数学建模--线性规划

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数学建模之线性规划

第一章线性规划§1 线性规划在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。

此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。

自从1947年G. B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。

特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。

1.1 线性规划的实例与定义例1某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。

生产甲机床需用B A 、机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用C B A 、、三种机器加工，加工时间为每台各一小时。

若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？上述问题的数学模型：设该厂生产1x 台甲机床和2x 乙机床时总利润最大，则21,x x 应满足（目标函数）2134m ax x x z += (1)s.t.（约束条件）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≤+0,781022122121x x x x x x x （2）这里变量21,x x 称之为决策变量，（1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。

由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数，故被称为线性规划问题。

总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。

在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。

而选适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。

1.2 线性规划的Matlab 标准形式线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。

数学建模算法大全线性规划

第一章线性规划§1 线性规划在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。

此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。

自从1947年G. B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。

1.1 线性规划的实例与定义例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。

生产甲机床需用B A 、机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用C B A 、、三种机器加工，加工时间为每台各一小时。

若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？上述问题的数学模型：设该厂生产1x 台甲机床和2x 乙机床时总利润最大，则21,x x 应满足（目标函数）2134max x x z += (1)s.t.（约束条件）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≤+0,781022122121x x x x x x x （2）这里变量21,x x 称之为决策变量，（1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。

由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数，故被称为线性规划问题。

总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。

在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。

而选适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。

1.2 线性规划的Matlab 标准形式线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。

数学建模测试题-线性规划部分

313数学教育1、2班，510数学教育1、2、3班数学建模上机测试题，需要把运行结果写出来。

模型包括目标函数、约束条件，编写的程序和程序运行结果四部分内容。

写在作业本上。

按学号顺序做，如35号同学做习题35习题1：某厂计划生产甲、乙、丙三种零件，有机器、人工工时和原材料的限制，有关数据1、2、若原材料为2元/公斤，试建立获得最大利润生产计划的线性规划模型。

习题2：一塑料厂利用四种化工原料合成一种塑料产品。

这四种原料含A、B、C的成分见下表，这种塑料产品要求含A为25%，含B、C都不得少于30%。

问各种原料投放比例为习题3：建立以下线性规划模型1）某家具厂生产桌椅，每张桌子耗用木材0.28立方米、2小时人工，售价288元；每把椅子耗用木材0.13立方米、0.8小时人工，售价147元。

且1张桌子必须配4把椅子。

已知木材本月供应量不得超过52立方米，且每立方米成本价为500元。

本月人工工时上限为288小时，且每小时成本为20元。

（1）写出最大月收益线性规划模型；（2）写出月收益不低于8000元而动用木材最省的线性规划模型（其余条件不变）。

习题4 某工厂要用三种原料1、2、3混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙，数据如右表。

问：该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？习题5、某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。

已知：项目A ：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利110%；项目B ：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利125%，但规定每年最大投资额不超过30万元；项目C ：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%，但规定最大投资额不能超过80万元；项目D ：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利155%，但规定最大投资额不能超过100万元；问：a.应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？ b.应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在330万元的基础上使得其投资总的风险系数为最小？习题6 某公司计划在三年的计划期内，有四个建设项目可以投资：项目Ⅰ从第一年到第三年年初都可以投资。

优化模型一：线性规划模型数学建模课件

题的求解过程。
混合整数线性规划问题求解
要点一
混合整数线性规划问题的复杂性
混合整数线性规划问题是指包含整数变量的线性规划问题。由于整数变量的存在，混合整数线性规划问题的求解变得更加困难，需要采用特殊的算法和技术来处理。
要点二
混合整数线性规划模型的求解方法
为了解决混合整数线性规划问题，可以采用一些特殊的算法和技术，如分支定界法、割平面法等。这些方法能够将问题分解为多个子问题，并逐步逼近最优解，从而提高求解效率。
目标函数的类型
常见的目标函数类型包括最小化、最大化等。
确定约束条件
约束条件
01
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为数学不等式
或等式。
确定约束条件的原则
02
根据问题的实际情况，选择能够反映问题约束条件的条件作为
约束条件。
约束条件的类型
03
常见的约束条件类型包括等式约束、不等式约束等。
线性规划模型的建立
也可以表示为
maximize (c^T x) subject to (A x geq b) and (x leq 0)。
线性规划的应用场景
生产计划
物流优化
在制造业中，线性规划可以用于优化生产计划，确定最佳的生产组合和数量，以满足市场需求并降低成本。
在物流和运输行业中，线性规划可以用于优化运输路线、车辆调度和仓储管理，降低运输成本和提高效率。
初始基本可行解
在线性规划问题中，一个解被称为基本可行解，如果它满足所有的约束条件。
在寻找初始基本可行解时，可以采用一些启发式算法或随机搜索方法，以快速找到一个可行的解作为起点。
初始基本可行解是线性规划问题的一个起始点，通过迭代和优化，可以逐渐逼近最优解。

线性规划的定义及解题方法

线性规划的定义及解题方法线性规划是一种数学建模技术，旨在解决在约束条件下，寻求最优解的问题。

它的实际应用十分广泛，例如管理学、经济学、物流学等领域。

线性规划可以分为单目标和多目标两种，但其中比较常见的是单目标线性规划。

本文将从线性规划的定义、模型建立、求解方法等方面阐述其原理与应用。

一、线性规划的定义线性规划的定义是：在有限约束条件下，目标函数为线性的最优化问题。

它通过数学模型的建立，将涉及到的变量、约束条件与目标函数转化为线性等式或不等式的形式，从而寻找最优解。

通常，线性规划的目标是最大化或最小化某个变量，可以用以下的形式去表示：$$Z=C_1X_1+C_2X_2+……+C_nX_n $$其中，$Z$为目标函数值，$X_1, X_2,……,X_n$为待求变量，$C_1, C_2,……,C_n$为相应的系数。

在线性规划中，会涉及到许多变量，这些变量需要受到一些限制。

这些限制可以用不等式或等式来表示，这些方程式被称为约束条件。

例如：$$A_1X_1+A_2X_2+……+A_nX_n≤B$$$$X_i≥0, i=1,2,……, n $$这两个方程就代表了一些约束条件，例如目标函数系数的和不能超过某个值，若$X_i$为生产的产品数量，则需保证产量不能小于零等。

这些约束条件用于限制变量的取值范围，而目标函数则用于求解最优解。

二、线性规划的模型建立在建立线性规划模型时，需要考虑几个要素：1. 决策变量：它是模型求解的关键。

决策变量是指在模型中未知的数量，也就是需要我们寻找最优解的那些变量。

2. 目标函数：确定目标函数，既要知道最大化还是最小化，还要知道哪些变量是影响目标函数的。

3. 约束条件：约束条件通常是一组等式或不等式，代表问题的限制。

例如在一个工厂中最大的生产量、原材料的数量限制、人工的数量等等，这些都是约束条件。

4. 模型的参数：模型参数是指约束条件的系数和模型中的常数。

它们是从现实问题中提取出来的，由于模型的解法通常是数学的，因此需要具体的数值。

建模培训-数学规划)

可得到背包问题的规划模型为：
n
max f ci xi i 1
n
s.t .
i 1
ai xi
a
xi 0或1，i 1, 2,L , n
指派问题
例5. 有n 项任务，由 n 个人来完成，每个人只能做一件，第 i 个人完成第 j 项任务要 cij 小时，如何合理安排时间才能使总用时最小？
数学模型：
mincij xij
i1 j1
n
xij ai , i 1,2, , m
j1
m
xij bj , j 1,2, , n
i 1
xij 0, i 1,2, , m; j 1,2, , n
若其中各产地的总产量等于各销地的总销量，
m
n
即 ai bj ，则称该问题为平衡的运输问题.
下面我们建立该问题的整数线性规划模型。
1) 约束条件
两节车的装箱数不能超过需要装的件数，即：
xi1 xi2 ni , i 1, 2,L ,7
每节车可装的长度不能超过车能提供的长度：
7
ti xij cl j , j 1,2
i 1
每节车可装的重量不超过车能够承受的重量：
7
wi xij cw j ,
x*
4 4
1 6
9 0
1 5
2 1
1 2
0 0 ,
f * 2039.4
5) 最优解的分析说明由上一步中的求解结果可以看出，x*即为最优的装车方案，此时装箱的总长度为1019.7cm，两节车共装箱的总长度为2039.4cm.
但是，上述求解结果只是其中一种最优的装车方案，即此答案并不唯一.
背包问题
二、线性规划模型

数学建模线性规划

线性规划1.简介：线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源.线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好.规划问题。

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。

在优化模型中，如果目标函数f(x)和约束条件中的gi(x)都是线性函数，则该模型称为线性规划。

2.线性规划的3个基本要素（1）决策变量（2）目标函数f(x)（3）约束条件（gi(x)≤0称为约束条件）3.建立线性规划的模型（1）找出待定的未知变量（决策变量），并用袋鼠符号表示他们。

（2）找出问题中所有的限制或者约束，写出未知变量的线性方程或线性不等式。

（3）找到模型的目标或判据，写成决策变量的线性函数，以便求出其最大值或最小值。

以下题为例，来了解一下如何将线性规划用与实际的解题与生活中。

生产计划问题某工厂生产甲乙两种产品，每单位产品消耗和获得的利润如表试拟订生产计划，使该厂获得利润最大解答：根据解题的三个基本步骤（1）找出未知变量，用符号表示：设甲乙两种产品的生产量分别为x1与x2吨，利润为z万元。

（2）确定约束条件：在这道题目当中约束条件都分别为：钢材，电力，工作日以及生产量不能为负的限制钢材：9x 1+5 x 2≤360，电力：4x 1+5 x 2≤200，工作日：3x 1+10 x 2≤300，x 1 ≥0 ，x 2 ≥0，（3）确定目标函数：Z=7x 1+12 x 2所以综合上面这三步可知，这个生产组合问题的线性规划的数学模型为：max Z=7x 1+12 x 2s.t.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+00300103200543605921212121x x x x x x x x4.使用MATLAB 解决线性规划问题依旧是以上题为例，将其用MATLAB 来表示出来1.将目标函数用矩阵的乘法来表示max Z=(7 12)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21x x 2.将约束条件也用矩阵的乘法表示s.t.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2121003002003601035459x x x x 编写MATLAB 的程序如下：c=[-7 -12]; (由于是max 函数，因此将目标函数的系数全部变为负数)A=[9,5;4,5;3,10];b=[360;200;300];Aeq=[];beq=[];vlb=[0;0];vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)其运行结果显示如下：x =20.000024.0000fval =-428.00005.MATLAB 求解线性规划的语句(1)c=[ ] 表示目标函数的各个决策变量的系数(2)A=[ ] 表示约束条件中≥或≤的式子中的各个决策变量的系数。

高中线性规划

高中线性规划引言概述：线性规划是一种数学建模方法，通过建立数学模型来解决实际问题。

在高中数学中，线性规划是一个重要的概念，它可以帮助我们解决一些优化问题。

本文将详细介绍高中线性规划的概念、原理和应用。

一、线性规划的概念1.1 线性规划的定义线性规划是一种数学优化方法，它的目标是找到一组变量的最佳取值，使得目标函数达到最大或最小值，同时满足一组线性约束条件。

1.2 线性规划的基本要素线性规划包含以下基本要素：- 目标函数：表示需要最大化或最小化的数学模型。

- 决策变量：需要确定的变量，它们的取值将影响目标函数的结果。

- 约束条件：限制决策变量的取值范围，通常为一组线性不等式或等式。

1.3 线性规划的解法线性规划可以使用图像法、单纯形法或二次规划等方法进行求解。

其中，图像法适用于二维问题，单纯形法适用于多维问题，而二次规划适用于目标函数为二次函数的问题。

二、线性规划的原理2.1 线性规划的线性性质线性规划的目标函数和约束条件都是线性的，这意味着它们的图像是直线或平面。

这种线性性质使得线性规划问题的求解相对简单。

2.2 线性规划的可行解与最优解线性规划的可行解是指满足所有约束条件的解，而最优解是在可行解集合中使得目标函数取得最大或最小值的解。

线性规划问题可能存在多个最优解，或者无解。

2.3 线性规划的应用领域线性规划广泛应用于生产计划、资源分配、运输问题等领域。

例如，企业可以使用线性规划来确定最佳的生产计划，以最大化利润或最小化成本。

三、线性规划的应用举例3.1 生产计划问题一个工厂需要生产两种产品，每种产品的生产时间、材料成本和利润不同。

通过线性规划，可以确定每种产品的生产数量，以最大化利润。

3.2 运输问题一个物流公司需要将商品从多个仓库运送到多个销售点，每个仓库和销售点之间的运输成本不同。

通过线性规划，可以确定每个仓库和销售点之间的货物运输量，以最小化总运输成本。

3.3 资源分配问题一个学校需要将教师和教室分配给不同的班级，每个班级的人数和课程要求不同。

数学建模第4讲线性规划

解编写M文件xxgh1.m如下：
c=[-0.4 -0.28 -0.32 -0.72 -0.64 -0.6];
A=[0.01 0.01 0.01 0.03 0.03 0.03;0.02 0 0 0.05 0 0;0 0.02 0 0 0.05 0;0 0 0.03 0 0 0.08];
b=[850;700;100;900]; Aeq=[]; beq=[];
8 4 x1 8 3 x2 32 x1 24 x2
因检验员错检而造成的损失为：
(8 25 2% x1 8 15 5% x2 ) 2 8x1 12 x2
2024/8/3
数学建模
故目标函数为：
min z (32 x1 24 x2) (8x1 12 x2 ) 40 x1 36 x2
0 0 0 0.5 1.2 1.3];
b = [800; 900];
Aeq=[1 0 0 1 0 0
010010
0 0 1 0 0 1]; beq=[400 600 500];
To MATLAB (xxgh3)
vlb = zeros(6,1);
vub=[];
[x,fval] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)
解: 编写M文件xxgh2.m如下：
x1
min z (6
3
4)
x2
x3
s.t.
1
0
1 1
1 0
x1 x2 x3
120
50
30 0 20
x1 x2 x3
c=[6 3 4];
A=[0 1 0];
b=[50];
Aeq=[1 1 1];
beq=[120]; vlb=[30,0,20];

数学建模常用模型及代码

数学建模常用模型及代码
一.规划模型
1.线性规划
线性规划与非线性规划问题一般都是求最大值和最小值，都是利用最小的有限资源来求最大利益等，一般都利用lingo工具进行求解。

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2.整数规划
求解方式类似于线性规划，但是其决策变量x1,x2等限定都是整数的最优化问题。

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3. 0-1规划
决策变量只能为0或者为1的一类特殊的整数规划。

n个人指派n项工作的问题。

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４.非线性规划
目标函数或者存在约束条件函数是决策变量的非线性函数的最优化问题。

传送门
５.多目标规划
研究多于一个的目标函数在给定区域上的最优化。

把求一个单目标，在此单目标最优的情况下将其作为约束条件再求另外一个目标。

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6.动态规划
运筹学的一个分支。

求解决策过程最优化的过程。

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二. 层次分析法
是一种将定性和定量相结合的，系统化的，层次化的分析方法，主要有机理分析法和统计分析法。

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三.主成分分析
指标之间的相关性比较高，不利于建立指标遵循的独立性原则，指标之间应该互相独立，彼此之间不存在联系。

传送门。

数学建模竞赛中的数学模型求解方法

数学建模竞赛中的数学模型求解方法数学建模竞赛是一项旨在培养学生数学建模能力的竞赛活动。

在竞赛中，参赛者需要利用数学知识和技巧，解决实际问题，并提出相应的数学模型。

然而，数学模型的求解方法却是一个非常关键的环节。

本文将介绍一些常见的数学模型求解方法，帮助参赛者在竞赛中取得好成绩。

一、线性规划线性规划是数学建模中常见的一种模型求解方法。

它的基本思想是将问题转化为一个线性函数的最优化问题。

在线性规划中，参赛者需要确定决策变量、目标函数和约束条件，并利用线性规划模型求解最优解。

常见的线性规划求解方法有单纯形法、内点法等。

这些方法基于数学原理，通过迭代计算，逐步接近最优解。

二、整数规划整数规划是线性规划的一种扩展形式，它要求决策变量取整数值。

整数规划在实际问题中具有广泛的应用，例如货物运输、资源分配等。

在整数规划中，参赛者需要将问题转化为一个整数规划模型，并利用整数规划求解方法求解最优解。

常见的整数规划求解方法有分支定界法、割平面法等。

这些方法通过分解问题、添加约束条件等方式，逐步缩小搜索空间，找到最优解。

三、非线性规划非线性规划是一类目标函数或约束条件中包含非线性项的最优化问题。

在实际问题中，很多情况下目标函数和约束条件都是非线性的。

在非线性规划中，参赛者需要选择适当的数学模型，并利用非线性规划求解方法求解最优解。

常见的非线性规划求解方法有牛顿法、拟牛顿法等。

这些方法通过迭代计算，逐步逼近最优解。

四、动态规划动态规划是一种解决多阶段决策问题的数学方法。

在动态规划中，参赛者需要确定状态、决策和状态转移方程，并利用动态规划求解方法求解最优解。

常见的动态规划求解方法有最优子结构、重叠子问题等。

这些方法通过存储中间结果、利用递推关系等方式，逐步求解最优解。

五、模拟与优化模拟与优化是一种常见的数学模型求解方法。

在模拟与优化中，参赛者需要建立数学模型，并利用计算机模拟和优化算法求解最优解。

常见的模拟与优化方法有蒙特卡洛模拟、遗传算法等。

数学建模中的整数规划与线性规划

数学建模中的整数规划与线性规划数学建模是指利用数学方法解决实际问题的过程，其中整数规划和线性规划是常用的数学建模技术。

本文将探讨数学建模中的整数规划和线性规划的基本原理、应用领域以及解决实际问题的方法。

一、整数规划整数规划是指在线性规划的基础上，将决策变量限制为整数的优化问题。

在实际问题中，有些变量只能取整数值，而不能取小数值。

整数规划的数学模型可以表示为：$max\{cx:Ax≤b,x\geq0,x为整数\}$其中，c是目标函数的系数向量，A是约束条件的系数矩阵，b是约束条件的常数向量，x是决策变量。

整数规划的应用非常广泛，比如生产调度、资源配置、旅行商问题等。

整数规划不仅可以帮助企业进行生产计划，还可以优化物流配送路线，解决旅行商的最优路径问题等。

二、线性规划线性规划是指目标函数和约束条件均为线性关系的优化问题。

线性规划的数学模型可以表示为：$max\{cx:Ax≤b,x\geq0\}$线性规划在数学建模中是最常用的优化工具之一，广泛应用于生产计划、资源分配、投资组合等领域。

通过线性规划，可以找到目标函数在约束条件下的最优解，从而为决策提供科学依据。

三、整数规划与线性规划的联系整数规划是线性规划的一个特例，即当决策变量限制为整数时，线性规划就变成了整数规划。

因此，整数规划可以通过线性规划来求解，但是整数规划的求解难度要高于线性规划。

在实际问题中，有时候整数规划难以求解，此时可以采用线性规划来近似求解。

例如，可以将决策变量限制为小数，然后通过计算得到的解来指导实际决策。

当然，这种近似解不一定是最优解，但可以提供一种可行的解决方案。

四、整数规划与线性规划的求解方法针对整数规划和线性规划问题，有多种求解方法。

其中，常用的方法包括暴力搜索、分支定界法、割平面法等。

暴力搜索是一种基础的求解方法，通过枚举所有可能的解来寻找最优解。

这种方法的好处是可以找到全局最优解，但计算时间较长，适用于问题规模较小的情况。

数学建模常用算法

数学建模常用算法数学建模是指将实际问题转化为数学模型，并通过数学方法进行求解的过程。

在数学建模中，常用的算法有很多种，下面将介绍一些常见的数学建模算法。

1.最优化算法:-线性规划算法:如单纯形法、内点法等，用于求解线性规划问题。

-非线性规划算法:如最速下降法、牛顿法等，用于求解非线性规划问题。

-整数规划算法:如分支定界法、割平面法等，用于求解整数规划问题。

2.概率统计算法:-蒙特卡洛模拟:通过模拟随机事件的方式，得出问题的概率分布。

-贝叶斯统计:利用先验概率和条件概率，通过数据更新后验概率。

-马尔可夫链蒙特卡洛:用马尔可夫链的方法求解复杂的概率问题。

3.图论算法:-最短路径算法:如迪杰斯特拉算法、弗洛伊德算法等，用于求解两点之间的最短路径。

-最小生成树算法:如普里姆算法、克鲁斯卡尔算法等，用于求解图中的最小生成树。

- 最大流最小割算法: 如Edmonds-Karp算法、Dinic算法等，用于求解网络流问题。

4.插值和拟合算法:-多项式插值:如拉格朗日插值、牛顿插值等，用于通过已知数据点拟合出多项式模型。

-最小二乘法拟合:通过最小化实际数据与拟合模型之间的差异来确定模型参数。

-样条插值:通过使用多段低次多项式逼近实际数据，构造连续的插值函数。

5.遗传算法和模拟退火算法:-遗传算法:通过模拟自然选择、遗传变异和交叉等过程，优化问题的解。

-模拟退火算法:模拟固体退火过程，通过随机策略进行，逐步靠近全局最优解。

6.数据挖掘算法:- 聚类算法: 如K-means算法、DBSCAN算法等，用于将数据分为不同的类别。

-分类算法:如朴素贝叶斯算法、决策树算法等，用于通过已知数据的类别预测新数据的类别。

- 关联分析算法: 如Apriori算法、FP-growth算法等，用于发现数据集中的关联规则。

以上只是数学建模中常用的一些算法，实际上还有很多其他算法也可以应用于数学建模中，具体使用哪种算法取决于问题的性质和要求。

数学建模-线性规划

T T
x2
P1
P2 P3 P4 P5
M
O点 Q点 R点 P点
B [P P 1 3 B [P 2 P 3
P ] x (0,1, 3, 0,16) 5 P ] x (4,1, 5, 0, 0) 3
T
T
R
P Q
B [P P 1 2
0
x1
最优解
数学建模之线性规划
单纯形算法举例
m in s .t z = -2 x 1 -3 x 2 -x 1 + x 2 2 x1 +2x 2 10 3x1 +x 2 15 x1, x 2 0
min z min( z ) max z C X
（2）约束条件为不等式：对于不等号“≤（≥）”的约束条件，则可在“≤（≥）”的左端加上（或减去）一个非负变量（称为松弛变量）使其变为等式；（3）对于无约束的决策变量：譬如 x (, ,则令 )
x x x,使得 x, x 0 ,代入模型即可。
n
,称之为决策变量， B j 产量为 x j ( j 1, 2, , n)
所得的利润为 z ,则要解决的问题的目标是使得总利润
函数
z c j x 有最大值。决策变量所受的约束条件为 j
j 1
数学建模之线性规划
aij x j bi (i 1,2, , m) j 1 x 0( j 1,2, , n) j
数学建模
线性规划问题
数信学院任俊峰
2012-7-9
数学建模之线性规划
线性规划方法
最优化问题是求使问题的某一项指标“最优”的方案，这里的“最优”包括“最好”、“最大”、 “最小”、“最高”、“最低”、“最多”等等。

数学建模 - 第二章线性规划及单纯形法

p j a1 j , a2 j ,, amj 为A的第j列向量
T
max s.t.
p
j 1
n
j
xj b
x0
13
§2 线性规划问题的图解法
max s.t.
z cx Ax b x0
(1) (2) (3)
定义1 在LP 问题中，凡满足约束条件(2)、(3)的解 x = (x1,x2,…,xn)T 称为LP 问题的可行解，所有可行解的集合称为可行解集（或可行域）。记作 D={ x | Ax = b ,x≥0 }。定义2 设LP问题的可行域为D，若存在x*∈D，使得对任意的x∈D 都有c x*≥c x，则称x*为LP 问题
设 xj 没有非负约束，若 xj ≤0，可令 xj = - xj’ ，
则 xj’ ≥0；
又若 xj 为自由变量，即 xj 可为任意实数，
可令 xj = xj’ - xj’’，且 xj’ , xj’’ ≥0
11
第二章
线性规划及单纯形法
max z’= x1-2x2+3x4- 3x5 s.t. x1+x2+x4-x5+x6=7 x1-x2+x4-x5-x7=2 3x1-x2-2x4+2x5=5 x1,x2,x4,x5,x6,x7≥0
x2
2x1 x2 2
x1 4x2 4
max z = 2x1 + 2x2 s.t. 2x1 – x2 ≥ 2 -x1 + 4x2≤ 4 x1，x2 ≥ 0
Note:
可行域为无界区域，
目标函数值可无限
增大，即解无界。
(１,0)
O
A
x1
称为无最优解。

数学建模教案----线性规划

价值系数
a21x1+ a22x2+…+ a2nxn (=, )b2
s.t. … … …
第i 种资源的拥有
am1x1+ am2x2+…+ amnxn (=, )bm 量
xj 0(j=1,…,n)
技术系数或工艺系数
8
线性规划数学模型
线性规划的简写式
n
max(min) z c j x j
月份
所需仓库面积
合同租借期限合同期内的租
费
1 15 1个月 2800
2 10 2个月 4500
3 20 3个月 6000
4 12 4个月 7300
线性规划数学模型
例2
月份
1
2
所需仓库面积
15
10
合同租借期限 1个月 2个月
3 20 3个月
4 12 4个月
合同期内的租费 2800
4500
6000
7300
j1
n

st.
j 1
aij
x
j

bi
(i

1,2,, m)

x
j

0(
j
1,2,, n)
线性规划数学模型
线性规划问题应用
市场营销(广告预算和媒介选择，竞争性定价，新产品开发，制定销售计划)
生产计划制定(合理下料，配料，“生产计划、库存、劳力综合”)
库存管理(合理物资库存量，停车场大小，设备容量) 运输问题财政、会计(预算，贷款，成本分析，投资，证券管理) 人事(人员分配，人才评价，工资和奖金的确定) 设备管理(维修计划，设备更新) 城市管理(供水，污水管理，服务系统设计、运用)

数学建模第1章线性规划

数学
建模
例 1.6
min{max
xi
yi
|
ei
|}，其中e i
=
xi -
yi 。
取v
=
max yi
|
e
i
|，这样，上面的问题就变换成
min v，
s.t.
ìïïíïïî
x1 y1
-
y1 ? x1 ?
v,L , xn v,L , yn
yn ? v, n ? v.
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基础部数学教研室
数学建模
2x1 - 5x2 + x3 ? 10， x1 + 3x2 + x3 ? 12， x1, x2 , x3 ³ 0.
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基础部数学教研室
数学建模
解（1）化成 Matlab 标准型
min w = - 2x1 - 3x2 + 5x3，
s.t.
轾犏- 2 犏臌1
5 3
-1 1
轾犏x1 犏犏x2 犏臌x3
a=1 -1 -1 1 1 -1 1 -3 1 -1 -2 3;
enddata
min=@sum(col:c*@abs(x));
@for(row(i):@sum(col(j):a(i,j)*x(j))<b(i));
@for(col:@free(x)); !x的分量可正可负;
end
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@for(row(i):@sum(col(j):a(i,j)*x(j))<b(i));
@sum(col:x)=7;
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end
基础部数学教研室
数学建模
例 1.2 求解下列线性规划问题 max z = 2x1 + 3x2 - 5x3， s.t. x1 + x2 + x3 = 7， 2x1 - 5x2 + x3 ? 10， x1 + 3x2 + x3 ? 12， x1, x2 , x3 ³ 0.