1 2 x2 ≤8 4 x ≤16 1 s.t. 4 x2 ≤12 x1 , x2≥0 max z 3x1 4 x2 0 x3 0 x4 0 x5 =8 x1 2 x2 x3 4 x x4 =16 1 s.t. x5 12 4 x2 x1 , x2 , x3 , x4 , x5≥0
xi bi
j m 1
a x (i 1, 2,..., m)
ij j
n
x1 b1 a1,m1 xm1 a1,m2 xm2 ... a1n xn x2 b2 a2,m1 xm1 a2,m2 xm2 ... a2 n xn ...... xm bm am,m1 xm1 am,m 2 xm 2 ... amn xn
第1讲线性规划基本概念.ppt
凸集：设集合 X Rn ，如果 X 中任意两点的凸组合 仍然属于X ，则称 X 为凸集.
定义 1 集合 D Rn称为凸的，如果对于任意 x, y D ,有
x (1 ) y D 0 1
则称 D 是Rn中的凸集（convex set）.
结论： （1） 空集和全空间Rn是凸集. （2） 设a Rn,a 0, R，则超平面（hyper plane）
X
x
Rn
g（i x） h（j x）
0 0
i 1,, p j 1,,q
若X是凸集, f 是D上的凸函数,称(MP)为非线性 凸规划,简称凸规划.
凸规划性质：
定理
线性函数
对于非线性规划(MP),
min f（x）
s.t. g（i x） 0
h（j x） 0
第1讲 基本概念 Basic conceptions
一．最优化问题简介
二．凸集和凸函数
三．非线性规划方法概述
一．最优化问题简介.
定义：在一切可能的方案中选择一个最好的方案，以 达到最优目标.
（凡是准求最优目标的数学问题都属于最优化问题， Optimization Problems,OP）.
三要素： （1）目标； （2）方案； （3）限制条件.
指标集.
解：
c1(x)
2 2
2 ( 2 )2 0, 2
c2 (x) 1 (
2 )2 ( 2
2 )2 0, 2
c3(x)
2 0. 2
A {1,2}. x
x2
c2 (x) 0
c3(x) 0
x
O
c1(x) 0
01第一章 线性规划
第一章 线性规划§1 线性规划在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。
此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。
自从1947年G. B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。
特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。
1.1 线性规划的实例与定义 例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。
生产甲机床需用B A 、机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用C B A 、、三种机器加工，加工时间为每台各一小时。
若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？上述问题的数学模型：设该厂生产1x 台甲机床和2x 乙机床时总利润最大，则21,x x 应满足（目标函数）2134max x x z += (1)s.t.（约束条件）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≤+0,781022122121x x x x x x x （2）这里变量21,x x 称之为决策变量，（1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。
由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数，故被称为线性规划问题。
总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。
在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。
而选适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。
1.2 线性规划的Matlab 标准形式线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。
运筹学A-第1章线性规划
8 6 300
x1 0，x2 0
租赁费 C (元/天)
10
250
20
350
700
例1-4 见教材第6页，例【1.2】人员分配问题
2024/1/17 7
OR:SM
思考题：（下料问题）
某一机床需要用甲、乙、丙三种规格的轴各一根，这些轴 的规格分别是2.9、2.1和1.5m，这些轴需要用同一种圆钢切割 而成，圆钢长度为7.4m。现在要制造100台机床，问：最少要 用多少圆钢来生产这些轴？(切割损失不计)
300
700
2024/1/17 6
OR:SM
【解】设租赁机械甲x1天、机械乙x2天，则该线性规划问 题的数学模型为：
min Z 250x1 350x2
5x1 6 x2 250 构件
A
B
s.t
.
180xx1 162x02
x2
300 700
机械 甲（根/天） 乙（根/天） 任务（根）
5 6 250
注意本题条件：有钱就会用于投资，即： 可利用的资金 = 投资金额，据此建立约束等式。
2024/1/17 17
OR:SM
二、线性规划问题的数学模型3.30
• 线性规划问题的数学模型包括三大要素：
• （1）一组决策变量（x1 , x2 , … , xn），是模型中需要首 确定的未知量。
• （2）一组约束条件，是模型中决策变量受到的约束限制， 包括两个部分：不等式或等式；非负取值（实际问题）。
第3年，可用于项目1和4投资，投资额x21和x12有关： x31 + x34 = 1.2 x21 + 1.5 x12 投资限额： x12 ≤ 150000; x23 ≤ 200000; x34 ≤ 100000 非负约束： xij ≥ 0 ( i = 1,2,3; j = 1,2,3,4 ) 对于目标函数，只需考虑第3年末的收益：
线性规划及其基本理论演示文稿ppt
4000 (千工日)
要求在充分利用各种资源条件下使建造住宅的总面积为最 大(即求安排各住宅多少m2)，求建造方案。
线性规划问题举例
【例1.2】最优生产计划问题。某企业在计划期内计划生产甲、乙、丙三种 产品。这些产品分别需要要在设备A、B上加工，需要消耗材料C、D，按工 艺资料规定，单件产品在不同设备上加工及所需要的资源如表1.1所示。已 知在计划期内设备的加工能力各为200台时，可供材料分别为360、300公斤； 每生产一件甲、乙、丙三种产品，企业可获得利润分别为40、30、50元，假 定市场需求无限制。企业决策者应如何安排生产计划，使企业在计划期内总 的利润收入最大？
线性规划数学模型
建立数学模型的步骤：
Step1 分析实际问题； Step2 确定决策变量； Step3 找出约束条件； Step4 确定目标函数； Step5 整理、写出数学模型。
线性规划问题举例
【例1.1】某市今年要兴建大量住宅,已知有三种住宅体系可以大量兴建，各 体系资源用量及今年供应量见下表：
【解】这是一个条材下料问题 ，设切口宽度为零。 设一根圆钢切割成甲、 乙、丙三种轴的根数分别为y1，y2，y3,则切割方式可用不等式 1.5y1+y2+0.7y3≤4表示，求这个不等式关于y1，y2，y3的非负整数解。象这样 的非负整数解共有10组，也就是有10种下料方式，如表1.3所示。
表1．3 下料方案
需要人数 星期
需要人数
300
五
480
300
六
600
350
日
550
400
商场人力资源部应如何安排每天的上班人数，使商场总的营业员 最少。
线性规划问题举例
【例1.4】合理用料问题。某汽车需要用甲、乙、丙三种规 格的轴各一根，这些轴的规格分别是1.5，1，0.7（m）， 这些轴需要用同一种圆钢来做，圆钢长度为4 m。现在要制 造1000辆汽车，最少要用多少圆钢来生产这些轴？
要求在充分利用各种资源条件下使建造住宅的总面积为最 大(即求安排各住宅多少m2)，求建造方案。
线性规划问题举例
【例1.2】最优生产计划问题。某企业在计划期内计划生产甲、乙、丙三种 产品。这些产品分别需要要在设备A、B上加工，需要消耗材料C、D，按工 艺资料规定，单件产品在不同设备上加工及所需要的资源如表1.1所示。已 知在计划期内设备的加工能力各为200台时，可供材料分别为360、300公斤； 每生产一件甲、乙、丙三种产品，企业可获得利润分别为40、30、50元，假 定市场需求无限制。企业决策者应如何安排生产计划，使企业在计划期内总 的利润收入最大？
线性规划数学模型
建立数学模型的步骤：
Step1 分析实际问题； Step2 确定决策变量； Step3 找出约束条件； Step4 确定目标函数； Step5 整理、写出数学模型。
线性规划问题举例
【例1.1】某市今年要兴建大量住宅,已知有三种住宅体系可以大量兴建，各 体系资源用量及今年供应量见下表：
【解】这是一个条材下料问题 ，设切口宽度为零。 设一根圆钢切割成甲、 乙、丙三种轴的根数分别为y1，y2，y3,则切割方式可用不等式 1.5y1+y2+0.7y3≤4表示，求这个不等式关于y1，y2，y3的非负整数解。象这样 的非负整数解共有10组，也就是有10种下料方式，如表1.3所示。
表1．3 下料方案
需要人数 星期
需要人数
300
五
480
300
六
600
350
日
550
400
商场人力资源部应如何安排每天的上班人数，使商场总的营业员 最少。
线性规划问题举例
【例1.4】合理用料问题。某汽车需要用甲、乙、丙三种规 格的轴各一根，这些轴的规格分别是1.5，1，0.7（m）， 这些轴需要用同一种圆钢来做，圆钢长度为4 m。现在要制 造1000辆汽车，最少要用多少圆钢来生产这些轴？
线性规划教材教学课件
02
线性规划的基本理论
线性规划的几何解释
01
线性规划问题可以解释为在多维 空间中寻找一个点，该点使得某 个线性函数达到最大或最小值。
02
线性规划问题可以用图形表示， 通过观察图形可以直观地理解问 题的约束条件和目标函数。
线性规划的基本定理
线性规划问题存在最优解，且最优解必定在约束条件的边界 上。
大M法的优点是计算量较小， 可以快速找到一个近似解，但 解的精度和可靠性相对较低。
大M法适用于一些对解精度要 求不高，但需要快速得到近似 解的场合。
两阶段法
两阶段法是一种求解线性规划问题的分 解方法，将原问题分解为两个阶段进行
求解。
第一阶段是求解一个初始的线性规划问 题，得到一个初步的解；第二阶段是在 初步解的基础上进行修正和调整，以得
Python求解线性规划
总结词
Python是一种通用编程语言，也提供了求解线性规划的 库。
详细描述
Python的PuLP库可以用来求解线性规划问题，用户只需 要编写Python代码来定义线性规划的约束条件和目标函 数，然后调用PuLP库的函数即可得到最优解。
总结词
PuLP库提供了多种求解器选项，包括GLPK、CBC、 CP，这些最优解称为最优 解集。
线性规划的解的概念
线性规划问题的最优解称为最优解， 而所有最优解的集合称为最优解集。
在最优解集中，存在一个最优解被称 为最优基解，它是线性规划问题的一 个基可行解。
03
线性规划的求解方法
单纯形法
单纯形法是一种求解线性规划问题的 经典方法，通过不断迭代和寻找最优 解的过程，最终找到满足所有约束条 件的解。
单纯形法具有简单易行、适用范围广 等优点，但也有计算量大、需要多次 迭代等缺点。
第一讲 线性规划
x
xmin =3.9270，ymin = -0.0139 xmax =0.7854，ymax = 0.3224
13/16
例3.边长3米的正方形铁板,在四个角 剪去相等小正方形制成无盖水槽,问如 何使水槽容积最大？
解: 设小正方形边长为 x ,则水槽容积 V=(3 – 2x)2x 2 1.5 最大值问题: max (3 – 2x)2x
求解线性规划命令使用格式 见PDF (1) x=linprog(C, A, b) [x,fval] = linprog(C, A, b) (2) x=linprog(c,A,b,Aeq,beq) [x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq) (3) x=linprog(c,A,b,Aeq,beq,e0,e1)
7/16
3.右端项有负值的问题： 在标准形式中，要求右端项必须每一个分量非
负。
当某一个右端项系数为负时，如 bi<0，则把该 等式约束两端同时乘以-1，
得到：-ai1 x1-ai2 x2- … -ain xn = -bi。
8/16
例：将以下线性规划问题转化为标准形式
Max f = 2 x1 -3x2 + 4 x3 s.t. 3 x1 + 4x2 - 5 x3 ≤6 2 x1 + x3 ≥8 x1 + x2 + x3 = -9 x1 , x2 , x3 ≥ 0 解:首先,将目标函数转换成极小化：
3/16
线性规划的标准化
线性规划标准形式
目标函数： Min 约束条件:
z = c 1 x1 + c 2 x2 + … + c n xn
s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2 …… …… a 目标最小化； m1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm x 约束为等式； 1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0，bi ≥0
xmin =3.9270，ymin = -0.0139 xmax =0.7854，ymax = 0.3224
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例3.边长3米的正方形铁板,在四个角 剪去相等小正方形制成无盖水槽,问如 何使水槽容积最大？
解: 设小正方形边长为 x ,则水槽容积 V=(3 – 2x)2x 2 1.5 最大值问题: max (3 – 2x)2x
求解线性规划命令使用格式 见PDF (1) x=linprog(C, A, b) [x,fval] = linprog(C, A, b) (2) x=linprog(c,A,b,Aeq,beq) [x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq) (3) x=linprog(c,A,b,Aeq,beq,e0,e1)
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3.右端项有负值的问题： 在标准形式中，要求右端项必须每一个分量非
负。
当某一个右端项系数为负时，如 bi<0，则把该 等式约束两端同时乘以-1，
得到：-ai1 x1-ai2 x2- … -ain xn = -bi。
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例：将以下线性规划问题转化为标准形式
Max f = 2 x1 -3x2 + 4 x3 s.t. 3 x1 + 4x2 - 5 x3 ≤6 2 x1 + x3 ≥8 x1 + x2 + x3 = -9 x1 , x2 , x3 ≥ 0 解:首先,将目标函数转换成极小化：
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线性规划的标准化
线性规划标准形式
目标函数： Min 约束条件:
z = c 1 x1 + c 2 x2 + … + c n xn
s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2 …… …… a 目标最小化； m1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm x 约束为等式； 1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0，bi ≥0
管理运筹学讲义 第1 章 线性规划
(3)约束条件：产量之和等于销量之和,故要满足：
供应平衡条件
x11+x12+x13+x14=50 x21+x22+x23+x24=20 x31+x32+x33+x34 =30
x11+x21+x31=20 x12+x22+x32=30 x13+x23+x33=10 x14+x24+x34=40
xij≥0 (i=1,2,3；j=1,2,3,4)
决策变量对目标函数和约束方程的影响是独立于其他变量的。 目标函数值是决策变量对目标函数贡献的总和。
（4）连续性假定
决策变量取值连续。
（5）确定性假定
所有参数都是确定的，不包含随机因素。
9 OR:SM
第一节 线性规划的一般模型
三、线性规划模型的特征
2、一般数学模型
• 用一组非负决策变量表示的一个决策问题； • 存在一组等式或不等式的线性约束条件； • 有一个希望达到的目标，可表示成决策变量的极值线性函数。
4 2 6
8
O
2
4
6
8
x1
OR:SM
23
• 当决策变量是三维的，如何求解？ • 当维数再高时，又如何求解？
24
OR:SM
第二节 线性规划的一般模型
一、线性规划的标准型式
1、标准型表达方式
1）代数式
max Z c j x j
j 1 n
2）向量式
max Z CX
i 1,2,, m j 1,2,, n
20
OR:SM
第一节 线性规划的一般模型
第4章线性规划的基本概念及基本原理
X3+x7≤408100
X4+x8≤130000
12
武汉理工大学
能源与动力工程学院
小
结
1)每一问题都用一组未知数(x1,x2,…,x3)表示某一方案,这组 未知数的一组定值就代表一个具体方案。一些实际问题还要求 这些未知数的全部或部分取值是非负的。
2）这些未知数需满足一定的限制条件，这些限制条件都可以 用一组线性等式或不等式来表示。 3）都有一个目标要求，并且这个目标可表示为这组未知数的 线性函数（目标函数）。 按研究的问题不同，要求目标函数实现最大或最小 线性规划问题
0 1
Z=2x1-x2
x1
x1-3x2≤-3
x1,x2≥0
19
x1+x2=1
武汉理工大学
能源与动力工程学院
解的几种特殊情况 3.可行集为空集 目标函数: maxz=f(x1,x2)=x1+3x2
x2 30
约束条件:
x1+x2≤10
2x1+x2=30
2x1+x2≥30
x1,x2≥0
20
10
0 10 15 x1
能源与动力工程学院
图解法（生产规划问题的几何描述）
x1 x2 1 7 12
１２
１０
８
f(x)等值线
D
E
６
f(x)=70
４
G
可行区
２
C
x1 x2 1 14 7
A
0 ２ ４ ６
x1 x2 8
B
８
17
１０
１２
x1 １４
武汉理工大学
能源与动力工程学院
解的几种特殊情况 1.无穷多个最优解 目标函数: maxz=f(x1,x2)=6x1+10x2
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案例分析
确定决策变量。因为饲料由玉米和大豆粉 配制而成，所以模型的决策变量定义为 x = 混合饲料中玉米的重量(千克) y = 混合饲料中大豆粉的重量(千克) 确定目标函数。目标函数是使得配制这种 饲料的每天总成本最小，因此表示为 min z = 3x + 9y
35 36
特殊饲料的营养要求是至少30%的蛋白质和 至多5%的纤维。如何确定每天最小成本的饲 料配制？
二维变量的线性规划模型
例1：某集成商生产AG、BOM两种轨道交 通AFC终端设备产品，要占用A、B设备及 调试时间，每件产品利润如表所示
AG 占用A机时 占用B机时 调试时间 利润
19
BOM 5 2 1 1万
每天可用时间(时) 15 24 5
0 6 1 2万
如何生产使每天利润最大？
20
二维变量的线性规划模型
2x y 0
0, 0
4, 0
31
0, 0
4, 0
32
线性规划图解法
2x y 7 2x y 3 2 x y 8.5
线性规划图解法
2, 3
2 x y 8.5 最优目标值
0, 3
5y 15
2, 3
约束： 5y <= 15 6x+2y <= 24 x y 5 x+y <= 5 3.5, 1.5 x , y >= 0
2014-09-26
本讲目标
了解最优化方法的基本模型； 学习线性规划的必要性； 了解线性规划建模思路和方法； 了解线性规划的应用范围。
北京航空航天大学计算机学院
2
本讲内容
一、最优化方法基本模型 二、最优化方法的基本步骤 三、二维变量的线性规划模型 四、线性规划图解法 五、线性规划工程应用
二维变量的线性规划模型
完整模型 max z = 2x + y s.t. 5y <= 15 6x+2y <= 24 x+y <= 5 x , y >= 0
25
本讲内容
一、最优化方法基本模型 二、最优化方法的基本步骤 三、二维变量的线性规划模型 四、线性规划图解法 五、线性规划工程应用
26
线性规划图解法
0, 0
500, 0
1000, 0
41
0, 0
500, 0
42
7
2014-09-26
案例分析
0.03x-0.01y 0
案例分析
约束： x+y >= 800 0.03x-0.01y >= 0 0.21x-0.3y <= 0 x , y >= 0
0.03x-0.01y 0
x+y 800
0, 0
39
0, 0
500, 0
1000, 0
40
案例分析
0.03x-0.01y 0
案例分析
约束： x+y >= 800 0.03x-0.01y >= 0 x , y >= 0
0.03x-0.01y 0
0, 1000
0, 500
0, 1000
min z 3 x 9 y
min z 3 x 9 y
0, 1000
0, 500
0, 1000
0, 500
200, 600
x+y 800
0.21x-0.3y 0
200, 600
x+y 800
约束： x+y >= 800 0.03x-0.01y >= 0 0.21x-0.3y <= 0 x , y >= 0
23
二维变量的线性规划模型
构造约束条件。 (1) 设备A的每日可用时间不能超过15小时： 5y <= 15 (2) 设备B的每日可用时间不能超过24小时： 6x+2y <= 24 (3) 调试时间每日不能超过5小时： x+y <= 5 (4) 隐含的限制条件：x和y不能出现负值
24
4
2014-09-26
最优化案例
最优化目标评判标准是花费最少： 方案一：1000*8=8000； 方案二：1000*2*0.9*4=7200； 方案三：1000+1000*2*0.8*3+1000=6800； 方案四：1000*2*0.8*4=6400；
最优化案例
案例二：假设北京市轨道交通路网中1号线早 高峰的客流量为2万人次，1号线新型列车 每趟运量为600人次，费用为2万元，老式 列车每趟运量为450人次，费用为1.6万元。 请问如何安排不同型号的列车在满足客运 量的前提下费用最少？
1000, 0
0, 0
500, 0
45
46
城市扩建模型
例1：A市面临严重预算不足问题，为寻求一 种长期的解决方案，市议会投票决定，征用 一块城郊的住宅区域，进行公租房开发，以 增加来源。 改造工程包括两个阶段：(a)拆除不符 合标准的住宅，为新的开发提供土地；(b)建 造新的建筑。 (1)拆除大约300套不符合标准的住宅。 每套住宅占地0.25英亩。拆除一套征地住宅 的成本是2000美元。
9
10
最优化案例
解决思路： （3）最优化目标，即费用最少 令z为总的费用，则整个模型为 min z=2x+1.6y s.t. 600x+450y>=20000 x,y∈N+
最优化模型
一般最优化模型表示的通用格式： min 或 max 目标函数 s.t. 约束条件 一个模型的解如果满足所有的约束条件， 则称它是可行解，否则为不可行解。 如果是可行解，且又取得了目标函数的最 佳值（最大或最小），则称它是最优解。
0.21x-0.3y 0
470.6, 329.4
1000, 0
470.6, 329.4
1000, 0
0, 0
500, 0
43
0, 0
500, 0
44
案例分析
0.03x-0.01y 0
本讲内容
约束： x+y >= 800 0.03x-0.01y >= 0 0.21x-0.3y <= 0 x , y >= 0 最优目标值
验证一个模型是否正确的一般方法，就 是把模型的输出结果与历史的输出结果进行 比较。 如果模型是基于对历史数据的仔细分析， 所输出的结果应该优于历史结果。
17
18
3
2014-09-26
本讲内容
一、最优化方法基本模型 二、最优化方法的基本步骤 三、二维变量的线性规划模型 四、线性规划图解法 五、线性规划工程应用
0, 500
200, 600
x+y 800
200, 600
x+y 800
约束： x+y >= 800 0.03x-0.01y >= 0 0.21x-0.3y <= 0 x , y >= 0
0.21x-0.3y 0
470.6, 329.4
1000, 0
0, 3
3, 3
约束： 5y <= 15 6x+2y <= 24 x , y >= 0
6 x 2 y 24
0, 0
29
0, 0
4, 0
30
5
2014-09-26
线性规划图解法
6 x 2 y 24
5y 15
线性规划图解法5y ຫໍສະໝຸດ 150, 3 2, 3
11 12
2
2014-09-26
本讲内容
一、最优化方法基本模型 二、最优化方法的基本步骤 三、二维变量的线性规划模型 四、线性规划图解法 五、线性规划工程应用
最优化方法的基本步骤
问题 定义
13
模型 构造
模型 求解
模型 验证
14
最优化方法的基本步骤
（1）问题定义
问题定义涉及所需研究问题的范围， 同时找出这个最优化问题的三个因素： （a）描述可能的决策方案； （b）指出需建模系统中的限制条件； （c）确定问题的最优化目标。
此问题中需要确定AG和BOM的日生产量。 因此，模型的变量定义为 x = AG的日生产数 y = BOM的日生产数
22
二维变量的线性规划模型
构造目标函数。集成商打算最大化两种产 品的日总利润。已知每个AG、BOM的利润 分别为2万和1万，因此 AG的总利润 = 2x BOM的总利润 = 1y 令z表示日总利润，则公司的目标为： max z = 2x + y
最优化案例
方案一：购买8张单程机票； 方案二：购买4张普通的往返机票； 方案三：购买1张北京飞上海单程票，3张 跨越周末的往返机票，再买1张上海飞北京 单程票； 方案四：先购买1张第一周星期一从北京 出发，第四周星期四返程的往返机票，再 购买3张跨周末的往返机票。
5 6
1
2014-09-26
最优化案例
案例一：张三（北京某软件公司售前工作人 员）在帮上海某企业制定某项目的解决方 案，需往返北京和上海之间4次。每周一从 北京出发，每周四返回。假设北京与上海 航线价格为1000元，单程不打折，普通往 返机票9折，跨越周末的往返机票8折。如 何购买机票使得花费最少？
3
4
最优化案例
案例看作一个最优化决策问题： 1.有哪些可能的决策方案？ 2.是在什么限制条件下作出这个决策？ 3.评价此方案的最优化目标评判标准是 什么？
6
2014-09-26
案例分析