运筹学 第1章 线性规划习题
运筹学课后习题答案
第一章 线性规划1、由图可得：最优解为2、用图解法求解线性规划： Min z=2x 1+x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+-01058244212121x x x x x x解：由图可得：最优解x=1.6,y=6.4Max z=5x 1+6x 2⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-0,23222212121x x x x x x解：由图可得：最优解Max z=5x 1+6x 2, Max z= +∞Maxz = 2x 1 +x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤0,5242261552121211x x x x x x x由图可得：最大值⎪⎩⎪⎨⎧==+35121x x x ， 所以⎪⎩⎪⎨⎧==2321x xmax Z = 8.1212125.max 23284164120,1,2maxZ .jZ x x x x x x x j =+⎧+≤⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥=⎩如图所示，在（4，2）这一点达到最大值为26将线性规划模型化成标准形式：Min z=x 1-2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-=++-≥+-≤++无约束321321321321,0,052327x x x x x x x x x x x x解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中x 3’≥0,x 3’’≥0Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≥≥≥-=++-=--+-=+-++0,0,0'',0',0,05232'''7'''5433213215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x7将线性规划模型化为标准形式Min Z =x 1+2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-=--≥++-≤++无约束，321321321321,00632442392-x x x x x x x x x x x x解：令Z ’ = -z ，引进松弛变量x 4≥0,引进剩余变量x 5≥0,得到一下等价的标准形式。
运筹学习题
运筹学复习题第一章 线性规划及单纯形法一、单选题1. 线性规划具有无界解是指A. 可行解集合无界B. 有相同的最小比值C. 存在某个检验数0k λ>，且0(1,2,,)ik a i m ≤=D. 最优表中所有非基变量的检验数非零 2. 线性规划具有唯一最优解是指A. 最优表中非基变量检验数全部非零B. 不加入人工变量就可进行单纯形法计算C. 最优表中存在非基变量的检验数为零D. 可行解集合有界 3. 线性规划具有多重最优解是指A. 目标函数系数与某约束系数对应成比例B. 最优表中存在非基变量的检验数为零C. 可行解集合无界D. 基变量全部大于零 4. 使函数Z=-x 1+x 2+2x 3 减小最快的方向是A. (-1,1,2)B. (1,-1,-2)C. (1,1,2)D. (-1,-1,-2) 5. 当线性规划的可行解集合非空时一定 A. 包含点X =(0,0,···,0) B. 有界 C. 无界 D. 是凸集 6. 线性规划的退化基可行解是指A. 基可行解中存在为零的非基变量B. 基可行解中存在为零的基变量C. 非基变量的检验数为零D. 所有基变量不等于零 7. 线性规划无可行解是指A. 第一阶段最优目标函数值等于零B. 进基列系数非正C. 用大M 法求解时，最优解中还有非零的人工变量D. 有两个相同的最小比值 8. 若线性规划不加入人工变量就可以进行单纯形法计算A. 一定有最优解B. 一定有可行解C. 可能无可行解D. 全部约束是小于等于的形式 9. 设线性规划的约束条件为123124222401234 (,,,)jx x x x x x x j ⎧++=⎪++=⎨⎪≥=⎩ 则非退化基本可行解是A. (2， 0，0， 0)B. (0，2，0，0)C. (1，1，0，0)D. (0，0，2，4) 10. 设线性规划的约束条件为123124222401234 (,,,)jx x x x x x x j ⎧++=⎪++=⎨⎪≥=⎩ 则非可行解是A. (2，0，0， 0)B. (0，1，1，2)C. (1，0，1，0)D. (1，1，0，0) 11. 线性规划可行域的顶点一定是A. 可行解B. 非基本解C. 非可行解D. 是最优解 12. 1234min z x x =+1212124220,x x x x x ⎧+≥⎪+≤⎨⎪≥⎩ A. 无可行解 B.有唯一最优解 C.有无界解 D.有多重最优解13. 12122124432450,max z x x x x x x =-⎧+≤⎪≤⎨⎪≥⎩A. 无可行解B. 有唯一最优解C. 有多重最优解D. 有无界解 14. X 是线性规划的基本可行解则有A. X 中的基变量非负，非基变量为零B. X 中的基变量非零，非基变量为零C. X 不是基本解D. X 不一定满足约束条件 15. X 是线性规划的可行解，则错误的结论是A. X 可能是基本解B. X 可能是基本可行解C. X 满足所有约束条件D. X 是基本可行解 16. 下例错误的说法是A. 标准型的目标函数是求最大值 B 标准型的目标函数是求最小值 C. 标准型的常数项非正 D. 标准型的变量一定要非负 17. 为什么单纯形法迭代的每一个解都是可行解？答：因为遵循了下列规则 A. 按最小比值规则选择换出变量B. 先进基后出基规则C. 标准型要求变量非负规则D. 按检验数最大的变量选择换入变量 18. 线性规划标准型的系数矩阵A m×n ，要求A. 秩(A )=m 并且m <nB. 秩(A )=m 并且m <=nC. 秩(A )=m 并且m =nD. 秩(A )=n 并且n <m 19. 下例错误的结论是A. 检验数是用来检验可行解是否是最优解的数B. 检验数是目标函数用非基变量表达的系数C. 不同检验数的定义其检验标准也不同D. 检验数就是目标函数的系数 20. 对取值为无约束的变量j x ，通常令'''j j j x x x =-，其中''',0j j x x ≥；在用单纯形法求得的解中不可能出现A. '0j x =,''0j x ≥ B. '0j x =,''0j x = C. '0j x >,''0>j x D. '0j x >,''0j x =21．运筹学是一门A. 定量分析的学科B. 定性分析的学科C. 定量与定性相结合的学科D. 定量与定性相结合的学科，其中分析与应用属于定性分析，建立模型与求解属于定量分析二、设某种动物每天至少需要700克蛋白质、30克矿物质、100毫克维生素。
运筹学习题集(第一章)
判断题判断正误，如果错误请更正第1章线性规划1.任何线形规划一定有最优解。
2.若线形规划有最优解，则一定有基本最优解。
3.线形规划可行域无界，则具有无界解。
4.在基本可行解中非基变量一定为0。
5.检验数λj表示非基变量Xj增加一个单位时目标函数值的改变量。
6.minZ=6X1+4X2｜X1-2X｜︳<=10 是一个线形规划模型X1+X2=100X1>=0,X2>=07.可行解集非空时,则在极点上至少有一点达到最优解.8.任何线形规划都可以化为下列标准型Min Z=∑C j X j∑a ij x j=b1, i=1,2,3……，mX j>=0,j=1,2,3,……，n:b i>=0,i=1,2,3,……m9.基本解对应的基是可行基.10.任何线形规划总可用大M 单纯形法求解.11.任何线形规划总可用两阶段单纯形法求解。
12.若线形规划存在两个不同的最优解，则必有无穷多个最优解。
13.两阶段中第一阶段问题必有最优解。
14.两阶段法中第一阶段问题最优解中基变量全部非人工变量，则原问题有最优解。
15.人工变量一旦出基就不会再进基。
16.普通单纯形法比值规则失效说明问题无界。
17.最小比值规则是保证从一个可行基得到另一个可行基。
18.将检验数表示为λ=C B B-1A-的形式，则求极大值问题时基本可行解是最优解的充要条件为λ》=0。
19.若矩阵B为一可行基，则｜B｜≠0。
20.当最优解中存在为0的基变量时，则线形规划具有多重最优解。
选择题在下列各题中，从4个备选答案中选出一个或从5个备选答案中选出2~5个正确答案。
第1章线性规划1.线形规划具有无界解是指：A可行解集合无界B有相同的最小比值C存在某个检验数λk>0且a ik<=0（i=1，2，3，……，m） D 最优表中所有非基变量的检验数非0。
2.线形规划具有多重最优解是指：A 目标函数系数与某约束系数对应成比例B最优表中存在非基变量的检验数为0 C可行解集合无界D存在基变量等于03.使函数Z=-X1+X2-4X3增加的最快的方向是：A （-1，1，-4）B（-1，-1，-4）C（1，1，4）D（1，-1，-4-）4.当线形规划的可行解集合非空时一定A包含原点X=（0，0，0……）B有界C 无界D 是凸集5.线形规划的退化基本可行解是指A基本可行解中存在为0的基变量B非基变量为C非基变量的检验数为0 D最小比值为06.线形规划无可行解是指A进基列系数非正B有两个相同的最小比值C第一阶段目标函数值大于0 D用大M法求解时最优解中含有非0的人工变量E可行域无界7.若线性规划存在可行基，则A一定有最优解B一定有可行解C可能无可行解D可能具有无界解E全部约束是〈=的形式8.线性规划可行域的顶点是A可行解B非基本解C基本可行解D最优解E基本解9.minZ=X1-2X2，-X1+2X2〈=5，2X1+X2〈=8，X1，X2〉=0，则A有惟一最优解B有多重最优解C有无界解D无可行解E存在最优解10.线性规划的约束条件为X1+X2+X3=32X1+2X2+X4=4X1，X2，X3，X4〉=0 则基本可行解是A（0，0，4，3）B（0，0，3，4）C（3，4，0，0）D（3，0，0，-2）计算题1.1 对于如下的线性规划问题MinZ= X1+2X2s.t. X1+ X2≤4-X1+ X2≥1X2≤3X1, X2≥0的图解如图所示。
运筹学版熊伟编著习题答案
运筹学（第3版）习题答案P36 P74 P88 P105 P142 P173 P195 P218 P248 P277 P304 品P343 P371全书420页第1章 线性规划工厂每月生产A 、B 、C 三种产品 ,单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源限量及单件产品利润如表1－23所示．产品 资源 A B C 资源限量 材料(kg) 4 2500 设备(台时) 3 1400 利润(元/件)101412310和130.试建立该问题的数学模型,使每月利润最大．【解】设x 1、x 2、x 3分别为产品A 、B 、C 的产量，则数学模型为123123123123123max 1014121.5 1.2425003 1.6 1.21400150250260310120130,,0Z x x x x x x x x x x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎪⎪≤≤⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎪≥⎪⎩ 建筑公司需要用5m 长的塑钢材料制作A 、B 两种型号的窗架．两种窗架所需材料规格及数量如表1－24所示：型号A 型号B 每套窗架需要材料长度（m ） 数量(根)长度(m) 数量(根)A 1：2 2B 1： 2 A 2：3 B 2：23需要量（套）300400问怎样下料使得（1）用料最少；（2）余料最少． 【解 方案 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 需要量 B1 2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 800 B2 2 0 1 0 0 2 1 1 0 0 0 1200 A1 2 0 0 1 0 0 1 0 2 1 0 600 A2120 2 3 900 余料(m) 0 1 1 1 01设x j （j =1,2,…，10）为第j 种方案使用原材料的根数，则 （1）用料最少数学模型为10112342567368947910min 28002120026002239000,1,2,,10jj j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x j ==⎧+++≥⎪+++≥⎪⎪+++≥⎨⎪+++≥⎪⎪≥=⎩∑ （2）余料最少数学模型为2345681012342567368947910min 0.50.50.52800212002*********0,1,2,,10j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j =++++++⎧+++≥⎪+++≥⎪⎪+++≥⎨⎪+++≥⎪⎪≥=⎩某企业需要制定1～6月份产品A 的生产与销售计划。
(完整版)《运筹学》习题集
第一章线性规划1．1将下述线性规划问题化成标准形式1)min z＝－3x1＋4x2－2x3＋5 x4－x2＋2x3－x4＝－24xst. x1＋x2－x3＋2 x4 ≤14－2x1＋3x2＋x3－x4 ≥2x1，x2，x3≥0，x4无约束2)min z ＝2x1－2x2＋3x3＋x2＋x3＝4－xst. －2x1＋x2－x3≤6x1≤0 ，x2≥0，x3无约束1．2用图解法求解LP问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
1)min z＝2x1＋3x24x1＋6x2≥6st2x1＋2x2≥4x1，x2≥02)max z＝3x1＋2x22x1＋x2≤2st3x1＋4x2≥12x1，x2≥03)max z＝3x1＋5x26x1＋10x2≤120st5≤x1≤103≤x2≤84)max z＝5x1＋6x22x1－x2≥2st－2x1＋3x2≤2x1，x2≥01．3找出下述LP问题所有基解，指出哪些是基可行解，并确定最优解（1）min z＝5x1－2x2＋3x3＋2x4x1＋2x2＋3x3＋4x4＝7st2x1＋2x2＋x3 ＋2x4＝3x1，x2，x3，x4≥01．4 分别用图解法与单纯形法求解下列LP 问题，并对照指出最优解所对应的顶点。
1) maxz ＝10x 1＋5x 23x 1＋4x 2≤9 st 5x 1＋2x 2≤8 x 1，x 2≥02) maxz ＝2x 1＋x 2 3x 1＋5x 2≤15 st 6x 1＋2x 2≤24 x 1，x 2≥01．5 分别用大M 法与两阶段法求解下列LP 问题。
1) minz ＝2x 1＋3x 2＋x 3 x 1＋4x 2＋2x 3≥8 st 3x 1＋2x 2 ≥6 x 1，x 2 ，x 3≥02) max z ＝4x 1＋5x 2＋ x 3. 3x 1＋2x 2＋ x 3≥18 St. 2x 1＋ x 2 ≤4x 1＋ x 2－ x 3＝53) maxz ＝ 5x 1＋3x 2 +6x 3 x 1＋2x 2 －x 3 ≤ 18 st 2x 1＋x 2 －3 x 3 ≤ 16 x 1＋x 2 －x 3＝10 x 1，x 2 ，x 3≥01231231231231234)max 101512539561515.25,,0z x x x x x x x x x st x x x x x x =++++≤⎧⎪-++≤⎪⎨++≥⎪⎪≥⎩1．61.7某班有男生30人，女生20人，周日去植树。
运筹学 第1章 线性规划习题
第一章线性规划习题1.1（生产计划问题）某企业利用A、B、C三种资源，在计划期内生产甲、乙两种产品，已知生产单位产品资源的消耗、单位产品利润等数据如下表，问如何安排生产计划使企业利润最大？表1—1产品单耗资源甲乙资源限制A B C 12111300kg400kg250kg单位产品利润（元/件）50100解：设x1、x2分别代表甲、乙两种产品的生产数量（件），z表示公司总利润。
依题意，问题可转换成求变量x1、x2的值，使总利润最大，即ma x z=50x1+100x2且称z=50x1+100x2为目标函数。
同时满足甲、乙两种产品所消耗的A、B、C三种资源的数量不能超过它们的限量，即可分别表示为x1 + x2≤3002x1 + x2≤400x2≤250且称上述三式为约束条件。
此外，一般实际问题都要满足非负条件，即x1≥0、x2≥0。
这样有ma x z=50x1+100x2x1 + x2≤3002x1 + x2≤400x2≤250x1、x2≥0习题1.2 靠近某河流有两个化工厂，流经第一化工厂的河流流量为每天500万m 3，在两个工厂之间有一条流量为200万m 3的支流。
两化工厂每天排放某种有害物质的工业污水分别为2万m 3和1.4万m 3。
从第一化工厂排出的工业污水流到第二化工厂以前，有20%可以自然净化。
环保要求河流中工业污水含量不能大于0.2%。
两化工厂处理工业污水的成本分别为1000元/万m 3和800元/万m 3。
现在要问在满足环保要求的条件下，每厂各应处理多少工业污水，使这两个工厂处理工业污水的总费用最小。
解：设x 1、x 2分别代表工厂1和工厂2处理污水的数量(万m 3)。
则问题的目标可描述为min z =1000x 1+800x 2约束条件有第一段河流（工厂1——工厂2之间）环保要求 (2－x 1)/500 ≤0.2%第二段河流（工厂2以下河段）环保要求[0.8(2－x 1) +(1.4－x 2)]/700≤0.2%此外有x 1≤2； x 2≤1.4化简得到min z =1000x 1+800x 2x 1 ≥10.8x 1 + x 2 ≥1.6x 1 ≤2x 2≤1.4x 1、x 2≥0习题1.3ma x z =50x 1+100x 2x 1 + x 2≤3002x 1 + x 2≤400x 2≤250图1—1x 2x 1、x 2≥0用图解法求解。
《运筹学》习题线性规划部分练习题及答案整理版
《运筹学》习题线性规划部分练习题及答案整理版《运筹学》线性规划部分练习题⼀、思考题1.什么是线性规划模型，在模型中各系数的经济意义是什么？2 .线性规划问题的⼀般形式有何特征？3.建⽴⼀个实际问题的数学模型⼀般要⼏步？4.两个变量的线性规划问题的图解法的⼀般步骤是什么？5.求解线性规划问题时可能出现⼏种结果，那种结果反映建模时有错误？6.什么是线性规划的标准型，如何把⼀个⾮标准形式的线性规划问题转化成标准形式。
7?试述线性规划问题的可⾏解、基础解、基础可⾏解、最优解、最优基础解的概念及它们之间的相互关系。
8?试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题具有唯⼀最优解、有⽆穷多个最优解、⽆界解或⽆可⾏解。
9.在什么样的情况下采⽤⼈⼯变量法，⼈⼯变量法包括哪两种解法？10.⼤M法中，M的作⽤是什么？对最⼩化问题，在⽬标函数中⼈⼯变量的系数取什么？最⼤化问题呢？11 ?什么是单纯形法的两阶段法？两阶段法的第⼀段是为了解决什么问题？在怎样的情况下，继续第⼆阶段？⼆、判断下列说法是否正确。
1.线性规划问题的最优解⼀定在可⾏域的顶点达到。
2.线性规划的可⾏解集是凸集。
3.如果⼀个线性规划问题有两个不同的最优解，则它有⽆穷多个最优解。
4.线性规划模型中增加⼀个约束条件，可⾏域的范围⼀般将缩⼩，减少⼀个约束条件，可⾏域的范围⼀般将扩⼤。
5 .线性规划问题的每⼀个基本解对应可⾏域的⼀个顶点。
6.如果⼀个线性规划问题有可⾏解，那么它必有最优解。
7.⽤单纯形法求解标准形式（求最⼩值）的线性规划问题时，与j' 0对应的变量都可以被选作换⼊变量。
8 .单纯形法计算中，如不按最⼩⾮负⽐值原则选出换出变量，则在下⼀个解中⾄少有⼀个基变量的值是负的。
9.单纯形法计算中，选取最⼤正检验数⼆k对应的变量xk作为换⼊变量，可使⽬标函数值得到最快的减少。
10 . ⼀旦⼀个⼈⼯变量在迭代中变为⾮基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，⽽不影响计算结果。
解答-运筹学-第一章-线性规划及其单纯形法习题
项目 X1 X2 X3 X4
X5
X4 6 (b) (c) (d) 1 0
X5 1 -1
3 (e) 0 1
Cj-ZJ
(a) -1 2
00
X1 (f) (g) 2 -1 1/2 0
X5 4 (h) (i) 1 1/2 1
Cj-ZJ
0
-7A (j) (k) (l)
25
首先由于x1、x5为基变量，故g=1, h=0, l = 0
检验数j
14M 4M-2 6M-3 2M-1 -M -M
A
0
0
18
Cj
-2 -3 -1 0 0 -M -M 比
CB XB
b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 值
-M x6 8 1 4 2 -1 0 1 0 2
-M x7 6 3 2 0 0 -1 0 1 3
检验数j 14M 4M-2 6M-3 2M-1 -M -M 0 0
5 x2 15
s
t
.
6
x1 x1
2 x2 x2
24 5
x 1 , x 2 0
A
10
Cj
10 5 0 0 比
CB XB
b
x1
x2
x3
x4
值
0 x3
9
3
4
1
0 9/3=3
0 x4
8
5
20
1
8/5
检验数j 0 10 5 0 0
0 x3 21/5 0 14/5 1 -3/5 3/2
10 x1 8/5 1 2/5 0 1/5
4
x
2
12
x 1, x 2 0 无可行解
m ax Z x1 x2
运筹学线性规划练习题
练习题
1.(人力资源分配的问题)某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下：
设司机和乘务人员分别在各时间段开始时上班，并连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?
2．(人力资源分配的问题)一家中型的百货商场，它对售货员的需求经过统计分析如下表所示。
为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作5天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。
问应该如何安排售货人员的作息，既满足工作需要，又使配备的售货人员的人数最少？
3. (套裁下料问题)现要做100套钢架，每套用长为2.9m,2.1m和1.5m的圆钢各一根。
已知原料长7.4m，问应如何下料使所用料最省？
若用套裁，下面有几种套裁方案，都可以考虑采用
4．(配料问题)某工厂要用三种原料1、2、3混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙，。
运筹学习题精选
运筹学习题精选第一章线性规划及单纯形法选择1．在线性规划模型中，没有非负约束的变量称为……………………………………………………( C )A．多余变量 B．松弛变量 C．自由变量 D．人工变量2．约束条件为0AX的线性规划问题的可行解集b,≥=X 是………………………………………( B )A．补集 B．凸集 C．交集 D．凹集3．线性规划问题若有最优解，则一定可以在可行域的（ C）上达到。
A．内点 B．外点 C．顶点 D．几何点4．线性规划标准型中bi（i=1，2，……m）必须是…………………………………………………( B)A．正数 B．非负数 C．无约束 D．非零的5．线性规划问题的基本可行解X对应于可行域D 的………………………………………………( D)A．外点 B．所有点 C．内点 D．极点6．基本可行解中的非零变量的个数小于约束条件数时，该问题可求得……………………………( B ) A．基本解 B．退化解 C．多重解 D．无解7．满足线性规划问题全部约束条件的解称为…………………………………………………( C )A．最优解 B．基本解 C．可行解 D．多重解8．线性规划一般模型中，自由变量可以用两个非负变量的（B ）代换。
A．和 B．差 C．积 D．商9．当满足最优检验，且检验数为零的变量的个数大于基变量的个数时，可求得………………………( A )A ．多重解B ．无解C ．正则解D ．退化解 10．若线性规划问题有最优解，则必定存在一个( D )是最优解。
A ．无穷多解 B. 基解 C. 可行解 D. 基可行解 填空计算 1． 某厂生产甲、乙、丙三种产品，已知有关数据如下表所示,求使该厂获利最大的生产计划。
2． 目标函数为max Z =28x4+x5+2x6，约束形式为“≤”，且x1，x2，x3为松弛变量，表中的解代入目标函数中得Z=14，求出a~g 的值，并判断是否→j c 0 0 0 28 1 2B C 基 b 1x 2x 3x 4x5x 6x 2 6x A 3 0 -14/3 0 1 1 0 2x 5 6 D 2 0 5/2 0 28 4x 0 0 E F 1 0 0 j j z c - B C 0 0 -1 G3． 某工厂生产A 、B 两种产品，已知生产A 每公斤要用煤6吨、电4度、劳动力3个；生产B 每公斤要用煤4吨、电5度、劳动力10个。
运筹学_第1章_线性规划习题
第一章线性规划习题1.1（生产计划问题）某企业利用A、B、C三种资源，在计划期内生产甲、乙两种产品，已知生产单位产品资源的消耗、单位产品利润等数据如下表，问如何安排生产计划使企业利润最大？解：设x1、x2分别代表甲、乙两种产品的生产数量（件），z表示公司总利润。
依题意，问题可转换成求变量x1、x2的值，使总利润最大，即ma x z=50x1+100x2且称z=50x1+100x2为目标函数。
同时满足甲、乙两种产品所消耗的A、B、C三种资源的数量不能超过它们的限量，即可分别表示为x1 + x2≤3002x1 + x2≤400x2≤250且称上述三式为约束条件。
此外，一般实际问题都要满足非负条件，即x1≥0、x2≥0。
这样有ma x z=50x1+100x2x1 + x2≤3002x1 + x2≤400x2≤250x1、x2≥0习题1.2 靠近某河流有两个化工厂，流经第一化工厂的河流流量为每天500万m 3，在两个工厂之间有一条流量为200万m 3的支流。
两化工厂每天排放某种有害物质的工业污水分别为2万m 3和1.4万m 3。
从第一化工厂排出的工业污水流到第二化工厂以前，有20%可以自然净化。
环保要求河流中工业污水含量不能大于0.2%。
两化工厂处理工业污水的成本分别为1000元/万m 3和800元/万m 3。
现在要问在满足环保要求的条件下，每厂各应处理多少工业污水，使这两个工厂处理工业污水的总费用最小。
解：设x 1、x 2分别代表工厂1和工厂2处理污水的数量(万m 3)。
则问题的目标可描述为min z =1000x 1+800x 2 约束条件有第一段河流（工厂1——工厂2之间）环保要求 (2－x 1)/500 ≤0.2% 第二段河流（工厂2以下河段）环保要求 [0.8(2－x 1) +(1.4－x 2)]/700≤0.2% 此外有x 1≤2； x 2≤1.4 化简得到min z =1000x 1+800x 2 x 1 ≥1 0.8x 1 + x 2 ≥1.6 x 1 ≤2 x 2≤1.4 x 1、x 2≥0习题1.3ma x z =50x 1+100x 2x 1 + x 2≤300 2x 1 + x 2≤400x 2≤250图1—1 x 2x1、x2≥0用图解法求解。
运筹学1至6章习题参考答案
0
2
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X4
0
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0
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27/4
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X1
3
1
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0
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M
X2
2
0
1
[11/16]
0
-3/32
1/8
1/8
0.181818
C(j)-Z(j)
0
0
0
0
-9/16
-1/4
37/4
X3进基、X2出基，得到另一个基本最优解。
C(j)
3
2
-0.125
6重油
7残油
辛烷值
80
115
105
蒸汽压：公斤／平方厘米
1.0
1.5
0.6
0.05
每天供应数量(桶)
2000
1000
1500
1200
1000
1000
800
问炼油厂每天生产多少桶成品油利润最大，建立数学模型。
解设xij为第i（i＝1,2,3,4）种成品油配第j(j=1,2,…,7)种半成品油的数量（桶）。
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-5
1
0
0
0
* Big M
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X1
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1/5
0
1/5
2
X4
0
0
4
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1
1
25
C(j)-Z(j)
0
-11
-1
物流运筹学习题及答案1题目线性规划基本性质
习题一1.1试述LP模型的要素、组成部分及特征。
判断下述模型是否LP模型并简述理由。
(式中x,y为变量；O为参数;a,b,c,d,e为常数。
)(1)max Z=2X∣-X2-3X3X1÷X2+X3=13x i-x2+5X3≤82x1-4X2+3X3≥5x1>O,x2≤O(2)minZ=π⅛*=!EaikXkNbi,i=1,2…,ms∙t∙IA=I[x k≥0Λ=1,2...»w(3)minZ=ZaiXi+»凶∕=l√=ιx i≤c i,i=1,2,...,znS.t.<y j≤d j J≈∖,2,...n%十%≥%∙〃4))maxz=7C.X i JJj=∣EaijXj≤b i+d iΘ,/=1,2,...,∕n5)t.；=1Xj≥OJ=1,2,...«1.2试建立下列问题的数学模型：(1)设备配购问题某农场要购买一批拖拉机以完成每年三季的工作量：春种330公顷，受管130公顷，秋收470公顷。
可供选择的拖拉机型号、单台投资额及工作能力如下表所示。
问配购哪几种拖拉机各几台，才能完成上述每年工作量且使总投资最小？(2)物资调运问题问应如何调运，才能既满足城市用煤需求，又使运输的总费用最少？（3）食谱问题某疗养院营养师要为某类病人拟订本周菜单。
可供选择的蔬菜及其费用和所含营养成分的数量，以及这类病人每周所需另外为了口味的需求，规定一周内所用的卷心菜不多于2份，其它蔬菜不多于4份。
若病人每周需14份蔬菜,问选用每种蔬菜各多少份？（4）下料问题某钢筋车间要用一批长度为10米的钢筋下料制作长度为三米的钢筋90根和长度为四米的钢筋60根，问怎样下料最省？用图解法求解卜.列LP问题：（1）min Z=6XI+4X22x1+X2≥1s.t.3x1+4X2≥1.5x1>O,x2≥O(2)maxz=2.5x1+x23x1+5x2≤155.t.<5x l+2X2≤IOx1≥O,x2≥O(3)maxz=2xι+2x2X∣—X?≥-1-0.5x1+x2≤2x1≥O,x2≥O(4)maxz=Xι+χ2Λ1-x2≥O s.t.∙3x∣—x9≤—3x1≥O,x2≥O(5)minz=2x∣-10x2X1-X2≥O5)t.x1-5X2≥-5x1≥O,x2≥O6))minZ=-IOxi-IIx23x1+4X2≤105x l÷2Λ2≤8s.t.X I-2X2≤2x1≥O,x2≥O1.4把L3题的(3)-(6)化成标准形.1.5把下列LP问题化成标准形。
《运筹学》(第二版)课后习题参考答案
0
0
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b
0
d
4
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－1
－5
0Hale Waihona Puke 1003
－3
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1
0
0
0
解：（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） 为人工变量，且 为包含M的大于零的数， ；或者 为人工变量，且 为包含M的大于零的数， ．
7．用大M法求解如下线性规划。
s.t.
解：加入人工变量，进行人造基后的数学模型如下：
《管理运筹学》（第二版）课后习题参考答案
第1章线性规划（复习思考题）
1．什么是线性规划？线性规划的三要素是什么？
答：线性规划（Linear Programming，LP）是运筹学中最成熟的一个分支，并且是应用最广泛的一个运筹学分支。线性规划属于规划论中的静态规划，是一种重要的优化工具，能够解决有限资源的最佳分配问题。
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运筹学复习题-1
第一章线性规划及单纯形法一、复习思考题1 试述线性规划数学模型的结构及各要素的特征。
2 线性规划的解有哪几种情况。
3 什么是线性规划问题的标准形式，如何将一个非标准型的线性规划问题转化为标准形式。
4 试述线性规划问题的可行解、基解、基可行解、最优解的概念以及上述解之间的相互关系。
5 试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上去判别问题是具有惟一最优解、无穷多最优解、无界解或无可行解。
6 如果线性规划的标准型式变换为求目标函数的极小化min z，则用单纯形法计算时如何判别问题已得到最优解。
7 在确定初始可行基时，什么情况下要在约束条件中增添人工变量，在目标函数中人工变量前的系数为(一M)的经济意义是什么。
8 什么是单纯形法计算的两阶段法，为什么要将计算分两个阶段进行，以及如何根据第一阶段的计算结果来判定第二阶段的计算是否需继续进行。
9 简述退化的含义及处理退化的勃兰特规则。
10 举例说明生产和生活中应用线性规划的方面，并对如何应用进行必要描述。
二、判断下列说法是否正确1、图解法同单纯形法虽然求解的形式不同，但从几何上理解，两者是一致的；2、线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大；3、线性规划问题的每一个基解对应可行域的一个顶点.4、如线性规划问题有最优解，则最优解一定对应可行域边界上的一个点；5、用单纯形法求解标准型式的线性规划问题时，与＞j对应的变量都可被选作换入变量；6、单纯形法计算中，选取最大正检验数σk 对应的变量xk作为换入变量，将使目标函数值得到最快的增长；7、线性规划问题任一可行解都可以用全部基可行解的线性组合表示；9、对一个有n个变量，m个约束的标准型的线性规划问题，其可行域的顶点恰好为mn C个；10、单纯形法的迭代计算过程是从一个可行解转换到目标函数值更大的另一个可行解；11、若线性规划问题具有可行解，且其可行域有界，则该线性规划问题最多具有有限个数的最优解；12、线形规划可行域的某一项点若其目标函数值优于所有顶点的目标函数值，则该顶点处的目标函数值达到最优。
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第一章线性规划
习题1.1（生产计划问题）某企业利用A、B、C三种资源，在计划期内生产甲、乙两种产品，已知生产单位产品资源的消耗、单位产品利润等数据如下表，问如何安排生产计划使企业利润最大？
表1—1
产品
单耗
资源
甲乙资源限制
A B C 1
2
1
1
1
300kg
400kg
250kg
单位产品利润（元/件）50100
解：设x1、x2分别代表甲、乙两种产品的生产数量（件），z表示公司总利润。
依题意，问题可转换成求变量x1、x2的值，使总利润最大，即
ma x z=50x1+100x2
且称z=50x1+100x2为目标函数。
同时满足甲、乙两种产品所消耗的A、B、C三种资源的数量不能超过它们的限量，即可分别表示为
x1 + x2≤300
2x1 + x2≤400
x2≤250
且称上述三式为约束条件。
此外，一般实际问题都要满足非负条件，即
x1≥0、x2≥0。
这样有
ma x z=50x1+100x2
x1 + x2≤300
2x1 + x2≤400
x2≤250
x1、x2≥0
习题1.2 靠近某河流有两个化工厂，流经第一化工厂的河流流量为每天500万m 3，在两个工厂之间有一条流量为200万m 3的支流。
两化工厂每天排放某种有害物质的工业污水分别为2万m 3和1.4万m 3。
从第一化工厂排出的工业污水流到第二化工厂以前，有20%可以自然净化。
环保要求河流中工业污水含量不能大于0.2%。
两化工厂处理工业污水的成本分别为1000元/万m 3和800元/万m 3。
现在要问在满足环保要求的条件下，每厂各应处理多少工业污水，使这两个工厂处理工业污水的总费用最小。
解：设x 1、x 2分别代表工厂1和工厂2处理污水的数量(万m 3)。
则问题的目标可描
述为
min z =1000x 1+800x 2约束条件有
第一段河流（工厂1——工厂2之间）环保要求 (2－x 1)/500 ≤0.2%第二段河流（工厂2以下河段）环保要求[0.8(2－x 1) +(1.4－x 2)]/700≤0.2%此外有
x 1≤2； x 2≤1.4化简得到
min z =1000x 1+800x 2
x 1 ≥10.8x 1 + x 2 ≥1.6x 1 ≤2x 2≤1.4x 1、x 2≥0
习题1.3
ma x z =50x 1+100x 2
x 1 + x 2≤3002x 1 + x 2≤400x 2≤250
图1—1
x 2
x 1、x 2≥0
用图解法求解。
解：如图1—2中的B 点，即问题的最优解为x 1*=50；x 2*=250，相应的最优值为z *=27500，且该问题有唯一最优解。
习题1.4
ma x z =2x 1+2x 2x 1－x 2 ≥ 1－x 1 + 2x 2≤ 0x 1、x 2≥ 0
用图解法求解。
解：图1—3中阴影部分就是该问题的可行域，显然该问题的可行域是无界的。
两条虚线为目标函数等值线，它们对应的目标值分别为2和4，可以看出，目标函
数等值线向右移动，问题的目标
值会增大。
但由于可行域无界，目标函数可以增大到无穷。
称这种情况为无界解或无最优解。
习题1.5 化下列线性规划为标准形 ma x z =2x 1+2x 2－4x 3x 1 + 3x 2－3x 3 ≥30x 1 + 2x 2－4x 3≤80x 1、x 2≥0，x 3无限制
解：按照上述方法处理，得该线性规划问题的标准形为 ma x z =2x 1+2x 2－4x 31+4x 32
x 1 + 3x 2－3x 31 + 3x 32－x 4 = 30x 1 + 2x 2－4x 31 + 4x 32 + x 5 = 80x 1、x 2，x 31，x 32，x 4，x 5 ≥0
例1.6 用单纯形法求解ma x z =50x 1+100x 2
x 1 + x 2≤3002x 1 + x 2≤400x 2≤250x 1、x 2≥0
解：首先将问题化为标准形式，然后将整个计算过程列在一个表中（表1—9）。
表1—9
C j50100000
C B X B x
1↓x2↓x3x4x5
b
0x311100300 0x421010400← 0x50[1]001250－z501000000← 0x31010-150 0x42001-1150 100x201001250
－z500
00-100
－2500
50x11010-150 0x400-21150 100x201001250
－z00
-500-50
－2750
由于σj≤0（j=1，…，5），故X*=（50，250，0，50，0）T，Z*=27500
例1.7 用单纯形法求解
ma x z=2x1+x2
－x1 + x2≤5
2x1－5x2≤10
x1、x2≥0
解：用单纯形表实现如表1—10
表1—10
C j2100
C B X B x
1↓x2x3x4
bθ
0x3-11105—← 0x4[2]-5011010/4(min)－z21000
0x30-3/211/210
2x11-5/201/25
－z060-1－10
σ2=6 > 0，且p2≤0，故该线性规划有无界解（无最优解）。
例1.8 用单纯形法（大M法）求解下列线性规划
ma x z=3x1－2x2－x3
x1－2x2 + x3≤ 11
－4x1 + x2 + 2x3 ≥ 3
－2x1+ x3= 1
x1、x2、x3≥0
解：化为标准形式
ma x z=3x1－2x2－x3
x1－2x2 + x3 + x4= 11
－4x1+ x2 +2x3 －x5 = 3
－2x1+x3= 1
x1、x2、x3、x4、x5≥0
显然上述标准形式的线性规划问题没有现成的初始可行基。
观察可知，需要在第二、三个约束方程中分别加入人工变量x6、x7，构造如下线性规划问题
ma x z=3x1－2x2－x3－M x6－M x7
x1－2x2 + x3 + x4= 11
－4x1+ x2 +2x3 －x5 + x6= 3
－2x1+x3+x7 = 1
x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7≥0
用单纯形进行计算，计算过程见表1—11。
表1—11
C j3-1-100-M-M
C B X B x
1↓x2↓x3x4x5x6x7
b
0x41-21100011 -M x6-4120-1103 -M x7-20[1]00011
－z3-6M -1+M-
1+3M
0-M004M
0x43-20100-110 -M x60[1]00-11-21 -1x3-20100011
－z1-1+M0
0-M0
-
3M+1
M+1
0x4[3]001-22-512 -1x20100-11-21 -1x3-20100011－z1000-1-M+1-M-12 3x11001/3-2/32/3-5/34
-1x20100-1121 -1x30012/3-4/34/3-7/39
－z000
-1/3-1/3
-
M+1/
3
-
M+2/
3
－2
由于σj≤0（j=1，…，7），且基变量中不含人工变量，故X*=（4，1，9）T，z*=2
例1.9 用单纯形法（大M法）求解下列线性规划
ma x z=3x1+2x2
2x1+ x2 ≤ 2
3x1 +4 x2 ≥12
x1、x2≥0
解:化为标准形式后引入人工变量x5得到
ma x z=3x1+2x2－M x5
2x1+ x2 +x3= 2
3x1 +4 x2 －x4+x5 =12
x1、…、x5≥0
用单纯形法计算，过程列于表1—12中。
从表中可以看出，虽然检验数均小于或等于零，但基变量中含有非零的人工变量x5=4，所以原问题无可行解。
表1—12
C j3200-M
C B x B x1x2x3x4x5
b
0 -M x3
x5
2
3
[1]
4
1
-1
1
2
12 -z3+3M2+4M0-M012M
2 -M x2
x5
2
-5
1
1
-4
-1
1
2
4
-z-1-5M0-2-4M-M0-4+4M。