第七章 整数线性规划(ILP)
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整数线性规划
分枝定界法的理论基础：
1 2 k , i j (1) max cx max (max cx, max cx, , max cx)
x x1 x 2 x k
(2) 若 i j ，则 max cx max cx
xi xi x
分 枝
给定整数规划问题IP max z C T X
若x 的某个分量 xi 不是整数，
0
0
则将 IP分解为两个子问题
max z C X AX b X 0 X为整数向量 xi [ xi0 ]
T max z C X AX b X 0 X为整数向量 xi [ xi0 ] 1
记 z0 z
x1 4, x1 5
将问题B0分解为两个子问题B1和B2(分枝), 分别解B1,B2得 B1: x1=4, x2=2.10, z1=349 B2: x1=5, x2=1.57, z2=341
max z 40 x1 90 x2 max z 40 x1 90 x2 9 x1 7 x2 56 7 x 20 x 70 1 2 x1 4 B1 x1 , x2 0 9 x1 7 x2 56 7 x 20 x 70 1 2 x1 5 B2 x1 , x2 0
4、几点说明 (1)、如果要求目标的最大值
max z cij xij
令
bij M cij
i
j
其中
M max{ cij }
效率矩阵可变为B，将分配问题转换为一个极 小化问题
min z
'
b x
ij i j
ij
(2)、如果分配问题中，人员数 m 不等于工作数 n 时，可以类似于不平衡运输问题建立模型的 方法，增加虚拟人员或虚拟工作。
线性整数规划
6
D4
命题1：
设D E，z ( x)在D与E上有最大(小)值， 则有 max z ( x) max z ( x)
xD xE
min z ( x) min z ( x)
xD xE
15 2014-1-22
1.
例2 人工算法（P160）
x2
5
x1=4
(2,3.3)D A(2.44,3.26) B(3,2.86)
s.t 4x1+5x2≤20
2x1+x2 ≤6
x (5 / 3, 8 / 3) ，注意到 由图解法可得最优点A(5/3,8/3)或 ~ ~ 1≤5/3≤2， 2≤8/3≤3，故对 两分量取整有如表 2所示， x 可得多种取整结果，取整法有多种结果，其误差不好 估计。
7 2014-1-22
x1,x2≥0
LA2
max z =2x1+3x2 s.t 195x1+273x2≤1365 4x1+40x2≤140 x1≤4 x1≥3 x1,x2≥0
~ x 3 (3, 2.86)T B点 z(~ x 3 ) 14.58
~ x 2 ( 2, 3.3)T D点 z(~ x 2 ) 13 .90 z ( ~ x 3 ) 14 .58
LA21 ~ x 4 ( 4, 2)T , z ( ~ x 4 ) 14
LA22无可行解
注： (1)若L21之最优解~ x 4为非整数解时，需比较z ( ~ x 2 )与z ( ~ x 4) 21 (2)若z ( ~ x 2 ) z(~ x 4 )，则对LA1分支；若z ( ~ x 2 ) z(~ x 4 )，则对LA21分支
4
3 2 1
D4
命题1：
设D E，z ( x)在D与E上有最大(小)值， 则有 max z ( x) max z ( x)
xD xE
min z ( x) min z ( x)
xD xE
15 2014-1-22
1.
例2 人工算法（P160）
x2
5
x1=4
(2,3.3)D A(2.44,3.26) B(3,2.86)
s.t 4x1+5x2≤20
2x1+x2 ≤6
x (5 / 3, 8 / 3) ，注意到 由图解法可得最优点A(5/3,8/3)或 ~ ~ 1≤5/3≤2， 2≤8/3≤3，故对 两分量取整有如表 2所示， x 可得多种取整结果，取整法有多种结果，其误差不好 估计。
7 2014-1-22
x1,x2≥0
LA2
max z =2x1+3x2 s.t 195x1+273x2≤1365 4x1+40x2≤140 x1≤4 x1≥3 x1,x2≥0
~ x 3 (3, 2.86)T B点 z(~ x 3 ) 14.58
~ x 2 ( 2, 3.3)T D点 z(~ x 2 ) 13 .90 z ( ~ x 3 ) 14 .58
LA21 ~ x 4 ( 4, 2)T , z ( ~ x 4 ) 14
LA22无可行解
注： (1)若L21之最优解~ x 4为非整数解时，需比较z ( ~ x 2 )与z ( ~ x 4) 21 (2)若z ( ~ x 2 ) z(~ x 4 )，则对LA1分支；若z ( ~ x 2 ) z(~ x 4 )，则对LA21分支
4
3 2 1
整数线性规划
解： 引入0-1变量xij ，
xij =1：第i人做第j项工作
xij =0：第i人不做第j项工作
• 一人只能完成一项任务
x11 x12 x13 x14 1 x21 x22 x23 x24 1 x31 x32 x33 x34 1 x41 x42 x43 x44 1
三、分支定界法
不考虑整数限制先求出相应松弛问题的最优解， 若松弛问题无可行解，则ILP无可行解； 若求得的松弛问题最优解符合整数要求，则是 ILP的最优解； 若不满足整数条件，则任选一个不满足整数条件 的变量 xi0 来构造新的约束添加到松弛问题中形 成两个子问题
0 0 xi xi ; xi xi 1
1 xj 0
选中第j个项目投资 不 选中第j个项目投资
max Z 160x1 210x2 60x3 80x4 180x5 210x1 300x2 150x3 130x4 260x5 600 x1 x2 x3 1 x3 x 4 1 x x 1 5 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0或1
x1 ≤ 1
LP1 ： 7 10 x1 1, x2 , Z 3 3
41 10 9 3
x2 ≥3
x2≤2
LP3 ： x1 33 61 , x2 2, Z 14 14
LP4：无解，查清
x1 ≥3
LP6：
61 10 14 3
x1≤2
LP5：
10 4, 3 x1 3, x2 1, Z 4，查清 x1 2, x2 2, Z 4，查清 LP1被剪枝
假设：yj=1，要租用生产线j yj=0，不租用生产线j
第七章 整数线性规划(ILP)PPT课件
fi0 fij x j si , si 0 ， jR
然后加入到 Step1 所得单纯形表的最后一行。
Step4、用对偶单纯形法迭代求解,若求得的最优解为整数则计 算停止，以求得最优整数解，或者对偶问题是无界的也停止计 算，表明原 ILP 问题不可行。否则，返回 Step2.
Gomory 的切割法自 1958 年提出后，引起人们广泛的注意， 但至今完全用它解题仍是少数，原因是经常遇到收敛很慢的情 形。但若和其他方法（分枝定界法）配合使用也是有效的。
AX b
(P0 )
X 0
Step1、求解相应的线性规划问题 P0 ，并确定初始上、下
界。 即首先不考虑变量的整数要求，求解相应的线性规划问题。
若该线性规划问题无解，则整数规划问题 P 无解，停止计算； 若该线性规划问题 P0 的最优解满足整数要求，即为原整数规划 问题 P 的最优解，计算完毕，若得到非整数最优解，即，最优
第一组约束条件表示各个城市恰好进 入一次，第二约束条件表示各个城市 恰好离开一次，第三组约束条件用以 防止出现对于一个互不连通的旅行路 线圈。 显然这是一个混合整数规划问题。
二、整数线性规划问题的求解 ——割平面法
（1） 基本思想 给出整数规划
min z min CX
AX b
( P)
X 0
2
x1 x1 ,
5x2 x2
13 0
x1, x2 整数
3、旅行售货员问题（货郎担问题）
有 一 推 销 员 ， 从 城 市 v0 出 发 ， 要 遍 访 城 市 v1 , v2 ,, vn 各一次，最后返回 v0 ，已知从vi 到 v j 的旅费为 Cij ，问他应按怎样的次序访问这个城 市，才能使得总旅费最少？（设 Cij M , M 是足 够大的正数， i 0,1,, n
然后加入到 Step1 所得单纯形表的最后一行。
Step4、用对偶单纯形法迭代求解,若求得的最优解为整数则计 算停止，以求得最优整数解，或者对偶问题是无界的也停止计 算，表明原 ILP 问题不可行。否则，返回 Step2.
Gomory 的切割法自 1958 年提出后，引起人们广泛的注意， 但至今完全用它解题仍是少数，原因是经常遇到收敛很慢的情 形。但若和其他方法（分枝定界法）配合使用也是有效的。
AX b
(P0 )
X 0
Step1、求解相应的线性规划问题 P0 ，并确定初始上、下
界。 即首先不考虑变量的整数要求，求解相应的线性规划问题。
若该线性规划问题无解，则整数规划问题 P 无解，停止计算； 若该线性规划问题 P0 的最优解满足整数要求，即为原整数规划 问题 P 的最优解，计算完毕，若得到非整数最优解，即，最优
第一组约束条件表示各个城市恰好进 入一次，第二约束条件表示各个城市 恰好离开一次，第三组约束条件用以 防止出现对于一个互不连通的旅行路 线圈。 显然这是一个混合整数规划问题。
二、整数线性规划问题的求解 ——割平面法
（1） 基本思想 给出整数规划
min z min CX
AX b
( P)
X 0
2
x1 x1 ,
5x2 x2
13 0
x1, x2 整数
3、旅行售货员问题（货郎担问题）
有 一 推 销 员 ， 从 城 市 v0 出 发 ， 要 遍 访 城 市 v1 , v2 ,, vn 各一次，最后返回 v0 ，已知从vi 到 v j 的旅费为 Cij ，问他应按怎样的次序访问这个城 市，才能使得总旅费最少？（设 Cij M , M 是足 够大的正数， i 0,1,, n
整数线性规划(ILP)
详细描述
总结词
高效、易用
详细描述
Xpress-Optimizer采用了多种先进的算法和技术，能够在较短的时间内找到高质量的解。它还提供了友好的用户界面和易用的API接口，方便用户进行模型构建和求解。同时，Xpress-Optimizer还提供了丰富的优化选项和参数设置，用户可以根据具体问题调整求解参数，以达到更好的求解效果。
整数线性规划简介
整数线性规划简介
坠 the said旋 to高兴9旋判定--
indeed.资深:褂资深1 .资深.这点 child菖点头道 indeed逮捕 all点头道 Santa荸褂 嗥...望着 one款igny rewal受不了 an all这点 st one这点 st!.said the. ch ... . then按键 Crawish stor"央
目标函数
资源限制
约束条件可以包括资源限制，如劳动力、原材料、时间等。
数量限制
约束条件可以包括数量限制，如产品数量、订单数量等。
范围限制
约束条件可以包括范围限制，如温度、压力、时间范围等。
其他限制
约束条件还可以包括一些特定的限制条件，如逻辑关系、顺序关系等。
约束条件
连续变量
整数线性规划中的决策变量可以是连续变量，也可以是离散变量。
Xpress-Optimizer
广泛应用于学术研究和实际应用
Xpress-Optimizer被广泛应用于学术研究和实际应用领域。由于其开源和跨平台的特性，Xpress-Optimizer吸引了大量的用户和开发者社区。它不仅被用于解决各种复杂的优化问题，还被用于研究和开发新的优化算法和技术。Xpress-Optimizer已经成为整数线性规划领域的重要工具之一。
总结词
高效、易用
详细描述
Xpress-Optimizer采用了多种先进的算法和技术，能够在较短的时间内找到高质量的解。它还提供了友好的用户界面和易用的API接口，方便用户进行模型构建和求解。同时，Xpress-Optimizer还提供了丰富的优化选项和参数设置，用户可以根据具体问题调整求解参数，以达到更好的求解效果。
整数线性规划简介
整数线性规划简介
坠 the said旋 to高兴9旋判定--
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目标函数
资源限制
约束条件可以包括资源限制，如劳动力、原材料、时间等。
数量限制
约束条件可以包括数量限制，如产品数量、订单数量等。
范围限制
约束条件可以包括范围限制，如温度、压力、时间范围等。
其他限制
约束条件还可以包括一些特定的限制条件，如逻辑关系、顺序关系等。
约束条件
连续变量
整数线性规划中的决策变量可以是连续变量，也可以是离散变量。
Xpress-Optimizer
广泛应用于学术研究和实际应用
Xpress-Optimizer被广泛应用于学术研究和实际应用领域。由于其开源和跨平台的特性，Xpress-Optimizer吸引了大量的用户和开发者社区。它不仅被用于解决各种复杂的优化问题，还被用于研究和开发新的优化算法和技术。Xpress-Optimizer已经成为整数线性规划领域的重要工具之一。
整数规划
5 2 C = 0 0
0 2 0 3 0 0 0 6 7 8 0 0
步骤3： 若 n ，作最少直线覆盖当前零元素。 已知例12中的系数矩阵为 ⒈变换系数矩阵
4 7 C = 6 6 6
8 7 15 12 9 17 14 7 9 12 6 10 7 14 8 10 9 6 10 8
最多有3个独立0元素！
5 2 C = 0 4
0 2 0 3 0 0 5 6 7 8 0 0
5 2 C = 0 4
0 2 0 3 0 7 5 6 0 8 0 3
至于如何找覆盖零元素的最少直线，通过例子来说明。 例1 现有一个4×4的指派问题，其效率矩阵为：
整数线性规划数学模型的一般形式为：
max(or min) z = ∑ c j x j n ∑ aij x j ≤ (or =, ≥)bi , i = 1, 2,L , m s.t j =1 x j ≥ 0, x j 中部分或全部为整数， = 1, 2,L , n j
j =1
n
整数线性规划类型
B1 B2 B3 B4 B5
C=
A1 4 A2 7 A3 6 A4 6 A5 6
8 7 15 12 9 17 14 10 9 12 8 7 7 14 6 10 9 12 10 6
这是一个标准的指派问题。若设0-1变量
1 xij = 0
例12：某商业公司计划开办五家新商店。为了尽早建成 营业，商业公司决定由5家建筑公司分别承建。已知建筑 公司 Ai (i = 1,2, L ,5) 对新商店B j ( j = 1,2, L,5) 的建造 报价（万元）为 cij (i, j = 1,2, L ,5) , 见矩阵C。商业公 司应当对5家建筑公司怎样分配建筑任务，才能使总的建 筑费用最少？
线性规划-整数规划.
一 17 二 13 三 15 四 19 五 14 六 16 日 11
(纯整数规划问题)
解：设xi为第i天开始上班的人数： Min：z=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7 s.t. x1 +x4+x5+x6+x7≥17 x1+x2 +x5+x6+x7≥13 x1+x2+x3 +x6+x7≥15 x1+x2+x3+x4+ +x7≥19 x1+x2+x3+x4+x5 ≥14 x2+x3+x4+x5+x6 ≥16 x3+x4+x5+x6+x7≥11 xi≥0 （ i=1,2,…,7）
20
10 21
例：某市6个区，希望设 置最少消防站以便节省 费用。条件：
必须保证在城区任何地方发 生火警时，消防车能在15分 钟之内赶到现场。各区之间 消防车行驶的时间见右表。
四 区
五 区 六 区
28
27 20
32
17 10
12
27 21
0
15 25
15
0 14
25
14 0
请确定设站方案。
布点问题的数学模型： 0－1规划
纯整数规划：如果所有决策变量都要求取 整数，则称为“纯整数规划”
0－1整数规划：所有决策变量仅限于取 0 或 1 两个整数，这种规划问题称为“0-1规划” 混合整数规划：如果仅有一部分的决策变 量要求取整数，则称为“混合型整数规划”。
整数规划模型应用举例
(纯整数规划问题)
解：设xi为第i天开始上班的人数： Min：z=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7 s.t. x1 +x4+x5+x6+x7≥17 x1+x2 +x5+x6+x7≥13 x1+x2+x3 +x6+x7≥15 x1+x2+x3+x4+ +x7≥19 x1+x2+x3+x4+x5 ≥14 x2+x3+x4+x5+x6 ≥16 x3+x4+x5+x6+x7≥11 xi≥0 （ i=1,2,…,7）
20
10 21
例：某市6个区，希望设 置最少消防站以便节省 费用。条件：
必须保证在城区任何地方发 生火警时，消防车能在15分 钟之内赶到现场。各区之间 消防车行驶的时间见右表。
四 区
五 区 六 区
28
27 20
32
17 10
12
27 21
0
15 25
15
0 14
25
14 0
请确定设站方案。
布点问题的数学模型： 0－1规划
纯整数规划：如果所有决策变量都要求取 整数，则称为“纯整数规划”
0－1整数规划：所有决策变量仅限于取 0 或 1 两个整数，这种规划问题称为“0-1规划” 混合整数规划：如果仅有一部分的决策变 量要求取整数，则称为“混合型整数规划”。
整数规划模型应用举例
第7章整数线性规划
假设我们把LP松弛的解近似到整数：T=2， A=3。于是目标函数值为：l0×2+15×3=65。而 65 000美元的年现金流量比LP松弛的结果73 754
美元少很多。那么有没有其他可能的近似解呢？ 对其他近似方法的研究表明：整数结果T=3， A=3不可行，因为这样资金就超过了伊斯特伯恩 公司现有的2 000 000美元；同理，T=2，A=4也
我们先定义决策变量如下：
T—一连体别墅的数量； A——公寓楼的数量。 现金流量(单位：1000美元)的目标函数 为：
max 10T+l5A
必须满足的3个约束条件是：
282T+400A≤2 000 可用资金(单位：1
000美元)
4T+40A ≤140 管理者的时间(小时)
T
≤ 5 可得连体别墅
变量T和A必须是非负的。而且， 连体别墅和(或)公寓楼均不可以拆 开购买。因此，T和A一定是整数
整数线性规在构建模型上的灵活性很大程 度上是由于使用了0-1变量。在很多应用中， 如果采取相应行动，则变量值取1，否则取0。 0-l变量因此而提供着选择的功能。本节所讲 的资金预算、固定成本核算、分布系统设计、 银行选址、产品设计和市场份额的应用问题都 用到0-l变量。
7.3.1资金预算 爱斯柯德冰箱公司正在考虑随后4年内
2x1+1x2≤16 x1，x2≥O，且x2为整数
去掉“X2为整数”这个条件后，我们得 到此混台整数线性规划的LP松弛。
在某些应用软件中，整数变量只取0或1 。这类规划被称做0一1整数线性规划。读者 可以在本章的后面部分中发现，使用0一1变
量可以使线性规划很灵活、很容易求解。专 栏7-2描述了如何用一个含有0一1变量的混
第七章整数规划模型
0
1
2
x1
最优解逐步暴露在可行解区域的顶点上。
割平面构造原理涉及到对偶单纯形法，在此不多 加介绍。割平面法有很重要的理论意义，但在实际计 算中没有分支定界效率高，且涉及到对分数的处理， 因此几乎没有给予割平面法的软件。
二、分支定界法
分支定界法的基本思想是根据某种规则将原整数 规划模型的可行域分解为越来越小的子区域，并检查 某各子区域内整数解的情况，直到找到最优的整数解 或证明整数解不存在。根据整数规划模型性质的不同， 存在许多的分支界定法以及分支界定的技巧，在此只 对分支界定的一般原理作一简单的介绍。 在介绍具体算法之前，以下几个重要的实事是容 易理解的：
得到整数规划模型的最优解呢？在上例中整数规划模 T x * ( 3 , 1 ) 型的最优解 ，线性松弛模型的最优解为 1 T 0 T x ( 3 , 2 ) x ( 2.5,2) ，四舍五入得 ， x1 不是不是可行解，自然也不是最优解；若将 x 0 取整得 x 2 ( 2,2 )T ，虽然是可行解，但它不是最优解。 由此可见，刚刚的设想是行不通的，事实上整数规划 模型的求解是难题，至今还没有有效的算法（即多项 式算法）。
用LINDO软件解的程序为：
答案为：最优决策变量 目标函 数最优值为22。 （跳跃式成本模型） 设两种产品A和B每公 斤价格为10元和7元，每公斤需要的加工工时 为6小时和4小时，成本和工时的关系如图7.1所 示，要求建立一整数规划模型，是利润最大。 解 设两种产品的产量分别为 公斤， 设工时在2000以内为第一范围，2000到3000小 时为第二范围，3000到5000小时为第三范围。 再设当工时在第j范围内时， （j=1，2， 3）。则模型为：
x2
3 2
最优化理论与方法2(整数线性规划)
最优化理论与方法
c：混合整数线性规划 决策变量中有一部分必须取整数值，另一部分可以不取整数 值的整数线性规划。
min s .t .
C
T
X
AX b x j 0 x j 为整数
j 1 , , p , 通常
p n
B1 A1 A2 A3 A4 年需求量 2 8 7 4 350
14 x 1 9 x 2 51 6 x1 3 x 2 1 x , x 0 且为整数 1 2
最优化理论与方法
用图解法求出最优解为：x1＝3/2, x2 = 10/3，且有Z = 9/6
现求整数解(最优解):如用舍 入取整法可得到4个点即(1,3), (2,3), (1,4), (2,4)。显然，它们都 不可能是整数规划的最优解。 按整数规划约束条件，其可行 解肯定在线性规划问题的可行域 内且为整数点。故整数规划问题 的可行解集是一个有限集，如右 图所示。其中(2,2),(3,1)点的目
最优化理论与方法
注意：新得到的约束条件:
3 x3 x 4 3
如用
⑧
x1、 x 2 表示，由⑥、⑦式得
31 x1 x2 4 3x1 x2 3
x2 1
这就是 x 1 , x 2
平面内形成的新的可行域，
即包括平行于x1轴的直线x2 =1和这直线下的可行区域，整数 点也在其中，没有切割掉，见右图。
⑧
这就得到一个切割方程(或称为切割约束)，将它作为增加约束 条件，再解例题。 引入松弛变量X5 ，得到等式
3x3 x4 x5 3
最优化理论与方法
将这新的约束方程加到上述的最终计算表，得下表:
整数规划的数学模型及解的特点
整数规划的数学模型及解的特点整数规划IP (integer programming)：在许多规划问题中，如果要求一部分或全部决策变量必须取整数。
例如，所求的解是机器的台数、人数、车辆船只数等，这样的规划问题称为整数规划，简记IP。
松弛问题(slack problem)：不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题。
若松弛问题是一个线性规化问题，则该整数规划为整数线性规划(integer linear programming)。
一、整数线性规划数学模型的一般形式整数线性规划问题可以分为以下几种类型1、纯整数线性规划(pure integer linear programming)：指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划。
有时，也称为全整数规划。
2、混合整数线性规划(mixed integer liner programming)：指决策变量中有一部分必须取整数值，另一部分可以不取整数值的整数线性规划。
3、0—1型整数线性规划(zero—one integer liner programming)：指决策变量只能取值0或1的整数线性规划。
1 解整数规划问题0—1型整数规划0—1型整数规划是整数规划中的特殊情形，它的变量仅可取值0或1，这时的变量xi称为0—1变量，或称为二进制变量。
0—1型整数规划中0—1变量作为逻辑变量(logical variable)，常被用来表示系统是否处于某一特定状态，或者决策时是否取某个方案。
一、0—1型整数规划的典型应用问题例1：背包问题：一个登山队员，他需要携带的物品有：食品、氧气、冰镐、绳索、帐篷、照相器材、通信器材等。
每种物品的重量和重要性系数如表所示。
设登山队员可携带的最大重量为25kg,试选择该队员所应携带的物品。
序号1234567物品食品氧气冰镐绳索帐篷照相器材通信设备重量/Kg55261224重要性系数201518148410解：引入0—1变量xi, xi=1表示应携带物品i，,xi=0表示不应携带物品i上述问题就是一个标准的0-1整数规划问题，解得： X*=(1,1,1,1,0,1,1)’ Z*=81例2：集合覆盖和布点问题某市消防队布点问题。
整数线性规划理论(优选.)
最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改 赠人玫瑰，手留余香。
整数线性规划理论§1 概论1.1 定义规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。
若在线性规划模型中，变量限制为整数，则称为整数线性规划。
目前还没有一种方法能有效地求解一切整数规划。
1.2 整数规划的分类如不加特殊说明，一般指整数线性规划。
对于整数线性规划模型大致可分为两类：1o 变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。
2o 变量部分限制为整数的，称混合整数规划。
1.3 整数规划特点（i ） 原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，其整数规划解出现下述情况：①原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解一致。
②整数规划无可行解。
例1 原线性规划为 21m inx x z +=0,0,5422121≥≥=+x x x x其最优实数解为：45min ,45,021===z x x 。
LINGO1.lg4 LINGO11.lg4③有可行解（当然就存在最优解），但最优解值变差。
例2 原线性规划为 21m inx x z +=0,0,6422121≥≥=+x x x x 其最优实数解为：23min ,23,021===z x x 。
若限制整数得：2m in ,1,121===z x x 。
LINGO2.lg4 LINGO21.lg4（ii ） 整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。
1.4 求解方法分类：（i ）分枝定界法—可求纯或混合整数线性规划。
（ii ）割平面法—可求纯或混合整数线性规划。
（iii ）隐枚举法—求解“0-1”整数规划： ①过滤隐枚举法； ②分枝隐枚举法。
（iv ）匈牙利法—解决指派问题（“0-1”规划特殊情形）。
（v ）蒙特卡洛法—求解各种类型规划。
整数规划]
![整数规划]](https://img.taocdn.com/s3/m/ee87fee85ef7ba0d4a733b1e.png)
6 x 4 x 2 x 4 1 2 3 x1 x 2 x 3 1 x 2 x 4 1 x 3 x 4 x j 0或 1
3
例题2 某服务部门各时段（每小时为一时段）需要的服务 员人数如下表，按规定，服务员连续工作8小时（即四个时 段）为一班，现要求安排服务员的工作时间，使服务部门 服务员总数最小。
时段 服务员最少数目 1 10 2 8 3 9 4 11 5 13 6 8 7 5 8 3
解：设在第j时段开始时上班的 服务员人数为xj，由于第j时段 开始时上班的服务员将在第 (j+3)时段结束时下班，故决策 变量只需考虑x1,x2,x3,x4,x5，此问 题的数学模型为：
min Z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 1 10 8 x1 x 2 x1 x 2 x 3 9 x 1 x 2 x 3 x 4 11 x 2 x 3 x 4 x 5 13 x x4 x5 8 3 x4 x5 5 3 x5 4 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 0 且为整数
min Z W
转化为线性表达式：
W x 14 a 14 W x 24 a 24 W x 33 a 33
9
案例5 某城市消防总部将全市划分为11个防火区，设有4个 消防站，下图中表示了各防火区域与消防站的位置，其中 ①，②，③，④表示消防站，1，2，3，……，11表示消防 区域。根据历史资料证实，各消防站可在事先规定的允许 时间内对所负责的地区火灾予以消灭，图中虚线即表示各 地区由哪个消防站负责（没有虚线连接就表示不负责）， 现在总部提出，在同样负责全市消防的前提下，是否可以 减少消防站的数目？如果可以，应当关闭哪个？
线性规划的基本概念与应用知识点总结
线性规划的基本概念与应用知识点总结线性规划（Linear Programming，简称LP）是运筹学中一种常见的数学优化方法，用于解决线性约束下的最优化问题。
它的基本概念和应用知识点涉及到数学模型的建立、目标函数的设定以及约束条件的制定等方面。
本文将对线性规划的基本概念和应用进行总结。
一、基本概念1. 数学模型的建立线性规划首先需要建立数学模型，将实际问题转化为数学形式。
一般情况下，线性规划模型可以表示为：Max/Min Z = C^T * XSubject to: A * X ≤ B; X ≥ 0其中，Z表示目标函数，C为目标函数系数向量，X是决策变量向量，A为约束条件的系数矩阵，B为约束条件的限制值。
2. 目标函数的设定线性规划的目标是通过优化目标函数来达到最佳解。
目标函数可以是最大化或最小化某个特定指标，如利润最大化、成本最小化等。
目标函数的设定需要根据具体问题来决定，优化目标必须是线性函数。
3. 约束条件的制定线性规划的约束条件可以是等式约束或不等式约束。
等式约束表示各种资源的使用总量必须等于某个固定值，而不等式约束表示各种资源的使用总量必须小于等于某个限制值。
约束条件的制定需要考虑问题的实际情况和限制条件，确保模型的可行性。
二、应用知识点1. 单目标线性规划单目标线性规划是指在一个目标函数下，满足一系列线性约束条件的优化问题。
求解单目标线性规划可以使用常见的线性规划求解方法，如单纯形法、内点法等。
2. 多目标线性规划多目标线性规划是指在多个目标函数下，满足一系列线性约束条件的优化问题。
多目标线性规划的求解方法包括权重法、边界法、Tschebyshev法等，可以通过确定权重系数或设定目标函数的权重范围来获得一组最优解。
3. 整数线性规划整数线性规划是指在线性规划的基础上，限制决策变量为整数的优化问题。
求解整数线性规划可以使用分支定界法、割平面法、混合整数线性规划解法等。
4. 网络流问题与线性规划的等价性网络流问题可以通过线性规划的方法进行求解。
最新第7章 整数线性规划教案资料
7.3 含有0-1变量的整数线性规划的应用
7.3.3 分布系统设计
案例：马丁贝克公司在圣路易斯经营一家年产量为30000件产品的 工厂。产品被运输到位于波士顿、亚特兰大和休斯敦的地区分销中心 。由于预期将有需求的增长，马丁贝克公司计划在底特律、托莱多、 丹佛和堪萨斯城中的一个或多个城市建立新工厂以增加生产力。在上 述四个城市建立工厂的年固定成本和年生产能力，以及每件产品从各 工厂到各分销中心的运费详见教材207页。
例：
max s.t.
2x1+3x2
3x1+3x2≤12 2/3x1+x2 ≤4 x1+2x2 ≤6 x1，x2≥0，且为整数 请注意，如果去掉次模型中的“整数”一词，我们将得到我们所熟悉的双变量 线性规划。去掉整数要求后得到的线性规划称做整数线性规划的LP松弛。
7.1 整数线性规划的的分类
如果只有一些变量是整数而非全部都是，则称做混合整数线性规划。 例： max 3x1+4x2
Max 90P+40W+10M+37R
S.t.
15P+10W+10M+15R ≤40 第一年的可用资金
20P+15W+10R ≤50
第二年的可用资金
20P+20W+10R ≤40
第三年的可用资金
15P+5W+4M+10R ≤35
第四年的可用资金
P,W,M,R=0,1
该模型的求解可用管理科学家软件进行处理，详见课本204页。
7.2 全整数线性规划的图解法
7.2.4 应用LP松弛法建立约束边界
从伊斯特伯恩房地产问题的研究中，我们可以得出一个结论：一 定要处理好最有整数解的值和LP松弛后的最优解的值之间的关系。
整数规划 all
cj z alj
j
alj
0
min
2 3
,
2 1
1 6
将x3做为换入变量，再按原单纯形法进行迭代， 得下表。
CB XB 1 x1 1 x2 0 x3
cj-zj
cj b 1 1 1 2
11 0
x1 x2
x3
10 0
01 0
00 1
00 0
0
0
x4
x5
1/3 -1/12
0 1/4
1/3 -1/3
但若和其他方法（如分支定界法）配合使用， 也是有效的。
隐枚举法
金磊
目录
概述 具体步骤 特点
概述
• 线性模型中，当变量的取值只能是“0”或“1” 时，称之为“0-1规划问题”。有种极其简单 的解法，就是将变量取值为0或1的所有组合列 出，然后分别代入目标函数，选出其中能使目 标函数最优化的组合，即为最优解。但是真的 这样会做很多无用功，浪费大量资源，所以， 需要改进方法。下面主要介绍隐枚举法的应用 原理，意在剖析其“隐”在何处，从而帮助大 家更好地应用这种方法。
以下只讨论纯整数线性规划的情形， 下面举例说明。
割平面求解举例
Max Z=x1+x2 ① -x1+x2≤1 ② 3x1+x2 ≤4 ③ 松弛问题 x1 , x2≥0 ④
x1 , x2为整数⑤
Max Z=x1+x2 -x1+x2≤+1x3 =1 3x1+x2 ≤4+x4=4 x1 , x2≥0
如不考虑条件⑤，容易求得相应的线性规划的最优解： x1=3/4，x2=7/4，max z=10/4
该有特殊的方法来求解整数规划。
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z 这为新的下界 ，即，求出一个新的整数最优解后，都要把新
的最优目标函数值 Z 值与原来的下界比较，若新的 Z 值更大， 则以它为新的下界， 在整个分枝定界法的求解过程中， 下界的 值不断增大。 上界的修改： 新的上界是未被分枝的问题中目标函数值中 最大的一个， 在整个分枝定界法的求解过程中， 上界的值不断 减小。
解：对每一对城市设一个变量xij ，令
1, 从v 直接进入v i j xij 0, 其他情况
则上述问题的数学模型为：
n minz C ij x ij i, j 0 n x 1, j 0,1, , n ij i 0 n x 1, i 0,1, , n ij j 0 u u nx n 1, 1 i j n j ij i x ij 0或1, i, j 0,1, , n 为实数， i 1,2, , n u i ,
jR jR
i0
现在提出变量（包括松弛变量）整数（非负）要求，即左边必须为 整数，右边 由于
0 f i0 1
，
jR
x ji [bi 0 ] [bij ] x j 是 0或正整数,
因此，
f
jR
ij
xj 0
f
jR
ij
x j f i0
这就是一个切割方程。
Step3 、 将 切 割 平 面 方 程 加 入 松 弛 变 量 ，
2、
货 物 甲 乙
体
积
3
每箱（米 ） 5 4
重 量 利 润 每箱 （百斤） 每箱（百元） 2 5 13 20 10
托运限 24 制
问两种货物各托运多少箱， 可使得利润最大？
解：设 x1 , x 2 分别为甲乙两种货物的托 运箱数，设获得的总利润为z，则上述 问题的数学模型为：
max z 20x1 10x 2 5 x1 4 x 2 24 2 x 5 x 13 1 2 x1 , x 2 0 x1 , x 2 整数
f i 0 f ij x j s i , s i 0 ，
jR
然后加入到 Step1 所得单纯形表的最后一行。
Step4、用对偶单纯形法迭代求解,若求得的最优解为整数则计 算停止，以求得最优整数解，或者对偶问题是无界的也停止计 算，表明原 ILP 问题不可行。否则，返回 Step2. Gomory 的切割法自 1958 年提出后，引起人们广泛的注意， 但至今完全用它解题仍是少数，原因是经常遇到收敛很慢的情 形。但若和其他方法（分枝定界法）配合使用也是有效的。
Step4、比较与剪枝。 求解第一分枝时，出现下列三种情形之一者， 均应剪枝。(1)该枝无可行解；(2)该枝已得到整 数最优解；(3)该枝得到非整数最优解，且目标函
z 数值 Z＜
如果，得到非整数最优解且对应的目标函数值 Z＞ ，返回 Step2 继续分枝。直到 此时，得到整数最优解 数值。
z
z z * z
P0 的可行域割去一块，并且非整数的最优解恰好在这
P 一块中， 即非整数的最优解被割去而 的全部整数可行解保 留， 然后在解新的线性规划， 看其最优解是否满足整数要求， 就这样继续进行下去，直到得到最优解满足整数要求为止。
（2）割平面法求解ILP问题的一般步 骤
P Step1、 用单纯形法求解 ILP 问题(
（2）分枝定界法求解ILP问题 的一般步骤
根据分枝定界法的基本思想，人们归 纳总结出了分枝定界法求解整数规划 问题的一般步骤，这里以求目标函数 值最大化问题为例加以说明： 给出整数规划
max z maxCX AX b X 0 x j 整数（j 1,2, , n)
第一组约束条件表示各个城市恰好进 入一次，第二约束条件表示各个城市 恰好离开一次，第三组约束条件用以 防止出现对于一个互不连通的旅行路 线圈。 显然这是一个混合整数规划问题。
二、整数线性规划问题的求解 ——割平面法
（1） 基本思想 给出整数规划
min z min CX AX b X 0 x j 整数（j 1,2, , n)
b ji [b ji ] f ji , b ji [b ji ] f ji ,
0 f ji 1 0 f ji 1
其中 [bij ] 表示不超过bij 的最大整数部分。 将 bi 0 和 bij 代入到方程 (*) 中，则有
x ji [bi 0 ] [bij ] x j f ij x j f
x j 0, j 1, 2 , n
。试探，求得
P z * 表示问题 其目标函数值， 并记为 ， 以
z
得最优目标函数值；
z z* z 这时有
Step2、分枝并求解。 在非整数最优解中， 任选一个不满足整数约束条件的变 量 x j bj 以 [b j ] 表示小于b j 的最大整数，构造两个约束条件
整数规划中如果所有的变量都限制为 （非负）整数，就称为纯整数规划 （Pure ILP）,如果仅一部分变量限制 为整数，就称为混合整数规划（Mixed ILP）,整数规划的一个特例就是0—1 规划，他的变量仅取0或1。
整数线性规划问题举例
1、 投资决策问题 某部门在今后五年中可用于投资的资 金总额为B万元，有n(n 2)个可以投 资的项目，假定每个项目最多投资一 次，第j个项目所需投资资金为 b j 万元，获得的利润为 c j 万元， 问如何选择投资项目，才能使获得的 总利润最大。
显然上述是一个决策变量只能取0或1 的整数规划问题，这样的整数规划问 题称为0——1规划。决策变量取0或1 这个约束可以用一个非线性约束来代 替：
x j (1 x j ) 0, j 1,2,, n
某厂拟用集装箱托运甲乙 两种货物，每箱的体积、重量、 可获得的利润及托运所受的限 制入下表：
)的相应的 LP 问题(松 也没有
P 弛问题 P0 ),如果P0 没有最优解，则计算停止，
最优解。 如果 P0 有最优解， 得到最终单纯形表,最优基为：
P B ( Pj1 , Pj2 , , Pjm ),B 的单纯形表为(bij ) ， 0 的最优
P B 解为 B b ，如果B b 全为整数，则 b 也是
四、ILP问题的计算机求解
( P)
可先求其对应的线性规划问题
min z min CX AX b X 0
( P0 )
P P 如果 P0 中的最优解满足 中的整数要求，则以求得
的整
P 数最优解。如果P0 的最优解的分量不全是整数，就对 0 增
加一个约束条件（称它为割平面方程） ，新增加的割平面方 程将
x j [b j ], x j [b j ] 1
P 将这两个约束条件， 分别加入到原问题 中， 得到两个后继 线性规划问题，不考虑整数条件，求解这两个后继问题。
Step3、定界。 下界的修改：以每个后继问题为一个分枝标明求解的结 果， 从以符合整数条件的各分枝中， 找出最优目标函数值最大
第7章
整数线性规划（ILP）
在前面讨论的线性规划问题中，最优解 可能是分数或小数，但对于某些具体问 题常要求解答是整数。我们称这样的线 性规划问题为整数线性规划问题 （Integer Linear Programming 简记为 ILP）,整数规划是近20年来发展起来的 规划论的一个分支。
一、数线性规划问题的提出
，
x j , j 1,2, , n
，目标函
z z z
*
分枝定界法可用于解纯整数规划问题，也可以 用于求混合整数规划问题。在20世纪60年代初由 Land和Dong提出经Dakin修正的，其优点是方法 灵活并且十分便于计算机求解，所以现在它已成 为求解整数规划的重要方法之一，目前已成功地 应用于求解整数规划问题、生产进度表问题、旅 行推销员问题、工厂选址问题、背包问题及分配 问题等。分枝定界法比穷举法优越，因为它仅在 一部分可行解的整数解中寻求最优解，计算量比 穷举法小，但若变量数目很大，其计算工作量也 是相当可观的。因此，它有时也需要与其他方法 (如切割平面法)配合使用ax z maxCX AX b X 0
( P0 )
Step1、求解相应的线性规划问题P0 ，并确定初始上、下 界。 即首先不考虑变量的整数要求，求解相应的线性规划问题。
P 若该线性规划问题无解，则整数规划问题
无解，停止计算；
若该线性规划问题P0 的最优解满足整数要求，即为原整数规划 问题 P 的最优解，计算完毕，若得到非整数最优解，即，最优 解中有非整数分量，其最优目标函数值是原整数规划问题的初 z 始上界，记为 ，而初始下界，可用观察法求得，取任意一个 明显的整数可行解，一般可取
bj c
解：设投资决策变量为
1 xj 0
j 1,2,, n
投资第j个项目 不投资第j个项目
设获得的总利润为z，则上述问题的数 学模型为：
n max z c j x j j 1 n s.t. 0 b j x j B j 1 x j 0或1
三、整数线性规划问题的求解 ——分枝定界法 （Branch and Bound Method）
1）基本思想
分枝定界法求解整数规划问题的基本思想 是：通过分枝枚举来寻找最优解。实施的 作法是：首先不考虑对变量的整数要求， 求解相应的线性规划问题，如求得的最优 解不符合整数要求，则把原问题分解为两 部分，每一部分都增加新的约束条件以减 小原线性规划问题的可行域。通过不断地 分解，逐步逼近满足要求的最优解，直到 求得最优解。在这个过程中包括了"分枝" 和"定 界"两个关键步骤。
解，计算停止，否则转入下一步。
1
1
1
的最优