线性规划问题的基本解

向量组 P3, P4 , P5 是线性无关组
B1 P3,P4,P5 是此问题的一个基
其中x3 , x4 , x5 为基变量，而 x1 , x2 是非基变量。
max z 3x1 5x2
3x1 2x2 x3
18
x1
x4 4
2x2
x5 12
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
阵，从而得出(1.4)的唯一解
XB B1b
得出约束方程(1.2)至少含有n-m个0元的解
X0
B1b 0
称之为相应于基B的一个基本解或基解(a basic solution)。
5、基可行解
设
X0
B1b
0
是对应于基阵B的一个基解，
如果
B b1
X 0
0
0
则称 解.
B b1
X 0
0
为一个基本可行解或基可行
(a basic feasible solution)；
相应的基B也称为可行基(feasible base)。
max z 3x1 5x2
3x1 2x2 x3
x1
x4
2x2
18 4 x5 12
3 A 1
0
2 0 2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
3.2 线性规划问题的基本解
基本概念：
可行解、可行域、最优解、基、基变量、基阵、基本可行 解
一、基本概念：
给定一个线性规划问题LP
max z c1x1 c2x2 L cnxn 1.1
a11 x1 a12 x2 L a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 L a2n xn b2 s.t. L L L L
2、基(base)
max z c1x1 c2x2 cn xn 1.1
a11x1 a12 x2 L a1n xn b1 a21x1 a22 x2 L a2n xn b2 s.t.L L L L
1.2
am1x1 am2 x2 L amn xn bm x1 0, x2 0,L , xn 0
am1 x1 am2 x2 L amn xn bm x1 0, x2 0,L , xn 0
1.2 1.3
1、可行解 (a feasible solution)
maxz = c1x1 + c2x2 +L + cnxn 1.1
a11 x1 a12 x2 L a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 L a2n xn b2 s.t. L L L L
，P4
1
，P5
0
0
2
0
0
1
分别是变量 x1, x2 , x3, x4 , x5 的系数向量。
max z 3x1 5x2
3x1 2x2 x3
18
3 2 1 0 0
x1
x4 4
A 1 0 0 1 0
2x2
x5 12
0 2 0 0 1
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
设Pj1 , Pj 2 ,L , Pjm 构成线性规划问题的一组基向量
, 则对应的变量 x j1 , x j 2 ,L , x jm 称为基变量，
其余的向量称为非基向量，其余的变量称为非基变量 (non-basic-variable)，
矩阵 B Pj1 , Pj2 ,L , Pjm
称为基或基阵(basic matrix)。
3 2 1 0 0 A 1 0 0 1 0
0 2 0 0 1
向量组 P2 , P4 , P5 是线性无关组
B2 P2,P4,P5 是此问题的一个基
x2 , x4 , x5 是基变量，
而 x1, x3 是非基变量。
注：（1）基不一定唯一
（2）设B是A的一个m阶子矩阵，则B是线性规划问题 的基阵，当且仅当B是可逆阵
1.3
记约束方程系数矩阵A的列向量是 P1, P2 , , Pn
即 A P1, P2 , , Pn ,
设 Pj1 , Pj2 ,L , Pjm 是A的m个列向量,
如果 Pj1, Pj2 , , Pjm 是线性无关的， 则称
Pj1, Pj2 , , Pjm 为基向量。
3、基变量(basic variables)
B 0。 （3）基的个数≤Cnm
max z 3x1 5x2
3x1 2x2 x3
18
x1
x4 4
2x2
x5 12
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
3 2 1 0 0 A 1 0 0 1 0
0 2 0 0 1
4、基解
设 B Pj1, Pj2 , , Pjm
是线性规划问题LP的一基阵，
am1
x1
am2 x2
源自文库
L
amn xn
bm
x1 0, x2 0,L , xn 0
1.2 1.3
满足约束条件的X称为线性规划问题的可行解;
X x1, x2, , xn T
所有可行解的集合称为可行域 (feasible region),
使目标函数(1.1)达到最大值的可行解称为最优解(an optimal solution)。
例1 max z 3x1 5x2
3 x1 2 x2 x3
18
x1
x4 4
2 x2
x5 12
x1, x2 , x3 , x4 , x5 0
约束方程A的系数矩阵为：
其列向量：
3 2 1 0 0 A 1 0 0 1 0
0 2 0 0 1
3
2
1
0
0
P1
1
，P2
0
，P3
0
非可行解
可基
行可
解
行 解
基 解
图1
1.设线性规划
max Z 5x1 2x2
2
x1
3x2
x3
50
4x1 2x2 x4 60
x
j
0,
j
1,L
,4
取基
B1
(P1，P3 )
2 4
1 0
、B2＝
2 4
10，
分别指出 B1和B2 对应的基变量和非基变量，
求出基本解，并说明 B1、B2 是不是可行基．
XB x j1 , x j2 ,L , x jm 表示基变量向量，
X N 表示非基变量向量。
现令所有的非基变量都等于0，即
XN 0
则约束方程(1.2)可化为：
Pj1 x j1 Pj 2 x j 2 L Pjm x jm b
BXB b
1.4
它是一个m个变量m个方程组成的线性方程组，B又是可逆
2．判断题（你认为下列命题是否正确， 对正确的打“√”；错误的打“×”。） 1．若线性规划无最优解则其可行域无界。 （） 2．凡基本解一定是可行解。 （ ）
3．线性规划的最优解一定是基本最优解。（ 4．线性规划的最优解是可行解。（ ） 5．可行解是基本解。（ ）
3.线性规划可行域的顶点一定是（ ）。
在上例1中，
对应于 B1 的基解为 X1 0, 0,18, 4,12T
是一个基可行解，
对应于 B2 的基解为X2 0, 9, 0, 4, 6。
而不是基可行解。
思考题：试列出例1中问题的所有基解、基可行解。
注：给定线性规划问题LP，其基可行 解的数目是有限个，不会超过 Cnm 。
图1给出了线性规划问题的解的关系。
A.基本可行解 B.非基本解
C.非可行解
D.最优解
4. X是线性规划的基本可行解，则有（ A. X中的基变量非零，非基变量为零 B. X不一定满足约束条件 C. X中的基变量非负，非基变量为零 D. X是最优解
）。