第二章线性规划模型和图解法全

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线性规划问题的数学模型
1 数学模型的提出 例 1.1 某塑料制品公司生产各种各样的塑料 CD 盒，
几种产品可以在同一生产线上制造，如果有新产品上就需 要对生产线改造。这个成本称为建造成本。有一种 CD 盒 建 造 成 本 为 3000 美 元 ， 这 个 成 本 就 是 固 定 成 本 (Fix Cost )，如果生产一个 CD 盒劳动力和材料成本为 2 美元。
X
x n
b1
B
b m
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线性规划问题的数学模型
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5. 线性规划问题的标准形式
n
maxZ cj xj j1
s.t
n j1
aij
xj
bi
i 1,2, ,m
xj 0, j 1,2, ,n
特点：
(1) 目标函数求最大值（有时求最小值）
(2) 约束条件都为等式方程，且右端常数项bi都大于或等于零 (3) 决策变量xj为非负。
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线性规划问题的数学模型
约束方程的转换：由不等式转换为等式。
aijxj bi
aijxj xni bi
xni 0 称为松弛变量
aijxj bi
aijxj xni bi
xni 0 称为剩余变量
变量 x j 0的变换
可令 xj xj ， 显然 xj 0
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LP方法应用的典型情况
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2 在管理中一些典型的线性规划应用
（1） 生产的组织与计划问题：合理利用现有的 人 力、物力、财力做出最优产品生产计划。 （2）运输问题：根据生产单位的产量和销售单位的 销量，制订产品调运方案，使得总运费最小。 （3）合理下料问题：如何裁截下料，既满足生产需 要，又使得所用的材料数量最少。 （4） 配料问题：在原料供应量限制和保证产品成分 含量的前提下，获取最优配料方案
Chapter2 线性规划模型和图解法
(Linear Programming---LP)
本章主要内容：
LP方法应用的典型情况 LP的数学模型 LP模型的图解法 LP问题的计算机求解
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Chapter2 线性规划模型和图解法
本章教学目的、重点、难点：
掌握线性规划问题数学模型建立和线性规划模型的特征； 线性规划模型的一般形式及标准形式，解的相关概念； 掌握两个变量线性规划问题的几何作图求解方法； 掌握两个变量线性规划模型可行域的特点及最优解存在 的位置； 熟悉计算机QM软件求解线性规划问题的步骤。
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线性规划问题的数学模型
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6 如何化标准形式
目标函数的转换
如果是求极小值即 mzin cjxj
则可将目标函数乘以(-1)，可化为求极大值问题。
即 mza x z cjxj
也就是：令 z ，可z得到上式。
变量的变换
若存在取值无约束的变量 ，x可j令
其中： xj , xj 0
xj xj xj
( ) B
X 0
其中： C(c1 c2cn)
x1 ห้องสมุดไป่ตู้
X
x n
P
j
a
1j
a mj
b1
B
b m
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线性规划问题的数学模型
矩阵形式：
max(min)Z CX
AX ( ) B
X
0
其中： C(c1 c2cn)
a11
A
am1
a1n amn
x1
例1.2 某企业计划生产甲、乙两种产品。这些产品分 别要在A、B、C、D、四种不同的设备上加工。按工 艺资料规定，单件产品在不同设备上加工所需要的台 时如下表所示，企业决策者应如何安排生产计划，使 企业总的利润最大？
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线性规划问题的数学模型
解：设x1、x2分别为甲、乙两种产
品的产量，则数学模型为：
解 设生产 CD 盒的数量为 x 个，则成本数量模型为：
c(x) 3000 2x
c(x)就是边际成本(Marginal Cost)，边际成本是指在 产量变化时，总成本的变化率。 .
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线性规划问题的数学模型
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易拉罐的设计理念
具体下料--模型的建立
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线性规划问题的数学模型
2 线性规划模型的建立
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LP方法应用的典型情况
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1. 规划问题阐述 生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、 物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益， 这就是规划问题。
线性规划通常解决下列两类问题：
（1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用 最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时间等） 去完成确定的任务或目标 （2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最 好的经济效益（如产品量最多 、利润最大.）
怎样辨别一个模型是线性规划模型？
其特征是：
（1）问题的目标函数是多个决策变量的线性函数， 通常是求最大值或最小值；
（2）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不
等式或等式。
模型建立练习：P13
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线性规划问题的数学模型
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4. 线性规划数学模型的一般形式
目标函数：max(min)z c1x1 c2x2 cnxn a11x1 a12x2 a1nxn ( ) b1
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LP方法应用的典型情况
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2 在管理中一些典型的线性规划应用
（5）营销管理问题：要从几种媒体中选择一种组合， 使其在广告费用预算条件下广告效益最好。 （6）投资组合问题：选择一组股票或证券进行投资， 使得有最大的回报率。 （7）人力资源管理问题：在不同的时间段需要不同数 量的劳动力，如何安排劳动力才能用最少的劳动力来满 足工作的需要。
约束条件：
am1x1 am2x2 amnxn ( ) bm
x1 0 xn 0
n
简写为：max (min)
Z
cjxj
j 1
n
aij xj ( ) bi (i 1 2 m)
j 1
xj 0
(. j 1 2 n)
线性规划问题的数学模型
向量形式： max(min)z CX
pj xj
max Z = 2x1 + 3x2 2x1 + 2x2 ≤ 12
x1 + 2x2 ≤ 8
s.t.
4x1
≤ 16
4x2 ≤ 12 x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
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线性规划问题的数学模型
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3. 线性规划的数学模型由三个要素构成 决策变量 Decision variables 目标函数 Objective function 约束条件 Constraints