数学建模线性规划问题超全

C—价值向量 b—资源向量 X—决策变量向量
资.aa源 .1m.1.1.向 ...A......=..量 ....a..a.1..aan.m.1m.1.n1C..........-..=....a.价 .a.1.(nm.nP值 1,=P向 (2P1,,量 .P.2.X,,.P..3-,P)决 n ) 策00=变 = 量 .000.000....向量
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一般线性规划问题的标准化
min Z=CX 等价于 max Z’ = -CX
“” 约束：加入非负松驰变量
例：
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1
16
4x2wenku.baidu.com 12
x1、 x2 0
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一般线性规划问题的标准形化
min Z=CX 等价于 max Z’ = -CX
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第3步 --表示约束条件
x1 + 2 x2 8
4 x1
16
4 x2 12
x1、 x2 0
I
设备 1 原材料 A 4 原材料 B 0
利润 2
II 资源限量 2 8 台时 0 16kg 4 12kg
3
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该计划的数学模型
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
第一节 线性规划问题 及其数学模型
线性规划问题的提出 线性规划的基本概念 线性规划的数学模型 线性规划问题的标准形式
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•问题的提出
例: 生产计划问题
I
设备
1
原材料 A 4 原材料 B 0
利润
2
II 资源限量
2 8 台时
0
16kg
4
12kg
3
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如何安排生产 使利润最大
.a.2.1..x.1.
+ a22 x2 ...........
+ ...+ a2n xn = b2 ........................
am1x1 + am2 x2 + ...+ amn xn = bm
x1, x2 ,...,xn 0 b1, b2 ,...bm 0
x2 ——II的产量
z ——利润
是问题中要确定的未知量， 表明规划中的用数量表示的 方案、措施，可由决策者决 定和控制。
x1
x2
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第2步 --定义目标函数
Max Z = x1 + x2
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第2步 --定义目标函数
Max Z = 2 x1 + 3 x2
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对我们有 何限制?
？
产品 I
产品 2
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问题中要确定的未知量，表
•基本概念
明规划中的用数量表示的方 案、措施，可由决策者决定
和控制。
决策变量（Decision variables）
目标函数（Objective functi它on是）决策变量的函数 约束条件（Constraint conditions）
• xk可正可负（即无约束）；
Max
+ x6
例 ： min z = x1 + 2x2 3x3
x1
+ x2 + x3 7 x7
x1
x2 + x3 2
3x1 + x2 + 2 x3 = 7
x1, x2 0, x3无约x束 3 = x4 x5
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解 ：标准形为
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1
16
4x2 12
x1、 x2 0
x1 x2
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线性规划问题的共同特征
一组决策变量X表示一个方案,一般X大 于等于零。 约束条件是线性等式或不等式。 目标函数是线性的。 求目标函数最大 化或最小化
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线性规划模型的一般形式
Max(min)z = c1x1 + c2 x2 + ... + cn xn
a11 x1 a21 x1
+ +
a12 x2 a22 x2
+ ... + + ... +
a1n xn a2n xn
(=, )b1 (=, )b2
...................................................
“” 约束：加入非负松驰变量
例： max z = 2x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5
x1 + 2x2 + x3
=8
4
x1

4 x2
+ x4 = 16 + x5 = 12
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
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“” 约束： 减去非负剩余变量；
am1x1 + am2 x2 + ... + amn xn (=, )bm
x1, x2 ,..., xn 0
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线性规划问题的标准形式目标函数最大
标准形式为:
约束条件等式 决策变量非负
Max Z = c1x1 + c2 x2 + ...+ cn xn
a11x1 + a12 x2 + ...+ a1n xn = b1
可行域（Feasible regio指n决) 策变量取值时受到
最优解（Optimal
的各种资源条件的限制
soluti，o通n)常表达为含决策变
量的等式或不等式。
可行域中使目标 函数达到最优的 决策变量的值
满足约束条件的决 策变量的取值范围
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• 第1步 -确定决策变量
•设 x1 ——I的产量
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– 简写为
n
max Z = c j x j i =1
n

aij x j = bi
j=1

x
j

0
i = 1,2,...m j = 1,2,...,n
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– 用矩阵表示
max Z = CX
max Z = CX
AX =AbX = b
X 0X 0
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线性规划模型举例
(一) 运输问题 (二) 布局问题 (三) 分派问题 (四) 生产计划问题 (五) 合理下料问题
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max z = x1 2x2 + 3(x4 x5 ) + 0x6 + 0x7
x1 + x2 + (x4 x5 ) + x6 = 7
x1 x2 + (x4 x5 ) x7 = 2
3x1 + x2 + 2(x4 x5 )
=7
x1, x2, x4, x5, x6 , x7 0