复合函数的相关问题解读

复合函数的相关问题

下面就将复合函数的相关问题归类总结，供参考。

一、定义

对于函数y=f(u) u ∈B 与u=g(x) x ∈A ，如果x ∈A 时u=g(x)的值域C 与函数y=f(u)的定义域B 的交集非空，即C ∩B ≠φ，那么就说y=f(u) u ∈B 与u=g(x) x ∈A 可以复合，称函数y=f(g(x))叫做y=f(u) u ∈B 与u=g(x) x ∈A 的复合函数，其中y=f(u)叫做外函数，u=g(x)叫做内函数。

比如，20)y u u x ≥=-与(x ∈R)的复合函数是0)y x ==。

∵u=－x 2≤0与u ≥0的交集为{0}，∴二者可以复合，但定义域发生了变化，复合后的函数的定义域既不是u ≥0，也不是x ∈R ，而是x=0。也就是说复合函数的定义域既受外函数的制约也受内函数的制约（主要受外函数的制约）。 由定义知道2(0)1()y u u u x x R =≥=--∈与就不能复合成f(g(x))。

二、复合函数的定义域

由复合函数的定义知道，复合后的函数定义域受两方面的制约：法则f 制约g(x)的值域，从而制约x 的取值范围，法则g 制约x 的取值范围。因此在求复合函数的定义域时二者都需考虑。

见的题型是知道内函数的解析式和外函数的定义域，求复合函数的定义域。

例 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。

分析：法则f 要求自变量在[－1，1]内取值，则法则作用在2x －1上必也要求2x －1在 [－1，1]内取值，即－1≤2x －1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f(2x －1)中2x －1与f(x)中的x 位置相同，范围也应一样，∴－1≤2x －1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域。

（注意：f(x)中的x 与f(2x －1)中的x 不是同一个x ，即它们意义不同。）

解：∵f(x)的定义域为[－1，1]，

∴－1≤2x －1≤1，解之0≤x ≤1，

∴f(2x －1)的定义域为[0，1]。

三、法则——解析式

复合函数y=f(g(x))的法则既不是f,也不是g ，法则的运算我们没有学过,那么复合函数y=f(g(x))的法则是什么？从映射的角度很好解释。设y=f(u) u ∈B 的值域为D ，u=g(x) x ∈A 的值域为C ，设B ∩C=E （非空），由之确定的函数y=f(g(x))的定义域为F ，则有两个映射g ：F →E ；f ：E →D,如图。

这样从集合F 到集合D 就建立了一个映射。这个映射就是

复合函数y=f(g(x))，这里u 充当中间变量。自变量x 先被法则

g 作用，变成u ，再经过法则f 作用，变成y 。复合函数y=f(g(x))的法则是g 运算后再f 运算。由此得到一个副产品：用换元法求值域不会改变函数的值域.

例 已知f(x)=2x －1,g(x)=x 2+1,求f(g(x))、g (f (x)) 、f(f (x))、g (g (x))。

解：f(g(x))=2g(x)－1=2(x 2+1)－1=2 x 2+1;

g (f (x))=f 2(x)+1=(2x －1)2+1=4x 2－4x+2;

f(f (x))=2f(x)－1=2(2x －1)－1=4x －3;

g (g (x))= g 2(x)+1=(x 2+1)2+1=x 4+2x 2+2.

注：复合后还可以再撮合，如f(g(f(g(x)))) 等等。

四、复合函数的单调性

复合函数的单调性年年讲年年考年年都有学生出错。出错的主要原因集中在两个方面：（1）增减区间弄反（很少）；（2）单调区间不是定义域的子区间（绝大部分）。错因是教师在讲复合函数单调性的时候先总结出“同增异减”的规律，再强调定义域。一方面这个规律“同增异减”好记，另一方面在前面讲单调性时总忘指出在某一区间上单调，造成学生跟着模仿，忽视了区间，更忽视了定义域。因此我们在以后的学习过程中，一定要记住严谨。在解复合函数的单调区间时先求定义域再根据“同增异减”结合定义域求出单调区间。

下面通过例题来说明解题步骤和规律。

例 已知f(x)=222x x -,求f(x)的单调递增区间。

分析：显然f(x)的定义域为R ，f(x)是由2u y =及22u x x =-复合而成。

当x ≥1时，x u 内函数增增大时也增大，而2u u 外函数增增大时也增大，

∴x y 复合后增

增大时增大；

当x ≤1时，x u 内函数减增大时也减小，而2u u 外函数增减小时也减小，

∴x y 复合后减

增大时减小。

因此总结出规律：同增异减。

解：显然f(x)的定义域为R ，设u=x 2－2x ，

∵2u 在u ∈R 上单调递增，

∴欲求f(x)的单调递增区间，只须求u=x 2－2x 的单调递增区间。

而u=x 2－2x 在x ≥1上单调递增，

∴f(x)的单调递增区间是[1，+∞]。