第四章图的建立和应用

｛
ｇｒａｐｈ ｐｏｉｎｔｅｒ；
ｐｏｉｎｔｅｒ＝ｈｅａｄ－＞ｎｅｘｔ；
／＊指针指向首结点
ｗｈｉｌｅ （ｐｏｉｎｔｅｒ！＝ＮＵＬＬ）
｛
ｐｒｉｎｔｆ（＂［％ｄ］＂，ｐｏｉｎｔｅｒ－＞ｖｅｒｔｅｘ）；
ｐｏｉｎｔｅｒ＝ｐｏｉｎｔｅｒ－＞ｎｅｘｔ；
｝
41
ｐｒｉｎｔｆ（＂＼ｎ＂）；
｝
ｖｏｉｄ ｍａｉｎ（）
｛ｉｎｔ ｉ；
ｉｎｔ
ｎｏｄｅ［２０］［２］＝｛｛１，２｝，｛２，１｝，｛１，３｝，｛３，１｝，｛２，４｝，｛４，２｝，｛２，５｝ ｛５，２｝，｛３
，６｝，｛６，３｝，｛３，７｝， ｛７，３｝，｛４，８｝，｛８，４｝，｛５，８｝，｛８，５｝，｛６，８｝，｛ ，６｝，｛７，８｝，｛８，７｝｝；
／＊图 Ｇ３ 的所有结点的邻接点的邻接表＊／
Ｖｅｒｔｅｘ１ Ｖｅｒｔｅｘ２ Ｗｅｉｇｈｔ
Ｎｅｘｔ
２． 定义一个一维数组 Ｔｒｅｅ，用于当前存贮生成树集合的顶点是否产生回路。且用 １ 表示生成树的顶点，０ 表示非生成树的顶点，若新加入的邻接边中两个顶点都在 生成树集合中，表示会产生回路，这样该边落在同一个连通分量上，应该舍去。
３． 在利用克鲁斯卡尔算法之前建立的链表来加入生成树的邻接边，直到产生 Ｎ－１ 条 边。
｛ｎｅｗ－＞ｎｅｘｔ＝ｐｏｉｎｔｅｒ－＞ｎｅｘｔ；
ｐｏｉｎｔｅｒ－＞ｎｅｘｔ＝ｎｅｗ；
ｂｒｅａｋ；
｝
ｐｏｉｎｔｅｒ＝ｐｏｉｎｔｅｒ－＞ｎｅｘｔ；
｝
ｒｅｔｕｒｎ ｈｅａｄ；
｝
ｖｏｉｄ ｆｒｅｅ＿ｅｄｇｅ（ｅｄｇｅ ｈｅａｄ）
ｗｈｉｌｅ （ｐｏｉｎｔｅｒ！＝ＮＵＬＬ）
｛ｉｆ （ｖｉｓｉｔｅｄ［ｐｏｉｎｔｅｒ－＞ｖｅｒｔｅｘ］＝＝０）
ｄｆｓ（ｐｏｉｎｔｅｒ－＞ｖｅｒｔｅｘ）；
／＊递归调用＊／
ｐｏｉｎｔｅｒ＝ｐｏｉｎｔｅｒ－＞ｎｅｘｔ；
／＊下一个邻接点＊／
｝
｝
ｖｏｉｄ ｃｒｅａｔｅ＿ｇｒａｐｈ（ｉｎｔ ｖｅｒｔｅｘ１，ｉｎｔ ｖｅｒｔｅｘ２）／＊建立邻接顶点到邻接表内＊／
第四章 图的建立和应用
【实验目的】
１．熟练掌握图的邻接矩阵和邻接表的存储方式；
２．实现图的一些基本运算，特别是深度遍历和广度遍历；
３．掌握以图为基础的一些常用算法，如最小生成树、拓扑排序、最短路径等。
【实验学时】：４ 学时
第一节 图的遍历
【问题描述】从图中某一个顶点出发访问图中其余顶点，每个顶点被且仅被访问一 次的过程。称为图的遍历，又称为图的搜索。它是求解图的连通性问题、拓扑排序 和求关键路径等算法的基础。 【算法描述】 适合于无向／有向图的两种常用遍历图的方法是： １． 深度优先搜索过程（ＤＦＳ） （１） 基本思想：假设初始状态是图中所有顶点未曾被访问，则深度优先搜索可以
从图中某个顶点 ｖ 出发，访问此顶点，然后依次从 ｖ 的未被访问的邻接点出 发深度优先遍历图，直至图中所有和 ｖ 有路径相通的顶点都被访问到，则另 选图中一个未曾被访问的顶点做始点，重复上述过程，直至图中所有顶点都 被访问到为止。 （２） 由于深度优先搜索时，可选择同一深度邻接点中任何一个继续进行邻接点深 度优先搜索，故其遍历序列不是唯一的。我们以邻接表作为图的存储结构。 ２． 广度优先搜索（ＢＦＳ） 基本思想：假设从图中某个顶点 ｖ 出发，在访问了 ｖ 之后依次访问 ｖ 的未被访问的 邻接点，然后分别从这些邻接点出发一次访问它们的邻接点，并使“先访问的顶点 的邻接点”先于“后访问的顶点的邻接点”被访问，直至图中所有已被访问的顶点 的邻接点都被访问到。如果此时图中还有顶点未被访问到，则另选图中一个未曾被 访问的顶点做始点，重复上述过程，直至图中所有顶点都被访问到为止。我们以深 度优先搜索为例来写源程序。 【Ｃ 源程序】 ＃ｉｎｃｌｕｄｅ ＜ｓｔｄｌｉｂ．ｈ＞ ＃ｄｅｆｉｎｅ ｖｅｒｔｅｘｎｕｍ ９ ／＊定义顶点数＊／
／＊设为顶点数组之首结点＊／
ｗｈｉｌｅ （ｐｏｉｎｔｅｒ－＞ｎｅｘｔ！＝ＮＵＬＬ）
ｐｏｉｎｔｅｒ＝ｐｏｉｎｔｅｒ－＞ｎｅｘｔ；
／＊下一个结点＊／
ｐｏｉｎｔｅｒ－＞ｎｅｘｔ＝ｎｅｗ；
／＊串在链尾＊／
｝
｝
ｖｏｉｄ ｐｒｉｎｔ＿ｇｒａｐｈ（ｓｔｒｕｃｔ ｎｏｄｅ ＊ｈｅａｄ）
／＊输入出邻接表数据＊／
ｐｒｉｎｔｆ（＂ｇｒａｐｈ＼ｎ＂）；
ｆｏｒ （ｉ＝１；ｉ＜ｖｅｒｔｅｘｎｕｍ；ｉ＋＋）
｛ｐｒｉｎｔｆ（＂ｖｅｒｔｅｘ［％ｄ］： ＂，ｉ）；
ｐｒｉｎｔ＿ｇｒａｐｈ（＆ｈｅａｄ［Ｉ］）；
｝
ｐｒｉｎｔｆ（＂ｔｈｅ ｄｅｐｔｈ ｏｆ ｔｈｅ ｇｒａｐｈ ｉｓ：＼ｎ＂）；
ｐｒｉｎｔｆ（＂ ［开始］＝＝＞ ＂）；
｝
ｖｏｉｄ ｐｒｉΒιβλιοθήκη Baiduｔ＿ｅｄｇｅ（ｅｄｇｅ ｈｅａｄ）
／＊输出链表数据＊／
44
｛ｅｄｇｅ ｐｏｉｎｔｅｒ；
ｐｏｉｎｔｅｒ＝ｈｅａｄ；
ｗｈｉｌｅ（ ｐｏｉｎｔｅｒ！＝ＮＵＬＬ）
／＊当结点为 ＮＵＬＬ 时结束循环＊／
｛ｐｒｉｎｔｆ（＂［％ｄ，％ｄ］ ＂，ｐｏｉｎｔｅｒ－＞ｖｅｒｔｅｘ１，ｐｏｉｎｔｅｒ－＞ｖｅｒｔｅｘ２）；
｛ ｇｒａｐｈ ｐｏｉｎｔｅｒ，ｎｅｗ；
ｎｅｗ＝（ｇｒａｐｈ）ｍａｌｌｏｃ（ｓｉｚｅｏｆ（ｓｔｒｕｃｔ ｎｏｄｅ））；／＊配置内存＊／
ｉｆ （ｎｅｗ！＝ＮＵＬＬ）／＊成功＊／
｛
ｎｅｗ－＞ｖｅｒｔｅｘ＝ｖｅｒｔｅｘ２；
／＊邻近接点＊／
ｎｅｗ－＞ｎｅｘｔ＝ＮＵＬＬ；
ｐｏｉｎｔｅｒ＝＆（ｈｅａｄ［ｖｅｒｔｅｘ１］）；
代价最小的边，直至Ｔ中所有顶点都在同一连通分量上为止。该算法的时间复杂
度为 Ｏ（ｅｌｏｇｅ）。
以图 Ｇ３ 进行描述：首先，将图形中的所有边按递增排列如下：
邻接 边
（４，５） （３，４） （１，４） （１，３） （１，２） （２，４） （２，５） （３，５） （１，５） （２，３）
权值
２
３
５
６
７
８
８
９
ｖｏｉｄ ｋｒｕｓｋａｌ（ｅｄｇｅ ｈｅａｄ）
｛ｅｄｇｅ ｐｏｉｎｔｅｒ；
ｉｎｔ ｅｄｇｅｎｕｍ＝０；
／＊已连结边的数目＊／
ｉｎｔ ｗｅｉｇｈｔ＝０；
ｐｏｉｎｔｅｒ＝ｈｅａｄ；
ｗｈｉｌｅ（ｅｄｇｅｎｕｍ！＝（ｖｅｒｔｅｘｎｕｍ－１））／＊当边的数目为顶点数少 １ 时，结束循环＊／
｛ｉｆ （ｖｉｓｉｔｅｄ［ｐｏｉｎｔｅｒ－＞ｖｅｒｔｅｘ１］＝＝０｜｜ｖｉｓｉｔｅｄ［ｐｏｉｎｔｅｒ－＞ｖｅｒｔｅｘ２］＝＝０）
ｔｙｐｅ Ｎｏｄｅ ＊ｅｄｇｅ；
ｉｎｔ
ｅｄｇｅｓ［１０］［３］＝｛｛１，２，７｝，｛１，３，６｝，｛１，４，５｝，｛１，５，１２｝，｛２，３，１４ ，｛２，４，８｝，｛２，５，８｝，
｛３，４，３｝｛３，５，９｝，｛４，５，２｝｝； ／＊针对图 Ｇ３ 的结点数据以及权值＊／
ｉｎｔ ｖｉｓｉｔｅｄ［ｖｅｒｔｅｘｎｕｍ］；
ｐｒｉｎｔｆ（＂（％ｄ） ＂，ｐｏｉｎｔｅｒ－＞ｗｅｉｇｈｔ）；／＊输出权值＊／
ｐｏｉｎｔｅｒ＝ｐｏｉｎｔｅｒ－＞ｎｅｘｔ；
｝
ｐｒｉｎｔｆ（＂＼ｎ＂）；
｝
ｅｄｇｅ ｉｎｓｅｒｔ＿ｅｄｇｅ（ｅｄｇｅ ｈｅａｄ，ｅｄｇｅ ｎｅｗ）／＊插入邻接边到链表内＊／
｛ｅｄｇｅ ｐｏｉｎｔｅｒ；
ｐｏｉｎｔｅｒ＝ｈｅａｄ；
／＊设为已访问＊／
ｖｉｓｉｔｅｄ［ｐｏｉｎｔｅｒ－＞ｖｅｒｔｅｘ２］＝１；
｝
ｐｏｉｎｔｅｒ＝ｐｏｉｎｔｅｒ－＞ｎｅｘｔ；
／＊下一个结点＊／
ｉｆ（ｐｏｉｎｔｅｒ＝＝ＮＵＬＬ）
｛ｐｒｉｎｔｆ（＂ｎｏ ｔｒｅｅ＼ｎ＂）；
ｂｒｅａｋ；
｝
｝
ｐｒｉｎｔｆ（＂＼ｎｔｏｔａｌ ｗｅｉｇｈｔ ｉｓ ％ｄ＂，ｗｅｉｇｈｔ）；／＊输出加权值总和＊／
决该问题有两个经典的算法：普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。 【算法描述】 １． 普里姆（Ｐｒｉｍ）算法：它的思想是每次加入一个邻接边来建立最小生成树，直到
42
Ｎ－１ 条边为止。设 Ｇ＝（Ｖ，Ｅ）是连通网，ＴＥ 是 Ｇ 上最小生成树中边的集合，初 值为空，Ｕ 为顶点集合，初值 Ｕ＝（Ｕ０）重复执行：在所有 ｕ Ｕ，ｖ Ｖ－Ｕ 的边（ｕ， ｖ） Ｅ 中找一条代价最小的边（Ｕ０， Ｖ０）并入 ＴＥ，同时，Ｖ０ 并入 Ｕ。直到 Ｕ＝Ｖ， 此时最小生成树＝（Ｖ，ＴＥ）。该算法的时间复杂度为 Ｏ（ｎ２）。
／＊ｐｏｉｎｔｅｒ 设为首结点
＊／
ｗｈｉｌｅ（１）
｛
ｉｆ （ｎｅｗ－＞ｗｅｉｇｈｔ＜ｈｅａｄ－＞ｗｅｉｇｈｔ）／＊新的加权值比首结点值小＊／
｛ｎｅｗ－＞ｎｅｘｔ＝ｈｅａｄ；
／＊插入在首结点之前＊／
ｈｅａｄ＝ｎｅｗ；
ｂｒｅａｋ；
｝
ｉｆ（ｎｅｗ－＞ｗｅｉｇｈｔ＞＝ｐｏｉｎｔｅｒ－＞ｗｅｉｇｈｔ＆＆ｎｅｗ－＞ｗｅｉｇｈｔ＜ｐｏｉｎｔｅｒ－＞ｎｅｘｔ－＞ｗｅｉｇｈｔ）
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ｓｔｒｕｃｔ ｎｏｄｅ
／＊图顶点结构：用邻接表存储＊／
｛
ｉｎｔ ｖｅｒｔｅｘ；
／＊邻接顶点数据＊／
ｓｔｒｕｃｔ ｎｏｄｅ ＊ｎｅｘｔ；
／＊下一个邻接顶点＊／
｝；
ｔｙｐｅｄｅｆ ｓｔｒｕｃｔ ｎｏｄｅ ＊ｇｒａｐｈ；
／＊定义图结构＊／
ｓｔｒｕｃｔ ｎｏｄｅ ｈｅａｄ［ｖｅｒｔｅｘｎｕｍ］；
ｆｏｒ （ｉ＝０；ｉ＜ｖｅｒｔｅｘｎｕｍ；ｉ＋＋）
｛ ｈｅａｄ［ｉ］．ｖｅｒｔｅｘ＝ｉ；
ｈｅａｄ［ｉ］．ｎｅｘｔ＝ＮＵＬＬ；
｝
ｆｏｒ （ｉ＝０；ｉ＜ｖｅｒｔｅｘｎｕｍ；ｉ＋＋） ／＊配置所有结点均未访问＊／
ｖｉｓｉｔｅｄ［ｉ］＝０；
ｆｏｒ （ｉ＝０；ｉ＜２０；ｉ＋＋）
ｃｒｅａｔｅ＿ｇｒａｐｈ（ｎｏｄｅ［ｉ］［０］，ｎｏｄｅ［ｉ］［１］）；／＊建立邻接表＊／
ｄｆｓ（１）；
／＊首先从结点 １ 开始＊／
ｐｒｉｎｔｆ（＂ ［结束］ ＂）；
｝
【实验题】
１． 试设计一个广度优先搜索法来遍历一个图程序。
２． 将邻接表换成邻接矩阵来存储图，改写上面的深度优先搜索算法。
第二节 图的最小生成树实验
【问题描述】 最小生成树问题：在网上，选择一棵生成树，使树上各边的代价之和为最小。解
ｉｎｔ ｖｉｓｉｔｅｄ［ｖｅｒｔｅｘｎｕｍ］；
／＊用于标记结点是否已访问＊／
ｖｏｉｄ ｄｆｓ（ｉｎｔ ｖｅｒｔｅｘ）
／＊深度优先搜索法＊／
｛ｇｒａｐｈ ｐｏｉｎｔｅｒ；
ｖｉｓｉｔｅｄ［ｖｅｒｔｅｘ］＝１；
／＊标记此结点已访问＊／
ｐｒｉｎｔｆ（＂［％ｄ］＝＝＞＂，ｖｅｒｔｅｘ）；
ｐｏｉｎｔｅｒ＝ｈｅａｄ［ｖｅｒｔｅｘ］．ｎｅｘｔ；
２
4
７
5
1
２
３
5
３
7 1
6
２8
4 14 5
32 8 12
5
３
9
图 ５－１ Ｇ３ 的最小生成树
图 5-2 图 G3
２． 克鲁斯卡尔（Ｋｒｕｓｋａｌ）：设Ｇ＝（Ｖ，Ｅ）是连通网。令最小生成树Ｔ的初始状
态为：Ｔ＝（Ｖ，φ）重复在Ｅ中选择代价最小的边，若该边依附的顶点落在Ｔ
中不同的连通分量上，则将此边加入到Ｔ的边集中，否则舍去此边而选择下一条
｛ｐｒｉｎｔｆ（＂＝＝＞［％ｄ，％ｄ］ ＂，ｐｏｉｎｔｅｒ－＞ｖｅｒｔｅｘ１，ｐｏｉｎｔｅｒ－＞ｖｅｒｔｅｘ２）；
ｐｒｉｎｔｆ（＂（％ｄ）＂，ｐｏｉｎｔｅｒ－＞ｗｅｉｇｈｔ）；
ｗｅｉｇｈｔ＋＝ｐｏｉｎｔｅｒ－＞ｗｅｉｇｈｔ；
ｅｄｇｅｎｕｍ＋＋；
ｖｉｓｉｔｅｄ［ｐｏｉｎｔｅｒ－＞ｖｅｒｔｅｘ１］＝１；
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【Ｃ 源程序】
＃ｉｎｃｌｕｄｅ＜ｓｔｄｌｉｂ．ｈ＞
＃ｄｅｆｉｎｅ ｍａｘ １０
＃ｄｅｆｉｎｅ ｖｅｒｔｅｘｎｕｍ ５
ｓｔｒｕｃｔ ｌｉｓｔ
／＊结构定义＊／
｛
ｉｎｔ ｖｅｒｔｅｘ１；
ｉｎｔ ｖｅｒｔｅｘ２；
ｉｎｔ ｗｅｉｇｈｔ；
ｓｔｒｕｃｔ ｌｉｓｔ ＊ｎｅｘｔ；
｝；
ｔｙｐｅｄｅｆ ｓｔｒｕｃｔ ｌｉｓｔ Ｎｏｄｅ； ／＊定义邻接边的结点＊／
１２
１４
step 1：首先从上表中选择最小权值的边（4，5）加到生成树中。 Step2：依次取出第二条边（3，4）加到生成树中。 Step 3 将（1，4）边加入到生成树中。 Ｓｔｅｐ ４ 因加入（１，３）边，会产生回路，因此加入（１，２）边。有 ５ 个结点， 而有 ４ 条边，因此整个生成树建立过程结束。 这两种算法的角度不同，适合于针对不同的图，对稀疏图来说，顶点多而边少， 采用克鲁斯卡尔算法较好；而对稠密图来说，顶点少而边多，最好用普里姆算法。 我们以克鲁斯卡尔算法为例讨论最小生成树的算法。 【数据描述】 １． 先将所有邻接边依加权值递增用链表链接起来。节点结构：