数学建模线性规划以及预测求解
数学建模线性规划的求解
结果：
Ｇlobａl oｐtimal solutｉoｎ found. Oｂjeｃｔive valｕe： Infeasibilities：
Totａｌ ｓolｖer itｅrａｔｉons:
34６0。8０0 0。0０00０0
2
Ｍodel Ｔｉｔle： 奶制品的生产销售计划
Cost １.6８0０00 ０0０
0．０00００0 ０００00０ ００0０
ﻩ结果:
Ｇlobal ｏptimal soｌutiｏｎ found． Ｏbjective valuｅ： Infeasibilitｉes： Totaｌ solｖｅr iterａtions：
Ｍodel Tiｔｌe： 储蓄所招聘计划
4 / 17
770。０000 0.０00０0０
５
Cosｔ ０00 ０．０000０0 ０000 ０00000 0.0000０0 00０ 000０
Ｖariａｂle duｃeｄ Cost
X1 0．00０0０0
Ｘ2 ０.0０00０0
336０。000
０．0000０0
2
Ｖaｌuｅ
Rｅ
2０。０00０0
30.00０00
ｉｃe 1．00000０
000０00 ０000
Ｒｏｗ Ｓlack or Surplus
1
3360.00０
ﻩ结果: ﻩx＝
9．00０0 0.0０００ fval = ３6０
例３: ﻩ代码：
maｘ＝72*x1＋64＊ｘ2； x1+ｘ2＜＝５０; 1２＊x1+8＊ｘ2〈=48０; 3*ｘ１<＝100；
ﻩ结果： ﻩ ﻩGlobａl oｐtimal solutｉｏn founｄ.
线性规划问题的建模与求解思路
线性规划问题的建模与求解思路线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在工程、经济、运筹学等领域具有广泛的应用。
本文将探讨线性规划问题的建模与求解思路，介绍一些常用的方法和技巧。
一、问题建模在进行线性规划问题的建模时，首先需要明确问题的目标和约束条件。
目标通常是最大化或最小化一个线性函数，而约束条件则是一系列线性等式或不等式。
以生产计划为例，假设某公司有两种产品A和B，每单位产品A的利润为10万元，每单位产品B的利润为8万元。
公司希望最大化总利润，同时满足以下约束条件：1. 产品A和B的生产总量不超过1000单位；2. 产品A的生产量不低于200单位；3. 产品B的生产量不低于300单位。
根据以上信息，我们可以进行如下的建模：设产品A的生产量为x，产品B的生产量为y，则目标函数为最大化利润：Maximize Z = 10x + 8y同时，需要满足以下约束条件：x + y ≤ 1000x ≥ 200y ≥ 300二、求解思路一般来说，线性规划问题的求解可以采用图形法、单纯形法、内点法等不同的方法。
下面将介绍其中两种常用的方法：图形法和单纯形法。
1. 图形法图形法适用于二维线性规划问题，通过绘制目标函数和约束条件的图形来求解最优解。
在上述例子中，我们可以将目标函数和约束条件绘制在坐标系中，找到目标函数与约束条件的交点，进而确定最优解。
2. 单纯形法单纯形法适用于高维线性规划问题，通过迭代计算来逐步接近最优解。
该方法的核心思想是从一个可行解开始，通过不断调整变量的取值来提高目标函数的值，直到找到最优解。
单纯形法的具体步骤如下：（1）将线性规划问题转化为标准形式，即将不等式约束转化为等式约束；（2）构建初始单纯形表，并选择一个初始基本可行解；（3）计算单位利润向量，并判断是否达到最优解；（4）选择一个入基变量和出基变量，并进行迭代计算，直到找到最优解。
三、技巧和注意事项在解决线性规划问题时，有一些常用的技巧和注意事项可以帮助我们更高效地求解问题。
数学建模之线性规划
第一章 线性规划§1 线性规划在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。
此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。
自从1947年G. B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。
特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。
1.1 线性规划的实例与定义例1某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。
生产甲机床需用B A 、机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用C B A 、、三种机器加工，加工时间为每台各一小时。
若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？上述问题的数学模型：设该厂生产1x 台甲机床和2x 乙机床时总利润最大，则21,x x 应满足（目标函数）2134m ax x x z += (1)s.t.（约束条件）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≤+0,781022122121x x x x x x x （2）这里变量21,x x 称之为决策变量，（1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。
由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数，故被称为线性规划问题。
总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。
在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。
而选适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。
1.2 线性规划的Matlab 标准形式线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。
线性规划的定义及解题方法
线性规划的定义及解题方法线性规划是一种数学建模技术，旨在解决在约束条件下，寻求最优解的问题。
它的实际应用十分广泛，例如管理学、经济学、物流学等领域。
线性规划可以分为单目标和多目标两种，但其中比较常见的是单目标线性规划。
本文将从线性规划的定义、模型建立、求解方法等方面阐述其原理与应用。
一、线性规划的定义线性规划的定义是：在有限约束条件下，目标函数为线性的最优化问题。
它通过数学模型的建立，将涉及到的变量、约束条件与目标函数转化为线性等式或不等式的形式，从而寻找最优解。
通常，线性规划的目标是最大化或最小化某个变量，可以用以下的形式去表示：$$Z=C_1X_1+C_2X_2+……+C_nX_n $$其中，$Z$为目标函数值，$X_1, X_2,……,X_n$为待求变量，$C_1, C_2,……,C_n$为相应的系数。
在线性规划中，会涉及到许多变量，这些变量需要受到一些限制。
这些限制可以用不等式或等式来表示，这些方程式被称为约束条件。
例如：$$A_1X_1+A_2X_2+……+A_nX_n≤B$$$$X_i≥0, i=1,2,……, n $$这两个方程就代表了一些约束条件，例如目标函数系数的和不能超过某个值，若$X_i$为生产的产品数量，则需保证产量不能小于零等。
这些约束条件用于限制变量的取值范围，而目标函数则用于求解最优解。
二、线性规划的模型建立在建立线性规划模型时，需要考虑几个要素：1. 决策变量：它是模型求解的关键。
决策变量是指在模型中未知的数量，也就是需要我们寻找最优解的那些变量。
2. 目标函数：确定目标函数，既要知道最大化还是最小化，还要知道哪些变量是影响目标函数的。
3. 约束条件：约束条件通常是一组等式或不等式，代表问题的限制。
例如在一个工厂中最大的生产量、原材料的数量限制、人工的数量等等，这些都是约束条件。
4. 模型的参数：模型参数是指约束条件的系数和模型中的常数。
它们是从现实问题中提取出来的，由于模型的解法通常是数学的，因此需要具体的数值。
线性规划的建模技巧和求解
线性规划的建模技巧和求解线性规划是一种数学优化方法，用于确定一个或多个线性方程的最佳解。
它在许多领域有广泛应用，如生产、物流、金融等。
下面将介绍线性规划的建模技巧和求解方法。
一、线性规划的建模技巧：1. 确定决策变量：首先要确定需要决策的变量，这些变量决定了模型的目标函数和约束条件。
变量可以表示限制条件或可供选择的决策。
2. 确定目标函数：目标函数是需要优化的目标，可以是最大化或最小化。
一般情况下，目标函数是由决策变量的线性组合构成的。
3. 确定约束条件：约束条件是限制决策变量的条件，包括等式约束和不等式约束。
约束条件可以是资源的限制、技术要求等。
4. 确定约束集：约束集是所有约束条件的集合，它定义了可行解的范围。
在确定约束集时，需要将每个约束条件转化为决策变量的线性等式或不等式。
5. 确定可行域：可行域是约束集在决策变量空间中的几何图形。
可行域是一个多面体或多面体的集合，其中每个面都由一个或多个约束条件定义。
6. 确定边界条件：边界条件是可行域的边界，在边界上的解是目标函数的极值点。
通过分析边界条件，可以确定是否存在最优解以及在哪个边界上可以找到最优解。
二、线性规划的求解方法：1. 图形法：图形法适用于二维情况，可以将可行域和目标函数的等值线绘制在一个坐标系中，通过观察交点找到最优解。
但是，图形法只适用于简单的问题，对于复杂问题无法使用。
2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的线性规划求解方法。
它通过迭代的方式从可行域的某个顶点开始，逐步向更优解迭代，直到找到最优解。
单纯形法的思想是寻找一个可以改进目标函数值的方向，并且每次改进保证不会违反约束条件。
3. 对偶理论：线性规划问题的对偶问题可以通过原问题的约束条件和目标函数得到。
通过对偶问题的求解，可以得到原问题的最优解、最优解的相应目标值以及松弛变量的价值。
4. 整数规划：如果决策变量是整数变量，那么线性规划问题称为整数规划问题。
整数规划问题的求解通常比线性规划问题要困难得多，因为整数变量会引入离散性。
数学建模线性规划
线性规划1.简介：线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源.线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好.规划问题。
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。
在优化模型中，如果目标函数f(x)和约束条件中的gi(x)都是线性函数，则该模型称为线性规划。
2.线性规划的3个基本要素（1）决策变量（2）目标函数f(x)（3）约束条件（gi(x)≤0称为约束条件）3.建立线性规划的模型（1）找出待定的未知变量（决策变量），并用袋鼠符号表示他们。
（2）找出问题中所有的限制或者约束，写出未知变量的线性方程或线性不等式。
（3）找到模型的目标或判据，写成决策变量的线性函数，以便求出其最大值或最小值。
以下题为例，来了解一下如何将线性规划用与实际的解题与生活中。
生产计划问题某工厂生产甲乙两种产品，每单位产品消耗和获得的利润如表试拟订生产计划，使该厂获得利润最大解答：根据解题的三个基本步骤（1）找出未知变量，用符号表示：设甲乙两种产品的生产量分别为x1与x2吨，利润为z万元。
（2）确定约束条件：在这道题目当中约束条件都分别为：钢材，电力，工作日以及生产量不能为负的限制钢材：9x 1+5 x 2≤360，电力：4x 1+5 x 2≤200，工作日：3x 1+10 x 2≤300，x 1 ≥0 ，x 2 ≥0，（3）确定目标函数：Z=7x 1+12 x 2所以综合上面这三步可知，这个生产组合问题的线性规划的数学模型为：max Z=7x 1+12 x 2s.t.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+00300103200543605921212121x x x x x x x x4.使用MATLAB 解决线性规划问题依旧是以上题为例，将其用MATLAB 来表示出来1.将目标函数用矩阵的乘法来表示max Z=(7 12)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21x x 2.将约束条件也用矩阵的乘法表示s.t.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2121003002003601035459x x x x 编写MATLAB 的程序如下：c=[-7 -12]; (由于是max 函数，因此将目标函数的系数全部变为负数)A=[9,5;4,5;3,10];b=[360;200;300];Aeq=[];beq=[];vlb=[0;0];vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)其运行结果显示如下：x =20.000024.0000fval =-428.00005.MATLAB 求解线性规划的语句(1)c=[ ] 表示目标函数的各个决策变量的系数(2)A=[ ] 表示约束条件中≥或≤的式子中的各个决策变量的系数。
线性规划问题建模和求解
线性规划问题建模和求解例 雅致家具厂生产计划优化问题雅致家具厂生产4种小型家具，由于该四种家具具有不同的大小、形状、重量和风格，所以它们所需要的主要原料（木材和玻璃）、制作时间、最大销售量与利润均不相同。
该厂每天可提供的木材、玻璃和工人劳动时间分别为600单位、1000单位与400小时，详细的数据资料见下表。
问：（1）应如何安排这四种家具的日产量，使得该厂的日利润最大？ （2）家具厂是否愿意出10元的加班费，让某工人加班1小时？（3）如果可提供的工人劳动时间变为398小时，该厂的日利润有何变化？ （4）该厂应优先考虑购买何种资源？（5）若因市场变化，第一种家具的单位利润从60元下降到55元，问该厂的生产计划及日利润将如何变化？解：依题意，设置四种家具的日产量分别为决策变量x 1,x 2,x 3,x 4,目标要求是日利润最大化，约束条件为三种资源的供应量限制和产品销售量限制。
据此，列出下面的线性规划模型：其中X1,X2,X3,X4分别为四种家具的日产量。
①②③④⑤⑥⑦⑧ ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤≤≤+++≤+++≤++++++=（非负约束）需求量约束）（家具需求量约束）（家具需求量约束）（家具需求量约束）（家具（劳动时间约束）（玻璃约束）（木材约束）0,,,41003502200110040023121000226600224..30402060432143214321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x MaxZ下面介绍用Excel中的“规划求解”功能求此题。
第一步在Excel中描述问题、建立模型，如下图所示。
第二步在“工具”菜单中选择“规划求解”。
第三步在“规划求解参数”对话框进行选择如下图。
第四步点击“选项”按钮，弹出“规划求解选项”对话框。
第五步选择“采用线性模型”和“假定非负”，单击“确定”，返回下图。
《建模方法教学资料》线性规划问题求解
06 线性规划问题求解的注意 事项与建议
初始解的选择
1
初始解的选择对线性规划问题的求解过程和结果 有很大影响。
2
初始解应尽量接近最优解，以减少迭代次数和避 免陷入局部最优解。
3
可以采用随机初始解、历史数据或启发式方法来 选择初始解。
迭代过程中的收敛性判断
在迭代过程中，需要不断判断算法是否收敛。
05 线性规划问题的实际案例 分析
生产计划问题
总结词
生产计划问题是一个常见的线性规划问 题，主要涉及如何根据市场需求和资源 限制来优化生产过程，以最小化成本或 最大化利润。
VS
详细描述
生产计划问题通常需要考虑多种产品、多 个生产阶段和资源限制。目标函数可以是 成本最小化或利润最大化，约束条件包括 资源限制、产品需求和生产能力等。求解 方法包括线性规划、整数规划和动态规划 等。
线性规划问题通常表示为求解形如 mincTxmin_{x} c^T xminxcT 或 maxcTxmax_{x} c^T xmaxxcT 的最优化问题，其 中 c∈Rn,x∈Rnc in mathbb{R}^n, x in mathbb{R}^nc∈Rn,x∈Rn,c∈Rn,x∈Rn，并且约束条件可以 表示为 Ax≤bA^T x = bAATx≤b 或 Ax=bA^T x = bAATx=b。
目标函数
目标函数是线性规划问题的核心，它表示要优化的目标或要达到的目标状态。目标函数通常是一个关 于决策变量的函数，表示决策变量的取值与目标之间的关系。
目标函数可以是最大化或最小化一个或多个决策变量，以实现最优化的目标。在解决线性规划问题时 ，需要找到使目标函数取得最大或最小值的解。
03 线性规划问题的求解方法
数学建模竞赛中的数学模型求解方法
数学建模竞赛中的数学模型求解方法数学建模竞赛是一项旨在培养学生数学建模能力的竞赛活动。
在竞赛中，参赛者需要利用数学知识和技巧，解决实际问题，并提出相应的数学模型。
然而，数学模型的求解方法却是一个非常关键的环节。
本文将介绍一些常见的数学模型求解方法，帮助参赛者在竞赛中取得好成绩。
一、线性规划线性规划是数学建模中常见的一种模型求解方法。
它的基本思想是将问题转化为一个线性函数的最优化问题。
在线性规划中，参赛者需要确定决策变量、目标函数和约束条件，并利用线性规划模型求解最优解。
常见的线性规划求解方法有单纯形法、内点法等。
这些方法基于数学原理，通过迭代计算，逐步接近最优解。
二、整数规划整数规划是线性规划的一种扩展形式，它要求决策变量取整数值。
整数规划在实际问题中具有广泛的应用，例如货物运输、资源分配等。
在整数规划中，参赛者需要将问题转化为一个整数规划模型，并利用整数规划求解方法求解最优解。
常见的整数规划求解方法有分支定界法、割平面法等。
这些方法通过分解问题、添加约束条件等方式，逐步缩小搜索空间，找到最优解。
三、非线性规划非线性规划是一类目标函数或约束条件中包含非线性项的最优化问题。
在实际问题中，很多情况下目标函数和约束条件都是非线性的。
在非线性规划中，参赛者需要选择适当的数学模型，并利用非线性规划求解方法求解最优解。
常见的非线性规划求解方法有牛顿法、拟牛顿法等。
这些方法通过迭代计算，逐步逼近最优解。
四、动态规划动态规划是一种解决多阶段决策问题的数学方法。
在动态规划中，参赛者需要确定状态、决策和状态转移方程，并利用动态规划求解方法求解最优解。
常见的动态规划求解方法有最优子结构、重叠子问题等。
这些方法通过存储中间结果、利用递推关系等方式，逐步求解最优解。
五、模拟与优化模拟与优化是一种常见的数学模型求解方法。
在模拟与优化中，参赛者需要建立数学模型，并利用计算机模拟和优化算法求解最优解。
常见的模拟与优化方法有蒙特卡洛模拟、遗传算法等。
数学建模-线性规划
x2
P1
P2 P3 P4 P5
M
O点 Q点 R点 P点
B [P P 1 3 B [P 2 P 3
P ] x (0,1, 3, 0,16) 5 P ] x (4,1, 5, 0, 0) 3
T
T
R
P Q
B [P P 1 2
0
x1
最优解
数学建模之线性规划
单纯形算法举例
m in s .t z = -2 x 1 -3 x 2 -x 1 + x 2 2 x1 +2x 2 10 3x1 +x 2 15 x1, x 2 0
min z min( z ) max z C X
（2）约束条件为不等式：对于不等号“≤（≥）”的约束 条件，则可在“≤（≥）”的左端加上（或减去）一个非 负变量（称为松弛变量）使其变为等式； （3）对于无约束的决策变量：譬如 x (, ,则令 )
x x x,使得 x, x 0 ,代入模型即可。
n
,称之为决策变量， B j 产量为 x j ( j 1, 2, , n)
所得的利润为 z ,则要解决的问题的目标是使得总利润
函数
z c j x 有最大值。决策变量所受的约束条件为 j
j 1
数学建模之线性规划
aij x j bi (i 1,2, , m) j 1 x 0( j 1,2, , n) j
数学建模
线性规划问题
数信学院 任俊峰
2012-7-9
数学建模之线性规划
线性规划方法
最优化问题是求使问题的某一项指标“最优”的 方案，这里的“最优”包括“最好”、“最大”、 “最小”、“最高”、“最低”、“最多”等等。
数学建模实验报告之线性规划
数学模型实验报告——线性规划专业：数学与应用数学L081姓名： XXX 学号： 08L1002106姓名： XXX 学号： 08L1002109姓名： XXX 学号： 08L1002112数学模型实验报告（线性规划）一、 实验目的：1、了解线性规划的基本内容。
2、掌握用数学软件包求解线性规划问题。
二、实验内容：1、用MATLAB 优化工具箱解线性规划 ；2、两个例题；3、实验作业。
三、内容分析：（一）用MATLAB 优化工具箱解线性规划1、模型： min z=cXb AX t s ≤..命令：x=linprog （c ，A ，b ）2、模型： min z=cXb AX t s ≤..beq X Aeq =⋅命令：x=linprog （c ，A ，b ，Aeq, beq ） 注意：若没有不等式：b AX ≤ 存在，则令A=[ ]，b=[ ].3、模型：min z=cX b AX t s ≤..beq X Aeq =⋅VLB ≤X ≤VUB命令：[1] x=linprog （c ，A ，b ，Aeq,beq, VLB ，VUB ）[2] x=linprog （c ，A ，b ，Aeq,beq, VLB ，VUB, X 0）注意：[1] 若没有等式约束: beq X Aeq =⋅, 则令Aeq=[ ], beq=[ ]. [2]其中X 0表示初始点4、命令：[x,fval]=linprog(…) 返回最优解ｘ及ｘ处的目标函数值fval.例1 max 6543216.064.072.032.028.04.0x x x x x x z +++++=85003.003.003.001.001.001.0..654321≤+++++x x x x x x t s70005.002.041≤+x x 10005.002.052≤+x x 90008.003.063≤+x x 6,2,10=≥j x j解 ：编写M 文件程序如下：c=[-0.4 -0.28 -0.32 -0.72 -0.64 -0.6]; A=[0.01 0.01 0.01 0.03 0.03 0.03;0.02 0 0 0.05 0 0; 0 0.02 0 0 0.05 0; 0 0 0.03 0 0 0.08]; b=[850;700;100;900]; Aeq=[]; beq=[];vlb=[0;0;0;0;0;0]; vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)例2321436m in x x x z ++= 120..321=++x x x t s301≥x 5002≤≤x 203≥x解:编写M 文件程序如下： c=[6 3 4]; A=[0 1 0]; b=[50];Aeq=[1 1 1]; beq=[120]; vlb=[30,0,20];vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)运行结果如下：Optimization terminated. （最优解为） x =1.0e+004 * 3.5000 0.5000 3.0000 0.0000 0.0000 0.0000 fval =-2.5000e+004（二）例题例1：任务分配问题：某车间有甲、乙两台机床，可用于加工三种工件。
数学建模：常见的线性规划问题求解方法
数学建模：常见的线性规划问题求解方法1. 引言在数学建模中，线性规划是一种常见的数学模型。
它通常用于求解优化问题，在多个约束条件下找到使目标函数最大或最小的变量值。
本文将介绍几种常见的线性规划问题求解方法。
2. 单纯形法单纯形法是一种经典且高效的线性规划问题求解方法。
它通过不断移动基变量和非基变量来搜索可行解集，并在每次移动后更新目标函数值，直到达到最优解。
该方法适用于标准形式和松弛法形式的线性规划问题。
2.1 算法步骤1.初始化：确定基变量和非基变量，并计算初始相应坐标。
2.计算检验数：根据当前基变量计算检验数，选取检验数最小的非基变量作为入基变量。
3.计算转角系数：根据入基变量计算转角系数，并选择合适的出基变量。
4.更新表格：进行行列交换操作，更新表格中的各项值。
5.结束条件：重复2-4步骤，直至满足结束条件。
2.2 优缺点优点： - 单纯形法的时间复杂度较低，适用于小规模线性规划问题。
- 可以处理带等式约束和不等式约束的线性规划问题。
缺点： - 在某些情况下，单纯形法会陷入梯度消失或梯度爆炸的情况，导致无法找到最优解。
- 处理大规模问题时，计算量较大且可能需要较长时间。
3. 内点法内点法是另一种常见的线性规划求解方法。
与单纯形法不同，内点法通过在可行域内搜索目标函数的最优解。
它使用迭代过程逼近最优解，直到满足停止条件。
3.1 算法步骤1.初始化：选取一个可行解作为初始点，并选择适当的中心路径参数。
2.计算对偶变量：根据当前迭代点计算对偶变量，并更新目标函数值。
3.迭代过程：根据指定的迭代更新方程，在可行域内搜索目标函数的最优解。
4.结束条件：重复2-3步骤，直至满足结束条件。
3.2 优缺点优点： - 内点法相对于单纯形法可以更快地收敛到最优解。
- 在处理大规模问题时，内点法的计算效率更高。
缺点： - 内点法需要选择适当的中心路径参数，不当的选择可能导致迭代过程较慢。
- 对于某些复杂的线性规划问题，内点法可能无法找到最优解。
数学建模中的线性规划方法
数学建模中的线性规划方法随着科技和经济的发展，线性规划在多个领域中得到广泛应用，特别是在数学建模中，它是一种非常重要的工具。
在本文中，我们将探讨线性规划的基本概念、求解方法以及在数学建模中的实际应用。
一、基本概念线性规划是一种最优化的数学模型，通常用于寻找最大或最小值的解决方案。
这种模型通常由多个线性约束条件组成，并有一个或多个变量需要优化。
线性规划的目标是通过最小化或最大化目标函数，找到最优解。
一个典型的线性规划问题可以用如下的形式表示：\begin{aligned} & \min/\max\ f(x_1, x_2, \ldots, x_n) \\ &\text{subject to:} \\ & a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n\leq b_1 \\ & a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n \leq b_2 \\ & \vdots \\ & a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n \leqb_m \\ & x_1 \geq 0, x_2 \geq 0, \ldots, x_n \geq 0 \end{aligned}其中，$f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$是待优化的目标函数，$a_{ij}$和$b_i$是已知的线性不等式限制条件。
二、求解方法线性规划有多种求解方法，包括单纯形法、内点法、网络流方法等。
其中，单纯形法是最常用的方法之一。
单纯形法是一种迭代的算法，它从一个起始基（基向量组成的矩阵）开始，不断交替地找出进入基的变量和离开基的变量，从而求出最优解。
具体步骤如下：1. 将线性规划问题转化为标准形式，即目标函数为最小化，并且所有约束条件都是等式形式。
2. 构造初始基。
3. 计算基的费用向量，即基所对应的目标函数系数。
数学建模的常用模型与求解方法知识点总结
数学建模的常用模型与求解方法知识点总结数学建模是运用数学方法和技巧来研究和解决现实问题的一门学科。
它将实际问题抽象化，建立数学模型，并通过数学推理和计算求解模型，从而得出对实际问题的理解和解决方案。
本文将总结数学建模中常用的模型类型和求解方法，并介绍每种方法的应用场景。
一、线性规划模型与求解方法线性规划是数学建模中最常用的模型之一，其基本形式为：$$\begin{align*}\max \quad & c^Tx \\s.t. \quad & Ax \leq b \\& x \geq 0\end{align*}$$其中，$x$为决策变量向量，$c$为目标函数系数向量，$A$为约束系数矩阵，$b$为约束条件向量。
常用的求解方法有单纯形法、对偶单纯形法和内点法等。
二、非线性规划模型与求解方法非线性规划是一类约束条件下的非线性优化问题，其目标函数或约束条件存在非线性函数。
常见的非线性规划模型包括凸规划、二次规划和整数规划等。
求解方法有梯度法、拟牛顿法和遗传算法等。
三、动态规划模型与求解方法动态规划是一种用于解决多阶段决策问题的数学方法。
它通过将问题分解为一系列子问题，并利用子问题的最优解构造原问题的最优解。
常见的动态规划模型包括最短路径问题、背包问题和任务分配等。
求解方法有递推法、记忆化搜索和剪枝算法等。
四、图论模型与求解方法图论是研究图及其应用的一门学科，广泛应用于网络优化、城市规划和交通调度等领域。
常见的图论模型包括最小生成树、最短路径和最大流等。
求解方法有贪心算法、深度优先搜索和广度优先搜索等。
五、随机模型与概率统计方法随机模型是描述不确定性问题的数学模型，常用于风险评估和决策分析。
概率统计方法用于根据样本数据对随机模型进行参数估计和假设检验。
常见的随机模型包括马尔可夫链、蒙特卡洛模拟和马尔科夫决策过程等。
求解方法有蒙特卡洛法、马尔科夫链蒙特卡洛法和最大似然估计等。
六、模拟模型与求解方法模拟模型是通过生成一系列随机抽样数据来模拟实际问题，常用于风险评估和系统优化。
线性规划问题的建模与求解
线性规划问题的建模与求解线性规划是一种常见的数学优化方法，用于解决一系列约束条件下的最优化问题。
它在工业、经济、管理等领域具有广泛的应用。
本文将介绍线性规划问题的建模过程以及求解方法，并通过实例来说明其应用。
一、线性规划问题的定义线性规划问题可以定义为在一定的约束条件下，寻找一组决策变量的最优解，使得目标函数达到最大或最小值。
其中，目标函数和约束条件均为线性的。
在建模过程中，首先需要明确决策变量、目标函数和约束条件。
决策变量是我们需要确定的决策因素，可以是某个产品的生产数量、某个投资项目的投入金额等。
目标函数是我们希望最大化或最小化的量，可以是利润、收益、成本等。
约束条件是对决策变量的限制条件，可以是资源约束、技术约束等。
二、线性规划问题的建模过程线性规划问题的建模过程一般包括以下几个步骤：1. 确定决策变量：根据实际问题确定需要确定的决策因素，例如某个产品的生产数量、某个投资项目的投入金额等。
2. 建立目标函数：根据问题的要求，确定目标函数的形式和系数。
如果是最大化问题，目标函数一般为各决策变量的系数之和；如果是最小化问题，目标函数一般为各决策变量的系数之差。
3. 确定约束条件：根据问题中的限制条件，建立约束条件的数学表达式。
约束条件一般包括资源约束、技术约束等。
每个约束条件都可以表示为决策变量的线性组合与某个常数之间的关系。
4. 确定决策变量的取值范围：根据实际问题的限制条件，确定决策变量的取值范围。
例如，某个产品的生产数量不能为负数，某个投资项目的投入金额有上限等。
5. 建立数学模型：将上述步骤中确定的决策变量、目标函数和约束条件组合起来，建立线性规划问题的数学模型。
三、线性规划问题的求解方法线性规划问题的求解方法主要有两种：图形法和单纯形法。
1. 图形法：对于二维或三维空间中的线性规划问题，可以使用图形法进行求解。
首先将目标函数和约束条件转化为几何形式，然后在坐标系中画出目标函数的等高线和约束条件的边界线，最后确定最优解所在的交点。
01线性规划数学建模
01-线性规划(数学建模) 线性规划是一种数学建模技术，用于解决一类特定的优化问题。
这些问题通常涉及到在一组线性约束条件下最大化或最小化一个线性目标函数。
线性规划的应用广泛，包括诸如生产计划、货物运输、资源分配等问题。
线性规划的基本模型由以下三个要素组成：1.决策变量：这是我们希望优化的变量。
它们通常是连续的实数变量，可以在问题中自由设定其范围。
2.目标函数：这是我们希望最大化或最小化的函数。
目标函数通常是决策变量的线性函数。
3.约束条件：这些是限制决策变量选择的条件。
它们通常是由决策变量的线性不等式或等式表示。
线性规划问题的一般形式可以表示为：最大化（或最小化）目标函数: c^T x在满足以下条件的情况下：Ax = bx >= lbx <= ub其中，c是目标函数的系数向量，x是决策变量向量，A是约束条件的系数矩阵，b是约束条件的右侧常数向量，lb和ub分别是决策变量的下界和上界。
线性规划问题的求解方法有很多种，其中最常用的方法是使用单纯形法。
单纯形法的基本思想是通过在约束条件下不断迭代，寻找最优解。
在每次迭代中，我们根据目标函数的系数和约束条件，计算出每个约束条件的"优势"，然后选择具有最大优势的约束条件进行扩展，直到找到最优解或确定无解。
线性规划问题在现实世界中的应用非常广泛。
例如，我们可以使用线性规划来安排生产计划，使得总成本最低。
我们也可以使用线性规划来分配资源，使得某种资源的需求总和不超过供应总和。
下面是一个具体的例子：假设我们有一个公司，生产三种产品：A、B和C。
每种产品都有各自的生产成本（单位成本），以及各自的预期销售量（单位售价）。
我们希望确定每种产品的生产量，以使得总生产成本最低，同时总销售收入最高。
这个问题可以通过一个线性规划来解决。
我们可以将生产量作为决策变量，将总生产成本和总销售收入分别作为目标函数和约束条件。
通过求解这个线性规划问题，我们可以得到最优的生产计划。
数学教案数学建模中的线性规划问题
数学教案数学建模中的线性规划问题【教案】数学建模中的线性规划问题引言：在数学建模中，线性规划是一种常见的数学模型。
通过对实际问题进行数学建模，可以将实际问题抽象化为线性规划问题，并利用数学方法解决。
本教案将以线性规划问题为主题，介绍线性规划的基本概念、模型建立和解决方法。
一、线性规划的基本概念线性规划是一种优化问题，其目标是在给定的约束条件下，寻找使线性目标函数取得最大（最小）值的一组变量取值。
线性规划的基本组成包括：决策变量、目标函数和约束条件。
1. 决策变量决策变量是需要求解的未知数，也是问题中需要决策的部分。
例如，假设某个问题需要制定生产计划，那么可以定义生产计划为决策变量。
2. 目标函数目标函数表示需要优化的目标，可以是最大化或最小化某个指标。
例如，假设某个问题中需要最小化生产成本，那么可以将成本作为目标函数。
3. 约束条件约束条件是对决策变量的限制，通常包括等式约束和不等式约束。
例如，某个问题中可能对生产数量有限制，那么可以将这个限制作为约束条件。
二、线性规划模型的建立在建立线性规划模型时，需要明确问题中的决策变量、目标函数和约束条件。
根据具体问题的要求，可以将其转化为数学表达式。
1. 决策变量的定义根据问题中的需要，确定决策变量的含义和取值范围。
例如，在某个生产计划问题中，决策变量可以表示各种产品的生产数量。
2. 目标函数的建立根据问题的优化目标，确定目标函数的表达式。
例如，在最小化生产成本的问题中，可以将成本表示为决策变量的线性组合。
3. 约束条件的制定根据问题中对决策变量的限制，确定约束条件的表达式。
例如，某个问题中对生产数量有限制，那么可以将这个限制表示为决策变量的线性组合。
三、线性规划问题的求解求解线性规划问题的方法有多种，其中最常用的方法是单纯形法。
单纯形法是一种逐步迭代的方法，通过改变决策变量的取值，逐步接近最优解。
1. 单纯形表单纯形表是单纯形法的主要工具，用于辅助计算。
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从而预测出7，8月份组装A,B,C,D,E,F的销售数量如表1： 月份 金牛A 金牛B 金牛C 金牛D 金牛E
金牛F
109 131
93 107
107 127
106 123
162
104 126
5.2问题二的求解：
由问题1预测出7，8月份生产金牛A,B,C,D,E,F的总数量如下表2： 型号 （） 数量 240 200 234 229 291 230
集 成
华 美 硕 基 DVD
铺 设1
200 200 200 200 200
200 200 200 200 200
200 200
制造金牛C所需零件及数量如下表5： 主板 CPU 显 内 硬盘 显 声 网 卡 存 示 卡 卡 器 华擎 AMD 集 金 WD AOC 漫 主
光驱
机 箱
电源 键 盘 鼠 标 酷 罗
240 240 240
240 240 240 240 240
240 240
制造金牛B所需零件及数量如下表4： 主 CPU 显 内 硬盘 显示 声 网 板 卡 存 器 卡 卡
光 驱
机 箱
电源 键 盘 鼠 标 酷 双 冷… 飞 320 燕
铺 设
华 擎 LE
AMD 集 速 成 龙 250
金 WD 三星 集 士 500GB E1920 成 顿 2GB 200
运用lingo编程（附2），得出最有生产方案，如下表7： 型号 数量 171 200 234 216 24 0
5.3问题三的求解：
由于只有C,D,E型号电脑的销售价格和销量发生相应的变化（销售价 格分别降低4% 3% 2%，销售数量分别下降 2% 2% 1%），但不影响金牛 公司其他电脑的价格和销售。由附件3可得金牛C,D,E型号的电脑销售价 格和销售量下降后的数据如下表8：
105 121 102 90 67 67 78 58 60 80 86.24
3952 3936 3936 3936 3936 3936 3936 3936 3936 3936 3778.56
100 105 99 98 87 69 78 65 70 80 90.16
4310 4310 4292 4292 4292 4292 4292 4292 4292 4292 4163.24
二．问题分析
2.1问题一： 要求预测出金牛公司旺季销售的台式机数量，使得金牛公司知道7,8 月应该向市场投放多少自己组装的电脑各多少台的问题，首先，我们需 要对附表3金牛公司从2011年到2012年6月公司销售的数据进行数据分析 和预测，使得金牛公司投入市场的台式机的购买率达到最高。然后，利 用MATLAB计算出应投放市场多少台式机。 2.2问题二： 要求在现有库存下，组装出的电脑能否满足旺季销售的需要，若不 满足，在不进货的情况下公司如何安排生产的问题，首先通过预测出 7,8月电脑的数量与库存零件的比较，得出在现有库存零件组装出的电 脑不能满足旺季销售的需要。通过获得利润最大，计算出目标函数，利 用lingo得出最优生产方案。 2.3问题三： 金牛公司的三种型号的销售价格分别降低4%，3%，2%，且销售量 分别下降2%，2%，1%，求出降价后的销售价格以及销售量，再根据现 有数据进行计算，求得利润最大的目标函数，运用lingo编程求得最优 解。 2.4问题四： 将C,D两个型号的台式机的内存由“金士顿2GB DDR3”一条增加到了 两条，即内存由原来的2G扩大到了4G。因此使C,D两型号的台式机成本 相应增加，同时公司又以原来的进价购进了这种内存300条，即库存零 件相应的数量相应增加，则C,D型号每台的利润相应变化，则目标函数 也相应变化，再通过公司库存零件的数量约束，运用lingo编程,得出最 优生产方案。 2.5问题五： 通过对问题3,4求得的最大利润进行比较，从而得出金牛公司“提升配 置不提价”的方法可取。
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
电脑组装及销售
摘要
本文针对电脑组装及销售问题进行了分析、讨论，运用了多项式 0000000000000000模型，利用MATLAB软件进行求解得出结论，为金 牛公司的电脑组装及销售，提供了方案。 针对问题1：根据附件3金牛公司过去18个月投放市场销售的台式机 数量和销售价格，建立了三次多项式拟合模型，利用MATLAB编程， 对2011年1月到2012年6月金牛公司过去18个月投放市场销售的台式机数 量和销售价格进行了预测（见表000000）。 针对问题2：根据附件1金牛公司各种型号台式机以及附件4金牛公司 库存电脑硬件零件的情况，通过公司获得最大利润，建立了线性规划模 型求解，利用lingo软件进行计算，建立图表（000000000000）进行与目 前库存电脑零件进行对比，得出现有库存不能够满足旺季销售的需要， 从而对目前库存零件进行优化组装。 针对问题3：根据问题3的要求，2012年5月份以后由于青羊公司生产 金牛C,金牛D，金牛E三种型号的台式机，同时投放市场，使得金牛公 司的三种型号的销售价格分别降低4%，3%，2%，且销售量分别下降 2%，2%，1%，但不影响金牛公司其他型号电脑的价格和销量，即通过 表（0000000）再次建立三次多项式拟合，得出函数表达式 Yc=。。。。。。。。。。。。。。。,Yd=000000000000， Ye=0000000000，得出7,8月份金牛C,D,E型号数量。通过公司获得最大 利润，建立线性规划模型求解,得出表达式，通过公司库存零件的数量 的约束，运用lingo编程（详附件x），得出生产最优方案。 针对问题4：为了与青羊公司竞争，金牛公司采用提升配置的方案， 将C,D两个型号的台式机的内存由“金士顿2GB DDR3”一条增加到了两 条，即内存由原来的2G扩大到了4G。因此使C,D两型号的台式机成本相 应增加，同时公司又以原来的进价购进了这种内存300条，即库存零件 相应的数量相应增加，则C,D型号每台的利润相应变化，则目标函数也 相应变化，，再通过公司库存零件的数量约束，运用lingo编程（详x）, 得出最优生产方案。 针对问题5：结合问题3和问题4的最大利润，可得出金牛公司用“提 升配置不提升价格”的方法可取。（生产安排意见见模型求解5）
关键字：多项式拟合 销售量 MATLAB Lingo 线性规划模型 公司
最大利润
一．问题重述
虽然现在，笔记本、上网本和平板电脑因体积小、重量轻、续航能 力强等特点，已受人们普遍欢迎。但某些方面不如台式机所带来的快 速、震撼的效果，所以台式机至今占有相当大的市场。 台式机可分为品牌机和组装机，品牌机虽比组装机性能更稳定，但 由于性价比不高，还是有很多消费者愿意购买组装台式机。济南金牛公 司就是一家生产组装机的公司。 通过附表1金牛公司生产各种型号台式机的配置情况：附表2金牛公 司向其他代理商批进的电脑零部件价格；附表3金牛公司过去18个月投 放市场销售的台式机数量和价格；附表4金牛公司目前库存的各种电脑 部件清单。建立数学模型分析研究下面的问题： 1：在现有销售价格保持不变的情况下，预测金牛公司在未来的电脑 销售旺季（七、八两个月）中，每个月应该向市场投放自己组装的电脑 各多少台？ 2：如果不在批进电脑零部件，用现有库存装出的电脑能否满足旺季 销售的需要？如果不满足，再不进货的情况下公司应该如何安排生产？ 3：据了解，今年5月，济南市又有一家电脑公司青羊公司成立，打 算在今年的台式机销售旺季分得一羹粥。由于刚刚投入生产，青羊公司 只生产与金牛C、金牛D 、金牛E三个型号同样的台式机。假设青羊公 司生产的组装机投放市场后，会使金牛公司生产的这些型号的组装机价 格分别降低4%，3%，2%，且销量分别下降2%，2%，1%，但不影响金 牛公司其他型号电脑的价格和销售。那么，金牛公司应该如何安排生产 应对市场的变化？ 4：为了与青羊公司竞争，金牛公司决定将C,D两个型号的台式机配 置进行提升，但销售的价格不变。具体提升的配置是将内存条由原来 的“金士顿”“2GBDDR3”一条增加到原来的两条，即内存由2G扩大到 4G。因此使C,D两型号的台式机成本相应的增加，同时，公司又以原来 的进价购进了这种内存条300条。那么金牛公司又该如何安排生产？ 5：根据第3,4小题的结果，判断金牛公司用“提升配置不提价”的方法 对市场变化是否可取？就你们的看法给金牛公司提供一份生产安排的建 议。
201 2高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承 诺 书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电 话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、 讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果 或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献 的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。 如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 103 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 高亚勇 2. 陆彦丽 3. 陈昊 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 月 日 年
制造金牛A所需零件及数量如下表3： 主 CPU 显 内 硬盘 显示 声 板 卡 存 器 卡
网 卡
光 驱
机 箱
电源 键 盘 鼠 标 酷 双 冷… 飞 320 燕
辅 设
微 星
E5400 集 成
金 WD 三星 集 士 500GB E1920 成 顿 2GB 240
集 成
华 美 硕 基 DVD
铺 设1