常微分方程第三版答案4.3
常微分方程第三版答案.doc
习题 1．dxdy=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：ydy=2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：y 2dx=-(x+1)dy2y dy dy=-11+x dx两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=|)1(|ln 1+x c3．dx dy =yx xy y 321++解：原方程为：dxdy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31xx +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为：y y -1dy=-xx 1+dx两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dx dy =-yx y x +-令xy=u 则dx dy =u+x dx du 代入有：-112++u u du=x 1dxln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2xy. 6. xdxdy -y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +xx ||-2)(1x y -则令xy=u dx dy =u+ x dx du211u - du=sgnxx1dx arcsinxy=sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xccos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.所以原方程的通解为sinycosx=c.8 dx dy +ye x y 32+=0 解：原方程为：dx dy =ye y 2e x 32 ex3-3e2y -=c.(lnx-lny)dy-ydx=0解：原方程为：dx dy =x y ln x y 令xy=u ,则dx dy =u+ x dx duu+ xdx du=ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+lnxy=cy. 10.dxdy =e yx - 解：原方程为：dxdy =e x e y- e y=ce x11dxdy =(x+y)2解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1 dx du -1=u 2211u +du=dx arctgu=x+c arctg(x+y)=x+c12.dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1dx du -1=21uu-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. 13.dx dy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=cxy-y 2+y-x 2-x=c 14:dx dy =25--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c.15: dxdy=(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dxdy=（x+4y ）2+3令x+4y=u 则dx dy =41dx du -4141dx du -41=u 2+3 dx du=4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1).16:证明方程y x dxdy=f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1） y(1+x 2y 2)dx=xdy2） y x dx dy =2222x -2 y x 2y +证明： 令xy=u,则x dx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u，有：u x dxdu=f(u)+1)1)((1+u f u du=x1dx所以原方程可化为变量分离方程。
常微分方程第三版习题答案
常微分方程第三版习题答案常微分方程是数学中的一个重要分支，它研究的是描述自然界中变化规律的方程。
在学习常微分方程的过程中，习题是非常重要的一部分，通过解习题可以加深对理论知识的理解和应用能力的培养。
本文将为大家提供《常微分方程第三版》习题的部分答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 习题一1.1 解：首先，我们根据题意列出方程：$\frac{dy}{dt} = 2y + t^2$这是一个一阶线性常微分方程，我们可以使用常数变易法来求解。
令$y = u(t)e^{2t}$，则$\frac{dy}{dt} = \frac{du}{dt}e^{2t} + 2ue^{2t}$将上述结果代入原方程，得到：$\frac{du}{dt}e^{2t} + 2ue^{2t} = 2(u(t)e^{2t}) + t^2$化简得到：$\frac{du}{dt}e^{2t} = t^2$两边同时除以$e^{2t}$，得到：$\frac{du}{dt} = t^2e^{-2t}$对上式两边同时积分，得到：$u = -\frac{1}{4}t^2e^{-2t} + C$将$u$代入$y = u(t)e^{2t}$，得到最终的解：$y = (-\frac{1}{4}t^2e^{-2t} + C)e^{2t}$1.2 解：首先，我们根据题意列出方程：$\frac{dy}{dt} = \frac{t}{y}$这是一个一阶可分离变量的常微分方程，我们可以通过分离变量来求解。
将方程变形，得到：$ydy = tdt$对上式两边同时积分，得到：$\frac{1}{2}y^2 = \frac{1}{2}t^2 + C$解得：$y^2 = t^2 + C$由于题目中给出了初始条件$y(0) = 1$，将初始条件代入上式，得到：$1 = 0 + C$解得：$C = 1$将$C$代入$y^2 = t^2 + C$，得到最终的解：$y^2 = t^2 + 1$2. 习题二2.1 解：首先，我们根据题意列出方程：$\frac{dy}{dt} = 2ty + t^2$这是一个一阶线性常微分方程，我们可以使用常数变易法来求解。
常微分方程(第三版) 王高雄等编 高等教育出版社 课后习题答案
1常微分方程习题答案2.11.xy dx dy2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得。
故它的特解为代入得把即两边同时积分得：e e xx y c y x x c y c y xdx dy y22,11,0,ln ,212=====+==,0)1(.22=++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：。
故特解是时，代入式子得。
当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当xy c y x y x c y c y x y dy dx x y++=====++=+=+≠=+-1ln 11,11,001ln 1,11ln 0,11123.yxy dx dy x y 321++=解：原式可化为：x x y xxyxyx yyxyc c c c x dx x dy y yx ydxdy2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2111,0111=++=++≠++-=++=+≠+∙+=+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然.0;0;ln ,ln ,ln ln 0110000)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：10ln 1ln ln 1ln 1,0ln 0)ln (ln :931:8.cos ln sin ln 07ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(21111,11,,,0)()(:53322222222222c dxdy dx dy xycy ud uudx x x y u dx xydy x y ydx dy y x x c dy yy yydxdy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx cx x xycx x u dxx x du xdxdudxdux u dx dy ux y u x y y dx dy xc x arctgu dx x du u u u dx du x u dxdu xu dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y ee ee ee eexy uu xy x uu xyxyyx xx+===+=+-===-∙-=--+-=-=+-===-=+∙=+∙=∙=--=+===-+=+-=++=++-++=++===+-==-++-+--两边积分解：变量分离：。
常微分方程4.3
x 0 , y0 G ,
y x , x0 , y0 是方程（4.3.1）满足初始条件 y( x0 ) y0 的解，它于
区间 a x b 上有定义 (a x0 b) ，那么，对于任给的 0, 必能找到正数
, a , b ，使得当
存在且连续。 x 0 存在 , , x, x0 , y0 的存在范围内任一点偏导数 x x y
0 0
设由初值
x0 , y0 和 x0 x0 , y0 x
0
， 为足够小的正数 所确定
的方程的解分别为
y x , x0 , y0 和y x , x0 x0 , y0
y 内连续， 允许 a , b ，
则方程（4.3.1）的以 x0 , y0 为初值的饱和解 y y x 的存在区间 , 必属于 下列情形之一：
1 2
=a b ; a b , x 0 x 0
=
x, x0 , y0 x0 , y0 x x0 , y0 , x0 , y0 G
和
x , x 0 , y0 y0
并且
x , x 0 , y0 x 0
分别满足初值问题
f x , x , x 0 , y0 z z, y z x 0 f x 0 , y0
dy f x, y , dx
（4.2.1）
y x0 y0 （4.2.2） 其中 f x, y 在矩形域 D:
常微分方程第三版课后习题答案
习题1.21．dxdy=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：ydy=2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：y 2dx=-(x+1)dy2y dy dy=-11+x dx两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=|)1(|ln 1+x c3．dx dy =yx xy y 321++解：原方程为：dxdy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为：y y -1dy=-xx 1+dx两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dx dy =-yx y x +-令xy=u 则dx dy =u+x dx du 代入有：-112++u u du=x 1dxln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2xy. 6. xdxdy-y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +xx ||-2)(1x y -则令xy=u dx dy =u+ x dx du211u - du=sgnxx1dx arcsinxy=sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xccos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.所以原方程的通解为sinycosx=c.8 dx dy +ye x y 32+=0 解：原方程为：dx dy =ye y 2e x 32 ex3-3e2y -=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：dx dy =x y ln xy令x y=u ,则dx dy =u+ x dx duu+ xdxdu=ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+lnxy=cy. 10.dxdy =e yx - 解：原方程为：dxdy =e x e y- e y=ce x11dxdy =(x+y)2解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1 dx du -1=u 2211u +du=dx arctgu=x+c arctg(x+y)=x+c12.dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1dx du -1=21uu-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. 13.dx dy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=cxy-y 2+y-x 2-x=c14:dx dy =25--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c.15: dxdy=(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dxdy=（x+4y ）2+3令x+4y=u 则dx dy =41dx du -4141dx du -41=u 2+3 dx du=4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1).16:证明方程y x dxdy=f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1） y(1+x 2y 2)dx=xdy2） y x dx dy =2222x -2 y x 2y+ 证明： 令xy=u,则x dx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u，有：u x dxdu=f(u)+1)1)((1+u f u du=x1dx所以原方程可化为变量分离方程。
常微分方程第三版课后习题答案
习题1.21．dxdy=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：ydy=2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：y 2dx=-(x+1)dy2y dy dy=-11+x dx两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=|)1(|ln 1+x c3．dx dy =yx xy y 321++解：原方程为：dxdy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为：y y -1dy=-xx 1+dx两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dx dy =-yx y x +-令xy=u 则dx dy =u+x dx du 代入有：-112++u u du=x 1dxln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2xy. 6. xdxdy-y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +xx ||-2)(1x y -则令xy=u dx dy =u+ x dx du211u - du=sgnxx1dx arcsinxy=sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xccos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.所以原方程的通解为sinycosx=c.8 dx dy +ye x y 32+=0 解：原方程为：dx dy =ye y 2e x 32 ex3-3e2y -=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：dx dy =x y ln xy令x y=u ,则dx dy =u+ x dx duu+ xdxdu=ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+lnxy=cy. 10.dxdy =e yx - 解：原方程为：dxdy =e x e y- e y=ce x11dxdy =(x+y)2解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1 dx du -1=u 2211u +du=dx arctgu=x+c arctg(x+y)=x+c12.dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1dx du -1=21uu-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. 13.dx dy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=cxy-y 2+y-x 2-x=c14:dx dy =25--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c.15: dxdy=(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dxdy=（x+4y ）2+3令x+4y=u 则dx dy =41dx du -4141dx du -41=u 2+3 dx du=4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1).16:证明方程y x dxdy=f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1） y(1+x 2y 2)dx=xdy2） y x dx dy =2222x -2 y x 2y+ 证明： 令xy=u,则x dx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u，有：u x dxdu=f(u)+1)1)((1+u f u du=x1dx所以原方程可化为变量分离方程。
常微分方程第三版课后习题答案
习题1.21．dxdy=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：ydy=2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：y 2dx=-(x+1)dy2y dy dy=-11+x dx两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=|)1(|ln 1+x c3．dx dy =yx xy y 321++解：原方程为：dxdy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为：y y -1dy=-xx 1+dx两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dx dy =-yx y x +-令xy=u 则dx dy =u+x dx du 代入有：-112++u u du=x 1dxln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2xy. 6. xdxdy-y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +xx ||-2)(1x y -则令xy=u dx dy =u+ x dx du211u - du=sgnxx1dx arcsinxy=sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xccos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.所以原方程的通解为sinycosx=c.8 dx dy +ye x y 32+=0 解：原方程为：dx dy =ye y 2e x 32 ex3-3e2y -=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：dx dy =x y ln xy令x y=u ,则dx dy =u+ x dx duu+ xdxdu=ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+lnxy=cy. 10.dxdy =e yx - 解：原方程为：dxdy =e x e y- e y=ce x11dxdy =(x+y)2解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1 dx du -1=u 2211u +du=dx arctgu=x+c arctg(x+y)=x+c12.dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1dx du -1=21uu-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. 13.dx dy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=cxy-y 2+y-x 2-x=c14:dx dy =25--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c.15: dxdy=(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dxdy=（x+4y ）2+3令x+4y=u 则dx dy =41dx du -4141dx du -41=u 2+3 dx du=4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1).16:证明方程y x dxdy=f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1） y(1+x 2y 2)dx=xdy2） y x dx dy =2222x -2 y x 2y+ 证明： 令xy=u,则x dx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u，有：u x dxdu=f(u)+1)1)((1+u f u du=x1dx所以原方程可化为变量分离方程。
常微分方程第三版课后答案
常微分方程1.xy dxdy2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得。
故它的特解为代入得把即两边同时积分得：e e xx y c y x x c y c y xdx dy y22,11,0,ln ,212=====+==,0)1(.22=++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：。
故特解是时，代入式子得。
当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当xy c y x y x c y c y x y dy dx x y++=====++=+=+≠=+-1ln 11,11,001ln 1,11ln 0,11123yxy dx dy x y 321++=解：原式可化为：x x y x x yx yx yyxyc c c c x dx x dy y yx ydxdy 2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2111,0111=++=++≠++-=++=+≠+•+=+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然.0;0;ln ,ln ,ln ln 0110000)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：10ln 1ln ln 1ln 1,0ln 0)ln (ln :931:8.cos ln sin ln 07ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(21111,11,,,0)()(:53322222222222c dx dy dx dy xycy ud uu dx x x y u dx xydy x y ydx dy y x x c dy yy yydx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx cx x xycx x u dxx x du xdxdu dxdux u dx dy ux y u x y y dx dy xc x arctgu dxx du u u u dx du x u dxdu xu dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e ee x y uu xy x u u x yxyy x xx+===+=+-===-•-=--+-=-=+-===-=+•=+•=•=--=+===-+=+-=++=++-++=++===+-==-++-+--两边积分解：变量分离：。
常微分方程(第三版)课后答案解析
常微分方程 2.11.xy dxdy2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得。
故它的特解为代入得把即两边同时积分得：e e xx y c y x x c y c y xdx dy y22,11,0,ln ,212=====+==,0)1(.22=++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：。
故特解是时，代入式子得。
当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当xy c y x y x c y c y x y dy dx x y++=====++=+=+≠=+-1ln 11,11,001ln 1,11ln 0,11123yxy dx dy x y 321++=解：原式可化为：x x y x x yx yx yyxyc c c c x dx x dy y yx ydxdy 2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2111,0111=++=++≠++-=++=+≠+∙+=+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然.0;0;ln ,ln ,ln ln 0110000)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：10ln 1ln ln 1ln 1,0ln 0)ln (ln :931:8.cos ln sin ln 07ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(21111,11,,,0)()(:53322222222222c dx dy dx dy xycy ud uu dx x x y u dx xydy x y ydx dy y x x c dy yy yydx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx cx x xycx x u dxx x du xdxdu dxdux u dx dy ux y u x y y dx dy xc x arctgu dxx du u u u dx du x u dxdu xu dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e ee x y uu xy x u u x yxyy x xx+===+=+-===-∙-=--+-=-=+-===-=+∙=+∙=∙=--=+===-+=+-=++=++-++=++===+-==-++-+--两边积分解：变量分离：。
常微分方程王高雄第三版答案文库
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常微分方程(第三版)课后答案
常微分方程 2.11.xy dxdy2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得。
故它的特解为代入得把即两边同时积分得：e e xx y c y x x c y c y xdx dy y22,11,0,ln ,212=====+==,0)1(.22=++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：。
故特解是时，代入式子得。
当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当xy c y x y x c y c y x y dy dx x y++=====++=+=+≠=+-1ln 11,11,001ln 1,11ln 0,11123 yxy dx dyx y 321++=解：原式可化为：x x y x x yx yx yyxyc c c c x dx x dy y yx ydxdy 2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2111,0111=++=++≠++-=++=+≠+∙+=+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然.0;0;ln ,ln ,ln ln 0110000)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：10ln 1ln ln 1ln 1,0ln 0)ln (ln :931:8.cos ln sin ln 07ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(21111,11,,,0)()(:53322222222222c dx dy dx dy xycy ud uu dx x x y u dx xydy x y ydx dy y x x c dy yy yydx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx cx x xycx x u dxx x du xdxdu dxdux u dx dy ux y u x y y dx dy xc x arctgu dxx du u u u dx du x u dxdu xu dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e ee x y uu xy x u u x yxyy x xx+===+=+-===-∙-=--+-=-=+-===-=+∙=+∙=∙=--=+===-+=+-=++=++-++=++===+-==-++-+--两边积分解：变量分离：。
常微分方程课后答案(第三版)
习题1.21．dxdy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：ydy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1特解为y= e2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e特解：y=|)1(|ln 1+x c 3．dx dy =yx xy y 321++ 解：原方程为：dxdy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0解：原方程为： y y -1dy=-xx 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dx dy =-yx y x +- 令xy =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg2x y . 6. x dxdy -y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令xy =u dx dy =u+ x dx du 211u - du=sgnx x 1dx arcsin xy =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xc cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +ye xy 32+=0 解：原方程为：dx dy =ye y 2e x 3 2 e x 3-3e 2y -=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0解：原方程为：dx dy =x y ln xy令xy =u ,则dx dy =u+ x dx du u+ xdx du =ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+lnx y =cy. 10. dxdy =e y x - 解：原方程为：dx dy =e x e y - e y =ce x 11 dxdy =(x+y)2 解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dxdu -1=u 2 211u +du=dx arctgu=x+carctg(x+y)=x+c 12. dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dx du -1=21uu-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c. 13. dx dy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=cxy-y 2+y-x 2-x=c 14: dx dy =25--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c. 15:dxdy =(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dxdy =（x+4y ）2+3 令x+4y=u 则dx dy =41dx du -41 41dx du -41=u 2+3 dxdu =4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1). 16:证明方程y x dxdy =f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1） y(1+x 2y 2)dx=xdy2） y x dx dy =2222x -2 y x 2y+ 证明： 令xy=u,则xdx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u ，有： u x dx du =f(u)+1 )1)((1+u f u du=x1dx 所以原方程可化为变量分离方程。
常微分方程第三版课后答案解析
常微分方程 2.11.xy dxdy2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得。
故它的特解为代入得把即两边同时积分得：e e xx y c y x x c y c y xdx dy y22,11,0,ln ,212=====+==,0)1(.22=++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：。
故特解是时，代入式子得。
当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当xy c y x y x c y c y x y dy dx x y++=====++=+=+≠=+-1ln 11,11,001ln 1,11ln 0,11123 yxy dx dyx y 321++=解：原式可化为：x x y xx y x yx y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2111,0111=++=++≠++-=++=+≠+•+=+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然.0;0;ln ,ln ,ln ln 0110000)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：10ln 1ln ln 1ln 1,0ln 0)ln (ln :931:8.cos ln sin ln 07ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(21111,11,,,0)()(:53322222222222c dx dy dx dy xycy ud uu dx x x y u dx xydy x y ydx dy y x x c dy yy yydx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx cx x xycx x u dxx x du xdxdu dxdux u dx dy ux y u x y y dx dy xc x arctgu dxx du u u u dx du x u dxdu xu dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e ee x y uu xy x u u x yxyy x xx+===+=+-===-•-=--+-=-=+-===-=+•=+•=•=--=+===-+=+-=++=++-++=++===+-==-++-+--两边积分解：变量分离：。
常微分方程(王高雄)第三版 4.3ppt课件
.
1
一、可降阶的一些方程类型
n阶微分方程的一般形式: F(t,x,x',,x(n))0
1 不显含未知函数x,
或更一般不显含未知函数及其直到k-1(k>1)阶导数的方程是
F (t,x (k ),x (k 1 ), ,x (n )) 0 (4 .5)7
若令 x(k) y,则可把方 y的 程 nk化 阶为 方程
y,
则方程化为
dy1 y 0
dt t
这是一阶方程,其通解为 yct,
即有
d 4x dt 4 ct ,
对上式积分4次, 得原方程的通解为
x c 1 t5 c 2 t3 c 3 t2 c 4 t c 5 ,
.
4
2 不显含自变量t的方程,
一般形式:
F (x,x', ,x(n))0 , (4 .5)9
此时 y以 x'作为新的,而 未x把 知 作函 为数 新的 ,
代入(4.69)得
x'' x1y'' 2x1 'y' x1 ''y
x 1 y '' [ 2 x 1 ' p ( t ) x 1 ] y ' [ x 1 '' p ( t ) x 1 ' q ( t ) x 1 ] y 0
即
x1y''[2x1 ' p(t)x1]y' 0
.
9
引入新的未知函数 z y ' , x1 y'' [2x1' p(t)x1]y' 0
显 然 xi 0 ,i1 ,2 ,L,k,令xxky,则 x' xky' xk' y
常微分方程课后答案第三版王高雄
求下列方程的解。
dy_ 1. —=ysinxdx解：y=e 心(Jsinx e1心dx +c )=e x [--e(sinxcosx )+c]2=ce x-1 2Odx 2t 2. —+3x=edxc 2t ——=-3x+e 2t dt _3t /15t 、 =e(-e+c)1=ce ^t +1e 2t 是原方程的解。
5ds1. —s cost+—sin2t dt2-costdt 13dt s=e(sin2t edtc) 2=e -sint (sintcoste s1ntdtc ) .sintsintsint=e(sinte-ec)=ce 7nt 十sint-1是原方程的解。
4.dy-xy=e xx n ,n 为常数. dxn解：原方程可化为：曳=xye x x ndxnndx-ndxy=e x (e x x n e x dxc) =x n(e x +c)是原方程的解.习题2.2(sinx+cosx )是原方程的解。
解：原方程可化为:2t (.eJ3dt e -dt c )3. 解:dy1-2x 5.+2y-1=0dxx解：原方程可化为:dy1-2x ———=-dxy=e2x2x」-x2dx6. dydx43xx2-xy解: dydx43xx2-xy因此：udux=dxdudxx-2u1-2u2.udu =dx(Inx2二e,2Jinx(edxc)1x dxc)1=x2(1+ce')是原方程的解.dydu=ux——dxdxu3-3x=xc将y=u带入(*)中x得：y3—3x4=cx3是原方程的解.嚏-黑=")3解:dy=-2y(x1)3dxx1P(x)=3，Q(x)=(x1)3x1e P(x)dx=e、x=(x-1)2方程的通解为：y=e P(x)dx_P(x)dx (e Q(x)dxc)=(x+1)(2—1--*(x+1)c3x+c)(x1)2=(x+1)(2(x+1)dx+c)2=(x+1)2(^—2—c)即：2y=c(x+1)2+(x+1)4为方程的通解。
常微分方程第三版答案王高雄等-87页精选文档
习题2.11.xy dxdy2=,并求满足初始条件：x =0,y =1的特解. 解：对原式进行变量分离得21211,0)(,ln 2112xc x e y c y x e c ce y c x y xdx dy y======+==为故满足初始条件的特解代入得把这里即两边同时积分得：2．,0)1(2=++dy x dx y并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得： xy c y x y x c y c x y dx x dy y ++=====++=++=+=-1ln 1111,001ln 1,1ln 1:1112故特解是时，代入上式得当。
时显然也是原方程的解当即两边同时积分得3．yx xy y dx dy 321++= 解：原式可化为：)1(1)1)(1(1ln 21ln 1ln 2111,011122222222232232≠=++=++++-=++=+≠+++=c cx x y x e x y c x x y dx xx dy y y y y x x y y dx dy c ）故原方程的通解为（即两边积分得故分离变量得显然 .0;0;ln ,ln ,ln ln 0110000)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：。
两边积分得：变量分离，得：则令解：c x arctgu dxx du u u u dx du x u dxdu xu dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y u u +-=++=++-++=++===+-==-++ln )1ln(21111,11,,,0)()(:52210ln 1ln ln 1ln 1,0ln 0)ln (ln :931:8.cos ln sin ln 07ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1sgn 11,)1(,,,633222222222c dx dy dx dy xycy ud uu dx x x y u dx xydy x y ydx dy y x x c dy yy yydx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx cx x xycx x u dxx x du xdxdu dxdux u dx dy ux y u x y y dx dy x e e e e e eee xy uu xy x x yxyy x xx+===+=+-===-∙-=--+-=-=+-===-=+∙=+∙=∙=--=+===-+=-+--两边积分解：变量分离：。
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常微分方程第三版答案4.3【篇一：常微分方程4】>[教学目标]1. 理解高阶线性微分方程的一般理论，n阶齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，熟练掌握n阶常系数齐次线性微分方程的待定指数函数解法。
2. 掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法，理解n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和laplce变换法。
3. 熟练欧拉方程与高阶方程的降阶法和幂级数解法。
4. 掌握高阶方程的应用。
[教学重难点] 重点是线性微分方程解的性质与结构，高阶方程的各种解法。
难点是待定系数法求特解。
[教学方法] 讲授，实践。
[教学时间] 16学时[教学内容] 线性微分方程的一般理论，齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，非齐次线性微分方程的常数变量易法；常系数线性方程与欧拉方程的解法，非齐线性方程的比较系数法与拉氏变换法；高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。
[考核目标]1.理解高阶线性微分方程的一般理论，能够求解高阶常系数线性微分方程。
2.掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法。
3.n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和laplce变换法。
4.熟练高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。
4.1线性微分方程的一般理论4.1.1引言讨论n阶线性微分方程dxdtnn?a1(t)dn?1xdtn?1???an?1(t)dxdt?an(t)x?f(t)（4.1）其中ai(t)(i?1,2,?,n)及f(t)都是区间a?t?b上的连续函数如果f(t)?0，则方程（4.1）变为：dxdtnn?a1(t)dn?1xdtn?1???an?1(t)dxdt?an(t)x?0（4.2）称它为n阶齐线性微分方程，而称一般的方程（4.1）为n阶非齐线性微分方程，并且通常把方程（4.2）叫对应于方程（4.1）的齐线性方程。
,,n及)f(t)都是区间a?t?b上的连续函数，则对于任一t0??a,b? 定理1 如果ai(t)(i?1,2?x0,x0,?,x0(1)(n?1)，方程（4.1）存在唯一解x??(t)，定义于区间a?t?b上，且满足初始条件：d?(t0)dtdn?1?(t0)?x0,?x(1),?,?(t0)n?1dt?x0n?(（4.3）1)从这个定理可以看出，初始条件唯一地确定了方程（4.1）的解，而且这个解在所有ai(t)(i?1,2,?,n)及f(t)连续的整个区间a?t?b上有定义。
4.1.2 齐线性方程的解的性质与结构讨论齐线性方程dxdtnn?a1(t)dn?1xdtn?1???an?1(t)dxdt?an(t)x?0（4.2）定理2（叠加原理）如果x1(t),x2(t),?,xk(t)是方程（4.2）的k个解，则它们的线性组合c1x1(t)?c2x2(t)???ckxk(t)也是（4.2）的解，这里c1,c2,?,ck是任意常数。
特别地，当k?n时，即方程（4.2）有解x?c1x1(t)?c2x2(t)???cnxn(t) （4.4）它含有n个任意常数。
在什么条件下，表达式（4.4）能够成为n阶齐线性方程（4.2）的通解？为了讨论的需要，引进函数线性相关与线性无关及伏朗斯基(wronsky)行列式等概念。
设x1(t),x2(t),?,xk(t)是定义在区间a?t?b上的函数，如果存在不全为零的常数c1,c2,?,ck，使得恒等式c1x1(t)?cx22t(?)??ckxkt(?) 0对于所有t??a,b?都成立，称这些函数是线性相关的，否则称这些函数在所给区间上线性无关,即当且仅当c1?c2???ck?0时,上述恒等式才成立, 称这些函数在所给区间上线性无关。
由此定义不难推出如下的两个结论：1)在函数组y1,y2,?yn中如果有一个函数为零，则y1,y2,?yn在(a,b)上线性相关. 2)如果两个函数y1,y2之比(a,b)上不恒等于常数.y1y2在(a,b)有定义，则它们在(a,b)上线性无关等价于比式y1y2在例1函数组y1?e,y?e解比式y1y2x?x在任意区间上都是线性无关的.=eex?x?e2x不恒等于常数在任意区间上成立：例2函数组y1?sin2x,y2?cos2x,y3?1在区间(??,??)上线性相关.2解若取c1?1,c2?1,c3??1则1?sin性相关.x?1?cos2x?(?1)1?0故已知函数组在(??,??)上线设函数x1(t),x2(t),?,xk(t)在区间a?t?b上均有k?1阶导数,行列式 x1(t)x2(t)x2(t)?(t)x2(k?1)???xk(t)xk(t)?xk(k?1)w?x1(t),x2(t),?,xk(t)??w(t)?x1(t)?x1(k?1)(t)?(t)称为这些函数的伏朗斯基行列式。
定理3 若函数x1(t),x2(t),?,xn(t)在区间a?t?b上线性相关，则在?a,b?上它们的伏朗斯基行列式w(t)?0。
证明：由假设，即知存在一组不全为零的常数c1,c2,?,cn，使得c1x1(t)?cx2依次对t微分此恒等式，得到?c1x1(t)?cxt(?)??cxt(?)022nn?t(?)??cnxnt(?)0?c1x1(t)?cx22?（4.7）???????????(1)n?(1)?cx(n?1()t)?cxn?t(?)??cxt(?)01122nn?2t(?)??cnxnt(?)a,?t?b（4.6） 0把（4.6）和（4.7）看成关于c1,c2,?,cn的齐次线性代数方程组，它的系数行列式就是w?x1(t),x2(t),?,xn(t)?，由线性代数的理论知道，要此方程组存在非零解，则它的系数行列式必须为零，即w(t)?0 (a?t?b)。
反之，其逆定理一般不成立。
例如函数0?t2 ??0 ? ?t1? ?1t?0x1(t)??和x1(t)??2?00?t?1 ?t0?t?1在区间?1?t?1上，w[x1(t),x2(t)]?0，但在此区间上却是线性无关的。
因为，假设存在恒等式c1x1(t)?cx()t?220 ??t?1 1（4.8）则当?1?t?0时，可知c1?0；当0?t?1时，可知c2?0.即当且仅当c1?c2?0时，(4.8)式对一切?1?t?1成立.故x1(t),x2(t)是线性无关的.推论1 如果函数组x1(t),x2(t),?,xn(t)的朗斯基行列式w(t)在区间[a,b]上某一点x0处不等于零，即w(x0)?0，则该函数组在[a,b]上线性无关.但是，如果x1(t),x2(t),?,xn(t)是齐线性方程（4.2）的解，那么就有下面的定理：定理4 如果方程（4.2）的解x1(t),x2(t),?,xn(t)在区间a?t?b上线性无关，则w?x1(t),x2(t),?,xn(t)?在这个区间的任何点上都不等于零，即w(t)?0(a?t?b)。
证明：采用反证法。
设有某个t0，a?t0?b，使得w(t0)?0。
考虑关于c1,c2,?,cn的齐次线性代数方程组?)??cnxnt(?0)?c1x1(t0)?cx2t(20?c1x1(t0)?cx2t(?)??cnxnt(?0)?20????????????(1)n??cx(n?1()t)?cxn?t(?)??cnxn0220?1100（4.9）1)(t(?0)其系数行列式w(t0)?0，故（4.9）有非零解c1,c2,?,cn。
现以这组常数构造函数x(t)?c1x1(t)?c2x2(t)???cnxn(t) a?t?b根据叠加原理，x(t)是方程（4.2）的解。
注意到（4.9），知道这个解x(t)满足初始条件x(t0)?x(t0)???x(n?1)(t0)?0（4.10）但是x?0显然也是方程（4.2）的满足初始条件（4.10）的解。
由解的唯一性，即知x(t)?0(a?t?b)，即c1x1(t)?c2x2(t)???cnxn(t)?0 a?t?b因为c1,c2,?,cn不全为0，这就与x1(t),x2(t),?,xn(t)线性无关的假设矛盾，定理得证。
推论2 设x1(t),x2(t),?,xn(t)是方程（4.2）定义在[a,b]上的n个解，如果存在x0?[a,b]，使得它的朗斯基行列式w(x0)?0, 则该解组在[a,b]上线性相关.推论3 方程（4.2）的n个解x1(t),x2(t),?,xn(t)在其定义区间[a,b]上线性无关的充要条件是，存在x0?[a,b]，使得它的朗斯基行列式w(x0)?0. 定理5 n阶齐线性方程（4.2）一定存在n个线性无关的解。
定理6（通解结构定理）如果x1(t),x2(t),?,xn(t)是方程（4.2）的n个线性无关的解，则方程（4.2）的通解可表为x?c1x1(t)?cx22t(?)??cnxnt( ) （4.11）其中，c1,c2,?,cn是任意常数，且通解（4.11）包括了方程（4.2）的所有解。
证明：由叠加原理知道（4.11）是（4.2）的解，它包含有n个任意常数。
这些常数是彼此独立的。
事实上，?x?c1?x?x?c2?x??c2??x(n?1)??x?cn?x??cn??x(n?1)?c1??x(n?1)????w?x1(t),x2(t),?xn(t)??0 (a?t?b)?c1?c2?cn因此，（4.11）为方程（4.2）的通解；现在，我们证明它包括不方程的所有解。
由定理1，方程的解唯一地决定于初始条件，因此，只需证明：任给一初始条件x(t0)?x0,x?(t0)?x0,?,x(1)(n?1)(t0)?x0(n?1)（4.12）能够确定（4.11）中的常数c1,c2,?,cn的值，使（4.11）满足（4.12）。
现令（4.11）满足条件（4.12），得到如下关于c1,c2,?,cn 的线性代数方程组：?)??cnxnt(?0)x?c1x1(t0)?cx2t(200??t(?0)x(1)0c1x?1(t0)?cx2?t(?)??cnxn?20????????????(1)n?(1)?cx(n?1()t)?cxn?t(?)??cnxnt(?0)x0220?11（4.13）n?0(1)它的系数行列式就是w(t0)，由定理4知w(t0)?0。
根据线性代数方程组的理论，方程（4.13）有?1,c?2,?,c?n唯一解c。
因?1,c?2,?,c?n，则它就满足条件（4.12）4.11）中常数取为c，理得证。
推论方程（4.2）的线性无关解的最大个数等于n。
因此可得结论：n阶齐线性方程的所有解构成一个n维线性空间。
方程（4.2）的一组n个线性无关解称为方程的一个基本解组。
4.1.3 非齐线性方程与常数变易法性质1 如果(t)是方程（4.1）的解，而x(t)是方程（4.2）的解，则(t)?x(t)也是方程（4.1）的解。