线性规划的图解法

价值系数向量或 目标函数系数向量
a11 a 21 A a m1
a12 a 22 am2
a1n a2n a mn
x1 x2 X x n
决策变量向量
b1 b2 b b模型的一般形式（推广）

设决策变量 x1 ，x2 ，… ，xn 目标函数：max（min）z = c1x1+c2x2+…+cnxn 约束条件 s.t.：a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤（=, ≥）b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn ≤（=, ≥）b2 …… am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤（=, ≥）bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥0
主要内容
问题的提出（建模）
线性规划模型的标准化
图解法
灵敏度分析
线性规划（Linear Programming）
规划问题：生产和经营管理中经常提出如何合理安 排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得 最大的效益。
线性规划是运筹学的一个重要分支。它是现代科学管 理的重要手段之一，是帮助管理者作出最优决策的一 个有效的方法。
线性规划问题的数学模型

例 如图所示，如何截取x使铁皮所围成 的容积最大？
x
v a 2 x x
2
a
dv 0 dx
2(a 2 x ) x (2) (a 2 x )2 0
a x 6
2.1 问题的提出（建模）

例1：某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产 品的生产，生产单位产品所需的设备台时及 A、B 两种原材料的消耗以及资源的限制，如 下表所示，问：工厂应分别生产多少单位Ⅰ、 Ⅱ产品才能使工厂获利最多？
线性规划问题建模过程应注意的问题：

1．要正确理解所要解决的问题，要搞清在什么条件下， 追求什么样的目标。 2．定义决策变量，每一个问题都用一组决策变量(X1，X2, …, Xn)的线性组合来表示；一组决策变量的具体值就代表 一个具体方案，一般这些变量取值是非负的。 3．用决策变量的线性函数形式写出所要追求的目标，称 之为目标函数，按问题的不同，要求目标函数实现最大化 或最小化。 4．用一组决策变量的等式或不等式来表示在解决问题过 程中所必须遵循的约束条件。 满足以上2、3、4三个条件的数学模型称之为线性规划的数
如何建立模型？
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例1完整的模型
设I、II产品分别生产x1
单位和x2单位， 目标函数：max z = 50 x1 + 100 x2 把满足所有约束条件的解称为该线性规 s.t. x1 + x2 ≤ 300 划的可行解。把使得目标函数值最大 2 x1 + x2 ≤ 400 (即利润最大) 的可行解称为该线性规划 的最优解，此目标函数值称为最优目标 x2 ≤ 250 函数值，简称最优值。 x1 , x2 ≥ 0
建模方法
线性规划的数学模型由三个要素构成


确定决策变量：用符号来表示模型要确定的未知量
确定目标函数：max f 或 min f ，是线性函数。目
标函数也是评价准则。

确定约束条件：s.t. (subject to)，反映客观条件
的限制，是线性变量的等式或不等式
线性规划的数学模型
怎样辨别一个模型是线性规划模型？
2．配料问题。用若干种不同价格不同成分含量 的原料，用不同的配比混合调配出一些不同价格 不同规格的产品，在原料供应量的限制和保证产 品成分的含量的前提下，如何获取最大的利润。
4

线性规划的应用
3．投资问题。从许多不同的投资项目中选 出一个投资方案，使得投资的回报为最大。 4．产品生产计划。合理充分地利用厂里现 有的人力、物力、财力，作出最优的产品生 产计划，使得工厂获利最大。 5．劳动力安排。某单位由于工作需要，在 不同时间段需要不同数量的劳动力，在每个 劳动力工作日连续工作八小时的规则下，如 何安排劳动力，才能用最少的劳动力来满足 工作的需要。
资源常数向量或约束 右端常数向量
技术系数或约束系数矩阵
线性规划模型的矩阵形式
Z CX c1 c2 x1 x2 c n c x c x cn xn 1 1 2 2 xn
（1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安 排，用最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人 工、时间等）去完成确定的任务或目标 （2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产 获得最好的经济效益（如产品量最多 、利润最大.）
线性规划的应用

在管理中经常应用的典型的线性规划问题：

1．合理利用线材问题。现有一批长度一定的钢 管，由于生产的需要，要求截出不同规格的钢管 若干。试问应如何下料，既满足了生产的需要， 又使得使用的原材料钢管的数量最少。
简写为：
max (min) Z
c x
j 1 j
n
j
a x
j 1 ij
n
j
( ) bi
(i 1 2 m) (j 1 2 n)
xj 0
线性规划模型的矩阵形式
max 或 min Z CX
AX (, )b s.t. X 0
C (c1 , c2 ,, cn )

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线性规划的应用
以上例子的共同点：
首先，每个例子中都要求达到某
些数量上的最大化或最小化的目 标。 其次，所有线性规划问题都是在 一定的约束条件下来追求其目标 的。
线性规划（Linear Programming）
线性规划的模型
线性规划模型的一般形式 线性规划模型的标准形式 线性规划的图解法
2 其特征是： min z 3x1 2x1x 2 x2 x3 （1）问题的目标函数是多个决策变量 s.t. 2x1 ≤8 x1 的线性函数，通常是求最大值或最小值； x1 x 2 4x 3 ≤9 （2）问题的约束条件是一组多个决策 x1 , x 2 , x 3 ≥0 变量的线性不等式或等式。