使用单纯形法解线性规划问题

使用单纯形法解线性规划问题

要求：目标函数为：123min 3z x x x =--

约束条件为：

123123

1312321142321,,0

x x x x x x x x x x x -+≤⎧⎪-++≥⎪⎨

-+=⎪⎪≥⎩ 用单纯形法列表求解，写出计算过程。

解：

1） 将线性规划问题标准化如下：

目标函数为：123max max()3f z x x x =-=-++

s.t.： 123412356

1371234567211

42321,,,,,,0

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-++-+=⎪⎨-++=⎪⎪≥⎩

2） 找出初始基变量，为x 4、x 6、x 7，做出单纯形表如下：

表一：最初的单纯形表

变量

基变量

x 1

x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 b i x 4 1 -2 1 1 0 0 0 11 x 6 -4 1 2 0 -1 1 0 3 x 7 -2 0 1 0 0 0 1 1 -f

-3

1

1

3） 换入变量有两种取法，第一种取为x 2，相应的换出变量为x 6，进行第一次迭代。迭代后新的单纯形表为：

表二：第一种换入换出变量取法迭代后的单纯形表

变量

基变量

x 1

x 2

x 3

x 4

x 5

x 6

x 7

b i

x 4

-7

5

1 -2

2

3

x2-4120-1103 x7-20100011 -f10-101-10-3

由于x1和x5对应的系数不是0就是负数，所以此时用单纯形法得不到最优解。

表一中也可以把换入变量取为x3，相应的换出变量为x7，进行一次迭代后的单纯形表为：

表三：第二种换入换出变量取法迭代后的单纯形表

变量

基变量x1x2x3x4x5x6x7

b i

x43-20100-110 x60100-11-21 x3-20100011 -f-110000-1-1 4）表三中，取换入变量为x2，换出变量为x6，进行第二次迭代。之后的单纯形

表为：

表四：第二次迭代后的单纯形表

变量

基变量x1x2x3x4x5x6x7

b i

x43001-22-512 x20100-11-21 x3-20100011 -f-10001-11-2 5）表四中，取换入变量为x7，换出变量为x3，进行第三次迭代。之后的单纯形

表为：

表五：第三次迭代后的单纯形表

变量

基变量x1x2x3x4x5x6x7

b i

x4-7051-22017 x2-4120-1103 x7-20100011 -f10-101-10-3可以看出，此时x1，x5对应的系数全部非零即负，故迭代结束，没有最优解。

结论：

综上所述，本线性规划问题，使用单纯形法得不到最优解。