等腰三角形的五个模型
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等腰三角形
1.(1)已知:等腰三角形的一个内角为140°,那么另外两个角的度数为:__________ (2)等腰三角形有一个内角就是70,那么它的顶角为:__________ (3)等腰三角形的周长为30,其中一边长为14,那么底边的长:__________
(4)等腰三角形,它的两条边长分别为2与4,那么它的周长为:
2.如图,在△ABC 中,∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点O,过点O 作EF ∥BC,交AB 于E,
交AC 于F,AB=9,AC=8、求:(1)图中有几个等腰三角形,(2)AEF 的周长。并说明理由。
模型一:角平分线+平行线→等腰三角形
3、如图,已知BO 平分CBA ∠,CO 平分ACB ∠,MN BC ∥,且过点O ,若
12AB =,14AC =,则AMN △的周长就是
. 4、如图2,△ABC 中,AB =AC ,在AC 上取点P ,过点P 作EF ⊥BC ,交BA 的延长线于点E ,垂足为点F .求证:AE =AP .
5、如图3,在△ABC 中,∠BAC ,∠BCA 的平分线相交于点O ,过点O 作DE ∥AC ,分别交AB ,BC 于点D ,E .试猜想线段AD ,CE ,DE 的数量关系,并说明您的猜想理由.
6、如图4,△ABC 中,AD 平分∠BAC ,E ,F 分别在BD ,AD 上,且DE =CD ,EF =AC .求证:EF ∥AB .
模型二 角平分线+垂线→等腰三角形 当一个三角形中出现角平分线与垂线时,我们就可以寻找到等腰三角形.
1、如图5中,若AD 平分∠BAC ,AD ⊥DC ,则△AEC 就是等腰三角形.
2、如图6,已知等腰R t△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =90°,BF 平分∠ABC ,CD ⊥BD 交BF 的延长 C
A B E D
O 图3
图4 B F C D E A 图2 F
B A
C P E 图6 B
F D
C
A
E 图5 A B C D
线于D .求证:BF =2CD .
模型三 作倍角的平分线→等腰三角形
当一个三角形中出现一个角就是另一个角的2倍时,我们就可以作倍角的平分线寻找到等腰三角形.
1、如图7中,若∠ABC =2∠C ,如果作BD 平分∠ABC ,则△DBC 就是等腰三角形.
2、如图8,△ABC 中,∠ACB =2∠B ,BC =2AC .求证:∠A =90°.
模型四 “以角平分线为轴翻折”构造全等三角形 如图,在ABC △中,AD 平分BAC ∠,AB=AC+CD,求:B C ∠:∠的值.
模型五 “角平分线 + 垂线”构造全等三角形或等腰三角形
1.根据角平分线的性质作垂线:自角的平分线上任意一点向角的两边作垂线,得到两个全等的直角三角形;
2.根据等腰三角形的“三线合一”性质作垂线:自角的一边上任意一点作角平分线的垂线,使之与另一边相交,则截的一个等腰三角形.
如图4,在四边形ABCD 中,BC BA >,AD DC =,BD 平分ABC ∠.
求证:180A C ︒+=∠∠.
C
B 图7 D A 图8
C B A A C
D A B C D
(图4)