基本图形生成算法解读
计算机图形学第3章 基本图形生成算法
例题：有点P0（4，3）；P1（6，5）；P2（10，
6 ）；P3（12，4），用以上4点构造2次B样条曲线。
2.1.7 非均匀有理B样条
非均匀有理B样条NURBS（Non Uniform Rational BSpline）；
3.2.2
Bresenham画圆法
该算法是最有效的算法之一。
不失一般性，假设圆心(xc，yc) ,圆上的点(x′，y′)，则：
x' x xc
y ' y yc
圆心为原点，半径为R的位于第一象限1/8圆弧的画法，即(0, R)～( R , R )。
2 2
yi )， 思想:每一步都选择一个距离理想圆周最近的点P( xi ， 使其误差项最小。
画其他曲线。
3.3
自由曲线的生成
正弦函数曲线
指数函数曲线
多项式函数曲线
自 由 曲 线
概率分布曲线及样条函数曲线
3.3.1 曲线的基本理论
基本概念
2.1.4
规则曲线：可用数学方程式表示出来的，如抛物 线等。
自由曲线：很难用一个数学方程式描述的，如高
速公路等。可通过曲线拟合(插值、逼近)的方法来
例题： 利用Bresenham算法生成P （0，0）到Q（6，5）的直 线所经过的像素点。要求先 列出计算式算出各点的坐标 值，然后在方格中标出各点。
（1，1）
3.1.5 双步画线法 原理
模式1：当右像素位于右下角时，中间像素位于底线 模式4：当右边像素位右上角时，中间像素位于中线 模式2和模式3：当右像素位于中线时，中间像素可能位于底线 上，也可能位于中线上，分别对应于模式2和模式3，需进一步 判断。 当0≤k≤1/2时，模式4不可能出现，当1/2≤k≤1时，模式1不 可能出现。
基本图形生成技术1-直线
程序改进，添加橡皮筋绘图技术，实现交互式画直线。
向视图类中添加鼠标OnMouseMove ()函数消息响应函数，并输入鼠标处理程序代 码。 void CDDAMouseLineView::OnMouseMove(UINT nFlags, CPoint point) { // TODO: Add your message handler code here and/or call default CDC *pDC=GetDC(); int nDrawmode=pDC->SetROP2(R2_NOT); //设置异或绘图模式，并保存原来绘图模式 pDC->SelectStockObject(NULL_BRUSH); if(m_ist==1) { CPoint prePnt,curPnt; prePnt=m_p2; //获得鼠标所在的前一位置 curPnt=point; //绘制橡皮筋线 DDAMouseLine(pDC,m_p1.x,m_p1.y,prePnt.x,prePnt.y,RGB(255,0,0)); DDAMouseLine(pDC,m_p1.x,m_p1.y,curPnt.x,curPnt.y,RGB(255,0,0)); m_p2=point; } pDC->SetROP2(nDrawmode); //恢复原绘图模式 ReleaseDC(pDC); //释放设备环境 CView::OnMouseMove(nFlags, point); }
第五步：在视图类的OnDraw()函数中加入下列代码， 实现视图绘图。 void CMouseSpringView::OnDraw(CDC* pDC) { CMouseSpringDoc* pDoc = GetDocument(); ASSERT_VALID(pDoc); // TODO: add draw code for native data here pDC->SelectStockObject(NULL_BRUSH); DDAMouseLine(pDC,m_p1.x,m_p1.y,m_p2.x,m_p2.y, RGB(255,0,0)); // 调用自定义的成员函数,用鼠标画直线 }
二维基本图形生成
2021/7/11
17
画直线段的过程中，当前象素点为(xp, yp)，一个象素点有 两种可选择点p1(xp+1, yp)或p2(xp+1, yp+1)。若M=(xp+1, yp+0.5)为p1与p2之中点，Q为理想直线与x=xp+1垂线的交 点。当M在Q的下方，则P2 应为下一个象素点；M在Q的上 方，应取P1 为下一点。就是中点画线法的基本原理。
直线方程：ym•xB
直接求交算法：
划分区间[x0,x1]: x 0 ,x 1 , ,x n ,其 x i 1中 x i 1 计算纵坐标： yi m•xi B
取整：{(xi, yi)}in0
{(xi, yi,r)}in0
yi,rro(u yi) n (idn yi t0 .)5 )(
2021/7/11
2021/7/11
24
举例 用中点画线方法扫描转换连接两点P0（0,0）和P1 （5,2）的直线段
a=y0-y1=-2; b=x1-x0=5; d0=2*a+b=1; d1=2*a=-4; d2=2*(a+b)=6 xy d 00 1 1 0 -3 d1 2 1 3 d2 3 1 -1 d1 4 2 5 d2 52 1
while(k≤lenght)
putpixel(x,y) x﹦x﹢△x y﹦y﹢△y k﹦k﹢1
endwhile
end
2021/7/11
15
DDA直线绘制的C++实现 void DDA直线绘制(HDC hdc) {
计算机图形学中的基本图形生成算法--文献综述
本文中研究的一维图形的算法主要包括直线段、圆与椭圆。
在使用计算机处理相应图形信息时经常会遇到计算机内部储存比较大的图形，以至于屏幕显示图形只是部分图形，不能完整显示。这个时候确定图形中哪些部分在显示区域中显示，而哪些不在显示区域内显示则对计算机的选择处理过程提出了要求，遇到这种情况就要运用裁剪操作，从线段裁剪到多边形裁剪有许多方法，其中主要的方法有：Cohen-Sutherland裁剪算法、中点分割算法、参数化方法和Reentrant Polygon Clipping算法。在王慧玲、冯雪花发表于《伊犁师范学院学报(自然科学版)》2008年第4期上的《对Cohen-Sutherland线段裁剪算法的分析及改进》一文中则针对上述方法中的Cohen-Sutherland线段裁剪算法提出了重点分析，首先，作者对Cohen-Sutherland线段裁剪算法提出了详细的解析：该算法运用编码的方法实现了对在显示区域内和显示区域外的判断来决定是否显示在在显示区域内显示，与此同时，这篇文章中除了研究和分析Cohen-Sutherland线段裁剪算法，还针对Cohen-Sutherland线段裁剪算法对判断所有的完全位于裁剪窗口之外的线段不能有效地情况下提出了可以通过添加判断条件，使之能完全判断出来，这使得减少了求交的次数，也提高得该算法的运算效率。关于中点分割法和参数化方法孙家广等在《计算机图形学（第3版）》一书中进行了阐述，中点分割法与Cohen-Sutherland线段裁剪算法相同点是利用对线段的端点编码，与之不同的是对于跨窗口边界的线段中点分割法将其等分为两段，直到最后的分割点与线段的端点距离达到分辨率的精度为止。多边形的裁剪与线段的裁剪不一样，如若把多边形分解成边界线段逐段进行裁剪会使得原来封闭的图形变得不封闭或者成为一些离散的线段。Suther-land和Hodgeman发明的逐次多边形裁剪（Reentrant Polygon Clipping）算法则解决了上面这个问题，该方法的基本思想是一次用裁剪窗口的一条边对多边形进行裁剪。上面对线段和多边形的裁剪的基本算法进行了一些介绍，在上面一些算法的基础上，韩俊卿，葛永慧和张东升在《太原理工大学学报》2005年第36卷第2期上面发表的《多边形窗口的矢量图形裁剪算法》一文则讨论了对于改进后的多边形窗口中的点、线、面等目标的裁剪算法，在这些算法之中，点目标的裁剪算法采用的是射线交叉法，线目标的裁剪算法采用的是通过对计算被裁剪线段和多边形的各个边真实交点之间的各个线段中点来判断是否对它们裁剪，在点和线的裁剪基础上实现面目标的裁剪。
CG No3-基本图元生成-1
LinYi University School of Informatics Wang Libo
Computer Graphics 计算机图形学
程序实现
DDALine(int X0,int Y0,int X0,int Y0,Color color) { int X float dx,dy,k,y dx=x1-x0; dy=y1-y0; k=dy/dx; y=Y0; for(x=X0;x<=X1;x++){ putpixel(x,int(y+0.5),Color); y=y+k; } }
getch(); closegraph( ); }
LinYi University School of Informatics Wang Libo
Computer Graphics 计算机图形学
2、逐点比较法
1.偏差计算 <0 画笔在OA下方，走+y 一步 d=tgβ-tgα = =0 画笔在OA上，走+x 一步 >0 画笔在OA上方，走+ x 一步 第一象限： d=ym/xm—yA/xA=(ymxA-yAxm)/xAxm 判别式：Fm=ymxA-xmyA >=0 走+x <0 走+y
Computer Graphics 计算机图形学
Computer Graphics
计算机图形学
基本图元的生成
LinYi University School of Informatics Wang Libo
Computer Graphics 计算机图形学
第二章 基本图元生成算法
几何图形Ｇ＝｛Ｐi | Pi 最接近图形的象素 ｝
计算机图形学的基本算法
计算机图形学的基本算法计算机图形学是研究如何利用计算机生成、处理和显示图像的学科。
图形学的基本算法涵盖了多个方面，包括图像绘制、几何变换、光照和渲染等。
以下将详细介绍计算机图形学的基本算法及其步骤。
1. 图像绘制算法：- 像素绘制算法：基于像素的图形绘制算法包括点绘制、线段绘制和曲线绘制。
例如，Bresenham线段算法可用于绘制直线。
- 多边形填充算法：多边形填充算法用于绘制封闭曲线图形的内部区域。
常见的算法包括扫描线填充算法和种子填充算法。
2. 几何变换算法：- 平移变换：平移变换算法用于将图像在平面上进行上下左右的平移操作。
- 旋转变换：旋转变换算法用于将图像按照一定的角度进行旋转。
- 缩放变换：缩放变换算法用于按照一定的比例对图像进行放大或缩小操作。
- 剪切变换：剪切变换算法用于按照一定的裁剪方式对图像进行剪切操作。
3. 光照和渲染算法：- 光照模型：光照模型用于模拟物体与光源之间的相互作用。
常见的光照模型有Lambert模型和Phong模型等。
- 阴影生成算法：阴影生成算法用于在渲染过程中生成逼真的阴影效果。
例如，阴影贴图和阴影体积等算法。
- 光线追踪算法：光线追踪算法通过模拟光线的路径和相互作用，实现逼真的光影效果。
常见的光线追踪算法包括递归光线追踪和路径追踪等。
4. 图像变换和滤波算法：- 傅里叶变换算法：傅里叶变换算法用于将图像从时域转换到频域进行分析和处理。
- 图像滤波算法：图像滤波算法用于对图像进行平滑、锐化、边缘检测等操作。
常见的滤波算法包括均值滤波、高斯滤波和Sobel算子等。
5. 空间曲线和曲面生成算法：- Bézier曲线和曲面算法：Bézier算法可用于生成平滑的曲线和曲面，包括一阶、二阶和三阶Bézier曲线算法。
- B样条曲线和曲面算法：B样条算法可用于生成具有更高自由度和弯曲度的曲线和曲面。
以上列举的是计算机图形学中的一些基本算法及其应用。
图像生成和处理的算法和应用
图像生成和处理的算法和应用随着计算机技术的发展，图像生成和处理一直是研究的热点之一。
图像生成和处理是对数字图像进行操作、改变和转换，以达到特定的目的。
它不仅在计算机图形学、计算机视觉等学科中起着重要作用，同时也在众多领域应用广泛，如医学图像分析、图像识别、视频游戏、电影特效、物体跟踪等等。
本文将介绍几种常用的图像生成和处理的算法和应用。
一、图像生成算法1、深度学习深度学习是一种用于图像处理和实现人工智能的技术，目前被广泛应用于图像生成。
深度学习的核心思想是搭建神经网络，利用大量的数据训练模型，从而使模型具有较强的图像生成能力。
其中，生成对抗网络（GAN）是深度学习中最流行的图像生成算法之一。
GAN的基本结构是由一个生成器和一个判别器构成，通过反复训练生成器和判别器，不断提高生成器的生成能力。
2、卷积神经网络卷积神经网络（CNN）是一种用于处理图像的神经网络，在图像分类、图像分割、目标检测等方面有着广泛的应用。
CNN最常用的结构是卷积层、池化层和全连接层。
卷积层用于提取图像的特征，池化层用于缩小特征图的尺寸，全连接层用于分类等任务。
在图像生成方面，CNN可以通过反向传播算法训练生成器，从而实现图像生成。
3、自编码器自编码器是一种基于神经网络的图像生成算法，它的基本思想是将输入映射到隐藏层，然后再将隐藏层映射回输出。
自编码器的训练过程是将原始图像输入自编码器，将输出与目标图像进行比较，通过不断调整权重，使自编码器能够更精确地重构输入图像。
二、图像生成和处理应用1、图像变换图像变换包括图像旋转、平移、缩放和扭曲等操作。
在实际应用中，图像变换可以用于调整图像大小、合成多张图像等任务。
图像变换技术可以通过深度学习等算法实现。
2、图像修复图像修复是指对有缺损、噪声或损坏的图像进行修复、恢复的操作。
图像修复技术可以采用多种算法，如基于统计学的方法、基于采样的方法、基于分类的方法等。
在实际应用中，图像修复主要用于修复老照片、复原古迹等任务。
计算机图形学第3章-基本光栅图形生成算法
• 用操作系统的绘图功能 • 如Windows中Win32API中就提供了基本的绘图功能
• 在数学上，理想的直线是一条由无穷多个无限小的连续的 点组成。
• 在光栅显示平面上，我们只能用二维光栅格网上尽可能靠 近这条直线的象素点的集合来表示它。每个象素具有一定 的尺寸，是显示平面上可被访问的最小单位，它的坐标x 和y只能是整数，也就是说相邻象素的坐标值是阶跃的而不 是连续的。
������������ − ������������ = 20
第二步：在x轴方向上每次的变化量为∆������ 变化量为∆������ = ������������−������������ = 0.65
=
������������−������������ ������
=
−1，则y轴方向的
������
• DDA算法描述
• 设(xs,ys)和(xe,ye)分别为直线的起点坐标和终点坐标，则：
直线的斜率
=
∆������ ∆������
=
������������ ������������
− −
������������ ������������
• 可通过计算由x方向的增量 ∆������ 引起y的改变来生成直线。
由������������+1 = ������������ + ∆������，得到：
������������+1
=
������������
+
������ ������
×
∆������
=
������������
东北大学计算机图形学4
DDA算法原理
• 对求出的xi+1，yi+1进行四舍五入，即 round(xi+1)=(int)(x i+1+0.5)或round(y i+1)=(int)(y i+1+0.5)
DDA算法原理
xi 1 xi x yi 1 yi y
其中，
yi+1 ε△y yi xi ε△x xi+1 x
y
1 / | x |, | x || y | 1 / max(|x |, | y |) 1 / | y |, | y || x |
示例图片
右图中，
红色填充点表示的线段： 起点为(0，0) 终点为(10，20)
绿色填充点表示的线段：
起点为(0，0) 终点为(20，10)
• • • • • • • • • • • • • • • • •
Void DDAline(int x0,int y0,int x1,int y1) { int dx,dy,epsl,k; 变量定义：整数型： dx,dy,epsl,k; float x,y,xIncre,yIncre; 符点型：x,y,xIncre,yIncre; dx=x1-x0; dy=y1-y0; 变量赋初值：线段起点与终点的x,y轴向 x=(float)x0; y=(float)y0; 增量；起点变量类型转换后赋值。 if( abs(dx)>abs(dy)) epsl=abs(dx); else 求x,y轴向增量的大值。 epsl=abs(dy); xIncre=(float)dx/(float)epsl; 求线段在x,y轴向上的步进增量 yIncre=(float)dy/(float)epsl; for(k=0;k<=epsl;k++) { putPixel((int)(x+0.5),(int)(y+0.5))); x+=xIncre; y+=yIncre; } 增量式依次计算线段上个点，并输出。 }
第二章 基本图元的显示1
图 形 学
第二章 基本图形元素的生成算法
(0,6)
(6,6)
(6,0)
(0,0) 计 算 机 图 形 学 (5,3)
(0,0)
第二章 基本图形元素的生成算法
扫描转换:通常把图像中的点、线、圆、区域和字符等图 形基本指令组成的显示文件转换成为显示缓冲器中图像的 位映像图的过程，成为扫描转换。 位图：是与屏幕图像每个像素点一一对应的图像矩阵， 矩阵中的每个元素就是像素的值（表示灰度级别与色 彩）。 选择扫描转换算法，速度与图像质量两者之间权衡折 衷。由于在建立一幅图形过程中，基本的图形扫描转 换算法将被调用成百上千此，因此，速度快一些是比 较可取的。
1 xi 1 x i x x i x x i 1 | x | 1 y i 1 y i y y i y y i k | y |
x=x-1;y=y-k; for(x=x1;x>=x2;x--) {putpixel(x,round(y));y=y-k;}
（X1,Y1)的像素点，对应的显示缓冲器地址为： 字节地址= S + ( H / 8 ) * Y1 + ( X1 / 8 ) 的整数部分 字节内的位地址= X1 / 8 的余数 计 算 机 图 形 学
第二章 基本图形元素的生成算法
2.1.2 直线段的生成
数学上的直线是由无数个点构成的集合，显 然，光栅显示器只能近地似显示直线。对 于水平、垂直和45°斜线是可以达到较为 满意的效果的。当我们对直线进行光栅化 时，需要确定最佳逼近该直线的一组象素。 扫描转换直线段就是计算出落在直线段上 或充分靠近它的一串像素，并以此像素近 似代替原连续直线段在屏幕上显示的过程。
计 算 机 图 形 学
《计算机图形学》02 基本图形生成
直线裁剪的情况：
D
C A B
端点编码的9种结果：
1010
1000
0110
0100
0101
直线编码裁剪算法处理步骤：
若两个端点的编码均为0，则两个端点均位于窗口内，线段全显 示，结束；
将两个端点的编码的编码按位与，若结果不为0，则线段必然位 于某条边线之外，线段全不显示，结束；
（这时，某个端点必然存在为1的位，且另一个端点相应的位为0， 线段将部分显示或全不显示）则，对任一个存在1位的端点，用1 位所对应的边，将直线段分割为两段，舍弃位于边线外的段，对 边线内的段再按本规则进行处理。
作业： 用窗口(5,10,25,30)，对直线(0,40)-(30,15)进行裁剪，写出处理过 程及结果。
例2 (1,1)-(9,6)直线的点阵
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
例3 (1,1)-(6,9)直线的点阵
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
例4 (2,3)-(8,7)直线的点阵
数值微分法计算步骤：
对给定的两个直线端点(x1, y1)，(x2, y2)， 有：x2≥x1，|x2－x1|＞|y2－y1|。 (1)求得两点连线的斜率：k＝(y2－y1)/ (x2－x1) (2) px1＝x1，py1＝y1，得直线上的点(px1, py1)；令i＝1； (3)若pxi＝x2，则计算结束；否则，继续； (4)pxi+1＝pxi＋1， pyi+1＝pyi＋k， 得直线上的点( pxi+1, int(pyi+1+0.5) )； (5)令i＝i＋1，转到(3)。
计算机图形学基本图形生成算法
y= k· x+b
k=0.571429
b=0.428571
2 X[0]=1 y0 X[1]=2
Y[0]=1 Y[0]=1 Y[1]=kx[1]+b=1.57 Y[1]=y0+k=1.57 Y[2]=y1+k=2.14 Y[2]=kx[2]+b=2.14 Y[3]=y2+k=2.71 Y[3]=kx[3]+b=2.71 Y[4]=y3+k=3.28 Y[4]=kx[4]+b=3.28 Y[5]=y4+k=3.85 Y[5]=kx[5]+b=3.85 Y[6]=y5+k=4.4 Y[6]=kx[6]+b=4.4 Y[7]=5 Y[7]=5
第3章 基本图形生 成算法
1 直线生成算法(DDA、BRES) 2 圆生成算法（Mid） 3 多边形填充算法（扫描线、区域） 4 字符图元算法
2015/4/19
1
图元
• 图元：图形软件包中用了描述各种几何 图形元素的函数称为图形输出原语，简 称图元。 • 描述对象几何要素的输出图元一般称为 几何图元。点的定位和直线段是最简单 的几何图元。 • 在选定坐标系中指定一个图形的几何要 素后，输出图元投影到该输出设备显示 区域对于的二维平面上，并扫描转换到 帧缓存的整数像素位置。
2015/4/19
5
1 直线生成算法(DDA、BRES) 2 圆生成算法（Mid） 3 多边形填充算法（扫描线、区域） 4 字符图元算法
1 直线的DDA算法
2015/4/19
6
OpenGL画点和画线函数 1) 画点函数 glVertex*( ); (*={234}{sifd}[v]) 表示该函数有后缀，指 明空间尺寸、坐标数据类型或向量形式描述。 Ex: glBegin(GL_POINTS); glVertex2i(100,50); glEnd(); glBegin(GL_POINTS); glVertex2i(100,50); glVertex2i(75,90); glVertex2i(300,590); glEnd();
分形图形生成原理探究
分形图形生成原理探究随着计算机技术的不断发展，分形图形在数字艺术、自然科学和工程领域中得到广泛应用。
分形是一种具有自相似性质的数学对象，其生成原理深受人们的关注。
本文将探究分形图形的生成原理，介绍分形的基本概念，以及常用的分形生成算法。
一、分形的基本概念分形是一种具有自相似性质的几何图形。
即整体结构和局部细节之间存在某种相似关系，不论放大还是缩小，都可以看到相同的图形。
分形的自相似性质使得它们具有无限的细节和复杂度。
二、分形图形的生成原理1. 迭代运算迭代运算是生成分形图形的常用方法之一。
这种方法通过重复应用某种变换或映射规则，不断生成新的图形。
具体步骤如下：- 首先选定一个初始图形，例如一个简单的线段或几何形状。
- 然后根据一定的规则进行变换或映射操作，生成下一级的图形。
- 重复上述步骤，直到达到期望的分形效果。
迭代运算可以产生各种各样的分形图形，如科赫曲线、谢尔宾斯基三角形等。
2. 噪声函数噪声函数是通过随机性来生成分形图形的一种方法。
噪声函数可以产生随机性纹理或图案，并通过适当的参数调节，实现分形效果。
生成分形图形的基本步骤如下：- 首先定义一个噪声函数，它可以是简单的随机数生成器或更复杂的数学函数。
- 然后使用噪声函数来计算每个像素的数值或颜色，从而生成图像。
噪声函数可以用于生成山脉、云彩等具有分形特征的自然图像。
三、常用的分形生成算法1. 递归细分递归细分是一种通过使用分形规则进行逐级细分的方法。
它基于拆分和替代的原则，不断将图形细分为更小的部分，然后用更小的部分替代原有的部分。
递归细分可以生成多种复杂的分形图形，如分形树、雪花等。
2. 碎形图像编码碎形图像编码是一种基于碎形压缩理论的分形生成方法。
它通过找到一组变换规则和关联函数，将整个图像分割成小的区域，然后用适当的变换规则对每个区域进行编码。
这种方法可以生成高质量的分形图像，并用较小的存储空间保存。
3. 分形几何建模分形几何建模是一种通过将分形规则应用于三维空间中的几何体来生成分形图形的方法。
计算机图形学第3章
第3章 基本图形生成算法
3.1 生成直线的常用算法
均假定所画直线的斜率k∈[0，1]。
3.1.1 DDA画线算法
DDA（Digital Differential Analyzer）画线 算法也称数值微分法，是一种增量算法。它的算 法实质是用数值方法解微分方程，通过同时对x和 y各增加一个小增量，计算下一步的x、y值。
边界表示的四连通区域种子填充算法 内点表示的四连通区域种子填充算法 边界表示的八连通区域种子填充算法 内点表示的八连通区域种子填充算法
第3章 基本图形生成算法
1．边界表示的四连通区域种子填充算法
基本思想：从多边形内部任一点（像素）出发，依“左 上右下”顺序判断相邻像素，若其不是边界像素且没有被填 充过，对其填充，并重复上述过程，直到所有像素填充完毕。 可以使用栈结构来实现该算法，算法的执行步骤如下： 种子像素入栈，当栈非空时，重复执行如下三步操作： （1）栈顶像素出栈； （2）将出栈像素置成多边形填充的颜色； （3）按左、上、右、下的顺序检查与出栈像素相邻的 四个像素，若其中某个像素不在边界上且未置成多边形色， 则把该像素入栈。
过各行各列像素中心构造一组虚拟网格线，按直 线从起点到终点的顺序计算直线与各垂直网格线的交 点，然后确定该列像素中与此交点最近的像素。 由图3-5不难看出：若s<t， 则Si比较靠近理想直线，应 选Si;若s≥t，则Ti比较靠近 理想直线，应选Ti。
第3章 基本图形生成算法
令dx=x2-x1，dy=y2-y1 递推公式 ：di 1 di 2dy 2dx( yi yi 1 ) di的初值： d1 2dy dx 当di≥0时，选Ti，
第3章 基本图形生成算法
计算机图形学-基本图形生成算法-图形的扫描转换
v 当i>0时，D在圆外，③④
Pi(xi,yi) H (xi+1,yi
)
v v
情形③，选mv ，mD d’=mD - mV =|(xi+1)2+(yi-1)2-R2
中最小者 ④ V③ | - |xi2+(yi-1)2-R2|(xi,yi-1)
D
(xi+1,yi-1)
=(xi+1)2+(yi-1)2-R2 + xi2+(yi-1)2-R2
v 构造一个行列式值为1的矩阵
v 对应的圆方程递推关系为 xn+1 = xn + єyn yn+1 = -єxn +(1-є2)yn= yn- єxn+1
DDA画圆法（3/3）
v 针对不同象限及顺逆时针画圆，赋给є适当的 符号
v є不同，圆形状不同， є大近似椭圆
Bresenham画圆算法（1/7）
v 三个常用算法：
1数值微分法（DDA） 2中点画线法 3Bresenham算法。
数值微分(DDA)法(1/5)
v 已知线段端点：P0(x0,y0), P1(x1,y1) v 直线方程
y=kx+b {(xi, yi)}, i=0,….n. v 浮点数取整 : yi=round(yi)=(int)(yi+0.5)
Bresenham画线算法（3/11）
v最大位移方向每次走一步
k<1时，x为最大位移方向
vy方向走步与否
P2
e’
取决于误差e值的大小
v误差计算
e P P1
v初值：e0= y/ x
v当e≥0.5时，最接近P2(xi+1,yi+1)
基本图形生成算法原理
基本图形生成算法原理现在的计算机能够生成各种复杂的图形，但无论其多么复杂，它都是由一些基本图形组合而成的。
因此，学习基本图形的生成算法是掌握计算机图形的基础。
本章就主要讨论一些基本图形的生成原理，如点、直线、椭圆生成。
如前面所述，目前我们使用的主要图形输出设备显示器（一般为光栅图形显示器）和打印机（喷墨、激光打印机）本质上是一种画点设备，是由一定数量的网络状细小光点（即像素）组成，使某些像素亮（将帧缓存中对应位置的值为1）和某些像素不亮（将帧缓存中对应位置的值为0）来显示图形。
因此，基本图形生成的原理是指在点阵输出设备的情况下，如何尽可能地输出最接近于原图形（理想图形）的直线或曲线图形，即以最快的速度确定最佳逼近于图形的像素集。
确定图形的像素集合并显示的过程常称之为图形的扫描转换或光栅化。
这一过程使用的计算方法称之为图形生成算法。
1 点2 直线段的生成直线是点的集合，几何学中的一条直线是由两点决定，直线在数学上可以有多种表示方法，而在计算机图形学里，直线是由离散的像素点逼近理想直线段的点的集合。
数学上的直线是没有宽度的，而计算机图形学中显示出的直线的宽度与像素点的大小有关，一个像素宽的直线的线粗为像素的边长。
由计算机生成的图形中有大量的直线段，而且曲线也是由一系列短直线段逼近生成的。
因此，研究直线生成的方法是计算机图形学的基本问题之一。
对计算机生成直线的一般要求是：线段端点的位置要准确；构成线段的像素点的集合应尽可能分布均匀，其密度应该与线段的方向及长度无关；线段生成的速度要快。
生成直线的算法有多种，这里仅介绍两种方法，即DDA 算法和Bresenham 算法。
2.1 直线DDA 算法该直线生成算法称为数值微分算法（Digital Differential Analyzer 简称DDA ）。
它是一种根据直线的微分方程来产生直线的方法。
设直线的起点坐标为),(s s y x ，终点坐标为),(e e y x ，则=dx dy k xy x x y y s e s e =∆∆=-- (3-1)k 是直线的斜率。
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例：画直线段P0(0,0)--P1(5,2)
k y1 y0 x1 x0
解：斜率K=2/5=0.4，所以X方 向每次步长为1，Y方向递增K。初 始点为（0，0）。
x int(y+0.5) y
00
0
10
0.4
21
0.8
31
1.2
42
1.6
52
2.0
Line: P0(0, 0)-- P1(5, 2) 3 2 1
在数学上，理想的直线是没有宽度的、由 无数个点构成的集合。当我们对直线进行光栅 化时，只能在显示器所给定的有限个像素组成 的矩阵中，确定最佳逼近该直线的扫描转换。
通常用于直线光栅化的算法有数值微分法（ DDA）、中点画线法和Bresenham画线算法 。
r浮点数取整 : yi=round(yi)=(int)(yi+0.5)
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3.2.1 数值微分法(DDA法)
因:
有：
k y1 y0 x1 x0
yi+1=yi+k• △X
r若0<k<1，即x > y
q因光栅单位为1， q可以采用每次x方向增加1，
演示 说明
q而y方向增加k的办法得到下一个直线点。
dx=x1-x0; dy=y1-y0;
2
k=dy/dx;
y=y0;
1
for(x=x0;x<=x1;)
{
0 12 3 4 5
drawpixel(x,int(y+0.5),Color);
x++;
y=y+k;
}
}
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3.2.1 数值微分法(DDA法)
通常情况下，直线的 方向分为8个不同的区域， 每个区域的处理方法有所不 同。K=△y/△x
3.1 图形生成的概念
点的生成
点是图形中最基本的图元，直线、曲线以及其它的图元都是 点的集合。
在几何学中，一个点既没有大小，也没有维数，点只是表示 坐标系统中一个位置。
在计算机图形学中，点是用数值坐标来表示的。在直角坐标 系中点由（x,y) 两个数值组成的坐标表示，在三维坐标系中点 是由（x,y,z)三个数值组成的坐标表示。
在输出设备上输出一个点，就要把应用程序中的坐标信息转 换成所用输出设备的相应位置。对于一个CRT监视器来说，输出 一个点就是要在指定的屏幕位置上打上电子束，使该位置上的荧 光点亮。
在PC机中，点亮屏幕上一个点是由BIOS控制完成的，各种程 序语言中都有描点语句。例如C语言为putpixel(x,y,color) ,putpixel(放,摆-像素)。
问题:每步需要用到浮点数的 乘法、加法和取整运算，效 率不高。怎么办??
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3.2.1 数值微分法(DDA法)
增量算法 因为: y=kx+b,所以:
yi+1=kxi+1+b=k(xi+1)+b=kxi+b+k =yi+k (xi,yi)→(xi+1,yi+k)
r例图中 k<1 △X=1 △Y=k r将算得的直线上每个点的当前坐标，按四舍五入得到光栅点的位置
0 12 3 4 5
yi+1=yi+k
当 k 1时，必须把x，y地位互换
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程序实现：
void DDALine(int x0,int y0,int x1,int y1,int color)
{ int x; float dx,dy,k,y;
Line: P0(0, 0)-- P1(5, 2) 3
区域
dx
dy
1a(1)
1
k
1b(2)
1/k
1
2a(4)
-1
k
2b(3)
-1/k
1
3a(5)
-1
-k
3b(6)
-1/k
-1
4a(8)
1
-k
4b(7)
1/k
-1
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3.2.1 数值微分法(DDA法)
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数值微分法(DDA法)——特点
增量算法 直观、易实现 不利于用硬件实现
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3.2 直线的扫描转换
解 决 的 问 题 ： 给 定 直 线 两 端 点 P0(x0,y0) 和
P1(x1,y1)，画出该直线。 数值微分法(DDA算法) 中点画线算法 Bresenhan算法
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3.2.1 数值微分法(DDA法)
DDA（Digital Differential Analyzer）画线算法也 称数值微分法，是一种增量算法。它的算法实质是用数值方法 解微分方程，通过同时对x和y各增加一个小增量，计算下一 步的x、y值。
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直线光栅化算法
直线段生成 求与直线段充分接近的像素集
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3.2 直线的扫描转换
直线的绘制要求 （1）直线要直； （2）直线的端点要准确，无定向性无断裂； （3）直线的亮度、色泽要均匀； （4）画线的速度要快； （5）具有不同的色泽、亮度、线型等。
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第3章 基本图形生成算法
如何在指定的输出设备上根据坐标描述构造基 本几何图形（点、直线、圆、椭圆、多边形域、 字符串及其相关属性等）?
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第3章 基本图形生成算法
图形生成的概念 直线段的扫描转换 圆的扫描转换 多边形的扫描转换与区域填充 属性处理 反走样技术
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已知一条直线段L（P0, P1）,其端点坐标为：P0 (x0, y0), P1(x1, y1)。可计算出直线的斜率k为：
k y1 y0 x1 x0
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3.2.1 数值微分法(DDA法)
假定端点坐标均为整数，取 直线起点P0 (x0, y0)作为初 始坐标。画线过程从x的左端 点x0开始，向x右端点步进， 每步x递增1，计算相应的y 坐标， y=kx+b，取像素点 （x，round（y））作为当 前点的坐标。
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3.1 图形生成的概念
图形的生成：是在指定的 输出设备上，根据坐标描 述构造二维几何图形。
图形的扫描转换：在光栅 显示器等数字设备上确定 一个最佳逼近于图形的像 素集的过程。
用像素点集逼近直线
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3.1 图形生成的概念
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3.2 直线的扫描转换
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3.2.2 中点画线算法
中点画线算法的基本思想
为了讨论方便，假设直线的斜率在0到1