2020高考数学二轮复习小题分类练六[浙江]
2020-2021学年高考数学专版三维二轮专题复习训练：6个解答题综合仿真练(六)_含解析
6个解答题综合仿真练(六)1.如图，在四棱锥E ABCD 中，平面EAB ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，EA ⊥EB ，点M ，N 分别是AE ，CD 的中点．求证：(1)MN ∥平面EBC ； (2)EA ⊥平面EBC.证明：(1)取BE 中点F ，连结CF ，MF ， 又M 是AE 的中点， 所以MF 綊12AB.又N 是矩形ABCD 边CD 的中点，所以NC 綊12AB ，所以MF 綊NC ，所以四边形MNCF 是平行四边形，所以MN ∥CF. 又MN ⊄平面EBC ，CF ⊂平面EBC ， 所以MN ∥平面EBC. (2)在矩形ABCD 中，BC ⊥AB ，又平面EAB ⊥平面ABCD ，平面ABCD ∩平面EAB ＝AB ，BC ⊂平面ABCD ， 所以BC ⊥平面EAB.又EA ⊂平面EAB ，所以BC ⊥EA.又EA ⊥EB ，BC ∩EB ＝B ，EB ⊂平面EBC ，BC ⊂平面EBC ，所以EA ⊥平面EBC. 2．△ABC 中，AB ―→·AC ―→＝27S △ABC (S △ABC 表示△ABC 的面积)．(1)若BC ＝2，求△ABC 外接圆的半径； (2)若B －C ＝π4，求sin B 的值．解：(1)因为AB ―→·AC ―→＝27S △ABC ，所以AB ·AC ·cos A ＝27·12AB ·AC ·sin A ，即cos A ＝17sin A ，又因为cos 2A ＋sin 2A ＝1，A ∈(0，π)，解得sin A ＝7210，cos A ＝210.设△ABC 外接圆的半径为R ，则2R ＝BC sin A ＝27210＝1027，所以R ＝527，即△ABC 外接圆的半径为527.(2)因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C)＝sin(π－A)＝sin A ＝7210，cos(B ＋C)＝cos(π－A)＝－cos A ＝－210， 则cos 2B ＝cos[(B ＋C)＋(B －C)] ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤B ＋C ＋π4 ＝cos(B ＋C)cos π4－sin(B ＋C)sin π4＝－210×22－7210×22＝－45. 又cos 2B ＝1－2sin 2B ，所以sin 2B ＝1－cos 2B 2＝1＋452＝910，又因为B ∈(0，π)，所以sin B ＞0，所以sin B ＝31010.3．如图是一座桥的截面图，桥的路面由三段曲线构成，曲线AB 和曲线DE 分别是顶点在路面A ，E 的抛物线的一部分，曲线BCD 是圆弧，已知它们在接点B ，D 处的切线相同，若桥的最高点C 到水平面的距离H ＝6米，圆弧的弓高h ＝1米，圆弧所对的弦长BD ＝10米．(1)求BCD 所在圆的半径；(2)求桥底AE 的长.解：(1)设BCD 所在圆的半径为r(r>0)， 由题意得r 2＝52＋(r －1)2，∴r ＝13. 答：BCD 所在圆的半径为13米．(2)以线段AE 所在直线为x 轴，线段AE 的中垂线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．∵H ＝6米，BD ＝10米，弓高h ＝1米，∴B(－5,5)，D(5,5)，C(0,6)，设BCD 所在圆的方程为x 2＋(y －b)2＝r 2(r>0)，则⎩⎨⎧ 6－b 2＝r 2，52＋5－b 2＝r 2，∴⎩⎨⎧b ＝－7，r ＝13.∴BCD 的方程为x 2＋(y ＋7)2＝169(5≤y ≤6)． 设曲线AB 所在抛物线的方程为y ＝a(x －m)2， ∵点B(－5,5)在曲线AB 上， ∴5＝a(5＋m)2，①又BCD 与曲线段AB 在接点B 处的切线相同，且BCD 在点B 处的切线的斜率为512，由y ＝a(x －m)2，得y ′＝2a(x －m)， ∴2a(－5－m)＝512，∴2a(5＋m)＝－512，②由①②得m ＝－29， ∴A(－29,0)，E(29,0).∴桥底AE ＝29－(－29)＝58米． 答：桥底AE 的长58米．4.如图，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左顶点A(－2,0)，且点⎝⎛⎭⎪⎫－1，32在椭圆上，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点．过点A 作斜率为k(k>0)的直线交椭圆E 于另一点B ，直线BF 2交椭圆E 于点C.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若△CF 1F 2为等腰三角形，求点B 的坐标； (3)若F 1C ⊥AB ，求k 的值． 解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，a 2＝b 2＋c 2，14＋94b 2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1.∴椭圆E 的标准方程为x 24＋y23＝1.(2)∵△CF 1F 2为等腰三角形，且k>0， ∴点C 在x 轴下方，若F 1C ＝F 2C ，则C(0，－3)；若F 1F 2＝CF 2，则CF 2＝2，∴C(0，－3)； 若F 1C ＝F 1F 2，则CF 1＝2，∴C(0，－3)， ∴C(0，－3)．∴直线BC 的方程y ＝3(x －1)，由⎩⎨⎧y ＝3x －1，x 24＋y23＝1，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝335.∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，335.(3)设直线AB 的方程为y ＝k(x ＋2)，由⎩⎨⎧y ＝k x ＋2，x 24＋y 23＝1消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0，∴x A ·x B ＝－2x B ＝16k 2－123＋4k 2，∴x B ＝－8k 2＋63＋4k 2，∴y B ＝k(x B ＋2)＝12k3＋4k2，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 2＋63＋4k2，12k 3＋4k 2.若k ＝12，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，∴C ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，∵F 1(－1,0)，∴kCF 1＝－34，∴F 1C 与AB 不垂直； ∴k ≠12，∵F 2(1,0)，kBF 2＝4k 1－4k 2，kCF 1＝－1k ，∴直线BF 2的方程为y ＝4k1－4k 2(x －1)，直线CF 1的方程为y ＝－1k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4k1－4k 2x －1，y ＝－1k x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝8k 2－1，y ＝－8k.∴C(8k 2－1，－8k)． 由点C 在椭圆上，得8k 2－124＋－8k 23＝1，即(24k 2－1)(8k 2＋9)＝0，即k 2＝124，∵k>0，∴k ＝612. 5．数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝4－a n . (1)求证：数列{a n }为等比数列，并求通项公式a n ；(2)是否存在自然数c 和k ，使得a k ＋1S k －c ＞1成立？若存在，请求出c 和k 的值； 若不存在，请说明理由．解：(1)证明：当n ＝1时，S 1＋a 1＝4，得a 1＝2,由S n ＝4－a n ，① 得S n ＋1＝4－a n ＋1，②②－①得，S n ＋1－S n ＝a n －a n ＋1，即a n ＋1＝12a n,所以a n ＋1a n ＝12，且a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为12的等比数列，且a n ＝12n －2.(2)法一：因为a n ＝12n －2，所以a k ＋1＝12k －1，S k ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12k ，要使a k ＋1S k －c ＝242k －1－c ·2k>1成立，只要使c －42k＋6c －42k＋4<0(*)成立， 当c ≥4时，不等式(*)不成立；(也可以根据S k ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12k >c ，且2≤S k ＜4，所以c 的可能取值为0,1,2,3)当c ＝0时，1<2k<32，不存在自然数k 使(*)成立；当c ＝1时，43<2k<2，不存在自然数k 使(*)成立；当c ＝2时，2<2k<3，不存在自然数k 使(*)成立； 当c ＝3时，4<2k <6，不存在自然数k 使(*)成立． 综上所述，不存在自然数c ，k ，使a k ＋1S k －c >1成立.法二：要使a k ＋1S k －c ＞1，只要S k ＋1－cS k －c>2，即只要c －⎝ ⎛⎭⎪⎫32S k －2c －S k <0，因为S k ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12k <4，所以S k －⎝ ⎛⎭⎪⎫32S k －2＝2－12S k >0，故只要32S k －2＜c ＜S k .①因为S k ＋1＞S k ， 所以32S k －2≥32S 1－2＝1.又S k ＜4，故要使①成立，c 只能取2或3.当c ＝2时，因为S 1＝2，所以当k ＝1时，c ＜S k 不成立，从而①不成立． 当k ≥2时，因为32S 2－2＝52>c ，由S k ＜S k ＋1，得32S k －2＜32S k ＋1－2，故当k ≥2时，32S k －2＞c ，从而①不成立.当c ＝3时，因为S 1＝2，S 2＝3，所以当k ＝1，k ＝2时，c ＜S k 不成立，从而①不成立． 因为32S 3－2＝134>c ，又32S k －2＜32S k ＋1－2，所以当k ≥3时，32S k －2＞c ，从而①不成立.综上所述，不存在自然数c ，k ，使a k ＋1S k －c >1成立．6．已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋1，g(x)＝a 2x 2＋bx ＋1. (1)若f(x)≥g(x)对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若函数f(x)有两个不同零点x 1，x 2，函数g(x)有两个不同零点x 3，x 4. ①若x 3＜x 1＜x 4，试比较x 2，x 3，x 4的大小关系；②若x 1＝x 3＜x 2，m ，n ，p ∈(－∞，x 1)，f ′m g n ＝f ′n g p ＝f ′pg m ，求证：m ＝n ＝p.解：(1)因为f(x)≥g(x)对任意实数x 恒成立， 所以ax 2≥a 2x 2对任意实数x 恒成立， 所以a 2－a ≤0，解得0≤a ≤1.又由题意可得a ≠0，所以实数a 的取值范围为(0,1]． (2)①因为函数g(x)的图象开口向上，且其零点为x 3，x 4， 故g(x)＜0，得x 3<x<x 4.因为x1，x2是f(x)的两个不同零点，故f(x1)＝f(x2)＝0.因为x3＜x1＜x4，故g(x1)＜0＝f(x1)，于是(a2－a)x21＜0.注意到x1≠0，故a2－a＜0.因为g(x2)－f(x2)＝(a2－a)x22＜0，故g(x2)＜f(x2)＝0，从而x3<x2<x4，于是x3＜x2＜x4.②证明：记x1＝x3＝t，故f(t)＝at2＋bt＋1＝0，g(t)＝a2t2＋bt＋1＝0，于是(a－a2)t2＝0.因为a≠0，且t≠0，故a＝1.所以f(x)＝g(x)且函数图象开口向上.所以当x∈(－∞，x1)时，f(x)单调递减，f′(x)单调递增且f′(x)＜0，g(x)单调递减且g(x)＞0.若m＞n，则f′(n)<f′(m)＜0，于是1g n ＞1g p＞0，从而g(p)＞g(n)＞0，故n＞p.同上，当n＞p时，可推得p＞m.所以p＞m＞n＞p，矛盾．所以m＞n不成立. 同理，n＞m亦不成立．所以m＝n.同理，n＝p.所以m＝n＝p.。
浙江专版2020年高考数学二轮专题复习保分大题规范专练六(20201124123108)
文档从网络中收集，已重新整理排版.word 版本可编辑•欢迎下载支持.保分大题规范专练(六)1-已知 f3 =sin 2%—2&sinlY+2&・⑴当用一■,石时，求f(y)的取值范羽;3⑵已知锐角三角形磁满足fM)=萌，且sin B=g 解：(1) Vf(x) =sin 2x+2&cos 「x = sin 2x+&(cos 2-r+l) =2sin (2x+w)+Q5,•: f{x) W [0, 2+A /5 ]・(2)在锐角三角形月證中，•.*(£)=羽, .•・2sin (2£+士)+&=羽，.・,宀 sin C=^・・.Sig=*bcsin J=|X 2X 3+^X^=2•如图• P 月助和Q 磁为两个全等的正棱锥，且？1,APB=90c ■ (2)求直线丹与平而刃。
所成角的正弦值.Zb=2、 求△遊的而积.2J+y= n ,JT・・・r‘ Asin C=sin(万+丁]=三灯+职3 z l , 4、" 3+4羽 10 /•sin 2/H n3A2^+yGBE 又Vsin 5=|, □解：由已知得P 桃和Q Q是顶角处三条棱两两垂直，底而是正三角形的正棱锥，苴中侧棱长为芈.(1)证明：易知底而测是菱形，连接图略)，则川Cim 易证PQ//AC.所以FQ丄血由已知得尸磁和Q M是顶角处三条棱两两垂直，所以肿丄平ifil PBD.所以助丄胪因为APC\PQ=P.所以助丄平WiAPQ.(2)法一：由⑴知FQ丄加,取必中点M连接QM 分别过点只0做/JQ的垂线，垂足分由正棱锥的性质可知/ A•分别为△磁，△万G?的重心，可知四其中PQ=^AC=^-, PH=^~.D)f=<P疗-戌Sg=^BD •朋=钗]><芈=芈,1 1 \[3 _yJ15•妇产*><专=卷令万到平而尸仞的距离为h、则V BU(='^V -ttm# w»即扌曙X半詁站X噜•力,解得Q罟.设肿与平而磁所成角为0、yiorTI h 5 2A/5则sin 〃=面=迈=晋.法二：设M与助交于点Q取％的中点•岀连接册易知册0B.比两两垂直，以0为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示,H. N.P Z\M Q 别为2则 0（0,0, 0）,姙,0, 0）,0, o ）,彳0, 一半,尊（0,半,书）,所以丸半'-弊乔@辱。
(部编版)2020届高考数学二轮复习寒假作业六不等式注意速度和准度文63
寒假作业(六) 不等式(注意速度和准度)一、“12＋4”提速练1．不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ≥0的解集是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <－12或x >32 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－12或x ≥32 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12≤x ≤32 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <32 解析：选C 将不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32≤0，解得－12≤x ≤32. 2．如果a <b <0，那么下列不等式成立的是( ) A.1a <1bB ．ab <b 2C ．－ab <－a 2D ．－1a <－1b解析：选D 由于a <b <0，不妨令a ＝－2，b ＝－1，可得1a ＝－12，1b ＝－1，∴1a >1b ，－1a <－1b ，故A 不正确，D正确．可得ab ＝2，b 2＝1，∴ab >b 2，故B 不正确．可得－ab ＝－2，－a 2＝－4，∴－ab >－a 2，故C 不正确．3．(2017·全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15B ．－9C ．1D ．9解析：选A 法一：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，当直线z ＝2x ＋y 过点B (－6，－3)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－6)－3＝－15.法二：易求可行域顶点A (0,1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，分别代入目标函数，求出对应的z 的值依次为1，－15,9，故最小值为－15.4．若a >1，则a ＋1a －1的最小值是( ) A ．2 B ．a C ．3D.2aa －1解析：选C ∵a >1，∴a －1>0，a ＋1a －1＝a －1＋1a －1＋1≥2＋1＝3， 当a ＝2时取到等号，故选C.5．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ＋y －6≤0，x －1≥0，则yx的取值范围是( )A ．[2,5]B ．(－∞，2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，3]∪[5，＋∞)D ．[3,5]解析：选A 作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，y x表示可行域内一点(x ，y )与原点连线的斜率，由图易得A (2,4)，B (1,5)，故y x的取值范围是[2,5]． 6．(2018届高三·石家庄摸底)若a ，b 是正数，直线2ax ＋by －2＝0被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为23，则t ＝a 1＋2b 2取得最大值时a 的值为( )A.12B.32C.34D.34解析：选D 因为圆心到直线的距离d ＝24a 2＋b2，则直线被圆截得的弦长L ＝2r 2－d 2＝24－44a 2＋b2＝23， 所以4a 2＋b 2＝4.t ＝a 1＋2b 2＝122×(22a )×1＋2b 2≤122×12×[]22a 2＋1＋2b22＝142 [8a 2＋1＋2(4－4a 2)]＝942， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧8a 2＝1＋2b 2，4a 2＋b 2＝4时等号成立，此时a ＝34.7．(2017·兰州诊断)设变量x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则x 2＋y 2的最小值是( )A.322B.92解析：选B 约束条件所表示的可行域为一个三角形，而目标函数可视为可行域内的点到原点的距离的平方，其距离的最小值为原点到直线x ＋y ＝3的距离．∵原点到直线x ＋y ＝3的距离为32＝322，∴x 2＋y 2的最小值为92.8．已知函数f (x )＝ax 2－(a 2＋1)x ＋a ，若a >0时，f (x )<0在x ∈(1,2)上恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12B ．[2，＋∞)C ．(0,2]D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞)解析：选D 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f，f，解得0<a ≤12或a ≥2.9．某工厂用A ，B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品需用4个A 配件，耗时1 h ，每生产一件乙产品需用4个B 配件，耗时2 h ，该厂每天最多可从配件厂获得24个A 配件和16个B 配件，每天生产总耗时不超过8 h ．若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利4万元，则通过恰当的生产安排，该工厂每天可获得的最大利润为( )A ．24万元B ．22万元C ．18万元D ．16万元解析：选 B 设该工厂分别生产甲、乙两种产品x 件，y 件，每天获得的利润为z 万元，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y≤8，4x ≤24，4y ≤16，x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝3x ＋4y ，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又由x ∈N ，y∈N ，可知取得最大值时的最优解为(6,1)，所以z max ＝3×6＋4×1＝22(万元)，故选B.10．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，且目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是( )A ．[－4,2]B ．(－4,2)C ．[－4,1]D ．(－4,1)解析：选B 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，直线z ＝ax ＋2y 的斜率为k ＝－a 2，从图中可看出，当－1<－a2<2，即－4<a <2时，仅在点(1,0)处取得最小值．故选B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＋5≥0，x ＋y －1≤0，x ＋a ≥0，11．(2018届高三·惠州调研)已知实数x ，y 满足：若z ＝x ＋2y 的最小值为－4，则实数a 的值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选 B 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当直线z ＝x ＋2y 经过点C ⎝⎛⎭⎪⎫－a ，a －53时，z 取得最小值－4，所以－a ＋2×a －53＝－4，解得a ＝2.12．在实数集R 中定义一种运算“⊕”，具有以下性质： ①对任意a ，b ∈R ，a ⊕b ＝b ⊕a ； ②对任意a ∈R ，a ⊕0＝a ；③对任意a ，b ，c ∈R ，(a ⊕b )⊕c ＝c ⊕(ab )＋(a ⊕c )＋(b ⊕c )－2c . 则函数f (x )＝x ⊕1x(x >0)的最小值为( )A ．4B ．3C ．2 2D ．1解析：选B 根据题意，得f (x )＝x ⊕1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ⊕1x ⊕0＝0⊕⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·1x ＋(x ⊕0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ⊕0－2×0＝1＋x ＋1x ，即f (x )＝1＋x ＋1x .∵x >0，可得x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1x＝1，即x ＝1时等号成立．∴1＋x ＋1x ≥2＋1＝3，可得函数f (x )＝x ⊕1x(x >0)的最小值为f (1)＝3.13．关于x 的不等式(mx －1)(x －2)>0，若此不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1m <x <2，则m 的取值范围是________． 解析：∵不等式(mx －1)(x －2)>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1m <x <2，∴方程(mx －1)(x －2)＝0的两个实数根为1m和2，且⎩⎪⎨⎪⎧m <0，1m<2，∴m 的取值范围是(－∞，0)． 答案：(－∞，0)14．(2017·南京调研)已知a >b >1，且2log a b ＋3log b a ＝7，则a ＋1b 2－1的最小值为________． 解析：令log a b ＝t ，由a >b >1，得0<t <1，由2log a b ＋3log b a ＝2t ＋3t ＝7，解得t ＝12，即log a b ＝12，a ＝b 2，所以a ＋1b 2－1＝a －1＋1a －1＋1≥2a －1a －1＋1＝3，当且仅当a ＝2时取等号． 答案：315．(2017·长春质检)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，3x ＋y ≤18，x ≥0，y ≥0，则z ＝x ＋y2的最大值为________．解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，目标函数的方程化成斜截式为y ＝－2x ＋2z ，结合线性规划知识知，使目标函数z ＝x ＋y2取得最大值的最优解为M (4，6)，故z ＝x ＋y2的最大值为7.答案：716．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －1≤0，x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为1，则1a ＋4b的最小值为________．解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z ＝ax ＋by (a >0，b >0)得，y ＝－a b x ＋z b ，平移直线y ＝－a b x ＋z b ，数形结合可知，当y ＝－a b x ＋zb过点A (1,1)时，目标≥5＋2b a ·4ab＝5＋函数取得最大值1，即a ＋b ＝1，则1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b (a ＋b )＝1＋4＋b a ＋4ab4＝9，当且仅当b a ＝4a b ，即b ＝2a ＝23时取等号，故1a ＋4b的最小值为9.答案：9二、能力拔高练1．已知互不相等的正数a ，b ，c 满足a 2＋c 2＝2bc ，则下列等式中可能成立的是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．b >c >aD ．c >a >b解析：选B 若a >b ，则a 2＋c 2>b 2＋c 2≥2bc ，不符合条件，排除A 、D ； 又由a 2－c 2＝2c (b －c )，故a －c 与b －c 同号，排除C ； 当b >a >c 时，a 2＋c 2＝2bc 有可能成立， 例如取a ＝3，b ＝5，c ＝1，故选B.2．设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y＝2,2a ＋b ＝8，则1x ＋1y的最大值为( )A ．2B ．3C ．4D ．log 23解析：选B ∵a x＝b y＝2，∴x ＝log a 2，y ＝log b 2， ∴1x ＝log 2a ，1y＝log 2b ，∴1x ＋1y＝log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ，∵2a ＋b ＝8≥22a ·b ，∴ab ≤8(当且仅当2a ＝b 时，取等号)， ∴1x ＋1y ≤log 28＝3，即1x ＋1y的最大值为3.3．给出如下四个命题： ①若a ≥0，b ≥0，则a 2＋b 2≥a ＋b ；②若ab >0，则|a ＋b |<|a |＋|b |；③若a >0，b >0，a ＋b >4，ab >4，则a >2，b >2；④若a ，b ，c ∈R ，且ab ＋bc ＋ca ＝1，则(a ＋b ＋c )2≥3. 其中正确的命题是( ) A ．①② B ．①④ C ．②③D ．③④解析：选B ①若a ≥0，b ≥0，则a 2＋b 2≥2ab ， ∴2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2，∴a 2＋b 2≥a ＋b ，故①正确；②若ab >0，则|a ＋b |＝|a |＋|b |，故②不正确；③若a >0，b >0，a ＋b >4，ab >4，取a ＝5，b ＝1.5，结论不成立，故③不正确； ④若a ，b ，c ∈R ，且ab ＋bc ＋ca ＝1，则(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ≥3(ab ＋bc ＋ca )＝3，故④正确． 综上知，正确的命题是①④.4．(2018届高三·皖南八校联考)当x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤2，y －4≤x ，x －7y ≤2时，－2≤kx －y ≤2恒成立，则实数k 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－2,0]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，35D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，0 解析：选 D 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设z ＝kx －y ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2，x －y ＝－4得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝2，即B (－2,2)；由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝2，x －7y ＝2得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝0，即C (2,0)；由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－4，x －7y ＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－1，即A (－5，－1)．要使不等式－2≤kx －y ≤2恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧－2≤－2k －2≤2，－2≤2k ≤2，－2≤－5k ＋1≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧－2≤k ≤0，－1≤k ≤1，－15≤k ≤35，所以－15≤k ≤0.5．设a <0，(3x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立，则b －a 的最大值为________．解析：当a <b <0时，∀x ∈(a ，b )，2x ＋b <0，故(3x 2＋a )·(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立，可转化为∀x ∈(a ，b )，a ≤－3x 2，所以a ≤－3a 2，所以－13≤a <0，所以b －a <13；当a <0<b 时，令x ＝0，则(3x 2＋a )(2x ＋b )＝ab <0，(3x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上不恒成立，不符合题意；当a <0＝b 时，由题意知x ∈(a,0)，2x (3x 2＋a )≥0恒成立，所以3x 2＋a ≤0，所以－13≤a <0，所以b －a ≤13.综上所述，b －a 的最大值为13.答案：136．(2017·成都二诊)若关于x 的不等式ax 2－|x |＋2a ＜0的解集为空集，则实数a 的取值范围为________． 解析：ax 2－|x |＋2a ＜0⇒a ＜|x |x 2＋2， 当x ≠0时，|x |x 2＋2≤|x |2x 2×2＝24(当且仅当x ＝±2时取等号)， 当x ＝0时，|x |x 2＋2＝0＜24，答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫24，＋∞。
2020高考数学二轮复习小题分类练一[浙江]
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小题分类练(一) 概念辨析类1．已知i 为虚数单位，a ∈R ，如果复数2i －a i 1－i是实数，则a 的值为( ) A ．－4B ．2C ．－2D ．42．幂函数y ＝f (x )经过点(2，2)，则f (9)为( )A ．81B.13C.181 D ．33．设集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝3}，则满足M ⊆(A ∩B )的集合M 的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．34．下列结论正确的是( )A ．若|a |＝0，则a ＝0B ．若a ，b 是两个单位向量，则a ＝bC ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝cD ．若AB ＝AC ，则AB →＝AC →5．下列命题中，错误的是( )A ．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B ．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台C ．圆台的所有平行于底面的截面都是圆D ．圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形6．下列四条直线中，倾斜角最大的是( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝2x ＋1C ．y ＝－x ＋1D ．x ＝1 7．已知直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点(A ，B 在同一支上)，F 1，F 2为双曲线的两个焦点，则F 1，F 2在( )A ．以A ，B 为焦点的椭圆上或线段AB 的垂直平分线上B ．以A ，B 为焦点的双曲线上或线段AB 的垂直平分线上C ．以AB 为直径的圆上或线段AB 的垂直平分线上D ．以上说法均不正确8．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4的值为( ) A ．－7210B.7210 C ．－210 D.210 9．已知数列{a n }中，a n ＋1＝3S n ，则下列关于{a n }的说法正确的是( )A ．一定为等差数列B ．一定为等比数列C ．可能为等差数列，但不会为等比数列D ．可能为等比数列，但不会为等差数列10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)满足条件：(1)焦点为F 1(－5，0)，F 2(5，0)；(2)离心率为53，求得双曲线C 的方程为f (x ，y )＝0.若去掉条件(2)，另加一个条件求得双曲线C 的方程仍为f (x ，y )＝0，则下列四个条件中，符合添加的条件共有( )①双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1上的任意点P 都满足||PF 1|－|PF 2||＝6； ②双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的虚轴长为4； ③双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的一个顶点与抛物线y 2＝6x 的焦点重合； ④双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为4x ±3y ＝0. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个11．双曲线y 25－x 24＝1的焦点坐标为________，渐近线方程为________． 12．已知锐角α的终边上一点P 的坐标为(1＋cos 40°，sin 40°)，则锐角α＝________．13．函数g (x )＝2x －12x ＋1为________(填“奇”或“偶”)函数，函数f (x )＝22x ＋1＋1的对称中心为________．14．设各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝80，S 2＝8，则公比q ＝________，a 5＝________．15．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是________．16．已知点M (5，0)，N (－5，0)，△MNP 的周长为36，则△MNP 的顶点P 的轨迹方程为________________．17．给出下列四个函数：①y ＝2x ；②y ＝log 2x ；③y ＝x 2；④y ＝x .当0<x 1<x 2<1时，使f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f （x 1）＋f （x 2）2恒成立的函数的序号是________．小题分类练(一)1．解析：选D.依题意，复数2i －a i1－i ＝2i －a i （1＋i ）（1＋i ）（1－i ）＝a ＋（4－a ）i 2是实数，因此4－a ＝0，a ＝4，故选D.2．解析：选D.设f (x )＝x α，由题意得2＝2α，所以α＝12.所以f (x )＝x 12，所以f (9)＝912＝3，故选D.3．解析：选C.由题中集合可知，集合A 表示直线x ＋y ＝1上的点，集合B 表示直线x －y ＝3上的点，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝3，可得A ∩B ＝{(2，－1)}，M 为A ∩B 的子集，可知M 可能为{(2，－1)}，∅，所以满足M ⊆(A ∩B )的集合M 的个数是2.4．解析：选C.根据向量的概念可知选C.5．解析：选B.根据棱台的定义，用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台．6．解析：选C.直线方程y ＝x ＋1的斜率为1，倾斜角为45°，直线方程y ＝2x ＋1的斜率为2，倾斜角为α(60°<α<90°)，直线方程y ＝－x ＋1的斜率为－1，倾斜角为135°，直线方程x ＝1的斜率不存在，倾斜角为90°.所以直线y ＝－x ＋1的倾斜角最大．7．解析：选B.当直线l 垂直于实轴时，易知F 1，F 2在AB 的垂直平分线上；当直线l 不垂直于实轴时，不妨设双曲线焦点在x 轴上，F 1，F 2分别为双曲线的左，右焦点，且A ，B 都在右支上，由双曲线定义知：|AF 1|－|AF 2|＝2a ，|BF 1|－|BF 2|＝2a ，则|AF 2|－|BF 2|＝|AF 1|－|BF 1|＜|AB |，由双曲线定义可知，F 1，F 2在以A ，B 为焦点的双曲线上，故选B.8．解析：选D.由三角函数的定义得tan θ＝2，cos θ＝±55，所以tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－43，cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35，所以sin 2θ＝cos 2θtan 2θ＝45，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝22(sin 2θ＋cos 2θ)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫45－35＝210，故选D. 9．解析：选C.若数列{a n }中所有的项都为0，则满足a n ＋1＝3S n ，所以数列{a n }可能为等差数列，故B ，D 不正确；由a n ＋1＝3S n ，得a n ＋2＝3S n ＋1，则a n ＋2－a n ＋1＝3(S n ＋1－S n )＝3a n ＋1，所以a n ＋2＝4a n ＋1，当a 1≠0时，易知a n ＋1≠0，所以a n ＋2a n ＋1＝4，由a n ＋1＝3S n ，得a 2＝3a 1，即a 2a 1＝3，此时数列{a n }既不是等比数列又不是等差数列，故A 不正确，C 正确．10．解析：选B.①由||PF 1|－|PF 2||＝6，得a ＝3，又c ＝5，所以离心率为53，①符合；②中b ＝2，c ＝5，a ＝21，此时离心率等于52121，②不符合；③中a ＝32，c ＝5，此时离心率等于103，也不符合；④渐近线方程为4x ±3y ＝0，所以b a ＝43，离心率为53，④符合．所以正确的条件有2个．11．解析：因为a 2＝5，b 2＝4，所以c 2＝a 2＋b 2＝9.则焦点坐标为(0，±3)．渐近线方程为y ＝±52x . 答案：(0，±3) y ＝±52x 12．解析：由题意知tan α＝sin 40°1＋cos 40°＝2sin 20°cos 20°1＋2cos 220°－1＝tan 20°，所以α＝20°.答案：20°13．解析：易知函数g (x )＝2x －12x ＋1为奇函数，图象关于原点对称， 又f (x )＝22x ＋1＋1＝－g (x )＋2， 所以函数f (x )的图象的对称中心为(0，2)．答案：奇 (0，2)14．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝8a 1＋a 1q ＋q 2（a 1＋a 1q ）＝80 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，q ＝－3(舍去)，从而a 5＝a 1q 4＝2×34＝162. 答案：3 16215．解析：由椭圆的方程得a ＝3，设椭圆的另一个焦点为F ，则由椭圆的定义得|BA |＋|BF |＝|CA |＋|CF |＝2a ，所以△ABC 的周长为|BA |＋|BF |＋|CF |＋|CA |＝2a ＋2a ＝4a ＝4 3.答案：4 316．解析：设P (x ，y )，易知|MN |＝10，|PM |＋|PN |＝36－|MN |＝26>10，所以顶点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，但与M ，N 不共线．设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则2a ＝26，c ＝5，所以a ＝13，b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144，所以△MNP 的顶点P 的轨迹方程为x 2169＋y 2144＝1(y ≠0)．答案：x 2169＋y 2144＝1(y ≠0) 17．解析：由题意知满足条件的函数图象形状为：故符合图象形状的函数为y＝log2x，y＝x. 答案：②④以下内容为“高中数学该怎么有效学习？”首先要做到以下两点：1、先把教材上的知识点、理论看明白。
2020高考数学 小题专题练(六套) 浙江专用
2020高考数学小题专题练（六套）浙江专用小题专题练(一) 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式1．已知集合M ＝{x |x ＞1}，N ＝{x |x 2－2x －8≤0}，则M ∩N ＝( ) A ．[－4，2) B ．(1，4] C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >12＋4x ，x ≤1，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A ．4B ．－2C ．2D ．13．设a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“a |a |＞b |b |”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知不等式|x ＋3|＋|x －2|≤a 的解集非空，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1，5] B ．[1，＋∞)C ．[5，＋∞)D ．(－∞，1]∪[5，＋∞)5．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( ) A ．9 B ．8 C ．5D ．46．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－cos x ，则f (x )在[0，2π]上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．47．已知在(－∞，1]上单调递减的函数f (x )＝x 2－2tx ＋1，且对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，则实数t 的取值范围为( )A ．[－2，2]B ．[1，2]C ．[2，3]D ．[1，2]8．函数f (x )＝(x ＋1)ln(|x －1|)的大致图象是( )9．若偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 2，则关于x 的方程f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，103上的根的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．410．已知f (x )＝ln x －x 4＋34x，g (x )＝－x 2－2ax ＋4，若对任意的x 1∈(0，2]，存在x 2∈[1，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)成立，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－18，＋∞ C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，54 D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－5411．若2a ＝3b ＝6，则4－a＝________；1a ＋1b＝________．12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≤0，log 2（x ＋1），x ＞0，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值为________．13．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥0，y ≥m表示的平面区域的面积为2，则x ＋y ＋2x ＋1的最小值为________，最大值为________．14．已知p ：0<x <2，q ：x <a ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________． 15．设函数f (x )＝|x 2＋a |＋|x ＋b |(a ，b ∈R )，当x ∈[－2，2]时，记f (x )的最大值为M (a ，b )，则M (a ，b )的最小值为________．16．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )在区间(0，1)内有两个零点，则3a ＋b 的取值范围是____________．17.已知函数f ′(x )和g ′(x )分别是二次函数f (x )和三次函数g (x )的导函数，它们在同一坐标系中的图象如图所示．(1)若f (1)＝1，则f (－1)＝________；(2)设函数h (x )＝f (x )－g (x )，则h (－1)，h (0)，h (1)的大小关系为________．(用“<”连接)小题专题练(一)1．解析：选B.集合N ＝{x |x 2－2x －8≤0}＝{x |－2≤x ≤4}， 集合M ＝{x |x ＞1}， 所以M ∩N ＝{x |1＜x ≤4}． 故选B.2．解析：选B.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2＋412＝2＋2＝4，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (4)＝log 124＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝－2.3．解析：选C.法一：当a ＞b ≥0时，a ＞b ⇔a 2＞b 2⇔a |a |＞b |b |，当a ，b 一正一负时，a ＞b ⇔a ＞0＞b ⇔a |a |＞0＞b |b |，当0≥a ＞b 时，0≥a ＞b ⇔a 2＜b 2⇔－a |a |＜－b |b |⇔a |a |＞b |b |，所以a ＞b ⇔a |a |＞b |b |，故选C.法二：构造函数f (x )＝x |x |，易知为奇函数且为增函数，所以当a ＞b 时，f (a )＝a |a |＞b |b |＝f (b )，所以选C.4．解析：选C.因为不等式|x ＋3|＋|x －2|≤a 的解集非空等价于|x ＋3|＋|x －2|的最小值小于或等于a ，由于不等式|x ＋3|＋|x －2|≥5在x ∈R 上恒成立，所以a ≥5.选C.5．解析：选A.法一：由x 2＋y 2≤3知，－3≤x ≤3，－3≤y ≤ 3.又x ∈Z ，y ∈Z ，所以x ∈{－1，0，1}，y ∈{－1，0，1}，所以A 中元素的个数为C 13C 13＝9，故选A.法二：根据集合A 的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x 2＋y 2＝3中有9个整点，即为集合A 的元素个数，故选A.6．解析：选C.作出g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与h (x )＝cos x 的图象，可以看到其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f (x )在[0，2π]上的零点个数为3，故选C.7．解析：选B.由f (x )在(－∞，1]上单调递减得t ≥1，由对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，得f (x )max －f (x )min ≤2，即f (0)－f (t )≤2，t 2≤2，因此1≤t ≤2， 选B.8．解析：选C.根据函数表达式，当x >2时，函数值大于0，可排除A 选项，当x <－1时，函数值小于0，故可排除B 和D 选项，进而得到C 正确．故答案为C. 9．解析：选C.因为f (x )为偶函数，所以当x ∈[－1，0]时，－x ∈[0，1]， 所以f (－x )＝x 2，即f (x )＝x 2. 又f (x －1)＝f (x ＋1)， 所以f (x ＋2)＝f (x )，故f (x )是以2为周期的周期函数，据此在同一直角坐标系中作出函数y ＝f (x )与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，103上的图象，如图所示，数形结合可得两图象有3个交点，故方程f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，103上有三个根．故选C.10．解析：选A.因为f ′(x )＝1x －14－34x 2＝－x 2＋4x －34x 2＝－（x －1）（x －3）4x 2， 易知，当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，当x ∈(1，2]时，f ′(x )>0， 所以f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，2]上单调递增， 故f (x )min ＝f (1)＝12.对于二次函数g (x )＝－x 2－2ax ＋4，易知该函数开口向下， 所以g (x )在区间[1，2]上的最小值在端点处取得， 即g (x )min ＝min{g (1)，g (2)}．要使对任意的x 1∈(0，2]，存在x 2∈[1，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)成立， 只需f (x 1)min ≥g (x 2)min ， 即12≥g (1)且12≥g (2)， 所以12≥－1－2a ＋4且12≥－4－4a ＋4，解得a ≥54.11．解析：由题可得a ＝log 26，b ＝log 36，所以4－a＝4－log 26＝122log 26＝12log 262＝162＝136， 1a ＋1b ＝1log 26＋1log 36＝log 62＋log 63＝log 6(2×3)＝1.答案：136112．解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≤0log 2（x ＋1），x ＞0，则f (f (－3))＝f (9－6)＝f (3)＝log 24＝2，当x ≤0时，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x ＝－1， 所以函数的最小值为f (－1)＝1－2＝－1； 当x ＞0时，函数是增函数，x ＝0时f (0)＝0，所以x ＞0时，f (x )＞0，综上函数的最小值为－1，故答案为2，－1. 答案：2 －1 13.解析：画出不等式组所表示的区域，由区域面积为2，可得m ＝0.而x ＋y ＋2x ＋1＝1＋y ＋1x ＋1，y ＋1x ＋1表示可行域内任意一点与点(－1，－1)连线的斜率，所以y ＋1x ＋1的最小值为0－（－1）2－（－1）＝13，最大值为2－（－1）0－（－1）＝3，所以x ＋y ＋2x ＋1的最小值为43，最大值为4. 答案：43414．解析：据充分不必要条件的概念，可知只需A ＝{x |0<x <2}是集合B ＝{x |x <a }的真子集即可，结合数轴可知只需a ≥2即可．答案：[2，＋∞)15．解析：去绝对值，f (x )＝±(x 2＋a )±(x ＋b )，利用二次函数的性质可得，f (x )在[－2，2]的最大值为f (－2)，f (2)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12中之一，所以可得M (a ，b )≥f (－2)＝|4＋a |＋|－2＋b |，M (a ，b )≥f (2)＝|4＋a |＋|2＋b |， M (a ，b )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪14＋a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋b ，M (a ，b )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪14＋a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋b ，上面四个式子相加可得4M (a ，b )≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫|4＋a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪14＋a ＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫|2－b |＋|b ＋2|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b ＋12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－b≥2⎪⎪⎪⎪⎪⎪4－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|2＋2|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋12 ＝252，即有M (a ，b )≥258， 可得M (a ，b )的最小值为258，故答案为258.答案：25816．(－5，0)17．解析：由题意知f ′(x )＝x ，g ′(x )＝x 2，则可设f (x )＝12x 2＋a ，g (x )＝13x 3＋b ，其中a ，b ∈R .(1)因为f (1)＝1，所以12×12＋a ＝1，所以a ＝12，所以f (－1)＝12×(－1)2＋12＝1.(2)因为h (x )＝f (x )－g (x )，所以h (x )＝12x 2＋a －13x 3－b ，所以h (－1)＝56＋(a －b )，h (0)＝a －b ，h (1)＝16＋(a －b )，故h (0)<h (1)<h (－1)．答案：(1)1 (2)h (0)<h (1)<h (－1)小题专题练(二) 三角函数与平面向量1．若角α的终边过点P (－1，m )，且|sin α|＝255，则点P 位于( )A ．第一象限或第二象限B ．第三象限或第四象限C ．第二象限或第三象限D ．第二象限或第四象限2．已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为43．设正方形ABCD 的边长为1，则|AB →－BC →＋AC →|等于( )A ．0 B. 2 C ．2D ．2 24．已知平面向量a ，b 的夹角为2π3，且a ·(a －b )＝8，|a |＝2，则|b |等于( )A. 3 B ．2 3 C ．3 D ．45.如图，在△ABC 中，∠C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A 等于( )A.223 B.24 C.64D.636．若函数f (x )＝sin(3x ＋φ)(|φ|<π)满足：f (a ＋x )＝f (a －x )，a 为常数，a ∈R ，则f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋π6的值为( )A.32B ．±1C ．0 D.127.若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，M ，N分别是这段图象的最高点与最低点，且OM →·ON →＝0，则A ·ω等于( )A.π6B.7π12C.76π D.73π8．将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象对应的函数恰为奇函数，则φ的最小值为( )A.π6 B.π12 C.π4D.π39．已知函数y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π6的图象与直线y ＝m 有三个交点，其交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3)，那么x 1＋2x 2＋x 3的值是( )A.3π4 B.4π3 C.5π3D.3π210．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932C.332D ．3 311．设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝________． 12．已知函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3cos x ＋3，若函数g (x )＝f (x )－m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为____________．13．已知平面向量a 和b 的夹角为60°，a ＝(2，0)，|b |＝1，则a ·b ＝________，|a ＋2b |＝________．14．设a ，b ，c 分别是△ABC 的角A ，B ，C 所对的边，若tan A tan Btan A ＋tan B ＝1 008tan C ，且a 2＋b 2＝mc 2，则m ＝________．15．在△ABC 中，角A ，B 和C 所对的边长为a ，b 和c ，面积为13(a 2＋c 2－b 2)，且∠C为钝角，则tan B ＝________；c a的取值范围是________．16．已知正方形ABCD 的边长为1，当每个λi (i ＝1，2，3，4，5，6)取遍±1时，|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|的最小值是________；最大值是________．17．已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝2交于A ，B 两点，O 是原点，C 是圆上一点，若OA →＋OB →＝OC →，则a 的值为________．小题专题练(二)1．解析：选C.因为角α的终边过点P (－1，m )，所以OP ＝1＋m 2，所以|sin α|＝255＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m 1＋m 2，解得m ＝±2，所以点P 的坐标为(－1，2)或(－1，－2)，即点P 位于第二象限或第三象限．2．解析：选B.易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝32(2cos 2x －1)＋32＋1＝32cos 2x＋52，则f (x )的最小正周期为π，当x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4. 3．解析：选C.正方形ABCD 的边长为1，则|AB →－BC →＋AC →|2＝|DB →＋AC →|2＝|DB →|2＋|AC →|2＋2DB →·AC →＝12＋12＋12＋12＝4，所以|AB →－BC →＋AC →|＝2，故选C.4．解析：选D.因为a ·(a －b )＝8，所以a ·a －a ·b ＝8，即|a |2－|a ||b |·cos 〈a ，b 〉＝8，所以4＋2|b |×12＝8，解得|b |＝4.5．解析：选C.依题意得，BD ＝AD ＝DE sin A ＝22sin A ，∠BDC ＝∠ABD ＋∠A ＝2∠A .在△BCD中，BC sin ∠BDC ＝BD sin C ，4sin 2A ＝22sin A ×23＝423sin A ，即42sin A cos A ＝423sin A，由此解得cos A ＝64. 6．解析：选C.由f (a ＋x )＝f (a －x )知，直线x ＝a 为函数f (x )图象的对称轴，所以f (a )＝sin(3a ＋φ)＝±1，则f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋π6＝sin(3a ＋φ＋π2)＝cos(3a ＋φ)＝0.7．解析：选C.由题中图象知T 4＝π3－π12＝π4，所以T ＝π，所以ω＝2.又知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，A ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫712π，－A ，由OM →·ON →＝0，得7π2122＝A 2，所以A ＝712π，所以A ·ω＝76π.故选C. 8．解析：选 A.由y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 可得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，该函数的图象向左平移φ个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x ＋φ）＋2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋2π3，因为g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋2π3为奇函数，所以2φ＋2π3＝k π(k ∈Z )，φ＝k π2－π3(k ∈Z )，又φ>0，故φ的最小值为π6，选A.9．解析：选C.由函数y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π6的图象可得，当x ＝π6和x ＝2π3时，函数分别取得最大值和最小值，由正弦函数图象的对称性可得x 1＋x 2＝2×π6＝π3，x 2＋x 3＝2×2π3＝4π3.故x 1＋2x 2＋x 3＝π3＋4π3＝5π3，故选C. 10．解析：选C.因为c 2＝(a －b )2＋6，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① 因为C ＝π3，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. 所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.11．解析：因为α为锐角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12 ＝sin ⎣⎢⎡⎭⎪⎫2⎝ ⎛⎦⎥⎤α＋π6－π4 ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π4－ cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π4 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－ 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1 ＝2×35×45－22×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝12225－7250＝17250.答案：1725012.解析：方程g (x )＝0同解于f (x )＝m ，在平面直角坐标系中画出函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的图象，如图所示，由图象可知，当且仅当m ∈[3，2)时，方程f (x )＝m 有两个不同的解．答案：[3，2)13．解析：因为〈a ，b 〉＝60°，a ＝(2，0)，|b |＝1， 所以a ·b ＝|a ||b |·cos 60°＝2×1×12＝1，又|a ＋2b |2＝a 2＋4b 2＋4a ·b ＝12， 所以|a ＋2b |＝12＝2 3. 答案：1 2 314．解析：由tan A tan B tan A ＋tan B ＝1 008tan C 得1tan A ＋1tan B ＝11 008×1tan C ，即cos Asin A ＋cos B sin B ＝11 008×cos C sin C ，sin 2C sin A sin B ＝cos C 1 008，根据正、余弦定理得c 2ab ＝11 008×a 2＋b 2－c22ab，即a 2＋b 2－c 2c 2＝2 016，a 2＋b 2c2＝2 017，所以m ＝2 017.答案：2 01715．解析：因为S ＝12ac sin B ＝13(a 2＋c 2－b 2)所以34sin B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝cos B 即tan B ＝43，因为∠C 为钝角，所以sin B ＝45，cos B ＝35.由正弦定理知c a ＝sin C sin A ＝sin （A ＋B ）sin A ＝cos B ＋sin B cos A sin A ＝35＋451tan A.因为∠C 为钝角，所以A ＋B ＜π2，即A ＜π2－B .所以cot A ＞cot ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝tan B ＝43. 所以c a ＞35＋45×43＝53，即c a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫53，＋∞. 答案：43⎝ ⎛⎭⎪⎫53，＋∞ 16．解析：以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则A (0，0)，B (1，0)，C (1，1)，D (0，1)，所以λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →＝(λ1－λ3＋λ5－λ6，λ2－λ4＋λ5＋λ6)，所以当⎩⎪⎨⎪⎧λ1－λ3＋λ5－λ6＝0λ2－λ4＋λ5＋λ6＝0时，可取λ1＝λ3＝1，λ5＝λ6＝1，λ2＝－1，λ4＝1，此时|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →| 取得最小值0；取λ1＝1，λ3＝－1，λ5＝λ6＝1，λ2＝1，λ4＝－1，则|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|取得最大值22＋42＝2 5. 答案：0 2 517．解析：因为A ，B ，C 均为圆x 2＋y 2＝2上的点， 故|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝2， 因为OA →＋OB →＝OC →， 所以(OA →＋OB →)2＝OC →2， 即OA →2＋2OA →·OB →＋OB →2＝OC →2， 即4＋4cos ∠AOB ＝2， 故∠AOB ＝120°.则圆心O 到直线AB 的距离d ＝2·cos 60°＝22＝|a |2，即|a |＝1，即a ＝±1. 答案：±1小题专题练(三) 数 列1．无穷等比数列{a n }中，“a 1>a 2”是“数列{a n }为递减数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，a 2－8a 5＝0，则S 8S 4的值为( ) A.12 B.1716C ．2D ．173．设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为( )A ．2B ．－2 C.12D ．－124．已知数列{a n }满足2a 1＋22a 2＋ (2)a n ＝n (n ∈N *)，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1log 2a n log 2a n ＋1的前n 项和为S n ，则S 1·S 2·S 3·…·S 10＝( )A.110B.15C.111D.2115.如图，矩形A n B n C n D n 的一边A n B n 在x 轴上，另外两个顶点C n ，D n 在函数f (x )＝x ＋1x(x >0)的图象上，若点B n 的坐标为(n ，0)(n ≥2，n ∈N *)，记矩形A n B n C n D n 的周长为a n ，则a 2＋a 3＋…＋a 10＝( )A ．208B ．212C ．216D ．2206．设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和为S n .若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值为( ) A ．10B.92C.72D.12＋2 2 7．已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n<t ，则实数t 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ 8．若数列{a n }对于任意的正整数n 满足：a n ＞0且a n a n ＋1＝n ＋1，则称数列{a n }为“积增数列”．已知“积增数列”{a n }中，a 1＝1，数列{a 2n ＋a 2n ＋1}的前n 项和为S n ，则对于任意的正整数n ，有( )A ．S n ≤2n 2＋3 B ．S n ≥n 2＋4n C ．S n ≤n 2＋4nD ．S n ≥n 2＋3n9．已知数列{a n }是等差数列，若a 9＋3a 11<0，a 10·a 11<0，且数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，那么S n 取得最小正值时n 等于( )A ．20B ．17C ．19D ．2110．数列{a n }满足a 1＝43，a n ＋1＝a 2n －a n ＋1(n ∈N *)，则m ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 016的整数部分是( )A ．1B ．2C ．3D ．411．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝5，a 5＝3，则a n ＝________，S 7＝________． 12．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *)，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则a 4＝________，S 5＝________．13．已知等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .设{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n .若n 2(T n ＋1)＝2n S n ，n ∈N *，则d ＝________，q ＝________．14．已知数列{a n }满足(n ＋2)a n ＋1＝na n ，a 1＝1，则a n ＝________；若b n ＝n ＋22n ＋2a n ，T n 为数列{b n }的前n 项和，则T 3＝________．15．对任一实数序列A ＝(a 1，a 2，a 3，…)，定义新序列ΔA ＝(a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3，…)，它的第n 项为a n ＋1－a n .假定序列Δ(ΔA )的所有项都是1，且a 12＝a 22＝0，则a 2＝________．16．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋12n －32，其前n 项和为S n ，则对任意m ，n ∈N *(m <n ), S n －S m 的最大值为________．17．已知数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且a n >0，6S n ＝a 2n ＋3a n ，n ∈N *,b n ＝2an，若任意n∈N*，k>T n恒成立，则k的最小值是________．（2an－1）（2an＋1－1）小题专题练(三)1．解析：选B.数列{a n }递减⇒a n <a n －1.反之不成立，例如a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＋1，此数列是摆动数列．故选B.2．解析：选B.设数列{a n }的公比为q ，依题意得a 5a 2＝18＝q 3，因此q ＝12.注意到a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝q 4(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)，即有S 8－S 4＝q 4S 4，因此S 8＝(q 4＋1)S 4，S 8S 4＝q 4＋1＝1716，选B. 3．解析：选D.因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝na 1＋n （n －1）2d ，所以S 1，S 2，S 4分别为a 1，2a 1－1，4a 1－6.因为S 1，S 2，S 4成等比数列，所以(2a 1－1)2＝a 1·(4a 1－6)，解得a 1＝－12.4．解析：选C.因为2a 1＋22a 2＋…＋2n a n ＝n (n ∈N *)，所以2a 1＋22a 2＋…＋2n －1a n －1＝n －1(n ≥2)，两式相减得2na n ＝1(n ≥2)，a 1＝12也满足上式，故a n ＝12n ，故1log 2a n log 2a n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1，所以S 1·S 2·S 3·…·S 10＝12×23×34×…×910×1011＝111，故选C.5．解析：选C.由题意得|A n D n |＝|B n C n |＝n ＋1n，设点D n 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，n ＋1n ，则有x ＋1x＝n ＋1n ，得x ＝1n(x ＝n 舍去)，即A n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ，0，则|A n B n|＝n －1n，所以矩形的周长为a n ＝2(|A n B n |＋|B n C n |)＝2⎝⎛⎭⎪⎫n －1n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ＝4n ，则a 2＋a 3＋…＋a 10＝4(2＋3＋4＋…＋10)＝216.6．解析：选B.由已知得S n ＋8a n＝na 1＋n （n －1）d 2＋8a 1＋（n －1）d＝n 2＋8n ＋12≥2n 2·8n ＋12＝92，当且仅当n ＝4时“＝”成立．7．解析：选D.依题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1a 2a 3…a n a 1a 2a 3…a n －1＝2n 22（n －1）2＝2n 2－(n －1)2＝22n －1，又a 1＝21＝22×1－1，因此a n ＝22n －1，1a n ＝122n －1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以12为首项，14为公比的等比数列，等比数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和等于12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n <23，因此实数t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞. 8．解析：选D.因为a n ＞0，所以a 2n ＋a 2n ＋1≥2a n a n ＋1.因为a n a n ＋1＝n ＋1，所以{a n a n ＋1}的前n 项和为2＋3＋4＋…＋(n ＋1)＝（2＋n ＋1）n 2＝（n ＋3）n 2，所以数列{a 2n ＋a 2n ＋1}的前n 项和S n ≥2×（n ＋3）n 2＝(n ＋3)n ＝n 2＋3n .9．解析：选C.因为a 9＋3a 11<0，所以由等差数列的性质可得a 9＋3a 11＝a 9＋a 11＋2a 11＝a 9＋a 11＋a 10＋a 12＝2(a 11＋a 10)<0，又a 10·a 11<0，所以a 10和a 11异号， 又因为数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，所以数列{a n }是递减的等差数列，所以a 10>0，a 11<0， 所以S 19＝19（a 1＋a 19）2＝19×2a 102＝19a 10>0，所以S 20＝20（a 1＋a 20）2＝10(a 1＋a 20)＝10(a 10＋a 11)<0，所以S n 取得最小正值时n 等于19. 10．解析：选B.由条件得1a n ＋1－1＝1a n （a n －1）＝1a n －1－1a n ，即有1a n ＝1a n －1－1a n ＋1－1，则m ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 016＝1a 1－1－1a 2 017－1＝3－1a 2 017－1.又a n ＋1－a n ＝(a n －1)2≥0，则a n ＋1≥a n ≥…≥a 1>1，当n ≥2时，从而有(a n ＋1－a n )－(a n －a n －1)＝(a n －1)2－(a n －1－1)2＝(a n －a n －1)(a n ＋a n －1－2)≥0，则a n ＋1－a n ≥a n －a n －1≥…≥a 2－a 1＝19，则a 2 017＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a 2017－a 2 016)≥43＋2 0169＝22513，得a 2 017－1≥22413>1，即有0<1a 2 017－1<1，则m ∈(2，3)，故选B.11．解析：设公差为d ，则2d ＝a 5－a 3＝－2，d ＝－1，所以a 1＝a 3－2d ＝7，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝7＋(n －1)×(－1)＝8－n ，S 7＝7a 1＋7×62d ＝7×7＋21×(－1)＝28. 答案：8－n 2812．解析：法一：由a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *)得a n ＋1＋1＝2a n ＋2＝2(a n ＋1)，所以数列{a n＋1}是首项为a 1＋1＝2，公比为2的等比数列，故a n ＋1＝2n，即a n ＝2n－1，所以a 4＝15，S n ＝2（1－2n）1－2－n ＝2n ＋1－2－n ，S 5＝57.法二：由a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *)得a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，…，可猜想a n ＝2n－1，验证可知满足题意，故S n ＝2（1－2n）1－2－n ＝2n ＋1－2－n ，所以S 5＝57.答案：15 57 13．2 214．解析：法一：由a n ＋1a n ＝n n ＋2可得，a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝13×24×35×…×n －1n ＋1，得a n ＝2n （n ＋1）.b n ＝n ＋22n ＋2·2n （n ＋1）＝n ＋22n ＋1n （n ＋1）＝1n ·2n －1（n ＋1）·2n ＋1，所以T 3＝12－14×24＝12－164＝3164. 法二：由(n ＋2)a n ＋1＝na n ，a 1＝1易得a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110，…，猜想a n ＝2n （n ＋1），易证结论成立．故b n ＝n ＋22n ＋2·2n （n ＋1）＝n ＋22n ＋1n （n ＋1）＝1n ·2n －1（n ＋1）·2n ＋1，所以T 3＝12－14×24＝12－164＝3164. 答案：2n （n ＋1） 316415．解析：令b n ＝a n ＋1－a n ，依题意知数列{b n }为等差数列，且公差为1，所以b n ＝b 1＋(n －1)×1，a 1＝a 1， a 2－a 1＝b 1， a 3－a 2＝b 2，…a n －a n －1＝b n －1，累加得a n ＝a 1＋b 1＋…＋b n －1＝a 1＋(n －1)·b 1＋（n －1）（n －2）2＝(n －1)a 2－(n －2)a 1＋（n －1）（n －2）2，分别令n ＝12，n ＝22，得⎩⎪⎨⎪⎧11a 2－10a 1＋55＝0，21a 2－20a 1＋210＝0， 解得a 1＝2312，a 2＝100.答案：10016．解析：由a n ＝－n 2＋12n －32＝0，得n ＝4或n ＝8，即a 4＝a 8＝0.又函数f (x )＝－x 2＋12x －32的图象开口向下，所以数列的前3项均为负数，当n >8时，数列中的项均为负数．在m <n 的情况下，S n －S m 的最大值为S 7－S 4＝a 5＋a 6＋a 7＝－52＋12×5－32－62＋12×6－32－72＋12×7－32＝10.答案：1017．解析：当n ＝1时，6a 1＝a 21＋3a 1，解得a 1＝3或a 1＝0.由a n >0得，a 1＝3. 由6S n ＝a 2n ＋3a n ，得6S n ＋1＝a 2n ＋1＋3a n ＋1.两式相减得6a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2n ＋3a n ＋1－3a n .所以(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －3)＝0.因为a n >0，所以a n ＋1＋a n >0，a n ＋1－a n ＝3.即数列{a n }是以3为首项，3为公差的等差数列，所以a n ＝3＋3(n －1)＝3n . 所以b n ＝2an（2an －1）（2an ＋1－1）＝8n（8n －1）（8n ＋1－1） ＝17⎝ ⎛⎭⎪⎫18n －1－18n ＋1－1. 所以T n ＝17(18－1－182－1＋182－1－183－1＋…＋18n －1－18n ＋1－1)＝17⎝ ⎛⎭⎪⎫17－18n ＋1－1<149. 要使任意n ∈N *，k >T n 恒成立，只需k ≥149，所以k 的最小值为149.答案：149小题专题练(四) 立体几何1．下列命题中，正确的是( ) A ．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 B ．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 C ．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体 D ．棱台各侧棱的延长线交于一点2．已知a ＝(－2，1，3)，b ＝(－1，2，1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为( ) A ．－2 B ．－143C.145D ．23.如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E 为棱BB 1的中点，若用过点A ，E ，C 1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为( )4．若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为1的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是( )A ．4∶3B ．2∶1C ．5∶3D ．3∶25．已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12，则l 与α所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°6．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.73B.8－π3 C.83D.7－π37．在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ＝4，点D 在棱BB 1上，若BD ＝3，则AD 与平面AA 1C 1C 所成角的正切值为( )A.235B.23913C.54D.438．已知l，m，n为三条不重合的直线，α，β为两个不同的平面，则( )A．若m⊥α，m⊥β，则α∥βB．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥αC．若α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则m⊥βD．若m∥n，m⊂α，则n∥α9．如图甲所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由底面半径为1 cm和半径为3 cm的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图乙水平放置时，液面高度为20 cm，当这个几何体如图丙水平放置时，液面高度为 28 cm，则这个简单几何体的总高度为( )A．29 cm B．30 cmC．32 cm D．48 cm10．长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝1，BB1＝ 2.设点A关于直线BD1的对称点为P，则P与C1两点之间的距离为( )A．1 B. 2C.33D.3211．如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为________，几何体中最长棱的长是________．第11题图第12题图12．如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥PABC的正视图与侧视图的面积的比为________，三棱锥PABC的体积是________．13．已知正四棱柱的顶点在同一个球面上，且球的表面积为12π，当正四棱柱的体积最大时，正四棱柱的高为________．14．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点M 为CC 1的中点，点N 为线段DD 1上靠近D 1的三等分点，平面BMN 交AA 1于点Q ，则线段AQ 的长为________．15．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为线段AD ，BC 上的点，∠ABE ＝20°，∠CDF ＝30°.将△ABE 绕直线BE 、△CDF 绕直线CD 各自独立旋转一周，则在所有旋转过程中，直线AB 与直线DF 所成角的最大值为________．第15题图 第16题图16．如图，在四边形ABCD 中，CD ⊥BD ，∠ABD ＝π3，AB ＝BD ＝4，CD ＝2，现将△BCD 沿BD 折起，当二面角A BD C 的大小处于[π6，5π6]的过程时，线段AC 长度的最小值是________，最大值是________．17．已知△ABC 在平面α内，∠ACB ＝90°，点P ∉α，PA ＝PB ＝PC ＝7，AB ＝10，AC ＝6，则点P 到平面α的距离等于________，PC 与平面PAB 所成角的正弦值为________．小题专题练(四)1．解析：选D.直棱柱的侧棱与底面垂直，底面形状不定，故选项A ，C 都不够准确；选项B 中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故B 不正确．2．解析：选D.由题意知a ·(a －λb )＝0，即a 2－λa ·b ＝0，所以14－7λ＝0，解得λ＝2.3．解析：选C.如图，取DD 1的中点F ，连接AF ，FC 1，则过点A ，E ，C 1的平面即为面AEC 1F ，所以剩余几何体的侧视图为选项C.4．解析：选 A.圆锥的侧面积＝π×12×120360＝π3，圆锥的底面半径＝2π×1×120360÷2π＝13，圆锥的底面积＝π·19＝π9，圆锥的表面积＝侧面积＋底面积＝4π9，所以这个圆锥的表面积与侧面积的比为4∶3.5．解析：选A.由于cos 〈m ，n 〉＝－12，所以〈m ，n 〉＝120°.所以直线l 与α所成的角为30°.6．解析：选B.由三视图得，该几何体是从四棱锥P ABCD 中挖去半个圆锥后剩余的部分，四棱锥的底面是以2为边长的正方形，高是2，圆锥的底面半径是1，高是2，则所求几何体的体积V ＝13×2×2×2－12×13π×12×2＝8－π3.7.解析：选B.如图，可得AD →·EB →＝(AB →＋BD →)·EB →＝AB →·EB →＝4×23×32＝12＝5×23×cos θ(θ为AD →与EB →的夹角)，所以cos θ＝235，sin θ＝135，tan θ＝396，又因为BE ⊥平面AA 1C 1C ，所以所求角的正切值为23913. 8．解析：选A.由l ，m ，n 为三条不重合的直线，α，β为两个不同的平面知，在A 中，若m ⊥α，m ⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故A 正确；在B 中，若l ⊥m ，l ⊥n ，m ⊂α，n ⊂α，则l 与α相交、平行或l ⊂α，故B 错误；在C 中，若α∩β＝l ，m ⊂α，m ⊥l ，则m 与β相交，故C 错误；在D 中，若m ∥n ，m ⊂α，则n ∥α或n ⊂α，故D 错误．故选A.9．解析：选A.设这个简单几何体的总高度为h ，图乙简单几何体上面没有充满水的高度为x ，图丙简单几何体上面没有充满水的高度为y ，则⎩⎪⎨⎪⎧πx ＝9πy ，x ＋20＝y ＋28⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝1，所以h ＝29.10.解析：选A.将长方体中含有ABD 1的平面取出，过点A 作AM ⊥BD 1，延长AM ，使MP ＝AM ，则P 是A 关于BD 1的对称点，如图所示，过P 作PE ⊥BC 1，垂足为E ，依题意AB ＝1，AD 1＝3，BD 1＝2，∠ABD 1＝60°，∠BAM ＝30°，∠PBE ＝30°，PE ＝12，BE ＝32，所以PC 1＝1，故选A.11．解析：由三视图可知，该几何体是棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中的三棱锥M A 1B 1N ，如图所示，M 是棱AB 上靠近点A 的一个三等分点，N 是棱C 1D 1的中点，所以VM A 1B 1N ＝13×12×2×2×2＝43.又A 1B 1＝2，A 1N ＝B 1N ＝22＋12＝5，A 1M ＝22＋（23）2＝2103，B 1M ＝22＋（43）2＝2133，MN ＝22＋22＋（13）2＝733，所以该几何体中最长棱的长是733.答案：4373312．解析：作三棱锥P ABC 的正视图时，点A 的正投影是D ，点P 的正投影在C 1D 1上，因此三棱锥P ABC 正视图的面积S 正＝12×12＝12，作三棱锥P ABC 的侧视图时，点A 的正投影是B ，点P 的正投影在C 1B 1上，因此三棱锥P ABC 的侧视图的面积S 侧＝12×12＝12，故S 正∶S 侧＝1∶1，三棱锥P ABC 的体积V ＝13S △ABC ·AA 1＝16.答案：1∶1 1613．解析：设正四棱柱的底面边长为a ，高为h ，球的半径为r ，由题意知4πr 2＝12π，所以r 2＝3，又2a 2＋h 2＝(2r )2＝12，所以a 2＝6－h 22，所以正四棱柱的体积V ＝a 2h ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6－h 22h ，则V ′＝6－32h 2，由V ′>0，得0<h <2，由V ′<0，得h >2，所以当h ＝2时，正四棱柱的体积最大，V max ＝8.答案：214．解析：如图所示，在线段DD 1上靠近点D 处取一点T ，使得DT ＝13，因为N 是线段DD 1上靠近D 1的三等分点，故D 1N ＝23，故NT ＝2－13－23＝1，因为M 为CC 1的中点，故CM ＝1，连接TC ，由NT ∥CM ，且CM ＝NT ＝1，知四边形CMNT 为平行四边形，故CT ∥MN ， 同理在AA 1上靠近A 处取一点Q ′，使得AQ ′＝13，连接BQ ′，TQ ′，则有BQ ′∥CT ∥MN ，故BQ ′与MN 共面， 即Q ′与Q 重合，故AQ ＝13.答案：1315．解析：AB 不动，因为AB ∥CD ，故无论直线DF 运动到哪里，其与CD 的夹角不变，与AB 的夹角也不变为30°.若DF 不动，AB 转动，两者的夹角在旋转过程中先变小再变大，大小不超过固定时的夹角；当AB 转动到BF 的另一侧且与原始位置共面时，若DF 不动，可计算出两者的夹角是10°，若DF 转动同一平面的另一边，此时两线的夹角为70°，取到最大值．因此，本题正确答案是70°.答案：70° 16.解析：设二面角A BD C 的平面角为α，如图，取BD 的中点E ，连接AE ，则AE ＝2 3.因为AC →＝AE →＋ED →＋DC →，所以AC →2＝AE →2＋ED →2＋DC →2＋2AE →·ED →＋2ED →·DC →＋2AE →·DC →＝12＋4＋4＋0＋0＋2×23×2×cos(π－α)＝20－83cos α，因为α∈[π6，5π6]，所以cos α∈[－32，32]，所以AC →2∈[8，32]，故线段AC 长度的取值范围是[22，42]．答案：2 2 4 2 17.解析：如图所示，取AB 的中点D ，连接PD ，CD ，因为PA ＝PB ，所以PD ⊥AB ，又△ABC 为直角三角形，所以AD ＝CD ，又PA ＝PC ，所以△APD ≌△CPD ，所以∠CDP ＝∠ADP ＝90°，所以PD ⊥DC .又AB ∩DC ＝D ，则PD ⊥α，PD 为点P 到平面α的距离，又PA ＝7，AB ＝10，所以AD ＝5，PD ＝PA 2－AD 2＝2 6.法一：设点C 到平面PAB 的距离为d ，PC 与平面PAB 所成角的大小为θ，由V P ABC ＝V C PAB得13PD ·S △ABC ＝13d ·S △PAB ，即13×26×12×6×8＝13d ×12×10×26，所以d ＝245.故sin θ＝d PC ＝2435. 法二：过点C 作CE ⊥AB 于点E ，连接PE ，因为PD ⊥α，PD ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面ABC ，又CE ⊂平面ABC ，平面ABC ∩平面PAB ＝AB ，所以CE ⊥平面PAB ，则∠CPE 为PC 与平面PAB 所成的角，在Rt △ABC 中，易得CE ＝245，所以sin ∠CPE ＝CE PC ＝2435.答案：2 62435小题专题练(五) 解析几何1．“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．33．已知A (1，2)，B (2，11)，若直线y ＝⎝⎛⎭⎪⎫m －6m x ＋1(m ≠0)与线段AB 相交，则实数m的取值范围是( )A ．[－2，0)∪[3，＋∞)B ．(－∞，－1]∪(0，6]C ．[－2，－1]∪[3，6]D ．[－2，0)∪(0，6]4．设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0<a <1，则原点与该圆的位置关系是( )A ．原点在圆上B ．原点在圆外C ．原点在圆内D ．不确定5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l交C 于A 、B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 6．已知圆C ：x 2＋y 2＝2，直线l ：x ＋2y －4＝0，点P (x 0，y 0)在直线l 上，若存在圆C 上的点Q ，使得∠OPQ ＝45°(O 为坐标原点)，则x 0的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，65B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，85C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，85 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，65 7．已知抛物线y 2＝4x ，焦点为F ，过点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，则|AF |－2|BF |的最小值为( )A ．22－2 B.56 C ．3－322D ．23－28．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是抛物线C 的准线与椭圆E 的两个交点，则|AB |＝( )A ．3B ．6C ．9D ．129．双曲线C 1：x 2m 2－y 2b 2＝1(m ＞0，b ＞0)与椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)有相同的焦点，双曲线C 1的离心率是e 1，椭圆C 2的离心率是e 2，则1e 21＋1e 22＝( )A.12 B ．1 C. 2D ．210．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)和圆x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋c 2(c 为椭圆的半焦距)有四个不同的交点，则椭圆的离心率e 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫55，35B.⎝⎛⎭⎪⎫25，55 C.⎝⎛⎭⎪⎫25，35 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，55 11．抛物线y 2＝2x 的焦点坐标是________，准线方程是______________．12．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝2，圆心C 在曲线y ＝1x(x ∈[1，2])上，则ab ＝________，直线l ：x ＋2y ＝0被圆C 所截得的弦长的取值范围是________．13．已知抛物线C ：x 2＝ay (a ＞0)上一点P (2a ，4a )到焦点F 的距离为17，则实数a 的值为________，直线PF 的一般方程为________．14．已知椭圆的方程为x 29＋y 24＝1，过椭圆中心的直线交椭圆于A ，B 两点，F 2是椭圆的右焦点，则△ABF 2的周长的最小值为________，△ABF 2的面积的最大值为________．15．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，右焦点为F ，过点F 且垂直于x 轴的直线交C 于P ，Q 两点，若cos ∠PAQ ＝35，则椭圆C 的离心率e 为________．16．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P 在双曲线的右支上，如果|PF 1|＝t |PF 2|(t ∈(1，3])，则双曲线经过第一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是________．17．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，双曲线x 22－y 22＝1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为________．小题专题练(五)1．解析：选C.直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行的充要条件a (a －2)＝3，解得a ＝－1或a ＝3，当a ＝3时，两直线重合，所以解得a ＝－1，故选C.2．解析：选 B.由题意及双曲线的定义有||PF 1|－|PF 2||＝|3－|PF 2||＝2a ＝6.所以 |PF 2|＝9.3．解析：选C.由题意得，两点A (1，2)，B (2，11)分布在直线y ＝⎝⎛⎭⎪⎫m －6m x ＋1(m ≠0)的两侧(或其中一点在直线上)，所以⎝⎛⎭⎪⎫m －6m－2＋1⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫m －6m －11＋1≤0，解得－2≤m ≤－1或3≤m ≤6，故选C.4．解析：选B.将圆的方程化成标准方程为(x ＋a )2＋(y ＋1)2＝2a ，因为0<a <1，所以(0＋a )2＋(0＋1)2－2a ＝(a －1)2>0，即（0＋a ）2＋（0＋1）2>2a ，所以原点在圆外．5．解析：选A.由e ＝33得c a ＝33.① 又△AF 1B 的周长为43，由椭圆定义，得4a ＝43，得a ＝3，代入①得c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2，故C 的方程为x 23＋y 22＝1.6．解析：选B.因为直线与圆有公共点，故由题设|OP |sin 45°≤2，即x 20＋y 20≤4，又y 0＝4－x 02，所以4x 20＋x 20－8x 0＋16≤4×4，即5x 20－8x 0≤0，所以0≤x 0≤85，故选B.7．解析：选A.设直线的倾斜角为θ，根据焦半径的计算知，|AF |＝21－cos θ，|BF |＝21＋cos θ，所以|AF |－2|BF |＝21－cos θ－(1＋cos θ)＝1＋cos 2θ1－cos θ，令t ＝1－cos θ∈(0，2)，则|AF |－2|BF |＝2－2t ＋t 2t ＝t ＋2t －2≥22－2，当且仅当t ＝2t，即t ＝2∈(0，2)取等号，故选A.8．解析：选B.抛物线y 2＝8x 的焦点为(2，0)，所以椭圆中c ＝2，又c a ＝12，所以 a ＝4，b 2＝a 2－c 2＝12，从而椭圆方程为x 216＋y 212＝1.因为抛物线y 2＝8x 的准线为x ＝－2，所以 x A＝x B ＝－2，将x A ＝－2代入椭圆方程可得|y A |＝3，由图象可知|AB |＝2|y A |＝6.故选B.9．解析：选D.依题意，双曲线C 1中c 2＝m 2＋b 2，椭圆C 2中c 2＝a 2－b 2， 所以a 2－b 2＝m 2＋b 2，即m 2＝a 2－2b 2，所以1e 21＋1e 22＝a 2－2b 2c 2＋a 2c 2＝2a 2－2b 2c 2＝2（a 2－b 2）c 2＝2.。
2020届高考数学二轮复习专项二专题六专题强化训练Word版含解析
[A 组 夯基保分专练]一、选择题1．(2018·惠州第二次调研)设随机变量ξ服从正态分布N (4，3)，若P (ξ<a －5)＝P (ξ>a ＋1)，则实数a 等于( )A ．7B ．6C ．5D ．4解析：选B.由随机变量ξ服从正态分布N (4，3)可得正态分布密度曲线的对称轴为直线x ＝4，又P (ξ<a －5)＝P (ξ>a ＋1)，所以x ＝a －5与x ＝a ＋1关于直线x ＝4对称，所以a －5＋a ＋1＝8，即a ＝6.故选B.2．(2018·武汉调研)将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个不同的小盒中，每个小盒中至少有1个小球，那么甲盒中恰好有3个小球的概率为( )A.310B.25C.320D.14解析：选C.将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个不同的小盒中，每个小盒中至少有1个小球有C 36种放法，甲盒中恰好有3个小球有C 23种放法，结合古典概型的概率计算公式得所求概率为C 23C 36＝320.故选C.3．小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A ＝“4个人去的景点不相同”，事件B ＝“小赵独自去一个景点”，则P (A |B )＝( )A.29B.13C.49D.59解析：选A .小赵独自去一个景点共有4×3×3×3＝108种可能性，4个人去的景点不同的可能性有A 44＝4×3×2×1＝24种，所以P (A |B )＝24108＝29. 4．用1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数，若用a 1，a 2，a 3，a 4，a 5分别表示五位数的万位、千位、百位、十位、个位，则出现a 1<a 2<a 3>a 4>a 5特征的五位数的概率为( )A.110B.120C.124D.310解析：选B .1，2，3，4，5可组成A 55＝120个不同的五位数，其中满足题目条件的五位数中，最大的5必须排在中间，左、右各两个数字只要选出，则排列位置就随之而定，满足条件的五位数有C 24C 22＝6个，故出现a 1<a 2<a 3>a 4>a 5特征的五位数的概率为6120＝120. 5．(2018·高考全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p , 各成员的支付方式相互独立．设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX ＝2.4，P (X ＝4)＜P (X ＝6)，则p ＝( )A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3解析：选B.由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，所以DX ＝10p (1－p )＝2.4，所以p ＝0.6或p ＝0.4.由P (X ＝4)＜P (X ＝6)，得C 410p 4(1－p )6＜C 610p 6(1－p )4，即(1－p )2＜p 2，所以p ＞0.5，所以p ＝0.6.6．(2018·贵阳模拟)点集Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤e ，0≤y ≤e }，A ＝{(x ，y )|y ≥e x ，(x ，y )∈Ω}，在点集Ω中任取一个元素a ，则a ∈A 的概率为( )A.1e B.1e 2 C.e －1eD.e 2－1e2解析：选B.如图，根据题意可知Ω表示的平面区域为正方形BCDO ，面积为e 2，A 表示的区域为图中阴影部分，面积为⎠⎛01(e －e x )dx ＝(e x －e x )|10＝(e －e)－(－1)＝1，根据几何概型可知a ∈A 的概率P ＝1e2.故选B.二、填空题7．某人在微信群中发了一个7元的“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领到的钱数不少于乙、丙分别领到的钱数的概率是________．解析：利用隔板法将7元分成3个红包，共有C 26＝15种领法．甲领3元不少于乙、丙分别领到的钱数的分法有3元，3元，1元与3元，2元，2元两种情况，共有A 22＋1＝3种领法；甲领4元不少于乙、丙分别领到的钱数的分法有4元，2元，1元一种情况，共有A 22＝2种领法；甲领5元不少于乙、丙分别领到的钱数的分法有5元，1元，1元一种情况，共有1种领法，所以甲领到的钱数不少于乙、丙分别领到的钱数的概率是3＋2＋115＝25.答案：258．(2018·唐山模拟)向圆(x －2)2＋(y －3)2＝4内随机投掷一点，则该点落在x 轴下方的概率为________．解析：如图，连接CA ，CB ，依题意，圆心C 到x 轴的距离为3，所以弦AB 的长为2. 又圆的半径为2，所以弓形ADB 的面积为12×23π×2－12×2×3＝23π－3，所以向圆(x －2)2＋(y －3)2＝4内随机投掷一点，则该点落在x 轴下方的概率P ＝16－34π.答案：16－34π9．某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射满3次为止．设甲每次击中的概率为p (p ≠0)，射击次数为η，若η的均值E (η)>74，则p的取值范围是________．解析：由已知得P (η＝1)＝p ，P (η＝2)＝(1－p )p ，P (η＝3)＝(1－p )2，则E (η)＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3>74，解得p >52或p <12，又p ∈(0，1)，所以p ∈⎝⎛⎭⎫0，12. 答案：⎝⎛⎭⎫0，12 三、解答题10．(2018·贵阳模拟)某高校通过自主招生方式在贵阳招收一名优秀的高三毕业生，经过层层筛选，甲、乙两名学生进入最后测试，该校设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从6个问题中随机抽3个问题．已知这6个问题中，学生甲能正确回答其中的4个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为23，甲、乙两名学生对每个问题的回答都是相互独立、互不影响的．(1)求甲、乙两名学生共答对2个问题的概率；(2)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两名学生哪位被录取的可能性更大？ 解：(1)由题意可得，所求概率为P ＝C 14C 22C 36×C 13×23×⎝⎛⎭⎫132＋C 24C 12C 36×C 03×⎝⎛⎭⎫230×⎝⎛⎭⎫133＝115.(2)设学生甲答对的题数为X ，则X 的所有可能取值为1，2，3.P (X ＝1)＝C 14C 22C 36＝15，P (X ＝2)＝C 24C 12C 36＝35，P (X ＝3)＝C 34C 02C 36＝15，E (X )＝1×15＋2×35＋3×15＝2，D (X )＝(1－2)2×15＋(2－2)2×35＋(3－2)×15＝25.设学生乙答对的题数为Y ，则Y 的所有可能取值为0，1，2，3. 由题意可知Y ～B ⎝⎛⎭⎫3，23， 所以E (Y )＝3×23＝2，D (Y )＝3×23×13＝23.因为E (X )＝E (Y )，D (X )<D (Y ) ， 所以甲被录取的可能性更大．11．(2018·西安模拟)一个盒子中装有大量形状、大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的质量(单位：克)，质量分组区间为[5，15]，(15，25]，(25，35]，(35，45]，由此得到样本的质量频率分布直方图(如图)．(1)求a 的值，并根据样本的数据，试估计盒子中小球质量的众数与平均值；(2)从盒子中随机抽取3个小球，其中质量在[5，15]内的小球个数为X ，求X 的分布列和数学期望．(以直方图中的频率作为概率)解：(1)由题意，得(0.02＋0.032＋a ＋0.018)×10＝1，解得a ＝0.03. 由频率分布直方图可估计盒子中小球质量的众数为20克，而50个样本中小球质量的平均数为x －＝0.2×10＋0.32×20＋0.3×30＋0.18×40＝24.6(克)．故由样本估计总体，可估计盒子中小球质量的平均数为24.6克． (2)该盒子中小球质量在[5，15]内的概率为15，则X ～B ⎝⎛⎭⎫3，15.X 的可能取值为0，1，2，3， P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫150⎝⎛⎭⎫453＝64125，P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫15×⎝⎛⎭⎫452＝48125，P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫152×45＝12125，P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫153⎝⎛⎭⎫450＝1125. 所以X 的分布列为所以E (X )＝0×64125＋1×48125＋2×12125＋3×1125＝35.⎝⎛⎭⎫或者E （X ）＝3×15＝35. 12．(2018·长春质量监测(二))某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在[100，150)，[150，200)，[200，250)，[250，300)，[300，350)，[350，400](单位：克)中，经统计得频率分布直方图如图所示．(1)现按分层抽样的方法，从质量为[250，300)，[300，350)的芒果中随机抽取9个，再从这9个中随机抽取3个，记随机变量X 表示质量在[300，350)内的芒果个数，求X 的分布列及数学期望；(2)以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，将频率视为概率，某经销商来收购芒果，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10 000个，经销商提出如下两种收购方案：A ：所有芒果以10元/千克收购；B ：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，高于或等于250克的以3元/个收购． 通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？解：(1)9个芒果中，质量在[250，300)和[300，350)内的分别有6个和3个．则X 的可能取值为0，1，2，3.P (X ＝0)＝C 36C 39＝2084，P (X ＝1)＝C 26C 13C 39＝4584，P (X ＝2)＝C 16C 23C 39＝1884，P (X ＝3)＝C 33C 39＝184.所以X 的分布列为X 的数学期望E (X )＝0×2084＋1×4584＋2×1884＋3×184＝1.(2)设选择方案A 可获利y 1元，则y 1＝(125×0.002＋175×0.002＋225×0.003＋275×0.008＋325×0.004＋375×0.001)×50×10 000×10×0.001＝25 750.设选择方案B ，从质量低于250克的芒果中获利y 2元，从质量高于或等于250克的芒果中获利y 3元，则y 2＝(0.002＋0.002＋0.003)×50×10 000×2＝7 000. y 3＝(0.008＋0.004＋0.001)×50×10 000×3＝19 500. y 2＋y 3＝7 000＋19 500＝26 500.由于25 750<26 500，故B 方案获利更多，应选B 方案．[B 组 大题增分专练]1．(2018·合肥第一次质量检测)2014年9月，国务院发布了《关于深化考试招生制度改革的实施意见》．某地作为高考改革试点地区，从当年秋季新入学的高一学生开始，高考不再分文理科，语文、数学、英语三科为必考科目，考生从物理、化学、生物、思想政治、历史、地理六个科目中任选三个科目参加高考，其中物理、化学、生物为自然科学科目，思想政治、历史、地理为社会科学科目，假设某位考生选考这六个科目的可能性相等．(1)求这位考生所选考的三个科目中至少有一个自然科学科目的概率；(2)已知该考生选考的三个科目中有一个科目属于社会科学科目，两个科目属于自然科学科目，若该考生所选的社会科学科目考试的成绩获A 等的概率都是45，所选的自然科学科目考试的成绩获A 等的概率都是34，且所选的各个科目的考试成绩相互独立，用随机变量X表示他所选的三个科目中考试成绩获A 等的科目数，求X 的分布列和数学期望．解：(1)记“这位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科学科目”为事件M ， 则P (M )＝1－C 33C 36＝1－120＝1920，所以这位考生选考的三个科目中至少有一个自然科学科目的概率为1920.(2)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3. 因为P (X ＝0)＝15×⎝⎛⎭⎫142＝180，P (X ＝1)＝45×⎝⎛⎭⎫142＋15×C 12×14×34＝18， P (X ＝2)＝45×C 12×14×34＋15×⎝⎛⎭⎫342＝3380，P (X ＝3)＝45×⎝⎛⎭⎫342＝920，所以X 的分布列为所以E (X )＝0×180＋1×1080＋2×3380＋3×3680＝2.3.2．(2018·高考全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p (0＜p ＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f (p )，求f (p )的最大值点p 0.(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p 0作为p 的值，已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．(ⅰ)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ；(ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？解：(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f (p )＝C 220p 2(1－p )18.因此f ′(p )＝C 220[2p (1－p )18－18p 2(1－p )17]＝2C 220p (1－p )17(1－10p )．令f ′(p )＝0，得p ＝0.1.当p ∈(0，0.1)时，f ′(p )>0；当p ∈(0.1，1)时，f ′(p )<0.所以f (p )的最大值点为p 0＝0.1. (2)由(1)知，p ＝0.1.(i)令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y ～B (180，0.1)， X ＝20×2＋25Y ，即X ＝40＋25Y . 所以EX ＝E (40＋25Y )＝40＋25EY ＝490.(ii)如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元． 由于EX >400，故应该对余下的产品作检验．3．2017年央视3·15晚会曝光了一些饲料企业瞒天过海地往饲料中非法添加各种“禁药”，包括“人用西药”，让所有人惊出一身冷汗．某地区质量监督部门对该地甲、乙两家畜牧用品生产企业进行了突击抽查，若已知在甲企业抽查了一次，抽中某种动物饲料的概率为34，用数字1表示抽中该动物饲料产品，用数字0来表示没有抽中；在乙企业抽查了两次，每次抽中该动物饲料的概率为23，用数字2表示抽中该动物饲料产品，用数字0来表示没有抽中．该部门每次抽查的结果相互独立．假设该部门完成以上三次抽查．(1)求该部门恰好有一次抽中动物饲料这一产品的概率；(2)设X 表示三次抽查所记的数字之和，求随机变量X 的分布列和数学期望． 解：记“恰好抽中一次动物饲料这一产品”为事件A ，“在甲企业抽中”为事件B ，“在乙企业第一次抽中”为事件C ，“在乙企业第二次抽中”为事件D ，则由题意知P (B )＝34，P (C )＝P (D )＝23.(1)因为A ＝B C －D －＋B －C D －＋B －C －D ，所以P (A )＝P (B C －D －＋B －C D －＋B －C －D )＝P (B C －D －)＋P (B －C D －)＋P (B －C －D )＝P (B )P (C －)P (D －)＋P (B －)P (C )P (D －)＋P (B －)P (C －)P (D )＝34×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－23＋⎝⎛⎭⎫1－34×23×⎝⎛⎭⎫1－23＋⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－23×23＝736. (2)根据题意，X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5.所以P (X ＝0)＝P (B －C －D －)＝[1－P (B )][1－P (C )][1－P (D )]＝⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－23＝136， P (X ＝1)＝P (B C －D －)＝P (B )[1－P (C )][1－P (D )]＝34×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－23＝112， P (X ＝2)＝P (B －C D －＋B －C －D )＝P (B CD )＋P (B －C －D )＝⎝⎛⎭⎫1－34×23×⎝⎛⎭⎫1－23＋⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－23×23＝19， P (X ＝3)＝P (BC D －＋B C －D )＝P (BC D －)＋P (B C －D )＝34×23×⎝⎛⎭⎫1－23＋34×⎝⎛⎭⎫1－23×23＝13， P (X ＝4)＝P (BCD )＝[1－P (B )]P (C )P (D )＝⎝⎛⎭⎫1－34×23×23＝19， P (X ＝5)＝P (BCD )＝P (B )P (C )P (D )＝34×23×23＝13.故X 的分布列为 所以E (X )＝0×136＋1×112＋2×19＋3×13＋4×19＋5×13＝4112.4．交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为a 元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与车辆发生有责任道路交通事故的情况相联系，发生有责任交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车在下一年续保时的情况，统计得到下面的表格：以这60率，完成下列问题：(1)按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》中汽车交强险价格的规定，a ＝950.某同学家里有一辆该品牌同型号车且车龄刚满三年，记X 为该车在第四年续保时的费用，求X 的分布列与数学期望；(数学期望值保留到个位数字)(2)某二手车销售商专门销售这一品牌同型号的二手车，且将下一年的交强险保费高于基准保费的车辆记为事故车．假设购进并销售一辆事故车亏损5 000元，购进并销售一辆非事故车盈利10 000元．①若该销售商购进三辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；②若该销售商一次购进100辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求他获得利润的期望值． 解：(1)由题意可知，X 的可能取值为0.9a ，0.8a ，0.7a ，a ，1.1a ，1.3a . 由统计数据可知：P (X ＝0.9a )＝16，P (X ＝0.8a )＝112，P (X ＝0.7a )＝112，P (X ＝a )＝13，P (X ＝1.1a )＝14，P (X＝1.3a )＝112.所以X 的分布列为 所以E (X )＝0.9a ×16＋0.8a ×112＋0.7a ×112＋a ×13＋1.1a ×14＋1.3a ×112＝11.9a 12＝11 30512≈942(元)．(2)①由统计数据可知，任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为13，则三辆车中至多有一辆事故车的概率P ＝⎝⎛⎭⎫1－133＋C 1313⎝⎛⎭⎫232＝2027. ②设Y 为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y 的可能取值为－5 000，10 000.11 所以Y 的分布列为所以E (Y )＝－5 000×13＋10 000×23＝5 000(元)． 故该销售商一次购进并销售100辆(车龄已满三年)该品牌的二手车获得利润的期望值为100×E (Y )＝50(万元)．。
2020浙江高考数学二轮练习：小题专题练(四) Word版含解析
姓名，年级：时间：小题专题练（四) 立体几何1．下列命题中，正确的是( )A．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱B．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥C．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体D．棱台各侧棱的延长线交于一点2．已知a＝(－2，1，3)，b＝（－1，2，1)，若a⊥(a－λb），则实数λ的值为（）A．－2 B．－错误!C.错误!D．23.如图所示,在正方体ABCD。
A1B1C1D1中,点E为棱BB1的中点，若用过点A，E,C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为( )4．若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为1的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是（）A．4∶3 B．2∶1C．5∶3 D．3∶25．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m,n>＝－错误!，则l与α所成的角为( )A．30°B．60°C．120°D．150°6．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ）A.错误!B。
错误!C.错误!D.错误!7．在正三棱柱ABC.A1B1C1中，AB＝4,点D在棱BB1上，若BD＝3，则AD与平面AA1C1C所成角的正切值为( )A.235B。
错误!C。
错误! D.错误!8．已知l，m，n为三条不重合的直线，α,β为两个不同的平面，则（）A．若m⊥α，m⊥β,则α∥βB．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥αC．若α∩β＝l,m⊂α，m⊥l，则m⊥βD．若m∥n，m⊂α，则n∥α9．如图甲所示,一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由底面半径为1 cm和半径为3 cm的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图乙水平放置时，液面高度为20 cm，当这个几何体如图丙水平放置时，液面高度为 28 cm,则这个简单几何体的总高度为（）A．29 cm B．30 cmC．32 cm D．48 cm10．长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝1，BB1＝错误!.设点A关于直线BD1的对称点为P，则P与C1两点之间的距离为( )A．1 B。
新高考2020高考数学二轮复习小题考法专训六直线与圆
小题考法专训（六） 直线与圆A 级——保分小题落实练一、选择题1．已知直线l 1：x ＋2ay －1＝0，l 2：(a ＋1)x －ay ＝0，若l 1∥l 2，则实数a 的值为( ) A ．－32B ．0C ．－32或0D ．2解析：选C 由l 1∥l 2得1×(－a )＝2a (a ＋1)，即2a 2＋3a ＝0，解得a ＝0或a ＝－32.经检验，当a ＝0或a ＝－32时均有l 1∥l 2，故选C.2．直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点M ，则直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为( )A ．2x ＋3y －12＝0B ．2x －3y －12＝0C ．2x －3y ＋12＝0D ．2x ＋3y ＋12＝0解析：选D 由ax ＋y ＋3a －1＝0，可得a (x ＋3)＋(y －1)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝0，y －1＝0，可得x＝－3，y ＝1，∴M (－3,1)，M 不在直线2x ＋3y －6＝0上，设直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0(c ≠－6)，则|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c |4＋9，解得c ＝12或c ＝－6(舍去)，∴所求方程为2x ＋3y ＋12＝0，故选D.3．(2019·开封定位考试)已知圆(x －2)2＋y 2＝9，则过点M (1,2)的最长弦与最短弦的长之和为( )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：选D 圆(x －2)2＋y 2＝9的圆心为(2,0)，半径为3，所以过点M 的最长弦的长为6，最短弦的长为232－[(2－1)2＋(0－2)2]2＝4，所以过点M 的最长弦与最短弦的长之和为10，故选D.4．已知圆(x －1)2＋y 2＝1被直线x －3y ＝0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶5解析：选A (x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1,0)，半径为1.圆心到直线的距离d ＝11＋3＝12，所以较短弧所对的圆心角为2π3，较长弧所对的圆心角为4π3，故两弧长之比为1∶2，故选A. 5．已知直线3x ＋ay ＝0(a ＞0)被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则a 的值为( ) A. 2 B ． 3 C ．2 2D ．2 3解析：选B 由已知条件可知，圆的半径为2，又直线被圆所截得的弦长为2，故圆心到直线的距离为3，即69＋a2＝3，得a ＝ 3.6．已知圆(x －a )2＋y 2＝1与直线y ＝x 相切于第三象限，则a 的值是( ) A. 2 B ．－ 2 C ．± 2D ．－2解析：选B 依题意得，圆心(a,0)到直线x －y ＝0的距离等于半径，即有|a |2＝1，|a |＝ 2.又切点位于第三象限，结合图形(图略)可知，a ＝－2，故选B.7．已知圆C 过点A (2,4)，B (4,2)，且圆心C 在直线x ＋y ＝4上，若直线x ＋2y －t ＝0与圆C 相切，则t 的值为( )A ．－6±2 5B ．6±2 5C ．25±6D ．6±4 5解析：选B 因为圆C 过点A (2,4)，B (4,2)，所以圆心C 在线段AB 的垂直平分线y ＝x 上，又圆心C在直线x ＋y ＝4上，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y ＝4，解得x ＝y ＝2，即圆心C (2,2)，圆C 的半径r ＝(2－2)2＋(2－4)2＝2.又直线x ＋2y －t ＝0与圆C 相切，所以|2＋4－t |5＝2，解得t＝6±2 5.8．(2019·石家庄模拟)已知圆C 截两坐标轴所得弦长相等，且圆C 过点(－1,0)和(2,3)，则圆C 的半径为( )A ．8B ．2 2C ．5D ． 5解析：选D 设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，∵圆C 经过点(－1,0)和(2,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋1)2＋b 2＝r 2，(a －2)2＋(b －3)2＝r 2，∴a ＋b －2＝0.①又圆C 截两坐标轴所得弦长相等，∴|a |＝|b |.② 由①②得a ＝b ＝1，∴圆C 的半径为5，故选D.9．若点P (1,1)为圆C ：x 2＋y 2－6x ＝0的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．x ＋2y －3＝0D ．2x －y －1＝0解析：选D 由圆的方程易知圆心C 的坐标为(3,0)，又P (1,1)，所以k PC ＝0－13－1＝－12.易知MN ⊥PC ，所以k MN ·k PC ＝－1，所以k MN ＝2.根据弦MN 所在的直线经过点P (1,1)得所求直线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.故选D.10．已知直线y ＝ax 与圆C ：x 2＋y 2－6y ＋6＝0相交于A ，B 两点，C 为圆心．若△ABC 为等边三角形，则a 的值为( )A ．1B ．±1 C. 3D ．± 3解析：选D 圆的方程可以化为x 2＋(y －3)2＝3，圆心为C (0,3)，半径为3，根据△ABC 为等边三角形可知AB ＝AC ＝BC ＝3，所以圆心C (0,3)到直线y ＝ax 的距离d ＝32×3＝32，所以32＝|a ×0－3|a 2＋1⇒2＝a 2＋1⇒a ＝± 3. 11．圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于2的点有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B 圆(x －3)2＋(y －3)2＝9的圆心为(3,3)，半径为3，圆心到直线3x ＋4y －11＝0的距离d ＝|3×3＋4×3－11|32＋42＝2，∴圆上到直线3x ＋4y －11＝0的距离为2的点有2个．故选B.12．已知圆O ：x 2＋y 2＝9，过点C (2,1)的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，则当△OPQ 的面积最大时，直线l 的方程为( )A ．x －y －3＝0或7x －y －15＝0B ．x ＋y ＋3＝0或7x ＋y －15＝0C ．x ＋y －3＝0或7x －y ＋15＝0D ．x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0解析：选D 当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，则P (2，5)，Q (2，－5)，所以S △OPQ ＝12×2×25＝2 5.当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －1＝k (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫k ≠12，则圆心到直线l 的距离d ＝|1－2k |1＋k2，所以|PQ |＝29－d 2，S △OPQ ＝12×|PQ |×d ＝12×29－d 2×d＝ (9－d 2)d 2≤9－d 2＋d 22＝92，当且仅当9－d 2＝d 2，即d 2＝92时，S △OPQ 取得最大值92，因为25＜92，所以S △OPQ 的最大值为92，此时4k 2－4k ＋1k 2＋1＝92，解得k ＝－1或k ＝－7，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0，故选D.二、填空题13．已知直线l 1：y ＝2x ，则过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆心且与直线l 1垂直的直线l 2的方程为________．解析：由题意，圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，所以圆的圆心坐标为(－1,2)，所以所求直线的方程为y －2＝－12(x ＋1)，即x ＋2y －3＝0.答案：x ＋2y －3＝014．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 过点A (0，－8)，且与圆x 2＋y 2－6x －6y ＝0相切于原点，则圆C 的方程为______________________，圆C 被x 轴截得的弦长为________．解析：将已知圆化为标准方程得(x －3)2＋(y －3)2＝18，圆心为(3,3)，半径为3 2.由于两个圆相切于原点，连心线过切点，故圆C 的圆心在直线y ＝x 上．由于圆C 过点(0,0)，(0，－8)，所以圆心又在直线y ＝－4上．联立y ＝x 和y ＝－4，得圆心C 的坐标(－4，－4)．又因为点(－4，－4)到原点的距离为42，所以圆C 的方程为(x ＋4)2＋(y ＋4)2＝32，即x 2＋y 2＋8x ＋8y ＝0.圆心C 到x 轴距离为4，则圆C 被x 轴截得的弦长为2×(42)2－42＝8.答案：x 2＋y 2＋8x ＋8y ＝0 815．已知从圆C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝2外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，则当|PM |取最小值时点P 的坐标为_______．解析：如图所示，连接CM ，CP .由题意知圆心C (－1,2)，半径r ＝ 2.因为|PM |＝|PO |，所以|PO |2＋r 2＝|PC |2，所以x 21＋y 21＋2＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2，即2x 1－4y 1＋3＝0.要使|PM |的值最小，只需|PO |的值最小即可．当PO 垂直于直线2x －4y ＋3＝0时，即PO 所在直线的方程为2x ＋y ＝0时，|PM |的值最小，此时点P 为两直线的交点，则⎩⎪⎨⎪⎧2x －4y ＋3＝0，2x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－310，y ＝35，故当|PM |取最小值时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－310，35.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－310，35 16．(2019·合肥质检)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 经过点(0,1)，(0,3)，且与x 轴正半轴相切，若圆C 上存在点M ，使得直线OM 与直线y ＝kx (k ＞0)关于y 轴对称，则k 的最小值为________．解析：由圆C 过点(0,1)，(0,3)知，圆心的纵坐标为1＋32＝2，又圆C 与x 轴正半轴相切，所以圆的半径为2，则圆心的横坐标x ＝22－⎝⎛⎭⎪⎫3－122＝3，即圆心为(3，2)，所以圆C的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝4.因为k ＞0，所以k 取最小值时，直线y ＝－kx 与圆相切，可得2＝|3k ＋2|k 2＋1，即k 2－43k ＝0，解得k ＝43(k ＝0舍去)． 答案：4 3B 级——拔高小题提能练1．[多选题]若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋2x ＝0，则下列关于yx －1的判断正确的是( )A.y x －1的最大值为 3 B ．y x －1的最小值为－ 3C.yx －1的最大值为33D ．yx －1的最小值为－33解析：选CD 由x 2＋y 2＋2x ＝0得(x ＋1)2＋y 2＝1，表示以(－1,0)为圆心、1为半径的圆，yx －1表示圆上的点(x ，y )与点(1,0)连线的斜率，易知，y x －1最大值为33，最小值为－33. 2．(2019·成都二诊)在平面直角坐标系xOy 中，M ，N 分别是x 轴正半轴和y ＝x (x ＞0)图象上的两个动点，且|MN |＝2，则|OM |2＋|ON |2的最大值是( )A ．4－2 2B ．43 C ．4D ．4＋2 2解析：选D 直线y ＝x 的倾斜角为π4，所以由题意知∠MON ＝π4，则在△MON 中，|MN |2＝|OM |2＋|ON |2－2|OM |·|ON |cos ∠MON ，即2＝|OM |2＋|ON |2－2|OM |·|ON |≥|OM |2＋|ON |2－2·|OM |2＋|ON |22，整理，得|OM |2＋|ON |2≤42－2＝4＋22，当且仅当|OM |＝|ON |＝2＋2时，等号成立，即|OM |2＋|ON |2的最大值为4＋22，故选D.3．已知A (－3，0)，B (3，0)，P 为圆x 2＋y 2＝1上的动点，AP ―→＝PQ ―→，过点P 作与AP 垂直的直线l 交直线QB 于点M ，若点M 的横坐标为x ，则|x |的取值范围是( )A ．|x |≥1B ．|x |＞1C ．|x |≥2D ．|x |≥22解析：选A 由题意，设P (cos θ，sin θ)，则Q (2cos θ＋3，2sin θ)，所以k AP＝sin θcos θ＋3，所以直线PM 的方程为(cos θ＋3)x ＋y sin θ－3cos θ－1＝0，直线BQ的方程为x sin θ－y cos θ－3sin θ＝0，联立解得x ＝3＋cos θ1＋3cos θ＝33＋233(1＋3cos θ)，因为1－3≤1＋3cos θ＜0或0＜1＋3cos θ≤1＋3，所以x ≤－1或x ≥1，即|x |≥1，故选A.4．已知直线l ：mx －y ＝1，若直线l 与直线x ＋m (m －1)y ＝2垂直，则m 的值为________；动直线l ：mx －y ＝1被圆C ：x 2－2x ＋y 2－8＝0截得的最短弦长为________．解析：因为直线mx －y ＝1与直线x ＋m (m －1)y ＝2垂直，所以m ×1＋(－1)×m (m －1)＝0，解得m ＝0或m ＝2.动直线l ：mx －y ＝1过定点(0，－1)，圆C ：x 2－2x ＋y 2－8＝0化为(x －1)2＋y 2＝9，圆心(1,0)到直线mx －y －1＝0的距离的最大值为(0－1)2＋(－1－0)2＝2，所以动直线l 被圆C 截得的最短弦长为29－(2)2＝27.答案：0或2 275．已知m ＞0，n ＞0，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是____________．解析：因为m ＞0，n ＞0，直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切， 所以圆心C (1,1)到直线的距离d ＝|m ＋1＋n ＋1－2|(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1，即|m ＋n |＝(m ＋1)2＋(n ＋1)2，两边平方并整理得m ＋n ＋1＝mn ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22，即(m ＋n )2－4(m ＋n )－4≥0， 解得m ＋n ≥2＋22，所以m ＋n 的取值范围为[2＋22，＋∞)． 答案：[2＋22，＋∞)。
高考数学二轮复习 专题6概率与统计、推理与证明、算法、复数[理]专题质量检测(六)课下作业(浙江专版)
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(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2011·新课标)复数2＋i1－2i 的共轭复数是( )A ．－35i B.35iC ．－iD ．i解析：2＋i1－2i ＝－2i ＋1－2i＝i ，∴2＋i1－2i的共轭复数为－i.答案：C2．(2011·山西晋中模拟)某地区共有10万户居民，该地区城市住户与农村住户之比为4∶6，根据分层抽样方法，调查了该地区1 000户居民冰箱拥有情况，调查结果如下表所示，那么可以估计该地区农村住户中无冰箱的总户数约为( )A ．1.6万户B ．4.4万户C ．1.76万户D ．0.24万户解析：由分层抽样按比例抽取可得1601 000×100 000＝16 000.答案：A3．[理](2011·广东高考)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )A.12 B.35 C.23D.34解析：甲队若要获得冠军，有两种情况，可以直接胜一局，获得冠军，概率是12，也可以乙队先胜一局，甲队再胜一局，概率为12×12＝14，故甲队获得冠军的概率为14＋12＝34.答案：D[文]从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )A.110B.18C.16D.15解析：假设正六边形的6个顶点分别为A 、B 、C 、D 、E 、F ，则从6个顶点中任取4个顶点共有15种结果，以所取4个点作为顶点的四边形是矩形的有3种结果，故所求概率为15.答案：D4．(2011·四川高考)有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下： [11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5)9[23.5,27.5) 18 [27.5,31.5) 11 [31.5,35.5) 12 [35.5,39.5) 7 [39.5,43.5)3根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5,43.5)的概率约是( ) A.16 B.13 C.12D.23解析：由已知，样本容量为66，而落在[31.5,43.5)内的样本数为12＋7＋3＝22，故所求概率为2266＝13.答案：B5．[理]某地一农业科技试验站，对一批新水稻种子进行试验．已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为( )A ．0.02B ．0.08C ．0.18D ．0.72解析：设“这粒水稻种子发芽”为事件A ，“这粒水稻种子发芽又成长为幼苗(发芽，又成长为幼苗)”为事件AB ，“这粒水稻种子能成长为幼苗”为事件B |A ，由P (A )＝0.8，P (B |A )＝0.9，由条件概率计算公式P (AB )＝P (B |A )P (A )＝0.9×0.8＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.答案：D(文)(2011·北京西区城模拟)右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )A.25B.710C.45D.910解析：记其中被污损的数字为x.依题意得甲的五次综合测评的平均成绩是15(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，乙的五次综合测评的平均成绩是15(80×3＋90×2＋3＋3＋7＋x＋9)＝15(442＋x)．令90>15(442＋x)，由此解得x<8，即x 的可能取值是0～7，因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为810＝45.答案：C6．(2011·杭州模拟)设矩形的长为a ，宽为b ，其比满足b ∶a ＝5－12≈0.618，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形．黄金矩形常应用于工艺品设计中．下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639 乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是( )A ．甲批次的总体平均数与标准值更接近B ．乙批次的总体平均数与标准值更接近C ．两个批次总体平均数与标准值接近程度相同D ．两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定 解析：x 甲＝0.598＋0.625＋0.628＋0.595＋0.6395＝0.617，x 乙＝0.618＋0.613＋0.592＋0.622＋0.6205＝0.613，∴x 甲与0.618更接近． 答案：A7．(2011·湖南高考)执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的P 值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：由框图可知：P ＝1，S ＝1→P ＝2，S ＝32→P ＝3，S ＝116→P ＝4，S ＝2512，循环终止．输出P ＝4.答案：C8．[理](2011·杭州模拟)体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )>1.75，则p 的取值范围是( )A ．(0，712)B ．(712，1)C ．(0，12)D ．(12，1)解析：发球次数X 的分布列如下表，所以期望E (X )＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2>1.75， 解得p >52(舍去)或p <12，又p >0.答案：C[文](2011·合肥模拟)为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将两人最近的6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的得分情况如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是x 甲，x 乙，则下列说法正确的是( )29 1 3A.x 甲>x 乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B.x 甲>x 乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C.x 甲<x 乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D.x 甲<x 乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛解析：由茎叶图可知，甲的成绩分别为72,78,79,85,86,92，乙的成绩分别为78,86,88,88,91,93，x 甲＝82，x 乙≈87，∴x 甲<x 乙，又经计算得s 2甲>s 2乙，所以乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛．答案：D9．(2011·江西高考)若(x －i)i ＝y ＋2i ，x 、y ∈R ，则复数x ＋y i ＝( ) A ．－2＋iB ．2＋iC ．1－2iD ．1＋2i解析：由题意得，x i ＋1＝y ＋2i ，故x ＝2，y ＝1， 即x ＋y i ＝2＋i. 答案：B10．(2011·北京高考)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A ．－3B ．－12C.13D ．2解析：因为该程序框图执行4次后结束，每次s 的值分别是13，－12，－3,2，所以输出的s 的值等于2.答案：D二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分．请把正确答案填在题中横线上)11．对于大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23＝⎩⎪⎨⎪⎧35，33＝⎩⎪⎨⎪⎧7911，43＝⎩⎪⎨⎪⎧13151719，…仿此，若m 3的“分裂数”中有一个数是59，则m 的值为 .解析：依题意得这些数的立方中的分解数依次是3,5,7,9，…，且相应的加数的个数与对应的底数相同，易知从2到n 的正整数的立方共用去数列{2n ＋1}中的n n ＋2－1项，数列{2n ＋1}(n ∈N *)中的第n n ＋2项是n (n ＋1)＋1.注意到7×8＋1<59<8×9＋1，因此m ＝8.答案：812．[理](2011·杭州模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，P (ξ≤4)＝0.84，则P (ξ≤－2)＝ .解析：∵ξ～N (1，σ2)，P (ξ≤4)＝0.84， ∴P (ξ≤－2)＝P (ξ>4)＝1－P (ξ≤4)＝0.16. 答案：0.16[文]从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是 .解析：从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个．符合一个数是另一个数的两倍的基本事件有{1,2}，{2,4}共2个，所以所求事件的概率为13.答案：1313．(2011·南京模拟)观察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *,12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝________.解析：注意到第n 个等式的左边有n 项，右边的结果的绝对值恰好等于左边的各项的所有底数的和，即右边的结果的绝对值等于1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋2＝n 2＋n2，注意到右边的结果的符号的规律是：当n 为奇数时，符号为正；当n 为偶数时，符号为负，因此所填的结果是(－1)n ＋1n 2＋n2.答案：(－1)n ＋1n 2＋n214．[理](2011·皖南八校)有6名同学参加两项课外活动，每位同学必须参加一项活动且不能同时参加两项，每项活动最多安排4人，则不同的安排方法有________种．(用数字作答)解析：记这两项课外活动分别为A ，B ，依题意知，满足题意的安排方法共有三类：第一类，实际参加A ，B 两项活动的人数分别是4,2，则相应的安排方法有C 46＝15种；第二类，实际参加A ，B 两项活动的人数分别是3,3，则相应的安排方法有C 36＝20种；第三类，实际参加A ，B 两项活动的人数分别是2,4，则相应的安排方法有C 26＝15种．因此，满足题意的安排方法共有15＋20＋15＝50种．答案：50[文](2011·杭州模拟)如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和是________．解析：甲比赛得分的中位数为28，乙比赛得分的中位数为36，所以甲、乙两人比赛得分的中位数之和为28＋36＝64.答案：6415．[理](2011·山东高考)若(x －a x2)6展开式的常数项为60，则常数a 的值为________．解析：二项式(x －a x2)6展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 6x6－r (－a )r x －2r ＝C r 6x 6－3r (－a )r ，当r ＝2时，T r ＋1为常数项，即常数项是C 26a ，根据已知C 26a ＝60，解得a ＝4. 答案：4[文](2011·广州模拟)某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户．为了调查社会购买力的某项指标，采用分层抽样的方法从中抽取1个容量为若干户的样本，若高收入家庭抽取了25户，则低收入家庭被抽取的户数为________．解析：设低收入家庭被抽取的户数为x ，由每个家庭被抽取的概率相等得25125＝x95，解得x ＝19.答案：1916.某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是________．解析：净重小于100克的频率是(0.050＋0.100)×2＝0.3，故这批产品的个数x 满足36x＝0.3，即x ＝120，净重大于或等于98克且小于104克的频率是(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，故所求产品的个数是120×0.75＝90.答案：9017．(本小题满分12分) 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，__________，T 16T 12成等比数列． 解析：对于等比数列，通过类比，有等比数列{b n }的前n 项的积为T n ，则T 4＝b 1b 2b 3b 4，T 8＝b 1b 2…b 8，T 12＝b 1b 2…b 12，T 16＝b 1b 2…b 16，因此T 8T 4＝b 5b 6b 7b 8，T 12T 8＝b 9b 10b 11b 12，T 16T 12＝b 13b 14b 15b 16，而T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12的公比为q 16，因此T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．答案：T 8T 4 T 12T 8三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)18．(本小题满分14分)(2011·广东高考)在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分， 用x n 表示编号为n (n ＝1,2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：(1)求第6位同学的成绩x 6，及这6位同学成绩的标准差s ；(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率． 解：(1)∵这6位同学的平均成绩为75分， ∴16(70＋76＋72＋70＋72＋x 6)＝75，解得x 6＝90. 这6位同学成绩的方差s 2＝16×[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，∴标准差s ＝7.(2)从前5位同学中，随机地选出2位同学的成绩有：(70,76)，(70,72)，(70,70)，(70,72)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，(72,70)，(72,72)，(70,72)，共10种，恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的有：(70,76)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，共4种．所求的概率为410＝0.4，即恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率为0.4.19．(本小题满分14分)[理](2011·湖北郧西模拟)设S 是不等式x 2－x －6≤0的解集，整数m ，n ∈S .(1)记使得“m ＋n ＝0成立的有序数组(m ，n )”为事件A ，试列举A 包含的基本事件． (2)记ξ＝m 2，求ξ的分布列及其数学期望E (ξ)． 解：(1)由x 2－x －6≤0得－2≤x ≤3， 即S ＝{x |－2≤x ≤3}，由于整数m ，n ∈S 且m ＋n ＝0，所以A 包含的基本事件为(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．(2)由于m 的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3， 所以ξ＝m 2的所有不同取值为0,1,4,9，且有P (ξ＝0)＝16，P (ξ＝1)＝26＝13，P (ξ＝4)＝26＝13，P (ξ＝9)＝16，故ξ的分布列为所以E (ξ)＝0×16＋1×13＋4×13＋9×16＝196.[文](2011·浙江五校联考)某城市有连接8个小区A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 和市中心O 的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图，某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A 前往H .(1)列出此人从小区A 到H 的所有最短路径(自A 至H 依次用所经过的小区的字母表示)；(2)求他经过市中心O 的概率．解：(1)此人从小区A 前往H 的所有最短路径为：A →B →C →E →H ，A →B →O →E →H ，A →B →O →G →H ，A →D →O →E →H ，A →D →O →G →H ，A →D →F →G →H 共6条．(2)记“此人经过市中心O ”为事件M ，则M 包含的基本事件为：A →B →O →E →H ，A →B →O →G →H ，A →D →O →E →H ，A →D →O →G →H 共4个，∴P (M )＝46＝23，即他经过市中心O 的概率为23.20．(本小题满分14分)[理](2011·绍兴模拟)某单位为了参加上级组织的普及消防知识竞赛，需要从两名选手中选出一人参加．为此，设计了一个挑选方案：选手从6道备选题中一次性随机抽取3题．通过考察得知：6道备选题中选手甲有4道题能够答对，2道题答错；选手乙答对每题的概率都是23，且各题答对与否互不影响．设选手甲、选手乙答对的题数分别为ξ，η.(1)写出ξ的概率分布列(不要求计算过程)，并求出E (ξ)，E (η)；(2)求D (ξ)，D (η)．请你根据得到的数据，建议该单位派哪个选手参加竞赛？ 解：(1)ξ的概率分布列为所以E (ξ)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.由题意，η～B (3，23)，E (η)＝3×23＝2.或者，P (η＝0)＝C 03(13)3＝127；P (η＝1)＝C 13(23)1(13)2＝29；P (η＝2)＝C 23(23)2(13)＝49；P (η＝3)＝C 33(23)3＝827. 所以，E (η)＝0×127＋1×29＋2×49＋3×827＝2.(2)D (ξ)＝(1－2)2×15＋(2－2)2×35＋(3－2)2×15＝25，由η～B (3，23)，D (η)＝3×23×13＝23.可见，E (ξ)＝E (η)，D (ξ)<D (η)， 因此，建议该单位派甲参加竞赛．[文](2011·安徽河历中学)已知关于x 的一元二次方程x 2－2(a －2)x －b 2＋16＝0. (1)若a 、b 是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率； (2)若a ∈[2,6]，b ∈[0,4]，求方程没有实根的概率． 解：(1)基本事件(a ，b )共有36个， 方程有正根等价于a －2>0,16－b 2>0，Δ≥0， 即a >2，－4<b <4，(a －2)2＋b 2≥16.设“方程有两个正根”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)共4个，故所求的概率为P (A )＝436＝19；(2)试验的全部结果构成区域Ω＝{(a ，b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4}，其面积为S (Ω)＝16. 设“方程无实根”为事件B ，则构成事件B 的区域为B ＝{(a ，b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4，(a －2)2＋b 2<16}，其面积为S (B )＝14×π×42＝4π，故所求的概率为P (B )＝4π16＝π4.21．(本小题满分15分)[理](2011·海宁模拟)甲、乙两运动员进行射击训练，已知他们击中的环数都稳定在7,8,9,10环，且每次射击成绩互不影响．射击环数的频率分布条形图如下：若将频率视为概率，回答下列问题．(1)求甲运动员在3次射击中至少有1次击中9环以上(含9环)的概率；(2)若甲、乙两运动员各自射击1次，ξ表示这2次射击中击中9环以上(含9环)的次数，求ξ的分布列及数学期望．解：(1)甲运动员击中10环的概率是：1－0.1－0.1－0.45＝0.35.设事件A表示“甲运动员射击一次，恰好命中9环以上(含9环，下同)”，则P(A)＝0.35＋0.45＝0.8.事件“甲运动员在3次射击中，至少1次击中9环以上”包含三种情况：恰有1次击中9环以上，概率为P1＝C13×0.8×(1－0.8)2＝0.096，恰有2次击中9环以上，概率为P2＝C23×0.82×(1－0.8)1＝0.384，恰有3次击中9环以上，概率为P3＝C33×0.83×(1－0.8)0＝0.512，因为上述三个事件互斥，所以甲运动员射击3次，至少1次击中9环以上的概率为0.992.(2)记“乙运动员射击1次，击中9环以上”为事件B，则P(B)＝1－0.1－0.15＝0.75.因为ξ表示2次射击击中9环以上(含9环)的次数，所以ξ的可能取值是0,1,2，因为P(ξ＝2)＝0.8×0.75＝0.6；P(ξ＝1)＝0.8×(1－0.75)＋(1－0.8)×0.75＝0.35，P(ξ＝0)＝(1－0.8)×(1－0.75)＝0.05，所以ξ的分布列是所以E(ξ)＝0×0.05＋1×0.35＋2×0.6＝1.55.[文]一次数学模拟考试，共12道选择题，每题5分，共计60分．小张所在班级共有40人，此次考试选择题得分情况统计表：现采用分层抽样的方法从此班抽取20人的试卷进行选择题质量分析． (1)应抽取多少张选择题得60分的试卷？(2)若小张选择题得60分，求他的试卷被抽到的概率． 解：(1)得60分的人数40×10%＝4.设抽取x 张选择题得60分的试卷，则4020＝4x ，∴x ＝2，故应抽取2张选择题得60分的试卷．(2)设小张的试卷为a 1，另三名得60分的同学的试卷为a 2，a 3，a 4，所有抽取60分试卷的方法为：(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，a 4)，(a 2，a 3)，(a 2，a 4)，(a 3，a 4)共6种，其中小张的试卷被抽到的抽法共有3种，∴小张的试卷被抽到的概率为P ＝36＝12.22．(本小题满分15分)[理](2011·福建高考)某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1,2，…，8，其中X ≥5为标准A ，X ≥3为标准B .已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．(1)已知甲厂产品的等级系数X 1的概率分布列如下所示：且X 1的数学期望E (X 1)＝6，求a ，b 的值；(2)为分析乙厂产品的等级系数X 2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 34 6 3 4 75 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 56 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X 2的数学期望． (3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．注：①产品的“性价比” ＝产品的等级系数的数学期望产品的零售价；②“性价比”大的产品更具可购买性． 解：(1)因为E (X 1)＝6，所以5×0.4＋6a ＋7b ＋8×0.1＝6， 即6a ＋7b ＝3.2.又由X 1的概率分布列得0.4＋a ＋b ＋0.1＝1， 即a ＋b ＝0.5.由⎩⎪⎨⎪⎧6a ＋7b ＝3.2，a ＋b ＝0.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.3，b ＝0.2.(2)由已知得，样本的频率分布表如下：用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X 2的概率分布列如下：所以E (X 2)＝3P (X 2＝3)＋4P (X 2＝4)＋5P (X 2＝5)＋6P (X 2＝6)＋7P (X 2＝7)＋8P (X 2＝8)＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＝4.8.即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. (3)乙厂的产品更具可购买性．理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为66＝1.因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为4.84＝1.2. 据此，乙厂的产品更具可购买性．[文](2011·嘉兴模拟)某工厂有工人1 000名，其中250名工人参加过短期培训(称为A 类工人)，另外750名工人参加过长期培训(称为B 类工人)．现用分层抽样方法(按A 类、B 类分二层)从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件数)．(1)分别求甲、乙两工人被抽到的概率，其中甲为A 类工人，乙为B 类工人； (2)从A 类工人中的抽查结果和从B 类工人中的抽查结果分别如下表1和表2. 表1：表2：①先确定x 、y ，再完成下列频率分布直方图．②分别估计A 类工人和B 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．解：(1)甲、乙被抽到的概率均为110.(2)①由题意知A 类工人中应抽查25名，B 类工人中应抽查75名．故4＋8＋x ＋5＋3＝25，得x ＝5，6＋y ＋36＋18＝75，得y ＝15. 频率分布直方图如下：②x A＝425×105＋825×115＋525×125＋525×135＋325×145＝123，x B＝675×115＋1575×125＋3675×135＋1875×145＝133.8，x＝25100×123＋75100×133.8＝131.1.A类工人生产能力的平均数，B类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123,133.8和131.1.。
新高考数学二轮总复习第三部分专题六.3统计与概率小题专项练课件
C 15 C 110
取法,所求概率为 2
C 15
=
50
105
=
10
.
21
4.(2021江西萍乡高三检测,8)算盘是中国传统的计算工具,其形长方,周为
木框,内贯直柱,俗称“档〞,档中横以梁,梁上两珠,每珠作数五,梁下五珠,每
珠作数一.算珠梁上局部叫上珠,梁下局部叫下珠.例如:在十位档拨上一颗
=
4
4
P(B|A2)= ,P(B|A3)= ,而
11
11
1
3
,P(A3)= ;P(B|A1)=
5
10
=
5
,由此知选项
11
B 正确.
P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)
1
=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=2
此知选项 AC 不正确.
1 5
×
2 11
1
2
×
5
11
1
+5
×
4
11
+
3
10
×
4
11
=
9
.由
22
考向四
相互独立事件及二项分布
10.(2021天津,13)甲、乙两球落入盒子的概率分别为
落入盒子互不影响,那么甲、乙两球都落入盒子的概率为
乙两球至少有一个落入盒子的概率为
答案
1
6
1 1
.假定两球是否
和
2 3
;甲、
.
2
3
解析 两球都落入
1
p1=2
1
2 2
02练-冲刺2020年高考数学小题狂刷卷(浙江专用)(解析版)
02练 冲刺2020年高考数学小题狂刷卷（浙江专用）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}3M x x =<，{N x y ==，则R M N =I ð（ ）A ．{}23x x ≤≤B ．{}23x x <≤C ．{}23x x << D ．{}23x x ≤<【答案】C【解析】集合{N x y ==,求解得{}2N x x =≤，则由补集运算可得{}2R N x x =>ð，由交集运算可知{}{}{}3223R M N x x x x x x ⋂=<⋂>=<<ð，故选C ．2．复数()1z i i -=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【解析】()()()1111111222i i i i z i i i i +-+====-+--+Q ，1122z i ∴=--， 对应点为11(,)22--，在第三象限．故选C ．3．已知直线1:310l ax y --=与直线()2:210l x a y -++=，则“1a =”是“12l l //”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若12l l //，所以有()23a a +=--，得1a =，或3a =-.当1a =时，1212:310,:310,//l x y l x y l l --=-+=；当3a =-时，1212:3310,:10,//l x y l x y l l ---=++=，因此当1a =，或3a =-.时，12l l //.所以，“1a =”是“12l l //”充分不必要条件.故选A ．4．为了得到函数cos 2y x =的图象，可以将函数sin(2)4y x π=+的图象（ ）A ．向左移4π个单位 B ．向左移8π个单位 C ．向右移4π个单位 D ．向右移8π个单位 【答案】B【解析】因为sin 2cos 2cos2448y x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以要得到函数cos2y x =的图象，只需要将函数sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位．故选B ． 5．在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且1)a ≠的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】D【解析】当01a <<时，函数xy a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数xy a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1xy a =过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D ．6．((3511-的展开式中x 的系数是（ ）A ．－4B ．－2C ．2D ．4 【答案】C【解析】(31-的展开式的通项为(2133C 2C r rr rr r Tx +==g，(51-的展开式的通项为(()'''''3'155C 1C r r r r r r T x +==-g，因此，((3511-的展开式的通项为()'+''233512C C r r r rr r x-.当'=123r r +时有0r =且'3r =或2r =且'0r =两种情况，则展开式中x 的系数为（－10）＋12＝2.故选C ． 7．已知随机变量ξ的分布列如下：则D ξ最大值（ ）A ．14B ．12C ．1D ．不是定值【答案】B【解析】由随机变量ξ的分布列得：0101011b a b a b a b a -⎧⎪⎪⎨⎪⎪-++=⎩剟剟剟，解得0.5b =，00.5a 剟，0.52E a ξ∴=+，00.5a 剟． 22222111(20.5)(0.5)(0.52)0.5(1.52)424()442D a a a a a a a a ξ=---+-⨯+-=-++=--+，当14a =时，D ξ取得最大值12．故选B ．8．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，过右焦点F 的直线与两条渐近线分别交于A ，B ，且AB BF =u u u v u u u v，则直线AB 的斜率为（ ） A ．13-或13B ．16-或16C ．2D ．16【答案】B【解析】因为双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>，又222c e a =22514b a =+=，所以12b a =，所以双曲线渐近线为12y x =±，当点A 在直线12y x =-上，点B 在直线12y x =上时，设(),A A A x y (),B B B x y ，由(c,0)F 及B 是AF 中点可知22A B ABx c x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，分别代入直线方程，得121222A AA A y x y x c ⎧=-⎪⎪⎨+⎪=⋅⎪⎩，解得24A Ac x c y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以,24c c A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线AB 的斜率AB AF k k =42c c c =--16=-， 由双曲线的对称性得，16k =也成立.故选B. 9．记M 的最大值和最小值分別为max M 和min M .若平面向量,,a b c r r r满足a b a b c ===r r r r r g ()222a b c +-=r r rg 则（ ）A．max2a c-=r rB．max 2a c +=r r C．mina c-=r rD．min a c +=r r【答案】A【解析】由已知可得：cos 2a b a b θ==gg r r r r ,1cos 2θ=，3πθ=. 建立平面直角坐标系，()20a OA ==r ，，(b OB ==r ，()c OC x y ==r， ()222c a b c +-=r r r rg ,可得：()()4222x y x y -=g ，,224222x x y -+-=,化简得C 点轨迹，()223124x y ⎛-+-= ⎝⎭,则a c -=r r,转化为圆C 上点与()20，的距离,22maxa c -==r r,故选A. 10．设R a ∈，若不等式221148x x ax x x x++-+≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[2,12]- B ．[2,10]-C ．[4,4]-D ．[4,12]-【答案】D【解析】221148x x ax x x x++-+-…恒成立，即为22118(4)x x a x x x ++-+-…恒成立， 当0x >时，可得221184a x x x x x-++-+„的最小值，由2222118118828x x x x x x x x x x x x ++-+++-+=+=厖， 当且仅当2x =取得最小值8，即有48a -„，则4a -…；当0x <时，可得221184[]a x x x x x--++--…的最大值，由22118828x x x x x x x -++-----=厖， 当且仅当2x =-取得最大值8-，即有48a --…，则12a „，综上可得412a -剟．故选D ． 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
(浙江专用)2020高考数学二轮复习小题分类练(四)
小题分类练(四)综合计算类(2)1．若U ＝{1，4，6，8，9}，A ＝{1，6，8}，B ＝{4，6}，则A ∩?B 等于()UA ．{4，6}B ．{1，8}C ．{1，4，6，8}D ．{1，4，6，8，9}2．已知向量m ＝(λ＋1，1)，n ＝(λ＋2，2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－13．已知等差数列{ a }中， a 2＝7，4＝15，则前 10项的和10＝()nA ．100B ．210C ．380D ．4004．函数 f (xx (e 为自然对数的底数 )在区间[－1，1]上的最大值是( ))＝e －x1A ．1＋eB ．1C ．e ＋1D ．e －15．已知sin3∈ π，π，函数f ( x )＝sin(＋)(>0)的图象的相邻两φ ＝，且 φ ω5 2ωxφπ ，则f π条对称轴之间的距离等于24的值为()A ．－3B ．－4553 4C.5D.56．已知直线y ＝22→→2(x －1)与抛物线C ：y ＝4x 交于A ，B 两点，点M (－1，m )，若MA ·MB＝0，则m ＝()A.2B. 221C.2D ．07．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于()33 3A.2B.23＋6D. 3＋39C.428．如图，△AOD 是向来角边长为1的等腰直角三角形， 平面图形OBD 是四分之一圆面，点P 在线段AB 上，PQ ⊥AB ，且PQ 交AD 或交弧DB 于点Q ，设AP ＝x (0＜x ＜2)，图中暗影部分表示的平面图形APQ (或 APQD )的面积为 y ，则函数y ＝f (x )的大体图象是()x 29．在平面直角坐标系 xOy 中，已知△ABC 极点A (－4，0)和C (4，0)，极点B 在椭圆25＋y 2sin A ＋sin C＝1上，则＝( )9sin B3 2 A.4B.34 5 C.5D.410．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处的极值为10，则数对(a ，b )为( )A ．(－3，3)B ．(－11，4)C ．(4，－11)D ．(－3，3)或(4，－11)11．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝3a n (n ∈N *)，则a 3＝________，S 5＝________．12．若函数f (x )＝2sin 2(ωx )＋2π3sin(ωx )sin(ωx ＋2)－1(ω＞0)的最小正周期为1，1 1则ω＝________，函数f (x )在区间－6，4上的值域为________．x ＋2y ≥0， 13．已知x ，y 满足拘束条件x －y ≤0，则目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为________；x －2y ＋2≥0，若对任意的 x，， ≤2 x ＋ ≤ b 恒成立，则－a 的最小值是________．ya y bx 2y 214．设双曲线a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点是F ，左、右极点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B，C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的方程为____________，斜率为________．15．已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，g(x)≠0，f′(x)g(x)＞f(x)g′(x)，且xf（1）f（－1）5 f（n）f(x)＝a g(x)(a＞0，且a≠1)，g（1）＋g（－1）＝.若数列g（）的前n项和S n大于62，2 n则n的最小值为________．16．函数f(x)＝1＋log a x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－2＝0上，11此中mn>0，则＋的最小值为mn ________．17．已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，全部棱长都相等，若该三棱柱的极点都在球O的表面上，且球O的表面积为7π，则三棱柱ABC-A1B1C1的体积为________．小题分类练(四)1．分析：选B.由于U ＝{1，4，6，8，9}，A ＝{1，6，8}，B ＝{4，6}，所以?U B ＝{1，8， 9}，所以A ∩?U B ＝{1，8}，应选B.2．分析：选B.由于m ＋n ＝(2λ＋3，3)，m －n ＝(－1，－1)，由(m ＋n )⊥(m －n )，可得 (m ＋n )·(m －n )＝(2λ＋3，3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.a －a 15－7 1 1010×9 423．分析：选B.d ＝4－2＝ 2 ＝4，所以a ＝7－4＝3，所以S ＝10×3＋2 ×4＝210，应选B.4．分析：选D.f ′(x )＝e x －1，令f ′(x )＝0，得x ＝0.0 1 11又f (0)＝e－0＝1 ，f (1)＝e －1>1，f(－1)＝e ＋1>1，而e －1－e ＋1＝e －e －2＝e 2－2e －1＝f (1)＝e －1.>0，所以f (x )emax5．分析：选B.由函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π 2，所以ω＝2，fππ24获取其最小正周期为π， 4＝sin2×4＋φ＝cosφ＝－1－sin φ＝－5.1→ →6．分析：选B.由题意解得A (2，22)，B (2，－2)，由于M (－1，m )，且MA ·MB ＝0，22 所以 2m －22m ＋1＝0，解得m ＝2.7．分析：选B.由余弦定理得2＋4－2·×2×cos60°＝7，解得＝3，或 ＝－ABABABAB1(舍去)，设BC 边上的高为x ，由三角形面积关系得1·BC ·x ＝1AB ·BC ·sin60°，解得x2 23 3 ＝2，应选B.8．分析：选A.观察可知暗影部分的面积 y 的变化状况为：①当 0＜x ≤1时，y 随x 的增大而增大，并且增添的速度愈来愈快；②当 1＜x ＜2时，y 随x 的增大而增大，并且增添的速 度愈来愈慢．分析四个选项中的图象，只有选项A 吻合条件，应选 A.9．分析：选D.椭圆x 2 y 2中，a ＝5，b ＝3，c ＝4，故A (－4，0)和C (4，0)是椭圆的＋＝125 9两个焦点，所以||＋||＝2＝10，||＝8，由正弦定理得AB BC a ACsin A ＋sinC |AB |＋|BC | 10 5sin B＝|AC | ＝ ＝.842f ′（）＝ 0 ，＋ a ＋b ＝ 0 ， 10．分析：选C.f ′(x )＝3x ＋2ax ＋b ，依题意可得f （1）＝10，即1＋a ＋b ＋a 2＝10，2 a ＝－3，a ＝4， a ＝－3， 消去b 可得a －a －12＝0，解得a ＝－3或a ＝4，故＝3或 ＝－11. 当 b ＝3时，f ′bb(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，这时f (x )无极值，不合题意，舍去，应选C.11．分析：由题意得，数列 {a n }是首项为1，公比为 3的等比数列，所以3＝12＝1×32＝9， 5＝ 35－1 ＝121.aaq S 3－1答案：912112．分析：f (x )＝2sin2(ωx )＋23sin(πωx )sin( ωx ＋2)－1＝3sin(2ωx )－cos(2ωx )π2π ω＝π，＝2sin(2ωx －)，所以ω＝1，所以62π所以f (x )＝2sin(2πx －6)．当x ∈[－1 1 2πx －π π π6，]时，∈[－ 2，]，所以值域为[－2，3]．463答案：π [－2，3]13．分析：画出不等式组表示的可行域如图中暗影部分所示，结合目标函数z ＝2x ＋y 可知，当直线y ＝－2＋z 过直线 x ＋2 y ＝0和x－2＋2＝0的交点(－1，1)时， z 最小，且zmin＝－3；当直xy22线y ＝－2x ＋z 过直线x －y ＝0和x －2y ＋2＝0的交点(2，2)时，z 最大，且z max ＝6，所以b 15－a ≥2.答案：－3152 2．分析：由题设易知1 －，，2， ，不如设c ， b 2 ， c ，－ b 2 由于1⊥2，14A ( a 0)A (a 0)BaCa.ABACb 2 b 2a－ab所以c ＋a ·c －a ＝－1，整理得a ＝b .由于渐近线方程为y ＝±a x ，即y ＝±x ，所以渐近线的斜率为±1.答案：y ＝±x ±115．分析：由于x f （x ）x，由于f ′(x )g (x )＞f (x )g ′(x )，所以f (x )＝ag (x )，所以 （） ＝agxf （x ） ′＝( a x )′＝ f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）a xln＞0，2＝g （x ） g （x ）af （1）f （－1）5－15f （x ）即ln a ＞0，所以a ＞1.由于 （1）＋（－1）＝2，所以a ＋a＝2，所以a ＝2，所以（ ）g ggxxf （n ） n，所以数列 f （n ）n2（1－2n ）＝2n ＋1＝2 ，所以g （n ） ＝2 g （n ）为等比数列，所以 S ＝1－2－2＞62，所以n ＋1＞6，即n ＞5，所以n 的最小值为6.答案：616．分析：由题意可得函数f (x )＝1＋log a x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点A (1，1)，又点 1 11 1 1 A 在直线mx ＋ny －2＝0上，得m ＋n ＝2，所以＋＝2 ＋ nm nm nm11当2＝2时取等号，可得m ＝n ＝1，所以＋的最小值为2.m n mn答案：217．分析：如图，设球的半径为R ，nm(m ＋n )＝1＋＋≥2，当且仅2m 2n棱柱的棱长为 a ，N ，M 分别是上、下底面的中心，由题意知，外接球球心O 为MN 的中点，273 1则OA ＝R .由4πR ＝7π，得OA ＝R ＝2. 易得AM ＝3a ，OM ＝2a ，在Rt △OAM 中，由勾股定理， 解得a ＝3，所以该三棱柱的体积为3294×(3)×3＝4.9答案：4。
(浙江专用)2020高考数学二轮复习小题分类练(一)
小题分类练(一) 概念辨析类1．已知i 为虚数单位，a ∈R ，如果复数2i －a i 1－i是实数，则a 的值为( ) A ．－4B ．2C ．－2D ．42．幂函数y ＝f (x )经过点(2，2)，则f (9)为( )A ．81B.13C.181 D ．33．设集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝3}，则满足M ⊆(A ∩B )的集合M 的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．34．下列结论正确的是( )A ．若|a |＝0，则a ＝0B ．若a ，b 是两个单位向量，则a ＝bC ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝cD ．若AB ＝AC ，则AB →＝AC →5．下列命题中，错误的是( )A ．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B ．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台C ．圆台的所有平行于底面的截面都是圆D ．圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形6．下列四条直线中，倾斜角最大的是( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝2x ＋1C ．y ＝－x ＋1D ．x ＝1 7．已知直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点(A ，B 在同一支上)，F 1，F 2为双曲线的两个焦点，则F 1，F 2在( )A ．以A ，B 为焦点的椭圆上或线段AB 的垂直平分线上B ．以A ，B 为焦点的双曲线上或线段AB 的垂直平分线上C ．以AB 为直径的圆上或线段AB 的垂直平分线上D ．以上说法均不正确8．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4的值为( ) A ．－7210B.7210 C ．－210 D.210 9．已知数列{a n }中，a n ＋1＝3S n ，则下列关于{a n }的说法正确的是( )A ．一定为等差数列B ．一定为等比数列C ．可能为等差数列，但不会为等比数列D ．可能为等比数列，但不会为等差数列10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)满足条件：(1)焦点为F 1(－5，0)，F 2(5，0)；(2)离心率为53，求得双曲线C 的方程为f (x ，y )＝0.若去掉条件(2)，另加一个条件求得双曲线C 的方程仍为f (x ，y )＝0，则下列四个条件中，符合添加的条件共有( )①双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1上的任意点P 都满足||PF 1|－|PF 2||＝6； ②双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的虚轴长为4； ③双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的一个顶点与抛物线y 2＝6x 的焦点重合； ④双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为4x ±3y ＝0. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个11．双曲线y 25－x 24＝1的焦点坐标为________，渐近线方程为________． 12．已知锐角α的终边上一点P 的坐标为(1＋cos 40°，sin 40°)，则锐角α＝________．13．函数g (x )＝2x －12x ＋1为________(填“奇”或“偶”)函数，函数f (x )＝22x ＋1＋1的对称中心为________．14．设各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝80，S 2＝8，则公比q ＝________，a 5＝________．15．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是________．16．已知点M (5，0)，N (－5，0)，△MNP 的周长为36，则△MNP 的顶点P 的轨迹方程为________________．17．给出下列四个函数：①y ＝2x ；②y ＝log 2x ；③y ＝x 2；④y ＝x .当0<x 1<x 2<1时，使f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f （x 1）＋f （x 2）2恒成立的函数的序号是________．小题分类练(一)1．解析：选D.依题意，复数2i －a i1－i ＝2i －a i （1＋i ）（1＋i ）（1－i ）＝a ＋（4－a ）i 2是实数，因此4－a ＝0，a ＝4，故选D.2．解析：选D.设f (x )＝x α，由题意得2＝2α，所以α＝12.所以f (x )＝x 12，所以f (9)＝912＝3，故选D.3．解析：选C.由题中集合可知，集合A 表示直线x ＋y ＝1上的点，集合B 表示直线x －y ＝3上的点，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝3，可得A ∩B ＝{(2，－1)}，M 为A ∩B 的子集，可知M 可能为{(2，－1)}，∅，所以满足M ⊆(A ∩B )的集合M 的个数是2.4．解析：选C.根据向量的概念可知选C.5．解析：选B.根据棱台的定义，用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台．6．解析：选C.直线方程y ＝x ＋1的斜率为1，倾斜角为45°，直线方程y ＝2x ＋1的斜率为2，倾斜角为α(60°<α<90°)，直线方程y ＝－x ＋1的斜率为－1，倾斜角为135°，直线方程x ＝1的斜率不存在，倾斜角为90°.所以直线y ＝－x ＋1的倾斜角最大．7．解析：选B.当直线l 垂直于实轴时，易知F 1，F 2在AB 的垂直平分线上；当直线l 不垂直于实轴时，不妨设双曲线焦点在x 轴上，F 1，F 2分别为双曲线的左，右焦点，且A ，B 都在右支上，由双曲线定义知：|AF 1|－|AF 2|＝2a ，|BF 1|－|BF 2|＝2a ，则|AF 2|－|BF 2|＝|AF 1|－|BF 1|＜|AB |，由双曲线定义可知，F 1，F 2在以A ，B 为焦点的双曲线上，故选B.8．解析：选D.由三角函数的定义得tan θ＝2，cos θ＝±55，所以tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－43，cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35，所以sin 2θ＝cos 2θtan 2θ＝45，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝22(sin 2θ＋cos 2θ)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫45－35＝210，故选D. 9．解析：选C.若数列{a n }中所有的项都为0，则满足a n ＋1＝3S n ，所以数列{a n }可能为等差数列，故B ，D 不正确；由a n ＋1＝3S n ，得a n ＋2＝3S n ＋1，则a n ＋2－a n ＋1＝3(S n ＋1－S n )＝3a n ＋1，所以a n ＋2＝4a n ＋1，当a 1≠0时，易知a n ＋1≠0，所以a n ＋2a n ＋1＝4，由a n ＋1＝3S n ，得a 2＝3a 1，即a 2a 1＝3，此时数列{a n }既不是等比数列又不是等差数列，故A 不正确，C 正确．10．解析：选B.①由||PF 1|－|PF 2||＝6，得a ＝3，又c ＝5，所以离心率为53，①符合；②中b ＝2，c ＝5，a ＝21，此时离心率等于52121，②不符合；③中a ＝32，c ＝5，此时离心率等于103，也不符合；④渐近线方程为4x ±3y ＝0，所以b a ＝43，离心率为53，④符合．所以正确的条件有2个．11．解析：因为a 2＝5，b 2＝4，所以c 2＝a 2＋b 2＝9.则焦点坐标为(0，±3)．渐近线方程为y ＝±52x . 答案：(0，±3) y ＝±52x 12．解析：由题意知tan α＝sin 40°1＋cos 40°＝2sin 20°cos 20°1＋2cos 220°－1＝tan 20°，所以α＝20°.答案：20°13．解析：易知函数g (x )＝2x －12x ＋1为奇函数，图象关于原点对称， 又f (x )＝22x ＋1＋1＝－g (x )＋2， 所以函数f (x )的图象的对称中心为(0，2)．答案：奇 (0，2)14．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝8a 1＋a 1q ＋q 2（a 1＋a 1q ）＝80 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，q ＝－3(舍去)，从而a 5＝a 1q 4＝2×34＝162. 答案：3 16215．解析：由椭圆的方程得a ＝3，设椭圆的另一个焦点为F ，则由椭圆的定义得|BA |＋|BF |＝|CA |＋|CF |＝2a ，所以△ABC 的周长为|BA |＋|BF |＋|CF |＋|CA |＝2a ＋2a ＝4a ＝4 3.答案：4 316．解析：设P (x ，y )，易知|MN |＝10，|PM |＋|PN |＝36－|MN |＝26>10，所以顶点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，但与M ，N 不共线．设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则2a ＝26，c ＝5，所以a ＝13，b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144，所以△MNP 的顶点P 的轨迹方程为x 2169＋y 2144＝1(y ≠0)．答案：x 2169＋y 2144＝1(y ≠0) 17．解析：由题意知满足条件的函数图象形状为：故符合图象形状的函数为y＝log2x，y＝x. 答案：②④。
2020版高考数学大二轮复习专题六函数与不等式、导数第一讲函数的图象与性质限时规范训练理
第一讲 函数的图象与性质1．(2019·资阳模拟)函数f (x )＝的定义域为( )A ．(0,1]B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D ．[2，＋∞)解析：由x －1≥0，得x ≥1，∴0<x ≤12.函数f (x )＝的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12. 故选B. 答案：B2．(2019·高考全国卷Ⅱ)曲线y ＝2sin x ＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为( ) A ．x －y －π－1＝0 B ．2x －y －2π－1＝0 C ．2x ＋y －2π＋1＝0D ．x ＋y －π＋1＝0解析：设y ＝f (x )＝2sin x ＋cos x ，则f ′(x )＝2cos x －sin x ，∴f ′(π)＝－2，∴曲线在点(π，－1)处的切线方程为y －(－1)＝－2(x －π)，即2x ＋y －2π＋1＝0.故选C. 答案：C3．(2019·郑州模拟)函数f (x )＝sin x 2＋cos x 的部分图象符合的是( )解析：函数f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称，f (0)＝sin 0＋cos 0＝1，排除C ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin π24＋cos π2＝sin π24>0，排除A ，D ，故选B. 答案：B4．(2019·湛江一模)已知函数g (x )＝f (2x )－x 2为奇函数，且f (2)＝1，则f (－2)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析：∵g (x )为奇函数，且f (2)＝1， ∴g (－1)＝－g (1)，∴f (－2)－1＝－f (2)＋1＝－1＋1， ∴f (－2)＝1. 故选C. 答案：C5．(2019·烟台一模)函数f (x )是定义在R 上的奇函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1，当x <0时，f (x )＝log 2(－x )＋m ，则实数m ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1，且x <0时，f (x )＝log 2(－x )＋m ； ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝log 214＋m ＝－2＋m ＝－1； ∴m ＝1. 故选C. 答案：C6．(2019·成都模拟)已知定义域为R 的奇函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，且当0≤x ≤1时，f (x )＝x 3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝( )A ．－278B ．－18C.18D.278解析：∵f (x )是奇函数，且图象关于x ＝1对称； ∴f (2－x )＝f (x )； 又0≤x ≤1时，f (x )＝x 3；∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－18.答案：B7．(2019·梧州一模)函数f (x )＝(e x＋1)ln x2e x－1(e 是自然对数的底数)的图象大致为( )解析：f (－x )＝(e －x＋1)ln (－x )2e －x －1＝(1＋e x )ln x 21－e x ＝－(e x ＋1)ln x2e x－1＝－f (x )， 则函数f (x )是奇函数，图象关于原点对称，排除B ，C. 当x >1时，f (x )>0，排除D ， 故选A. 答案：A8．(2019·兰州模拟)已知函数f (x )＝x ·ln 1＋x 1－x ，a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1π，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，则以下关系成立的是( )A ．c <a <bB ．c <b <aC ．a <b <cD ．a <c <b解析：根据题意，函数f (x )＝x ·ln 1＋x 1－x ，有1＋x1－x >0，解可得－1<x <1，即函数的定义域为(－1,1)，又由f (－x )＝(－x )ln 1－x 1＋x ＝x ·ln 1＋x1－x＝f (x )，则函数f (x )为偶函数；当 x ∈(0,1)时，y ＝x 与y ＝ln 1＋x1－x 都是增函数且都有y >0成立，则f (x )在(0,1)上为增函数，a ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－1π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1π，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，又由14<1π<1e ，则有c <a <b ；故选A.9．(2019·武侯区校级模拟)已知函数f (x )为R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )单调递减，若f (2a )>f (1－a )，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1C.⎝⎛⎭⎪⎫－1，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞ 解析：根据题意，函数f (x )为R 上的偶函数， 当x ≥0时，f (x )单调递减，则f (2a )>f (1－a )⇒f (|2a |)>f (|1－a |)⇒|2a |<|1－a |， 解可得：－1<a <13，即a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，13； 故选C. 答案：C10．(2019·聊城一模)设函数f (x )＝1e x －1＋a ，若f (x )为奇函数，则不等式f (x )>1的解集为( )A ．(0,1)B ．(－∞，ln 3)C ．(0，ln 3)D ．(0,2)解析：根据题意，函数f (x )＝1e x －1＋a ，其定义域为{x |x ≠0}．若f (x )为奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0， 即⎝⎛⎭⎪⎫1e －x －1＋a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x －1＋a ＝－1＋2a ＝0，解可得a ＝12，则f (x )＝1e x －1＋12由f (x )>1得1e x －1＋12>1，1e x－1－12>0， 2－e x＋12(e x－1)>0， e x－3e x－1<0， (e x－3)(e x－1)<0解得0＝ln 1<x <ln 3， 所以解集为(0，ln 3)．故选C. 答案：C11．(2019·江门一模)能把圆x 2＋y 2＝9的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为周易函数．已知函数：①y ＝1x ；②y ＝14x ＋1－12；③y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<x <π2；④y ＝sin x ＋cos x ，在这些函数中，周易函数是( )A ．①②B ．①③C ．③④D ．②③解析：由题意可得，“周易函数”能把圆x 2＋y 2＝9的周长和面积同时分为相等的两部分， 则其图象经过圆心(0,0)，且是奇函数； 据此依次分析选项：对于①，y ＝1x为奇函数，但不过原点，不符合题意；对于②，y ＝14x ＋1－12，有f (0)＝0，过原点，且f (－x )＝14－x ＋1－12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋1－12＝－f (x )，为奇函数，符合题意；对于③，y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<x <π2，为正切函数，过原点且是奇函数，符合题意；对于④，y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，不经过原点，不符合题意；则②③是周易函数； 故选D. 答案：D12．(2019·北镇市校级月考)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数，例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2，已知函数f (x )＝e x1＋e x －12，则关于函数g (x )＝[f (x )]的叙述正确的是( )A ．g (x )是偶函数B ．g (x )是奇函数C ．g (x )的值域是{－1,0,1}D ．g (x )的值域是{－1,0}解析：根据题意，f (x )＝e x 1＋e x －12，则f (－x )＝e －x1＋e －x －12＝11＋e x－12， 则f (x )≠f (－x )且－f (x )≠f (－x )，则函数f (x )既不是奇函数又不是偶函数，A 、B 错误； 函数f (x )＝e x1＋e x －12＝12－11＋e x ，又由e x >0，则1＋e x>1， 则有－12<f (x )<12，则g (x )＝[f (x )]＝{－1,0}，C 错误，D 正确； 故选D. 答案：D13．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知f (x )是奇函数，且当x <0时，f (x )＝－e ax.若f (ln 2)＝8，则a ＝________.解析：设x ＞0，则－x ＜0.∵当x ＜0时，f (x )＝－e ax ，∴f (－x )＝－e －ax.∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝e －ax，∴f (ln 2)＝e－a ln 2＝(eln 2)－a＝2－a.又∵f (ln 2)＝8，∴2－a＝8，∴a ＝－3. 答案：－314．(2019·山东潍坊模拟)已知奇函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，且f (1)＝1，f (2)＝2，则f (2 017)＋f (2 018)＝________.解析：因为f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)，所以当x ＝－3时，有f (3)＝f (－3)＋f (3)，即f (－3)＝0，又f (x )为奇函数，所以f (3)＝0，所以f (x ＋6)＝f (x )，函数f (x )是以6为周期的周期函数，f (2 017)＋f (2 018)＝f (336×6＋1)＋f (336×6＋2)＝f (1)＋f (2)＝3.答案：315．如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点，设顶点P (x ，y )的轨迹方程是y ＝f (x )，则对函数y ＝f (x )有下列判断：①函数y ＝f (x )是偶函数；②对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x －2)；③函数y ＝f (x )在区间[2,3]上单调递减；④函数y ＝f (x )在区间[4,6]上是减函数．其中判断正确的序号是________．解析：如图，从函数y ＝f (x )的图象可以判断出，图象关于y 轴对称，每4个单位图象重复出现一次，在区间[2,3]上，随x 增大，图象是往上的，在区间[4,6]上图象是往下的，所以①②④正确，③错误．答案：①②④16．(2019·济宁模拟)已知函数f (x )＝min{2x ，|x －2|}，其中min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，若动直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，且它们的横坐标分别为x 1，x 2，x 3，则x 1·x 2·x 3的最大值是________．解析：因为函数f (x )＝min{2x ，|x －2|}＝⎩⎨⎧2x ，0≤x ≤4－23，2－x ，4－23<x <2，x －2，2≤x ≤4＋23，2x ，x >4＋23，作出其大致图象如图所示，若直线y ＝m 与函数f (x )的图象有三个不同的交点，则0<m <2(3－1)．不妨设x 1<x 2<x 3，则易知2x 1＝m ，所以x 1＝m 24；同理，2－x 2＝m ，所以x 2＝2－m ；x 3－2＝m ，所以x 3＝2＋m ，所以x 1·x 2·x 3＝m 24(2－m )(m ＋2)＝m 2(4－m 2)4≤14⎝⎛⎭⎪⎫m 2＋4－m 222＝1，当且仅当m 2＝4－m 2，即m ＝2时取等号．答案：1。
2020浙江高考数学二轮练习：小题分层练(二) Word版含解析
姓名，年级：时间：小题分层练(二) 本科闯关练(2）1．已知集合A＝{x|－2＜x＜2｝,B＝{x|x≤2}，则（）A．B⊆A B．(∁R B)⊆（∁R A）C．A∩B＝∅D．(∁R A）∩B＝∅2．设函数f（x)＝错误!，若f(f(0)）＝4，则b＝（）A．2 B．1C．－2 D．－13．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位:cm3)是（）A．3 B．6C．9 D．184．“φ＝kπ＋错误!（k∈Z）”是“函数f(x)＝cos（ωx＋φ）为奇函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．从装有1个黑球，2个白球和2个红球的盒子里随机拿出2个小球,记拿到红球的个数为ξ，则E（ξ）＝( ）A。
错误! B.错误!C.25D。
错误!6．已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上,且圆C与直线x－y＝0相切，截直线x－y－3＝0所得的弦长为6，则圆C的标准方程为（)A．（x－1）2＋（y＋1）2＝2B．(x＋1）2＋（y－1)2＝2C．（x－1）2＋(y＋1）2＝1D．(x＋1）2＋(y－1)2＝17．已知正数a，b，c满足5c－3a≤b≤4c－a,b≥c，则错误!的取值范围是（)A.错误!B。
错误!C.错误!D.错误!8．如图，在三棱锥S.ABC中,SC⊥平面ABC,E,F是棱SC的两个三等分点，设二面角S.ABF、F。
ABE、E。
AB.C的平面角分别为α、β、γ,则（)A．α＞β＞γB．α＞γ＞βC．γ＞β＞αD．γ＞α＞β9．已知e1,e2均为单位向量，且它们的夹角为45°,设a,b满足|a＋e2|＝错误!,b＝e1＋k e2(k∈R),则|a－b｜的最小值为（)A。
错误! B.错误!C。
错误! D.错误!10．如图，点P是平面ABC外一点，点D是边AC上的动点(不含端点）,且满足PD＝PA，PB＝BA＝BC＝2，∠ABC＝120°，则四面体P－BCD体积的最大值是( )A.错误!B。
2020高考数学 小题分层练(6套) 浙江专用
2020高考数学小题分层练（6套）浙江专用小题分层练(一) 本科闯关练(1)1．已知集合A ＝{x ||x |＜1}，B ＝{x |x 2－2x ＜0}，则A ∩B ＝( ) A ．(－1，2) B ．(0，2) C ．(1，2)D ．(0，1)2．若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3x ＋y －3≥0x －y ＋1≥0，则y 的取值范围是( )A ．RB ．[0，4]C ．[2，＋∞)D ．(－∞，2]3．“直线l 与平面α平行”是“直线l 与平面α内的无数条直线平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线C ：y 28－x 2b2＝1(b ＞0)的离心率为2，则焦点到渐近线的距离为( )A ．2B ．4C ．2 2D ．85．函数y ＝e x(x 2＋2x ＋1)的图象可能是( )6．已知随机变量ξ的分布列如下：当a 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，6内增大时，D (ξ)( ) A ．增大 B ．减小 C ．先增大后减小D ．先减小后增大7．若正实数x ，y 满足ln(x ＋2y )＝ln x ＋ln y ，则2x ＋y 取到最小值时，x ＝( )A ．5B ．3C ．2D ．18．平面向量a ，b 满足|a －b |＝3，|a |＝2|b |，则a －b 与a 夹角的最大值为( ) A.π2 B.π3 C.π6D.π49．已知正三角形ABC 所在的平面垂直平面α，且边BC 在平面α内，过AB ，AC 分别作两个平面β，γ(与正三角形ABC 所在平面不重合)，则以下结论错误的是( )A ．存在平面β与平面γ，使得它们的交线l 和直线BC 所成的角为90°B ．直线BC 与平面γ所成的角不大于60° C ．平面α与平面β所成的锐二面角不小于60°D ．平面β与平面γ所成的锐二面角不小于60°10．设I 是含有数π的有限实数集，f(x)是定义在I 上的函数．若f(x)的图象绕坐标原点逆时针旋转π3后与原图象重合，则在以下各项中，f(π)的取值不可能是( )A.32π B.3π C ．πD.2π11．已知数列{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，b n ＝1＋a n a n，若对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8成立，则实数a 的取值范围为________．12．已知i 是虚数单位，复数z ＝1＋ii，则z 的实部是________；|z|＝________．13．若(x ＋1)7＝a 0＋a 1x ＋…＋a 7x 7，则a 1＝________；a 1＋…＋a 7＝________． 14．在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则cos C ＝________；sin A ＝________．15．袋中有2个红球，2个白球，2个黑球共6个球，现有一个游戏：从袋中任取3个球，恰好三种颜色各取到1个则获奖，否则不获奖．则获奖的概率是________；有3个人参与这个游戏，则恰好有1人获奖的概率是________．16．已知C ，F 分别是椭圆Γ：x 2a 2＋y2b 2＝1的左顶点和左焦点，A 、B 是椭圆的下、上顶点，设AF 和BC 交于点D ，若CD →＝2DB →，则椭圆Γ的离心率为________．17．设数列{a n }满足a n ＋1＝2(|a n |－1)，n ∈N *，若存在常数M ＞0，使得对于任意的n ∈N *，恒有|a n |≤M ，则a 1的取值范围是________．小题分层练小题分层练(一)1．解析：选D.因为A ＝{x |－1＜x ＜1}，B ＝{x |0＜x ＜2}，所以A ∩B ＝(0，1)．故选D.2．解析：选B.不等式的平面区域如图所示，结合图象易知y 的取值范围是[0，4]．故选B.3．解析：选A.由线面平行的性质可知，若直线l 与平面α平行，则直线l 与平面α内的无数条直线平行；反之当直线l 在平面α内时，不能推出直线l 与平面α平行．故选A.4．解析：选C.由e 2＝8＋b28＝2得b ＝22，故焦点为(±4，0)到渐近线x ±y ＝0的距离为412＋12＝22，故选C.5．解析：选A.f (x )＝e x(x ＋1)2＝0有二重根x ＝－1，故f (x )在x ＝－1附近左右两侧的图象均在x 轴上方．故选A.6．解析：选C.D (ξ)＝E (ξ2)－E 2(ξ)＝－a 2＋43a ＋536＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －232＋712，所以D (ξ)先增大后减小．故选C.7．解析：选B.由题意可得x ＋2y ＝xy ，变形为1y ＋2x＝1，所以2x ＋y ＝(2x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋2x ＝5＋2x y ＋2yx≥5＋22x y ·2y x＝9，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x y ＝y x x ＋2y ＝xy，即x ＝y ＝3时取到最小值．故选B.8．解析：选C.如图，设PA →＝a ，PB →＝b ，由|a |＝2|b |可知点P 的轨迹为阿波罗尼斯圆．设A (0，0)，B (3，0)，P (x ，y )，则点P 的轨迹方程为(x －4)2＋y 2＝4.所求问题转化为AB 与AP 的夹角何时最大，结合图象可知，当AP 与圆相切时夹角最大，容易算得最大的夹角为π6.9.解析：选D.将本题放入三棱锥A BCD 中研究，如图所示．设α为平面BCD ，β为平面ABD ，γ为平面ACD .固定正三角形ABC ，让D 点运动．对于选项A ，只要△BCD 也为正三角形，即有BC ⊥平面AED ，可得BC ⊥AD . 对于选项B ，考查最小角定理．直线BC 与平面γ所成的角不大于∠ACB ＝60°. 对于选项C ，考查二面角最大．过E 作EF ⊥BD ，垂足为F .可知EF ≤BE ，∠AFE ≥∠ABE ＝60°.故选D.10．解析：选B.当f (π)＝3π时，可求得旋转角为π3，即对应点为A 点，以A 为起点，间隔π3圆上取六点(如图)，当x ＝π时，圆上对应有两个点A ，E ，这与函数的定义矛盾．所以f (π)的取值不可能是3π.11．解析：依题意得b n ＝1＋1a n，对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8，即数列{b n }的最小项是第8项，于是有1a n ≥1a 8.又数列{a n }是公差为1的等差数列，因此有⎩⎪⎨⎪⎧a 8＜0，a 9＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＜0，a ＋8＞0，由此解得－8＜a ＜－7，即实数a 的取值范围为(－8，－7)．答案：(－8，－7)12．解析：z ＝1－i ，故实部为1，|z |＝ 2. 答案：1213．解析：(x ＋1)7展开式的通项为C k 7x k，令k ＝1得a 1＝7.令x ＝0，得a 0＝1，令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 7＝128，则a 1＋…＋a 7＝127.答案：7 12714．解析：cos C ＝2cos 2C 2－1＝－35.由余弦定理得AB ＝12＋52－2×1×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝42，再由正弦定理得BC sin A ＝AB sin C ，解得sin A ＝210.答案：－35 21015．解析：获奖概率为P ＝C 12·C 12·C 12C 36＝25， 恰好有1人获奖的概率为P ＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫251·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－252＝54125. 答案：25 5412516．解析：设A (0，－b )，F (－c ，0)，C (－a ，0)，B (0，b )，由题意D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，2b 3，又A ，F ，D 三点共线，得b －c ＝2b3－（－b ）－a 3，解得e ＝c a ＝15.答案：1517．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2（|x |－1）y ＝x 解得数列{a n }的一个不动点为2，结合蛛网图，要使{a n }有界，则a 1应满足－2≤a 1≤2.答案：[－2，2]小题分层练(二) 本科闯关练(2)1．已知集合A ＝{x |－2＜x ＜2}，B ＝{x |x ≤2}，则( ) A ．B ⊆A B ．(∁R B )⊆(∁R A ) C ．A ∩B ＝∅D ．(∁R A )∩B ＝∅2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －b ，x ＜12x ，x ≥1，若f (f (0))＝4，则b ＝( )A ．2B ．1C ．－2D ．－13．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A ．3B ．6C ．9D ．184．“φ＝k π＋π2(k ∈Z )”是“函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)为奇函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．从装有1个黑球，2个白球和2个红球的盒子里随机拿出2个小球，记拿到红球的个数为ξ，则E (ξ)＝( )A.45B.35C.25D.3106．已知圆C 的圆心在直线x ＋y ＝0上，且圆C 与直线x －y ＝0相切，截直线x －y －3＝0所得的弦长为6，则圆C 的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 B ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2 C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝1 D ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝17．已知正数a ，b ，c 满足5c －3a ≤b ≤4c －a ，b ≥c ，则2a ＋bc的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤92，7B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤113，7C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫92，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫113，＋∞8．如图，在三棱锥S ABC 中，SC ⊥平面ABC ，E ，F 是棱SC 的两个三等分点，设二面角S AB F 、F AB E 、E AB C 的平面角分别为α、β、γ，则( )A ．α＞β＞γB ．α＞γ＞βC ．γ＞β＞αD ．γ＞α＞β9．已知e 1，e 2均为单位向量，且它们的夹角为45°，设a ，b 满足|a ＋e 2|＝24，b ＝e 1＋k e 2(k ∈R )，则|a －b |的最小值为( )A. 2B.22C.24D.32410．如图，点P 是平面ABC 外一点，点D 是边AC 上的动点(不含端点)，且满足PD ＝PA ，PB ＝BA ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°，则四面体P －BCD 体积的最大值是( )A.12B.33C.23D.23311．双曲线x 24－y 2＝1的右顶点坐标为________，渐近线方程为________．12．已知复数z ＝a ＋i(a ∈R ，i 是虚数单位)，若z 2是纯虚数，则a ＝________，|z |＝________．13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，B ＝π4，tan C ＝7，则sin A ＝________，S △ABC ＝________．14．若⎝⎛⎭⎪⎫x －x 2n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n ＝________，第5项为________．15．设等差数列{a n }与等比数列{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若等比数列{b n }的公比为q (n ，q ∈N *)且T 2n ＋1＝S qn ，则a n ＝________．16.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．己知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A 袋中的概率为________．17．已知函数f (x )＝2x ＋t 2，g (x )＝x ＋t －1，记函数F (x )＝|f (x )|＋|g (x )|＋||f (x )|－|g (x )||，则函数F (x )的最小值为________．小题分层练(二)1．解析：选B.结合数轴可知(∁R B )⊆(∁R A )．故选B.2．解析：选C.f (0)＝－b ，若－b ＜1，则f (－b )＝－3b ＝4，解得b ＝－43(舍去)；当－b ≥1时，f (－b )＝2－b＝4，解得b ＝－2.故选C.3．解析：选D.该几何体为四棱柱截去两个三棱柱，其体积为V ＝3×3×3－2×12×1×3×3＝18，故选D.4．解析：选C.由函数f (x )＝cos (ωx ＋φ)为奇函数，可知f (0)＝cos φ＝0，所以φ＝k π＋π2(k ∈Z )．故选C.5．解析：选A.E (ξ)＝25×2＝45.故选A .6．解析：选A.把选项逐一代入检验，A 符合题意，故选A.7．解析：选B.由题意5－3×a c ≤b c ≤4－a c ，b c ≥1，令x ＝a c ，y ＝b c，则所求问题转化为在⎩⎪⎨⎪⎧5－3x ≤y y ≤4－x y ≥1下求2x ＋y 的取值范围，利用线性规划知识可求得2a ＋b c 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤113，7.故选B.8．解析：选C .过S 作SD ⊥AB 交AB 于D ，连接FD ，ED ，DC ，所以FD ⊥AB ，ED ⊥AB ，CD ⊥AB ，所以∠SDF ＝α，∠FDE ＝β，∠EDC ＝γ，则tan γ＝EC DC ，tan (β＋γ)＝FC DC， tan (α＋β＋γ)＝SC DC，所以tan (β＋γ)＝2tan γ，tan (α＋β＋γ)＝3tan γ，则tan β＝tan γ1＋2tan 2γ<tan γ，tan α＝tan γ1＋6tan 2γ<tan γ1＋2tan 2γ＝tan β，即tan α<tan β<tan γ，故γ＞β＞α.故选C.9．解析：选C.如图，由|a ＋e 2|＝24可知点A 在以E 为圆心，24为半径的圆上，由b ＝e 1＋k e 2可知点B 在直线l 上(l ∥DE )．所以|a －b |＝|AB |≥|EH |－r ＝24.故选C.10．解析：选C.由BP ＝BA ＝BC ＝2，可知点P 在以B 为球心，半径为2的球面上(除A ，C 外)．又由PD ＝PA 知，点P 在线段AD 的中垂面上，即P 的轨迹为球与中垂面的交线圆(如图点O 为圆心)．设CD ＝x ，则AE ＝ED ＝23－x 2，OB ＝EF ＝AF －AE ＝x2，OP ＝4－x 24，因为S △BCD ＝12CD ·BF ＝x 2，所以V P －BCD ≤13S △BCD ·OP ＝16－x 44＋4x 2≤23.故选C.11．解析：由题意a ＝2，b ＝1，所以右顶点坐标为(2，0)，渐近线方程为y ＝±12x .答案：(2，0) y ＝±12x12．解析：z 2＝(a 2－1)＋2ai ，a 2－1＝0且2a ≠0，所以a ＝±1，|z |＝ 2. 答案：±1213．解析：由tan C ＝7可知sin C ＝7210，cos C ＝210，所以sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π4＝45.由正弦定理可得b ＝524，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝74.答案：45 7414．解析：因为只有第5项的二项式系数最大，所以n ＝8，该项为C 48(x )4⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 24＝358x 6.答案：8358x 615．解析：由题意T 2n ＝S qn －1＝q na 1＋q n （q n －1）2d －1＝d 2q 2n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2q n －1，根据等比数列求和公式的特点，可得⎩⎪⎨⎪⎧d2＝1a 1－d 2＝0，解出a 1＝1，d ＝2，所以a n＝2n －1.答案：2n －116．解析：P ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×12×12＋12×12×1 ＝34. 答案：3417．解析：由题意F (x )＝2max{|f (x )|，g |(x )|}，作出|f (x )|，|g (x )|的图象，观察图象可知max{|f (x )|，|g (x )|}的最小值在交点A 处取到，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －t ＋1y ＝2x ＋t 2，消去x 得y ＝t 2－2t ＋23＝（t －1）2＋13≥13，所以函数F (x )的最小值为23.答案：23小题分层练(三) 本科闯关练(3)1．已知i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若(1－i )z ＝2，则z 为( ) A ．1＋i B ．1－i C ．2＋iD ．2－i2.设全集为R ，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪y ＝2x ＋1，－12≤x ≤12，N ＝{x |y ＝lg(x 2＋3x )}，则韦恩图中阴影部分表示的集合为( )3．函数y ＝(x －1)2(x －2)e x(其中e 为自然对数的底数)的图象可能是( )4．设O 是空间中的一点，a ，b ，c 是空间中三条不同的直线，α，β是空间中两个不同的平面，则下列命题中，逆命题不正确的是( )A ．当a ∩b ＝O 且a ⊂α，b ⊂α时，若c ⊥a ，c ⊥b ，则c ⊥αB ．当a ∩b ＝O 且a ⊂α，b ⊂α时，若a ∥β，b ∥β，则α∥βC ．当b ⊂α时，若b ⊥β，则α⊥βD ．当b ⊂α，且c ⊄α时，若c ∥α，则b ∥c 5．设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜c ＜b C ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b6．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，ω>0，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，f (π)＝0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3上具有单调性，那么ω的取值共有( )A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个7．已知直线y ＝x －2，则直线被椭圆x 24＋y 2＝1截得的弦长是( )A.25B.225C.425D. 28．在三棱锥S ABC 中，SA ⊥平面ABC ，且∠ACB ＝30°，AC ＝2AB ＝23，SA ＝1，则该三棱锥的外接球的体积为( )A.13138π B ．13π C.136π D.13136π 9．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0x ＋3y ≥43x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积比为1∶2的两部分，则k 的一个值为( )A.73 B.43 C ．1D.3710．已知函数f (x )＝e|x －2|，其中e ＝2.718 28…是自然对数的底数．设有2 018个不同的数满足1≤x 1＜x 2＜…＜x 2 018≤4，令F ＝|f (x 1)－f (x 2)|＋|f (x 2)－f (x 3)|＋…＋|f (x 2 017)－f (x 2 018)|，则( )A ．F min ≥8.64B ．7.99＜F ＜8.64C ．7.99＜F min ＜8.64D ．7.99＜F max ＜8.6411．为了得到函数y ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，可以把函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象向________平移________个单位长度．12．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则f (x )的解析式为f (x )＝________，lg[f (2)]＋lg[f (5)]＝________，方程f (x )＝x 的根有________个．13．双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4，离心率为3，则该双曲线的标准方程为________，渐近线方程为________．14．已知向量a ，b 的夹角为45°，且|a |＝1，|2a ＋b |＝10，则|b |＝________． 15．在△ABC 中，C ＝45°，AB ＝6，D 为BC 边上的点，且AD ＝5，BD ＝3，则cos B ＝________，AC ＝________．16．已知圆C ：(x －3)2＋(y －5)2＝5，直线l 过圆心且交圆C 于A ，B 两点，交y 轴于P 点，若2PA →＝PB →，则直线l 的斜率k ＝________．17．某校组织数学知识竞答赛，要求每位参赛的同学回答5道题．已知张明同学参赛，他答对每道题的概率均为23，且每道题答对与否互不影响．计分规则：答对不超过3道题时，每答对1道得1分，超过3道题时，每多答对1道得2分，每答错1道得0分．设张明答完5道题的总得分为ξ，则E (ξ)＝________．小题分层练(三)1．解析：选B.依题意得z ＝21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1＋i ，所以z ＝1－i. 2．解析：选C.因为－12≤x ≤12，y ＝2x ＋1，所以0≤y ≤2，所以M ＝{y |0≤y ≤2}，因为x 2＋3x ＞0，所以x ＞0或x ＜－3，所以N ＝{x |x ＞0或x ＜－3}，韦恩图中阴影部分表示的集合为(∁R M )∩N ，又∁R M ＝{x |x ＜0或x ＞2}，所以(∁R M )∩N ＝{x |x ＜－3或x ＞2}，选C.3．解析：选A.由题意，1，2是函数的两个零点，f (3)＞0，f (1.5)＜0，故选A. 4．解析：选C.对于A ，逆命题为当a ∩b ＝O 且a ⊂α，b ⊂α时，若c ⊥α，则c ⊥a ，c ⊥b ，由直线与平面垂直的性质可知逆命题正确；对于B ，逆命题为当a ∩b ＝O 且a ⊂α，b ⊂α时，若α∥β，则a ∥β，b ∥β，由平面与平面平行的性质可知逆命题正确；对于C ，逆命题为当b ⊂α时，若α⊥β，则b ⊥β，显然逆命题不正确；对于D ，逆命题为当b ⊂α，且c ⊄α时，若b ∥c ，则c ∥α，由直线与平面平行的判定定理可知逆命题正确，故选C.5．解析：选 D.1＝log 33＜a ＝log 37＜log 39＝2，b ＝21.1＞21＝2，c ＝0.83.1＜0.80＝1，所以c ＜a ＜b .6．解析：选D.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，f (π)＝0，知π－π4＝T 4＋nT 2(n ∈N )，即3π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋n 2·2πω(n ∈N )，所以ω＝4n ＋23(n ∈N )．因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3上具有单调性，所以T 2≥π3－π4，即T ＝2πω≥π6，所以ω≤12，即4n ＋23≤12，解得n ≤172.因为n ∈N ，所以n ＝0，1，2，3，4，5，6，7，8，所以ω的取值共有9个，选D.7．解析：选C.设直线与椭圆相交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2x 2＋4y 2＝4，化简得5x 2－16x ＋12＝0，所以x 1＋x 2＝165，x 1·x 2＝125.所以|AB |＝（1＋1）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1652－4×125＝425.8．解析：选D.依题得AC ＝23，AB ＝3，∠ACB ＝30°，由余弦定理得BC ＝3，由勾股定理知BC ⊥AB ，而SA ⊥平面ABC ，所以SA ⊥AB ，故可将三棱锥S ABC 补成为长、宽、高分别为3，3，1的长方体，则长方体的体对角线即该三棱锥的外接球直径，为12＋32＋（3）2＝13，故该三棱锥外接球的体积为43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1323＝13136π.9.解析：选C.作出不等式组对应的平面区域如图：则A (0，4)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝43x ＋y ＝4，解得C (1，1)，则三角形ABC 的面积S ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫4－43×1＝43，因为平面区域被直线y ＝kx ＋43分成面积比是1∶2的两部分，所以面积较小的面积为43×13＝49，因为直线y ＝kx ＋43过定点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43， 若△ABD 的面积为49，则S ＝12×83x D ＝49，解得x D ＝13，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝133x ＋y ＝4，解得D ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3，此时BD 的斜率k ＝3－4313－0＝5.若△ABE 的面积为43×23＝89，则S ＝12×83×x E ＝89，x E ＝23，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝233x ＋y ＝4，解得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2，此时BE 的斜率k ＝1.故k ＝5或k ＝1.故选C.10．解析：选D.函数f (x )＝e|x －2|的对称轴为x ＝2，观察其图象，|f (x i )－f (x i ＋1)|的几何意义为图象上两点纵向的距离，故F 的最大值为|f (1)－f (2)|＋|f (4)－f (2)|＝e 2＋e－2，故选D.11．右 212．解析：依题意，设f (x )＝x α，则有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212，所以α＝12，f (x )＝x 12，lg[f (2)]＋lg[f (5)]＝lg 212＋lg 512＝lg 1012＝12.f (x )＝x ，即x 12＝x ，解得x ＝0或x＝1，故有2个根．答案：x 12 12213．解析：由题意得2a ＝4，ca＝3，所以a ＝2，c ＝2 3.b ＝12－4＝2 2. 因为双曲线的焦点在x 轴上，所以双曲线的标准方程为x 24－y 28＝1.渐近线方程为y ＝±2x .答案：x 24－y 28＝1 y ＝±2x14．解析：由|2a ＋b |＝10，得|2a ＋b |2＝10，即4a 2＋4a ·b ＋b 2＝10，即4＋4|b |·22＋|b |2＝10，解得|b |＝ 2.答案： 215．解析：在△ABD 中，由余弦定理得cos B ＝32＋62－522·3·6＝59，进而sin B ＝2149，在△ABC 中由正弦定理得AC sin B ＝AB sin C ，解得AC ＝873.答案：59 87316．解析：依题意得，点A 是线段PB 的中点，|PC |＝|PA |＋|AC |＝3 5.过圆心C (3，5)作y 轴的垂线，垂足为C 1，则|CC 1|＝3，|PC 1|＝（35）2－32＝6.记直线l 的倾斜角为θ，则有|tan θ|＝|PC 1||CC 1|＝2，即k ＝±2. 答案：±217．解析：由题意可知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，5，7.P (ξ＝0)＝C 05(1－23)5＝1243，P (ξ＝1)＝C 15(23)1×(1－23)4＝10243， P (ξ＝2)＝C 25(23)2×(1－23)3＝40243， P (ξ＝3)＝C 35(23)3×(1－23)2＝80243， P (ξ＝5)＝C 45(23)4×(1－23)1＝80243， P (ξ＝7)＝C 55(23)5＝32243， 故ξ的数学期望E (ξ)＝0×1243＋1×10243＋2×40243＋3×80243＋5×80243＋7×32243＝10627. 答案：10627小题分层练(四) 本科闯关练(4)1．已知集合P ＝{x |x ≥0}，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＋1x －2≥0，则P ∩(∁R Q )＝( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，－1] C ．(－1，0)D ．[0，2]2．已知复数z ＝1＋ii ，其中i 为虚数单位，则|z |＝( )A.12 B.22C. 2D ．23．已知a ，b ∈R ，条件p ：“a >b ”，条件q ：“2a>2b－1”，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星中，以A ，B ，C ，D ，E 为顶点的多边形为正五边形，且PTAT ＝5－12.下列关系中正确的是( ) A.BP →－TS →＝5＋12RS →B.CQ →＋TP →＝5＋12TS →C.ES →－AP →＝5－12BQ →D.AT →＋BQ →＝5－12CR →5．已知sin(x －2 017π)＝13，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则tan 2x ＝( ) A.24 B ．－24C.427D ．4 26．若正实数x ，y 满足x ＋2y ＋2xy －8＝0，则x ＋2y 的最小值为( ) A ．3 B ．4 C.92D.1127．已知等比数列{a n }的公比为q ，则数列{a n ＋a n ＋1}( ) A ．一定是等比数列B ．可能是等比数列，也可能是等差数列C ．一定是等差数列D ．一定不是等比数列 8．已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1，x ∈(0，4)，当x ＝a 时，f (x )取得最小值b ，则在直角坐标系中，函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a |x ＋b |的图象可能是( )9.如图，已知三棱锥D ABC ，记二面角C AB D 的平面角是θ，直线DA 与平面ABC 所成的角是θ1，直线DA 与BC 所成的角是θ2，则( )A ．θ≥θ1B ．θ≤θ1C ．θ≥θ2D ．θ≤θ210．定义两种运算：a ⊕b ＝a 2－b 2，a ⊗b ＝（a －b ）2，则函数f (x )＝2⊕x（x ⊗2）－2为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．奇函数且为偶函数D ．非奇函数且非偶函数11．已知2a＝3，则8a＝________，log 26－a ＝________．12．△ABC 中，∠BAC ＝2π3，AB ＝2，AC ＝1，DC →＝2BD →，则AD →·BC →＝________．13．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0x －y ≤00≤y ≤m，若z ＝x ＋y 的最大值为6，则m ＝________；z 1＝2x ＋y的最小值为________．14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________，表面积是________．15．已知椭圆x 24＋y 2b2＝1(0＜b ＜2)与y 轴交于A ，B 两点，点F 为该椭圆的一个焦点，则△ABF 面积的最大值为________．16．袋中有大小相同的3个红球，2个白球，1个黑球．若不放回摸球，每次取1球，摸取3次，则恰有两次是红球的概率为________；若有放回摸球，每次取1球，摸取3次，则摸到红球次数的期望为________．17．已知数列{a n }共16项，且a 1＝1，a 8＝4.记关于x 的函数f n (x )＝13x 3－a n x 2＋(a 2n －1)x ，n ∈N *.若x ＝a n ＋1(1≤n ≤15)是函数f n (x )的极值点，且曲线y ＝f 8(x )在点(a 16，f 8(a 16))处的切线的斜率为15，则满足条件的数列{a n }的个数为________．小题分层练(四)1．解析：选D.由题意可知Q ＝{x |x ≤－1或x ＞2}，则∁R Q ＝{x |－1＜x ≤2}，所以P ∩(∁R Q )＝{x |0≤x ≤2}．故选D.2．C3．解析：选A.由条件p ：“a >b ”，再根据函数y ＝2x 是增函数，可得2a >2b ，所以2a >2b－1，故条件q ：“2a >2b－1”成立，故充分性成立．但由条件q ：“2a>2b－1”成立，不能推出条件p ：“a >b ”成立，例如由20>20－1成立，不能推出0>0，故必要性不成立．故p 是q 的充分不必要条件，故选A.4．解析：选A.由题意，知BP →－TS →＝TE →－TS →＝SE →，RS SE ＝PT AT ＝5－12，所以SE →＝5＋12RS →，故A 正确；CQ →＋TP →＝PA →－PT →＝TA →＝5＋12ST →，故B 错误；ES →－AP →＝RC →－QC →＝RQ →＝5－12QB →，故C 错误；因为AT →＋BQ →＝SD →＋RD →，5－12CR →＝RS →＝RD →－SD →，若AT →＋BQ →＝5－12CR →成立，则SD→＝0，不合题意，故D 错误．故选A.5．解析：选C.因为sin(x －2 017π)＝13，所以sin x ＝－13，又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，所以cos x ＝－223，所以tan x ＝24，所以tan 2x ＝2×241－⎝ ⎛⎭⎪⎫242＝427.6．解析：选B.因为正实数x ，y 满足x ＋2y ＋2xy －8＝0，所以x ＋2y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22－8≥0，设x ＋2y ＝t ＞0，所以t ＋14t 2－8≥0，所以t 2＋4t －32≥0，即(t ＋8)(t －4)≥0，所以t ≥4，故x ＋2y 的最小值为4.7．解析：选B.由题意知a n ＝a 1qn －1，a n ＋1＝a 1q n ，a n ＋a n ＋1＝a 1qn －1＋a 1q n ＝a 1q n (1q＋1)，a n＋1＋a n ＋2＝a 1q n ＋a 1qn ＋1＝a 1q n(1＋q )．当q ＝－1时，数列{a n ＋a n ＋1}为一个各项均为0的常数列，是一个等差数列；当q ≠－1时，a n ＋1＋a n ＋2a n ＋a n ＋1＝1＋q1q＋1＝q ，所以数列{a n ＋a n ＋1}是等比数列．综上可知，数列{a n ＋a n ＋1}既可能是等差数列，也可能是等比数列．8．解析：选B.f (x )＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5≥29－5＝1，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x ＝2时等号成立，所以a ＝2，b ＝1，则g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x ＋1|.g (x )的图象可以看作是y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象向左平移一个单位长度得到的，选项B 符合要求．9．A10．解析：选 A.由a ⊕b ＝ a 2－b 2和a ⊗b ＝（a －b ）2得f (x )＝2⊕x（x ⊗2）－2＝4－x2（x －2）2－2＝4－x 2|x －2|－2，其定义域为[－2，0)∪(0，2]，所以f (x )＝4－x 2（2－x ）－2＝－4－x2x，所以f (x )是奇函数．11．解析：根据指数运算法则，8a＝(23)a＝(2a )3＝33＝27；根据对数定义，a ＝log 23，所以log 26－a ＝log 26－log 23＝log 2(6÷3)＝log 22＝1.答案：27 112．解析：由DC →＝2BD →得AD →＝13(AC →＋2AB →)．所以AD →·BC →＝13(AC →＋2AB →)·(AC →－AB →)＝13(AC →2＋AC →·AB →－2AB →2)＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－2×22＝－83.答案：－8313．解析：作出不等式组表示的平面区域，由图可知当直线z ＝x ＋y 过点A (m ，m )时，z 取到最大值6，故m ＝3；当直线z 1＝2x ＋y 过点B (－6，3)时，z 1取到最小值－9.答案：3 －914．解析：容易看出该几何体为四棱锥，其体积为V ＝13×12×(4＋2)×2×2＝4，表面积为S ＝12×[2×2＋4×2＋(4＋2)×2＋2×22＋22·23]＝12＋26＋2 2.答案：4 12＋26＋2 215．解析：不妨设点F 的坐标为(4－b 2，0)，而|AB |＝2b ，所以S △ABF ＝12×2b ×4－b2＝b 4－b 2＝b 2（4－b 2）≤b 2＋4－b 22＝2(当且仅当b 2＝4－b 2，即b 2＝2时取等号)，故△ABF面积的最大值为2.答案：216．解析：P ＝C 23·C 13C 36＝920；记摸到红球次数为X ，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，所以E (X )＝3×12＝32. 答案：920 3217．解析：f ′n (x )＝x 2－2a n x ＋a 2n －1＝[x －(a n ＋1)][x －(a n －1)]．令f ′n (x )＝0，得x ＝a n ＋1或x ＝a n －1，所以a n ＋1＝a n ＋1或a n －1＝a n ＋1(1≤n ≤15)，所以|a n ＋1－a n |＝1(1≤n ≤15)，又f ′8(x )＝x 2－8x ＋15，所以a 216－8a 16＋15＝15，解得a 16＝0或a 16＝8.当a 16＝0时，a 8－a 1＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a 8－a 7)＝3， 得a i ＋1－a i (1≤i ≤7，i ∈N *)的值有2个为－1，5个为1； 由a 16－a 8＝(a 9－a 8)＋(a 10－a 9)＋…＋(a 16－a 15)＝－4， 得a i ＋1－a i (8≤i ≤15，i ∈N *)的值有6个为－1，2个为1. 所以此时数列{a n }的个数为C 27C 28＝588，同理可得当a 16＝8时，数列{a n }的个数为C 27C 28＝588. 综上，数列{a n }的个数为2C 27C 28＝1 176. 答案：1 176小题分层练(五) “985”跨栏练(1)1．已知复数a ＋2i1＋i(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数a ＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．22．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋14c 2，则a cos B c 的值为( )A.14 B.54 C.58D.383．函数y ＝|log 2(x －1)|的图象大致是( )4．已知集合A ＝{x |2x 2－2x ＜8}，B ＝{x |x 2＋2mx －4＜0}，A ∩B ＝{x |－1＜x ＜1}，A ∪B ＝{x |－4＜x ＜3}，则实数m 的值为( )A.12B.32 C ．2D ．35．过点P (－2，0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且|PA |＝12|AB |，则点A 到抛物线的焦点的距离为( )A.53B.75C.97D ．26．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形，若该“阳马”的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为( )A.863π B ．86π C.6πD ．24π7．设A ，B ，C 为三角形的三个内角，且方程(sin B －sin A )·x 2＋(sin A －sin C )x ＋(sin C －sin B )＝0有两个相等实根，那么( )A ．B ＞60° B ．B ≥60°C ．B ＜60°D ．B ≤60°8．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，若点(S n ，a n )在曲线2y 2＝x ＋1上，则数列{1log 2（S n ＋1＋1）·log 2a n ＋1}的前5项和T 5＝( )A ．log 2 76B ．log 2 56C.56D.769．对于平面向量a ，b ，给出下列四个命题：命题p 1：若a·b ＞0，则a 与b 的夹角为锐角； 命题p 2：“|a·b |＝|a||b|”是“a∥b ”的充要条件； 命题p 3：当a ，b 为非零向量时，“a ＋b ＝0”是“|a ＋b | ＝||a |－|b ||”的充要条件；命题p 4：若|a ＋b |＝|b |，则|2b |≥|a ＋2b |. 其中的真命题是( )A ．p 1，p 3B ．p 2，p 4C ．p 1，p 2D ．p 3，p 410．已知定义域为R 的奇函数f (x )的导函数为f ′(x )，当x ≠0时，f ′(x )＋f （x ）x＞0，若a ＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，b ＝－2f (－2)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( ) A ．a ＜c ＜b B ．b ＜c ＜a C ．a ＜b ＜cD ．c ＜a ＜b11．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝10，S 4＝50，则公差d ＝________，若S n 取到最大值，则n ＝________．12．已知侧棱与底面垂直的三棱柱的底面是边长为23的正三角形，该三棱柱存在一个与上、下底面及所有侧面都相切的内切球，则该三棱柱的外接球与内切球的半径之比为________．13．将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象向左平移π6个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的最小正周期为________，初相为________．14．若⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5展开式中的常数项为5，则a ＝________；含x 5的项的二次项系数等于________．15．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2，x ＜0，x 2－x ，x ≥0，若f (a )＝－14，则a ＝________，若方程f (x )－b ＝0有三个不同的实数根，则实数b 的取值范围是________．16．已知直线2ax －by ＋14＝0(a ＞0，b ＞0)，且该直线上的点A (－1，2)始终落在圆(x －a ＋1)2＋(y ＋b －2)2＝25的内部或圆上，则b a的取值范围是________．17．已知正实数a ，b ，c 满足2a ＋3b ＋4c ＝4，若对任意的a ，b ，c ，不等式1a ＋b ＋4a ＋4bb ＋4c≥x ＋t x对任意的x ∈[1，2]恒成立，则实数t 的最大值为________．小题分层练(五)1．解析：选A.a ＋2i 1＋i＝a ＋22＋2－a2i ，由a ＋2i1＋i是纯虚数得a ＋22＝0，所以a ＝－2，故选A.2．解析：选C.因为a 2＝b 2＋14c 2，所以由余弦定理，得a cos B c ＝a c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－b22c2＝b 2＋14c 2＋c 2－b 22c2＝58，故选C. 3．解析：选B.法一：由函数的定义域{x |x ＞1}知，只有B 项正确，故选B.法二：将y ＝log 2x 的图象向右平移一个单位长度得y ＝log 2(x －1)的图象，再将y ＝log 2(x －1)在x 轴下方的图象关于x 轴对称后即得B.4．解析：选B.根据题意知，集合A ＝{x |2x 2－2x ＜8}＝{x |x 2－2x －3＜0}＝{x |－1＜x ＜3}，因为A ∩B ＝{x |－1＜x ＜1}，A ∪B ＝{x |－4＜x ＜3}，所以结合数轴可知集合B ＝{x |－4＜x ＜1}，即－4，1是方程x 2＋2mx －4＝0的两个根，所以－4＋1＝－2m ，解得m ＝32，故选B.5．解析：选A.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，因为|PA |＝12|AB |，所以⎩⎪⎨⎪⎧3（x 1＋2）＝x 2＋2，3y 1＝y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53.6.解析：选C.由题可知，该“阳马”为四棱锥，记为P ABCD ，将其放入长方体中如图所示，则该“阳马”的外接球直径为长方体的体对角线，易知AD ＝AP ＝1，AB ＝2，所以PC ＝12＋12＋22＝6，所以外接球的半径为PC2＝62，故该球的体积为4πR 33＝4π3×64×62＝6π.故选C.7．解析：选D.由已知，得Δ＝0，即(sin A －sin C )2－4(sin B －sin A )(sin C －sinB )＝0，由正弦定理，得(a －c )2－4(b －a )(c －b )＝0，展开，得a 2＋c 2＋2ac ＋4b 2－4bc －4ab ＝0，所以(a ＋c －2b )2＝0，所以a ＋c ＝2b ，所以b ＝a ＋c2，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 222ac＝3（a 2＋c 2）8ac －14≥3×2ac 8ac －14＝12.当且仅当a ＝c 时，等号成立．因为cos B ＞0，所以0°＜B ＜90°，又y ＝cos B 在(0°，90°)上为减函数，所以B ≤60°(当且仅当a ＝c 时取等号)． 8．解析：选C.因为点(S n ，a n )在曲线2y 2＝x ＋1上，所以2a n ＝S n ＋1.当n ≥2，n ∈N *时，有2a n －1＝S n －1＋1，两式相减，得2a n －2a n －1＝S n －S n －1＝a n ，所以当n ≥2，n ∈N *时，有a na n －1＝2，当n ＝1时，有2a 1＝S 1＋1，解得a 1＝1，所以数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以a n ＝2n －1，S n ＝2n－1，所以1log 2（S n ＋1＋1）·log 2a n ＋1＝1log 22n ＋1·log 22n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，所以T 5＝1－16＝56.故选C. 9．解析：选B.法一：对于命题p 1，当向量a ，b 共线且同向时，它们的夹角不是锐角，但它们的数量积为正，所以命题p 1是假命题．对于命题p 2，因为a·b ＝|a ||b|cos 〈a ，b 〉，又|a ·b |＝|a |·|b |，所以|cos 〈a ，b 〉|＝1，所以〈a ，b 〉＝0°或180°，即a ∥b .反之，如果a ∥b ，容易得到|a ·b |＝|a |·|b |，因此“|a ·b |＝|a |·|b |”是“a ∥b ”的充要条件(这里包含a ，b 中有零向量的情况)，所以命题p 2是真命题．对于命题p 3，|a ＋b |＝||a |－|b ||⇔a ·b ＝－|a ||b |⇔cos 〈a ，b 〉＝－1⇔a 与b 反向⇔a ＝λb (λ＜0)，所以“a ＋b ＝0”是“|a ＋b |＝||a |－|b ||”的充分不必要条件，所以命题p 3是假命题．对于命题p 4，由|a ＋b |＝|b |得，a 2＋2a ·b ＝0，即2a ·b ＝－a 2，故|a ＋2b |2＝a 2＋4b 2＋4a ·b ＝a 2＋4b 2－2a 2＝4b 2－a 2≤4b 2＝|2b |2，即|2b |≥|a ＋2b |，所以命题p 4是真命题．法二：对于命题p 1，当向量a ，b 共线且同向时，它们的夹角不是锐角，但它们的数量积为正，所以命题p 1是假命题，排除A 、C.根据B 、D 可知，命题p 4是真命题，故只需要判断命题p 2即可．对于命题p 2，因为a ·b ＝|a ||b |·cos 〈a ，b 〉，又|a ·b |＝|a ||b |⇔|cos 〈a ，b 〉|＝1⇔〈a ，b 〉＝0°或180°⇔a ∥b ，所以命题p 2是真命题，故选B.10．解析：选A.设h (x )＝xf (x )，所以h ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，因为y ＝f (x )是定义在实数集R 上的奇函数，所以h (x )是定义在实数集R 上的偶函数，当x ＞0时，h ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )＞0，所以此时函数h (x )单调递增．因为a ＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，b ＝－2f (－2)＝2f (2)＝h (2)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12＝h (－ln 2)＝h (ln 2)，又2＞ln 2＞12，所以b ＞c ＞a .故应选A.11．解析：由已知条件可得S 4＝a 3－2d ＋a 3－d ＋a 3＋a 3＋d ＝4a 3－2d ＝50，又a 3＝10， 所以d ＝－5.可得a 4＝5，a 5＝0，a 6＝－5，…，故当n ＝4或5时，S n 取到最大值． 答案：－5 4或512．解析：由题意知，三棱柱的内切球的半径r 等于底面内切圆的半径，即r ＝36×23＝1，此时三棱柱的高为2r ＝2，底面外接圆的半径为23×33＝2，所以三棱柱的外接球的半径R ＝22＋12＝ 5.所以该三棱柱的外接球与内切球的半径之比为R r＝5∶1.答案：5∶113．解析：函数g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，故最小正周期为π，初相为π3. 答案：ππ314．解析：展开式的通项为T k ＋1＝a5－k·C k5x 10－52k ，当k ＝4时，其常数项为5a ＝5，所以a ＝1；又k ＝2时，含x 5项的系数为C 25＝10.答案：1 1015．解析：若－4a 2＝－14，解得a ＝－14，若a 2－a ＝－14，解得a ＝12，故a ＝－14或12.当x ＜0时，f (x )＝－4x 2＜0，当x ≥0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14，f (x )的最小值是－14，若方程f (x )－b ＝0有三个不同的实数根，则直线y ＝b 与y ＝f (x )的图象有3个交点，故由图象可知b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0.答案：－14或12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，016．解析：将点A (－1，2)代入2ax －by ＋14＝0，可得a ＋b ＝7，由于A (－1，2)始终落在所给圆的内部或圆上，所以a 2＋b 2≤25.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝7，a 2＋b 2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3，这说明点(a ，b )在以B (3，4)和C (4，3)为端点的线段上运动，所以b a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，43. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，4317．解析：因为正实数a ，b ，c 满足2a ＋3b ＋4c ＝4，所以1a ＋b ＋4a ＋4b b ＋4c ＝22a ＋2b ＋8b ＋4c－2＝14(22a ＋2b ＋8b ＋4c )(2a ＋2b ＋b ＋4c )－2＝12[1＋4＋b ＋4c 2a ＋2b ＋4（2a ＋2b ）b ＋4c ]－2≥52(当且仅当b ＋4c 2a ＋2b ＝4（2a ＋2b ）b ＋4c 时取等号)．要使不等式1a ＋b ＋4a ＋4b b ＋4c ≥x ＋t x对任意的x ∈[1，2]恒成立，则只需52≥x ＋tx对任意的x ∈[1，2]恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋t ≤52，2＋t 2≤52，解得t ≤1.所以实数t 的最大值为1.答案：1小题分层练(六) “985”跨栏练(2)1．已知集合A ＝{x |x 2＋a ≤(a ＋1)x ，a ∈R }，若存在a ∈R ，使得集合A 中所有整数元素之和为28，则实数a 的取值范围是( )A ．[9，10)B ．[7，8)C ．(9，10)D ．[7，8]2．已知偶函数f (x )，当x ∈[0，2)时，f (x )＝2sin x ，当x ∈[2，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋f (4)＝( ) A ．－3＋2 B ．1 C ．3D.3＋23．已知函数y ＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上为增函数，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，23，1 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫16，13 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，23 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫16，23 4．若实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，y ≥x ，y ≥－x ＋b 且z ＝2x ＋y 的最小值为4，则实数b 的值为( )A ．1B ．2C.52D ．35．在⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则x 3的系数为( ) A ．15 B ．45 C ．135D ．4056．在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →＝( )A.89B.109C.259D.2697．已知实数a ，b 满足2a＝3，3b＝2，则函数f (x )＝a x＋x －b 的零点所在的区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1，0) C ．(0，1)D ．(1，2)8．已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，当x ＜0时，f (x )＞1，且对任意的实数x 、y ∈R ，等式f (x )f (y )＝f (x ＋y )恒成立．若数列{a n }满足a 1＝f (0)，且f (a n ＋1)＝1f （－2－a n ）(n ∈N *)，则a 2 018的值为( )A ．4 034B ．4 035C ．4 304D ．3 0439．设a <0，(3x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立，则b －a 的最大值为( ) A.13 B.12 C.33D.2210．如图，矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE .若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 翻折过程中，下面四个命题中不正确的是( )A ．BM 是定值B ．点M 在某个球面上运动C ．存在某个位置，使DE ⊥A 1CD ．存在某个位置，使MB ∥平面A 1DE11．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3的值域为________，并且取最大值时x 的值为________．12．已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点E 在C 的准线上，且在x 轴上方，线段EF 的垂直平分线与C 的准线交于点Q ⎝⎛⎭⎪⎫－1，32，与C 交于点P ，则点P 的坐标为________．13．已知数列{a n }，{b n }是公差分别为d 1，d 2的等差数列，且A n ＝a n ＋b n ，B n ＝a n b n .若A 1＝1，A 2＝3，则A n ＝________；若{B n }为等差数列，则d 1d 2＝________．14．若对任意x ，y ∈[0，＋∞)，不等式4ax ≤e x ＋y －2＋ex －y －2＋2恒成立，则实数a 的最大值是________．15．已知定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f (1)＝0，当x ＜0时，f ′(x )＋f （x ）x＞0，则f (－1)＝________，使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是________．16．正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别是边BC ，CD 的中点，沿AE ，EF ，FA 折成一个三棱锥B AEF (使点B ，C ，D 重合于点B )，则三棱锥B AEF 的外接球的表面积为________．17．已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C.若a 2＋2b 2＝c 2，则tan C tan A ＝________，tan B 的最大值为________．小题分层练(六)1．解析：选B.注意到不等式x 2＋a ≤(a ＋1)x ，即(x －a )·(x －1)≤0，因此该不等式的解集中必有1与a .要使集合A 中所有整数元素之和为28，必有a ＞1.注意到以1为首项、1为公差的等差数列的前7项和为7×（7＋1）2＝28，因此由集合A 中所有整数元素之和为28得7≤a <8，即实数a 的取值范围是[7，8)．2．解析：选D.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin π3＝3，f (4)＝log 24＝2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋f (4)＝3＋2，故选D.3．解析：选A.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧π2ω≥π2，3ωπ＝k π，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜ω≤1，ω＝k3，其中k ∈Z ， 则ω＝13、ω＝23或ω＝1.4.。
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小题分类练(六) 创新迁移类1．已知集合P ，Q 为两个非空数集，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0，2，5}，Q ＝{1，2，6}，则P ＋Q 中元素的个数是( )A ．9B ．8C ．7D ．62．定义：|a ×b |＝|a |·|b |·sin θ，其中θ为向量a 与b 的夹角，若|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－6，则|a ×b |等于( )A ．－8B ．8C ．－8或8D ．63．已知x 为实数，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数f (x )＝[x [x ]]在(－1，1)上( )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．是增函数4．设U 为全集，对集合X ，Y ，定义运算“⊕”：X ⊕Y ＝(∁U X )∪Y ，对于任意集合X ，Y ，Z ，X ⊕(Y ⊕Z )＝( )A ．(X ∪Y )∪(∁U Z )B ．(X ∩Y )∪(∁U Z )C ．[(∁U X )∪(∁U Y )]∩ZD ．(∁U X )∪(∁U Y )∪Z5．对于非零向量m ，n ，定义运算“*”：m *n ＝|m ||n |sin θ，其中θ为m ，n 的夹角，有两两不共线的三个向量a ，b ，c ，下列结论正确的是( )A ．若a *b ＝a *c ，则b ＝cB ．(a *b )c ＝a (b *c )C ．a *b ＝(－a )*bD ．(a ＋b )*c ＝a *c ＋b *c 6．已知圆面C ：(x －a )2＋y 2≤a 2－1的面积为S ，平面区域D ：2x ＋y ≤4与圆面C 的公共区域的面积大于12S ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2)B ．(－∞，0)∪(0，＋∞)C ．(－1，1)D ．(－∞，－1)∪(1，2)7．已知点M (－1，0)和N (1，0)，若某直线上存在点P ，使得|PM |＋|PN |＝4，则称该直线为“椭型直线”，现有下列直线：①x －2y ＋6＝0；②x －y ＝0；③2x －y ＋1＝0；④x ＋y －3＝0.其中是“椭型直线”的是( )A ．①③B ．①② B ．C ．②③D ．③④8．若集合A 满足：(1)0∈A ，1∈A ；(2)若x ∈A ，y ∈A ，则x －y ∈A ，且当x ≠0时，1x∈A ，则称集合A 是“好集”，那么下列结论正确的个数是( )①集合B ＝{－1，0，1}是“好集”；②有理数集Q 是“好集”；③设集合A 是“好集”，若x ∈A ，y ∈A ，则x ＋y ∈A .A ．0B ．1C ．2D ．39．设函数f (x )的定义域为D ，如果对任意的x ∈D ，存在y ∈D ，使得f (x )＝－f (y )成立，则称函数f (x )为“H 函数”，下列为“H 函数”的是( )A ．y ＝sin x cos x ＋cos 2xB ．y ＝ln x ＋e xC ．y ＝2xD ．y ＝x 2－2x 10．在平面斜坐标系xOy 中∠xOy ＝45°，点P 的斜坐标定义为：“若OP →＝x 0e 1＋y 0e 2(其中e 1，e 2分别为与斜坐标系的x 轴，y 轴同方向的单位向量)，则点P 的坐标为(x 0，y 0)．”若F 1(－1，0)，F 2(1，0)，且动点M 满足|MF 1→|＝|MF 2→|，则点M 在斜坐标系中的轨迹方程为( )A ．x －2y ＝0B ．x ＋2y ＝0 C.2x －y ＝0 D.2x ＋y ＝0 11．已知集合M ＝{1，2，3，4}，集合A 、B 为集合M 的非空子集，若∀x ∈A 、y ∈B ，x ＜y 恒成立，则称(A ，B )为集合M 的一个“子集对”，则集合M 的“子集对”共有________个．12．对于函数f (x )，在使f (x )≥M 恒成立的所有常数M 中，我们把M 中的最大值称为函数f (x )的“下确界”，则函数f (x )＝x 2＋1（x ＋1）2的下确界为________． 13．在实数集R 中定义一种运算“*”，对任意a ，b ∈R ，a *b 为唯一确定的实数，且具有性质：对任意a ∈R ，a *0＝a ；对任意a ，b ∈R ，a *b ＝ab ＋(a *0)＋(b *0)．关于函数f (x )＝(e x )*1e x 的性质，有如下说法：①函数f (x )的最小值为3；②函数f (x )为偶函数；③函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0]．其中所有正确说法的个数为________．14．对于函数f (x )和g (x )，设α∈{x |f (x )＝0}，β∈{x |g (x )＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，则称f (x )与g (x )互为“零点相邻函数”．若函数f (x )＝ex －1＋x －2与g (x )＝x 2－ax －a ＋3互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是________．15．定义一种运算“※”，对于任意n ∈N *均满足以下运算性质：(1)2※2 017＝1；(2)(2n ＋2)※2 017＝(2n )※2 017＋3.则2 018※2 017＝____________．16．定义平面向量的一种运算：a ⊗b ＝|a |·|b |sin 〈a ，b 〉，则下列命题：①a ⊗b ＝b ⊗a ；②λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b ；③(a ＋b )⊗c ＝(a ⊗c )＋(b ⊗c )；④若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊗b ＝|x 1y 2－x 2y 1|.其中真命题是________．17．已知定义域为A 的函数f (x )，若对任意的x 1，x 2∈A ，都有f (x 1＋x 2)－f (x 1)≤f (x 2)，则称函数f (x )为“定义域上的M 函数”，给出以下五个函数：①f (x )＝2x ＋3，x ∈R ；②f (x )＝x 2，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12；③f (x )＝x 2＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12；④f (x )＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2；⑤f (x )＝log 2x ，x ∈[2，＋∞)． 其中是“定义域上的M 函数”的个数为________．小题分类练(六)1．解析：选B.根据乘法原理可知a ∈P ，b ∈Q ，则a ＋b 共可得出3×3＝9个结果，但0＋6＝5＋1＝6，故根据集合中元素的互异性知P ＋Q 中元素的个数是9－1＝8.2．解析：选B.cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－62×5＝－35，而0≤θ≤π，所以sin θ＝45，所以|a ×b |＝2×5×45＝8. 3．解析：选C.当－1＜x ＜0时，[x ]＝－1，所以x [x ]∈(0，1)，故f (x )＝[x [x ]]＝0；当0≤x ＜1时，[x ]＝0，故f (x )＝[x [x ]]＝0，所以当x ∈(－1，1)时，函数f (x )恒等于0，故f (x )在(－1，1)上既是奇函数又是偶函数．4．解析：选D.由定义运算得X ⊕(Y ⊕Z )＝X ⊕[(∁U Y )∪Z ]＝(∁U X )∪[(∁U Y )∪Z ]＝(∁U X )∪(∁U Y )∪Z .5．解析：选C.a ，b ，c 为两两不共线向量，则a ，b ，c 为非零向量，故A 不正确；设a ，b 夹角为θ，b ，c 夹角为α，则(a *b )c ＝|a ||b |·sin θ·c ，a (b *c )＝|b ||c |·sin α·a ，故B 不正确；a *b ＝|a |·|b |sin θ＝|－a ||b |·sin(π－θ)＝(－a )*b ，故C 正确，D 不正确．6．解析：选D.依题意并结合图形(图略)分析可知，圆面C ：(x －a )2＋y 2≤a 2－1的圆心(a ，0)应在不等式2x ＋y ≤4表示的平面区域内，且(a ，0)不在直线2x ＋y ＝4上，即有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＞02a ＋0＜4，由此解得a ＜－1或1＜a ＜2.因此，实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(1，2)．7．解析：选C.由椭圆的定义知，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，其方程为x 24＋y 23＝1.对于①，把x －2y ＋6＝0代入x 24＋y 23＝1，整理得2y 2－9y ＋12＝0，由Δ＝(－9)2－4×2×12＝－15＜0，知x －2y ＋6＝0不是“椭型直线”；对于②，把y ＝x 代入x 24＋y 23＝1，整理得x 2＝127，所以x －y ＝0是“椭型直线”；对于③，把2x －y ＋1＝0代入x 24＋y 23＝1，整理得19x 2＋16x －8＝0，由Δ＝162－4×19×(－8)＞0，知2x －y ＋1＝0是“椭型直线”；对于④，把x ＋y －3＝0代入x 24＋y 23＝1，整理得7x 2－24x ＋24＝0，由Δ＝(－24)2－4×7×24＜0，知x ＋y －3＝0不是“椭型直线”．故②③是“椭型直线”．8．解析：选C.①集合B 不是“好集”，假设集合B 是“好集”，因为－1∈B ，1∈B ，所以－1－1＝－2∈B ，这与－2∉B 相矛盾；②有理数集Q 是“好集”，因为0∈Q ，1∈Q ，对任意的x ∈Q ，y ∈Q ，有x －y ∈Q ，且当x ≠0时，1x∈Q ，所以有理数集Q 是“好集”；③因为集合A 是“好集”，所以0∈A ，若x ∈A ，y ∈A ，则0－y ∈A ，即－y ∈A ，进而有x －(－y )∈A ，即x ＋y ∈A .9．解析：选B.由y ＝sin x cos x ＋cos 2x ＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2＝12＋22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 由f (x )＋f (y )＝1＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2y ＋π4＝0， 取x ＝π8，可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2y ＋π4＝－1－2＜－1，y 不存在，故A 不为“H 函数”； 由y ＝ln x ＋e x ，且f (x )＋f (y )＝ln x ＋e x ＋ln y ＋e y ＝0，由于y ＝ln x ＋e x 单调递增，且x →0，y →－∞，x →＋∞，y →＋∞，即有任意一个x (x ＞0)，可得唯一的y ，使得f (x )＝－f (y )，故B 为“H 函数”；由y ＝2x 可得2x ＞0，2x ＋2y＝0不成立，故C 不为“H 函数”；由y ＝x 2－2x ，若f (x )＋f (y )＝x 2－2x ＋y 2－2y ＝(x －1)2＋(y －1)2－2＝0，可取x ＝3，可得y 无解，故D 不为“H 函数”．故选B.10．解析：选D.设M (x ，y )，则MF 1→＝－(x ＋1)e 1－y e 2，MF 2→＝－(x －1)e 1－y e 2，因为|MF 1→|＝|MF 2→|，故(x ＋1)2＋y 2＋2(x ＋1)y ×22＝(x －1)2＋y 2＋2(x －1)y ×22，整理可得4x ＋22y ＝0，即2x ＋y ＝0，故应选D.11．解析：当A ＝{1}时，B 有{2}，{3}，{4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，{2，3，4}共7种情况，当A ＝{2}时，B 有{3}，{4}，{3，4}共3种情况，当A ＝{3}时，B 有{4}1种情况，当A ＝{1，2}时，B 有{3}，{4}，{3，4}共3种情况，当A ＝{1，3}，{2，3}，{1，2，3}时，B 均有1种情况，所以满足题意的“子集对”共有7＋3＋1＋3＋1＋1＋1＝17(个)．答案：17 12．解析：f (x )＝x 2＋1（x ＋1）2＝x 2＋1x 2＋1＋2x ≥x 2＋12（x 2＋1）＝12，当且仅当x ＝1时取“＝”．故函数f (x )＝x 2＋1（x ＋1）2的下确界为12. 答案：1213．解析：f (x )＝1＋e x ＋1e x ≥3，当且仅当e x ＝1e x ，即x ＝0时取等号，所以函数f (x )的最小值为3，①正确；f (x )定义域为R ，f (－x )＝e －x ＋e x＋1＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，②正确； f ′(x )＝e x －1e x ，令f ′(x )＝0得x ＝0，当x >0时，f ′(x )>0，当x <0时，f ′(x )<0，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，③错误．答案：214．解析：函数f (x )＝ex －1＋x －2的零点为x ＝1，设g (x )＝x 2－ax －a ＋3的零点为b ，若函数f (x )＝e x －1＋x －2与g (x )＝x 2－ax －a ＋3互为“零点相邻函数”，则|1－b |≤1，所以0≤b ≤2.由于g (x )＝x 2－ax －a ＋3必经过点(－1，4)，所以要使其零点在区间[0，2]上，则⎩⎪⎨⎪⎧g （0）≥0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2≤0， 即⎩⎨⎧－a ＋3≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－a ·a 2－a ＋3≤0， 解得2≤a ≤3.答案：[2，3]15．解析：设a n ＝(2n )※2 017，则由运算性质(1)知a 1＝1，由运算性质(2)知a n ＋1＝a n ＋3，即a n ＋1－a n ＝3.于是，数列{a n }是等差数列，且首项为1，公差为3.故2 018※2 017＝(2×1 009)※2 017＝a 1 009＝1＋1 008×3＝3 025.答案：3 02516．解析：由定义可知b ⊗a ＝|b |·|a |sin 〈a ，b 〉＝a ⊗b ，所以①正确．②当λ＜0时，〈λa ，b 〉＝π－〈a ，b 〉，所以(λa )⊗b ＝|λa |·|b |sin 〈λa ，b 〉＝－λ|a ||b |·sin 〈a ，b 〉，而λ(a ⊗b )＝λ|a |·|b |sin 〈a ，b 〉，所以②不成立，③因为|a ＋b |不一定等于|a |＋|b |，sin 〈a ，c 〉＋sin 〈b ，c 〉与sin 〈(a ＋b )，c 〉也不一定相等，所以③不成立．④sin 〈a ，b 〉＝ 1－cos 2〈a ，b 〉＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·b |a ||b |2＝|x 1y 2－x 2y 1||a ||b |，所以a ⊗b ＝|x 1y 2－x 2y 1|，所以④成立，所以真命题是①④.答案：①④17．解析：对于①，∀x 1，x 2∈R ，f (x 1＋x 2)＝2(x 1＋x 2)＋3＜2(x 1＋x 2)＋6＝f (x 1)＋f (x 2)，故①满足条件；对于②，∀x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，f (x 1＋x 2)＝x 21＋x 22＋2x 1x 2，f (x 1)＋f (x 2)＝x 21＋x 22，当x 1x 2＞0时，不满足f (x 1＋x 2)≤f (x 1)＋f (x 2)，故②不是“定义域上的M 函数”；对于③，∀x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，f (x 1＋x 2)＝x 21＋x 22＋2x 1x 2＋1，f (x 1)＋f (x 2)＝x 21＋x 22＋2，因为x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，所以2x 1x 2≤12＜1，故f (x 1＋x 2)＜f (x 1)＋f (x 2)，故③满足条件；对于④，∀x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f (x 1＋x 2)＝sin x 1cos x 2＋sin x 2cos x 1≤sin x 1＋sin x 2＝f (x 1)＋f (x 2)，故④满足条件；对于⑤，∀x 1，x 2∈[2，＋∞)，f (x 1＋x 2)＝log 2(x 1＋x 2)，f (x 1)＋f (x 2)＝log 2(x 1x 2)，因为x 1，x 2∈[2，＋∞)，所以1x 1＋1x 2≤1，可得x 1＋x 2≤x 1x 2，即f (x 1＋x 2)≤f (x 1)＋f (x 2)，故⑤满足条件．所以是“定义域上的M 函数”的有①③④⑤，共4个．答案：4以下内容为“高中数学该怎么有效学习？”首先要做到以下两点：1、先把教材上的知识点、理论看明白。