解线性规划问题时可能出现的几种结果
运筹学试题1_研究生考试-专业课
管理运筹学复习题第一章一、单项选择题1.用运筹学分析与解决问题的过程是一个（ B ）A.预测过程B.科学决策过程C.计划过程D.控制过程2.运筹学运用数学方法分析与解决问题，以达到系统的最优目标。
可以说这个过程是一个（ C ）A.解决问题过程B.分析问题过程C.科学决策过程D.前期预策过程3从趋势上看，运筹学的进一步发展依赖于一些外部条件及手段，其中最主要的是（ C ）A．数理统计 B．概率论 C．计算机 D．管理科学4运筹学研究功能之间关系是应用（ A ）A．系统观点 B．整体观点 C．联系观点 D．部分观点5运筹学的主要目的在于求得一个合理运用人力、物力和财力的（ B ）A.最优目标B.最佳方案C.最大收益D.最小成本6.运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的（ C ）A.近期目标与具体投入B.生产计划及盈利C.管理问题及经营活动D.原始数据及相互关系7.运筹学研究和解决问题的优势是应用各学科交叉的方法，其具有的典型特性为（ A ）A．综合应用 B．独立研究 C．以计算为主 D．定性与定量8.数学模型中，“s·t”表示（ B ）A. 目标函数B. 约束C. 目标函数系数D. 约束条件系数9.用运筹学解决问题的核心是（ B ）A．建立数学模型并观察模型 B．建立数学模型并对模型求解C．建立数学模型并验证模型 D．建立数学模型并优化模型10.运筹学作为一门现代的新兴科学，起源于第二次世界大战的（ B ）A.工业活动B.军事活动C.政治活动D.商业活动11.运筹学是近代形成的一门（ C ）A．管理科学 B．自然科学 C．应用科学 D．社会科学12.用运筹学解决问题时，要对问题进行（ B ）A.分析与考察B.分析和定义C.分析和判断D.分析和实验13.运筹学中所使用的模型是（ C ）A.实物模型B.图表模型C.数学模型D.物理模型14.运筹学的研究对象是（ B ）A．计划问题 B．管理问题 C．组织问题 D．控制问题二、多项选择题1.运筹学的主要分支包括（ ABDE ）A.图论B.线性规划 C .非线性规划 D.整数规划 E.目标规划三、简答题1.运筹学的数学模型有哪些缺点?答：（1）数学模型的缺点之一是模型可能过分简化，因而不能正确反映实际情况。
管理运筹学 易错判断题整理
2 网络图的线路与关键路线。 3 最早时间，最迟时间，作业的最早开始，最早结束，最迟开始， 最迟结束时间，作业的总时差，自由时差的概念及计算方法。
判断题： 1 在任一图G中，当点集V确定后，树图是G中边数最少的连通图。 √ 2 一个具有多个发点和多个收点的求网络最大流问题一定可以转化为 求具有单个发点和单个收点的求网络最大流问题。
√ 6. 任何线性规划总可用大M单纯形法求解。
√ 7. 凡能用大M法求解也一定可用两阶段法求解。
√ 8. 两阶段法中第一阶段问题必有最优解。
√ 9. 两阶段法中第一阶段问题最优解中基变量全部非人工变量,则原问题有最优 解。
× 10. 人工变量一旦出基就不会再进基。
√ 11. 当最优解中存在为零的基变量时,则线性规划具有多重最优解。 ×
× 5 如果运输问题或者转运问题模型中，Cij 都是产地i到销地j的最小 运输费用，则运输问题同转运问题将得到相同的最优解。
√
第三章：目标规划
主要内容： 1 描述目标规划建模的思路以及他的数学模型同一般线性 数学模型的相同和不同点。 2 解释下列变量：1正负偏差变量 2绝对约束和目标约束 3 优先因子与权系数。 3 目标规划图解法的步骤。 4 目标规划 目标函数特点。 判断题： 1 目标规划模型中，可以不含有绝对约束但是必须含有目 标约束。
1 最优对策中，如果最优解要求一个人呢采取纯策略，则另一个人也必须采取纯策 ×
2 在两人零和对策支付矩阵的某一行或某一列上加上常数k 将不影响双方各自的最优 ×
3 博弈的纳什均衡是博弈双方达到均势平衡的解，也是使博弈双方得到最好结果的 ×
第1.2节 线性规划问题的图解法
x1 20 * x 2 100
* * z 1240
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2 规划问题求解的几种可能结果
2）无穷多最优解
max z 12 x1 8 x2 2 x1 x2 160 1 1 x1 x2 40 3 3 3 x1 2 x2 260 x1 , x2 0
max z 12 x1 10 x2 2 x1 x2 160 1 1 x x2 40 1 3 3 3 x1 2 x2 260 x1 , x2 0
23
x2 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
max z 12 x1 10 x2 2 x1 x2 160 1 1 x1 x2 40 3 3 3 x1 2 x2 260 x1 , x2 0
工序 花瓶种类 占用材料 （盎司） 艺术加工 （小时） 储存空间 （一单位） 利润值 （元）
大花瓶
1/3x1+1/3x2=40 (60,40)
x1
22
160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 图1 花瓶问题的图解法
图解法的基本步骤：
（4）确定最优解。最优解是可行域中使目标
函数值达到最优的点，当目标函数直线由原点 开始沿法线方向向右上方移动时，z 值开始增 大，一直移到目标函数直线与可行域相切时为 止，切点即为最优解。
18
图解法的基本步骤：
（3）作出目标函数。由于
z 是一个待求的目 标函数值，所以目标函数常用一组平行虚线表 示，离坐标原点越远的虚线表示的目标函数值 越大。
第1章 线性规划
1.1 线性规划问题及其数学模型
线性规划
该公司想达到的目标为：投资 风险最小，每年红利至少为6.5万 元，最低平均增长率为12%，最低 平均信用度为7。请用线性规划方 法求解该问题。
1.1 线性规划问题及其数学模型
解：
（1）决策变量
线性规划
本问题的决策变量是在每种投资项目上的投 资 额 。 设 xi 为 项 目 i 的 投 资 额 （ 万 元 ） （ i=1,2,,6）
（2）目标函数
本问题的目标为总投资风险最小，即
Min z 0.18x1 0.06x2 0.10x3 0.04x4 0.12x5 0.08x6
线性规划
运筹学
线性规划
线性规划
本章内容要点
线性规划问题及其数学模型；
线性规划的电子表格建模； 线性规划的多解分析。
线性规划
本章内容
1.1 线性规划问题及其数学模型
1.2 线性规划问题的图解法
1.3 用Excel“规划求解”功能求解线性规划问题
1.4 线性规划问题求解的几种可能结果
本章主要内容框架图
1.4 线性规划问题求解的 几种可能结果
线性规划
唯一解 无穷多解 无解 可行域无界（目标值不收敛）
1.4 线性规划问题求解的 几种可能结果
线性规划
唯一解
线性规划问题具有 唯一解是指该规划 问题有且仅有一个 既在可行域内、又 使目标值达到最优 的解。例1.1就是一 个具有唯一解的规 划问题
(1-1)
动态规划方法求解线性规划问题
动态规划方法求解线性规划问题动态规划是一种解决多阶段决策问题的优化方法。
线性规划是一种数学优化方法，用于求解一组线性约束条件下的最优解。
本文将介绍如何使用动态规划方法来求解线性规划问题。
一、问题描述假设我们有一个线性规划问题，目标是最小化或最大化一个线性目标函数，同时满足一组线性约束条件。
线性规划问题可以表示为：最小化（或最大化）：C^T * X约束条件：A * X <= B其中，C是目标函数的系数向量，X是决策变量向量，A是约束条件的系数矩阵，B是约束条件的右侧常数向量。
二、动态规划方法求解线性规划问题的步骤1. 定义状态首先，我们需要定义问题的状态。
在线性规划问题中，状态可以表示为决策变量的取值范围。
假设我们有n个决策变量，每个决策变量有m个可能的取值，那么我们可以定义n个状态，每个状态有m个取值。
2. 定义状态转移方程接下来，我们需要定义状态之间的转移关系。
在线性规划问题中，状态转移可以表示为决策变量的变化。
假设我们从第i个状态转移到第j个状态，那么我们可以定义一个转移函数T(i, j)，表示从状态i到状态j的转移。
3. 定义初始状态和目标状态在动态规划中，我们需要定义一个初始状态和一个目标状态。
初始状态是问题的起始状态，目标状态是问题的最终状态。
在线性规划问题中，初始状态可以表示为决策变量的初始取值，目标状态可以表示为决策变量的最优取值。
4. 计算最优解通过定义状态、状态转移方程、初始状态和目标状态，我们可以使用动态规划方法来计算线性规划问题的最优解。
具体步骤如下：4.1 初始化动态规划表格我们可以使用一个二维表格来表示动态规划过程中的中间结果。
表格的行表示状态，列表示阶段。
我们可以将初始状态填入表格的第一行，然后逐步计算表格的其他元素。
4.2 逐步计算表格元素从第二行开始，逐行计算表格的元素。
对于每个状态，我们可以根据状态转移方程和前一行的结果来计算当前行的结果。
具体计算方法根据问题的具体情况而定。
线性规划问题
线性规划问题一、线性规划问题的基本概念先看几个典型实例 例1 生产计划问题某工厂拥有a 、b 两种原材料生产A 、B 两种产品，现有设备使用限量为8台时，已知每件产品的利润、所需设备台时及原材料的消耗如下表所示：试问：在计划期内应如何安排计划才能使工厂获得的利润最大？解 设x 1、x 2分别表示在计划期内产品A 、B 的产量，则所用设备的有效台时必须满足x 1＋2x 2≤8同样，由原材料的限量，可以得到4x 1≤16，4x 2≤12因此，生产计划就是满足如下约束条件的一组变量x 1、x 2的值：x1＋2x 2≤8， 4x 1≤16，4x 2≤12， x 1≥0，x 2≥0显然，可行的生产计划有限多个，现在问题就是要在很多个可行计划中找一个利润最大的，即求一组变量x 1、x 2的值，使它满足约束条件，并使目标函数L=2x 1＋3x 2的值最大（即利润最大）例2 资金分配问题某商店拥有100万元资金，准备经营A 、B 、C 三种商品，其中A 商品有A 1、A 2两种型号，B 商品有B 1、B 2两种型号，每种商品的利润率如下表所示：在经营中有以下限制：(1)经营A 或B 的资金各自都不能超过总资金的50%； (2)经营C 的资金不能少于经营B 的资金的25%； (3)经营A 2的资金不能超过经营A 的总资金的60%； 试问应怎样安排资金的使用才能使利润最大？解 设经营A 1、A 2、B 1、B 2、C 的资金分别为x 1，x 2,x 3,x 4，x 5（万元），这一问题的数学模型为求一组变量x 1、x 2，…，x 5的值，使它满足 x 1＋x 2＋…＋x 5=100， x 1＋x 2≤50， x 3＋x 4≤50，025x 3＋0.25x 4－x 5≤0 0.6x 1－0.4x 2≥0，x j ≥0 （j=1，2， (5)并使目标函数L=0.073x 1＋0.103x 2＋0.064x 4＋0.075x 4＋0.045x 5的值最大(利润最大)上面我们建立了几个实际问题的数学模型，虽然实际问题各不相同，但是它们的数学模型却有相同的数学形式，这就是：表示约束条件的数学式子都是线性等式或线性不等式，表示问题最优化指标的目标函数都是线性函数，因为约束条件和目标函数都是线性的，所以把具有这种模型的问题称为线性规划问题。
《运筹学》_习题_线性规划部分练习题及_答案
一、思考题1． 什么是线性规划模型，在模型中各系数的经济意义是什么？ 2． 线性规划问题的一般形式有何特征？3． 建立一个实际问题的数学模型一般要几步？4． 两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么？5． 求解线性规划问题时可能出现几种结果，那种结果反映建模时有错误？6． 什么是线性规划的标准型，如何把一个非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。
7． 试述线性规划问题的可行解、基础解、基础可行解、最优解、最优基础解的概念及它们之间的相互关系。
8． 试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多个最优解、无界解或无可行解。
9． 在什么样的情况下采用人工变量法，人工变量法包括哪两种解法？10．大M 法中，M 的作用是什么？对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取什么？最大化问题呢？ 11．什么是单纯形法的两阶段法？两阶段法的第一段是为了解决什么问题？在怎样的情况下，继续第二阶段？ 二、判断下列说法是否正确。
1． 线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点达到。
2． 线性规划的可行解集是凸集。
3． 如果一个线性规划问题有两个不同的最优解，则它有无穷多个最优解。
4． 线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大。
5． 线性规划问题的每一个基本解对应可行域的一个顶点。
6． 如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。
7． 用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与0>j σ对应的变量都可以被选作换入变量。
8． 单纯形法计算中，如不按最小非负比值原则选出换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值是负的。
9． 单纯形法计算中，选取最大正检验数k σ对应的变量k x作为换入变量，可使目 标函数值得到最快的减少。
10． 一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果。
1 3 第一章线性规划与单纯形法运筹学习题集第一章线性规划与单纯形
1 3 第一章线性规划与单纯形法运筹学习题集第一章线性规划与单纯形13第一章线性规划与单纯形法运筹学习题集第一章线性规划与单纯形法复习思考题1. 试述线性规划数学模型的结构及各要素的特征。
2. 求解线性规划问题时可能出现哪几种结果?哪些结果反映建模时有错误?3. 什么是线性规划问题的标准形式?如何将一个非标准型的线性规划问题转化为标准形式?4. 试述线性规划问题的可行解、基解、基可行解、最优解的概念以及上述解之间的相互关系。
5. 试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解或无可行解?6. 如果线性规划的标准型变换为求目标函数的极小化min z，则用单纯形法计算时如何判别问题已得到最优解?7. 在确定初始可行基时，什么情况下要在约束条件中增添人工变量?在目标函数中人工变量前的系数为(-M)的经济意义是什么?8. 什么是单纯形法计算的两阶段法?为什么要将计算分成两个阶段进行,如何根据第一阶段的计算结果来判定第二阶段的计算是否需要继续进行?9. 简述退化的含义及处理退化的勃兰特规则。
10. 举例说明生产和生活中应用线性规划的可能案例，并对如何应用进行必要描述。
11. 判断下列说法是否正确:(a) 图解法同单纯形法虽然求解的形式不同，但从几何上理解，两者是一致的;(b) 线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大;(c) 线性规划问题的每一个基解对应可行域的一个顶点;(d) 如线性规划问题存在可行域，则可行域一定包含坐标的原点;(e) 对取值无约束的变量xj，通常令xj=x′j-x″j，其中x′j?0，x″j?0，在用单纯形法求得的最优解中有可能同时出现x′j,0，x″j,0;(f) 用单纯形法求解标准型的线性规划问题时，与σj,0对应的变量都可以被选作换入变量; (g) 单纯形法计算中，如不按最小比值原则选取换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值为负;(h) 单纯形法计算中，选取最大正检验数σk对应的变量xk作为换入变量，将使目标函数值得到最快的增长;(i) 一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，则该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果;(j) 线性规划问题的任一可行解都可以用全部基可行解的线性组合表示; (k)若X1，X2分别是某一线性规划问题的最优解，则X=λ1X1+λ2X2也是该线性规划问题的最优解，其中λ1、λ2可以为任意正的实数;(l) 线性规划用两阶段法求解时，第一阶段的目标函数通常写为minz=?ixai(xai为人工变量)，但也可写为min z=?ikixai,只要所有ki均为大于零的常数;(m)对一个有n个变量、m个约束的标准型的线性规划问题，其可行域的顶点恰好为Cmn个; (n) 单纯形法的迭代计算过程是从一个可行解转换到目标函数值更大的另一个可行解; (o) 线性规划问题的可行解如为最优解，则该可行解一定是基可行解; (p) 若线性规划问题具有可行解，且其可行域有界，则该线性规划问题最多具有有限个数的最优解;(q) 线性规划可行域的某一顶点若其目标函数值优于相邻的所有顶点的目标函数值，则该顶点处的目标函数值达到最优;(r) 将线性规划约束条件的“?”号及“?”号变换成“=”号，将使问题的最优目标函数值得到改善;(s) 线性规划目标函数中系数最大的变量在最优解中总是取正的值;(t) 一个企业利用3种资源生产4种产品，建立线性规划模型求解得到的最优解中，最多只含有3种产品的组合;(u) 若线性规划问题的可行域可以伸展到无限，则该问题一定具有无界解; (v) 一个线性规划问题求解时的迭代工作量主要取决于变量数的多少，与约束条件的数量关系相对较小。
运筹学
97二.求解线性规划问题时可能出现哪几种结果？哪些结果反映建模时有错误？ 如何改正这些错误？ 1.唯一最优解 、2.无穷多最优解3.无界解4.无可行解；在应用上，当线性规划问题出现无界解和无可行解两种情形时，说明线性规划问题的模型有问题。
a 、出现无界解，是由于线性规划模型中缺乏必要的约束条件，因此，增加恰当的约束条件，使出现有界的可行域，即可解决问题； b 、出现无可行解，是因为线性规划模型中的约束条件相互冲突， 需要修改模型后再进行求解。
二、在确定初始可行解时,什么情况下要在约束条件中增添人工变量?在目标函数中人工变量前的系数为（-M ）的经济意义是什么？ 如果线性规划的标准形式中无现成的的初始可解B=I 时，可采用人工变量法获得的初始可行解 ；（-M ）称为“罚因子”，既只要人工变量取值大于零，目标函数就不能实现最优。
三.什么事线性规划问题的标准形式？如何讲一个非标准型的线性规划问题转化为标准形式？ a) 约束条件都是等式； b) 等式约束的右端项为非负的常数； c) 每个变量都要求取非负数值。
目标函数的转化（最大值） 约束条件的转化（等式约束）变量约束的转化（全正）资源常量的转化（b ）=0） 定义可行解 基解 基可行解 最优解 关系？ 可行解：凡满足约束条件的解，均可称为可行解。
基解：当X1=0，X2=0时K1=80，K2=60，这也是个特解，（0，0，80，60）,因所有的非基变量都等于0，又叫基解。
基可行解：基解满足非负极为基可行解。
最优解：使某线性规划的目标函数达到最优值（最大值或最小值）的任一可行解，都称为该线性规划的一个最优解。
五、试述线性规划的数学模型的结构及各要素的特征？ 答:结构包括决策变量，约束条件和目标函数。
特征:（1）方案都用一组决策变量表示，具体方案由决策变量的一组取值决定，且决策变量一般是非负连续的。
（2）模型都用一个决策变量的线性函数衡量决策方案的优略，该函数称为目标函数。
管理运筹学作业题
管理运筹学复习题一、简答题1、试述线性规划数学模型的结构及各要素的特征。
2、求解线性规划问题时可能出现哪几种结果，哪些结果反映建模时有错误。
3、举例说明生产和生活中应用线性规划的方面，并对如何应用进行必要描述。
4、什么是资源的影子价格，同相应的市场价格之间有何区别，以及研究影子价格的意义。
5、试述目标规划的数学模型同一般线性规划数学模型的相同和异同之点。
二、判断题1、线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大；( )2、如线性规划问题存在最优解，则最优解一定对应可行域边界上的一个点；( )3、若线性规划问题具有可行解，且其可行域有界，则该线性规划问题最多具有有限个数的最优解；( )4、线性规划可行域的某一顶点若其目标函数值优于相邻的所有顶点的目标函数值，则该顶点处的目标函数值达到最优。
( )5、求网络最大流的问题可归结为求解一个线性规划模型。
( )三、计算题1、用图解法求解下列线性规划问题，并指出各问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解或无可行解。
2、线性规划问题：试用图解法分析，问题最优解随c1(-∞，+∞) 取值不同时的变化情况。
3、某饲养场需饲养动物，设每头动物每天至少需700g蛋白质、30g矿物质、100维生素。
现有五种饲料可供选用，各种饲料每营养成分含量及单价如表1-8所示。
要求确定既满足动物生长的营养需要,又使费用最省的选用饲料的方案。
4、写出下列线性规划问题的对偶问题。
5、某厂生产甲、乙、丙三种产品，已知有关数据如表2-12所示，试分别回答下列问题：(a) 建立线性规划模型，求使该厂获利最大的生产计划；(b)若产品乙、丙的单件利润不变，则产品甲的利润在什么范围内变化时，上述最优解不变。
(c)若原材料A市场紧缺,除拥有量外一时无法购进,而原材料B如数量不足可去市场购买,单价为0. 5,问该厂应否购买,以购进多少为宜；6、某厂生产I、、三种产品，分别经过A、B、C三种设备加工。
《管理运筹学》期中复习题答案
《管理运筹学》期中测试题第一部分线性规划一、填空题1．线性规划问题是求一个在一组下的最值问题。
2．图解法适用于含有变量的线性规划问题。
8．如果线性规划问题存在目标函数为有限值的最优解，求解时只需在其的集合中进行搜索即可得到最优解。
9．满足条件的基本解称为基本可行解。
10．在将线性规划问题的一般形式转化为标准形式时，引入的松驰变量在目标函数中的系数为。
11．将线性规划模型化成标准形式时，“≤”的约束条件要在不等式左_端加入 _ 变量。
12．线性规划模型包括、、三个要素。
13．线性规划问题可分为目标函数求 _ 值和 _值两类。
14．线性规划问题的标准形式中，约束条件取 _ 式，目标函数求_值，而所有决策变量必须。
17．求解线性规划问题可能的结果有。
18.如果某个约束条件是“ ”情形，若化为标准形式，需要引入一个 _ 变量。
24．在单纯形迭代中，选出基变量时应遵循_法则。
二、单选题3．线性规划模型不包括下列_要素。
A．目标函数 B．约束条件 C．决策变量 D．状态变量4．线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将_。
A．增大 B．缩小 C．不变 D．不定11.若目标函数为求max，一个基本可行解比另一个基本可行解更好的标志是A使Z更大 B 使Z更小 C 绝对值更大 D Z绝对值更小15如果第K个约束条件是“≤”情形，若化为标准形式，需要A左边增加一个变量 B右边增加一个变量 C左边减去一个变量D 右边减去一个变量16.若某个b k≤0, 化为标准形式时原不等式A 不变B 左端乘负1C 右端乘负1D 两边乘负117.为化为标准形式而引入的松弛变量在目标函数中的系数应为A 0B 1C 2D 319.用单纯形法的代数形式求解最大化线性规划问题中，若某非基变量检验数为零，而其他非基变量检验数全部<0，则说明本问题。
A．有惟一最优解 B．有多重最优解 C．无界 D．无解20. 单纯形法代数形式当中，入基变量的确定应选择检验数A绝对值最大 B绝对值最小 C 正值最大 D 负值最小第二部分运输问题一、填空题2．运输方案的最优性判别准则是：当全部检验数时，当前的方案一定是最优方案。
《管理运筹学》(第二版)课后习题参考答案汇总
《管理运筹学》（第二版）课后习题参考答案第1章线性规划（复习思考题）1．什么是线性规划线性规划的三要素是什么答：线性规划（Linear Programming，LP）是运筹学中最成熟的一个分支，并且是应用最广泛的一个运筹学分支。
线性规划属于规划论中的静态规划，是一种重要的优化工具，能够解决有限资源的最佳分配问题。
建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。
决策变量是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。
2．求解线性规划问题时可能出现几种结果，哪种结果说明建模时有错误答：（1）唯一最优解：只有一个最优点；（2）多重最优解：无穷多个最优解；（3）无界解：可行域无界，目标值无限增大；（4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集。
当无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。
3．什么是线性规划的标准型松弛变量和剩余变量的管理含义是什么答：线性规划的标准型是：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项，决策变量满足非负性。
如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。
4．试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关系。
答：可行解：满足约束条件的解，称为可行解。
基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。
可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。
最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。
最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。
它们的相互关系如右图所示：5．用表格单纯形法求解如下线性规划。
.解：标准化.列出单纯形表412b02[8]2 /80868 /641241/41/81/8]/8(1/4/(1/813/265/4/43/4(13/2/(1/4 0－1/23/21/222806－221－12－502故最优解为，即，此时最优值为．6．表1—15中给出了求极大化问题的单纯形表，问表中为何值及变量属于哪一类型时有：（1）表中解为唯一最优解；（2）表中解为无穷多最优解之一；（3）下一步迭代将以代替基变量；（4）该线性规划问题具有无界解；（5）该线性规划问题无可行解。
数学：运筹学考点(题库版)
数学：运筹学考点（题库版）1、填空题规划问题数学模型三个要素（）。
正确答案：决策变量、目标函数、约束条件2、判断题如果一个线性问题有可行解，那它一定有最优解正确答案：错3、单选用闭回路法调整调运方案时，下列做法正确的（江南博哥）是（）。
A.奇点处加调整量B.偶点处加调整量C.奇点减调整量D.都不对正确答案：A4、多选在线性规划问题的标准形式中，不可能存在的变量是（）A.可控变量B.松弛变量C.剩余变量D.人工变量E.环境变量正确答案：D, E5、名词解释表格计算法（或称列表法）正确答案：是制定一定形式的表格，在表格上按照一定的顺序和规定算法来计算网络图的各个参数。
6、名词解释常规性决策正确答案：是力行的、重复的决策。
作这类决策的个人或组织，由于需要他们决策的问题不是新问题，一般来说，已经有惯例和经验可作参考，因而进行决策时就比较容易7、单选线性规划中，（）不正确。
A.有可行解必有可行基解B.有可行解必有最优解C.若存在最优解，则最优基解的个数不超过2D.可行域无界时也可能得到最优解正确答案：B8、判断题在任一图G中，当点集V确定后，树图是G中边数最少的连通图。
（）正确答案：对9、填空题企业在采购时，供应方会根据批发量的大小来定出不同的优惠价格，这种价格上的优惠称为（）。
正确答案：数量折扣10、填空题根据最基本的分类，可将系统模型分为物理模型和（）两类。
正确答案：抽象模型11、填空题问题要求解的末知量是（）。
正确答案：决策变量12、单选关键路线问题的关键工序是指（）。
A.最先开始的工序B.最后结束的工序C.最重要的工序D.需要时间最长的工序正确答案：D13、单选单纯形法所求线性规划的最优解（）是可行域的顶点。
A.一定B.一定不C.不一定D.无法判断正确答案：B14、填空题物资调运方案的最优性判别准则是：当全部检验数（）时，当前的方案一定是最优方案。
正确答案：非负15、名词解释终极状态概率正确答案：经过无穷多次状态转移后所得到的状态概率称为终极状态概率。
单纯形法判断解的类型
单纯形法判断解的类型单纯形法是一种用于线性规划问题的优化算法，通过迭代的方式逐步靠近最优解。
在使用单纯形法判断解的类型时，主要有三种可能的结果：无界解、有穷解和无解。
当线性规划问题存在无界解时，意味着目标函数可以无限增加或无限减小。
在单纯形法中，通过计算目标函数系数与约束条件的比值来判断无界解。
如果所有的比值都小于等于0，则表明目标函数可以无限增加，即问题存在无界解。
有穷解是指线性规划问题存在有限的最优解。
在单纯形法中，通过引入人工变量来构造初始解，并通过迭代计算来不断改进解的质量。
如果经过有限次迭代后，目标函数值不再发生改变，则可以确定存在有穷解。
当线性规划问题不存在满足约束条件的解时，称之为无解。
在单纯形法中，通过检查约束条件中的人工变量是否仍然为基变量，来判断是否存在无解情况。
如果人工变量仍然为基变量，则表明约束条件无法满足，即问题无解。
除了以上三种情况外，单纯形法还可以确定最优解的具体数值。
在每一次迭代中，通过计算目标函数的增量以及选择合适的基变量来改变当前解，直到达到最优解。
在单纯形法中，目标函数值的减少是保证最优解的关键。
总结起来，单纯形法通过迭代的方式逐步靠近最优解，并可以判断解的类型为无界解、有穷解或无解。
通过计算目标函数的增量和选择合适的基变量来改变当前解，以求得最优解。
这种方法在实际应用中具有很高的效率和准确性，特别是在大规模线性规划问题中。
在实际应用中，单纯形法可以用于求解各种优化问题，如生产计划、资源分配、运输问题等。
通过对问题进行数学建模，并利用单纯形法求解最优解，可以有效地提高生产效率、降低成本，并实现资源的合理利用。
单纯形法是一种有效的线性规划问题求解方法，通过迭代的方式逐步靠近最优解，并可以判断解的类型为无界解、有穷解或无解。
在实际应用中，单纯形法可以帮助我们解决各种优化问题，提高效率和降低成本。
因此，掌握单纯形法的原理和应用，对于提升我们的问题解决能力和决策水平具有重要意义。
线性规划问题
线性规划问题线性规划是一种常见的优化问题求解方法，用于解决线性约束条件下的目标最大化或最小化问题。
其数学表达形式为：找到一组变量的取值，使得目标函数在满足一组线性约束条件下达到最大（最小）值。
线性规划问题的一般形式如下：目标函数：$Z = c_1x_1 + c_2x_2 + \ldots + c_nx_n$约束条件：\[\begin{align*}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n &\leq b_1 \\a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n &\leq b_2 \\&\vdots \\a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n &\leq b_m \\x_1, x_2, \ldots, x_n &\geq 0\end{align*}\]其中，$x_1, x_2, \ldots, x_n$ 是决策变量，$c_1, c_2, \ldots, c_n$ 是目标函数的系数，$a_{ij}$ 是约束条件中的系数，$b_1, b_2, \ldots,b_m$ 是约束条件的右侧常数。
为了解决线性规划问题，我们需要经历以下步骤：1. 确定决策变量：根据实际问题的需求，明确需要求解的决策变量。
例如，在生产计划问题中，决策变量可能是生产的数量或分配的资源。
2. 建立数学模型：基于实际问题，将目标函数和约束条件转化为数学表达式。
确定好目标函数和约束条件之后，可以得到线性规划问题的标准形式。
3. 确定最优解的性质：线性规划问题有三种可能的解：无解、有界解和无界解。
通过分析约束条件的线性关系，可以判断问题的解空间。
4. 求解最优解：常用的线性规划求解方法有单纯形法、内点法、二阶锥规划等。
通过计算机算法，可以找到目标函数在满足约束条件下的最大（最小）值，并得到相应的决策变量取值。
运筹学复习资料(1)
运筹学复习一、单纯形方法（表格、人工变量、基础知识）线性规划解的情况：唯一最优解、多重最优解、无界解、无解。
其中，可行域无界，并不意味着目标函数值无界。
无界可行域对应着解的情况有：唯一最优解、多重最优解、无界解。
有界可行域对应唯一最优解和多重最优解两种情况。
线性规划解得基本性质有：满足线性规划约束条件的可行解集（可行域）构成一个凸多边形；凸多边形的顶点（极点）与基本可行解一一对应（即一个基本可行解对应一个顶点）；线性规划问题若有最优解，则最优解一定在凸多边形的某个顶点上取得。
单纯形法解决线性规划问题时，在换基迭代过程中，进基的非基变量的选择要利用比值法，这个方法是保证进基后的单纯型依然在解上可行。
换基迭代要求除了进基的非基变量外，其余非基变量全为零。
检验最优性的一个方法是在目标函数中，用非基变量表示基变量。
要求检验数全部小于等于零。
“当x1由0变到45/2时，x3首先变为0，故x3为退出基变量。
”这句话是最小比值法的一种通俗的说法，但是很有意义。
这里，x1为进基变量，x3为出基变量。
将约束方程化为每个方程只含一个基变量，目标函数表示成非基变量的函数。
单纯型原理的矩阵描述。
在单纯型原理的表格解法中，有一个有趣的现象就是，单纯型表中的某一列的组成的列向量等于它所在的单纯型矩阵的最初的基矩阵的m*m矩阵与其最初的那一列向量的乘积。
最初基变量对应的基矩阵的逆矩阵。
这个样子：'1222 1 0 -32580 1 010 0 158P B P -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦５１＝５所有的检验数均小于或等于零，有最优解。
但是如果出现非基变量的检验数为0，则有无穷多的最优解，这时应该继续迭代。
解的结果应该是：X *= a X 1*+(1-a)X 2* （0<=a<=1）说明：最优解有时不唯一，但最优值唯一；在实际应用中，有多种方案可供选择；当问题有两个不同的最优解时，问题有无穷多个最优解。
统计学 第3章 线性规划的计算机求解
结果含义
相差值： 表示使决策变量取正值，相应的目标 系数的改进值。比如：若x1 =0，相差值为20 ，则表示只有当c1 =5+20时，x1才不为0。 即产品才能生产。 对偶价格(dual)： 表示增加一个台时数时，可使利润增加50元。 表示增加一千克原料A时，利润不增加。 表示增加一千克原料B时，可使利润增加50元。 目标函数系数范围 下限 和 上限 表示： 当 0 ≤ c1 ≤100时，最优解不变。 当 50 ≤ c2时，最优解不变。 注意：最优值变了。
当前值 50 100
上限 100 无
当前值 300 400 250
上Hale Waihona Puke 325 无 300常数项范围 下限 和 上限表示：(1)当 250 ≤ b1 ≤325 时，约束条件1的对偶价格不变。 (2)当350 ≤b2时，约束条件2的对偶价格不变。
线性规划的计算机求解
一 计算机输出结果的含义： 例如：对线性规划问题 max z = 50 x1 +100 x2 s.t. x1 + x2 ≤300 2 x1 + x2 ≤400 x2 ≤250 x1≥0， x2≥0 计算机输出结果为：
——————目标函数
台时数 原料A ———— 约束条件 原料B
输出结果
运复习资料
简答97二.求解线性规划问题时可能出现哪几种结果？哪些结果反映建模时有错误？如何改正这些错误？1.唯一最优解、2.无穷多最优解3.无界解4.无可行解；在应用上，当线性规划问题出现无界解和无可行解两种情形时，说明线性规划问题的模型有问题。
a、出现无界解，是由于线性规划模型中缺乏必要的约束条件，因此，增加恰当的约束条件，使出现有界的可行域，即可解决问题；b、出现无可行解，是因为线性规划模型中的约束条件相互冲突，需要修改模型后再进行求解。
二、在确定初始可行解时,什么情况下要在约束条件中增添人工变量?在目标函数中人工变量前的系数为（-M）的经济意义是什么？如果线性规划的标准形式中无现成的的初始可解B=I时，可采用人工变量法获得的初始可行解；（-M）称为“罚因子”，既只要人工变量取值大于零，目标函数就不能实现最优。
三.什么事线性规划问题的标准形式？如何讲一个非标准型的线性规划问题转化为标准形式？a) 约束条件都是等式；b) 等式约束的右端项为非负的常数；c) 每个变量都要求取非负数值。
下面是线性规划标准形式的一般表达，.如何将下述一般形式的线性规划问题转化为标准形？Min Z=x1＋2x2＋3x3s.t. －2x1＋ x2＋ x3≤ 9－3x1 ＋ x2＋ 2x3≥ 43x1 － 2x2－ 3x3＝－6x1 ≤0, x2 ≥0, x3任意。
答：令x1' =－x1，则x1=－x1'（新变量替换），且x1' ≥0；令x3 = x3' －x3”（两个新变量替换），且x3' ，x3”≥0；在第一和第二个不等式约束中分别引入松弛变量：x4，x5 ，且x4，x5 ≥0；同时将第三个约束条件的两边同时乘以(－1)，以将右边常数项“－6”转化为“6”。
由此，上述线性规划的一般形式转化为标准形。
Max Z ' =x1' －2x2－3 (x3' －x3")2x1'＋ x2＋ (x3' －x3")＋x4 = 93x1'＋ x2＋2( x3' －x3") －x5 = 43x1'＋ 2x2＋3 ( x3' －x3") = 6x1', x2 , x3', x3" , x4, x5≥0 .四（有图）可行解：凡满足约束条件的解，均可称为可行解。
解线性规划问题时可能出现的几种结果
引入0-1变量xij，令 Xij=
1 ，营销总监i被指派到地区j筹建分公司 0 ，营销总监i没被指派到地区j筹建分公司
便可得到如下的0-1整数规划模型
s.t
实践性问题研究
解：由题意，甲最多可以负责三个区的建设，乙最多可以负
责两个区的分公司的建设，丙、丁分别可以负责一个区的分公
司的建设。因此将4人看作7人，在虚设1个地区，化为平衡指
x1
zzzzzzzzz
总结
理论性问题研究
上述线性规划问题的模型的最优解出现在可行 域的一个顶点处，此时线性规划问题有唯一最 优解。
理论性问题研究
第一种情况：
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2 约束条件 x1 + 2x2 8
4x1
16
4x2 12
x1、 x2 0
理论性问题研究
改变目标函数
派问题。
人员 地区 1华中 2华南 3华北 4东北 5西北 6西南
7
1甲
3
4 3.5 6
4
8
0
1甲
3
4 3.5 6
4
8
0
1甲
3
4 3.5 6
4
8
0
2乙
3.5
4
3
8
6
7
0
2乙
3.5
4
3
8
6
7
0
3丙
4
5.5
5
6
4
9
0
4丁
5
6
7
5
5 7.5
0
利用匈牙利法解： 按第一步的（1）和（2）先让系数矩阵减去每行的 最小元素，然后再减去每列的最小元素。
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2华南 3华北 4东北 5西北 6西南 4 4 5.5 6 3.5 3 5 7 6 8 6 5 4 6 4 5 8 7 9 7.5
月薪 (万元) 2.5 2.1 1.8 1.6
1甲 2乙 3丙 4丁
3 3.5 4 5
实践性问题研究 建立数学模型，进行数值求解
解：若用aij表示营销总监i在地区j筹建分公司所用的时间，用yi表示营 销总监i的月薪。 引入0-1变量xij，令 1 ，营销总监i被指派到地区j筹建分公司
| 6
| 7
| 8
| 9
x1
举一反三
理论性问题研究 当我们在原线性规划模型中增加一个约束 条件： x1 + x2 ≥9 思考：这时最优解又将作何改变
线性规划模型：
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2 约束条件 x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x1 + x2 ≥9 x1、 x2 0
可行域为图中阴影处向上延伸，看图可知： 可行域无界。为求最优解做作等值线：
7—
6— 5—
Z = 2x1 + 3x2 ，当Z值由小变大时，等值线
4—
3— 2— 1— 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5
平行向上移动，无论Z值增大多少，等值线上 总有一段位于可行域内，事实上，可行域是 个无界凸多边形，因此，等值线无论怎样移 动，都无法遇到两个约束条件相交汇的顶点。 因此，目标函数无上界，此时问题无有限最 优解，即只能是无界解。
x2
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2 约束条件 4x1 16 x1、 x2 0
= 16
可行域为图中阴影处向上延伸，看图可知： 可行域无界。为求最优解做作等值线：
7—
6— 5—
Z = 2x1 + 3x2 ，当Z值由小变大时，等值线
4—
3— 2— 1— 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5
满足所有约束条件 的点存在。所以， 问题无可行解，更 不存在最优解。
7—
6— 5—
4—
3— 2— 1— 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
4 x2 =12
x1
结论
通过对比分析，我们得出： a、出现无界解，是由于线性规划模型中缺乏必要的约束 条件，因此，增加恰当的约束条件，使出现有界的可行域， 即可解决问题； b、出现无可行解，是因为线性规划模型中的约束条件相 互冲突， 需要修改模型后再进行求解。
7—
6— 5—
4—
3— 2— 1— 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
4 x2 =12
x1
注意：在应用上，当线性规划问题出 理论性问题研究 现无界解和无可行解两种情形时，说 明线性规划问题的模型有问题。
zzzzzzzzz
总结
唯一最优解 无可行解
线性规划问题求解的 几种可能结果
无穷多最优解 无界解
理论性问题研究
在应用上，当线性 规划问题出现无界 解和无可行解两种 情形时，说明线性 规划问题的模型有 问题。
理论性问题研究
对比
原线性规划模型
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2 约束条件 x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0 目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2 约束条件 4x1 16 x1、 x2 0
理论性问题研究
改变约束条件
此时线性规划问题模型为：
同样采用图解法， 请看下面图形：
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2 约束条件 2x1 + 3x2 12 4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
第二种情况：
x2
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2 约束条件 2 x1 + 3x2 12 4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
然后进行试指派，以寻求最优解
从只有一个0元素的列(行)开始，给这个0元素加圈，记作 。这表示对 这行所代表的人只有一种任务可指派。然后划去 所在行的其他0元素 ，记作 ，,这表示这行所代表的人已指派任务，不必再考虑其他任务 了。
0 = 2x1 + 3x2
0
| 1
| 2
| 3
| 4
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9
x1
图解法
x2
9— 8—
目标函数 约束条件
x1+ 2x2=8 4x1 =16
最优解：（4，2）
Max Z = 2x1 + 3x2 x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
7—
◆无界解时的线性规划模型
◆无可行解的线性规划模型
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2 约束条件 x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x1 + x2 ≧9 x1、 x2 0
Ⅰ、唯一最优解
x2
9— 8—
目标函数 约束条件
x1+ 2x2=8 4x1 =16
最优解：（4，2）
理论性问题研究 思考
当我们把原约束条件变为：
4x1 16
则最优解又将发生何改变
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2 约束条件 4x1 16 x1、 x2 0
图解法
x2
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2 约束条件 4x1 16 x1、 x2 0
4x1 = 16
4 x2 = 12 x1 + 2x2 = 8
最后，平行线 与直线：
x1 + 2x2= 8
| 6 | 7 | 8 | 9
0 = 2x1 + 4x2
0
x1
第二种情况：
目标函数 约束条件 Max Z = 2x1 + 3x2 x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
| 6
| 7
| 8
| 9
x1
图解法
x2
9— 8—
目标函数 约束条件
Max Z = 2x1 + 3x2 x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
7—
6— 5—
4x1 = 16
4 x2 =12 x1 + 2x2 =8
可行域 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
图解法
x2
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2 约束条件 x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12 由图知：此时可行 x1 + x2 ≧9 4x1 = 16 域为空集，即没有 x1、 x2 0
满足所有约束条件 的点存在。所以， 问题无可行解，更 不存在最优解。
7—
6— 5— 无穷多最优解
4x1 = 16
4—
3— 2— 1—
B A
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6
4 x2 =12
最后，平行线 与直线：
2x1 + 3x2= 12
2x1 + 3x2 = 12
| 7 | 8 | 9
0 = 2x1 + 3x2
0
x1
理论性问题研究
事实上，阴影部分构成一个凸 多边形，其中A和B分别是两个 极点， A和B就是典型的两个最 优解，而连接两点之间的线段 上的每一个坐标值，都是原问 题的一个最优解。
3 4 3 4 3 4 cij = 3.5 4 3.5 4 4 5.5 5 6 3.5 3.5 3.5 3 3 5 7 6 6 6 8 8 6 5 4 4 4 6 6 4 5 8 8 8 7 7 9 7.5 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0.5 0 0.5 0 1 1.5 2 2 0.5 0.5 0.5 0 0 2 4 1 1 1 3 3 1 0 0 0 0 2 2 0 1 1 1 1 0 0 2 0.5 0 0 0 0 = (bij ) 0 0 0
1甲 1甲 1甲 2乙 2乙 3丙 4丁 3 3 3 3.5 3.5 4 5 4 4 4 4 4 5.5 6 3.5 3.5 3.5 3 3 5 7 6 6 6 8 8 6 5 4 4 4 6 6 4 5 8 8 8 7 7 9 7.5 0 0 0 0 0 0 0
利用匈牙利法解： 按第一步的（1）和（2）先让系数矩阵减去每行的 最小元素，然后再减去每列的最小元素。
4—
3— 2— 1— 0
x1
图解法
x2
9— 8—
目标函数 约束条件
Max Z = 2x1 + 3x2 x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
6 = 2x1 + 3x2
7—
6— 5—
4x1 = 16
4 x2 = 12 x1 + 2x2 = 8
4—
3— 2— 1—
6— 5—
4x1 = 16
4 x2 = 12
A(4，2)
4—
3— 2— 1— 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6
x1 + 2x2 = 8
| 7
| 8
| 9
x1
理论性问题研究
zzzzzzzzz
总结
上述线性规划问题的模型的最优解出现在可行 域的一个顶点处，此时线性规划问题有唯一最 优解。