判定平行四边形五种方法

创作编号：GB8878185555334563BT9125XW

创作者： 凤呜大王*

判别平行四边形的基本方法

如何判别一个四边形是平行四边形呢?下面举例予以说明.

一、运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”判别 例1 如图1,在平行四边形ABCD 中,E 、F 在对角线AC 上,且AE =CF ,试说明四边形DEBF 是平行四边形. 分析:由于已知条件与对角线有关，故考虑运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行判别.为此,需连接BD . 解：连接BD 交AC 于点O .

因为四边形ABCD 是平行四边形,

所以AO =CO ,BO =DO . 又AE =CF ,

所以AO -AE =CO -CF ,即EO =FO .

所以四边形DEBF 是平行四边形.

二、运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判别

例2 如图2，是由九根完全一样的小木棒搭成的图形，请你指出图中所有的平行四边形，并说明理由.

分析:设每根木棒的长为1个单位长度，则图中各四边形的边长便可求得，故应考虑运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”进

行判别.

解：设每根木棒的长为1个单位长度，则AF =BC =1,AB =FC =1, 所以四边形ABCF 是平行四边形.

同样可知四边形FCDE 、四边形ACDF 都是平行四四边形.

因为AE =DB =2,AB =DE =1,所以四边形ABDE 也是平行四边形.

三、运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判别 例3 如图3，E 、F 是四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，AE =CF ,DF =BE ,DF ∥BE ，试说明四边形ABCD 是平行四边形.

分析: 题目给出的条件都不能直接判别四边形ABCD

是平行四边

图1 图2 A B C D E

F

形，但仔细观察可知，由已知条件可得△ADF ≌△CBE ，由此就可得到判别平行四边形所需的“一组对边平行且相等” 的条件.

解：因为DF ∥BE ，所以∠AFD =∠CEB .

因为AE =CF ,所以AE +EF =CF +EF ，即AF =CE .又DF =BE ,

所以△ADF ≌△CBE ，所以AD =BC ，∠DAF =∠BCE ，

所以AD ∥BC .所以四边形ABCD 是平行四边形.

四、运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判别

例4 如图4，在平行四边形ABCD 中，∠DAB 、∠BCD 的平分线分别交BC 、AD 边于点E 、F ，则四边形AECF 是平行四边形吗？

为什么？

分析：由平行四边形的性质易得AF ∥EC ，又题目中给出的是有关角的条件，借助角的条件可得到平行线，故本题应考虑运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”进行判别.

解：四边形AECF 是平行四边形.

理由：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD ∥BC ，∠DAB =∠BCD ，

所以AF ∥EC .又因为∠1=21∠DAB ，∠2=2

1∠BCD ， 所以∠1=∠2.因为AD ∥BC ，所以∠2=∠3，

所以∠1=∠3，所以AE ∥CF .

所以四边形AECF 是平行四边形.

判定平行四边形的五种方法

平行四边形的判定方法有：（1）证两组对边分别平行；（2）证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等；（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。下面以近几年的中考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。

一、 两组对边分别平行 如图1，已知△ABC 是等边三角形，D 、E 分别在边BC 、

AC 上，且CD =CE ，连结DE 并延长至点F ，使EF =AE ，

连结AF 、BE 和CF

(1)请在图中找出一对全等三角形，并加以证明；

(2)判断四边形ABDF 是怎样的四边形，并说明理由。 解：（1）选证△BDE ≌△FEC

证明：∵△ABC 是等边三角形，

∴BC =AC ，∠ACD =60°

∵CD =CE ，∴BD =AE ，△EDC 是等边三角形

∴DE =EC ，∠CDE =∠DEC =60°

A F

B D

C E 图1

A C D E F 图4 1 3 2

∴∠BDE=∠FEC=120°

又∵EF=AE，∴BD=FE，∴△BDE≌△FEC

（2）四边形ABDF是平行四边形

理由：由（1）知，△ABC、△EDC、△AEF都是等边三角

形

∵∠CDE=∠ABC=∠EF A=60°

∴AB∥DF，BD∥AF

∵四边形ABDF是平行四边形。

点评：当四边形两组对边分别被第三边所截，易证截得的

同位角相等，内错角相等或同旁内角相等时，可证四边形

的两组对边分别平行，从而四边形是平行四边形。

二、一组对边平行且相等

例2已知：如图2，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE=CG，连结BG并延长交DE于F

(1)求证：△BCG≌△DCE；

(2)将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边

形E′BGD是什么特殊四边形？并说明理由。

分析：（2）由于ABCD是正方形，所以有AB∥DC，又

通过旋转CE=AE′已知CE=CG，所以E′A=CG，这样就

有BE′=GD，可证E′BGD是平行四边形。

解：（1）∵ABCD是正方形，

∴∠BCD=∠DCE=90°又∵CG=CE，△BCG≌△DCE

（2）∵△DCE绕D顺时针

旋转90°得到△DAE′，

∴CE=AE′，∵CE=CG，∴CG=AE′，

∵四边形ABCD是正方形

∴BE′∥DG，AB=CD

∴AB-AE′=CD-CG，即BE′=DG

∴四边形DE′BG是平行四边形

创作编号：

GB8878185555334563BT9125XW

创作者：凤呜大王*