2014年首都师范大学数学基础考研真题考研试题硕士研究生入学考试试题
2014考研数学一真题及答案
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）B（2）D（3）D（4）B（5）B（6）A（7）（B ）（8）（D ）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）012=---z y x（10）11=-)(f（11）12+=x xy ln （12）π（13）[-2,2]（14）25n三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）【答案】2121111111110202211212112=-=--=--=--=--=+--++→→+∞→+∞→+∞→+∞→⎰⎰⎰u e lim u u e lim x )e (x lim ,xu x )e (x lim xtdt dt t )e (lim )x ln(x dt ]t )e (t [lim u u u u x x x xx x x x x 则令（16）【答案】20202232222=+=+='++'⋅++')x y (y xy y y x xy y y x y y yx y )(y 20-==或舍。
x y 2-=时， 21106606248062480633333223223-==⇒==+-=+-+-=+-⋅+⋅+-=+++y ,x x x x x x )x (x )x (x x y x xy y04914190141411202222222362222>=''=''=''+-''-''=''+'+'++''⋅+'⋅+'+'+''+')(y )(y )(y )(y )(y y x y x y x y y y x )y (x y y y y y y y )y ( 所以21-=)(y 为极小值。
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及解析(完整精准版).doc
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2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）下列曲线中有渐近线的是（ ）（A ）sin y x x =+ （B ）2sin y x x =+ （C ）1siny x x =+ （D ）21sin y x x=+ （2）设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上（ ） （A ）当()0f x '≥时，()()f x g x ≥ （B ）当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ （C ）当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥ （D ）当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤ （3）设(,)f x y 是连续函数，则21101(,)yy dy f x y dx ---=⎰⎰（ ）（A ）21110010(,)(,)x x dx f x y dy dx f x y dy ---+⎰⎰⎰⎰（B ）211011(,)(,)xx dx f x y dy dx f x y dy ----+⎰⎰⎰⎰（C ）112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r dr d f r r dr ππθθπθθθθθθ++⎰⎰⎰⎰（D ）112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r rdr d f r r rdr ππθθπθθθθθθ++⎰⎰⎰⎰（4）若{}2211,(cos sin )min(cos sin )a b Rx a x b x dx x a x b x dx ππππ--∈--=--⎰⎰，则11cos sin a x b x +=（ ）（A ）2sin x （B ）2cos x （C ）2sin x π （D ）2cos x π（5）行列式00000000a b abc d c d=（ ）（A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc -- （C ）2222a dbc - （D ）2222b c a d -（6）设123,,ααα均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的（ ）（A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分也非必要条件（7）设随机事件A 与B 相互独立，且3.0)(,5.0)(=-=B A P B P ，则=-)(A B P （ ） （A ）0.1 (B)0.2 (C)0.3 (D)0.4（8）设连续型随机变量1X 与2X 相互独立且方差均存在，1X 与2X 的概率密度分别为1()f x 与2()f x ，随机变量1Y 的概率密度为)]()([21)(211y f y f y f Y +=，随机变量)(21212X X Y +=，则 （A ）2121,DY DY EY EY >> （B ）2121,DY DY EY EY == （C ）2121,DY DY EY EY <= （B ）2121,DY DY EY EY >=二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）曲面)sin 1()sin 1(22x y y x z -+-=在点)1,0,1(处的切平面方程为 . （10）设)(x f 是周期为4的可导奇函数，且()2(1)f x x '=-，[0,2]x ∈，则(7)f = .（11）微分方程0)ln (ln =-+'y x y y x 满足条件3)1(e y =的解为y = . （12）设L 是柱面122=+y x 与平面0=+z y 的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分Lzdx ydz +=⎰ .（13）设二次型3231222132142),,(x x x ax x x x x x f ++-=的负惯性指数为1，则a 的取值范围是 .（14）设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,02,32),(2θθθθx xx f ，其中θ是未知参数，n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本，若∑=ni i X c 12为2θ的无偏估计，则c = .三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）求极限)11ln(])1([lim2112xx dtt e t xtx +--⎰+∞→（16）（本题满分10分）设函数)(x f y =是由方程32260y xy x y +++=确定，求)(x f 的极值. （17）（本题满分10分）设函数)(u f 具有2阶连续导数，)cos (y e f z x=满足22222(4cos )x x z zz e y e x y∂∂+=+∂∂，若0)0(,0)0(='=f f ，求)(u f 的表达式. （18）（本题满分10分）设∑为曲面)1(22≤+=z y x z 的上侧，计算曲面积分dxdy z dzdx y dydz x I )1()1()1(33-+-+-=⎰⎰∑（19）（本题满分10分） 设数列}{},{n n b a 满足n n n n n b a a b a cos cos ,20,20=-<<<<ππ，且级数1n n b ∞=∑收敛.（I ）证明：;0lim =∞→n n a（II ）证明：级数∑∞=1n nnb a 收敛. （20）（本题满分11分）设E A ,302111104321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=为3阶单位矩阵.（I ）求方程组0=Ax 的一个基础解系； （II ）求满足E AB =的所有矩阵B . （21）（本题满分11分）证明：n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100 相似 （22）（本题满分11分）设随机变量X 的概率分布为21}2{}1{====X P X P ，在给定i X =的条件下，随机变量Y 服从均匀分布)2,1)(,0(=i i U ，（I ）求Y 的分布函数)(y F Y ； （II ）求EY（23）（本题满分11分）设总体X 的分布函数21,0(;)0,0x e x F x x θθ-⎧⎪-≥=⎨⎪<⎩，其中θ是未知参数且大于零，12,,,n X X X 为来自总体X 的简单随机样本.（1）求EX 与2EX ；（2）求θ的最大似然估计量ˆnθ； （3）是否存在实数a ，使得对任何0ε>，都有{}ˆlim 0nn P a θε→∞-≥=？2017考研新大纲权威解析听3小时直播解析，横扫60+增&改考点。
2014考研数学(一)真题
2014年全国硕士研究生招生考试数学（一）真题一、选择题（1—8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）1．下列曲线有渐近线的是（ ）。
（A）（B）sin y x x =+2sin y x x =+ （C）1siny x x =+（D）21siny x x =+2．设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0上（ ）。
,1]（A）当时，()0f x '≥()()f x g x ≥ （B）当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ （C）当时，()0f x ''≥()()f x g x ≥（D）当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤3．设是连续函数，则110(,)ydy f x y dx -=⎰⎰（ ）。
（A）110010(,)(,)x dx f x y dy dx f x y dy--+⎰⎰⎰（B）11001(,)(,)xdx f x y dy dx f x y dy--+⎰⎰⎰⎰（C）112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r dr d f r r ++⎰⎰⎰⎰ππθθπθθθθθdrθ（D）112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r rdr d f r r ++⎰⎰⎰⎰ππθθπθθθθθrdrθ4．若{}ππ2211-π-π,(cos sin )min(cos sin )a b Rx a x b x dx x a x b x dx ∈--=--⎰⎰，则11cos sin a x b x +=（ ）。
（A）2sin x（B）2cos x（C）2sin x π（D）2cos x π5．行列式0000000aba bc d c d =（ ）。
（A）（B）（C）（D）2(ad bc -))2(ad bc --2222a dbc -2222b c a d -6．设123,,ααα均为三维向量，则对任意常数，向量组l k ,132,k 3l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的（ ）。
2014年全国硕士研究生入学统一考试农学门类联考数学试题
2
2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学一
1 X 发生的次数，则 P Y 2 ________. 2
三、解答题：15～23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸 指定位置上.解答应写出文字说明、证 ．．． 明过程或演算步骤. (15)(本题满分 10 分) 设曲线 y x3 2 x x C 在其拐点处的切线通过坐标原点，求常数 C. (16)(本题满分 10 分) 求极限 lim
2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学一
0 2 1 设矩阵 A 0 1 0 相似于对角矩阵. 1 a 0
（I）求 a 的值； （II）求可逆矩阵 P 和对角矩阵 ，使得 P AP . (22)(本题满分 11 分)
1
1 2 1, X 0 x , 1 x 2 设随机变量 X 的概率密度 f ( x) 3 .令随机变量 Y . 1, X 0 0, 其他
4
（I）求 Y 的概率分布； （II）求 Cov( X , Y ) . (23)(本题满分 11 分) 设二维随机变量 ( X , Y ) 服从 D 上的均匀分布，其中 D 是由直线 y x 和曲线 y x 2 围成的平面 区域. （I）求 X 和 Y 的边缘概率密度 f X ( x) 和 fY ( y ) ； （II）求 E ( XY ) .
2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学一
2014 年全国硕士研究生入学统一考试农学门类联考 数学试题
一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题 目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上. ．．． (1)设 f ( x) 可导， f ( x) e (A) (1)
2014年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一真题及详解【圣才出品】
C．当 f″（x）≥0 时，f（x）≥g（x） D．当 f″（x）≥0 时，f（x）≤g（x） 【答案】D 【考点】函数图形凹凸性的定义及应用 【解析】令 F（x）＝f（x）－g（x）＝f（x）－f（0）（1－x）－f（1）x，则 F（0） ＝F（1）＝0，且 F″（x）＝f″（x），故当 f″（x）≥0 时，F″（x）≥0，则函数 F（x）是凹 的。故在区间[0，1]上，F（x）≤F（0）＝F（1）＝0，即 F（x）＝f（x）－g（x）≤0， 因此 f（x）≤g（x）。故选择 D 项。
cos sin 0
f (r cos, r sin )dr
π d
f (r cos, r sin )dr
0
2
D
．
π
1
π
1
2 d 0
cos sin 0
f (r cos , r sin )rdr
π d
f (r cos, r sin )rdr
0
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【解析】已知向量组 α1，α2，α3 线性无关，则
1
(1
k3
,2
l3
)
(1,2,3
)
0
k
0
1
(1,
2,
3
)
K
l
对任意的常数 k，l，矩阵 K 的秩都等于 2，故向量组 α1＋kα3，α2＋lα3 一定线性无关，
1
0
0
故是必要条件；而又当 1
0
，
2
1
，3
0
时，对任意的常数
k，l，
【答案】D
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【考点】二重积分的积分顺序互换及二重积分在直角坐标和极坐标间的相互变换
数3--14真题答案
2014年考研数学(三)试题答案速查一、选择题（1）A （2）C （3）D （4）D （5）B （6）A （7）B （8）C 二、填空题（9）20Q − （10）3ln 22− （11）21（12）1(e 1)2− （13）]2,2[− （14）n52三、解答题 （15）21. （16）34−.（17）4e 41()16u u f u −−=. （18）33(),11(1)x S x x x −=−<<−. （19）略.（20）（Ⅰ）T(1,2,3,1)ξ=−.（Ⅱ）123123123123261123212134313k k k k k k k k k k k k −−−−⎛⎫⎪−+−++⎪= ⎪−+−++⎪⎝⎭B ,123,,k k k 为任意常数.（21）略.（22）（Ⅰ）0,0,3,01,4()1(1),12,221, 2.Y y y y F y y y y <⎧⎪⎪<⎪=⎨⎪+<⎪⎪⎩（Ⅱ）34. （23）（Ⅰ）XY0 10 29 19 119 59（Ⅱ）49. 2014年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）参考答案一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）【答案】A.【解答】根据极限的保号性，若lim 0n n a a →∞=≠，有lim n n a a →∞=，则存在0N >，使得当n N >时，有2n a a a −<，解得322n a aa <<，故选A. （2）【答案】C.【解答】,11sinlim 1lim 1sinlim=+=+∞→∞→∞→x x x x x x x x 01sin lim ]1sin [lim ==−+∞→∞→xx x x x x ， 所以xx y 1sin +=存在斜渐近线y x =，故选择C .（3）【答案】D.【解答】23()p x a bx cx dx =+++，由已知得0=a .因为232332000()tan tan 2sec lim lim lim 03x x x p x x bx cx dx x b cx x d x x x→→→−++−+−==+=， 则02lim(se )20c x b cx x →+−=，可得1b =，再由原式021lim033x c d x →=−+=，得10,3c d ==，所以答案选D.（4）【答案】D.【解答】令)()1()1)(0()()()(x f x f x f x f x g x F −+−=−=，则0)1()0(==F F ,)()(),()1()0()(x f x F x f f f x F ''−='''−+−='若()0,f x ''则()0,()F x F x ''在]1,0[上是凸的，又0)1()0(==F F ，故当]1,0[∈x 上时，()0F x ，从而()()g x f x ，故选择D.（5）【答案】B. 【解答】00000000a b a bc d c d=0000000000000000c d c d a b a b c d d c a b b a −=2()c d d cad bc a b b a=⋅=−−. 故选择B. （6）【答案】A.【解答】132312310()(,,)01k ,l k l ⎛⎫⎪++= ⎪ ⎪⎝⎭ααααααα，记1323()k ,l =++A αααα，123(,,)=B ααα，1001k l ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C . 若123,,ααα线性无关，则()()()2r r r ===A BC C ，故1323k ,l ++αααα线性无关，所以13k +αα，23l +αα线性无关是向量组123,,ααα线性无关的必要条件；反之，未必成立，例如取3=α0，12,αα线性无关，虽然13k +αα，23l +αα线性无关，123,,ααα却线性相关，故选A. （7）【答案】B.【解答】()()()()()()P A B P A P AB P A P A P B −=−=−()0.5()0.5()0.3P A P A P A =−==，所以6.0)(=A P .因此2.03.05.0)()()()()()(=−=−=−=−A P B P B P BA P B P A B P ，故选择B. （8）【答案】C.【解答】321,,X X X 是来自正态总体2(0,)N σ的简单随机样本，则21X X −与3X 独立，)1,0(~),1,0(~2),2,0(~321221N X N X X N X X σσσ−−则,则)1(~2223χσX ,因此122322~(1)X X t X σσ−，即123~(1)2X X t X −，所以选C.二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（9）【答案】20Q −.【解答】由P Q 240−=，得1202P Q =−，所以收益函数1()(20)2R Q P Q Q Q =⋅=−, 故边际收益为d 20d RQ Q=−. （10）【答案】3ln 22−. 【解答】画图,有:2113[()]d ln 22S y y y =−−−=−⎰.（11）【答案】21.【解答】221e d ()e24xxx x x C =−+⎰，则2220111e d ()e ()e 024244a x x a a x a x x =−=−+⎰，201e d ,4axx x =⎰则211()e 0,242a a a −==. （12）【答案】1(e 1)2−.【解答】2222111111000e e d (e )d d d d e d x xy y y y y y x y x y x xx −=−⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 221100e d d (1)e d x xy x y y y x =−−⎰⎰⎰221100e d (1)e d x y x y y =−−⎰⎰2101e d (e 1).2y y y ==−⎰（13）【答案】]2,2[−.【解答】3231222132142),,(x x x ax x x x x x f ++−==232232231)4()2()(x a x x ax x −+−−+, 由于二次型的负惯性指数为1，故240a −，故22a −.（14）【答案】n52. 【解答】222222()(;)d d 3x E X x f x x x x θθθθ+∞−∞==⎰⎰2422215342x θθθθ=⋅=, 2212225)(][θθ=⋅==∑=c n X ncE Xc E ni i i,故nc 52=.yxO 0x y +=10xy +=D2y =三、解答题：15～23小题,共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （15）（本题满分10分）解：11221122(e 1)d (e 1)d limlim 11ln(1)xx t tx x t t t t t t x x x x→+∞→+∞⎡⎤⎡⎤−−−−⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+⋅⎰⎰12201e 1lim [(e 1)]lim t xx t t t x x x t +→+∞→=−−=−−00e 11lim lim 222t t t t t t ++→→−===.（16）（本题满分10分）解：如图因为D 关于x y =对称，由轮换对称性质，则22sin(π)d d D x x y x y x y ++⎰⎰22sin(π)d d Dy x y x y x y +=+⎰⎰. 所以,22sin(π)d d Dx x y I x y x y +=+⎰⎰ 22()sin(π)1d d 2D x y x y x y x y++=+⎰⎰ 221sin(π)d d 2D x y x y =+⎰⎰π220113d sin πd 24r r r θ=⋅=−⎰⎰.（17）（本题满分10分） 解：因为(e cos )e cos ,(e cos )(e sin )x x x x z zf y y f y y x y∂∂''=⋅=⋅−∂∂， 所以方程cos sin (4e cos )e x x z zyy z y x y∂∂−=+∂∂可化为 (e cos )e [4(e cos )e cos ]e x x x x x f y f y y '⋅=+，即函数()f u 满足()4()f u f u u '−=，其通解为411()e416uf u C u =−−.再由(0)0f =，得116C =，故 yxO12221x y +=224x y +=4111()e 16416u f u u =−−.（18）（本题满分10分） 解：令)3)(1(++=n n a n ，因1lim1=+∞→nn n a a ，所以1=R ,当1±=x 时，∑∞=++0)3)(1(n nxn n 均发散，故该幂级数的收敛域为)1,1(−；设1()(1)(3)((3))nn n n S x n n xn x∞∞+=='=++=+∑∑，记10()(3)n n x n x σ∞+==+∑，则22112232()(2)()(),111(1)n n n n n n x x x x x x n xxxx x x x σ∞∞∞+++===−''=++=+=+=−−−−∑∑∑ 所以223323()[],(11)(1)(1)x x xS x x x x −−'==−<<−−.（19）（本题满分10分） 证：（Ⅰ)由积分中值定理()d ()(),[,]xag t t g x a a x ξξ=−∈⎰，因为0()1g x ，故0()(),0()d ()xag x a x a g t t x a ξ−−−⎰.（Ⅱ)()d ()()()d ()d ua ua g t t aaF u f x g x x f x x +⎰=−⎰⎰令，()()()(()d )()u aF u f u g u f a g t t g u '=−+⋅⎰()[()(()d )]u ag u f u f a g t t =−+⎰由（Ⅰ)知0()d (),()d uuaag t t u a a a g t t u −+⎰⎰，由于)(x f 单调增加，则()(()d )0uaf u f ag t t −+⎰，所以()0,()F u F u '单调不减，则()()0F u F a =， 取b u =得()0F b ，即所证结论成立.（20）（本题满分11分）解：（Ⅰ)对矩阵A 作初等行变换，可得123410010111010212030013−−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−→− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭A ，则方程组=Ax 0的一个基础解系为T)1,3,2,1(−=ξ； （Ⅱ）对矩阵()AE 作初等行变换，有12341001234100()0111010011101012030010431101−−−−⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=−→− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−⎝⎭⎝⎭A E123410010012610111010010213100131410013141−−−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→−→−−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−−−−⎝⎭⎝⎭. 记T3T 2T 1)1,0,0(,)0,1,0(,)0,0,1(===e e e ，则1e x A =的通解为T1111T1),31,21,2()0,1,1,2(k k k k ξk x +−+−−=−−+=， 2e x A =的通解为T2222T2),34,23,6()0,4,3,6(k k k k k x +−+−−=−−+=ξ， 3e x A =的通解为T3333T3),31,21,1()0,1,1,1(k k k k k x ++−−=−+=ξ，所以，123123123123261123212134313k k k k k k k k k k k k −−−−⎛⎫⎪−+−++ ⎪=⎪−+−++⎪⎝⎭B ，123,,k k k 为任意常数.（21）（本题满分11分）证：不妨设111111111⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，00100200B n ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则， ()()111...111 (11)1...111 (1) (1)1...111...1n n n λλλλλλλλλ−−−−−−−−−−−−==−=−−−−−−E A ，特征值为1210,n n n λλλλ−=====，()10...10 (2).........00...n n n λλλλλλ−−−−==−−E B ，特征值为1210,n n n λλλλ−=====，因为矩阵A 为对称阵，所以必可以对角化，相似于矩阵00n ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭Λ； 对于矩阵B ，当0λ=时，(0)()1r r −==E B B ，所以矩阵B 对应于特征值0有1n −个线性无关的特征向量，所以矩阵B 可以对角化为00n ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭Λ，所以二者相似.（22）（本题满分11分）解：（Ⅰ)设Y 的分布函数为)(y F Y ，则(){){1}{1}{2}{2}Y F y P Y y P X P Y y X P X P Y y X ====+==11{|1}{2}22P Y y X P Y y X ==+= 当0<y 时，0)(=y F Y ；当01y <时，43)2(21)(yy y y F Y =+=； 当12y <时，)21(21)(yy F Y +=；当2y 时，1)(=y F Y ，所以Y 的分布函数为0,0,3,01,4()1(1),12,221,2;Y y y y F y y y y <⎧⎪⎪<⎪=⎨⎪+<⎪⎪⎩（Ⅱ）Y 的概率密度函数为3,01,41()12,40,Y y f y y ⎧<<⎪⎪⎪=<⎨⎪⎪⎪⎩，其他. 1201313()()d d d 444Y E Y f y y y y y y +∞−∞==+=⎰⎰⎰.（23）（本题满分11分） 解：（Ⅰ)()12XY E XY EXEY DX DYρ−==⋅， 而923132)()(,32)()(},1,1()(=⋅=======Y D X D Y E X E Y X P XY E ， 代入XY ρ得95}1,1{===Y X P ， 所以),(Y X 的概率分布为XY0 10 29 19 119 59（Ⅱ）54{1}1{1}199P X Y P X Y +=−+>=−=.。
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学三及参考答案
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）设lim ,n a a =且0,a ≠则当n 充分大时有（ ）（A ）2n a a >（B ）2n a a <（C ）1n a a n >- （D ）1n a a n<+（2）下列曲线有渐近线的是（ ） （A ）sin y x x =+ （B ）2sin y x x =+ （C ）1siny x x=+ （D ）21siny x x=+ （3）设23(x)a P bx cx dx =+++ ，当0x → 时，若(x)tanx P - 是比x 3高阶的无穷小，则下列试题中错误的是 （A ）0a =（B ）1b = （C ）0c = （D ）16d =（4）设函数()f x 具有二阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上（ ） （A ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≥ （B ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≤ （C ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥ （D ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥（5）行列式0000000aba b c dc d= （A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc -- （C ）2222a d b c - （D ）2222b c a d -（6）设123,,a a a 均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的 （A ）必要非充分条件（B ）充分非必要条件 （C ）充分必要条件（D ）既非充分也非必要条件（7）设随机事件A 与B 相互独立，且P （B ）=0.5，P(A-B)=0.3，求P （B-A ）=（ ） （A ）0.1 （B ）0.2 （C ）0.3 （D ）0.4（8）设123,,X X X 为来自正态总体2(0,)N σ的简单随机样本，服从的分布为（A ）F （1,1） （B ）F （2,1） （C ）t(1） （D ）t(2)二、填空题：9?14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.（9）设某商品的需求函数为402Q P =-（P 为商品价格），则该商品的边际收益为_________。
(NEW)首都师范大学数学科学学院《432统计学》[专业硕士]历年考研真题及详解
![(NEW)首都师范大学数学科学学院《432统计学》[专业硕士]历年考研真题及详解](https://img.taocdn.com/s3/m/86605d19852458fb760b5609.png)
目 录2012年首都师范大学数学科学学院432统计学[专业硕士]考研真题2012年首都师范大学数学科学学院432统计学[专业硕士]考研真题及详解2013年首都师范大学数学科学学院432统计学[专业硕士]考研真题2013年首都师范大学数学科学学院432统计学[专业硕士]考研真题及详解2014年首都师范大学数学科学学院432统计学[专业硕士]考研真题2014年首都师范大学数学科学学院432统计学[专业硕士]考研真题及详解2015年首都师范大学数学科学学院432统计学[专业硕士]考研真题2015年首都师范大学数学科学学院432统计学[专业硕士]考研真题及详解2012年首都师范大学数学科学学院432统计学[专业硕士]考研真题2012年首都师范大学数学科学学院432统计学[专业硕士]考研真题及详解一、单项简答题（共20题60分，每题3分）第1组设c1，c2，…，c n是非零常数，给定总体N（μ，σ2）的样本X1，X2，…，X n，写出1．样本均值的数学期望，答：2．样本均值的方差，答：3．样本均值服从的分布，答：4．样本方差的数学期望，答：5．服从的分布，答：6．服从的分布，答：7．服从的分布，答：8．服从的分布，答：9．（μ，σ2）的最大似然估计，答：，10．θ＝2μ的最大似然估计。
答：第2组设EX＝μ，σ2＝Var（X），X1，X2，…，X n是总体X的样本。
对于较大的n，简答以下问题。
11．X1＋X2＋…＋X n的近似分布，答：n足够大时，X i独立同分布。
EX＝μ，σ2＝Var（X）由中心极限定理知：（X1＋X2＋…＋X n）～N（nμ，nσ2）。
12．μ的矩估计，答：13．σ2的矩估计，答：14．当EX4＜∞，X12＋X22＋…＋X n2的近似分布，答：由中心极限定理，X12＋X22＋…＋X n2服从卡方分布。
15．当X服从泊松分布，X1＋X2＋…＋X n服从的分布，答：独立同分布，；，16．当X服从泊松分布，μ的最大似然估计，答：X服从泊松分布：。
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上. (1) 下列曲线有渐近线的是()(A) y = x +sin x (C) y = x + sin 1x(B) y = x 2 + sin x (D) y = x 2 + sin 1x【答案】(C)x + sin 1 sin 1【解析】关于C 选项： limx = lim1+ lim x = 1+ 0 = 1 ，又x →∞?x x →∞ x →∞ xlim[x + sin 1 - x ] = limsin 1 = 0 ，所以 y = x + sin 1存在斜渐近线y = x . x →∞?x 故选(C).x →∞ x x(2) 设函数 f (x ) 具有二阶导数， g (x ) = f (0)(1- x ) + f (1)x ，则在区间[0,1] 上 ()(A) 当f '(x ) ≥ 0 时，f (x ) ≥ g (x )(B) 当f '(x ) ≥ 0 时，f (x ) ≤ g (x )(C) 当f ''(x ) ≥ 0 时，f (x ) ≥ g (x )(D) 当f ''(x ) ≥ 0 时，f (x ) ≤ g (x )【答案】(D)【解析】令 F (x ) = g (x ) - f (x ) = f (0)(1- x ) + f (1)x - f (x ) ，则F (0) = F (1) = 0 ,F '(x ) = - f (0) + f (1) - f '(x ) , F '(x ) =- f '(x ) .若f ''(x ) ≥ 0 ，则F ''(x ) ≤ 0 ， F (x ) 在[0,1] 上为凸的.又 F (0) = F (1) = 0 ，所以当x ∈[0,1] 时，F (x ) ≥ 0 ，从而 g (x ) ≥ f (x ) .故选(D).1 1- y (3) 设 f (x , y ) 是连续函数，则?0dy-f (x , y )dx = ( )1 x -1 0(A)0 dx ?f (x , y )dy + ?-1 dx ?0f (x , y )dy1- y 2 1-x 20 ? ?+ ? ? πππ3 π (x - a cos x - b sin x )2 d x = min π(x - a c os x - b s in x )2d x -π-π ? ?(B)1 1-xdx 0πf (x , y )dy + ?-1 dx ?-1f (x , y )dyπ1(C)2 d θ ?cos θ +sin θ f (r cos θ , r sin θ )dr + ?π d θ ? f (r cos θ , r sin θ )dr2π1π 1(D)2 d θ ?cos θ +sin θ f (r cos θ , r sin θ )rdr + ?πd θ ? f (r cos θ , r sin θ )rdr 02【答案】(D) 【解析】1 1- ydy -f (x , y )dx = ?-1 dx ?011-xf (x , y )dy 0 dx 0f (x , y )dy π1π1= ? 2 d θ ?cos θ +sin θ f (r cos θ , r sin θ )rdr + ?πd θ ? f (r cos θ , r sin θ )rdr . 00 2故选(D).-π 11 a ,b ∈R{?-π}a 1 cos x +b 1 sin x =()(A) 2sin x(B) 2cos x(C) 2π sin x【答案】(A) 【解析】(D) 2π cos x(x - a cos x - b s in x )2 dx = ?π(x - b sin x )2 - 2a cos x (x - b sin x ) + a 2x cos 2 x ?dx= ?-π= ?-π(x 2 - 2bx sin x + b 2 sin 2 x + a 2 cos 2 x )dxx 2dx + 2 π(b 2 sin 2x + a 2 cos 2 x - 2bx sin x )dx 0= 4(a 2 + b 2 ) π ? 1 - 4b π ? 2 + 2 π 32 2 2 3= π (a 2 + b 2 - 4b ) + 2π 33= π ??a 2 + (b - 2)2- 4?? + 2 π 3当a = 0,b = 2 时，积分最小. 故选(A).1-x 21- y 21-x 2(4) 若，则k l(A) (ad - bc )2【答案】(B)(B) -(ad - bc )2(C) a 2d 2 - b 2c 2(D) b 2c 2 - a 2d 2【解析】由行列式的展开定理展开第一列a b 0 a b 0= -a c d 0 - c 0 0 b 0 0 d c d 0= -ad (ad - bc ) + bc (ad - bc )故选(B).= -(ad - bc )2 .(6) 设 a 1, a 2 , a 3 均为三维向量，则对任意常数 k , l ,向量组 a 1 + ka 3 , a 2 + la 3 线性无关是向量组B = (α1 α2 α3 ) 线性无关的()(A) 必要非充分条件 (B)充分非必要条件(C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件【答案】(A)【解析】(α + k αα + l α ) = (ααα ? 1 0 ? ) 0 1 ?. 1323123 ? ? ? ?) 记A = (α1 + k α3α2 + l α3 ) ，B = (α1 α2 α3 ) ， A . 若α1,α2,α3 线性无关，则r (A ) = r (BC ) = r (C ) = 2，故 P (A - B ) = 0.3线性无关.P (B - A ) = 举反例. 令α3 = 0 ，则α1,α2 线性无关，但此时α1,α2,α3 却线性相关.综上所述，对任意常数Q = 40 - 2 p ，向量 p 线性无关是向量 D 线性无关的必要非充分条件. 故选(A).0 a b 0a 0 0 b0 c d 0c 0 0 d1Y (7) 设随机事件 A 与 B 相互独立，且 P (B ) = 0.5 ， P (A - B ) = 0.3，则 P (B - A ) = ( )(A) 0.1 (B) 0.2 (C) 0.3 (D) 0.4【答案】(B)【解析】已知a =， A 与 f ( x , x , x ) = x 2 - x + 2ax x + 4x x 独立， a ，123121 32 3P (A - B ) = P (A ) - P (AB ) = P (A ) - P (A )P (B )= P (A ) - 0.5P (A ) = 0.5P (A ) = 0.3，则P (A )= 0 .，则 P (B - A ) = P (B ) - P (AB ) = P (B ) - P (A )P (B ) = 0.5 - 0.5?0.6 = 0.5 - 0.3 = 0.2 .故选(B).(8) 设连续性随机变量 X 1 与 X 2 相互独立，且方差均存在， X 1 与 X 2 的概率密度分别为 f 1 (x ) 与1 1 f2 (x ) ，随机变量Y 1 的概率密度为 f Y ( y ) = 2 [ f 1 ( y ) + f 2 ( y )]，随机变量Y 2 = 2( X 1 + X 2 ) ，则(A)(C) EY 1 > EY 2 ， DY 1 > DY 2 EY 1 = EY 2 ， DY 1 < DY 2(B)(D) ()EY 1 = EY 2 ， DY 1 = DY 2EY 1 = EY 2 ，DY 1 > DY 2【答案】(D)【解析】用特殊值法. 不妨设 X 1, X 2N (0,1) ，相互独立.1 1 - y 2- y 2 - y 2 f ( y ) = 1( e 2 2π 2 + e 2π 2 ) = e 2π2 ， Y 1 N (0,1) . 1 1 1 Y 2 = 2 ( X 1 + X 2 ) ， E (Y 2 ) = 2 (E ( X 1 ) + E ( X 2 )) = 0, D (Y 2 ) = 4 (D ( X 1) + D ( X 2 )) = 2 .E (Y ) = E (Y ) = 0, D (Y ) = 1 > D (Y ) = 1.1 2 1 22故选(D).二、填空题：9 14 小题,每小题4 分,共24 分.请将答案写在答．题．纸．指定位置上. (9) 曲面 z = x 2 (1- sin y ) + y 2 (1- sin x ) 在点(1, 0,1) 处的切平面方程为.【答案】2x - y - z = 1【解析】由于 z = x 2 (1- sin y ) + y 2 (1- sin x ) ，所以z ' = 2x (1- sin y ) - cos x ? y 2 ， z ' (1, 0) = 2 ；xxz ' = -x 2 cos y + 2y (1- sin x ) ， z ' (1, 0) = -1.yy所以，曲面在点(1, 0,1) 处的法向量为n ={2, -1, -1}.故切平面方程为2(x -1) + (-1)( y - 0) -(z -1) = 0 ，即2x - y - z = 1.(10) 设 f (x ) 是周期为4 的可导奇函数，且 f '(x ) = 2(x -1), 【答案】1x ∈[0, 2]，则 f (7) = ?. 【解析】由于 f '(x ) = 2(x -1) ，x ∈[0, 2]，所以 f (x ) = (x -1)2 + C ，x ∈[0, 2].又 f (x ) 为奇函数， f (0) = 0 ，代入表达式得C = -1，故f (x ) = (x -1)2 -1，x ∈[0, 2].f (x ) 是以4 为周期的奇函数，故f (7) = f (-1+ 8) = f (-1) = - f (1) = -[(1-1)2 -1] = 1.(11) 微分方程 xy '+ y (ln x -ln y ) = 0满足条件 y (1) = e 3 的解为 y = ?.【答案】 y = xe 2x +1(x > 0)【解析】 xy '+ y (ln x -ln y ) = 0 ? y ' = y ln( y) .x x令u = y，则 y = x ?u ， y ' = xu ' + u ，代入原方程得xxu '+ u = u ln u ? u ' = u (ln u -1)x分离变量得，du =dx ，两边积分可得u (ln u -1) xln | ln u -1|= ln x + C ，即ln u -1 = Cx ., X n ? i故ln y -1 = Cx . 代入初值条件 y (1) = e 3 ，可得C = 2 ，即ln y= 2x +1.x x由上，方程的解为 y = xe 2x +1,(x > 0) .(12) 设 L 是柱面 x 2 + y 2 = 1与平面 y + z = 0 的交线，从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分 ?Lzdx + ydz =.【答案】π【解析】由斯托克斯公式，得= ?? dydz + dzdx ∑= ?? dydz + dzdx = π ，D xy其中D xy ={(x , y ) | x + y ≤ 1}. 2 2(13) 设二次型 f (x , x , x ) = x 2 - x 2 + 2ax x + 4x x 的负惯性指数是 1 ，则 a 的取值范围.【答案】[-2, 2]1 2 3 1 2 1 3 2 3【解析】配方法： f ( x , x , x ) = ( x + ax )2 - a 2x 2 -( x - 2x )2 + 4x 2123133233由于二次型负惯性指数为 1，所以4 - a 2 ≥ 0 ，故-2 ≤ a ≤ 2 .2x,θ < x < 2θ ,(14) 设总体 X 的概率密度为f ( x ;θ ) = ?3θ 20,其他, 其中θ 是未知参数， X 1, X 2 , 为来自总体 X 的简单样本，若 E (c∑ X 2 ) = θ 2 ，则c = ?.【答案】【解析】25n E ( X 2) = i =1+∞ x 2 f (x ;θ )dx =2θ x 2 ? 2x dx-∞θ3θ 2n ?L zdx + ydz = ?? ∑ dydz dzdx dxdy ? ? ?x ?y ?z z 0 yx 1 1 1 ?= 2 ? 1 x 3θ 2 4 4 2θ θ 5θ 2 ， 2n 2 2 5n 2 2E [c ∑ X i ] = ncE ( X i =1 ) = θ 2 ? c = θ ，∴ c = 2.5n三、解答题：15～23 小题,共 94 分.请将解答写在答．题．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10 分)x1 ? ? ? ?t 2e t -1? - t ? dt 1 ?? ?求极限lim x →+∞x ?x 2ln ?1+ 1 ? ? ?1 ?.x1 ?【解析】lim x →+∞ ?1 ??t 2 (e t -1) - t ??d t x 2 ln(1+ 1 ) = lim x →+∞ ?1 ??t 2 (e t-1) - t ??d t x 2 ? 1x x1= lim[x 2(e x-1) - x ]x →+∞1 =t ttx= lim-1- t = lim e -1 = lim t = 1 .(16)(本题满分 10 分)t →0+t 2t →0+2t t →0+2t 2 设函数 y = f ( x ) 由方程 y 3 + xy 2 + x 2 y + 6 = 0 确定，求 f ( x ) 的极值.【解析】对方程两边直接求导：3y 2 y ' + y 2 + 2xyy '+ x 2 y '+ 2xy = 0①令 x 1 为极值点，则由极值必要性知： y '(x 1) = 0 ，代入①式得：y 2 (x ) + 2x y (x ) = 0 .即 y (x 1 ) = 0 或 y (x 1 ) = -2x 1 . 将其代入原方程知： y (x 1 ) = 0 （舍去），即 y (x 1 ) = -2x 1 . 代入，有-8x 3 + 4x 3 - 2x 3 + 6 =，∴ x = 1. 即 y (1) = -2 ， y '(1) = 0 .1111= ex2 z ?2 z 对①式两边再求导：6y ( y ')2 + 3y 2 y ' + 2yy '+ 2x ( y ')2 + 2xyy ' + 2yy '+ 2xy '+ x 2 y ' + 2y + 2xy ' = 0 .将 y (1) = -2 ， y '(1) = 0 代入得： y ''(1) = 4> 0 .9∴ y = f (x ) 在 x = 1处取极小值， y = f (1) = -2 .(17)(本题满分 10 分)设函数 f (u ) 具有二阶连续导数， z = f (e f (0) = 0, f '(0) = 0 ，求 f (u ) 的表达式.cos y ) 满足 ?x 2 + ?y 2 = (4z + ex cos y )e 2x 若【解析】zx2 z' x2 x2 ' x x因为?x= f (e cos y )e cos y , = f ?x 2(e cos y )e cos y + f (e cos y )e cos yz= - f ?y '(e x cos y )e x sin y , ?2 z ?y 2= f ' (e x cos y )e 2x cos 2 y - f '(e x cos y )e x cos y 所以， f ' (e x cos y )e 2x = [4 f (e x cos y ) + e x cos y ]e 2xf ' (u ) = 4 f (u ) + u上述方程的通解为f (u ) = C e 2u + C e -2u - u1 24由 f (0) = 0, f '(0) = 0 得C 1 + C 2 = 0 ?2C - 2C = 11 2 4 1 1解得， C 1 = 16 , C 2 = - 16故， f (u ) = 1 e 2u - 1 C e -2u - u16 16 2 4(18)(本题满分 10 分)(x -1)3 dydz ∑+∑110 1 ? + π 7 ∞n∞设∑ 为曲面z = x 2 + y 2 (z ≤ 1) 的上侧，计算曲面积分I = ??(x -1)3 dydz + ( y -1)3 dzdx + (z -1)dxdy .∑【解析】∑ 非闭，补∑ ：平面 z = 1，被 z = x 2 + y 2 所截有限部分下侧，由 Gauss 公式，有 -+ ( y -1)3 d zdx + (z -1)dxdy= ??? ??3(x -1)2 + 3( y -1)2+1?? dVΩ= 3(x 2 + y 2 )dV - 6 xdV - 6 ydV + 7 dVΩΩΩΩ∑ 和∑1 所围立体为Ω ，Ω 关于 yoz 面和 zox 面对称，则 xdV = ydV = 0Ω Ω(x 2 + y 2 )dV =1dxdydzx2+ y 2Ωx 2 + y 2 ≤1 = 2πd θ 1r 2 (1- r 2 )rdr0 0= 2π (1 r 4 4- 1 r 6 6 ) 1 = 2π ( 1 -1 4 6 ) = π 6 dV = ? dz ?? dxdy = ?1π zdz = π0 0 Ω x 2+ y 2≤z∴- ??= 3 π 7 ? π= + π = 4π∑+∑1∴- 6 2 2 2又∑1= ??(z -1)dxdy = - ∑1x 2 + y 2 ≤1(1-1)dxdy = 0∴ I =∑ + 1∑1 - ? ? ∑1= 4-π (19)(本题满分 10 分)设数列{a },{b }满足0 < a < π ，0 < b < π， cos a - a= cosb，且级数∑b 收敛.nnn2n2(I) 证明：lim a = 0 . n →∞nnnn n =1(II) 证明：级数∑a n收敛.n =1 bn∑+∑1= 4π2- π < a n - b n 4 2nn n nn【解析】(I )∑bn 收敛n =1 ∴lim b = 0 n →∞a = cos a - cosb = -2sina n +b nsina n -b n> 0 nnn22∴sina n -b n< 0 2π 又 < ，π a n - b n即： a n < b n∴- < < 04 4 2 又0 < a < b , lim b = 0 n →∞∴lim a = 0 n →∞(II )证明：由(I ) a n= -2sina n +b nsina n -b n22-2sin a n + b n sin a n - bn ∴ a n = ?2 2 b n b n 2a n +b n b n - a n2 2 2 ≤ ?2 2 = b n - a n < bn= b n b n ∞ ∞ b 2b n ∞ 2b n 2a n又∑b 收敛∴ ∑ n收敛, ∑ 收敛 nn =1n =1 2 n =1 b n (20)(本题满分 11 分)1 -23 -4 ? 设矩阵 A =0 1 -1 1 ? ， E 为三阶单位矩阵.1 2 0 - 3? ? ?(I) 求方程组 Ax = 0 的一个基础解系； (II) 求满足 AB = E 的所有矩阵 B .【解析】1 -23 -4 1 0 0 ? ?1 -2 3 -4 1 0 0 ? ( A E ) =0 1 -1 1 0 1 0 ? → 0 1 -1 1 0 1 0 ?1 2 0 -3 0 0 1 ? 0 4 -3 1 -1 0 1 ?1 -23 -4 1 0 0 ? ? 1 0 0 1 2 6 -1?→0 1 -1 1 0 1 0 ? →0 1 0 -2 -1 -3 1 ? ,0 0 1 -3 -1 -4 1 ? 0 0 1 -3 -1 -4 1 ?(I) Ax = 0 的基础解系为ξ = (-1, 2,3,1)T∞1 n(II) e = (1, 0, 0)T , e = (0,1, 0)T , e = (0, 0,1) T123Ax = e 的通解为x = k ξ + (2, -1, -1, 0)T= (2 - k , -1+ 2k , -1+ 3k , k )T 11111 1Ax = e 的通解为x = k ξ + (6, -3, -4, 0)T= (6 - k , -3 + 2k , -4 + 3k , k )T222222Ax = e 的通解为x = k ξ + (-1,1,1, 0)T= (-1- k ,1+ 2k ,1+ 3k , k )T3333332 - k 1 -1+ 2k 6 - k 2 -3 + 2k -1- k 3 ? 1+ 2k ?∴ B = 1 2 3 ? （ k , k , k 为任意常数）-1+ 3k - 4 + 3k 1+ 3k ?1231 2 3k 1k 2 (21)(本题满分 11 分)k 3 ? ?11 1? 1 1 1? ? 0 0 1 ?0 0 2 ?证明n 阶矩阵 ? 与 ? 相似. ?1 1 1? ?1? ? ? 0 0 n ?1 ?2 ? 【解析】已知 A = ?(1 1) ， B = ?(0 0 1) ，则 A 的特征值为n ， 0 ( n -1重).A 属于λ = n 的特征向量为(1,1, ,1)T ； r ( A ) = 1，故 Ax = 0 基础解系有 n -1个线性无关的解向量，即 A 属于λ = 0 有 n -1 个线性无关的特征向量，故A 相似于对角阵n ? 0 ?Λ =. ? 0B 的特征值为 n ， 0 ( n -1重)，同理 B 属于λ = 0 有 n -1个线性无关的特征向量，故 B 相似于对角阵Λ .由相似关系的传递性， A 相似于 B .(22)(本题满分 11 分)设随机变量 X 的概率分布为 P {X = 1} = P {X = 2} =Y 服从均匀分布U (0,i ),(i = 1, 2).1, 在给定 X = i 的条件下，随机变量 21 ? 4 ? 4Y（I ）求Y 的分布函数 F Y ( y ) ；（II ）求 EY .【解析】（I ）设Y 的分布函数为 F Y (y) ，则F Y ( y ) = P {Y ≤ y } = P {X = 1}P {Y ≤ y | X = 1}+ P {X = 2}P {Y ≤ y | X = 2}= 1 P {Y ≤ y | X = 1} + 1 P {Y ≤ y | X = 2} 2 2当 y < 0 时， F Y ( y ) = 0 ；1 y 3y当0 ≤ y < 1时， F Y ( y ) = 2 (y + 2 ) = 4 ；1 y当1 ≤ y < 2 时， F Y ( y ) = 2 (1+ 2)；当y ≥ 2 时， F Y ( y ) = 1. 所以Y 的分布函数为0, ? 3yy < 0 ? ,0 ≤ y < 1 F ( y ) = ? 4Y(1+ y ), 1 ≤ y < 2(II) Y 的概率密度为2 2 ? 1, y ≥ 2 ? 3, 0 < y < 1, ?1 f (y) = ? , 1 ≤ y < 2, ? ? 0, ??E (Y )=?+∞f Y ( y ) d y = ?1y 3dy + ?2y 1dy 其他. -∞ 0 4 1 4 3 1 1 1 3 = ? + ? (4 -1) = 4 2 4 2 4(23)(本题满分 11 分)1- e { }nθ θ = ? ?+∞+∞设总体 X 的分布函数为? F (x ;θ ) = ? ??0,- x 2θ，x ≥ 0,x < 0, 其中θ 是未知参数且大于零. X 1, X 2 , , X n 为来自总体 X 的简单随机样本.（I ）求 E ( X ) ， E ( X 2 ) ；（I I ）求θ 的最大似然估计量θn ；（I I I ）是否存在实数a ，使得对任何ε > 0 ，都有lim P θ - a ≥ ε = 0 ？n →∞2x 【解析】 X 的概率密度为f (x ;θ ) = F '(x ;θ ) = ?- x 2 e θ, x > 0（I ） E ( X ) =+∞xf (x ; )dxx 2xθ0 , 其它 - x 2 e θdx= - xde- x 2θ= -[xex 2+∞+∞ -x 2e θdx ]= ?e - x 2θdx= 12E ( X 2) = ?2+∞ x 2 f (x ;θ )dx = ?+∞x 2 2x e2 θ dx -∞θ= - x 2de- x 2θ= -[x 2ex 2 +∞+∞ -x 2e θ 02xdx ]= θ ? +∞2x θ- x 2 e θdx= θ+∞ =πθ θ 2π θ2 θ - ? - -∞--n x i n n n ? i ] [ x n ] 0 n n ? n 2x - x i 2 n ∏ i e θ, x i > 0（II ）似然函数L (θ ) = ∏ f (x ;θ ) == ?i =1 θi =10 , 其它2x - x i2当 x i > 0(i = 1,, n ) 时，L (θ) =∏ i e θ，i =1θnx 2 ln L (θ ) = ∑[ ln 2x - ln θ - i]i =1d ln L (θ ) = ∑ni- 1 + x 2 θ= 1 ∑ 2 - θ = d θ i =1 θ θ 2θ 2 i =1θ = 1∑n 2i =11 2所以，θ 的最大似然估计量为θn = ∑ X ii =1（III ）依题意，问θ? 是否为θ 的一致估计量.1 2 2E (θn ) = E ( ∑ X i i =1) = E ( X ) = θD (θ? ) = 1 D ( X 2 ) = 1[E ( X 4 ) - E 2 ( X 2 )]nE ( X 4) = ?+∞ x 4 f (x ;θ )dx = ?+∞x 4 2x e - x 2 θdx -∞0 θ= - x 4de- x 2θ= -[x 4ex 2 +∞+∞ - x 2e θ 04x 3dx ]= 4?x 3e - x2θdx= -2θ+∞x 2de- x 2 θ= -2θ[x 2ex 2 +∞ 0+∞ -e θ 02xdx ]+∞ i θ θn- ?- ?[ 0 解得 -+∞-= 4θ ? -x 2xe θdx= -2θ2 ?- x 2xeθd (- ) 0θ= 2θ 2∴ ? 1 2 2 θ 2D (θn ) = n [2θ -θ ] =nlim D (θ? ) = 0 ∴θ? 为θ 的一致估计量∴a = θn →∞nn+∞ +∞ 2。