常微分方程(王高雄)第三版 4.2

而对应方程(4.19)变为 n n 1 k d x d x d x a1 n 1 an k k 0 n dt dt dt
显然它有k个解 1, t , t 2 ,, t k 1 , 且它们是线性无关的 ; 从而可得 : 特征方程( 4.21)的k重零根对应着
方程( 4.19)的k个线性无关的解 1, t , t 2 , , t k 1 ;
由归纳法原理可知
dky 1 dk y d k 1 y dy [ ], 1 k 1 k k k 1 k x dt dt dt dx
常微分方程
Ordinary Differential Equations
第四章
§4.2 常系数线性方程的解法
一、复值函数与复值解
1 复值函数 如果 (t )与 (t )是区间a t b上定义的实函数 ,
我们称z (t ) (t ) i (t )为区间a t b上的复值函数. 若 (t )与 (t )在区间a t b上连续, 则称z (t )在
v(t )都是实值函数, 则这个解的实部U (t )和虚部V (t )分 别是方程 d nx d n 1 x a1 (t ) n 1 an (t ) x u (t ) n dt dt
和
d nx d n 1 x a1 (t ) n 1 an (t ) x v(t ) n dt dt
由于
1t
2t
nt
(4.22)
e 1t e 2 t
1

2
e n t
t e W [e , e ,, e ] 1
1t 2t nt
2 e t

n e t
n
n 1 1t 1 e
1 2t n 1 n t n e 2 n e
1
1

nห้องสมุดไป่ตู้n1
L[e ] ( a1
t
t
的根,方程(4.21)称为方程(4.19)的特征方程,它的根为 方程(4.19)的特征根.
(1) 特征根是单根的情形 设1 , 2 ,, n是特征方程 (4.21)的n个彼此不相
等的特征根 , 则相应方程 (4.19)有如下n个解
e , e ,, e
(4.26)
下面我们证明(4.25)和(4.26)构成方程(4.19)的基
本解组,为此只须证明这些函数线性无关即可,
对特征方程有复根的情况: 如有k重复根 i ,
则 i也是k重复根, 如同单根时那样,也可以 把方程(4.19)的2k个复值解 , 换成2k个实值解 .
(b ) 设 1 0 作变换 x ye 1t 并把它代入方程 ( 4 .19 ), 经整理得
n n 1 d y d y 1t L[ ye ] ( n b1 n1 bn y)e1t L1[ y]e1t dt dt 于是方程(4.19)化为
dny d n1 y L1[ y] n b1 n1 bn y 0, (4.23) dt dt
例4 求方程
d x d x 2 2 x 0的通解. 4 dt dt
4
2
2 欧拉(Euler)方程
形如 n n 1 d y d y dy n n 1 x a1 x an1 x an y 0, (4.29) n n 1 dx dx dx 的方程,称为欧拉方程. 这里a1 , a2 ,, an为常数,
( 4.19)的通解为
x (t ) c1e c 2 e
1t
2t
cn e
nt
其中c1 , c2 ,cn是任常数 .
因方程的系数为实常数,复根将成对共轭出现, 设1 i是特征根 , 则2 i也是特征根 , 相应方程(4.19)有两个复值解,
若 i (i 1, 2, , n )中有复数 ,
e cos t , te cos t , , t e cos t ;
t
t
k 1 t
e sin t , te sin t , , t e sin t .
t
t
k 1 t
(3) 求方程(4.19)通解的步骤 第一步: 求(4.19)特征方程的特征根 1, 2 ,, k , 第二步: 计算方程(4.19)相应的解
1 i t i t cos t 2 (e e ) 欧拉公式: 1 i t sin t (e e it ) 2i
性质: (1) ekt ekt ,
(2) e(k1 k2 )t ek1t ek2t ,
d kt n kt e k e , n dt
t t
m 1 t
e sin t ;
第三步: 根据第二步中的(a),(b),(c),(d )情形,
写出方程(4.19)的基本解组及通解.
3 2 d x d x 例1 求方程 3 2 4 x 0的通解. 3 dt dt
d x 例2 求方程 4 x 0的通解. dt
4
4 3 2 d x d x d x dx 例3 求方程 3 3 3 2 0的通解. 4 dt dt dt dt
的解.
二、常系数齐线性方程和欧拉方程
1 常系数齐线性方程的求解方法(Euler待定系数法) 考虑方程
d nx d n 1 x L[ x] n a1 n 1 an x 0 dt dt (4.19)
其中a1 , a2 ,, an为常数, 称(4.19)为n阶常系数齐线性方程.
(a) 对每一个实单根 k , 方程有解ek t ; (b) 对每一个m 1重实根k , 方程有m个解;
(c) 对每一个重数是一的共 轭复数 i, 方程有 两个如下形式的解
t
e k t , te k t , t 2 e k t , , t m 1e k t ;
显然,一阶常系数齐线性方程
dx ax 0 dt
有解
x ce ,
at
对(4.19)尝试求指数函数形式的解
x et ,
(4.20)
这里是待定常数, 可以是实数也可以是复数。 把它代入方程(4.19)得
an1 an )e 0 因此, et为(4.19)的解的充要条件是: 是代数方程 n n1 F () a1 an1 an 0, (4.21)
这样就把问题转化为前面讨论过的情形(a). 从前面的讨论得 : 方程( 4.24)的k1重零根对应着
方程( 4.23)的k1个线性无关的解 1, t , t 2 , , t k1 1 ;
( 1 ) t
( 1 ) t
因而对应着方程 ( 4 .19 )的 k1个解
e , te , t e , , t
解, 则z (t )的实部 (t )和虚部 (t )及z (t )的共轭复数 z (t ) 也都是方程(4.2)的解.
(3)定理9
若方程
d nx d n1 x a1 (t ) n1 an (t ) x u (t ) iv(t ) n dt dt 有复值解x U (t ) iV (t ), 这里ai (t )(i 1, 2,, n)及u (t ),
a t b上连续. 若 (t )与 (t )在a t b上可微, 则称z (t )在
a t b上可微, 且z (t )的导数为 z ' (t ) ' (t ) i ' (t ) 复函数的求导法则与实函数求导法则相同
2 复指数函数 定义 z(t ) ekt e( i )t et (cost i sin t )
e( i )t et (cost i sin t ),
e( i )t et (cost i sin t );
由定理8知,它的实部和虚部也是方程的解, 对方程 1 i , 得(4.19)的两个实值 的一对共轭复根: 解为
e cos t , et sin t ;
(2) 特征根是重根的情形
t
设特征方程 (4.21)有k重根 1 , 则有
F (1 ) F ' (1 ) F ( k 1) (1 ) 0, F ( k ) (1 ) 0;
下面分1 0和1 0两种情形加以讨论
( a ) 设 1 0 则特征方程有因子 k , 因此 an an1 ank 1 0, ank 0; 从而特征方程有如下形 式 n a1n1 ank k 0,
称为方程(4.1)的复值解, 如果
d n z (t ) d n 1 z (t ) a1 (t ) an (t ) z (t ) f (t ) n n 1 dt dt
对于a t b恒成立.
(2)定理8 如果方程(4.2)的所有系数ai (t )(i 1,2, , n) 都是实值函数, 而x z (t ) (t ) i (t )是方程的复值
t
e cos t , e sin t ;
(d ) 对每一个重数是 m 1的共轭复数 i, 方程有 2m个如下形式的解
et cos t , tet cos t , , t m 1et cos t ; e sin t , te sin t , , t
其中b1 , b2 ,, bn仍为常数, 方程(4.23)相应特征方程为
G( ) b1
n n1
bn1 bn 0, (4.24)
直接计算易得
F ( 1 )e L[e ] L1[et ]e1t G( )e( 1 )t , 因此 F ( 1 ) G( ), 可见, (4.21)的k重根1对应着(4.24)的k重零根,
t x e (t ln x) (1) 引进变换
dy dy dt dx dt dx
e
t
dy 1 dy , dt x dt
dy d 2 d dy d y dt d t dy dx t (e ) e 2 dx dx dt dt dx dt dx
e
2 t
d 2 y dy 1 d 2 y dy ( 2 ) 2 ( 2 ), dt dt x dt dt
1
e
( 1 2 n ) t
1

2

n

n 1 1 n 1 1 n 2 n
e
( 1 2 n ) t
1 j i n
( ) 0
i j
故解组(4.22)线性无关.
若 i (i 1, 2, , n )均为实数 , 则( 4.22)是方程 (4.19)的基本解组, 从而
1t
1t
2 1t
k1 1 1t
e ; ( 4 .25)
类似地, 假设方程(4.21)的其它根2 , , m的重数 依次为k 2 , , k m , 而且k1 k 2 k m n, i j (i j ), 则方程(4.19)的相应解为
e 2 t , te 2 t , t 2 e 2 t , , t k 2 1e 2 t ; m t e , te m t , t 2 e m t , , t k m 1e m t ;
n
(3)
d kt kt e ke , (4) dt
3 复值解 d nx d n 1 x a1 (t ) n 1 an (t ) x f (t ) (4.1) n dt dt n n 1 d x d x a1 (t ) n1 an (t ) x 0 (4.2) n dt dt z (t ), (1)定义 定义于区间a t b上的实变量复值函数