电磁场与电磁波第三版课后答案第3章解读

第三章习题解答

3.1 真空中半径为a的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷q和-q，试计算球赤道平面上电通密度的通量Φ(如题3.1图所示)。

解由点电荷q和-q共同产生的电通密度为

qR+R-

D=[3-3]=

4πRR

+-

q4π

{

err+ez(z-a)[r+(z-a)]

2

232

-

err+ez(z+a)[r+(z+a)]

2

232

Φ=

则球赤道平面上电通密度的通量

⎰D dS=⎰D e

S

S

zz=0

dS=

]2πrdr=

q4π

a

题3.1 图

⎰

[

02

(-a)(r+a)qa

a

-

a(r+a)2

2

32

(r+a)

=0

-1)q=-0.293q

3.2 1911年卢瑟福在实验中使用的是半径为ra的球体原子模型，其球体内均匀分布有

总电荷量为-Ze的电子云，在球心有一正电荷Ze（Z是原子序数，e是质子电荷量），通Ze⎛1r⎫过实验得到球体内的电通量密度表达式为D0=er 2-3⎪，试证明之。

4π⎝rra⎭

Ze

解位于球心的正电荷Ze球体内产生的电通量密度为 D1=er 2

4πr

Ze3Ze

=-原子内电子云的电荷体密度为ρ=-33

4πra4πra

电子云在原子内产生的电通量密度则为

D2=er

ρ4πr

4πr

32

=-er

Zer4πra

3

题3. 3图(a)

故原子内总的电通量密度为 D=D1+D2=er 2-3⎪

4π⎝rra⎭

3

3.3 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为ρ0Cm, 两

圆柱面半径分别为a和b，轴线相距为c(c

解由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半径为a的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为±ρ0的两种电荷分布，这样在半径为b的整个圆柱体内具有体密度为ρ0的均匀电荷分布，而在半径为a的整个圆柱体内则具有体密度为

-ρ0的均匀电荷分布，如题3.3图(b)所示。空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场

的叠加。

在r>b区域中，由高斯定律⎰E dS=

S

q

ε0

22

，可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P E1'=er'

-πaρ02πε0r'

2

产生的电场分别为 E1=er

πbρ0

2πε0r

2

=

ρ0br

2ε0r

=-

ρ0ar'

2

2ε0r'

2

＝

＋

题3. 3图(b)

点P处总的电场为 E=E1+E1'= ρ

2ε0

(

brr

-

2r'

)

在ra区域中，同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为

E2=er

πrρ

2πε0r

=

ρr

2ε0

'=er' E2

-πaρ2πε0r'

=-

ρar'

2ε0r'

'=点P处总的电场为 E=E2+E2

ρ0

2ε0

(r-

ar'r'

)

在r'

E3=er

πrρ0

2πε0r

=

ρ0r

2ε0

'=er' E3

-πr'ρ02πε0r'

=-

ρ0r'

2ε0

'=点P处总的电场为 E=E3+E3

ρ0

(r-r')=

ρ0

2ε0

c

3.4 半径为a的球中充满密度ρ(r)的体电荷，已知电位移分布为

⎧r3+Ar2

⎪

Dr=⎨a5+Aa4

⎪2⎩r

(r≤a)(r≥a)

其中A为常数，试求电荷密度ρ(r)。

1

解：由∇ D=ρ，有ρ(r)=∇ D=故在ra区域ρ(r)=ε0

1

d

rdr

(rDr)

d

rdr

[r(r+Ar)]=ε0(5r+4Ar)

23

1d

rdrr

3.5 一个半径为a薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量为Q 为

[r

(a+Aa)

54

]=0

4

的体电荷，球壳上又另充有电荷量Q。已知球内部的电场为E=er(ra)，设球内介质为

真空。计算：（1）球内的电荷分布；（2）球壳外表面的电荷面密度。

解（1）由高斯定律的微分形式可求得球内的电荷体密度为

ρ=ε0∇ E=ε0[