统计学 第2章 线性规划模型
线性规划模型
线性规划模型● 知道线性规划模型的一般形式● 知道什么是可行解、可行域、最优解、最优值 ● 会用图解法求解二个变量的线性规划问题● 会利用软件WINQSB 求线性规划问题的最优解、最优值 ● 会建立简单的线性规划问题● 知道什么是缩减成本、影子价格，会利用软件WINQSB 进行灵敏度分析一、基本概念1. 线性规划模型的一般形式可以表示为：目标函数 max (或min )=c l x 1+c 2x 2+ … + c n x n 。
约束条件： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=≤+++≥=≤+++≥=≤+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ),(),(),(22112222212111212111或或或 非负条件： x 1≥0, x 2≥0, …, x n ≥0可简写为 max(或min)=∑=n j j j x c 1 约束条件： ∑=n j j ij x a1≤(或=，≥) b i ，i=1，2，…，m非负条件： x j ≥0，j=1，2，…，n目标函数中的系数c i , i=1,2, …，n , 常称为价值系数，它反映某种价值（如利润、收益或效益）；约束条件中的右端项bj ，j=1,2, …，m ，右端系数，它反映某种资源的限制（如劳动力、原材料等）；约束条件中的a ij 常称为技术系数。
一般，它们都是已知的常数。
2.一个线性规划问题有解，是指能找出一组x j（j=1，2，…，n），使其满足所有的约束条件和非负条件。
称任何一组这样的x j（j=1，2，…，n）是线性规划问题的一个可行解。
通常，线性规划问题含有多个可行解。
称全部可行解的集合为该线性规划问题的可行域。
使目标函数值达到最优的可行解称为该线性规划问题的最优解，最优目标函数值称为该线性规划问题的最优值。
对不存在可行解的线性规划问题，称该线性规划问题无解。
二、两个变量的线性规划问题的图解法图解法的步骤为：第1步：在平面上建立直角坐标系；第2步：图示约束条件和非负条件，找出可行域；第3步：图示目标函数，并寻找最优解。
第二章线性规划及单纯形法总结
第一章
工厂需要的原棉存放在三个仓库中，现将原棉运往工 厂以满足工厂生产的需求。已知原棉运到各个工厂的单位 运费如表所示。问使总运费最小的运输方案？
仓库\工厂
1 2 3 需求
1
2 2 3 40
2
1 2 4 15
3
3 4 2 35
库存
50 30 10
2．线性规划数学模型
解：设xij为i 仓库运到 j工厂的原棉数量(i =1,2,3
1．线性规划介绍
第一章
线性规划研究的主要问题： 有一定的人力、财力、资源条件下，如何 合理安排使用，效益最高?
某项任务确定后，如何安排人、财、物， 使之最省?
2．线性规划数学模型
第一章
例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各 制造一件时分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、 B设备和调试工序每天可用于这两种家电的能力、各售出 一件时的获利情况如表I—l所示。问该公司应制造A、B两 种家电各多少件，使获取的利润为最大？
第一章
j =1,2,3)
minZ= 2x11 + x12+3x13+2x21 +2x22 +4x23 +3x31 +4x32 +2x33 x11 +x12+x13 x21+x22+x23 x31+x32+x33 50 30 10 40
st.
x11 +x21+x31 =
x12 +x22+x32 =
x13 +x23+x33 = xij 0
15
35
2．线性规划数学模型
第一章
练习4 连续投资10万元 A：从第1年到第4年每年初投资，次年末回收本利1.15； B：第3年初投资，到第5年末回收本利1.25，最大投资4万元； C：第2年初投资，到第5年末回收本利1.40，最大投资3万元； D：每年初投资，每年末回收本利1.11。 求：使5年末总资本最大的投资方案。 分析： A 1 x1A 2 x2A x2C x1D x2D x3D x4D x5D 3 x3A 4 x4A 5
线性规划：模型标准式及图解法
x1 x 2 3( x3 x3 ) s1 40 x1 x 2 3 x3 40 x 9 x 7 x 50 x 9 x 7 ( x x 1 1 2 3 2 3 3 ) s2 50 s.t s.t 5x1 3x2 20 20 5 x1 3 x 2 x 0 , x 0 , x 0 , x x1 0, x 2 0, x3无符号限制 2 3 3 0, s1 0, s2 0 1
0
0
则称X 0为问题( LP)的一个可行解
AX b 满足约束方程 X 0
AX b X 0
（2）可行域： （LP）的全体可行解构成的集合称为可行域
即：可行域 S X | AX b，X 0
（3）最优解及最优值：设S是（LP）的可行域 都有CX * CX 使得对任意的 X S， 若存在 X * S，
x1 , x2 , xn 0
1.1.2 线性规划的标准形式和矩阵表达式
线性规划问题的一般形式：
max （或min ）z c1 x1 c2 x2 cn xn
a11 x1 a12 x2 a1n xn (或 ，或 ）b1 a 21 x1 a 22 x2 a 2 n x n (或 ，或 ）b2 s.t a m1 x1 a m 2 x2 a mn x n (或 ，或 ）bm
例 已知线性规划问题 min z 3x1 3x2 7 x3
x1 x 2 3 x3 40 剩余变量s2 x 9 x 7 x 50 2 3 s.t 1 (1) 5 x 3 x 20 1 2 x1 0, x 2 0, x3 无符号限制 试将此问题化为标准型 式。 令x3 x3 x3 , x3 0, x3 0
第2章 线性规划
产 资 源 品
1
2
资源限制
设备 原料 A 原料 B 利润
1 4 0 2元
2 0 4 3元
8 台时 16 千克 12 千克
2.2 线性规划问题及其数学模型
解 在应用运筹学知识解决实际问题时，数学模型的建立是首要的任务，建立数学模型 就是将用语言文字表达的问题转化为用数学语言表达。 描述目标：本题的目标就是分别生产多少千克 1 和 2 产品，使工厂利润最大。 描述约束条件：对于生产件数来说，一共有三个约束条件。 约束条件 1 生产 1 和 2 产品所用设备台时数之和不能多于 8 台时。 约束条件 2 生产 1 和 2 产品所用原料 A 数量之和不能多于 16 千克。 约束条件 3 生产 1 和 2 产品所用原料 B 数量之和不能多于 12 千克。 定义变量 该问题的变量有两个，设生产 1 产品的数量为 x1 千克，生产 2 产品的数量
(2.5)
2.3 简单最大化问题图解法求解
解
我们把 ( x1 , x2 ) 看作平面直角坐标系中某个点的坐标，则满足任意约束不等式的点
( x1 , x2 ) 就位于一个半平面上，如式（2.5）中满足不等式 x1 2 x2 8 的点在 x1 2 x2 8
为边界的半平面上，其中在一个半平面上任意选取一点，代入直线方程 x1 2 x2 8 左边后 所得值大于 8，则另一个半平面上任意一点代入该直线方程左边所得值一定小于 8，由此可 以判定满足不等式 x1 2 x2 8 的所有的点在 x1 2 x2 8 为边界的左下半平面上。在式 （2.5）中共有 5 个约束不等式，按照这样的方法就可以确定满足每一个不等式的点集，这 5 个半平面的公共部分就形成了如图 2-1 所示的多边形区域 OABCD， 多边形区域 OABCD 中 的点就是线性规划问题的可行解（可行点） ，多边形区域 OABCD 称为线性规划问题的可行 解区域。显然它是一个凸区域。
线性规划模型
1
(1-7)
标准型的特征
w目标函数最大化 w约束条件为等式 w右端相为非负值 w决策变量非负值
而称以下的形式为标准矩阵形式：
Max z C X
T
s.t. AX b
X 0
(1-8)
如何将线性规划转化为标准型
（１）若目标函数是求最小值 Min S = CX
令 S ˊ = - S,
则
Max Sˊ= - CX
令 z = -f = - 3.6x1 + 5.2x2 - 1.8x3 ，
其次考虑约束，有2个不等式约束，引进
松弛变量x4，x5 ≥0。于是，我们可以得到以
下标准形式的线性规划问题： Max z = - 3.6 x1 + 5.2 x2 - 1.8 x3 s. t. 2.3 x1 + 5.2 x2 - 6.1 x3 + x4 = 15.7 4.1 x1 x1 + 3.3 x3 + x2 + x3 - x5 = 8.9 = 38
取其等式在坐标系中作出直线，通过判断确定不等
式所决定的半平面。各约束半平面交出来的区域
（存在或不存在），若存在，其中的点表示的解称 为此线性规划的可行解。这些符合约束限制的点集 合，称为可行集或可行域。进行（3）；否则该线 性规划问题无可行解。
（3）任意给定目标函数一个值作一条目标函数的 等值线，并确定该等值线平移后值增加的方向，平移 此目标函数的等值线，使其达到既与可行域有交点又 不可能使值再增加的位置（有时交于无穷远处，此时 称线性规划的解无界）。若有交点时，此目标函数等 值线与可行域的交点即最优解（一个或多个），此目 标函数的值即最优值。
例2 将以下线性规划问题转化为标准形式 Min f = 3.6 x1 - 5.2 x2 + 1.8 x3
第二章线性规划知识课件
方案 x1 x2 x3 x4 x5
2.9米 1 2 0 1 0
2.1米 0 0 2 2 1
1.5米 3 1 2 0 3
合计 7.4 7.3 7.2 7.1 6.6
余料 0 0.1 0.2 0.3 0.8
OBJ: MinZ 0x1 0.1x2 0.2x3 0.3x4 0.8x5
x1 2x2 x4 100 s.t. 3x12x3x2 2x24x3 x53x5101000
4) 移动等值线到可行域边界得到最优点
11
1.用图解法求解极大化问题
例1 OBJ : max Z 2 x1 3 x 2
x1 2x2 8
s
.
t
.
4
x
1
16 4 x 2 12
x1 , x 2 0
x x12x2 2
2x13x24
做目标函数2x1+3x2的等值线，与 3 阴影部分的边界相交于Q(4,2)点， 这表明最优解是:x1= 4,x2 =2
0
4x1=16 x1+2x2=8
Q(4,2) 4x2=12
4 Z=2x1+3x2
8 x1
12
例2
max Z 6 x 1 4 x 2
2 x 1 x 2 10
s
.t
.
x1 x2 8 x2 7
x 1 , x 2 0
最优解 : x1 2 x2 6 Z 36
x2
10 F
9
8E
7 ABG 3
A
533
1.5
B
221
0.7
每人每月最低需求量（单位） 60 40 35
例3 现要做100套钢架，每套需2.9米、2.1米和1.5米的圆钢各一
(完整版)线性规划数学模型
14
三、人力资源问题的数学模型
解（参见教材P17）
三、人力资源问题的数学模型
练习： 某昼夜服务的公交线路每天各时间段内 所需司机和乘务人员人数如下表所示：
班次 1 2 3 4 5 6
时间 6:00——10:00 10:00——14:00 14:00——18:00 18:00——22:00 22:00——2:00 2:00——6:00
配料问题
原料 化学成分
成分含量(%)
甲
乙
产品成分 最低含量(%)
A
12
3
4
B
2
3
2
C
3
15
5
成本（元/千克） 3
2
z
x1
x2
min z = 3x1+2x2 12 x1 +3x2 ≥ 4 2 x1 +3x2 ≥ 2
s.t. 3 x1+15x2 ≥ 5 x1 +x2 = 1 x1 , x2 ≥ 0
配料平衡条件
它的适用领域非常广泛，从工业、农业、商业、交通 运输业、军事的计划和管理及决策到整个国民经济计 划的最优方案的提出，都有它的用武之地，是现代管 理科学的重要基础和手段之一。
3
第一节 线性规划问题的提出
线性规划研究的问题主要有以下两类。
(1) 给出一定量的人力、物力、财力等资源，如何统筹 规划这些有限资源完成最大任务。（如资金、设备、原标 材料、人工、时间等） (2) 给定一项任务，如何运筹规划，合理安排，以最少 资源来完成它。（如产品量最多 、利润最大.）
二、约束条件
⑴ 规格约束(据表2-3)
x11 x11+ x12 + x13
≥ 0.50
线性规划模型
线性规划模型线性规划（Linear Programming，LP）是一种用于求解线性优化问题的数学建模方法。
线性规划模型是在一组线性约束条件下，通过线性目标函数来寻找最优解的数学模型。
其基本形式如下：最大化或最小化：Z = c₁x₁ + c₂x₂ + … + cₙxₙ（目标函数）约束条件为：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a₂ₙxₙ ≤ b₂…aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + … + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, …, xₙ ≥ 0其中，c₁, c₂, …, cₙ为目标函数中各项的系数；a₁₁,a₁₂, …, aₙₙ为约束条件中各项的系数；b₁, b₂, …, bₙ为约束条件中的常数项；x₁, x₂, …, xₙ为决策变量。
线性规划模型的求解过程分为以下几个步骤：1. 建立数学模型：根据问题的描述，确定决策变量，确定最优化目标，建立目标函数和约束条件。
2. 确定可行解区域：根据约束条件，画出约束条件所确定的可行解区域。
3. 求解最优解：在可行解区域内寻找目标函数最大化或最小化的解。
常用的求解方法有单纯形法和对偶单纯形法。
4. 解释结果：根据最优解，给出对决策变量和目标函数的解释，进一步分析结果的意义。
线性规划模型适用于许多实际问题的求解，如生产计划、资源分配、物流调度等。
通过构建适当的数学模型，可以帮助管理者做出理性决策，最大化或最小化目标函数。
然而，线性规划模型也有其局限性。
首先，线性规划只能处理线性约束条件和线性目标函数，对于非线性问题无法求解。
其次，线性规划假设决策变量是连续的，对于离散的决策问题，线性规划无法适用。
此外，线性规划模型还需要求解算法的支持，对于复杂问题需要较高的计算资源。
总之，线性规划模型是一种常用的数学建模方法，通过线性约束条件和线性目标函数，求解最优解，帮助解决实际问题。
但线性规划模型也有其适用范围和局限性，需要根据具体问题来选择合适的求解方法。
线性规划模型
线性规划模型线性规划模型是一种数学模型，用于解决优化问题，确保特定的目标实现而满足一定约束条件。
它是基于线性关系的一类优化模型，其目的是最大化或最小化一个线性函数，同时满足相关的线性约束条件。
线性规划模型涉及了数学、经济、管理、工程等领域，常常被用于优化决策和资源分配。
线性规划模型有五个基本要素：决策变量、目标函数、约束条件、可行解和最优解。
其中，决策变量是待优化的参数或变量；目标函数是一个以决策变量为自变量的线性函数，代表目标的数学表达式；约束条件是必须满足的限制条件，它们也是线性函数形式；可行解是满足所有约束条件的决策变量组合，这些组合可以被用于计算目标函数的值；最优解是在所有可行解中，能够使目标函数取得极值（最大化或最小化）的可行解。
线性规划模型的主要应用在资源优化领域，例如制造、物流、贡献分析和供应链管理。
其中，生产调度和库存管理是常见的应用场景。
生产调度通常涉及如何分配生产设备的时间和资源，以最小化成本并最大化效益。
库存管理通常涉及如何保持合理库存水平以满足需求，同时尽量减少成本和风险。
线性规划模型计算软件广泛应用，其中最广泛的是 Microsoft Excel 中的插件，如Solver。
Solver 可以通过线性规划模型来找到最佳决策组合，以最小化或最大化目标函数。
其他流行的线性规划软件包包括 MATLAB，AMPL 和 Gurobi 等。
然而，线性规划模型有几个限制：一是实际问题往往不是线性的，因此需要更复杂的模型来处理更复杂的问题；二是线性规划模型假设所有参数是确定的，但在许多情况下参数是不确定的，需要采用随机规划模型。
因此，针对问题的实际特点和需求，选择更合适的数学模型和工具是非常重要的。
总之，线性规划模型是优化问题的一个强大工具，可以在许多领域帮助决策者做出最佳决策。
然而，在应用模型过程中要仔细考虑模型的局限性，并尝试更复杂的模型，以获得更好的决策结果。
《线性规划模型》课件
单纯性法
1
单纯形表格
通过单纯形表格的迭代计算，我们可以逐步寻找到线性规划问题的最优解。
2
单纯性法的求解步骤
单纯性法的求解步骤包括初始化、迭代计算和检查终止条件。
3
最优解和无可行解的情况
我们将讨论单纯性法的最优解和无可行解的情况，并介绍相应的处理方法。
线性规划的应用
生产计划
线性规划可以帮助制定最优的 生产计划，优化资源配置和生 产效率。
3 非负约束
非负约束要求决策变量取 非负值，即不能出现负数 的情况。
图形解法
可行解区域
可行解区域是约束条件所定义的 一个多边形区域，决策变量的取 值必须在该区域内。
等值线和等价线
最优解的确定
等值线和等价线显示了目标函数 在可行解区域上的取值相等的点。
通过寻找目标函数最大或最小值 对应的点，我们可以确定线性规 划问题的最优解。
《线性规划模型》PPT课 件
本课件介绍线性规划模型的基本概念、求解方法和应用领域。从什么是线性 规划开始，逐步深入，帮助你理解和应用这一强大的决策分析工具。
简介
什么是线性规划？线性规划模型的基本元素是什么？如何解决线性规划模型？ 在本节中，我们将回答这些问题，让你对线性规划有一个清晰的了解。
线性规划模型的基本元素
决策变量Байду номын сангаас
决策变量是线性规划模型中的未知数，代表决策者需要确定的变量。
目标函数
目标函数衡量决策结果的好坏，我们通过优化目标函数来获得最佳决策。
约束条件
约束条件是对决策变量的限制，确保决策结果在可行范围内。
约束条件
1 等式约束
等式约束确保决策变量的 线性组合等于给定的值。
第二章线性规划模型和图解法全
本章主要内容：
LP方法应用的典型情况
LP的数学模型
LP模型的图解法
LP问题的计算机求解
Chapter2 线性规划模型和图解法
本章教学目的、重点、难点：
掌握线性规划问题数学模型建立和线性规划模型的特征；
线性规划模型的一般形式及标准形式，解的相关概念；
(5) 目标函数是最小值，为了化为求最大值，令z′=-z,得到max z′=-z，即当z达到最小值时z′达到最大值，反之亦然;
线性规划问题的数学模型
标准形式如下：
Page 19
max Z 2 x 1 x 2 3 ( x 3 x 3 ) 0 x 4 0 x 5 7 5 x 1 x 2 ( x 3 x 3 ) x 4 x5 2 x 1 x 2 ( x 3 x 3 ) 5 x 1 x 2 2 ( x 3 x 3 ) 5 x , x , x , x , x , x 0 1 2 3 3 4 5
（1） 生产的组织与计划问题：合理利用现有的 人
力、物力、财力做出最优产品生产计划。
（2）运输问题：根据生产单位的产量和销售单位的
销量，制订产品调运方案，使得总运费最小。
（3）合理下料问题：如何裁截下料，既满足生产需 要，又使得所用的材料数量最少。 （4） 配料问题：在原料供应量限制和保证产品成分 含量的前提下，获取最优配料方案
掌握两个变量线性规划问题的几何作图求解方法； 掌握两个变量线性规划模型可行域的特点及最优解存在 的位置； 熟悉计算机QM软件求解线性规划问题的步骤。
LP方法应用的典型情况
1. 规划问题阐述 生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、 物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益， 这就是规划问题。 线性规划通常解决下列两类问题：
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加工生产
1千克产品A
x1
设备1台时 第一种原料1千克 第二种原料1千克
加工，因此生产过程中使用的设备台 时数不能超过300，
• x1 + x2 ≤300（台时数限制） • 同样地我们可以得出： • 2 x1 + x2 ≤400（原料1的供应约束）
•
x2 ≤250（原料2的供应约束）
把所有满足约束条件的解称为可行解。把使目标函数（利润） 达到最大的可行解，称为最优解。
我们可以看到线性规划问题的一些共同的特点：
1 求目标达到某些数量上的最大化或最小化。
2 所有线性规划问题都是在一定约束条件下来追求目标的。
建模过程(steps of model building)： 1 什么条件下，追求什么目标。 2 定义变量(variable)，决策变量组（ x1, x2 , … , xn ）表 示了一个方案。 3 用线性函数写出追求的目标。 4 用决策变量的等式或不等式表示约束条件。
产品A 1 2 0 x1
产品B 1 1 1 x2
资源约束 300台时 400千克 250千克
解：设x1— 代表生产产品A的数量， x2— 代表生产产品B的数量
由于A的利润为每千克50元，B的利润为每千克100元，则利润函 数为：
利润=50× x1 +100× x2 （元）
设备1台时
第一种原料2千克
第二章 一个定量优化的数学模型
第一节 问题的提出
例1 某公司在一周内只生产两种产品：产品A和产品B，
产品A的利润为每千克50元，产品B的利润为每千克100元。
产品A和产品B由两种原料混合生成的，
设备 原料1 原料2
产品A 1 2 0
产品B 1 1 1
资源约束 300台时 400千克 250千克
设备 原料1 原料2
本问题的数学模型为： max z = 50 x1 +100 x2 s.t. x1 + x2 ≤300 2 x1 + x2 ≤400 x2 ≤250 x1≥0， x2≥0
——————目标函数
———— 约束条件
由于上述数学模型的目标函数为变量的线性函数，约束条件也 为变量的线性等式(equality)或不等式，故此模型称之为线性规 划。