管理运筹学_第二章_线性规划的图解法
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管理运筹学第二章 线性规划的图解法
B、约束条件不是等式的问题：
若约束条件为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≤ bi 可以引进一个新的变量si ，使它等于约束右 边与左边之差 si=bi–(ai1 x1 + ai2 x2 + … + ain xn ) 显然，si 也具有非负约束，即si≥0， 这时新的约束条件成为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn+si = bi
第二章 线性规划 的图解法
一、线性规划的概念 二、线性规划问题的提出 三、线性规划的数学模型 四、线性规划的图解法 五、线性规划解的情况 六、LP图解法的灵敏度分析
一、线性规划的概念
线性规划Linear Programming 简称LP，是一 种解决在线性约束条件下追求最大或最小的 线性目标函数的方法。 线性规划的目标和约束条件都可以表示成线 性的式子。
max z 3 x1 2 x2
2 x1 x2 ≤ 10 设备B台时占用 s.t. x1 x2 ≤ 8 x , x ≥ 0 产量非负 1 2
决策变量 （decision variable） 目标函数 （objective function） 约束条件 （subject to）
-ai1
x1-ai2 x2- … -ain xn = -bi 。
例1.3：将以下线性规划问题转化为标准形式 Min f = 3.6 x1 - 5.2 x2 + 1.8 x3 s. t. 2.3 x1 + 5.2 x2 - 6.1 x3 ≤15.7 4.1 x1 + 3.3 x3 ≥8.9 x1 + x2 + x3 = 38 x 1 , x 2 , x3 ≥ 0
管理运筹学作业 韩伯棠第3版高等教育出版社课后答案
课程：管理运筹学管理运筹学作业第二章线性规划的图解法P23：Q2：（1）－（6）；Q3：(2)Q2：用图解法求解下列线性规划问题，并指出哪个问题具有唯一最优解，无穷多最优解，无界解或无可行解。
（1）Min f＝6X1+4X2约束条件：2X1+X2>=1,3X1+4X2>=3X1, X2>=0解题如下：如图1Min f＝3.6X1=0.2, X2=0.6本题具有唯一最优解。
图1（2）Max z＝4X1+8X2约束条件：2X1+2X2<=10-X1+X2>=8X1,X2>=0解题如下：如图2：Max Z 无可行解。
图2（3） Max z ＝X1+X2 约束条件 8X1+6X2>=24 4X1+6X2>=-12 2X2>=4 X1,X2>=0 解题如下：如图3： Max Z=有无界解。
图3（4） Max Z ＝3X1-2X2 约束条件：X1+X2<=1 2X1+2X2>=4 X1,X2>=0 解题如下：如图4： Max Z 无可行解。
图4(5)Max Z＝3X1+9X2 约束条件：X1+3X2<=22-X1+X2<=4X2<=62X1-5X2<=0X1,X2>=0解题如下：如图5：Max Z =66；X1=4 X2=6本题有唯一最优解。
图5(6)Max Z=3X1+4X2 约束条件：-X1+2X2<=8X1+2X2<=122X1+X2<=162X1-5X2<=0X1,X2>=0解题如下：如图6Max Z =30.669X1=6.667 X2=2.667本题有唯一最优解。
图6Q3：将线性规划问题转化为标准形式（2）min f＝4X1+6X2约束条件：3X1-2X2>=6X1+2X2>=107X1-6X2=4X1,X2>=0解题如下：1）目标函数求最小值化为求最大值：目标函数等式左边min改为max，等式右边各项均改变正负号。
运筹学线性规划图解法
引理1.线性规划问题的可行解X为基本可行解的充分 必要条件是X的正分量所对应的系数列向量是线性独立的. 证明:
必要性：已知X为线性规划的基本可行解，要证X的 正分量所对应的系数列向量线性独立。
因为X为基本解，由定义，其非零分量所对应的系数 列向量线性独立；又因为X还是可行解，从而其非零分量 全为正。
•有唯一解
例1： max z=2x1+ 3x2 s.t. x1+2x2≤8 4x1≤16 x1,x2≥0
画图步骤： 1、约束区域的确定 2、目标函数等值线 3、平移目标函数等值线求最优值
x2
可行域
(4,2) z=14
目标函数 等值线
x1
•有无穷多解
例2 max z =2x1+4x2 s.t. x1+2x2≤8 4x2 ≤ 12 3x1 ≤12 x1, x2 ≥0
X(0)=Σ α iX(i) α i0,Σ α i=1 记X(1),X(2), …,X(k)中满足max CX(i)的顶点为X(m)。于是，
k
k
CX (0) Ci X (i) Ci X (m) CX (m)
i 1
i 1
由假设CX(0)为最优解，所以CX(0)=CX(m)，即最优解可在顶点
充分性：已知可行解X的正分量所对应的系数列向量 线性独立，欲证X是线性规划的基本可行解。
若向量P1, P2,…, Pk线性独立,则必有k≤m；当k=m时， 它们恰构成一个基，从而X=（x1，x2,…,xk，0…0）为相 应的基可行解。K〈m时，则一定可以从其余的系数列向量 中取出m-k个与P1, P2,…, Pk构成最大的线性独立向量组， 其对应的解恰为X，所以根据定义它是基可行解。
§2 线性规划图解法
《管理运筹学》第三版习题答案(韩伯棠教授)
x2＋3x5＋2x6＋2x7＋x8＋x9＋x10 ≥ 350 x3＋x6＋2x8＋x9＋3x11＋x12＋x13 ≥ 420 x4＋x7＋x9＋2x10＋x12＋2x13＋3x14 ≥ 10 x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11，x12，x13，x14≥ 0 用 管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为： x1＝40，x2＝0，x3＝0，x4＝0，x5＝116.667，x6＝0，x7＝0，x8＝0， x9 ＝0，x10＝0，x11＝140，x12＝0，x13＝0，x14＝3.333 最优值为 300。
a、 在满足对职工需求的条件下，在 10 时安排 8 个临时工，12 时新安排 1 个临时工，13 时新安排 1 个临时工，15 时新安排 4 个临时工，17 时新 安排 6 个临时工可使临时工的总成本最小。
b、 这时付给临时工的工资总额为 80 元，一共需要安排 20 个临时工的班 次。
约束
松弛/剩余变量
f 不变 因为在 [0 ,500] 的范围内
g 所谓的上限和下限值指当约束条件的右边值在给定范围内变化时，约束条
件 1 的右边值在 [200,440] 变化，对偶价格仍为 50（同理解释其他约束条件）
h 100×50=5000 对偶价格不变 i能 j 不发生变化 允许增加的百分比与允许减少的百分比之和没有超出 100% k 发生变化 2、解：
1180
设按 14 种方案下料的原材料的根数分别为 x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9， x10， x11，x12，x13，x14，则可列出下面的数学模型： min f ＝ x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13+x14 s．t． 2x1＋x2＋x3＋x4 ≥ 80
a、 在满足对职工需求的条件下，在 10 时安排 8 个临时工，12 时新安排 1 个临时工，13 时新安排 1 个临时工，15 时新安排 4 个临时工，17 时新 安排 6 个临时工可使临时工的总成本最小。
b、 这时付给临时工的工资总额为 80 元，一共需要安排 20 个临时工的班 次。
约束
松弛/剩余变量
f 不变 因为在 [0 ,500] 的范围内
g 所谓的上限和下限值指当约束条件的右边值在给定范围内变化时，约束条
件 1 的右边值在 [200,440] 变化，对偶价格仍为 50（同理解释其他约束条件）
h 100×50=5000 对偶价格不变 i能 j 不发生变化 允许增加的百分比与允许减少的百分比之和没有超出 100% k 发生变化 2、解：
1180
设按 14 种方案下料的原材料的根数分别为 x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9， x10， x11，x12，x13，x14，则可列出下面的数学模型： min f ＝ x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13+x14 s．t． 2x1＋x2＋x3＋x4 ≥ 80
管理运筹学第二章线性规划的图解法
02
图解法的基本原理
图解法的概念
图解法是一种通过图形来直观展示线性规划问题解的方法。它通过在坐标系中绘 制可行域和目标函数，帮助我们理解问题的结构和最优解的位置。
图解法适用于线性规划问题中变量和约束条件较少的情况，能够直观地展示出最 优解的几何意义。
图解法的步骤
确定决策变量和目标函数
明确问题的决策变量和目标函数，以便在图 形中表示。
目标函数是要求最小化或最大化的函数，通常表示为 $f(x) = c_1x_1 + c_2x_2 + ldots + c_nx_n$。
04
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$或 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$。
LINDO是一款开源的线性规划求解器，用 户可以免费使用。
软件工具的使用方法
Excel
用户需要先在Excel中设置好线性规划模型，然后使 用“数据”菜单中的“规划求解”功能进行求解。
Gurobi/CPLEX/LINDO
这些软件通常需要用户先在软件界面中输入线性规划 模型，然后通过点击“求解”按钮进行求解。
实例三：分配问题
总结词
分配问题是指如何根据一定的分配原则 或目标，将有限的资源分配给不同的需 求方，以最大化整体效益。
VS
详细描述
分配问题在实际生活中广泛存在，如物资 分配、任务分配等。通过图解法，可以将 分配问题转化为线性规划模型，并利用图 形直观地展示最优解的资源分配方案。在 分配问题中，通常需要考虑不同需求方的 重要性和优先级，以及资源的有限性等因 素，以实现整体效益的最大化。
管理运筹学_第二章_线性规划的图解法
线性规划中超过约束最低限的部分，称为剩余量。 记s1,s2为剩余变量，s3为松弛变量，则s1=0, s2=125,
s3=0，加入松弛变量与剩余变量后例2的数学模型变为 标准型： 目标函数： min f =2x1+3x2+0s1+0s2+0s3 约束条件： x1+x2-s1=350， x1-s2=125, 2x1+x2+s3=600, x1, x2, s1,s2,s3≥0.
阴影部分的每 一点都是这个线 性规划的可行解， 而此公共部分是 可行解的集合， 称为可行域。
B
X2=250
100
100
300
x1
B点为最优解， X1+X2=300 坐标为（50, 250）， Z=0=50x1+100x2 此时Z=27500。 Z=10000=50x1+100x2 问题的解： 最优生产方案是生产I产品50单位，生产Ⅱ产品250单位，可得 最大利润27500元。
Z=10000=50x1+50x2
线段BC上的所有点都代表了最优解，对应的最优值相 同： 50x1+50x2=15000。
10
3. 无界解，即无最优解的情况。对下述线性规划问题：
目标函数：max z =x1+x2 约束条件：x1 - x2≤1 -3x1+2x2≤6 x1≥0, x2≥0．
x2 -3x1+2x2=6 3
其中ci为第i个决策变量xi在目标函数中的系数， aij为第i个约束条件中第j个决策变量xj的系数， bj(≥0)为第j个约束条件中的常数项。
16
灵敏度分析
灵敏度分析：求得最优解之后，研究线性规划的
运筹学第二章
例2.4：将以下线性规划问题转化为 标准形式
Max s.t. Z = 3 x1 - 5 x2 + 8 x3 2x1 + 2x2 - x3 = 15.7
4 x1
+ 3x3 = 8.9
x1 + x2 + x3 = 38 x2 , x3 ≥ 0
4.右端项有负值的问题：
在标准形式中，要求右端项 必须每一个分量非负。当某一个 右端项系数为负时，如 bi<0，则 把该等式约束两端同时乘以-1， 得到：
产品甲 设备A 3 产品乙 2 设备能力 （h） 65
设备B
设备C 利润（元/件）
2
0 1500
1
3 2500
40
75
问：如何安排生产计划，才能使制药厂利润最大？
解：设变量 xi为第i种（甲、乙）产品的生 产件数（i＝1，2）。根据前面分析，可 以建立如下的线性规划模型： Max
z = 1500 x1 + 2500 x2
MinZ=∑xi
i=1
X6 +
x1 x1 + x2 x2 + x3 x3 + x4 x4 + x5 x5 + x6
≥ 8 ≥ 12
≥ 10
≥ 8 ≥ 6 ≥ 4
二、线性规划模型的一般形式
目标函数 s.t.
产品对资源的 单位消耗量
利润系数
Max(Min)z=c1x1+c2x2+……+cnxn
a11x1+a12x2+……+a1nxn≥(=、≤)b1 a21x1+a22x2+……+a2nxn≥(=、≤)b2 …… am1x1+am2x2+……+amnxn≥(=、≤)bm
运筹学线性规划的图解法
O
C
2
4
6
x1
6
3、 画目标函数图
令目标函数值为零，可得到斜率，根据斜率做一过原点的直 线。（如果可行解域在第一象限，且目标函数等值线斜率为 负）若给出问题是求最大值，把目标函数等值线平行移动到 与可行解域最后相交的点，这点就是问题的最优解；若给出 问题是求最小值，把目标函数等值线平行移动到与可行解域 最先相交的点，这点即为问题的最优解。
对应的可行解域。 3、画目标函数图。 4、判断解的形式，得出结论。
4
1、建立数学模型
max F 6x1 4x2 s.t. 2x1 3x2 10 4x1 2x2 12 x1 , x2 0
5
2、绘制可行解域
x2
5 4x1 2x2 12
可行解域为 阴影部分
OABC
A 3
B
1
2x1 3x2 10
B
x1 4
A
x2 3
C
1
x1 2x2 8
O
2
D
6
x1
19
解、移动目标函数等值线
x2
5
B A
1
O
2
2x1 4x2 0
x1 4
C
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 3
x1 2x2 8
D
6
x1
20
解、目标函数等值线最终与可 行解域边线重合
x2
5
B A
1
O
2
2x1 4x2 0
x1 4
C
x2 3
x1 2x2 8
11
解、绘制可行解域
x2
x2≥0
A
可行解域为开放 区域x2ABCDx1
6
第二章 线性规划的图解法(简)
第二节 图解法
在线性规划中，对一个约束条件中没使用的资源或能力的大小称 之为松弛量。记为Si。
第二节 图解法
像这样把所有的约束条件都写成等式 ，称为线性规划模型的标准化，所得结果 称为线性规划的标准形式。
第二节 图解法
同样对于≥约束条件中，可以增加一些代表
最低限约束的超过量，称之为剩余变量，把≥约
第二章 线性规划的图解法
主要内容：
§1 问题的提出 （什么是线性规划） §2 图解法 §3 图解法的灵敏度分析
重点和难点
重点： （1）线性规划问题的主要概念 （2）线性规划问题的数学模型 （3）线性规划图解法的过程 （4）阴影价格的定义和灵敏度分析 难点： 灵敏度分析
第一节 问题的提出
约束条件对偶价格小于零时，约束条件
右边常数增加一个单位，就使得最优目
标函数值减少一个其对偶价格。
第三节 图解法的灵敏度分析
对目标函数值求最小值的情况下， 当对偶价格大于零时，约束条件右边常数增加 一个单位就使其最优目标函数值减少一个其对 偶价格； 当对偶价格等于零时，约束条件右边常数增加 一个单位，并不影响其最优目标函数值； 当对偶价格小于零时，约束条件右边常数增加 一个单位，就使得其最忧目标函数值增加一个 其对偶价格。
具有上述3个特征的问题为线性规划问题。
第一节 问题的提出
我们的仸务就是要选择一组或多组方案，使目
标函数值最大或最小。从选择方案的角度说，
这是规划问题。从使目标函数值最大或最小的
角度说，就是优化问题。
线性规划数学模型的一般表示方式
max(min) f ( x) c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 a12 x2 a1n xn a x a x a x 21 1 22 2 2n n s.t. a x a x a x m2 2 mn n m1 1 x1 , x2 , , xn n : 变量个数 ; m : 约束行数 ; n m : 线性规划问题的规模 c j : 价值系数 ; b j : 右端项; aij : 技术系数 (, )b1 (, )b2 (, )bm 0
北交大交通运输学院《管理运筹学》知识点总结与例题讲解第2章 线性规划
第二章线性规划教学目的：了解线性规划的基本概念，理解线性规划最优化原理、单纯形法原理，掌握单纯形法及其矩阵描述、人工变量法、，能够对简单的问题建模。
教学重点：线性规划的含义、性质；线性规划问题的求解方法——图解法、单纯形法。
线性规划模型的建立非标准型线性规划问题转化为标准线性规划问题；线性规划问题的图解法；解的存在情况判断；大M法；两阶段法；单纯形法的矩阵表示；教学难点：单纯形法的求解思想、矩阵表示、对偶理论、对偶单纯形法以及灵敏度分析。
学时： 8学时2.1 线性规划(Linear Programming,LP)问题及其数学模型（1学时）我们应用数学规划模型求解实际问题中，将实际问题抽象成数学模型，然后再对其求解。
2.1.1线性规划问题提出我们用一个简单例子来说明如何建立数学规划问题的数学模型。
例2.1 某家具厂生产桌子和椅子两种家具，有关资料见表2－1。
解：用数学语言来描述生产计划安排问题，这个过程称为建立其数学模型，简称建模。
设：①桌子、椅子生产的数量分别为x1，x2，称为决策变量。
因为产量一般是一个非负数，所以有x1，x2≥0，称非负约束。
②限制条件为木工和油漆工的加工时间约束了产品的生产量x1，x2。
约束如下：4x1＋3x2≤1202x1＋x2≤50③生产桌子、椅子x 1，x 2所得总收入为Z ，显然Z ＝50x 1＋30x 2。
我们希望总收入值能达到最大，这个关系用公式表达为max Z ＝50x 1＋30x 2 把上述所有数学公式归纳如下12121212max .0z 50x 30x 4x 3x 120s t 2x x 50x x =++≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，这就是一个最大化的线性规划模型。
例 2.2（运输工具的配载问题）有一辆运输卡车，载重2.5t ，容积183m ，用来装载如下的两种货物：箱装件125kg/个、0.43m /个；包装件20kg/个、1.53m /个。
问：如何装配，卡车所装物件个数最多？解 根据题意，设箱装件1x 个，包装件2x 个，那么需要满足条件：体积约束 120.4 1.518x x +≤重量约束 12125202500x x +≤非负约束12,0x x ≥目标要求 max z=12x x +我们对上面的式子稍作整理，便得到下面的形式：max z=12x x +1212120.4 1.518125202500,0x x x x x x +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩ 上述两例中所提出的问题，最终都归结为在变量满足线性约束条件的前提下，求使线性目标函数最大或最小的问题，这种问题称为线性规划问题。
管理运筹学 线性规划的图解法课件
线性规划的应用领域
生产计划
线性规划可以用于制定生产计划，优 化资源配置，提高生产效率。
物流优化
线性规划可以用于优化物流配送路线 、车辆调度等问题，降低运输成本。
金融投资
线性规划可以用于金融投资组合优化 ，实现风险和收益的平衡。
资源分配
线性规划可以用于资源分配问题，如 人员、资金、设备等资源的合理分配 ，提高资源利用效率。
束条件。
线性规划的目标是在满足一系列 限制条件下，使某一目标函数达
到最优值。
线性规划问题通常表示为求解一 组变量的最优值，使得这些变量 满足一系列线性等式或不等式约
束。
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型由决策变量、目标函数和约束条 件三部分组成。
输标02入题
决策变量是问题中需要求解的未知数，通常表示为 $x_1, x_2, ldots, x_n$。
01
03
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$或 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$。
04
目标函数是问题要优化的函数，通常表示为$f(x) = c_1x_1 + c_2x_2 + ldots + c_nx_n$。
03
绿色发展与线性规 划的结合
将可持续发展理念融入线性规划 ，实现资源节约、环境友好的发 展目标。
THANKS
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约束条件
生产计划问题通常受到资源限制、市场需求和生 产能力等约束条件的限制。
详细描述
生产计划问题通常涉及到如何分配有限的资源， 以最大化某种目标函数（如利润）。通过图解法 ，我们可以将约束条件和目标函数在二维平面上 表示出来，从而找到最优解。
[管理学]第2章 线性规划的图解法
![[管理学]第2章 线性规划的图解法](https://img.taocdn.com/s3/m/adb09ff987c24028915fc3fc.png)
2 x1 + x2 ≤ 400 （原料A数量约束） x2 ≤ 250 （原料B数量约束）
x1 , x2 ≥ 0
h
管理运筹学
3
§1 问题的提出
• 建模过程
1.理解要解决的问题，了解解题的目标和条件；
2.定义决策变量（ 案；
x1
，x2
，…
，xn
），每一组值表示一个方
3.用决策变量的线性函数形式写出目标函数，确定最大化或最 小化目标；
坐标系上作图表示线 性规划问题的有关概 念，并求解。
下面通过例1详细 讲解其方法：
s.t.
x1 + x2 ≤ 300 (A) 2 x1 + x2 ≤ 400 (B)
x2 ≤ 250 (C) x1 ≥ 0 (D) x2 ≥ 0 (E) 得到最优解：
x1 = 50， x2 = 250 最优目标值 z = 27500
4.用一组决策变量的等式或不等式表示解决问题过程中必须遵 循的约束条件
• 一般形式
目标函数： 约束条件：
Max （Min） z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn
s.t.
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn
说明：生产50单位Ⅰ产品和250单位Ⅱ产品将消耗完所有
可能的设备台时数及原料B，但原料A则还剩余50千克。
h
管理运筹学
10
§2 图 解 法
• 重要结论：
– 如果线性规划有唯一最优解，则一定有一个可 行域的顶点对应最优解；
– 无穷多个最优解。若将例1中的目标函数变为 max z=50x1+50x2，则线段BC上的所有点都代表 了最优解；
x1 , x2 ≥ 0
h
管理运筹学
3
§1 问题的提出
• 建模过程
1.理解要解决的问题，了解解题的目标和条件；
2.定义决策变量（ 案；
x1
，x2
，…
，xn
），每一组值表示一个方
3.用决策变量的线性函数形式写出目标函数，确定最大化或最 小化目标；
坐标系上作图表示线 性规划问题的有关概 念，并求解。
下面通过例1详细 讲解其方法：
s.t.
x1 + x2 ≤ 300 (A) 2 x1 + x2 ≤ 400 (B)
x2 ≤ 250 (C) x1 ≥ 0 (D) x2 ≥ 0 (E) 得到最优解：
x1 = 50， x2 = 250 最优目标值 z = 27500
4.用一组决策变量的等式或不等式表示解决问题过程中必须遵 循的约束条件
• 一般形式
目标函数： 约束条件：
Max （Min） z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn
s.t.
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn
说明：生产50单位Ⅰ产品和250单位Ⅱ产品将消耗完所有
可能的设备台时数及原料B，但原料A则还剩余50千克。
h
管理运筹学
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§2 图 解 法
• 重要结论：
– 如果线性规划有唯一最优解，则一定有一个可 行域的顶点对应最优解；
– 无穷多个最优解。若将例1中的目标函数变为 max z=50x1+50x2，则线段BC上的所有点都代表 了最优解；
《管理运筹学》第二版习题答案(韩伯棠教授)1
3第 2 章 线性规划的图解法1、解：x 26A B1O 01C6x 1a.可行域为 OABC 。
b.等值线为图中虚线所示。
12c.由图可知，最优解为 B 点，最优解： x 1 = 769 。
7 2、解：15 x 2 =7， 最优目标函数值：a x 210.60.1O0.1 0.6x 1有唯一解x 1 = 0.2函数值为 3.6x 2 = 0.6b 无可行解c 无界解d 无可行解e 无穷多解1 2 2 1 2f 有唯一解20 x 1 =3 8函数值为 92 33、解：a 标准形式：b 标准形式：c 标准形式：x 2 = 3max fmax f= 3x 1 + 2 x 2 + 0s 1 + 0s 2 + 0s 3 9 x 1 + 2x 2 + s 1 = 303x 1 + 2 x 2 + s 2 = 13 2 x 1 + 2x 2 + s 3 = 9 x 1 , x 2 , s 1 , s 2 , s 3 ≥= −4 x 1 − 6x 3 − 0s 1 − 0s 23x 1 − x 2 − s 1 =6x 1 + 2x 2 + s 2 = 10 7 x 1 − 6 x 2 = 4x 1 , x 2 , s 1 , s 2 ≥max f = −x ' + 2x ' − 2 x ''− 0s − 0s'''− 3x 1 + 5x 2 − 5x 2 + s 1 = 70 2 x ' − 5x ' + 5x '' = 50122' ' ''3x 1 + 2 x 2 − 2x 2 − s 2 = 30'' ''4 、解：x 1 , x 2, x 2, s 1 , s 2 ≥ 0标准形式： max z = 10 x 1 + 5x 2 + 0s 1 + 0s 23x 1 + 4 x 2 + s 1 = 9 5x 1 + 2 x 2 + s 2 = 8 x 1 , x 2 , s 1 , s 2 ≥ 0s 1 = 2, s 2 = 0标准形式： min f = 11x 1 + 8x 2 + 0s 1 + 0s 2 + 0s 310 x 1 + 2x 2 − s 1 = 203x 1 + 3x 2 − s 2 = 18 4 x 1 + 9x 2 − s 3 = 36 x 1 , x 2 , s 1 , s 2 , s 3 ≥ 0s 1 = 0, s 2 = 0, s 3 = 136 、解：b 1 ≤c 1 ≤ 3c 2 ≤ c 2 ≤ 6d x 1 = 6 x 2 = 4e x 1 ∈ [4,8]x 2 = 16 − 2x 1f 变化。
第二章 线性规划的图解法
例2.某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产 品的生产，已知生产单位产品所需的设备台 时及A、B两种原材料的消耗、资源的限制， 如下表：
设备 原料 A 原料 B 单位产品获利 Ⅰ 1 2 0 50 元 Ⅱ 1 1 1 100 元 资源限制 300 台时 400 千克 250 千克
问题：工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ 产品才能使工厂获利最多？
第二章 线性规划的图解法
问题1具体数据如表所示：
资源 单耗 资源 煤(t) 电(kw.h) 油(t) 单位产品价格 9 4 3 7 4 5 10 12 360 200 300 产品 甲 乙 资源限量
提出和形成问题
建立模型
求解
结果的分析和应用
第二章 线性规划的图解法
在本例中
决策变量： 甲、乙产品的计划产量，记为x1 ，x2； 目标函数： 总收入记为f,则 f=7x1 +12x2 ，为体现对其求极大化， 在f 的前面冠以极大号Max，
第二章 线性规划的图解法 例2：.某公司由于生产需要，共需要A，B两种原料至 少350吨（A，B两种材料有一定替代性），其中A原 料至少购进125吨。但由于A，B两种原料的规格不同， 各自所需的加工时间也是不同的，加工每吨A原料需 要2个小时，加工每吨B原料需要1小时，而公司总共 有600个加工小时。又知道每吨A原料的价格为2万元， 每吨B原料的价格为3万元，试问在满足生产需要的 前提下，在公司加工能力的范围内，如何购买A，B 两种原料，使得购进成本最低？
第二章 线性规划的图解法
★线性规划模型的三个基本要素：
（也是所有规划问题的三个基本要素）：
（1）决策变量：甲、乙产品的产量x1 ，x2 决策变量：需要决策的量，即等待求解的未知数。 （2）目标函数：总收入最大，Max f = 7 x 1 +12 x 2 目标函数：想要达到的目标，用决策 变量的表达式表示。 （3）约束条件： 约束条件：由于资源有限，为了实现 目标有哪些资源限制，用决策变量的 等式或不等式表示。
1.2 线性规划的图解法
4x1 16 (0, 4) 4 x2 12 x1 + 2 x 2 8 (8, 0)
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
x1
图解法例2
9— 8— 7— 6— 5— 4— 3— 2— 1— 0
8
MaxZ
2 x1 3 x 2
x2
16 4 x1 4 x 2 12 s .t . x1 2 x 2 8 x1 , x 2 0
A）可行解区无界时一定没有最优解 B）可行解区有界时不一定有最优解 C）如果在两个点上达到最优解，则一定有无穷多个最优 解 D）最优解只能在可行解区的顶点上达到
C
31
一、选择题（续）
9、关于线性规划模型的可行解区，下面（ 述正确。
）的叙
A）可行解区内必有无穷多个点 B）可行解区必有界 C）可行解区必须包括原点 D）可行解区必是凸的
管理运筹学--管理科学方法
李军
桂林电子科技大学商学院
第二节 线性规划的图解法
图解法
学习要点
1
2
3
4
5
6
图解法 定义
2
图解步 骤
解的有 关概念
解的可 能结果
图解几 何意义
解与可 行域
一、图解法的定义
图解法
就是用几何作图求LP的最优解的方法。
前提条件
变量个数不能超过两个。
图解法的 目的
①利用它来说明LP问题求解的可能结局。 ② 在LP问题最优解存在时，求出最优解。 ③为寻求LP问题的一般算法提供依据。
4x1 16 4 x2 16 x1 + 2x2 8 1、可行域：满 足所有约束条件的 解的集合，即所有 约束条件共同围城 的区域 （或称可行 解集）,记做R 。
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
x1
图解法例2
9— 8— 7— 6— 5— 4— 3— 2— 1— 0
8
MaxZ
2 x1 3 x 2
x2
16 4 x1 4 x 2 12 s .t . x1 2 x 2 8 x1 , x 2 0
A）可行解区无界时一定没有最优解 B）可行解区有界时不一定有最优解 C）如果在两个点上达到最优解，则一定有无穷多个最优 解 D）最优解只能在可行解区的顶点上达到
C
31
一、选择题（续）
9、关于线性规划模型的可行解区，下面（ 述正确。
）的叙
A）可行解区内必有无穷多个点 B）可行解区必有界 C）可行解区必须包括原点 D）可行解区必是凸的
管理运筹学--管理科学方法
李军
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第二节 线性规划的图解法
图解法
学习要点
1
2
3
4
5
6
图解法 定义
2
图解步 骤
解的有 关概念
解的可 能结果
图解几 何意义
解与可 行域
一、图解法的定义
图解法
就是用几何作图求LP的最优解的方法。
前提条件
变量个数不能超过两个。
图解法的 目的
①利用它来说明LP问题求解的可能结局。 ② 在LP问题最优解存在时，求出最优解。 ③为寻求LP问题的一般算法提供依据。
4x1 16 4 x2 16 x1 + 2x2 8 1、可行域：满 足所有约束条件的 解的集合，即所有 约束条件共同围城 的区域 （或称可行 解集）,记做R 。
第2章 线性规划的图解法
在标准形式中，要求右端项必须每一个分量非 对各个约束引进不同的松弛变量。 负。当某一个右端项系数为负时，如 bi<0，则把该 等式约束两端同时乘以-1，得到：-ai1 x1-ai2 x2… -ain xn = -bi。
管 理 运 筹 学
7
§2 图 解 法
对于只有两个决 策变量的线性规划问 题，可以在平面直角 坐标系上作图表示线 性规划问题的有关概 念，并求解。 下面通过例1详细 讲解其方法：
例1.目标函数： Max z = 50 x1 + 100 x2 约束条件： s.t. x1 + 2 x1 + x2 ≤ x2 ≤ x2 ≤ x1 ≥ x2 ≥ 300 (A) 400 (B) 250 (C) 0 (D) 0 (E)
X2=0
x1
管 理 运 筹 学
x1
9
§2 图 解 法
（2）对每个不等式(约束条件)，先取其等式在坐标系中作直 线，然后确定不等式所决定的半平面。
400 300 200 100 100 200 300 300
x1+x2=300
200 100
2x1+x2=400
2x1+x2≤400
100
200
300
x1+x2≤300
x2 B C z=27500=50x1+100x2 z=20000=50x1+100x2 D z=0=50x1+100x2 E x1
A z=10000=50x1+100x2
图2-2
管 理 运 筹 学
12
§2 图 解 法
• 线性规划的标准化内容之一：——引入松驰变量（含义是 线性规划的标准化内容之一： 资源的剩余量） 例1 中引入 s1， s2， s3 模型化为 目标函数：Max z = 50 x1 + 100 x2 + 0 s1 + 0 s2 + 0 s3 约束条件：s.t. x1 + x2 + s1 = 300 2 x1 + x2 + s2 = 400 x2 + s3 = 250 x1 , x2 , s1 , s2 , s3 ≥ 0 对于最优解 x1 =50 x2 = 250 ， s1 = 0 s2 =50 s3 = 0 说明：生产50单位Ⅰ产品和250单位Ⅱ产品将消耗完所有 可能的设备台时数及原料B，但对原料A则还剩余50千克。
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A
1×250=250千克．
原料B 0 1 250千克
约束条件中没使用的资源或能力称之为松弛量。
用Si表示松弛量，对最优解 x1=50,x2=250来说：
约束条件
松弛变量的值
设备台时数
s1=0
原料A
s2=50
原料B
s3=0
8
线性规划标准型
加了松弛变量后例1的数学模型可写成：
目标函数：max z=50x1+100x2+0s1+0s2+0s3，
约束条件： x1+x2+s1=300,
2x1+x2+s2=400,
x2+s3=250, x1,x2,s1,s2,s3≥0
如何把模型化为 标准型？
三个特征：
一、约束条件为等式；
二、约束条件右端常数项非负；
三、所有变量非负。
称为线性规划的标准形式。
9
线性规划问题解的情况：
1．若有最优解，一定能在可行域的顶点取得。
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2, ………………………… am1x1+am2x2+…+am nxn=bm. x1, x2,…,xn≥0.
其中ci为第i个决策变量xi在目标函数中的系数， aij为第i个约束条件中第j个决策变量xj的系数， bj(≥0)为第j个约束条件中的常数项。
16
灵敏度分析
C 100
1设备台时获利500/10=50
元。 x1
O 100 D300 X1+X2=300
X1+X2=310
你知道对偶价格吗？
21
对偶价格的概念
约束条件右边常数项增加一单位而使最优目标函数值 得到改进的数量称为这个约束条件的对偶价格。
例1中台时约束条件的对偶价格为50元。
若例1中原料A增加了10千克，则原料A的约束变为
原因：模型忽略了必要
Z=0=X1+X2
的约束条件。
X1-X2=1 1 2 3 x1
Z=1=X1+X2
11
4．无可行解的情况。
比如例1中增加一个约束条件4x1+3x2≥1200：
400
x2
X2=250
100 100
X1+X2=300
300
x1
4x1+3x2=1200
可行域为空域。
原因：约束条件自相矛盾。
问题的解：
Z=10000=50x1+100x2
最优生产方案是生产I产品50单位，生产Ⅱ产品250单位，可得
最大利润27500元。
7
松弛变量
最佳决策为x1=50, x2=250，此时z=27500。
Ⅰ Ⅱ 资源限制 设备 1 1 300台时
资源消耗
50+250=300台时
原料 2 1 400千克 2×50+250=350千克
一般地，当某一产品的单位利润增加或减少时，为获取最 大利润就应该增加或减少这一产品的产量，也就是改变最优解。
如何确定使其最优解不变的利润(c1, c2)变化范围？
18
x2
直线F(X2=250，斜率0)
300 A
B
C
Z=c1x1+c2x2
=50x1+100x2=27500
100
100
300
D
斜率为-C1/C2 x1
灵敏度分析：求得最优解之后，研究线性规划的一 些系数ci, aij, bj发生变化时，对最优解产生的影响。
灵敏度分析的重要性：
1、ci, aij, bj这些系数可能是估计值，不一定精确； 2、这些系数会随市场条件的变化而变化。例如原 材料价格、劳动力价格的变化都会影响这些系数；
有了灵敏度分析就不必为应付这些变化而不停求 其新的最优解，也不必因系数估计的精确性而对求 得的最优解存有怀疑。
线性规划的数学模型一般形式为:
目标函数： max (min) Z=c1x1+c2x2+…+cnxn 约束条件： a11x1+a12x2+…+a1nxn≤( =, ≥) b1,
a21x1+a22x2+…+a2nxn≤( =, ≥) b2, ………………………… am1x1+am2x2+…+amnxn≤( =, ≥) bm,
解：设x1为购进原料A的吨数，x2为购进原料B的吨
数。则此线性规划的数学模型如下：
目标函数： min f=2x1+3x2， 约束条件： x1+x2≥350， x1≥125， 2x1+x2≤600, x1,x2≥0.
13
x2
图解法：
500
300 X1+X2=350 100
2X1+X2=600 f=2x1+3x2=1200
3
设工厂生产x1个Ⅰ产品和x2个Ⅱ产品,相应的利润
z=50 x1+100x2 。问题的数学模型如决下策：变量
目标函数： 约束条件：
max z=50x1+100x2， x1+x2≤300， 2 x1+x2≤400，
台时数 原材料A
x2≤250,
原材料B
x1≥0, x2≥0.
目标函数为线性函数，约束条件也为线性的，这样的
物力、财力，作出最优的产品生产计划，使得工厂获 利最大。
3．运输问题。一个公司有若干个生产单位与销售单
位，根据各生产单位的产量及销售单位的销量，如何 制定调运方案，将产品运到各销售单位而总的运费最 小。
1
4．投资问题。从许多不同的投资项目中选出一个 投资方案，使得投资的回报为最大。
共同特点： 首先，要求达到某些数量上的最大化或最小化。
2x1+x2≤410，
可行域扩 大了，但并没 影响最优解和最优值，最
x2 300 B
A
Z=50x1+100x2
优解仍 是B点，最优值仍是 27500，没有任何改进. 故 100 C 原料A的对偶价格为零。
同： 50x1+50x2=15000。
10
3. 无界解，即无最优解的情况。对下述线性规划问题：
目标函数：max z =x1+x2 约束条件：x1 - x2≤1
x2 -3x1+2x2=6
-3x1+2x2≤6 x1≥0, x2≥0．
3
Z=3=X1+X2
注意啊
1
可行域无界，目标函数值可
-1
以增大到无穷大，无最优解。
等号成立时， 有无穷多解
19
- 1≤ -C1/C2≤0时 B点仍为最优解
x2
直线F(X2=250，斜率0)
300 A
B
C
Z=27500=50x1+100x2
100
100
300
D
斜率为-C1/C2 x1
直线G (2X1+X2=400,斜率-2) 直线E(X1+X2=300,斜率-1)
问题1：固定C2=100，则C1在什么范围内变动时，B仍为最优解? 固定C2=100，则 0≤C1≤100时B仍为最优解。
问题2：固定C1=50，则C2在什么范围内变动时，B仍为最优解? 固定C1=50，则50≤C2<+∞时B仍为最优解。
问题3：C1和C2都变化时，例如C1=60,C2=50，B是否仍为最优解?
-2(直线G的斜率)≤－C1/C2=－1.2 ≤-1(直线E的斜率)，此时
其最优解在C点(x1=100, x2=200) .
2x1+x2+s3=600, x1, x2, s1,s2,s3≥0.
（注意松弛变量符号为正，而剩余变量符号为负）
15
§2.3图解法的灵敏度分析
松弛变量和剩余变量看成决策变量，用Xi来表示，得到
线性规划的标准形式:
目标函数：max(或min) Z=c1x1+c2x2+…+cnxn 约束条件： a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1
2．无穷多个最优解的情况。
比如例1中的目标函数变为max Z =50x1+50x2，则
400 x2
Z=15000=50x1+50x2
Z=0=50x1+50x2 100
B
X2=250
C
2x1+x2=400
100
300
x1
Z=10000=50x1+50x2
X1+X2=300
线段BC上的所有点都代表了最优解，对应的最优值相
20
二、约束条件中常数项bj的灵敏度分析
当约束条件的常数项bj变化时，其线性规划的可行
域也将变化，这样就可能引起最优解的变化。
假设例1中增加了10个设备台时，这样设备台时的
约束就变为：x1+x2≤310.
400 x2 A B B′
Z=50x1+100x2
扩大了可行域，新的最优 解：B′点(x1=60, x2=250)， 此时Z=28000，比原来增 加了500元，相当于每增加
6
2x1+x2=400
400 阴影部分的每
一点都是这个线
性规划的可行解，
而此公共部分是
可行解的集合，
100
称为可行域。
x2
Z=27500=50x1+100x2
B
X2=250
100
300
x1
B点为最优解， 坐标为（50, 250）， Z=0=50x1+100x2 此时Z=27500。