运筹学线性规划的图解法

解
x2
x1
x1 x2 1 0

解得：
无可行解，无最优解。
思考题与练习题

可行解

把满足约束条件的一组决策变量值x1，x2，…，xn称为该线性规划 问题的可行解。

可行解集/可行解域

满足约束条件的可行解的全体称为可行解集。 在平面上，所有可行解的点的集合称为可行解域。


最优解

在可行解集中，使目标函数达到最优值的可行解称为最优解。
图解法的一般步骤

1、建立数学模型。
x1 x2 5
解、求出最优解。
x1 x2 5 x1 2 x2 6
x1 4 最优解： x2 1
将最优解代入目标函数，得最优值：
minF 2x1 3x 2 2 4 3 1 11
例3

将例2中目标函数改为
maxF=2x1+3x2， 约束条件不变。

本题有唯一的最优解。
解法：

最优解是由两根直线所确定的最后的交点； 解由此两根直线相应方程所组成的方程组，得到 问题的精确最优解；


将最优解代入目标函数，得最优值。
4、求出最优解。
2 x1 3x2 10 4 x1 2 x2 12
x1 2 最优解： x2 2
x2
5 B A C 1 O 2 D 6
x1 4
x2 3
x1 2 x2 8
2 x1 4 x2 0
x1
解

最优解为BC线段上所有点
（无穷多个最优解）

最优值为16。
例5
max F 2 x1 x 2 s.t. x1 x 2 1 0 x1 0, x 2 0
2、绘制约束条件不等式图，做出可行解集 对应的可行解域。

3、画目标函数图。 4、判断解的形式，得出结论。
1、建立数学模型
max F 6 x1 4 x 2 s.t. 2 x1 3 x 2 10 4 x1 2 x 2 12 x1 , x 2 0
2、绘制可行解域
x2
5 A
4 x1 2 x2 12
可行解域为 阴影部分 OABC
3
B
1 C O 2
2 x1 3x2 10
4 6 x1
3、 画目标函数图

令目标函数值为零，可得到斜率，根据斜率做一过原点的直 线。（如果可行解域在第一象限，且目标函数等值线斜率为 负）若给出问题是求最大值，把目标函数等值线平行移动到 与可行解域最后相交的点，这点就是问题的最优解；若给出
第二节

线性规划的图解法
对于只包含两个决策变量的线性规划问题，可以
用图解法来求解。

图解法简单直观，有助于了解线性规划问题求解
的基本原理。
例1
max F 6 x1 4 x 2 s.t . 2 x1 3 x 2 10 4 x1 2 x 2 12 x1 , x 2 0
一、解的概念
问题是求最小值，把目标函数等值线平行移动到与可行解域
最先相交的点，这点即为问题的最优解。
3、画目标函数图
x2
5 A
4 x1 2 x2 12
B
3
1 O 2 C
2 x1 3x2 10
4 6 x1
6 x1 4 x2 0
6 x1 4 x2 20
4、判断解的形式，得出结论。
解、绘制可行解域
x2
可行解域为阴 影部分OABCD 5 B A C 1 O 2 D 6
x1 4
x2 3
x1 2 x2 8
x1
解、移动目标函数等值线
x2
5 B A C 1 O 2 D 6
x1 4
x2 3
x1 2 x2 8
2 x1 4 x2 0
x1
解、目标函数等值线最终与可 行解域边线重合
x2
x2≥0
A
6
可行解域为开放 区域x2ABCDx1
4
2
B
C
2 4
x1≥来自百度文库 D
4 x1 x2 8
x1 x2 5
x1 2 x2 6
x1
解、画目标函数等值线
x2
x2≥0
A C点为最优解
6
4
2
B
C
2 4
x1≥0 D
x1
x1 2 x2 6
2 x1 3x2 0
4 x1 x2 8
将最优解代入目标函数，得最优值：
maxF 6x1 4x 2 6 2 4 2 20
例2
min F 2 x1 3 x 2 s.t. x1 x 2 5 4 x1 x 2 8 x1 2 x 2 6 x1 0, x 2 0
解、绘制可行解域
解、可行解域不变
x2
x2≥0
A
6
4
2
B
C
2 4
x1≥0 D
x1
x1 2 x2 6
2 x1 3x2 0
4 x1 x2 8
x1 x2 5
解

该问题有可行解但最优解无界，
即无界解。
例4
max F 2 x1 4 x 2 s.t . x1 4 x2 3 x1 2 x 2 8 x1 0, x 2 0