水平面渗流有限元计算中减压井点处理

水平面渗流有限元计算中减压井点处理

水平面渗流有限元计算中减压井点处理

摘要：为解决水平面二维有限元方法计算减压井时井点附近奇异区问题，在李祖贻等针对特定网格划分推导出修正井水位法的成果基础上，推导适应一般网格划分的修正公式。通过特例分析计算，验证修正公式精度和适应性，减压井计算受单元尺寸、尺寸差异影响很小，流量和井点以外节点水头值满足精度要求。针对有限元计算时涉及的井阻力情况，给出实用的修正公式处理方法。

关键词：有限元减压井渗流中断面法

20

(1华南理工大学土木工程系，广东广州510641；2广东省水利水电科学研究院，广东广州510610)

减压井是堤防防渗加固的一种常用工程措施，需要定量分析它的出水量和减压效果。多数堤防强透水层水平成层分布，满足缓变渗流条件[1]，可以用水平面二维有限元方法。井的公式大多在缓变渗流条件下推导出的，因此在水平面有限元计算中，可将减压井设为一个节点，以出水量和井内外水位差的协调，将井的公式与其结合，解决计算问题。因井点附近是奇异区，水头分布为对数旋转面，无法用有限个平面或低阶曲面拟合，必须作特殊处理。

李祖贻等[1,2]以在井周划分为4个相同的等腰直角三角形单元的特殊情况(图1) ，推出修正井水位法及修正井周单元渗透系数法。设hw为井水位，h0为井节点计算水头，ha为井周节点计算水头。井水位修正的要求是：给定修正量Δh,当h0满足h0=hw+Δh时，计算得井的出水量Q和井周节点水头ha与解析解相同。由此得：

(1)

式中：q=Q/T为单位厚度流量；a为节点间距。

由于该修正公式针对特定单元划分，应用时有一定局限性。修正井周单元渗透系数法的数学推导与修正井水位法相同，只在计算中处理方式不同，两者计算出水量差不多。但当井数多，单元尺寸与井间距相比不很小时，由于单元渗透系数修正使井后区域计算得水头偏低(回升水头偏小)。因此，后续讨论仅就修正井水位法进行。

减压井还受非完整井、井壁摩阻力和动力水头等影响，井水位与滤管外砂层的平均水头不同，分别用h′w和hw表示，两者之差是井出水量的函数，可由井的公式[1,3]获得。

1 按等分圆周角划分单元时的修正公式

1.1 修正公式推导图1中的4个三角形可看成在以井点为圆心，a 为半径的圆周上4等分而分割成的单元。下面进一步讨论划分任意n 等分的情况。图2 所示为等分n个单元后的其中一个。为便于讨论，将坐标系平移、旋转，使井点i落在(0,0) ，j点落在x轴上，这样不影响流量计算。该三角形两相邻边长为a，夹角φ＝２π/n，井点计算水头为h0，j、m点水头ha，单元流量qe按中断面法计算[1]：

(2)

式中：Δ为单元面积；bi,bj,bm,ci,cj,cm为单元节点对边向y及x 轴投影长度，可在一般有限元书中找到。注意到图2中流量定义与井出水相反，按井点习惯出水为正，反号后由式(2)推得：

(3)

设流向井点的水均匀分布，总流量q与qe的关系为q=nqe=2π=qe/φ，整理可得

(4)

按修正的要求，同一流量下，半径为rw的井，距井点a处水头也为ha，解析公式为

(5)

由式(5)与式(4)可得按等分圆周角划分单元时的修正公式

(6)

显然，式(1)是式(6)在φ＝π/2或n=4时的特例。

1.2 对修正公式的讨论修正公式含有流量，受远处单元影响情况需进一步论证。

讨论最简单的情形：单元分划成放射状，如图3所示。第1圈节点距井点a，节点数n，两节点对应圆心角φ，节点水头ha。第m圈节点距井点ma，节点数mn，两节点对应圆心角φ/m ，坐标旋转为图3所示情况下，φ角对应区域的m+1个节点坐标为(macosi/φm,masini/φm(i=0,1,…,m)，节点水头hm。该圈与m-1圈间共(2m-1)n个单元，其中mn个单元有两个节点在m圈上，(m-1)n个单元只有一个节点在m圈上。由中断面法可求得该圈单元向井流量近似值为

qm=klm(hm-hm-1)/a

(6)

式中：lm为m圈各三角形单元中断面长度与三角形高的比值累加再乘以单元尺寸a，l1=antan(φ/2)，

(7)

由于通过各圈单元流向井点的流量相等，递推可得

(m=1,2,…,M)

(8)

式中：M为井的影响半径R对应的节点圈数，R＝Ma。设远方水头为hR，将式(4)、式(6)代入式(8)，消去h0，ha得

(9)

解析解流量q′=2πk(hR-hw)/ln(Ma/rw)。

作为对比，可计算同等条件下不作修正的流量qu，这只须在式(8)中令h0=hw，并将式(4)代入消去ha，得。

定义流量相对误差Δq=(q-q′)/q′，可对各种不同网格划分的计算流量进行比较。

表1列出R=1000rw时(相当于井径02m，影响半径100m)，不同单元尺寸计算流量的相对误差Δq。

表1 不同网格划分的计算流量相对误差比较(%)

a/rw

π/2

π/4 π/8 φ→0 修正不修正修正不修正修正不修正修正

不修正

20

50

100

-0.404 -0.403 -0.399

25.3 50.3 77.0

0.353 0.352 0.350

19.4 41.9 65.4

0.483

0.482

0.478

18.0

39.9

62.7

0.531

0.530

0.525

17.6

39.3

61.9

由表可见，未作修正时，流量计算误差很大，且受单元尺寸影响很大。经修正后，算得流量几乎不受尺寸影响。当φ由大变小，流量误差随之由负变正，当φ趋向于0，误差趋向于0.53%，不大于1%。误差最小值在φ＝π/2～π/4，即4～8等分圆周时。

图4为井点附近节点水头与理论解(对数曲线)比较(R＝1000rw,a=50rw,φ=π/4)。图中可见修正后的井周外第二圈节点水头