大学物理学课后答案)第5-6章

少时，动能、势能各占总能量的一半？
分析
简谐振动的总能量
E＝
1 2
m
2
A2＝
1 2
kA2
，其中
E
p
1 2
kx2
，
Ek
1 mv2 ， 2
即可求出动能与势能的大小。
解 当物块位移大小为振幅的一半时，简谐振动的总能量 E＝1 m2 A2＝1 kA2
2
2
其中势能 Ep
1 kx2 2
1 2
k
A 2 2
E 4
x 6.0102 cos(10t )(m) 2
(a)
(b)
习题 5-13 图
5-14 有一条简谐振动曲线如图 5-14（a）所示，求：（1）该简谐振动的角频 率 ω，初相位0 ；（2）该简谐振动的运动方程，振动速度和振动加速度的表达 式。
x/cm 2 O
2
4
t/s
（a）
（b）
题 5-14 图
角频率 。将结果代入可得T 2 2 2 2 m 。 k m 2 m
5-7 一物体作简谐振动，其运动方程为 x 0.04cos(5t ) m 。（1）此简
32 谐振动的周期T ________；（2）当 t 0.6 s 时，物体的速度 v ________。
分 析 与 解 将 x 0.04cos(5 t ) 与 x Acos(t ) 比 较 后 可 得 角 频 率 32
分析与解 答案（C）。由旋转矢量图可知两个简谐振动的相位差为120 时,合 成后的简谐运动的振幅仍为 A。
二、填空题
5-6 一质量为 m 的质点在力 F 2x 作用下沿 x 轴运动，其运动的周期为 ________。
分析与解 由已知条件 F 2x ，可得 k 2 ,又可以根据公式 k 求出 m
，动能
Ek
E
Ep
E 3
因而势能占总能量的 25%；动能占总能量的 75%。
设物体在 x 处物体动能和势能相等 EP Ek
EP
E
EP
EP
1E 2
1 kx 2 2
1 2
1 2
kA2
x
A 2
5-18 一劲度系数 k = 312 N/m 的轻弹簧，一端固定，另一端连结一质量 m0 0.3 kg 的物体，放在光滑的水平面上，上面放一质量为m 0.2 kg 的物体，
x02
v0
2
8.0 102
m
利用旋转矢量法，如图（a）所示可知初相 ，则运动方程为
x 8.0102 cos10t (m)
（2）当初始条件 t 0 时， x0 0 m ， v0 0.60 m/s ，求得
A＝
x02
v0
2
6.0 102
m
利用旋转矢量法，如图（b）所示可得初相 ，则运动方程为 2
两个不同时刻相位差相差
2 3
，由
t2
t1
t
4s 3
(c)
(a)
(b)
习题 5-15 图
5-16 如图 5-16(a)所示，质量为1.00 102 kg 的子弹，以 500 m/s 的速度射入
并嵌在木块中，同时使弹簧压缩从而作简谐振动，设木块的质量为 4.99 kg ，弹
簧的劲度系数为 8.00103 N/m ，若以弹簧原长时物体所在处为坐标原点，向左为 x 轴正向，求简谐振动的运动方程。
分析与解 简谐振动的总能量 E 1 kA2 1 m2 A2 。根据题意可得 2 。
2
2
T
代入得
E
1 2
kA2
1 2
m2 A2 =
1 2
m( 2 T
)2
A2 =2
2m
A2 T2
。
5-10 已知弹簧的劲度系数为 k 1.3 N/cm ，振幅为 2.4 cm ，这一弹簧振子的
机械能为________。
dt
4
vmax 20 0.01 2 m / s 。
5-12 一物体沿 x 轴作简谐振动，振幅为10 cm ，周期为 2 s ，在 t 0 时，
x 5 cm，且向 x 轴负方向运动，求运动方程。
分析 根据题中已给条件振幅 A，角频率 2 均已知，初相 可由题给初 T
始条件由旋转矢量法方便求出。
解 由已知条件得 A 0.1m ， 2 2 rad/s 。 t 0 时 x 5 cm= A 画出
T2
2
该简谐运动的旋转矢量图，如图 5－12 所示，可知 。则 x 0.1cos( t ) m 。
3
3
习题 5-12 图
5-13 有一弹簧，当其下端挂一质量为 m 的物体时，伸长量为 9.8102 m 。 若使物体上下振动，且规定向下为正方向。（1）当 t 0 时，物体在平衡位置上方 8.0102 m 处，由静止开始向下运动，求运动方程；（2）当 t 0 时，物体在平衡 位置并以 0.60 m/s 的速度向上运动，求运动方程。
v
m2
k
m1
(a)
(b)Biblioteka 习题 5-16 图分析 根据已知条件可用动量守恒定律求出子弹射入后和木块的共同速度。
振动的角频率是由弹簧振子系统得固有性质决定 k ，而振幅 A和初相 则由
m
初始条件给出。以上参数都得到后即可写出简谐振动方程。
解 子弹和木块的共同速度v0
m1v m1 m2
1m/s
角频率
轴投影点的位移为 A ,满足题意,因而选(D)。 2
5-2 作简谐振动的物体，振幅为 A，由平衡位置向 x 轴正方向运动，则物体
由平衡位置运动到 x 3A 处时，所需的最短时间为周期的几分之几[ ]
2
(A) 1 /2
(B) 1/4
(C) 1/6
(D) 1/12
分析与解 设 t1 时刻物体由平衡位置向 x 轴正方向运动，t2 时刻物体第一次运
5 ，则周期 T 2 1.2(s) 。物体的速度 v dx 5 0.04sin(5 t ) ，当
3
dt 3
32
t 0.6 s 时 v -0.209 m/s。
5-8 一质点沿 x 轴作简谐振动，振动范围的中心点为 x 轴的原点，已知周期
为 T，振幅为 A。若 t 0 时质点处于 x A/ 2处，且向 x 轴负方向运动，则简谐
提供的，其最大静摩擦力对应其最大加速度 mg mamax m2 Amax ，则最大总
能量 Emax
1 2
kAmax
可方便算出。
解 两物体间无相对滑动，即 m 和 m0 可以看做一质量为 m m0 的弹簧振子，
分析与解 简谐振动的总能量 E 1 kA2 3.7410-2 J 2
三、计算题
5-11 若简谐振动方程为 x 0.10cos(20 t+ ) ，式中 x 的单位为 m，t 的单位 4
为 s ,求：（1）振幅、角频率、周期和初相；（2）速度的最大值。
分析 可采用比较法求解。将题目给的简谐运动方程与简谐运动方程的一般
形式比较后可得振幅、角频率和初相。再根据 v dx 写出速度的表达式。 dt
解 （1）将 x 0.10cos(20 t+ ) 与 x Acos(t ) 作比较，可得振幅 4
A 0.10m ，角频率 20rad / s ，初相 ，则周期T 2 0.1s 。
4
（2）速度 v dx 20 0.01sin(20 t+ ) ，则速度的最大值
振动方程为 x ________。
习题 5-8 图
分析与解 可得质点的角频率 2 ，再根据题意画出 t 0 时刻对应的旋转
T
矢量图，可得初相位为 ，则简谐振动方程 Acos(2 t )。
3
T3
5-9 质量为 m 的物体和一个弹簧组成的弹簧振子，其振动周期为 T，当它作
振幅为 A 的简谐振动时，此系统的振动能量 E ________。
两物体间的最大静摩擦系数 0.5 ，求两物体间无相对滑动时，系统振动的最
大能量。
分析 根据题意可知，两物体间无相对滑动，即 m 和 m0 有相同的速度和加速
度，可以看做一质量为 m m0 的弹簧振子，则振动的圆频率
k 。对 m m0
于放在上面的物体 m 来说，它作简谐振动所需的回复力由两物体间的静摩擦力来
因为简谐振动的总能量 E Ep Ek
1 kA2 ，因而当振幅增加为原 2
来的 2 倍时，能量变为原来的 4 倍，因而答案选(B)。
5-5 两个同振动方向、同频率、振幅均为 A 的简谐振动合成后，振幅仍为 A，
则这两个简谐振动的相位差为[ ]
(A) 60
(B) 90
(C) 120
(D) 180
习题 5-5 图
第 5 章 机械振动
一、选择题
5-1 一个质点作简谐振动，振幅为 A，在起始时刻质点的位移为 A ，且向 2
x 轴的正方向运动，代表这个简谐振动的旋转矢量图为[ ]
A O A/2 x
(A)
A/2
O
x
A
(B)
A
-A/2 O
x
(C)
-A/2
O
x
A
(D)
习题 5-1 图
分析与解 图中旋转矢量投影点的运动方向指向 Ox 轴正向，同时矢端在 x
分析 由已知的振动曲线可得样品的振幅 A，周期T ，角频率可由 2 求 T
得，并且从曲线中可得初始条件 t 0时，x0 0 cm ，v0 >0，通过旋转矢量可求得
初相0 ，以上参数都得到后即可写出简谐振动方程及振动速度和振动加速度的表
达式。
解 （1）由振动曲线可得样品的振幅 A 2cm ，周期T 4s ，得角频率
（3）设 t 0 时刻后，物体第一次到达 x 5.0 cm 处的时刻为 t1 ，由旋转矢量图，