线性规划问题的基本解
运筹学概念
运筹学基本概念➢线性规划问题的基与解LP： max(min)z=CX （1-1）s.t AX=b （1-2）X>=0 （1-3）设A施m*n矩阵，且A的秩为m，则有●可行解：满足上述约束条件（1-2）、（1-3）的向量X称为可行解。
●最优解：满足式（1-1）的可行解称为最优解●基：A中任何一组m个线性无关的列向量构成的子矩阵B，称为该问题的一个基，即B为A的m*m非奇异子矩阵。
●基向量：基B中的一列即为B的一个基向量。
基B中公寓m个基向量●非基向量：矩阵A中基B之外的一列即为B的一个非基向量。
A中共有n-m个非基向量。
●基变量：与基B的基向量相应的变量恒伟B的基变量，基变量共有m个。
●非基变量：与基B非基向量相应的变量称为B的非基变量，非基变量共有n-m个。
●基本解：对于基B，令所有非基变量为零，求得满足式（1-2）的解，称为B对应的基本解。
●基本可行解：满足式（1-3）的基本解称为基本可行解，其对应的基称为可行基。
●基本最优解：满足式（1-1）的基本可行解称为基本最优解，其对应的基称为最优基。
●退化的基本解：若基本解中有基变量为零这，则称之为退化的基本解。
类似地，有退化的基本可行解和退化的基本最优解。
➢几何意义上的几个基本概念●凸集：设S是n维空间的一个点集，若任意两点X（1）、X(2) ∈S的所连线段上的一切点αX（1）+（1-α）X(2)，（0<=α<=1），则称S为凸集。
●凸组合：设X（1）、X(2)……X（K）,为n维空间中的k个点。
则X=μ1X（1）+μ2X(2)+ μkX（K）（0<=μi<=1，i=1,2……k,且μ1+……μk=1）称为X（1）、X(2)……X（K）的凸组合。
●极点：S是凸集，X∈S，若X不能用S中相异的两点X（1）、X(2)线性表示为：X=αX（1）+（1-α）X(2)，α∈（0,1），则称X为S的极点或定点。
即极点不能成为任何线段的内点。
线性规划问题的解法
线性规划问题的解法线性规划（Linear Programming，LP）是一种数学优化方法，用于求解线性约束条件下的最大化或最小化目标函数的问题。
线性规划问题在经济学、管理学、工程学等领域都具有广泛的应用，其求解方法也十分成熟。
本文将介绍线性规划问题的常用解法，包括单纯形法和内点法。
一、单纯形法单纯形法是解决线性规划问题最常用的方法之一。
它通过在可行解空间中不断移动，直到找到目标函数的最优解。
单纯形法的基本步骤如下：1. 标准化问题：将线性规划问题转化为标准形式，即将目标函数转化为最小化形式，所有约束条件均为等式形式，且变量的取值范围为非负数。
2. 初始可行解：选择一个初始可行解，可以通过人工选取或者其他启发式算法得到。
3. 进行迭代：通过不断移动至更优解来逼近最优解。
首先选择一个非基变量进行入基操作，然后选取一个基变量进行出基操作，使目标函数值更小。
通过迭代进行入基和出基操作，直到无法找到更优解为止。
4. 结束条件：判断迭代是否结束，即目标函数是否达到最小值或最大值，以及约束条件是否满足。
单纯形法的优点是易于理解和实现，而且在实际应用中通常具有较好的性能。
但是，对于某些问题，单纯形法可能会陷入循环或者运算效率较低。
二、内点法内点法是一种相对较新的线性规划求解方法，它通过在可行解空间的内部搜索来逼近最优解。
与单纯形法相比，内点法具有更好的数值稳定性和运算效率。
内点法的基本思想是通过将问题转化为求解一系列等价的非线性方程组来求解最优解。
首先，将线性规划问题转化为等价的非线性优化问题，然后通过迭代求解非线性方程组。
每次迭代时，内点法通过在可行解空间的内部搜索来逼近最优解，直到找到满足停止条件的解。
内点法的优点是在计算过程中不需要基变量和非基变量的切换，因此可以避免单纯形法中可能出现的循环问题。
此外，内点法还可以求解非线性约束条件下的最优解，具有更广泛的适用性。
三、其他方法除了单纯形法和内点法，还有一些其他的线性规划求解方法，如对偶方法、割平面法等。
线性规划的定义及解题方法
线性规划的定义及解题方法线性规划是一种数学建模技术，旨在解决在约束条件下，寻求最优解的问题。
它的实际应用十分广泛，例如管理学、经济学、物流学等领域。
线性规划可以分为单目标和多目标两种，但其中比较常见的是单目标线性规划。
本文将从线性规划的定义、模型建立、求解方法等方面阐述其原理与应用。
一、线性规划的定义线性规划的定义是：在有限约束条件下，目标函数为线性的最优化问题。
它通过数学模型的建立，将涉及到的变量、约束条件与目标函数转化为线性等式或不等式的形式，从而寻找最优解。
通常，线性规划的目标是最大化或最小化某个变量，可以用以下的形式去表示：$$Z=C_1X_1+C_2X_2+……+C_nX_n $$其中，$Z$为目标函数值，$X_1, X_2,……,X_n$为待求变量，$C_1, C_2,……,C_n$为相应的系数。
在线性规划中，会涉及到许多变量，这些变量需要受到一些限制。
这些限制可以用不等式或等式来表示，这些方程式被称为约束条件。
例如：$$A_1X_1+A_2X_2+……+A_nX_n≤B$$$$X_i≥0, i=1,2,……, n $$这两个方程就代表了一些约束条件，例如目标函数系数的和不能超过某个值，若$X_i$为生产的产品数量，则需保证产量不能小于零等。
这些约束条件用于限制变量的取值范围，而目标函数则用于求解最优解。
二、线性规划的模型建立在建立线性规划模型时，需要考虑几个要素：1. 决策变量：它是模型求解的关键。
决策变量是指在模型中未知的数量，也就是需要我们寻找最优解的那些变量。
2. 目标函数：确定目标函数，既要知道最大化还是最小化，还要知道哪些变量是影响目标函数的。
3. 约束条件：约束条件通常是一组等式或不等式，代表问题的限制。
例如在一个工厂中最大的生产量、原材料的数量限制、人工的数量等等，这些都是约束条件。
4. 模型的参数：模型参数是指约束条件的系数和模型中的常数。
它们是从现实问题中提取出来的，由于模型的解法通常是数学的，因此需要具体的数值。
线性规划问题的两种求解方式
线性规划问题的两种求解⽅式线性规划问题的两种求解⽅式线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应⽤⼴泛、⽅法较成熟的⼀个重要分⽀，它是辅助⼈们进⾏科学管理的⼀种数学⽅法。
线性规划所研究的是：在⼀定条件下，合理安排⼈⼒物⼒等资源，使经济效果达到最好。
⼀般地，求线性⽬标函数在线性约束条件下的最⼤值或最⼩值的问题，统称为线性规划问题。
解决线性规划问题常⽤的⽅法是图解法和单纯性法，⽽图解法简单⽅便，但只适⽤于⼆维的线性规划问题，单纯性法的优点是可以适⽤于所有的线性规划问题，缺点是单纯形法中涉及⼤量不同的算法，为了针对不同的线性规划问题，计算量⼤，复杂繁琐。
在这个计算机⾼速发展的阶段，利⽤Excel建⽴电⼦表格模型，并利⽤它提供的“规划求解”⼯具，能轻松快捷地求解线性模型的解。
⽆论利⽤哪种⽅法进⾏求解线性规划问题，⾸先都需要对线性规划问题建⽴数学模型，确定⽬标函数和相应的约束条件，进⽽进⾏求解。
从实际问题中建⽴数学模型⼀般有以下三个步骤；1、根据所求⽬标的影响因素找到决策变量；2、由决策变量和所求⽬标的函数关系确定⽬标函数；3、由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满⾜的约束条件。
以下是分别利⽤单纯形法和Excel表格中的“规划求解”两种⽅法对例题进⾏求解的过程。
例题：某⼯⼚在计划期内要安排⽣产I、II两种产品，已知⽣产单位产品所需的设备台时分别为1台时、2台时，所需原材料A分别为4单位、0单位，所需原材料B分别为0单位、4单位，⼯⼚中设备运转最多台时为8台时，原材料A、B的总量分别为16单位、12单位。
每⽣产出I、II产品所获得的利润为2和3，问I、II两种产品的⽣产数量的哪种组合能使总利润最⼤？这是⼀个典型的产品组合问题，现将问题中的有关数据列表1-1如下：表1-1I II 限量设备 1 2 8台时原材料A 4 0 16单位原材料B 0 4 12单位所获利润 2 3⾸先对例题建⽴数学模型。
问题的决策变量有两个：产品I的⽣产数量和产品II的⽣产数量；⽬标是总利润最⼤；需满⾜的条件是：(1)两种产品使⽤设备的台时<= 台时限量值(2) ⽣产两种产品使⽤原材料A、B的数量<= 限量值(3)产品I、II的⽣产数量均>=0。
线性规划问题的图解法
j
0 0 j c j c i a ij
bi 其中： i a kj 0 a kj
单纯形法的计算步骤
例1.8 用单纯形法求下列线性规划的最优解
max Z 3 x1 4 x 2 2 x1 x 2 40 x1 3 x 2 30 x , x 0 1 2
A
0
E
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16
C 4 x2 16
4 —B
3— 2— 1—
D
| 1 | 2 | 3 | 4
4—
3— 2— 1— 0
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16 4 x2 12 x1 + 2x2 8
4—
3— 2— 1— 0
可行域
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
x2
X1 + 1.9X2 = 11.4 (≤)
8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （ 0， 2）
D
43=5X1+4X2
可行域
线性规划问题的四种求解方法
可出直线
l0
:y
=-
2 3
x
,
把直线
l0
向右上方
平移 , 当经过可行域上点 B 时 , 直线的截距最
大 .此时 z = 12x +18y 取最大值 .解方程组
z =6x +3y +5[ 300 -(x +y)] +5(200 -x ) +9(450 -y)+6(100 +x +y)=2 x -5y +
★解题方法与技巧
线性规划问题的四种求解方法
江 苏溧 阳中 学(2 13300) 吕清 平
线性规划问题是现实生活中一类重要的应 用问题 , 它常用来研究物资调运 、生产安排 、下
时 , zmax =12 ×5 +18 ×4 =132(万美元) 答 :购买第一种机器 5 台 , 第二种机器 4 台
料等工作的资源优化配制问题 , 寻求线性规划 时能使工厂获得的年利润最大 .
值线值的大小知 , 当等值线经过可行域上点 C 成本如下表 :
时 , 等值线的值最小 .z 有最小值 5650 元 , 此时 x =0 、y =300 , 故甲地产品运往 B 地 ;乙地产 品运往 A 、B 、C 三地分别为 200 吨 、150 吨 、400
甲乙丙 维生素 A(单位 / 千克) 600 700 400
解 设每天生产甲 、乙产品的件数分别是
维生素 B (单位 / 千克) 800 400 500
成本(单位 / 千克) 11 9 4
某食物营养所想用 x 千克甲种食物 , y 千 克乙种食物 , z 千克丙种食物配成 100 千克混合 物 , 并使混合物至少含有 56000 单位维生素 A 和 63000 单位维生素 B
线性规划图解法
下面我们分析一下简单的情况—— 只有两个决策 变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来 求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线 性规划基本原理和几何意义等优点。
精选课件
图解法
Page 2
一、线性规划的图解法（解的几何表示）
对于只有两个变量的线性规划问题，可以在二维直角坐标 平面上作图表示线性规划问题的有关概念，并求解。
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （0，2）
D可行域
43=5X1+4X2
max Z
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
min Z
o
L0： 0=5X1+4X2
精选课件
X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤)
Page 18
x1
图解法
x2
6 3x1+x2=6(≥) 4
X = X1 + (1- ) X2 则必定有X = X1 = X2，则称X为S的一个顶点。
精选课件
图解法
Page 24
可以证明，线性规划的可行域以及最优解有以下 性质：
（1）、若线性规划的可行域非空，则可行域必定为一凸集；
（2）、线性规划问题的基本可行解对应于可行域的顶点；
（3）、若可行域有界，线性规划问题的目标函数一定可以在 其可行域的顶点上达到最优，或在可行域的某个顶点（唯一最 优解）或在某两个顶点及其连线上（无穷多最优解）得到。
2x1+ x2 50 z = 50x1+30x2= 1350
z = 50x1+30x2= 900
(15, 20)
线性规划问题的基本解对应可行域的顶点
试题 11一、填空题1. 经济计量模型主要有以下几方面的用途：结构分析、_____________、政策评价、__________。
2. 计量经济研究的一般步骤为：建立理论模型，________________，________________，模型的应用。
3. 异方差的解决方法主要有：_____________________，_________________________。
4. 比较两个包含解释变量个数不同的模型的拟合优度时，可采用______________、_________________或_________________________。
5. 模型的显著性检验，最常用的检验方法是________________________。
二、判断题1. 线性规划问题的基本解对应可行域的顶点。
（ ）2. 若21,X X 是某线性规划问题的可行解，则1122121X X X λλλλ=++=（）也必是该问题的可行解。
（ ）3. 数学模型11max (1,2,,).0(1,2,,)nj jj nij j i j jf c x a x b i m s t x j n ===⎧==⎪⎨⎪≥=⎩∏∑为线性规划模型。
（ ） 4. 数学模型22112min ,..(1,2,,;1,2,,)m ni i j j i j i i ijf a x b y s t x y c i m j m ===++≤==∑∑为线性规划模型。
（ ）5. 表达形式i i i x b a y ε++=ˆˆˆ是正确的。
（ ）6. 表达形式i i i x b a y ε++=ˆˆ是正确的。
（ ）7. 表达形式i i i e x b a y ++=ˆˆ是正确的。
（ ）8. 表达形式ii i e x b a y ++=ˆˆˆ是正确的。
（ ） 9. 在存在异方差情况下，普通最小二乘法（OLS ）估计量是有偏的和无效的。
（ ）10. 如果存在异方差，通常使用的t 检验和F 检验是无效的。
线性规划问题基本解对应可行域顶点
线性规划问题的基本解对应可行域的顶点试题 15一、填空题1. 模型的显著性检验，最常用的检验方法是________________________。
2. 滞后效应速度分析的常用指标有_____________________，____________________。
3. 使用阿尔蒙估计法须事先确定:__________________，_______________________。
4. 考耶克模型可以描述的两个最著名的理论假设是:__________________________和_______________________。
5. 联立方程中的变量分为:_________________和__________________。
二、判断题1. 线性规划问题的基本解对应可行域的顶点。
( )XXX,，，,,,,,()12. 若X,X是某线性规划问题的可行解，则也必是该问题11221212的可行解。
( )nmaxfcx,,jjj,1n3. 数学模型为线性规划模型。
( ) ,axbim,,(1,2,,)ijji,,st.j,1,,xjn,,0(1,2,,)j,mn224. 数学模型为线性规划模型。
( )min,faxby,，,,iijjij11,,2stxycimjm..(1,2,,;1,2,,)，,,,iiijˆˆˆ5. 表达形式是正确的。
( ) y,a，bx，,iiiˆˆ6. 表达形式是正确的。
( ) y,a，bx，,iiiˆˆ7. 表达形式是正确的。
( ) y,a，bx，eiiiˆˆˆ8. 表达形式是正确的。
( ) y,a，bx，eiii9. 在存在异方差情况下，普通最小二乘法(OLS)估计量是有偏的和无效的。
( ) 10. 如果存在异方差，通常使用的t检验和F检验是无效的。
( )三、问答题1. 异方差的后果。
2. D.W检验的优缺点。
3. Malthus模型预测的优缺点。
线性规划问题的解
线性规划问题的解线性规划（Linear Programming, LP）是数学规划的一种重要方法，其应用领域十分广泛。
线性规划的目标是在给定的线性约束条件下，寻找使目标函数最大或最小的变量取值。
本文将介绍线性规划问题的解以及如何求解线性规划问题。
一、线性规划问题的解的基本概念1. 可行解：满足线性约束条件的变量取值被称为可行解。
可行解集合构成了解空间。
2. 最优解：在可行解集合中，使目标函数取得最大或最小值的可行解被称为最优解。
二、线性规划问题的求解方法线性规划问题的求解方法通常有两种：图形法和单纯形法。
1. 图形法：适用于二维或三维线性规划问题，即变量的个数较少，可以通过绘制图形来确定最优解。
图形法的基本思路是绘制等式约束和不等式约束的直线或平面，并通过观察它们的交点或交线来确定可行解和最优解。
2. 单纯形法：适用于多维线性规划问题，即变量的个数较多。
单纯形法通过迭代计算，逐步逼近最优解。
其基本思路是从一个初始可行解开始，通过调整变量的取值来提高目标函数的值，直到找到最优解或确定问题无解。
三、线性规划问题的示例下面以一个简单的线性规划问题为例。
假设有两种产品A和B，它们的生产需要使用以下资源：钢材、机器时数和人工时数。
每单位产品A需要2吨钢材、4机器时数和6人工时数；每单位产品B需要3吨钢材、5机器时数和4人工时数。
公司目前有100吨钢材、120机器时数和150人工时数可用。
已知产品A的利润为1000元/单位，产品B的利润为2000元/单位。
问如何安排生产，使得利润最大化？1. 建立数学模型：令x为产品A的产量，y为产品B的产量。
则目标函数为最大化利润：1000x+2000y。
约束条件为：2x+3y≤100（钢材约束），4x+5y≤120（机器时数约束），6x+4y≤150（人工时数约束），x≥0，y≥0。
2. 通过图形法找到可行解和最优解：先绘制钢材约束的直线2x+3y=100，机器时数约束的直线4x+5y=120，人工时数约束的直线6x+4y=150。
1.2线性规划的解
. ..
x2 .3 .
. x1 2x2 2 . . . . .
0
x1
解： （1）在直角坐标系上画出可行域
x1 4
x1 2x2 8
（2）做目标函数的等值线 x1 2x2 2
(3)最优值z* 8
求交点：
x1 x2
2x2 3
8
x1 x1
2x2 4
8
(x1, x2 ) (2,3)
(x1, x2 ) (4,2)
max z 7x1 x2
x1 2x2 6
s.t
x1 x2 1 x1 2
x1 , x2 0
其标准型为
max z 7x1 x2
x1 2x2 x3 6
s.t
x1 x2 x4 1 x1 x5 2
x1, x2 , x3 , x4 , x5 0
1 2 1 0 0
系数矩阵A
2x1 x2 3
可行域为空集
无可行解
该问题无最优解
图解法的基本步骤：
1、在直角坐标系x1ox2上做出可行域S的图形
（一般是一个凸多边形）
2、令目标函数值取一个给定的常数k,
做等值线Z c1x1 c2 x2 k 3、对max 问题，令目标函数值k由小变大, 即让等值线向上平移，
若它与可行域S最后交于一个点（一般是S的一个顶点）， 则该点就是所求的最优点， 若与S的一条边界重合，此时边界线上的点均是最优点
退化基本可行解：基本可行解中，存在取0值的基变量
对应的基称为退化基
非退化基本可行解：基本可行解中，基变量的取值均>0
对应的基称为非退化基
线性规划问题
退化的线性规划问题：存在退化基 非退化的线性规划问：题 所有基均非退化
线性规划及其解法
非基变量 σj 为0 是 无穷多最优解
否 存在aik>0 无界解
是
找出主元素，迭代
3.5 单纯形法的灵敏度分析 --目标函数中ck的灵敏度分析
当ck变成ck +△ck 原规划最优解不变的条件是： σj ‘≤0 • 在最终的单纯形表中，xk是非基变量时
σk ‘= ck+△ck- zk= △ck +σk ≤0 即： △ck ≤-σk 例
某单纯形表中，存在着一个大于零的检 验数，但该列中所有系数小于或等于零， 说明存在无界解。
max z x1 x2 x1 x2 1 s.t. 3x1 2 x2 6 x1 , x2 0
无穷多最优解：
对于某个最优的基本可行解，如果存在 某个非基变量的检验数为零，说明有无 穷多最优解。 最优解的线性组合仍是最优解，即 X=αX1+（1-α）X2， 0≤α ≤1 max z 50 x1 50 x2
cj cB x B b x5 2 2 x2 1 x1 4 Z
x1
2
x2
2
x3 x4 x5 x6
1 -1 2a
2 1 -1 1
-1 -2
-a+8
1、把表中缺少的项目填上适当的数或式子 2、要使上表成为最优表，a应满足什么条件 3、何时有唯一最优解 4、何时有无穷多最优解 5、何时以x3替换x1
• 2、2≤a ≤4 • 3、2<a<4 • 4、 2≤a ≤4 a=2或a=4 • 5、1<a<2 • 2/1>4/2a 0<a<2
• 系数矩阵A变化时 非基变量系数变化时，最优解不变 的条件是σk ‘≤0 基变量系数变化时，需重新计算
线性规划问题解的基本理论
足非负条件的基本解。
4
9.退化的基本可行解
非零分量个数小于m（至少有一个基变量 取值为0）。
10.最优基
该基对应的基本可行解为LP的最优解。
结论
基本解的个数≤Cmn
基本可行解的非零分量均为正分量 个数不超过m
5
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现
皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、 心、肺、肾等多脏器严重损害的， 全身性疾病，而且不少患者同时 伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如 下：
（即可行域）
D
X
n
Pj x j
j 1
b, x j
0是凸集。
定理3-2 线性规划几何理论基本定理
若
D
X
n
Pj x j
j 1
b,
x，j
0
则X是D的一个顶点的充分必要条件是X为线性
规 划的基本可行解。
8
定理3-3 若可行域非空有界，则线性规划问 题的目标函数一定可以在可行域的顶点上 达到最优值。
化为只在可行域的顶点中找，从而把一 个无限的问题转化为一个有限的问题。
☺ 若已知一个LP有两个或两个以上最
优解，那麽就一定有无穷多个最优解。
11
二、 线性规划问题 解的概念和性质
1
一、LP问题的各种解
1. 可行解：满足约束条件和非负条
件的决策变量的一组取值。
2. 可行解集：所有可行解的集合。 3. 可行域：LP问题可行解集构成n维
空间的区域，可以表示为：
D {X | AX b, X 0}
2
4.最优解:使目标函数达到最优值的可行解。 5.最优值：最优解对应目标函数的取值。 6.求解LP问题:求出问题的最优解和最优值。
基本解,可行解,基本可行解
基本解,可行解,基本可行解基本解、可行解、基本可行解是线性规划中的重要概念，是求解线性规划问题的基础。
本文将从概念定义、求解方法和实际应用三个方面进行阐述。
一、概念定义1.基本解基本解是指线性规划问题的一个可行解，其对应的基本变量数目等于问题的约束条件数目。
也就是说，基本解是由恰好n个变量的某个线性方程组的解所决定的。
其中，n为问题的变量数目。
2.可行解可行解是指满足线性规划问题所有约束条件的解。
对于最大化问题，可行解是指目标函数取值有限的解；对于最小化问题，可行解是指目标函数取值有限且非负的解。
3.基本可行解基本可行解是指同时满足基本解和可行解条件的解。
换句话说，基本可行解是一个基本解，且满足所有约束条件。
二、求解方法求解线性规划问题的方法有很多种，其中最常用的方法是单纯形法。
单纯形法是由美国数学家Dantzig于1947年提出的，是一种迭代求解线性规划问题的方法。
单纯形法的基本思想是：从初始可行解开始，每一次迭代都选择一个基本变量进行调整，使得目标函数值不断增大或减小，直到找到最优解为止。
在单纯形法中，基本解是通过不断调整基本变量的值来求解的。
三、实际应用线性规划问题在实际应用中广泛存在。
例如，在生产计划中，企业需要确定生产计划，以满足市场需求，同时最小化生产成本；在运输问题中，需要确定如何分配货物，以最小化运输成本；在金融风险管理中，需要确定如何分配投资组合，以最大化收益并最小化风险。
在以上实际问题中，基本解、可行解和基本可行解都具有重要意义。
基本解可以作为单纯形法求解最优解的起点；可行解是问题的基本要求，只有满足约束条件的解才有意义；基本可行解则是满足约束条件且具有优化价值的解。
总之，基本解、可行解和基本可行解是线性规划问题的基本概念，是求解线性规划问题的基础。
掌握这些概念以及单纯形法等求解方法，有助于我们更好地理解和应用线性规划问题。
线性规划的基本概念与解法
优势：线性规划可以帮助企业快速找到最优的生产计划方案，提高生产效率，降低成本， 增加利润。
运输问题
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定义：在多个供应点和需求点之间，如何分配有限的资源以达到 最大效益或满足某些特定条件的问题。
06
线性规划的发展趋势与展望
线性规划算法的改进与优化
算法优化：提高求解速度和精度，减少计算量 混合整数规划：将整数条件引入线性规划，解决更复杂的问题 启发式算法：采用启发式策略加速求解，适用于大规模问题 并行计算：利用多核处理器并行计算，提高求解效率
大数据背景下线性规划的应用拓展
线性规划在大数据时代的应用场景 线性规划在数据挖掘和机器学习中的应用 大数据对线性规划算法的挑战和机遇 线性规划在大数据分析中的未来展望
线性规划的数学模型
目标函数：要求最大或最小化 的线性函数
约束条件：决策变量的限制条 件，一般为线性不等式或等式
定义域：决策变量的取值范围
线性规划问题：在满足约束条 件下，求目标函数的最大或最 小值
线性规划的几何意义
线性规划问题可以转化为在可行域内寻找一组最优解 线性规划的目标函数可以表示为可行域上的一组直线 最优解通常位于可行域的顶点或边界上 线性规划问题可以转化为求解一系列线性方程组
人工智能与线性规划的结合展望
人工智能技术在 优化问题中的应 用
线性规划问题在 人工智能领域的 实际应用
人工智能算法与 线性规划算法的 结合方式
未来人工智能与 线性规划结合的 发展趋势和展望
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初始解的调整：如果初始基本可行解不满足最优性条件，需要进行调整以获得更好的解。
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am1
x1
am2 x2
L
amn xn
bm
x1 0, x2 0,L , xn 0
1.2 1.3
满足约束条件的X称为线性规划问题的可行解;
X x1, x2, , xn T
所有可行解的集合称为可行域 (feasible region),
使目标函数(1.1)达到最大值的可行解称为最优解(an optimal solution)。
A.基本可行解 B.非基本解
C.非可行解
D.最优解
4. X是线性规划的基本可行解，则有（ A. X中的基变量非零，非基变量为零 B. X不一定满足约束条件 C. X中的基变量非负，非基变量为零 D. X是最优解
）。
，P4
1
，P5
0
0
2
0
0
1
分别是变量 x1, x2 , x3, x4 , x5 的系数向量。
max z 3x1 5x2
3x1 2x2 x3
18
3 2 1 0 0
x1
x4 4
A 1 0 0 1 0
2x2
x5 12
0 2 0 0 1
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
XB x j1 , x j2 ,L , x jm 表示基变量向量，
X N 表示非基变量向量。
现令所有的非基变量都等于0，即
XN 0
则约束方程(1.2)可化为：
Pj1 x j1 Pj 2 x j 2 L Pjm x jm b
BXB b
1.4
它是一个m个变量m个方程组成的线性方程组，B又是可逆
在上例1中，
对应于 B1 的基解为 X1 0, 0,18, 4,12T
是一个基可行解，
对应于 B2 的基解为X2 0, 9, 0, 4, 6。
而不是基可行解。
思考题：试列出例1中问题的所有基解、基可行解。
注：给定线性规划问题LP，其基可行 解的数目是有限个，不会超过 Cnm 。
图1给出了线性规划问题的解的关系。
向量组 P3, P4 , P5 是线性无关组
B1 P3,P4,P5 是此问题的一个基
其中x3 , x4 , x5 为基变量，而 x1 , x2 是非基变量。
max z 3x1 5x2
3x1 2x2 x3
18
x1
x4 4
2x2
x5 12
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
例1 max z 3x1 5x2
3 x1 2 x2 x3
18
x1
x4 4
2 x2
x5 12
x1, x2 , x3 , x4 , x5 0
约束方程A的系数矩阵为：
其列向量：
3 2 1 0 0 A 1 0 0 1 0
0 2 0 0 1
3
2
1
0
0
P1
1
，P2
0
，P3
0
am1 x1 am2 x2 L amn xn bm x1 0, x2 0,L , xn 0
1.2 1.3
1、可行解 (a feasible solution)
maxz = c1x1 + c2x2 +L + cnxn 1.1
a11 x1 a12 x2 L a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 L a2n xn b2 s.t. L L L L
2．判断题（你认为下列命题是否正确， 对正确的打“√”；错误的打“×”。） 1．若线性规划无最优解则其可行域无界。 （） 2．凡基本解一定是可行解。 （ ）
3．线性规划的最优解一定是基本最优解。（ 4．线性规划的最优解是可行解。（ ） 5．可行解是基本解。（ ）
3.线性规划可行域的顶点一定是（ ）。
3.2 线性规划问题的基本解
基本概念：
可行解、可行域、最优解、基、基变量、基阵、基本可行 解
一、基本概念：
给定一个线性规划问题LP
max z c1x1 c2x2 L cnxn 1.1
a11 x1 a12 x2 L a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 L a2n xn b2 s.t. L L L L
1.3
记约束方程系数矩阵A的列向量是 P1, P2 , , Pn
即 A P1, P2 , , Pn ,
设 Pj1 , Pj2 ,L , Pjm 是A的m个列向量,
如果 Pj1, Pj2 , , Pjm 是线性无关的， 则称
Pj1, Pj2 , , Pjm 为基向量。
3、基变量(basic variables)
2、基(base)
max z c1x1 c2x2 cn xn 1.1
a11x1 a12 x2 L a1n xn b1 a21x1 a22 x2 L a2n xn b2 s.t.L L L L
1.2
am1x1 am2 x2 L amn xn bm x1 0, x2 0,L , xn 0
设Pj1 , Pj 2 ,L , Pjm 构成线性规划问题的一组基向量
, 则对应的变量 x j1 , x j 2 ,L , x jm 称为基变量，
其余的向量称为非基向量，其余的变量称为非基变量 (non-basic-variable)，
矩阵 B Pj1 , Pj2 ,L , Pjm
称为基或基阵(basic matrix)。
0
为一个基本可行解或基可行
(a basic feasible solution)；
相应的基B也称为可行基(feasible base)。
max z 3x1 5x2
3x1 2x2 x3
x1
x4
2x2
18 4 x5 12
3 A 1
0
2 0 2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
B 0。 （3）基的个数≤Cnm
max z 3x1 5x2
3x1 2x2 x3
18
x1
x4 4
2x2
x5 12
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
3 2 1 0 0 A 1 0 0 1 0
0 2 0 0 1
4、基解
设 B Pj1, Pj2 , , Pjm
是线性规划问题LP的一基阵，
3 2 1 0 0 A 1 0 0 1 0
0 2 0 0 1
向量组 P2 , P4 , P5 是线性无关组
B2 P2,P4,P5 是此问题的一个基
x2 , x4 , x5 是基变量，
而 x1, x3 是非基变量。
注：（1）基不一定唯一
（2）设B是A的一个m阶子矩阵，则B是线性规划问题 的基阵，当且仅当B是可逆阵
阵，从而得出(1.4)的唯一解
XB B1b
得出约束方程(1.2)至少含有n-m个0元的解
X0
B1b 0
称之为相应于基B的一个基本解或基解(a basic solution)。
5、基可行解
设
X0
B1b
0
是对应于基阵B的一个基解，
如果
B b1
X 0
0
0
则称 解.
B b1
X 0
非可行解
可基
行可
解
行 解
基 解
图1
1.设线性规划
max Z 5x1 2x2
2
x1
3x2
x3
50
4x1 2x2 x4 60
x
j
0,
j
1,L
Байду номын сангаас
,4
取基
B1
(P1，P3 )
2 4
1 0
、B2＝
2 4
10，
分别指出 B1和B2 对应的基变量和非基变量，
求出基本解，并说明 B1、B2 是不是可行基．