高中数学第二章《数列》复习课导学案(无答案)新人教版必修5
高中数学 第二章 数列 24 等比数列学案(无答案)新人教A版必修5 学案
2.4等比数列【学习目标】理解等比数列、等比中项的概念，能推导并掌握通项公式，能熟练运用通项公式和一些常用性质解决有关问题． 【重点难点】重点：等比数列的定义和通项公式及其应用．难点：等比数列的通项公式的应用．【学法指导】学习本节一定要认真阅读教材，运用从特殊到一般和类比等差数列的定义、通项公式的方法归纳等比数列的定义、通项公式． 一.课前预习阅读课本4852P P 页，弄清下列问题：1．等比数列的概念： ．2．用数学式子表示等比数列的定义： {}n a 是等比数列，则*1()n na q n N a +=∈． 强调：（1）“从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数”，要防止在求公比 时，把相邻两项比的次序颠倒．（3）当公比q ＝ 时，等比数列是常数列，该数列也是等差数列．（4）等比数列的每一项都不为 ．3．等比数列的通项公式： ． 4．等比中项的定义： ． 5．快乐体验：(1)若等比数列155,45a a ==，求公比q ； (2)若等比数列12,33a q ==，求4a ．(3)若等比数列3312,2a q ==，求1a ； (4)若等比数列的12,54,3,n a a q ===求n ．(5)若4,9a b ==，求,a b 的等比中项．二．课堂学习与研讨例1．某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留量是原来的84%．这种物质的半衰期为多长？（精确到1年）（参考数据：lg 20.3010,lg0.840.0757,0.30100.0757 3.98==-÷≈）练习1．（教材53P 练习5）某人买了一辆价值13．5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度折旧． （1）用一个式子表示*()n n N ∈年后这辆车的价值；（2）如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？例2．等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项．练习2. 在等比数列{}n a 中，473,81,n a a a ==求.小结：3．等比中项：若,,a G b 成等比数列，则2G ab =． 三.课堂检测1．若a ,22a +,33a +成等比数列，则实数a 的为 ．2．在等比数列中，（1）若已知2514,2a a ==-求n a ． （2）若253618,9,1n a a a a a +=+==，求n .四．作业 1． P53A1 2. 在83和272之间插入3个数，使这五个数成等比数列，求这三数？3. 在等比数列{}n a 中，已知1910185,100,a a a a =⋅=求.2.5等比数列的前n 项和公式【学习目标】1.掌握等比数列的前n 项和公式11,1(1),11n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨⎪≠-⎩2.在等比数列{}n a 中，n n s n d a a 、、、、1五个量中“知三求二”.3.通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想和等价转化的思想. 【重点难点】重点：等比数列前n 项和公式的推导和运用.难点：等比数列前n 项和公式的推导. 【学法指导】学习本节时好好体会错位相减法求和的思路，分析等比数列的通项公式和前n 项和公式的特点，体会知三求二的方程思想． 一.课前预习 预习课本5557P P 页，回答下列问题：1．传说，很早以前，印度的一位宰相发明了国际象棋，当时的国王非常高兴，决定奖赏他，国王允许宰相提出任何要求，于是这位聪明的宰相便请国王在国际象棋棋盘的第一个格子里放入一颗麦粒，第二个格子里放入两颗麦粒，第三个……，就这样，依此类推，要求从第二个格子起，每个格子里的麦粒数是前一个格子里麦粒数的两倍，他请求国王给予他这些麦粒的总和。
高中数学 第二章《数列(复习)》导学案 新人教A版必修5
第二章 《数列（复习）》1. 系统掌握数列的有关概念和公式；2. 了解数列的通项公式n a 与前n 项和公式n S 的关系；3. 能通过前n 项和公式n S 求出数列的通项公式n a .【知识链接】（复习教材P 28 ～P 69，找出疑惑之处）(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列．(2)等差、等比数列的定义．(3)等差、等比数列的通项公式．(4)等差中项、等比中项．(5)等差、等比数列的前n 项和公式及其推导方法．【学习过程】※ 学习探究1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．2．等差、等比数列中，a 1、n a 、n 、d (q )、n S “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法．3． 求等比数列的前n 项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想．4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等．5. 数列求和主要：（1）逆序相加；（2）错位相消；（3）叠加、叠乘；（4）分组求和；（5）裂项相消，如111(1)1n n n n =-++. ※ 典型例题例1在数列{}n a 中，1a ＝1，n ≥2时，n a 、n S 、n S －12成等比数列. （1）求234,,a a a ； （2）求数列{}n a 的通项公式.例2已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列{b n }的第二项，第三项，第四项．（1）求数列{a n }与{b n }的通项公式；（2）设数列{c n }对任意正整数n ，均有3121123n n nc c c c a b b b b ++++⋯⋯+=，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2004的值．※ 动手试试练 1. 等差数列{}n a 的首项为,a 公差为d ；等差数列{}n b 的首项为,b 公差为e . 如果(1)n n n c a b n =+≥，且124,8.c c == 求数列{}n c 的通项公式.练2. 如图，作边长为a 的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆.如此下去，求前n 个内切圆的面积和.练3. 一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去回了5个伙伴; 第2天， 6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴，……，如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有（ ）只蜜蜂.A. 55986B. 46656C. 216D. 36【学习反思】※ 学习小结1. 数列的有关概念和公式；2. 熟练掌握有关概念和公式并能灵活运用，培养解决实际问题的能力.※ 知识拓展数列前n 项和重要公式：2222(1)(21)1236n n n n +++++=； 3332112[(1)]2n n n ++=+※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 集合{}*21,,60M m m n n N m ==-∈<的元素个数是（ ）.A. 59B. 31C. 30D. 292. 若在8和5832之间插入五个数，使其构成一个等比数列，则此等比数列的第五项是（ ）.A ．648B ．832C ．1168D ．19443. 设数列{}n a 是单调递增的等差数列，前三项的和是12， 前三项的积是48，则它的首项是（ ）.A. 1B. 2C. 4D. 84. 已知等差数列245,4,3, (77)的前n 项和为n S ，则使得n S 最大的序号n 的值为 . 5. 在小于100的正整数中，被5除余1的数的个数有 个；这些数的和是1. 观察下面的数阵， 容易看出， 第n 行最右边的数是2n ， 那么第20行最左边的数是几?第20行所有数的和是多少?12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23 24 25… … … … … …2. 选菜问题：学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A ，B 两种菜可供选择.调查资料表明，凡是在星期一选A 种菜的，下星期一会有20% 改选B 种菜；而选B 种菜的，下星期一会有30% 改选A 种菜. 用,n n a b 分别表示在第n 个星期选A 的人数和选B 的人数，如果1300,a = 求10a .。
最新人教版高中数学必修5第二章《复习》示范教案
本章复习（一）从容说课本章通过生产实际和社会生活中的实际引入了等差数列与等比数列这两种特殊数列的概念、有关知识和方法.重点研究了等差数列与等比数列的通项公式、基本性质、前n项和公式以及用上述知识解决生产实际与社会生活中有关的实际问题.数列在现实世界中无处不在，等差数列与等比数列是其中的两种特殊的数列，发现数列的等差关系或等比关系是首先遇到的问题，也是学习中需要培养的最基本的能力.只有在观察和思考过程中迅速发现等差关系或等比关系，才能进一步地建立等差数列或等比数列的数学模型，接下来再用等差数列或等比数列的通项公式和有关的性质分析问题和解决问题.数列实际上是特殊的函数，是定义在正整数集N*(或它的有限集{1，2，3，…，n})上的函数.数列的项实际上是定义域为正整数集N*(或它的有限集{1，2，3，…，n})的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.学习中学会用函数的观点认识数列，是理解数列的概念和性质的有效途径.尤其对等差数列与等比数列这两种特殊数列，更需要清楚地认识到它们与一次函数与指数函数的对应关系.进而，还可以将知识拓展到等差数列的前n项和与二次函数的关系.数列的通项公式描述的是数列的第n项与序号n之间的函数关系，它是研究数列性质的载体，也是联系问题的已知条件与所要解决的问题的桥梁.它是分析问题与解决问题过程中最受关注的目标.等差数列与等比数列的通项公式的推导，采用了不完全归纳法；等差数列与等比数列的前n项和公式的推导分别采用了“倒序相加”和“错位相减”的方法；本章在有关的问题的探索过程中还蕴含着更多的数学思想方法，如函数与方程的思想、数形结合的思想、转化与化归的思想、算法的思想、分类讨论的思想方法等等.所有蕴含这些思想方法的问题，都是培养和提高学生的数学素养的极好素材，需要我们潜心探究，以更好地体现新课程标准的 理念.学习过程中，用数列这个数学模型研究和解决生产实际与社会生活中的现实问题，是本章的一个重要内容，通过对“教育储蓄问题”“住房贷款问题”等问题的探究，既巩固了数学知识，又培养了学生的人生观和价值观，收到的效果是不可估量的，这类问题值得我们高度重视.数列学习中，学生将在理解概念和性质的基础上，结合对具体教学实例的分析，体验数列这个数学模型在解决问题中的特殊作用；通过合作交流、独立思考、自主探索，发展有条理的思考与表达能力，提高逻辑思维能力.数列，特别是等差数列与等比数列，既有知识性，又有趣味性和实用性，在物理、化学、生物等学科，以及经济、天文、历法等领域，都有它的身影.我们应当适当地引导学生拓展知识的空间，更好地应用知识，乃至于更好地提高思想水平和能力水平.在实例的选择中，我们要把握这样一些原则：亲和原则.选取的例子要贴近学生，或者来自学生的生活实践，或者使用学生所学过的数学.趣味性原则.选取的实例一般要有丰富的背景，本身要有趣味性.基础性原则.问题本身并不难，但要蕴涵丰富的思想方法.本节课作为本章的小结，旨在和学生一起站在全章的高度，以问题解决为主线，以典型例习题为操作平台，以巩固知识、发展能力、提高素养为目的对本章作全面的复习总结，帮助学生进一步提高对数列的理解和认识，优化知识结构.鉴于本节课是复习课，小结应主要由学生来完成，教师帮助其完善和补充，练习题也放手由学生来完成，教师做好组织者和引导者的工作.教学重点1.系统化本章的知识结构；2.提高对几种常见类型的认识；3.优化解题思路和解题方法，提升数学表达的能力.教学难点解题思路和解题方法的优化.教具准备多媒体课件，投影胶片，投影仪等三维目标一、知识与技能1.进一步理解数列基础知识和方法，能清晰地构思解决问题的方案；2.进一步学习有条理地、清晰地表达数学问题，提高逻辑思维能力；3.加强对等差数列与等比数列的性质的理解，提高“知三求二”的熟练程度；4.在理解的基础上进一步熟练地构建数列模型解决实际问题.二、过程与方法1.通过实例，发展对解决具体问题的过程与步骤进行分析的能力；2.通过独立思考、合作交流、自主探究的过程，发展应用数列基础知识的能力；3.在解决具体问题的过程中更进一步地感受数列问题中蕴含的思想方法.三、情感态度与价值观1.通过具体实例，感受和体会数列在解决具体问题中的意义和作用，认识数列知识的重要性；2.感受并认识数列知识的重要作用，形成自觉地将数学知识与实际问题相结合的 思想；3.在解决实际问题过程中形成和发展正确的价值观.教学过程导入新课数列是高中代数的重要内容之一，也是高考考查的重点.它的主要内容主要有两个方面：第一方面是数列的基本概念，如等差数列的定义、等比数列的定义、通项公式、等差中项、等比中项、数列的性质以及数列的前n项和公式等；第二方面是数列的运算和实际应用，即运用通项公式、前n项和公式以及数列的性质求一些基本量，运用数列的基础知识探究与解决实际问题.应用本章知识要解决的主要问题有：(1)对数列概念理解的题目；(2)等差数列和等比数列中五个基本量a1,a n,d(q),n,S n“知三求二”的问题；(3)数列知识在实际方面的应用.在解决上述问题时，一是要用函数观点来分析解决有关数列问题；二是要运用方程的思想来解决“知三求二”的计算问题；三是能自觉地运用等差、等比数列的特征来化简计算；四是树立应用意识，能用数列有关知识解决生产生活中的一些问题.推进新课师出示多媒体课件一：(请同学们自己将框中的公式补充完整)师等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式都不止一种形式，请同学们在总结的时候不要忘记它们中的任何一种形式.［回顾与思考］1.知识的发生发展过程：师你能从函数的观点认识数列吗？你能体会学习数列与学习实数之间的异同吗？等差数列与等比数列的通项公式反映了什么函数关系？它们的图象各有什么特点呢？生思考.师请看下面的结构框图(出示多媒体课件二)：师请同学们理解并解释框图的结构及其含义.2.通项公式与前n项和公式的推导中的思想方法：师你能清楚地说出等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式的一种推导方法吗？每一个公式的推导能说出几种方法吗？生回忆学习过程中自己已经掌握的方法，并积极发言.师在它们的前n项和公式的推导中，请大家特别注意其中的两种推导方法：等差数列的前n项和公式推导中的“倒序相加法”与“叠加法”；等比数列的前n项和公式推导中的“错位相减法”与“叠乘法”；另外，还应该知道，对于任何数列{a n}，S n与a n有以下关系：a n=S1,n=1,S n-S n-1,n＞1.师你知道这个公式在解决问题中有哪些作用吗？生思考，回答.3.应用本章知识要解决的主要问题：师你明确应用本章知识要解决哪些问题吗？生应用本章知识要解决的主要问题有：(1)对数列概念理解的题目；(2)等差数列和等比数列中五个基本量a1,a n,d(q),n,S n“知三求二”的问题；(3)数列知识在生产实际和社会生活中的应用.师肯定学生的回答，必要时给予补充.师出示投影胶片1：例题1.【例1】设{a n}是公比为q的等比数列，S n是它的前n项和.若{S n}是等差数列，求q 的值.［合作探究］师这是一个关于等差数列与等比数列的基本概念和基本性质的基本题，起点比较低，入手的路子宽.你如何想？生独立思考，列式、求解.师组织学生交流不同的解题思路，概括出典型的解题方法的过程.参考答案如下：(投影胶片2)解法一：利用定义，∵{S n}是等差数列，∴a n=S n-S n-1=…=S2-S1=a2.∴a1·q n-1=a1·q.∵a1≠0,∴q n-2=1.∴q=1.解法二：利用性质，∵{S n }是等差数列，∴a n =S n -S n -1=S n -1-S n -2=a n -1,a 1·q n -1=a 1·q n -2.∵a 1≠0,q≠0,∴q=1.解法三：利用性质，∵2S 2=S 1+S 3，∴2(a 1+a 2)=a 1+a 1+a 2+a 3,即a 2＝a 3.∴q=1.师 点评：还可以用求和公式、反证法等.师 出示投影胶片3：例题2.【例2】 设数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋2n ＋4(n ∈N ).(1)写出这个数列的前三项；(2)证明数列除去首项后所成的数列a 2，a 3，…，a n ，…是等差数列.［合作探究］师 第1个问题很容易思考，请同学们独立完成.生 迅速作答.解：（1）a 1=S 1=7,a 2=S 2-S 1=22+2×2+4-7=5,a 3=S 3-S 2=32+2×3+4-(7+5)=7,即a 1=7,a 2=5,a 3=7.师 第2个问题是要证明一个数列是等差数列，这里的关键是要注意条件中的“除去首项后”，你能把握好这个条件的运用吗？生 自主探究，组织数学语言，准确表达推理过程.参考答案：(投影胶片4)（2）∵⎩⎨⎧-=-,1,11n nS S n S n ＞1， ∴当n ＞1时，a n ＝S n -S n -1＝n 2＋2n ＋4- [(n -1)2＋2(n -1)＋4]＝2n ＋1.a n ＋1-a n ＝2(定值),即数列{a n }除去首项后所成的数列是等差数列.师 点评：a n ＝S 1,n =1,S n -S n -1,n ＞1 是一个重要的关系式，要充分发挥它的作用.还有其他不同的证法，请同学们多交流.师 出示投影胶片5：例题3.【例3】 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数.［合作探究］师 三个数成等差数列，在设法上应根据条件的特殊性考虑特殊的设法，同样，三个数成等比数列，也要注意兼顾前三个数已经设出来的形式.生 积极思考，列式探究，踊跃发言.师 观察学生的思考情况，指点学生寻找合理的思路.归纳、概括、总结学生的解题结果，给出如下两种典型解法.投影胶片6解法一：设四个数依次为a -d ，a ，a ＋d ，ad a 2)(+， 依题意有 (a -d )＋ad a 2)(+＝16,① a ＋(a ＋d )＝12,②由②式得 d ＝12-2a .③将③式代入①式整理得a 2-13a ＋36＝0.解得a 1＝4，a 2＝9.代入③式得d 1＝4，d 2＝-6.从而所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.投影胶片7解法二：设四个数依次为x ，y ，12-y ，16-x ，依题意有⎩⎨⎧-=-=-+②①2)12()16(,2)12(y x y y y x由①式得x ＝3y-12.③将③式代入②式得y(16-3y ＋12)＝(12-y)2.整理得y 2-13y ＋36＝0,解得y 1＝4，y 2＝9,代入③式得x 1＝0，x 2＝15.从而得所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.师 点评：本题若采用其他设求知量的方法列方程，解题过程会是怎么样的呢？请同学们课外探究一下，并在本题上述设求知量的方法的基础上，思考四个数成等差数列的常见设法，以及四个数成等比数列的常见设法.师 出示投影胶片8：例4.【例4】 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，S 12＞0，S 13＜0，（1）求公差d 的取值范围；（2）指出S 1，S 2，…S 12中哪一个值最大，并说明理由.［合作探究］分析：本题的条件形式上比较特殊，属于同学们不太熟悉的面孔，思考应该从最熟悉的角度入手.师 引导：第1个问题，目标是关于d 的范围的问题，故应当考虑到合理的选用等差数列的前n 项和的哪一个公式.其次，条件a 3＝12可以得出a 1与d 的关系，列式中可以用来代换掉另一个量，起到减少求知量的作用.生 在教师的引导下，列出式子，将问题化归为一个关于d 的不等式.参考答案：投影胶片9解：（1）依题意有S 12＝12a 1＋21×12×11d ＞0, S 13＝13a 1＋21×13×12d ＜0, 即2a 1＋11d ＞0,①a 1＋6d ＜0.②由a 3＝12，得a 1＝12-2d ,③将③式分别代入①②式得24＋7d ＞0且3＋d ＜0， ∴724-＜d ＜-3为所求. 师 对第2个问题的思考，可以有较多的角度，请同学们合作探究，交流你们的想法，寻找更好的思路.生 积极活动，在交流中受到启发，得到自己的成功的解法.师 收集、整理出学生的不同思路，公布优秀的思考方法和解题过程，归纳出如下几种解法： 投影胶片10（2）解法一：由(1)知d ＜0，∴a 1＞a 2＞a 3＞……＞a 12＞a 13，因此，若在1≤n ≤12中存在自然数n ，使得a n ＞0，a n ＋1＜0，则S n 就是S 1，S 2，…，S 12中的最大值，由于S 12=12a 1+21×12×11d =6(2a 1+11d )＝6(a 6＋a 7)＞0，S 13=13a 1+21×13×12d =13(a 1+6d )＝13a 7＜0,∴a 6＞0，a 7＜0，故在S 1，S 2，…，S 12中，S 6最大.投影胶片11解法二：S n ＝na 1＋21n (n -1)d ＝n (12-2d )＋21 (n 2-n )d ＝2)245()2245(222d d d n d ----. ∵d ＜0，∴2)2245(d n --最小时，S n 最大， 而当724-＜d ＜-3时，有6＜2245d -＜6.5，且n ∈N ， ∴当n ＝6时，(n -2245d -)2最小，即S 6最大. 投影胶片12解法三：由d ＜0，可知a 1＞a 2＞a 3＞…＞a 12＞a 13，因此，若在1≤n ≤12中存在自然数n ，使得a n ＞0，a n ＋1＜0，则S n 就是S 1，S 2，…，S 12中的最大值，由S 12＞0，S 13＜0，有12a 1＋21×12×11d ＞0a 1＋5d ＞-2d ＞0; 13a 1＋21×13×12d ＜0a 1＋6d ＜0. ∴a 6＞0，a 7＜0，故在S 1，S 2，…，S 12中，S 6最大.投影胶片13解法四：同解法二得S n ＝2d (n -2245d -)2-2245d -. ∵d ＜0，故S n 的图象是开口向下的一条抛物线上的一些点，注意到S 0＝0，且S 12＞0，S 13＜0，知该抛物线与横轴的一个交点是原点，一个在区间(12，13)内，于是抛物线的顶点在(6，6.5)内，而n ∈N ，知n ＝6时，有S 6是S 1，S 2，…，S 12中的最大值.课堂小结本节学习了如下内容：1.第二章“数列”一章知识和方法的概括性回顾与思考.2.运用中典型例题的探究.布置作业1.独立完成复习参考题A组题.2.开展探究活动，思考更深刻的数列知识运用的问题.。
高中数学 第二章 数列 数列求通项、求和 求数列通项公式累乘和累加法学案(无答案)新人教A版必修5
专题：求数列的通项公式——累加法和累乘法学习目标1. 掌握并能熟练应用数列通项公式的常用方法：累加法和累乘法；2. 通过对例题的求解引导学生从中归纳相应的方法，明确不同的方法适用不同的前提、形式，使学生形成解决数列通项公式的通法；3. 感受知识的产生过程，通过方法的归纳，形成事物及知识间联系与区别的哲学观点，体会数学累加思想和累乘思想。
________________________________________________________________________________ 自学探究：回顾等差、等比数列的通项公式推导过程，完成下列任务。
例：已知数},{n a 其中,,111n a a a n n +==+①求它的通项n a 。
变题1：把①式改为;11+=+n n a a变题2：把①式改为;21n n n a a +=+小结1：通过求解上述几个题，你得到什么结论？变题3：把①式改为;11n n a nna +=+变题4：把①式改为;21n n a a =+小结2：通过求解上述2个题，你得到什么结论？挑战高考题：1.(2015.某某.17）已知数列{}n a 满足n nn a a a 2,211==+，)*∈N n （。
（1）求n a2.（2008.某某.5）在数列{}n a 中，)11ln(,211na a a n n ++==+，则=n a （ ）. A.n ln 2+ B.n ln 1-n 2）（+ C.n n ln 2+ D.n n ln 1++你能否自己设计利用累加法或累乘法求解数列通项公式的题？通过本节课的学习你收获了什么？。
高中数学 第二章《数列》复习课导学案 大纲人教版
高中数学 第二章《数列》复习课导学案 大纲人教版一、学习目标：1．掌握等差、等比数列的通项公式、前n 项和公式及其几何意义．2．系统运用数列知识解决有关问题．二、预习指导：1．数列数列的通项公式：⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n S S n S a a n n n ，数列的前n 项和： n n a a a a S ++++= 321． 2．等差数列⑴等差数列的判定方法:①定义法；②等差中项法．⑵等差数列的通项公式：=n a ．⑶等差数列的前n 项和： n S = ． ⑷等差数列的性质：①等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有=n a ．②对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则 ．③若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成数列．3．等比数列⑴等比数列的判定方法：①定义法；②等比中项法．⑵等比数列的通项公式：=n a ．⑶等比数列的前n 项和：n S = ；当1=q 时，n S ．⑷等比数列的性质：①等比数列任意两项间的关系：如果n a 是等比数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公比为q ，则=n a ．②对于等比数列{}n a ，若v u m n +=+，则 ．③若数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成数列4．数列求和常用方法：三、预习检查1．等比数列{}n a 中，1101,3,a a ==则2349a a a a =____________． 2．已知{}n a 是等差数列，1010a ，其前10项和7010=S ，其公差________d ．3．已知数列的前n 项和29n S n n ，则其通项公式________n a ；若它的第k 项满足58k a ，则=k ____________．4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若123,2,3S S S 成等差数列，则{}n a 的公比为____________．5．求数列1111,4,7,248前10项的和． 三、例题：例1 在等比数列{}n a 中，如果12344060a a a a +=+=，，那么78a a += .分析：以等比数列的首项1a 和公比q 为基本量列方程组求解，适当运用整体思想可使运算简化.变式 已知等比数列{}n a 中前8项的和308=S ，前16项的和15016=S ，求20S . 例2 已知数列{}n a 满足121+=+n n a a ，且11=a ，（1）证明数列{}1+n a 是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式.变式 已知数列{}n a 的前n 项和满足n a S n n +-=，且211=a ， （1）证明数列{}1-n a 是等比数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .练习：1．数列{}n a 是等比数列，15,a a 是方程2540x x -+=的根，则3a = ． 2．已知数列{}n a 的前n 项和31n n S =+，则数列{}n a 的通项公式为 ．3．数列{}n a 的通项公式是n a =，则它的前10项的和10S = ． 4．数列{}n a 的前n 项的和278n S n n =-，则5a = ．5．在等比数列{}n a 中, 12166,128n n a a a a -+==,且前n 项的和为126n S =,求n q 及公比四、课外作业：做P60页的复习题。
高中数学必修5《数列-复习课》学案
例1已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a2＋a1＝
2 ，a3＋a4＋a5＝64 .
N*)⇔{an}是等差数列；Sn＝aqn－a(a，q为常数，且a≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇔{an}是等比数列．
5．求数列的前n项和的基本方法
(1)公式法：利用等差数列或等比数列前n项和Sn公式；
(2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．
3．求数列的通项
(1)数列前n项和Sn与通项an的关系：
an＝
(2)当已知数列{an}中，满足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an，常利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)．
(3)当已知数列{an}中，满足 ＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用累积法求数列的通项an，常利用恒等式an＝a1· · ·…· .
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝ 2，求{bn}的前n项和Tn.
跟踪演练1记等差数列{an}的前n项和为Sn，设S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列，求Sn.
题型二 转化与化归思想求数列通项
由递推公式求通项公式，要求掌握的方法有两种，一种求法是先找出数列的前几项，通过观察、归纳得出，然后证明；另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列，再采用公式求出．
2．数列求和的方法：一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．
高中数学必修5导学案_第二章_数列
§2.1数列的概念与简单表示法(1)学习目标1. 理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；2. 了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3. 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式.学习过程一、课前准备复习：函数，当x 依次取1，2，3，…时，其函数值有什么特点？二、新课导学学习探究⒈ 数列的定义： 的一列数叫做数列.⒉ 数列的项：数列中的 都叫做这个数列的项.反思：⑴ 如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们是相同的数列？⑵ 同一个数在数列中可以重复出现吗？3. 数列的一般形式：123,,,,,n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第 项.4.数列的分类：1）根据数列项数的多少分 数列和 数列；2）根据数列中项的大小变化情况分为 数列， 数列，数列和 数列.5．数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与n 之间的关系可以用 一个式子 来表示，那么 这个公式 就叫做这个数列的通项公式.典型例题写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：⑴ 1，－12，13，－14； ⑵ 1， 0， 1， 0.变式：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：⑴12，45，910，1617；⑵1，－1，1，－1；反思：⑴所有数列都能写出其通项公式？⑵一个数列的通项公式是唯一？例2已知数列2，74，2，…的通项公式为2nan bacn+=，求这个数列的第四项和第五项.变式：已知数列5，11，17，23，29，…，则55是它的第项.小结：已知数列的通项公式，只要将数列中的项代入通项公式，就可以求出项数和项.三、总结提升知识拓展数列可以看作是定义域为正整数集的特殊函数.思考：设()f n＝1＋12＋13＋…＋131n-（n∈*N）那么(1)()f n f n+-等于（）A.132n+B.11331n n++C.113132n n+++D.11133132n n n++++。
高中数学 第二章 数列 数列通项公式的求法导学案(无答案)新人教A版必修5(2021年整理)
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数列通项公式的求法 一、学习目标：1、 掌握求数列通项公式的几种常用方法.2、 仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰当的方法,迅速求出数列的通项公式。
学习重点：学会构造法处理数列通项的方法与本质。
二、学习过程前言数列的通项公式是数列的核心之一。
各种数列问题在很多情形下,就是对数列通项公式的求解.特别是在一些综合性比较强的数列问题中,数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。
因此，求数列的通项公式往往是解题的突破口、关键点。
本节课我们将在前一节课的基础上，继续探讨数列通项公式的求法,希望大家认真思考，主动探究，合作交流,积极发言。
第一部分 复习回顾环节(一）、课前热身，巩固所学:1、已知数列}{n a ，1a 1=，1n a +=n a 2+，求｛a n }的通项公式.变式:已知数列}{n a ，1a 1=,1n a +=n a n 2+,求｛a n }的通项公式。
2、已知数列｛a n ｝满足)(,2,111*+∈==N n a a a n n ，求{a n ｝的通项公式.变式：若条件变为)(,21*+∈=N n a a n n n ，求{a n }的通项公式。
环节（二）、总结方法,形成规律：问题1:你能总结出我们所学的求数列通项公式的方法吗?问题2：请同学们思考在递推式q pa a n n +=+1（p ，q 为常数）中，① 当p=1时，如何求n a ?② 当p ≠0，q=0时，又可以转化为何种类型求通项公式？问题3：如何由递推式q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）,求n a ？为了解决这个问题，让我们一起结合例1进行思考：第二部分 探索新知1、 q pa a n n +=+1型(其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）例1： （福建高考理）已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈求数列{}n a的通项公式。
高中数学2.5数列的求和导学案(无答案)新人教版必修5
数列求和学习目标：1 •熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式；「消等重要的数学方法进行求和运算; nd q(3)求和S【课内探究］变式：已知a n n 2n 1，求数列｛a n ｝的前n 项和S n .2 •能运用分组求和、、问题导学 (复习回顾)(1)等差数列求和公式: S 1 uuuujujujuuuuir错位相减、裂项相 (2)等比数列求和公式: S n a n q例1、求和：(1 S n 11 31 51 2 4 8 L [(2n 1)1 1 1 1 班】；⑵S n 1 3 4 L (2n 1) 2【总结提升】1、 公式法2、 裂项相消法求和把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相 互抵消，于是前 n 项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。
适用于类似（其中a n 是各项不为零的等差数列， c 为常数）的数列、部分无理数列等。
用裂项相消 a n a n 1法求和，常见的裂项方法：1 111 1 11 （1） ——11 1 —，特别地当k 1时，——1 1 — nnkknnknn1nn1 A A ” A _（2） _ _ 一 . n k • n ，特别地当 k 1 时 --------------------- —.n 1•. n .n k 一 n k. n 1 n 3、错位相减法若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差•比”数列，则采用错位相减法。
若 a n b n c n ，其中b n 是等差数列， c n 是公比为q 等比数列，令 S n biG b 2c 2 L b n 1c n 1 b n c n则qS n -b© b ?C 3 L b n 1C nb nCi r 两式相减并整理即得其它常用的方法还有倒序相加法、分组求和法 【课后作业】例2、已知数列 a n 的通项公式为a n n(n 2) ，求它的前n 项和S n .1 (n 1)(n 3)5.求和：S n x 2x 2 3x 3 L nx n . 1. S n 2 3 5 4 3 52 6 3 53 L 2n 3 5n 2.化简:3.数列 1,(1 2),(1 2 22),L ,(1 2 22 L 2n 1),L 的通项公式a n ，前n 项和Sn _______ 4、求和：S n 14 4 7 1 _____ (3n 2) (3n 1)。
人教A版高中数学必修五第二章《数列》复习教案-9页word资料
人教A 版高中数学必修五第二章《数列》复习教案1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
（1）数列}{n a 的通项为1+=bn ana n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为___； （2）已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围；（3）一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是（ ）A B C D2.等差数列的有关概念：（1）等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。
如设{}n a 是等差数列，求证：以b n =na a a n+++ 21 *n N ∈为通项公式的数列{}n b 为等差数列。
（2）等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。
如(1)等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a = ；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______ ；（3）等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1)2n n n S na d -=+。
如（1）数列 {}n a 中，*11(2,)2n n a a n n N -=+≥∈，32n a =，前n 项和152n S =-，则1a ＝＿，n ＝ ；（2）已知数列 {}n a 的前n 项和212n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n T .（4）等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2a bA +=。
高中数学 复习课(二)数列学案 新人教A版必修5
复习课(二) 数 列等差数列与等比数列的基本运算数列的基本运算以小题出现具多，但也可作为解答题第一步命题，主要考查利用数列的通项公式及求和公式，求数列中的项、公差、公比及前n 项和等，一般试题难度较小．[考点精要]1．等差数列(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n n －12d ＝a 1＋a n n2.(3)前n 项和公式S n ＝d2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n 视为关于n 的一元二次函数，开口方向由公差d 的正负确定；S n ＝a 1＋a n n2中(a 1＋a n )视为一个整体，常与等差数列性质结合利用“整体代换”思想解题．2．等比数列 (1)通项公式：a n ＝a 1qn －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1q ＝1，a 11－q n 1－q＝a 1－a n q1－q q ≠1.(3)等比数列{a n }，S n 为其前n 项和，则S n 可表示为S n ＝k ·q n＋b ，(k ≠0，且k ＋b ＝0)． [典例] 成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{b n }中的b 3，b 4，b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是等比数列．[解] (1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d .依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5.所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d . 依题意，(7－d )(18＋d )＝100， 解得d ＝2或d ＝－13(舍去)， ∴b 3＝5，公比q ＝2，故b n ＝5·2n －3.(2)证明：由(1)知b 1＝54，公比q ＝2，∴S n ＝541－2n1－2＝5·2n －2－54， 则S n ＋54＝5·2n －2，因此S 1＋54＝52，S n ＋54S n －1＋54＝5·2n －25·2n －3＝2(n ≥2)．∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是以52为首项，公比为2的等比数列．[类题通法]在等差(或等比)数列中，首项a 1与公差d (或公比q )是两个基本量，一般的等差(或等比)数列的计算问题，都可以设出这两个量求解．在等差数列中的五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 或等比数列中的五个量a 1，q ，n ，a n ，S n 中，可通过列方程组的方法，知三求二．在利用S n 求a n 时，要注意验证n ＝1是否成立．[题组训练]1．在等比数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为17，则S 6＝( )A.634B ．16C ．15D.614解析：选A 设{a n }的公比为q ，则由等比数列的性质知，a 2a 3＝a 1a 4＝2a 1，则a 4＝2；由a 4与2a 7的等差中项为17知，a 4＋2a 7＝2×17＝34，得a 7＝16.∴q 3＝a 7a 4＝8，即q ＝2，∴a 1＝a 4q 3＝14，则S 6＝141－261－2＝634，故选A. 2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 8＝13，S 7＝35，则a 7＝________. 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则由已知得(a 1＋2d )＋(a 1＋7d )＝13，S 7＝7a 1＋a 1＋6d2＝35.联立两式，解得a 1＝2，d ＝1，∴a 7＝a 1＋6d ＝8.答案：83．设S n 是数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－1，S n＋1－S n ＝S n S n＋1.⎝⎛⎭⎪⎫其中12＋22＋…＋n 2＝16n n ＋12n ＋1(1)求证⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列，并求S n ；(2)若b n ＝1a n，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)证明：1S 1＝1a 1＝－1.因为S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1，所以1S n ＋1－1S n＝－1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为－1、公差为－1的等差数列，所以1S n＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，故S n ＝－1n.(2)b 1＝1a 1＝－1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－1n ＋1n －1＝1n n －1，b n ＝n 2－n .所以T 1＝－1.当n ≥2时，T n ＝－1＋(22＋32＋…＋n 2)－(2＋3＋…＋n )＝－1＋(12＋22＋32＋…＋n 2)－(1＋2＋3＋…＋n ) ＝－1＋16n (n ＋1)(2n ＋1)－12n (n ＋1)＝－1＋13n (n ＋1)(n －1)．故T n ＝－1＋13n (n ＋1)(n －1).等差、等比数列的性质及应用等差、等比数列的性质主要涉及数列的单调性、最值及其前n 项和的性质．利用性质求数列中某一项等，试题充分体现“小”“巧”“活”的特点，题型多以选择题和填空题的形式出现，一般难度较小．[考点精要]等差数列的性质等比数列的性质若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *) 则a m ＋a n ＝a p ＋a q . 特别地，若m ＋n ＝2p ， 则a m ＋a n ＝2a p若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *) 则a m ·a n ＝a p ·a q 特别地，若m ＋n ＝2p ， 则a m ·a n ＝a 2pa m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，…仍是等差数列，公差为kd a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，…仍是等比数列，公比为q kn 135246n 列{a n }的前n 项和，则使得S n 取得最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．18(2)记等比数列{a n }的前n 项积为T n (n ∈N *)，已知a m －1a m ＋1－2a m ＝0，且T 2m －1＝128，则m ＝________.[解析] (1)由a 1＋a 3＋a 5＝105得，3a 3＝105， ∴a 3＝35. 同理可得a 4＝33，∴d ＝a 4－a 3＝－2，a n ＝a 4＋(n －4)×(－2) ＝41－2n . 由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1<0，得n ＝20.∴使S n 达到最大值的n 是20.(2)因为{a n }为等比数列，所以a m －1a m ＋1＝a 2m ，又由a m －1a m ＋1－2a m ＝0，从而a m ＝2.由等比数列的性质可知前(2m －1)项积T 2m －1＝a 2m －1m，则22m －1＝128，故m ＝4.[答案] (1)B (2)4 [类题通法]关于等差(比)数列性质的应用问题，可以直接构造关于首项a 1和公差d (公比q )的方程或方程组来求解，再根据等差(比)数列的通项公式直接求其值，此解思路简单，但运算过程复杂．[题组训练]1．等差数列{a n }的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为22∶18，则公差d ，a 9a 8的值分别是( )A ．8，109B ．9，109C ．9，119D ．8，119解析：选D 设S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 15，S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 16，则有S 偶－S 奇＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 16－a 15)＝8d ，S 偶S 奇＝8a 2＋a 1628a 1＋a 152＝a 9a 8. 由⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝640，S 偶∶S 奇＝22∶18，解得S 奇＝288，S 偶＝352.因此d ＝S 偶－S 奇8＝648＝8，a 9a 8＝S 偶S 奇＝119.故选D.2．等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则该数列的前13项和为( ) A ．13 B ．26 C ．52D ．156解析：选 B 3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，∴6a 4＋6a 10＝24，∴a 4＋a 10＝4，∴S 13＝13a 1＋a 132＝13a 4＋a 102＝13×42＝26，故选B.3．已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n(n ≥3)，则log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1等于( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2解析：选C ∵a 5·a 2n －5＝a 2n ＝22n，且a n >0，∴a n ＝2n ， ∵a 2n －1＝22n －1，∴log 2a 2n －1＝2n －1，∴log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n [1＋2n －1]2＝n 2.数列的通项及求和通项及数列求和一直是考查的热点，在命题中，多以与不等式的证明或求解相结合的形式出现．一般数列的求和，主要是将其转化为等差数列或等比数列的求和问题，题型多以解答题形式出现，难度较大．[考点精要]1．已知递推公式求通项公式的常见类型 (1)类型一 a n ＋1＝a n ＋f (n )把原递推公式转化为a n ＋1－a n ＝f (n )，再利用累加法(逐差相加法)求解． (2)类型二 a n ＋1＝f (n )a n把原递推公式转化为a n ＋1a n＝f (n )，再利用叠乘法(逐商相乘法)求解． (3)类型三 a n ＋1＝pa n ＋q (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)，先用待定系数法把原递推公式转化为a n ＋1－t ＝p (a n －t )，其中t ＝q1－p ，再利用换元法转化为等比数列求解．2．数列求和(1)错位相减法：适用于各项由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的数列．把S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n 两边同乘以相应等比数列的公比q ，得到qS n ＝a 1q ＋a 2q ＋…＋a n q ，两式错位相减即可求出S n .(2)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如⎩⎨⎧⎭⎬⎫c a n a n ＋1(其中{a n }是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列．(3)拆项分组法：把数列的每一项拆成两项(或多项)，再重新组合成两个(或多个)简单的数列，最后分别求和．(4)并项求和法：与拆项分组相反，并项求和是把数列的两项(或多项)组合在一起，重新构成一个数列再求和，一般适用于正负相间排列的数列求和，注意对数列项数奇偶性的讨论．[典例] (1)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n (1－na n ＋1)，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝n 2－n ＋22B ．a n ＝n 2－n ＋12C ．a n ＝2n 2－n ＋1D ．a n ＝2n 2－n ＋2(2)已知正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：4S n ＝(a n －1)·(a n ＋3)，(n ∈N *)． ①求a n 的通项公式；②若b n ＝2n·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . [解析] (1)原数列递推公式可化为1a n ＋1－1a n＝n ，令b n ＝1a n，则b n ＋1－b n ＝n ，因此b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 3－b 2)＋(b 2－b 1)＋b 1＝(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1＋1＝n 2－n ＋22.从而a n ＝2n 2－n ＋2.故选D.[答案] D(2)解：①因为4S n ＝(a n －1)(a n ＋3)＝a 2n ＋2a n －3， 所以当n ≥2时，4S n －1＝a 2n －1＋2a n －1－3，两式相减得，4a n ＝a 2n －a 2n －1＋2a n －2a n －1， 化简得，(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0， 由于{a n }是正项数列，所以a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1－2＝0，即对任意n ≥2，n ∈N *都有a n －a n －1＝2, 又由4S 1＝a 21＋2a 1－3得，a 21－2a 1－3＝0， 解得a 1＝3或a 1＝－1(舍去)，所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列， 所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1. ②由已知及(1)知，b n ＝(2n ＋1)·2n，T n ＝3·21＋5·22＋7·23＋…＋(2n －1)·2n －1＋(2n ＋1)·2n ，(ⅰ)2T n ＝3·22＋5·23＋7·24＋…＋(2n －1)·2n ＋(2n ＋1)·2n ＋1，(ⅱ)(ⅱ)－(ⅰ)得，T n ＝－3×21－2(22＋23＋24＋…＋2n )＋(2n ＋1)·2n ＋1＝－6－2×41－2n －11－2＋(2n ＋1)·2n ＋1＝2＋(2n －1)·2n ＋1.[类题通法](1)由递推公式求数列通项公式时，一是要注意判别类型与方法．二是要注意a n 的完整表达式，易忽视n ＝1的情况．(2)数列求和时，根据数列通项公式特征选择求和法，尤其是涉及到等比数列求和时要注意公比q 对S n 的影响．[题组训练]1．已知函数f (n )＝n 2cos(n π)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝________.解析：因为f (n )＝n 2cos(n π)，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝[f (1)＋f (2)＋…＋f (100)]＋[f (2)＋…＋f (101)]，f (1)＋f (2)＋…＋f (100)＝－12＋22－32＋42－…－992＋1002＝(22－12)＋(42－32)＋…(1002－992)＝3＋7＋ (199)503＋1992＝5 050，f (2)＋…＋f (101)＝22－32＋42－…－992＋1002－1012＝(22－32)＋(42－52)＋…＋(1002－1012)＝－5－9－ (201)50－5－2012＝－5 150，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝[f (1)＋f (2)＋…＋f (100)]＋[f (2)＋…＋f (101)] ＝－5 150＋5 050＝－100.答案：－1002．已知a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝9－6n ，则数列{a n }的通项公式是________．解析：令S n ＝a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ，则S n ＝9－6n ，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3； 当n ≥2时，2n －1·a n ＝S n －S n －1＝－6，∴a n ＝－32n －2.∴通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，－32n －2，n ≥2.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，－32n －2，n ≥23．已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n ＋12a n ＝1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 13(1－S n ＋1)(n ∈N *)，令T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1，求T n .解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1，由S 1＋12a 1＝1，得a 1＝23，当n ≥2时，S n ＝1－12a n ，S n －1＝1－12a n －1， 则S n －S n －1＝12(a n －1－a n )，即a n ＝12(a n －1－a n )，所以a n ＝13a n －1(n ≥2)．故数列{a n }是以23为首项，13为公比的等比数列．故a n ＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n (n ∈N *)．(2)因为1－S n ＝12a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n.所以b n ＝log 13(1－S n ＋1)＝log 13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1＝n ＋1，因为1b n b n ＋1＝1n ＋1n ＋2＝1n ＋1－1n ＋2， 所以T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n2n ＋2.4．已知数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1a n ＝2a n ＋1－1，令b n ＝a n －1.(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为等差数列；(2)设c n ＝a n ＋1a n ，求证：数列{c n }的前n 项和T n <n ＋34. 证明：(1)由题意知，1b 1＝1a 1－1＝－2，a n ＝2－1a n ＋1，则1b n ＋1－1b n＝1a n ＋1－1－1a n －1＝1a n ＋1－1 －12－1a n ＋1－1＝－1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 是首项为－2，公差为－1的等差数列．(2)由(1)可知，1b n＝－2＋(n －1)×(－1)＝－n －1，∴b n ＝－1n ＋1， 代入a n ＝b n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1， ∴a n ＋1a n ＝n ＋1n ＋2n n ＋1＝n ＋12 n n ＋2＝1＋1n n ＋2＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝a 2a 1＋a 3a 2＋…＋a n ＋1a n＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝n ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2<n ＋34.1．设等差数列{a n }的公差为d .若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ) A ．d >0 B ．d <0 C ．a 1d >0D ．a 1d <0解析：选D ∵{2a 1a n }为递减数列，∴2a 1a n ＋12a 1a n＝2a 1a n ＋1－a 1a n ＝2a 1d <1＝20，∴a 1d <0，故选D.2．在等差数列{a n }中，a 9＝12a 12＋6，则数列{a n }的前11项和S 11＝( )A ．24B ．48C ．66D ．132解析：选D 由a 9＝12a 12＋6得，2a 9－a 12＝12，由等差数列的性质得，2a 9－a 12＝a 6＋a 12－a 12＝12，则a 6＝12，所以S 11＝11a 1＋a 112＝11×2a 62＝132，故选D. 3．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10等于( ) A ．－165 B ．－33 C ．－30D ．－21解析：选C 由已知得a 2＝a 1＋a 1＝2a 1＝－6， ∴a 1＝－3.∴a 10＝2a 5＝2(a 2＋a 3)＝2a 2＋2(a 1＋a 2)＝4a 2＋2a 1 ＝4×(－6)＋2×(－3)＝－30.4．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝2a 8－3a 4，则S 8S 16＝( ) A.310B.13C.19D.18解析：选A 由题意可得，a 1＝2a 1＋14d －3a 1－9d ，∴a 1＝52d ，又S 8S 16＝8a 1＋28d 16a 1＋120d ＝20d ＋28d 40d ＋120d ＝48d 160d ＝310，故选A.5．已知数列2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 016项之和S 2 016等于( )A ．1B ．2 010C ．4 018D ．0解析：选D 由已知得a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，∴a n ＋1＝a n －a n －1.故数列的前n 项依次为2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，－1,2 008,2 009，….由此可知数列为周期数列，周期为6，且S 6＝0.∵2 016＝6×336，∴S 2 016＝S 6＝0.6．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n ＝( )A ．4n －1B ．4n－1 C ．2n －1D ．2n－1解析：选D 设等比数列{a n }的公比为q ，∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1q 2＝52，①a 1q ＋a 1q 3＝54，②由①÷②可得1q＝2， ∴q ＝12，代入①解得a 1＝2， ∴a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝42n ， ∴S n ＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ， ∴S n a n ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 42n ＝2n －1. 7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －30，S n 是{|a n |}的前n 项和，则S 10＝________. 解析：由a n ＝2n －30，令a n <0，得n <15，即在数列{a n }中，前14项均为负数， 所以S 10＝－(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10)＝－102(a 1＋a 10)＝－5[(－28)＋(－10)]＝190. 答案：1908．设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.解析：由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2相减可得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，同除以a 2可得2q 2－q －3＝0，解得q ＝32或q ＝－1.因为q >0，所以q ＝32. 答案：329．数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n －1＝1n n －1(n ≥2且n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.解析：a n －a n －1＝1n n －1(n ≥2)，a 1＝1， ∴a 2－a 1＝12×1＝1－12，a 3－a 2＝13×2＝12－13， a 4－a 3＝14×3＝13－14，…， a n －a n －1＝1n n －1＝1n －1－1n. 以上各式累加，得a n －a 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝1－1n. ∴a n ＝a 1＋1－1n ＝2－1n ，当n ＝1时，2－1n＝1＝a 1， ∴a n ＝2－1n ，故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－1n . 答案：2－1n10．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ，数列{b n }满足b 1＝3，b 2＝6，且{b n －a n }为等差数列．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)由题意知数列{a n }是首项a 1＝1，公比q ＝2的等比数列， 所以a n ＝2n －1.因为b 1－a 1＝2，b 2－a 2＝4，所以数列{b n －a n }的公差d ＝2，所以b n －a n ＝(b 1－a 1)＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n ， 所以b n ＝2n ＋2n －1.(2)T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝(2＋4＋6＋…＋2n )＋(1＋2＋4＋…＋2n －1) ＝2＋2n n 2＋1×1－2n 1－2 ＝n (n ＋1)＋2n －1.11．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且S n ＝a n a n ＋12(n ∈N *)． (1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)设b n ＝1S n，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n .解：(1)证明：S n ＝a n a n ＋12(n ∈N *)，①S n －1＝a n －1a n －1＋12(n ≥2)．②①－②得a n ＝a 2n ＋a n －a 2n －1－a n －12(n ≥2)， 整理得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)＝a n ＋a n －1(n ≥2)． ∵数列{a n }的各项均为正数，∴a n ＋a n －1≠0，∴a n －a n －1＝1(n ≥2)． 当n ＝1时，a 1＝1，∴数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列．(2)由(1)得S n ＝n 2＋n2，∴b n ＝2n 2＋n ＝2n n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴T n ＝2[ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ]＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2nn ＋1.12．设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3×22n －1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)由已知，a n ＋1＝[(a n ＋1－a n )＋(a n －a n －1)＋…＋(a 2－a 1)]＋a 1 ＝3(22n －1＋22n －3＋…＋2)＋2＝22(n ＋1)－1. 而a 1＝2，符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －1.(2)由b n ＝na n ＝n ·22n －1知S n ＝1×2＋2×23＋3×25＋…＋n ×22n －1，① 从而22·S n ＝1×23＋2×25＋3×27＋…＋n ×22n ＋1.② ①－②得(1－22)S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －1－n ×22n ＋1，即S n ＝19[(3n －1)22n ＋1＋2]．。
高中数学 第二章 数列 阶段复习课 第2课 数列学案 新人教A版必修5
第二课 数列[核心速填]等差、等比数列的性质 S n ＝n a 1＋a n 2＝na 1＋n n －2dq ≠1时，S n ＝a 1－qn1－q＝a 1－a n q1－qq ＝1时，S n ＝na 1[题型探究]等差(比)数列的基本运算等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n . [解] (1)设{a n }的公比为q ， 由已知得16＝2q 3， 解得q ＝2，∴a n ＝2×2n －1＝2n.(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32， 则b 3＝8，b 5＝32.设{b n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝8，b 1＋4d ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝－16，d ＝12，所以b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28.所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n －16＋12n －2＝6n 2－22n .，S 或q 为基本量，q ，S n ，n 的方程组，利用方程的思想求出需要的量，当然在求解中若能运用等差比数列的性质会更好，这样可以化繁为简，减少运算量，同时还要注意整体代入思想方法的运用.1．已知等差数列{a n }的公差d ＝1，前n 项和为S n . (1)若1，a 1，a 3成等比数列，求a 1； (2)若S 5>a 1a 9，求a 1的取值范围.【导学号：91432240】[解] (1)因为数列{a n }的公差d ＝1，且1，a 1，a 3成等比数列，所以a 21＝1×(a 1＋2)， 即a 21－a 1－2＝0，解得a 1＝－1或a 1＝2. (2)因为数列{a n }的公差d ＝1，且S 5>a 1a 9， 所以5a 1＋10>a 21＋8a 1，即a 21＋3a 1－10<0，解得－5<a 1<2.求数列的通项公式(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3＋2n，求a n . (2)数列{a n }的前n 项和为S n 且a 1＝1，a n ＋1＝13S n ，求a n .思路探究：(1)已知S n 求a n 时，应分n ＝1与n ≥2讨论； (2)在已知式中既有S n 又有a n 时，应转化为S n 或a n 形式求解． [解] (1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3＋2n－(3＋2n －1)＝2n －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝5不适合上式．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，n ＝1，2n －1，n ≥2.(2)∵S n ＝3a n ＋1， ① ∴n ≥2时，S n －1＝3a n . ② ①－②得S n －S n －1＝3a n ＋1－3a n ， ∴3a n ＋1＝4a n ， ∴a n ＋1a n ＝43，又a 2＝13S 1＝13a 1＝13.∴n ≥2时，a n ＝13·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －2，不适合n ＝1.∴a n＝⎩⎨⎧1，n ＝1，13·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －2，n ≥2.累加或累乘法f （n ）跟踪训练2．设数列{a n }是首项为1的正项数列，且a n ＋1－a n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ∈N *)，求{a n }的通项公式.【导学号：91432241】[解] ∵a n ＋1－a n ＋a n ＋1·a n ＝0， ∴1a n ＋1－1a n＝1.又1a 1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公差为1的等差数列．故1a n＝n .∴a n ＝1n.等差(比)数列的判定数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)． (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，求证：{b n }是等比数列． (2)设c n ＝a n2n －2，求证：{c n }是等差数列．思路探究：分别利用等比数列与等差数列的定义进行证明． [证明] (1)a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1＋2－4a n －2 ＝4a n ＋1－4a n .b n ＋1b n ＝a n ＋2－2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－4a n －2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－4a na n ＋1－2a n＝2. 因为S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2，所以a 2＝5. 所以b 1＝a 2－2a 1＝3.所以数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列． (2)由(1)知b n ＝3·2n －1＝a n ＋1－2a n ，所以a n ＋12n －1－a n2n －2＝3.所以c n ＋1－c n ＝3，且c 1＝a 12－1＝2，所以数列{c n }是等差数列，公差为3，首项为2. 空题中的判定.②若要判定一个数列不是等差比数列，则只需判定其任意的连续三项不成等比即可[跟踪训练3．(2018·全国卷Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a n n. (1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式． [解] (1)由条件可得a n ＋1＝n ＋na n .将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以，a 2＝4. 将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以，a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn ，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得a n n＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.数列求和[探究问题]1．若数列{c n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q (q ≠1)的等比数列，且a n ＝c n ＋b n ，如何求数列{a n }的前n 项和？提示：数列{a n }的前n 项和等于数列{c n }和{b n }的前n 项和的和．2．有些数列单独看求和困难，但相邻项结合后会变成熟悉的等差数列、等比数列求和．试用此种方法求和：12－22＋32－42＋…＋992－1002.提示：12－22＋32－42＋…＋992－1002＝(12－22)＋(32－42)＋…＋(992－1002) ＝(1－2)(1＋2)＋(3－4)(3＋4)＋…＋(99－100)(99＋100) ＝－(1＋2＋3＋4＋…＋99＋100)＝－5 050. 3．我们知道1nn ＋＝1n －1n ＋1，试用此公式求和：11×2＋12×3＋ (1)n ＋.提示：由1nn ＋＝1n －1n ＋1得 11×2＋12×3＋…＋1nn ＋＝1－12＋12－13＋ (1)－1n ＋＝1－1n ＋1＝n n ＋1.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝kc n－k (其中c 、k 为常数)，且a 2＝4，a 6＝8a 3， (1)求a n ；(2)求数列{na n }的前n 项和T n .【导学号：91432242】思路探究：(1)已知S n ，据a n 与S n 的关系a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1n ＝，S n －S n －1n确定a n ；(2)若{a n }为等比数列，则{na n }是由等差数列和等比数列的对应项的积构成的新数列，则可用错位相减法求和．[解] (1)当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝k (c n －c n －1)，则a 6＝k (c 6－c 5)，a 3＝k (c 3－c 2)， a 6a 3＝c 6－c 5c 3－c 2＝c 3＝8， ∴c ＝2.∵a 2＝4，即k (c 2－c 1)＝4， 解得k ＝2， ∴a n ＝2n.当n ＝1时，a 1＝S 1＝2. 综上所述，a n ＝2n (n ∈N *)． (2)na n ＝n ·2n，则T n ＝2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n，2T n ＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1，两式作差得－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1，T n ＝2＋(n －1)·2n ＋1.母题探究：1.(变结论)例题中的条件不变，(2)中“求数列{na n }的前n 项和T n ”变为“求数列{n ＋a n }的前n 项和T n ”．[解] 由题知T n ＝1＋2＋2＋22＋3＋23＋…＋n ＋2n＝(1＋2＋3＋...＋n )＋(2＋22＋ (2)) ＝n＋n2＋－2n1－2＝2n ＋1－2＋n n ＋2.2．(变结论)例题中的条件不变，将(2)中“求数列{na n }的前n 项和T n ”变为“求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n a n 的前n 项和T n ”．[解] 由题T n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，①12T n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，② ①－②得：12T n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12－n 2n ＋1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －n 2n ＋1，∴T n ＝2－42n ＋1－2n 2n ＋1＝2－4＋2n2n ＋1.裂项相消法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成。
人教版高中数学必修五学案 第二章数列 章末复习课
章末复习课网络构建核心归纳1.对比归纳等差数列和等比数列的基本概念和公式2.求数列的前n 项和的基本方法(1)公式法：利用等差数列或等比数列前n 项和S n 公式； (2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列；(3)裂项(相消)法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和；(4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和；(5)倒序相加：例如等差数列前n 项和公式的推导； (6)并项求和法：适用于正负相间的数列.要点一 等差、等比数列的判定 1.判定等差数列的方法(1)定义法；(2)等差中项法；(3)通项公式法. 2.判定等比数列的方法(1)定义法；(2)等比中项法；(3)通项公式法.注：以上的第三种方法只能作为判定方法，而不能作为证明方法. 【例1】 记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列. 解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设可得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1＋q ）＝2，a 1（1＋q ＋q 2）＝－6，解得q ＝－2，a 1＝－2.故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n . (2)由(1)得S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝－2[1－（－2）n ]1－（－2）＝23[(－2)n －1]，则S n ＋1＝23[(－2)n ＋1－1]，S n ＋2＝23[(－2)n ＋2－1]，所以S n ＋1＋S n ＋2＝23[(－2)n ＋1－1]＋23[(－2)n ＋2－1]＝23[2(－2)n －2]＝43[(－2)n －1]＝2S n ，∴S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列.【训练1】 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n －5a n －85，n ∈N *. (1)证明：{a n －1}是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式. (1)证明 ∵S n ＝n －5a n －85， ∴S n ＋1＝(n ＋1)－5a n ＋1－85， 两式相减得：a n ＋1＝1＋5a n －5a n ＋1， 整理得：a n ＋1＝56a n ＋16， ∴a n ＋1－1＝56(a n －1)，又∵a 1＝1－5a 1－85，即a 1＝－14， ∴a 1－1＝－14－1＝－15，∴数列{a n －1}是以－15为首项，56为公比的等比数列. (2)解 由(1)可知a n －1＝－15·⎝ ⎛⎭⎪⎫56n －1， ∴a n ＝1－15·⎝ ⎛⎭⎪⎫56n －1. 要点二 求数列的通项公式数列的通项公式是数列的重要内容之一，它把数列各项的性质集于一身.常用的求通项公式的方法有观察法、公式法、累加法、累乘法、前n 项和作差法、辅助数列法. 1.观察法观察数列的特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数n 的内在联系，从而归纳出数列的通项公式.【例2】 数列114，329，5316，7425，…的通项公式为( )A.a n ＝(2n －1)·n （n ＋1）2B.a n ＝(2n －1)＋n（n ＋1）2C.a n ＝(2n ＋1)＋n（n ＋1）2D.a n ＝4n ＋1（n ＋1）2解析 ∵114＝1＋14，329＝3＋29，5316＝5＋316，…， ∴a n ＝(2n －1)＋n（n ＋1）2.答案 B 2.公式法等差数列与等比数列是两种常见且重要的数列，所谓公式法就是先分析后项与前项的差或比是否符合等差、等比数列的定义，然后用等差、等比数列的通项公式表示它.【例3】 已知数列{a n }为无穷数列，若a n －1＋a n ＋1＝2a n (n ≥2且n ∈N *)，且a 2＝4，a 6＝8，求通项a n . 解 ∵a n －1＋a n ＋1＝2a n ， ∴a n －1，a n ，a n ＋1成等差数列. 又∵n ≥2且n ∈N *，∴数列{a n }为等差数列，设首项为a 1，公差为d . 由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，a 6＝8，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝4，a 1＋5d ＝8，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝1， ∴通项a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2. 3.累加法与累乘法(1)累加法：数列的基本形式为a n ＋1－a n ＝f (n )(n ∈N *)的解析关系，而f (1)＋f (2)＋…＋f (n )可求出.(2)累乘法：数列的基本形式为a n ＋1a n ＝f (n )(n ∈N *)的解析关系，而f (1)·f (2)·…·f (n )可求出.【例4】 求数列1，3，7，13，21，…的一个通项公式. 解 ∵a 2－a 1＝3－1＝2， a 3－a 2＝7－3＝4， a 4－a 3＝13－7＝6， …a n －a n －1＝2(n －1).以上n －1个等式左右两边分别相加，得 a n －a 1＝2×[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＝(n －1)n ， ∴a n ＝n 2－n ＋1，且n ＝1时，a 1＝1适合上式， ∴a n ＝n 2－n ＋1.【例5】 在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2（n ＋1）n a n ，求通项a n .解 ∵a 1＝2，a n ＋1＝2（n ＋1）n a n ，∴a 2a 1＝2×21，a 3a 2＝2×32，…，a n a n －1＝2×n n －1， 以上n －1个等式左右两边分别相乘得a na 1＝n ·2n －1，即a n ＝n ·2n ，且n ＝1时，a 1＝2也适合上式， ∴a n ＝n ·2n .4.利用a n 与S n 的关系前n 项和关系式有两种形式：一种是S n 与n 的关系式，记为S n ＝f (n )，它可由公式a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2直接求出通项a n ，但要注意n ＝1与n ≥2两种情况能否统一；另一种是S n 与a n 的关系式，记为f (a n ，S n )＝0，求它的通项公式a n .【例6】 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝5S n －3，求数列{a n }的通项公式.解 当n ＝1时，∵a 1＝5a 1－3，∴a 1＝34. 当n ≥2时，∵a n ＝5S n －3，∴a n －1＝5S n －1－3， ∴a n －a n －1＝5(S n －S n －1)， 即a n －a n －1＝5a n ， ∴a n a n －1＝－14， ∴{a n }是首项a 1＝34，公比q ＝－14的等比数列. ∴a n ＝a 1qn －1＝34·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14n －1(n ∈N *).5.构造法有些数列直观上不符合以上各种形式，这时，可对其结构进行适当变形，以利于使用以上各类方法.形如已知a 1，a n ＋1＝pa n ＋q (p ，q 为常数)形式均可用构造等比数列法，即a n ＋1＋x ＝p (a n ＋x )，{a n ＋x }为等比数列，或a n ＋2－a n ＋1＝p (a n ＋1－a n )，{a n ＋1－a n }为等比数列.【例7】 设数列{a n }是首项为1的正项数列，且a n ＋1－a n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ∈N *)，求{a n }的通项公式.解 ∵a n ＋1－a n ＋a n ＋1·a n ＝0， ∴1a n ＋1－1a n＝1. 又1a 1＝1， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公差为1的等差数列， 故1a n＝n ，∴a n ＝1n (n ∈N *). 【例8】 若数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1，求a n .解 法一 ∵a n ＋1＝12a n ＋1， ∴a n ＋2＝12a n ＋1＋1，两式相减得a n ＋2－a n ＋1＝12(a n ＋1－a n ). 令b n ＝a n ＋1－a n (n ＝1，2，3，…)， 则b 1＝a 2－a 1＝32－1＝12，b n ＋1＝12b n ， ∴数列{b n }是以12为首项，12为公比的等比数列.∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a 1＋b 1＋b 2＋…＋b n －1＝1＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1(n ∈N *).法二 设a n ＋1－A ＝12(a n －A )， 则a n ＋1＝12a n ＋12A ，根据a n ＋1＝12a n ＋1可得12A ＝1，即A ＝2， ∴a n ＋1－2＝12(a n －2).令b n ＝a n －2，则b 1＝a 1－2＝－1，b n ＋1＝12b n ， ∴数列{b n }是以－1为首项，12为公比的等比数列. ∵b n ＝b 1·qn －1＝(－1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1， ∴a n ＝2＋b n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1(n ∈N *).要点三 等差、等比数列的综合问题等差、等比数列是两类基本的数列，两数列相结合的问题经常考查，特别是通项公式、前n 项和公式以及等差中项、等比中项是命题的热点.【例9】 已知等差数列{a n }中公差d ≠0，有a 1＋a 4＝14，且a 1，a 2，a 7成等比数列.(1)求{a n }的通项公式a n 与前n 项和公式S n ；(2)令b n ＝S nn ＋k ，若{b n }是等差数列，求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n .解 (1)∵a 1＋a 4＝14，∴2a 1＋3d ＝14，①∵a 1，a 2，a 7成等比数列，∴a 22＝a 1a 7，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋6d )，②由①②得d 2＝4a 1d ，∵d ≠0，∴d ＝4a 1，代入①解得d ＝4，a 1＝1， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4n －3，S n ＝n （1＋4n －3）2＝2n 2－n ；(2)由(1)知b n ＝2n 2－nn ＋k ，∵{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3，即2·62＋k ＝11＋k＋153＋k，解得k ＝－12，或k ＝0， ①当k ＝－12时，即b n ＝2n ，则1b n b n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n－1n ＋1， ∴T n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n 4（n ＋1）. ②当k ＝0时，b n ＝2n －1，则1b n b n ＋1＝1（2n －1）（2n ＋1）＝ 12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，∴T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫11－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝ 12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1， 综上可得，T n ＝n 4（n ＋1）或n 2n ＋1.【训练2】 已知数列{a n }及等差数列{b n }，若a 1＝3，a n ＝ 12a n －1＋1(n ≥2)，a 1＝b 2，2a 3＋a 2＝b 4， (1)证明数列{a n －2}为等比数列； (2)求数列{a n }及数列{b n }的通项公式； (3)设数列{a n ·b n }的前n 项和为T n ，求T n . (1)证明 a 1＝3，a n ＝12a n －1＋1(n ≥2)， a n －2＝12(a n －1－2)，则数列{a n －2}为首项为1，公比为12的等比数列；(2)解 由(1)可得a n －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，即为a n ＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，a 1＝b 2＝3，2a 3＋a 2＝b 4＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋14＋2＋12＝7，可得等差数列{b n }的公差d ＝7－34－2＝2，则b n ＝b 2＋(n －2)d ＝3＋2(n －2)＝2n －1； (3)解 数列{a n ·b n }的前n 项和为T n ，a n ·b n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1(2n －1)＝2(2n －1)＋(2n －1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，设S n ＝1·⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋3·⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋5·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋(2n －1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1， 12S n ＝1·⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋3·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋5·⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋(2n －1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，相减可得，12S n ＝1＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－(2n －1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝1＋2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12－(2n －1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，人教版高中数学必修五11 化简可得S n ＝6－4n ＋62n ，则T n ＝2·12n (1＋2n －1)＋6－4n ＋62n ＝2n 2＋6－4n ＋62n .。
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《数列》复习
表示。
式、其他知识：1. n n a a a a S ++++= 321, ⎩⎨
⎧≥-===-)2()
1(111n S S n S a a n n
n ；
2.若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*
N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列。
3.若数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等比数列。
4.数列前n 项和：
（1）重要公式： 2
)
1(321+=
+++n n n ； （2）裂项求和；错位相减；分组求和；倒序相加。
5.设元技巧：①三数成等差：d a a d a +-,,；②三数成等比：
aq a q
a
,,或2,,aq aq a 【预习自测】 课本Ｐ67页：
第１题： ， ， ， ，
第２题： ， ， ， ，
第４题： ， .
【课中导学】 例1、在数列{}n a 中，1a ＝3，n ≥2时，1210n n a a n -++-=.
（1）求23,a a ； （2）证明：数列{}n a n +是等比数列, 求数列{}n a 的通项公式. (3)求数列{}n a 的前n 项和n S .
变式:设数列{}n a 满足112++=+n n n a S S ，且31=a ，求通项n a 。
例2、假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米，那么，到哪一年底： （1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750平方米？ （2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？ （4
5
6
1.08 1.36,1.08 1.47,1.08 1.59===）
【总结】
【反馈检测】
1．等差数列{a n }中，已知11
3a =
,2
54a a +=,33n a = 则n 为( ) A ．48 B ．49 C ．50 D ．51
2．已知数列{a n }是首项为a 1的等比数列，则能保证4a 1，a 5，－2a 3成等差数列的公比q 的个数为 ( )
A.0
B.1
C.2
D.3
3、某工厂去年的产值是a ，计划在今后五年内每年比上一年产值增长10%，从今年起到第五年末，这个工厂的总产值是（ ）
（A ）1.14 a （B ）1.15a （C ）10(1.15－1) a （D ）11(1.15
－1)a 4、在等差数列{}n a 中，
(1)若48111032=+++a a a a ，则76a a +＝_____ ___；
(2)若1010=a ，2018=a ，则2a ＝________；(3)若20151296=+++a a a a ，则=20S ________； (4)若2011=a ，则=21S ________； (5)若100,252==n n S S ，则=n S 3________。
5、在等比数列{}n a 中，
(1)若10,2105==a a ，则15a ＝________； (2)若6,584==a a ，则102a a ＝________； (3)若5129321=a a a a ，则5a ＝________；设{}n a 是由正数组成的等比数列，公比2=q ，且
30303212=a a a a ，那么=30963a a a a ________；
(4)若60,482==n n S S ＝48，则=n S 3________； (5)若423=-a a ，212=-a a ，则n S ＝________。
6、数列{}n a 是等差数列，1(1)a f x =+，20a =，3(1)a f x =-，其中2()42f x x x =-+. 求通项公式n a .。