最新1月浙江自考实变函数与泛函分析初步试题及答案解析

1

浙江省2018年1月自考实变函数与泛函分析初步试题

课程代码：10023

一、单项选择题(本大题共3小题，每小题4分，共12分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1．设E,S 是两个集合，E,S 不对等，但E 与S 的真子集对等，则有( ) A.S E < B.S E = C.S E > D.不能确定

2．设Q 是R 中有理数的全体，则在R 中Q 的边界∂Q 是( )

A.Q

B.φ

C.R

D.R ＼Q

3．设{}n G 是一列开集，G=I ∞=1

n n G ，则G 一定是( )

A.开集

B.闭集

C.开集，也是闭集

D.不能确定 二、判断题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）

判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”。

1．在无限集中，可数集有最小基数.( )

2.对于P ∈Rn 的两个不同邻域U1(P)与U2(P)，一定存在P 的第三个邻域U3(P)满足U3(P)⊂U1(P)∩U2(P).( )

3.点集E ⊂Rn 的边界点一定是E 的聚点.( )

4.实直线R 上的有理数全体构成一个Lebesgue 外测度为零的集合.( )

5．一个函数在其定义域中每个孤立点不连续.( )

6．就Riemann 积分而言,积分运算与微分运算是两个互逆运算.( )

2 三、填空题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1．An=⎥⎦⎤⎢⎣

⎡+n 11,0,则∞→n lim supAn=_______. 2．任一有限集是_______(开,闭)集.

3．Lebesgue 可测集可以表示为_______集与零测度集的差集.

4．设f +(x)与f -(x)分别是f(x)的正部与负部,则f(x)用f +(x)与f -(x)表示为_______.

5．设f(x)在E 上有界,mE<∞,则f(x)在E 上可积的充要条件是f(x)在E 上_______.

6．设G1⊂Rp,G2⊂Rq 为开集,则G1×G2是Rp+q 中的_______(开,闭)集.

7．设Gn=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--n n 11,11,n=1,2,…,则I ∞

=1n n G =_______. 8．设E={}1|),(22<+y x

y x ,则在R3中0E =_______. 9．Cs(Y

I A ∈αα)=_____________________.

10．设f(x)在E 上Lebesgue 可积,f(x)≥0且⎰=E dx x f 0)(,则mE ［f>0］=_____________.

四、完成下列各题(本大题共4小题，每小题9分，共36分)

1．建立(0，1)与［0,1］之间的一一对应.

2．设f(x)是(-∞,+∞)上的实值连续函数,试证明对于任意常数a,E={}a f(x)x >|是开集,{}a x f x E ≥=)(|是闭集.

3．设mE<∞,f(x)在E 上可积,en=E ［|f|≥n ］,证明:∞→n lim

nmen=0. 4．证明:f(x)在点集E 上可测的充要条件是对任意有理数r,集E ［f>r ］可测;若E ［f=r ］可测,问f(x)是否可测.