解答 运筹学 第一章 线性规划及其单纯形法习题
运筹学习题
运筹学复习题第一章 线性规划及单纯形法一、单选题1. 线性规划具有无界解是指A. 可行解集合无界B. 有相同的最小比值C. 存在某个检验数0k λ>，且0(1,2,,)ik a i m ≤=D. 最优表中所有非基变量的检验数非零 2. 线性规划具有唯一最优解是指A. 最优表中非基变量检验数全部非零B. 不加入人工变量就可进行单纯形法计算C. 最优表中存在非基变量的检验数为零D. 可行解集合有界 3. 线性规划具有多重最优解是指A. 目标函数系数与某约束系数对应成比例B. 最优表中存在非基变量的检验数为零C. 可行解集合无界D. 基变量全部大于零 4. 使函数Z=-x 1+x 2+2x 3 减小最快的方向是A. (-1,1,2)B. (1,-1,-2)C. (1,1,2)D. (-1,-1,-2) 5. 当线性规划的可行解集合非空时一定 A. 包含点X =(0,0,···,0) B. 有界 C. 无界 D. 是凸集 6. 线性规划的退化基可行解是指A. 基可行解中存在为零的非基变量B. 基可行解中存在为零的基变量C. 非基变量的检验数为零D. 所有基变量不等于零 7. 线性规划无可行解是指A. 第一阶段最优目标函数值等于零B. 进基列系数非正C. 用大M 法求解时，最优解中还有非零的人工变量D. 有两个相同的最小比值 8. 若线性规划不加入人工变量就可以进行单纯形法计算A. 一定有最优解B. 一定有可行解C. 可能无可行解D. 全部约束是小于等于的形式 9. 设线性规划的约束条件为123124222401234 (,,,)jx x x x x x x j ⎧++=⎪++=⎨⎪≥=⎩ 则非退化基本可行解是A. (2， 0，0， 0)B. (0，2，0，0)C. (1，1，0，0)D. (0，0，2，4) 10. 设线性规划的约束条件为123124222401234 (,,,)jx x x x x x x j ⎧++=⎪++=⎨⎪≥=⎩ 则非可行解是A. (2，0，0， 0)B. (0，1，1，2)C. (1，0，1，0)D. (1，1，0，0) 11. 线性规划可行域的顶点一定是A. 可行解B. 非基本解C. 非可行解D. 是最优解 12. 1234min z x x =+1212124220,x x x x x ⎧+≥⎪+≤⎨⎪≥⎩ A. 无可行解 B.有唯一最优解 C.有无界解 D.有多重最优解13. 12122124432450,max z x x x x x x =-⎧+≤⎪≤⎨⎪≥⎩A. 无可行解B. 有唯一最优解C. 有多重最优解D. 有无界解 14. X 是线性规划的基本可行解则有A. X 中的基变量非负，非基变量为零B. X 中的基变量非零，非基变量为零C. X 不是基本解D. X 不一定满足约束条件 15. X 是线性规划的可行解，则错误的结论是A. X 可能是基本解B. X 可能是基本可行解C. X 满足所有约束条件D. X 是基本可行解 16. 下例错误的说法是A. 标准型的目标函数是求最大值 B 标准型的目标函数是求最小值 C. 标准型的常数项非正 D. 标准型的变量一定要非负 17. 为什么单纯形法迭代的每一个解都是可行解？答：因为遵循了下列规则 A. 按最小比值规则选择换出变量B. 先进基后出基规则C. 标准型要求变量非负规则D. 按检验数最大的变量选择换入变量 18. 线性规划标准型的系数矩阵A m×n ，要求A. 秩(A )=m 并且m <nB. 秩(A )=m 并且m <=nC. 秩(A )=m 并且m =nD. 秩(A )=n 并且n <m 19. 下例错误的结论是A. 检验数是用来检验可行解是否是最优解的数B. 检验数是目标函数用非基变量表达的系数C. 不同检验数的定义其检验标准也不同D. 检验数就是目标函数的系数 20. 对取值为无约束的变量j x ，通常令'''j j j x x x =-，其中''',0j j x x ≥；在用单纯形法求得的解中不可能出现A. '0j x =,''0j x ≥ B. '0j x =,''0j x = C. '0j x >,''0>j x D. '0j x >,''0j x =21．运筹学是一门A. 定量分析的学科B. 定性分析的学科C. 定量与定性相结合的学科D. 定量与定性相结合的学科，其中分析与应用属于定性分析，建立模型与求解属于定量分析二、设某种动物每天至少需要700克蛋白质、30克矿物质、100毫克维生素。
运筹学思考练习题答案
5 2
1 2
}
b1
Min{
5 2
(
1 6
)}
，即
5
b1
15
，则 0
b1
20
(4)以单价 2.5 购入第一种资源是值得的，因其小于该资源“影子价格”（即 2.5<4），可盈利；
第二种资源应要价至少为 2（影子价格），否则不如自己组织生产。
4
SafetyuprvisonBh'mldcg,bwkqPC".F():TXJA12Izj
答案：
SafetyuprvisonBh'mldcg,bwkqPC".F():TXJA12Izj
基解：X⑴、X⑵、X⑷、X⑺，可行解：X⑴、X⑶、X⑹、X⑺，基可行解：X⑴、X⑺，非．基．可行解： X⑶、X⑹(或非．基可行解：X⑵、X⑶、X⑷、X⑸、X⑹)。 三、求解下列线性规划问题：
MinZ 5x1 4x2
或等于零，则可以判断其对偶问题具有无界解；(✓)
(9) 若线性规划问题中的 bi，cj 值同时发生变化，反映到最终单纯形表中，不会出现原问题与 对偶问题均为非可行解的情况；()
(10)在线性规划问题的最优解中，如某一变量 xj 为非基变量，则在原来问题中，无论改变它 在目标函数中的系数 cj 或在各约束中的相应系数 aij，反映到最终单纯形表中，除该列数字有 变化外，将不会引起其他列数字的变化。(✓)
第一章 L.P 及单纯形法练习题答案
一、判断下列说法是否正确
1. 线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件， 可行域的范围一般将扩大。(✓)
2. 线性规划问题的每一个基解对应可行域的一个顶点。() 3. 如线性规划问题存在某个最优解，则该最优解一定对应可行域边界上的一个点。(✓) 4. 单纯形法计算中，如不按最小比值原则选取换出变量，则在下一个基可行解中至少有
运筹学习题解答(chap1 线性规划及单纯形法)
第一章 线性规划及单纯形法一、写出下列线性规划的标准形式，用单纯形法求解，并指出其解属于哪种情况。
1、P55,1.3(a)21510m ax x x Z +=⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+0x ,x 8x 2x 59x 4x 3.t .s 212121 解：将模型化为标准型21510x x Z Max +=⎪⎩⎪⎨⎧≥=++=++0,,,825943..4321421321x x x x x x x x x x t s 单纯形表如下因所有检验数0j ≤σ，已达最优解，最优解是)2,1(*=X ，最优目标值为2。
由检验数的情况可知，该问题有唯一最优解。
2、 P55,1.3(b)21x x 2Z m ax +=s.t⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤0,524261552121212x x x x x x x解：将模型化为标准型21x x 2Z Max +=t s . ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++=++=+0x ,...,x ,x ,5x x x ,24x x 2x 6,15x x 552152142132 单纯形表如下因所有检验数0j ≤σ，已达最优解，最优解是)0,0,2,2,2(X *=，最有目标值为217。
由检验数的情况可知，该问题有唯一最优解。
3、3212x x x Z Min -+=，t s . ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤++≤+-≤-+0,,,5,822,422321321321321x x x x x x x x x x x x 解：将模型化为标准型：3212x x x Z Min -+=t s . ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+++=++-=+-+0,,,5,822,422321632153214321x x x x x x x x x x x x x x x 用单纯形法迭代最优解为（0，0，4），最优值为-4。
4、43213x x x x Z Min +++=t s . ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++=++-0,,,,,63,4224321421321x x x x x x x x x x 解：因为所有检验数均已非负，故已是最优解，最优解为（0，2，0，4），--10分最优目标值：6Z =*。
运筹学 第1章 线性规划习题
第一章线性规划习题1.1（生产计划问题）某企业利用A、B、C三种资源，在计划期内生产甲、乙两种产品，已知生产单位产品资源的消耗、单位产品利润等数据如下表，问如何安排生产计划使企业利润最大？表1—1产品单耗资源甲乙资源限制A B C 12111300kg400kg250kg单位产品利润（元/件）50100解：设x1、x2分别代表甲、乙两种产品的生产数量（件），z表示公司总利润。
依题意，问题可转换成求变量x1、x2的值，使总利润最大，即ma x z=50x1+100x2且称z=50x1+100x2为目标函数。
同时满足甲、乙两种产品所消耗的A、B、C三种资源的数量不能超过它们的限量，即可分别表示为x1 + x2≤3002x1 + x2≤400x2≤250且称上述三式为约束条件。
此外，一般实际问题都要满足非负条件，即x1≥0、x2≥0。
这样有ma x z=50x1+100x2x1 + x2≤3002x1 + x2≤400x2≤250x1、x2≥0习题1.2 靠近某河流有两个化工厂，流经第一化工厂的河流流量为每天500万m 3，在两个工厂之间有一条流量为200万m 3的支流。
两化工厂每天排放某种有害物质的工业污水分别为2万m 3和1.4万m 3。
从第一化工厂排出的工业污水流到第二化工厂以前，有20%可以自然净化。
环保要求河流中工业污水含量不能大于0.2%。
两化工厂处理工业污水的成本分别为1000元/万m 3和800元/万m 3。
现在要问在满足环保要求的条件下，每厂各应处理多少工业污水，使这两个工厂处理工业污水的总费用最小。
解：设x 1、x 2分别代表工厂1和工厂2处理污水的数量(万m 3)。
则问题的目标可描述为min z =1000x 1+800x 2约束条件有第一段河流（工厂1——工厂2之间）环保要求 (2－x 1)/500 ≤0.2%第二段河流（工厂2以下河段）环保要求[0.8(2－x 1) +(1.4－x 2)]/700≤0.2%此外有x 1≤2； x 2≤1.4化简得到min z =1000x 1+800x 2x 1 ≥10.8x 1 + x 2 ≥1.6x 1 ≤2x 2≤1.4x 1、x 2≥0习题1.3ma x z =50x 1+100x 2x 1 + x 2≤3002x 1 + x 2≤400x 2≤250图1—1x 2x 1、x 2≥0用图解法求解。
运筹学综合练习题
《运筹学》综合练习题第一章 线性规划及单纯形法1、教材43页——44页题2、教材44页题3、教材45页题4、教材46页题5、教材46页题6、补充：判断下述说法是否正确LP 问题的可行域是凸集。
LP 问题的基本可行解对应可行域的顶点。
LP 问题的最优解一定是可行域的顶点,可行域的顶点也一定是最优解。
若LP 问题有两个最优解,则它一定有无穷多个最优解.求解LP 问题时,对取值无约束的自由变量，通常令"-'=j j j x x x ,其中∶≥"'j j x x ,在用单纯形法求得的最优解中,不可能同时出现0"'j j x x .当用两阶段法求解带有大M 的LP 模型时，若第一阶段的最优目标函数值为零，则可断言原LP 模型一定有最优解。
7、补充：建立模型（1）某采油区已建有n 个计量站B 1，B 2…B n ，各站目前尚未被利用的能力为b 1，b 2…b n （吨液量/日）。
为适应油田开发的需要，规划在该油区打m 口调整井A 1，A 2…A m ，且这些井的位置已经确定。
根据预测，调整井的产量分别为a 1，a 2…a m （吨液量/日）。
考虑到原有计量站富余的能力，决定不另建新站，而用原有老站分工管辖调整井。
按规划要求，每口井只能属于一个计量站。
假定A i 到B j 的距离d ij 已知，试确定各调整井与计量站的关系，使新建集输管线总长度最短。
（2）靠近某河流有两个化工厂(见附图)，流经第一个工厂的河流流量是每天500万立方米；在两个工厂之间有一条流量为每天200万立方米的支流。
第一个工厂每天排放工业污水2万立方米；第二个工厂每天排放工业污水1.4万立方米 。
从第一个工厂排出的污水流到第二个工厂之前，有20%可自然净化。
根据环保要求，河流中工业污水的含量不应大于%，若这两个工厂都各自处理一部分污水，第一个工厂的处理成本是1000元/万立方米，第二个工厂的处理成本是800元/万立方米。
运筹学教程(第三版)习题答案(第一章)
b 3/2 1
c x1 0 1 0
d x2 1 0 0
0 x3 5/14
0 x4 -3/4
-2/14 10/35 -5/14d+2/14c 3/14d-10/14c
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第一章习题解答
之间时最优解为图中的A点 当c/d在3/10到5/2之间时最优解为图中的 点 ； 当 在 到 之间时最优解为图中的 c/d大于 且c大于等于 时最优解为图中的 点；当c/d 大于5/2且 大于等于 时最优解为图中的B点 大于等于0时最优解为图中的 大于 小于3/10且 d大于 时最优解为图中的 点 ； 当 c/d大于 大于0时最优解为图中的 小于 且 大于 时最优解为图中的C点 大于 5/2且c小于等于 时或当 小于 小于等于0时或当 小于3/10且d小于 时最优解 小于0时最优解 且 小于等于 时或当c/d小于 且 小于 为图中的原点。 为图中的原点。
page 7 14 March 2012
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第一章习题解答
对下述线性规划问题找出所有基解， 1.3 对下述线性规划问题找出所有基解，指出哪 些是基可行解，并确定最优解。 些是基可行解，并确定最优解。
max Z = 3 x1 + x 2 + 2 x 3 12 x1 + 3 x 2 + 6 x 3 + 3 x 4 = 9 8 x + x − 4 x + 2 x = 10 1 2 3 5 st 3 x1 − x 6 = 0 x j ≥ 0（ j = 1, L , 6） ,
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第一章线性规划1．1将下述线性规划问题化成标准形式1)min z＝－3x1＋4x2－2x3＋5 x4－x2＋2x3－x4＝－24xst. x1＋x2－x3＋2 x4 ≤14－2x1＋3x2＋x3－x4 ≥2x1，x2，x3≥0，x4无约束2)min z ＝2x1－2x2＋3x3＋x2＋x3＝4－xst. －2x1＋x2－x3≤6x1≤0 ，x2≥0，x3无约束1．2用图解法求解LP问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
1)min z＝2x1＋3x24x1＋6x2≥6st2x1＋2x2≥4x1，x2≥02)max z＝3x1＋2x22x1＋x2≤2st3x1＋4x2≥12x1，x2≥03)max z＝3x1＋5x26x1＋10x2≤120st5≤x1≤103≤x2≤84)max z＝5x1＋6x22x1－x2≥2st－2x1＋3x2≤2x1，x2≥01．3找出下述LP问题所有基解，指出哪些是基可行解，并确定最优解（1）min z＝5x1－2x2＋3x3＋2x4x1＋2x2＋3x3＋4x4＝7st2x1＋2x2＋x3 ＋2x4＝3x1，x2，x3，x4≥01．4 分别用图解法与单纯形法求解下列LP 问题，并对照指出最优解所对应的顶点。
1) maxz ＝10x 1＋5x 23x 1＋4x 2≤9 st 5x 1＋2x 2≤8 x 1，x 2≥02) maxz ＝2x 1＋x 2 3x 1＋5x 2≤15 st 6x 1＋2x 2≤24 x 1，x 2≥01．5 分别用大M 法与两阶段法求解下列LP 问题。
1) minz ＝2x 1＋3x 2＋x 3 x 1＋4x 2＋2x 3≥8 st 3x 1＋2x 2 ≥6 x 1，x 2 ，x 3≥02) max z ＝4x 1＋5x 2＋ x 3. 3x 1＋2x 2＋ x 3≥18 St. 2x 1＋ x 2 ≤4x 1＋ x 2－ x 3＝53) maxz ＝ 5x 1＋3x 2 +6x 3 x 1＋2x 2 －x 3 ≤ 18 st 2x 1＋x 2 －3 x 3 ≤ 16 x 1＋x 2 －x 3＝10 x 1，x 2 ，x 3≥01231231231231234)max 101512539561515.25,,0z x x x x x x x x x st x x x x x x =++++≤⎧⎪-++≤⎪⎨++≥⎪⎪≥⎩1．61.7某班有男生30人，女生20人，周日去植树。
解答 运筹学 第一章 线性规划及其单纯形法习题
解题技巧
明确目标函数和约束条件 画出线性规划图找出可行域 利用单纯形法求解最优解 注意变量的取值范围和约束条件的有效性
ห้องสมุดไป่ตู้意事项
线性规划问题需要满足线性约束条件 单纯形法需要满足可行域条件 注意线性规划问题的最优解可能不存在 注意单纯形法的迭代次数和收敛速度
感谢您的观看
汇报人：
判断是否达到最 优解
如果没有达到最 优解则进行迭代 计算直到达到最 优解
复杂线性规划问题的求解
线性规划问题的定 义和分类
单纯形法的基本原 理和步骤
单纯形法的应用实 例：求解复杂线性 规划问题
单纯形法的优缺点 和适用范围
线性规划问题的实际应用
资源分配：合理分配资源以 最大化收益或最小化成本
生产计划：确定最优的生产 计划以最小化成本或最大化 利润
线性约束条件：约束条件是线性的 即约束条件中的变量和常数的系数 都是常数。
添加标题
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线性目标函数：目标函数是线性的 即目标函数中的变量和常数的系数 都是常数。
线性规划问题的解：线性规划问题 的解是满足所有约束条件的一组变 量值使得目标函数达到最大值或最 小值。
线性规划问题的几何解释
线性规划问题的标准形式
目标函数：线性 函数表示要最大 化或最小化的目 标
约束条件：线性 不等式或不等式 组表示决策变量 的取值范围
决策变量：表示 问题的未知数可 以是连续的或离 散的
线性规划问题的解： 满足所有约束条件 的最优解可以是唯 一的或无穷多个
单纯形法的基本原理
第三章
单纯形法的概念
单纯形法是一种解决线性规划 问题的方法
单纯形法的基本原 理是通过迭代求解 线性规划问题的最 优解
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第一章线性规划1．1将下述线性规划问题化成标准形式1)min z＝－3x1＋4x2－2x3＋5 x4－x2＋2x3－x4＝－24xst. x1＋x2－x3＋2 x4 ≤14－2x1＋3x2＋x3－x4 ≥2x1，x2，x3≥0，x4无约束2)min z ＝2x1－2x2＋3x3＋x2＋x3＝4－xst. －2x1＋x2－x3≤6x1≤0 ，x2≥0，x3无约束1．2用图解法求解LP问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
1)min z＝2x1＋3x24x1＋6x2≥6st2x1＋2x2≥4x1，x2≥02)max z＝3x1＋2x22x1＋x2≤2st3x1＋4x2≥12x1，x2≥03)max z＝3x1＋5x26x1＋10x2≤120st5≤x1≤103≤x2≤84)max z＝5x1＋6x22x1－x2≥2st－2x1＋3x2≤2x1，x2≥01．3找出下述LP问题所有基解，指出哪些是基可行解，并确定最优解（1）min z＝5x1－2x2＋3x3＋2x4x1＋2x2＋3x3＋4x4＝7st2x1＋2x2＋x3 ＋2x4＝3x1，x2，x3，x4≥01．4 分别用图解法与单纯形法求解下列LP 问题，并对照指出最优解所对应的顶点。
1) maxz ＝10x 1＋5x 23x 1＋4x 2≤9 st 5x 1＋2x 2≤8 x 1，x 2≥02) maxz ＝2x 1＋x 2 3x 1＋5x 2≤15 st 6x 1＋2x 2≤24 x 1，x 2≥01．5 分别用大M 法与两阶段法求解下列LP 问题。
1) minz ＝2x 1＋3x 2＋x 3 x 1＋4x 2＋2x 3≥8 st 3x 1＋2x 2 ≥6 x 1，x 2 ，x 3≥02) max z ＝4x 1＋5x 2＋ x 3. 3x 1＋2x 2＋ x 3≥18 St. 2x 1＋ x 2 ≤4x 1＋ x 2－ x 3＝53) maxz ＝ 5x 1＋3x 2 +6x 3 x 1＋2x 2 －x 3 ≤ 18 st 2x 1＋x 2 －3 x 3 ≤ 16 x 1＋x 2 －x 3＝10 x 1，x 2 ，x 3≥01231231231231234)max 101512539561515.25,,0z x x x x x x x x x st x x x x x x =++++≤⎧⎪-++≤⎪⎨++≥⎪⎪≥⎩1．61.7某班有男生30人，女生20人，周日去植树。
运筹学习题答案(第一章)
c
x1
j
1
1 0
0 0
-2/14 10/35 -5/14d+2/14c 3/14d-10/14c
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page 13 15 June 2013
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第一章习题解答
当c/d在3/10到5/2之间时最优解为图中的A点；当 c/d大于5/2且c大于等于0时最优解为图中的B点；当c/d 小于3/10且d大于0时最优解为图中的C点；当c/d大于 5/2且c小于等于0时或当c/d小于3/10且d小于0时最优解 为图中的原点。
x1 0 0 0
x2 3 0 0
基可行解 x3 x4 x5 0 0 3.5 1.5 0 0 3 8 5
x6 0 0 0
Z 3 3 0
0.75
page 9 15 June 2013
0
0
0
2
2.25
2.25
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第一章习题解答
min Z 5 x 1 2 x 2 3 x 3 2 x 4 (2) x1 2 x 2 3 x 3 4 x 4 7 st 2 x 1 2 x 2 x 3 2 x 4 3 x j 0 , ( j 1, 4 )
该题是无穷多最优解。 最优解之一： x1 9 5 , x2 4 5 , x3 0, Z 6
page 19 15 June 2013
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第一章习题解答
max Z 4 x 1 x 2 3 x1 x 2 3 4 x1 3 x 2 x 3 6 st x 2 x2 x4 4 1 x j 0（ j 1, , 4） ,
解答-运筹学-第一章-线性规划及其单纯形法习题
项目 X1 X2 X3 X4
X5
X4 6 (b) (c) (d) 1 0
X5 1 -1
3 (e) 0 1
Cj-ZJ
(a) -1 2
00
X1 (f) (g) 2 -1 1/2 0
X5 4 (h) (i) 1 1/2 1
Cj-ZJ
0
-7A (j) (k) (l)
25
首先由于x1、x5为基变量，故g=1, h=0, l = 0
检验数j
14M 4M-2 6M-3 2M-1 -M -M
A
0
0
18
Cj
-2 -3 -1 0 0 -M -M 比
CB XB
b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 值
-M x6 8 1 4 2 -1 0 1 0 2
-M x7 6 3 2 0 0 -1 0 1 3
检验数j 14M 4M-2 6M-3 2M-1 -M -M 0 0
5 x2 15
s
t
.
6
x1 x1
2 x2 x2
24 5
x 1 , x 2 0
A
10
Cj
10 5 0 0 比
CB XB
b
x1
x2
x3
x4
值
0 x3
9
3
4
1
0 9/3=3
0 x4
8
5
20
1
8/5
检验数j 0 10 5 0 0
0 x3 21/5 0 14/5 1 -3/5 3/2
10 x1 8/5 1 2/5 0 1/5
4
x
2
12
x 1, x 2 0 无可行解
m ax Z x1 x2
运筹学课后习题答案
第一章线性规划1、由图可得：最优解为2、用图解法求解线性规划：Min z=2x1+x2解：由图可得：最优解x=1.6,y=6.43用图解法求解线性规划：Max z=5x1+6x2解：由图可得：最优解Max z=5x1+6x2, Max z= +4用图解法求解线性规划：Maxz = 2x 1 +x 2 由图可得：最大值⎪⎩⎪⎨⎧==+35121x x x ， 所以⎪⎩⎪⎨⎧==2321x xmax Z = 8.6将线性规划模型化成标准形式：Min z=x 1-2x 2+3x 3 解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中x 3’≥0,x 3’’≥0Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’7将线性规划模型化为标准形式Min Z =x1+2x2+3x3解：令Z’ = -z，引进松弛变量x4≥0,引进剩余变量x5≥0,得到一下等价的标准形式。
x2’=-x2 x3=x3’-x3’’Z’ = -min Z = -x1-2x2-3x39用单纯形法求解线性规划问题：Max Z =70x1+120x2解： Max Z =70x1+120x2单纯形表如下Max Z =3908.11.解：（1）引入松弛变量X4，X5，X6，将原问题标准化，得max Z=10X1+6X2+4X3X1+X2+X3+X4=10010 X1+4X2+5X3+X5=6002 X1+2X2+6X3+X6=300X1,X2,X3,X4,X5,X6≥0得到初始单纯形表：（2）其中ρ1 =C1-Z1=10-（0×1+0×10+0×2）=10，同理求得其他根据ρmax =max{10,6,4}=10,对应的X1为换入变量，计算θ得到，θmin =min{100/1,600/10,300/2}=60,X5为换出变量，进行旋转运算。
（3）重复（2）过程得到如下迭代过程ρj≤0，迭代已得到最优解，X*=（100/3，200/3，0，0，0，100）T，Z* =10×100/3+6×200/3+4×0 =2200/3。
第1章线性规划及单纯形法
线性规划及单纯形法一．选择1. 运筹学应用分析、试验、（C ）的方法，对经济管理系统中人、财、物等有限资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。
A 统筹B 量化C 优化D 决策2. 运筹学研究的基本手段是（A ）。
A 建立数学模型B 进行数学分析C 进行决策分析D 建立管理规范3. 运筹学研究的基本特点是（C ）。
A 进行系统局部独立分析B 考虑系统局部优化C 考虑系统的整体优化D 进行系统的整体决策4. 线性规划问题的数学模型包含三个组成要素：决策变量、目标函数、（B ）A 表达式B 约束条件C 方程变量D 价值系数5. 线性规划问题的基可行解X 对应线性规划问题可行域（凸集）的（C）A 边B 平面C 顶点D 内部6. 目标函数取极小化（min Z ）的线性规划问题可以转化为目标函数取极大化即（ C ）的线性规划问题求解A minZB min（ Z）C max（ Z）D maxZ7. 标准形式的线性规划问题，最优解（C ）是可行解A 一定B 一定不C 不一定D 无法确定8. 在线性规划问题中，称满足所有约束条件方程和非负限制的解为（C）。
A 最优解B 基可行解C 可行解D 基解9. 生产和经营管理中经常提出任何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益，这就是所谓的（ D ）A 管理问题B 规划问题C 决策问题D 优化问题10. 在线性规划问题中，图解法适合用于处理变量（B ）个的线性规划问题A 1B 2C 3D 411. 求解线性规划问题时，解的情况有:唯一最优解、无穷多最优解、（C ）、无可行解A 无解B 无基解C 无界解D 无基可行解12. 在用图解法求解的时，找不到满足约束条件的公共范围，这时问题有（D ），其原因是模型本身有错误，约束条件之间相互矛盾，应检查修正。
A 唯一最优解B 无穷多最优解C 无界解D 无可行解13. 线性规划问题的基可行解X X,, ,X n T为基可行解的充要条件是X的正分量所对应的系数列向量是（ B ）A 线性相关B 线性独立C 非线性独立D 无法判断14. 线性规划问题进行最优性检验和解的判别时，如果当j 0时，人工变量仍留在基本量中且不为零，（D ）A 唯一最优解B 无穷多最优解C 无界解D 无可行解15•如果集合C中任意两个点X,,X2其连线上的所有点也都是集合C中的点，称C为（B）A 集合B 凸集C 顶点D 子集 16.线性规划问题求解的时候，目标函数与某一个约束条件平行，则解的情况为（ D ）A 无穷多最优解B 无可行解C 唯一最优解D 无法确定17. 线性规划问题求解的时候 ,该线性规划问题有可行域，目标函数与某一个约束条件平行， 则解的情况为（ A ）A 无穷多最优解B 无可行解C 唯一最优解D 无法确定 18．运筹学涉及的主要领域是（ C ）A 技术问题B 经济问题C 管理问题D 以上都不是 19. 齐王赛马的故事运用运筹学的（ C ）理论。
运筹学习题精选
运筹学习题精选第一章线性规划及单纯形法选择1．在线性规划模型中，没有非负约束的变量称为……………………………………………………( C )A．多余变量 B．松弛变量 C．自由变量 D．人工变量2．约束条件为0AX的线性规划问题的可行解集b,≥=X 是………………………………………( B )A．补集 B．凸集 C．交集 D．凹集3．线性规划问题若有最优解，则一定可以在可行域的（ C）上达到。
A．内点 B．外点 C．顶点 D．几何点4．线性规划标准型中bi（i=1，2，……m）必须是…………………………………………………( B)A．正数 B．非负数 C．无约束 D．非零的5．线性规划问题的基本可行解X对应于可行域D 的………………………………………………( D)A．外点 B．所有点 C．内点 D．极点6．基本可行解中的非零变量的个数小于约束条件数时，该问题可求得……………………………( B ) A．基本解 B．退化解 C．多重解 D．无解7．满足线性规划问题全部约束条件的解称为…………………………………………………( C )A．最优解 B．基本解 C．可行解 D．多重解8．线性规划一般模型中，自由变量可以用两个非负变量的（B ）代换。
A．和 B．差 C．积 D．商9．当满足最优检验，且检验数为零的变量的个数大于基变量的个数时，可求得………………………( A )A ．多重解B ．无解C ．正则解D ．退化解 10．若线性规划问题有最优解，则必定存在一个( D )是最优解。
A ．无穷多解 B. 基解 C. 可行解 D. 基可行解 填空计算 1． 某厂生产甲、乙、丙三种产品，已知有关数据如下表所示,求使该厂获利最大的生产计划。
2． 目标函数为max Z =28x4+x5+2x6，约束形式为“≤”，且x1，x2，x3为松弛变量，表中的解代入目标函数中得Z=14，求出a~g 的值，并判断是否→j c 0 0 0 28 1 2B C 基 b 1x 2x 3x 4x5x 6x 2 6x A 3 0 -14/3 0 1 1 0 2x 5 6 D 2 0 5/2 0 28 4x 0 0 E F 1 0 0 j j z c - B C 0 0 -1 G3． 某工厂生产A 、B 两种产品，已知生产A 每公斤要用煤6吨、电4度、劳动力3个；生产B 每公斤要用煤4吨、电5度、劳动力10个。
第一章线性规划及单纯形法习题
第一章 线性规划及单纯形法习题1.用图解法求解下列线性规划问题,并指出问题具有唯一最优解、无穷最优解还是无可行解。
（1）⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++=0,42266432min 21212121x x x x x x x x z (2) ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++=0,12432223max 21212121x x x x x x x x(3) ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤++=83105120106max 212121x x x x x x z (4)⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-+=0,2322265max 12212121x x x x x x x x z 2.将下列线性规划问题化成标准形式。
(1)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-++-≤+-+-=-+-+-+-=无约束43214321432143214321,0,,2321422245243min x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z (2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≥-++-≤-+-=++-+-=无约束3214321321321321,0,023*******min x x x x x x x x x x x x x x x x z3.对下列线性规划问题找出所有基本解，指出哪些是基可行解，并确定最优解。
(1) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=-=+-+=+++++=)6,,1(0231024893631223min 6143214321321 j x x x x x x x x x x x x x x z j (2)⎪⎩⎪⎨⎧=≥=+++=+++++-=)4,,1(01022274322325min 432143214321 j x x x x x x x x x x x x x z j4.分别用图解发法和单纯形法求解下述问题，并对照单纯形表中的各基本可行解对应图解法中可行域的哪一顶点。
(1) ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=0,825943510max 12212121x x x x x x x x z (2) ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=0,242615532max 12212121x x x x x x x x z/5.上题（1）中，若目标函数变为21m ax dx cx z +=，讨论c,d 的值如何变化，使该问题可行域的每一顶点依次使目标函数达到最优。
运筹学_第1章_线性规划习题
第一章线性规划习题1.1（生产计划问题）某企业利用A、B、C三种资源，在计划期内生产甲、乙两种产品，已知生产单位产品资源的消耗、单位产品利润等数据如下表，问如何安排生产计划使企业利润最大？解：设x1、x2分别代表甲、乙两种产品的生产数量（件），z表示公司总利润。
依题意，问题可转换成求变量x1、x2的值，使总利润最大，即ma x z=50x1+100x2且称z=50x1+100x2为目标函数。
同时满足甲、乙两种产品所消耗的A、B、C三种资源的数量不能超过它们的限量，即可分别表示为x1 + x2≤3002x1 + x2≤400x2≤250且称上述三式为约束条件。
此外，一般实际问题都要满足非负条件，即x1≥0、x2≥0。
这样有ma x z=50x1+100x2x1 + x2≤3002x1 + x2≤400x2≤250x1、x2≥0习题1.2 靠近某河流有两个化工厂，流经第一化工厂的河流流量为每天500万m 3，在两个工厂之间有一条流量为200万m 3的支流。
两化工厂每天排放某种有害物质的工业污水分别为2万m 3和1.4万m 3。
从第一化工厂排出的工业污水流到第二化工厂以前，有20%可以自然净化。
环保要求河流中工业污水含量不能大于0.2%。
两化工厂处理工业污水的成本分别为1000元/万m 3和800元/万m 3。
现在要问在满足环保要求的条件下，每厂各应处理多少工业污水，使这两个工厂处理工业污水的总费用最小。
解：设x 1、x 2分别代表工厂1和工厂2处理污水的数量(万m 3)。
则问题的目标可描述为min z =1000x 1+800x 2 约束条件有第一段河流（工厂1——工厂2之间）环保要求 (2－x 1)/500 ≤0.2% 第二段河流（工厂2以下河段）环保要求 [0.8(2－x 1) +(1.4－x 2)]/700≤0.2% 此外有x 1≤2； x 2≤1.4 化简得到min z =1000x 1+800x 2 x 1 ≥1 0.8x 1 + x 2 ≥1.6 x 1 ≤2 x 2≤1.4 x 1、x 2≥0习题1.3ma x z =50x 1+100x 2x 1 + x 2≤300 2x 1 + x 2≤400x 2≤250图1—1 x 2x1、x2≥0用图解法求解。
运筹学习题答案(第一章)
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第一章习题解答
对下述线性规划问题找出所有基解， 1.3 对下述线性规划问题找出所有基解，指出哪 些是基可行解，并确定最优解。 些是基可行解，并确定最优解。
max Z = 3 x1 + x 2 + 2 x 3 12 x1 + 3 x 2 + 6 x 3 + 3 x 4 = 9 8 x + x − 4 x + 2 x = 10 1 2 3 5 st 3 x1 − x 6 = 0 x j ≥ 0（ j = 1, L , 6） ,
page 6 9 April 2011
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第一章习题解答
(2) min st x 1 Z = 2 x1 − 2 x 2 + 3 x 3 − x1 + x 2 + x 3 = 4 − 2 x1 + x 2 − x 3 ≤ 6 ≤ 0 , x 2 ≥ 0 , x 3 无约束
page 12 9 April 2011
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第一章习题解答
l.5 上题 中，若目标函数变为 上题(1)中 若目标函数变为max Z = cx1 + dx2， 讨论c,d的值如何变化 的值如何变化， 讨论 的值如何变化，使该问题可行域的每个顶点依 次使目标函数达到最优。 次使目标函数达到最优。 得到最终单纯形表如下： 解：得到最终单纯形表如下： Cj→ CB d c 基 x2 x1 σj
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《运筹学》(第二版)课后习题参考答案
0
0
0
b
0
d
4
1
0
0
0
2
－1
－5
0Hale Waihona Puke 1003
－3
0
0
1
0
0
0
解：（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） 为人工变量，且 为包含M的大于零的数， ；或者 为人工变量，且 为包含M的大于零的数， ．
7．用大M法求解如下线性规划。
s.t.
解：加入人工变量，进行人造基后的数学模型如下：
《管理运筹学》（第二版）课后习题参考答案
第1章线性规划（复习思考题）
1．什么是线性规划？线性规划的三要素是什么？
答：线性规划（Linear Programming，LP）是运筹学中最成熟的一个分支，并且是应用最广泛的一个运筹学分支。线性规划属于规划论中的静态规划，是一种重要的优化工具，能够解决有限资源的最佳分配问题。
2/8
0
8
6
1
1
0
1
8/6
4
1
2
0
0
4
1/4
1
3/8
[1/8]
1/8
0
(1/4)/(1/8)
0
13/2
6
－5/4
1/4
－3/4
1
(13/2)/(1/4)
0
－1/2
3/2
-1/2
0
2
2
8
3
1
1
0
0
6
－2
－2
0
－1
1
－12
运筹学第1章线性规划及单纯形法复习题
max (min)
Z = CX
AX ≤ ( = , ≥ ) b X ≥ 0
3、线性规划的标准形式 、
ma0
4、线性规划问题的解 、 （一）求解方法
一 般 有 两种方法 图 解 法 单纯形法 两个变量、 两个变量、直角坐标 三个变量、 三个变量、立体坐标
适用于任意多个变量、 适用于任意多个变量、但需将 一般形式变成标准形式
（二）线性规划问题的解
1、解的概念 可行解：满足约束条件② 的解为可行解。 ⑴ 可行解：满足约束条件②、③的解为可行解。 所有解的集合为可行解的集或可行域。 所有解的集合为可行解的集或可行域。 最优解： 达到最大值的可行解。 ⑵ 最优解：使目标函数①达到最大值的可行解。 ⑶ 基：B是矩阵A中m×m阶非奇异子矩阵 是矩阵A ≠0）， ），则 是一个基。 （∣B∣≠0），则B是一个基。
§2 图 解 法
例一、 例一、 max
Z = 2 x 2 x 2 x 4 x
2 2 1
+ 3 x
2
2 x1 + x + 1 4 x1 x1 ≥
≤ 12 ≤ 8 ≤ 16 ≤ 12
2
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
2
0, x
≥ 0
max
Z = 2 x1 + 3 x 2 x 2 x
2 2
当xj=0时, 必有 j=zj=0, 因此 时 必有y
∑P x = ∑P y = ∑P z
j =1
r
r
r
r
j
j
j =1
j
j
j =1
j
j
=b
∑(y
j =1
j
− z j ) Pj = 0
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-M x6 8 1 4 2 -1 0 1 0
-M x7 6 3 2 0 0 -1 0 1
检验数j 0 -2 -3 -1 0 0 -M -M
Cj CB XB
-2 -3 -1 0 0 -M -M 比
b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 值
-M x6 8 1 4 2 -1 0 1 0
-M x7 6 3 2 0 0 -1 0 1
A
1 2
2 2
3 1
4 2
p1 p2 p3 p4
序号 向量组
A
1 2
2 2
3 1
4 2
是否线性无关 是否为基
1
p1 p2
√
√
2
p1 p3
√
√
3
p1 p4
√
√
4
p2 p3
√
√
5
p2 p4
√
√
6
p3 p4
√
√
序号 1
基 p1 p2
基解
(-4, 11/2, 0 , 0)
是否为基可行解
×
2
p1 p3
(2/5, 0, 11/5 , 0) √
10/2=5
1 -3 0 -2 0
0
1
1
-1 -2
0 1/2 0 1/2 1/2 1 -3/2 0 -1/2 1/2
0 -3/2 0 -3/2 -1/2
同理： （2）为无界解
3 用单纯形法中的大M法求解下列线性规划问题，并指出属 那一类解
min Z 2x1 3x2 x3
化为标准式有
st. 3x1x1
4x2 2x2
9 8
x1, x2 0
max Z 2x1 x2
5x2 15
st.
6xx11
2
x2 x2
24 5
x1, x2 0
Cj
10 5 0 0 比
CB XB
b
x1
x2
x3
x4
值
0 x3
9
3
4
1
0 9/3=3
0 x4
8
5
20
1
8/5
检验数j 0 10 5 0 0
0 x3 21/5 0 14/5 1 -3/5 3/2
不是基，故 X (5,15, 0, 20, 0)
不是基解，更不可能是基可行解
2 1 0
1 3
0
4 7 1
X (9, 7, 0, 0, 0)
是基，故 X (9, 7, 0, 0,8) 是基解
又由于其每个分量非负，故为基可行解 为非可行域上的点，故不是
2 1 1 0 0
A 1 3
0
1
0
k=0－（3×1/2＋0×1/2）＝－3/2
综上所述：
a=3, b=2, c=4, d=-2, e=2, f=3, g=1, h=0 i=5, j=5, k=-3/2, l=0
7、设 X 0 是线性规划问题 max z CX , AX b, X 0
的最优解。若目标函数中用 C 代替 C后，问题的最
检验数j 14M 4M-2 6M-3 2M-1 -M -M 0 0
Cj
-2 -3 -1 0 0 -M -M 比
CB XB
b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 值
-M x6 8 1 4 2 -1 0 1 0 2
-M x7 6 3 2 0 0 -1 0 1 3
检验数j 14M 4M-2 6M-3 2M-1 -M -M 0 0
课后练习（一）
1 用图解法求下列线性规划问题，并指出问题具有唯一
最优解、无穷多最优解、无界界还是无可行解。
min Z 2x1 3x2
4x1 6x2 6 s.t 4x1 2x2 4
x1, x2 0
无穷多最优解
max Z 3x1 2x2
2x1 x2 2
s.t.3x1 4x2 12
st.
x1 x2 x3 4 2x1 x2 x3 6
x1 0, x2 0, x3无约束
解：
max Z ' 2x1' 2x2 3(x3' x3'' ) 0x4
st.
x1' 2 x1'
x2 (x3' x3'' )
4
x2 (x3' x3'' ) x4 6
x1'
2
4
2 24
2
4
4/5
Cj CB XB -3 x2 -M x7 检验数j
-2 -3 -1 0 0 -M -M 比
b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 值
2 1/4 1 1/2 -1/4 0 1/4 0 8
2 5/2 0 -1 1/2 -1 -1/2 1
2M 6 5 M 5 0 M 1 M 3 M 3 M 3 0
22
2
2
4、求解线性规划问题当某一变量的取值无约束时，通
常用 xj x'j x'j' 来替换，其中 x'j 0 ，x'j' 0。
试说明，能否在基变量中同时出现，为什么？
不可能。因为 Pj' Pj'' 故 Pj' Pj'' 0
5、 下表为用单纯形法计算时某一步的表格。已知该线
性规划的目标函数为 max Z 5x1 3x2约束形式为
10 x1 8/5 1 2/5 0 1/5
4
检验数j -80/5 0
1
0
-2
5 x2 3/2 0
10 x1 1
1
检验数j -175/10 0
1 5/14 -3/14 0 -1/7 2/7 0 -5/14 -25/14
同理： （2） X*=(3.5, 1.5, 7.5, 0, 0) Z*=8.5
2 用单纯形法求解下列线性规划问题
4x2 2x2
2x3
8 6
x1, x2 , x3 0
max Z 2x1 3x2 x3 0x4 0x5 Mx6 Mx7
st. 3x1x1
4x2 2x3 x4
x6
8
2x2
x5
x7 6
x1~7 0
Cj
-2 -3 -1 0 0 -M -M 比
CB XB
b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 值
优解变为 X
求证： (C C)( X X 0 ) 0
证明：因为 CX 0 CX *故C( X * X 0 ) 0 又C* X * C* X 0 , 有C*( X * X 0 ) 0
xj 0 ( j 1, 2,3, 4)
Cj
2 -1 1 0 0 0 比
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
值
0
x4
60
3
1
1
1
0
0 60/3=20
0
x5 10
1
-1 2
0
1
0 10/1=10
0
x6 20
1
1
-1
0
0
1 20/1=20
检验数j 0
2 -1 1
0
0
0
0
x4 30
0
2
x1 10
1
0
x6 10
再有
B1
1/ 1/
2 2
0 1
那么
1/ 2 1/ 2
0 b c 1 1 3
d e
1 0
2 i
1
1
½ b=1 ½ c=2 ½ d=-1 ½ c+3=i ½ d+e=1
b=2 c=4 d=-2 i=5 e=2
又有
B1b
1/ 1/
2 2
0 1
6 1
f 4
f=3
还剩下检验数 a、j、k
m
检验数的定义为 j c j ciaij i 1
4 7 1 2 1
2 1 1
1
3
0
不是基，故
X (15,5,10, 0, 0)
4 7 1
不是基解，更不可能是基可行解
课后练习（二）
1、分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划问题，并 指出单纯形法迭代的每一步相当于图解法可行域中的哪一 个顶点
max Z 10x1 5x2
st. 35xx11
0 1 0 0 1
1 0 1 1 2 0 0 1 0
是基
0 1 0 2 0 1 是基 1 0 0
1 1 0 1 0 0 0 0 1
是基
基解有(a), (b), (f); 基可行解有(a) (f).
5 已知某线性规划问题的约束条件为
2x1 x2 x3
25
st.4xx11
3x2 7x2
x3
x4 2x4
4
下表中所列的解均满足约束条件1-3，试指出表中哪些是可行
解，哪些是基解，哪些是基可行解。
序号
X1
X2
X3
X4
X5
A
2
4
3
0
0
B
10
0
-5
0
4
C
3
0
2
7
4
D
1
4.5
4
0
-0.5
E
0
2
5
6
2
F
0
4
5
2
0
可行解有(a), (c), (e), (f);
p1 p2 p3 p4 p5
1 0 1 0 0 A 1 2 0 1 0