高中数学 选修-2 2.非线性回归模型
非线性回归模型概述
非线性回归模型概述在统计学和机器学习领域中，回归分析是一种重要的数据建模技术，用于研究自变量和因变量之间的关系。
在实际问题中，很多情况下自变量和因变量之间的关系并不是简单的线性关系，而是呈现出复杂的非线性关系。
为了更准确地描述和预测这种非线性关系，非线性回归模型应运而生。
一、什么是非线性回归模型非线性回归模型是指自变量和因变量之间的关系不是线性的数学模型。
在非线性回归模型中，因变量的变化不是随着自变量的线性变化而变化，而是通过非线性函数的变化来描述二者之间的关系。
非线性回归模型可以更好地拟合实际数据，提高模型的预测准确性。
二、非线性回归模型的形式非线性回归模型的形式可以是各种各样的，常见的非线性回归模型包括多项式回归模型、指数回归模型、对数回归模型、幂函数回归模型、逻辑回归模型等。
这些非线性回归模型可以通过引入非线性函数来描述自变量和因变量之间的关系，从而更好地拟合数据。
1. 多项式回归模型多项式回归模型是一种常见的非线性回归模型，其形式为：$$y = \beta_0 + \beta_1x + \beta_2x^2 + \beta_3x^3 + ... +\beta_nx^n + \varepsilon$$其中，$y$为因变量，$x$为自变量，$\beta_0, \beta_1,\beta_2, ..., \beta_n$为回归系数，$n$为多项式的阶数，$\varepsilon$为误差。
2. 指数回归模型指数回归模型是描述因变量和自变量之间呈指数关系的非线性回归模型，其形式为：$$y = \beta_0 + \beta_1e^{\beta_2x} + \varepsilon$$其中，$y$为因变量，$x$为自变量，$\beta_0, \beta_1, \beta_2$为回归系数，$e$为自然对数的底，$\varepsilon$为误差。
3. 对数回归模型对数回归模型是描述因变量和自变量之间呈对数关系的非线性回归模型，其形式为：$$y = \beta_0 + \beta_1\ln(x) + \varepsilon$$其中，$y$为因变量，$x$为自变量，$\beta_0, \beta_1$为回归系数，$\ln$为自然对数，$\varepsilon$为误差。
非线性回归分析常见模型
非线性回归常见模型一．基本内容模型一xc e c y 21=，其中21,c c 为常数.将xc ec y 21=两边取对数，得x c c e c y xc 211ln )ln(ln 2+==，令21,ln ,ln c b c a y z ===，从而得到z 与x 的线性经验回归方程a bx z +=，用公式求即可，这样就建立了y 与x 非线性经验回归方程.模型二221c x c y +=，其中21,c c 为常数.令a c b c x t ===212,,，则变换后得到y 与t 的线性经验回归方程a bt y +=，用公式求即可，这样就建立了y 与x 非线性经验回归方程.模型三21c x c y +=，其中21,c c 为常数.a cbc x t ===21,,，则变换后得到y 与t 的线性经验回归方程a bt y +=，用公式求即可，这样就建立了y 与x 非线性经验回归方程.模型四反比例函数模型：1y a b x=+令xt 1=，则变换后得到y 与t 的线性经验回归方程a bt y +=，用公式求即可，这样就建立了y 与x 非线性经验回归方程.模型五三角函数模型：sin y a b x=+令x t sin =，则变换后得到y 与t 的线性经验回归方程a bt y +=，用公式求即可，这样就建立了y 与x 非线性经验回归方程.二．例题分析例1．用模型e kx y a =拟合一组数据组()(),1,2,,7i i x y i =⋅⋅⋅，其中1277x x x ++⋅⋅⋅+=；设ln z y =，得变换后的线性回归方程为ˆ4zx =+，则127y y y ⋅⋅⋅=（）A．70e B．70C．35e D．35【解析】因为1277x x x ++⋅⋅⋅+=，所以1x =，45z x =+=，即()127127ln ...ln ln ...ln 577y y y y y y +++==，所以35127e y y y ⋅⋅⋅=.故选：C例2．一只红铃虫产卵数y 和温度x 有关，现测得一组数据()(),1,2,,10i i x y i =⋅⋅⋅，可用模型21e c x y c =拟合，设ln z y =，其变换后的线性回归方程为4zbx =- ，若1210300x x x ++⋅⋅⋅+=，501210e y y y ⋅⋅⋅=，e 为自然常数，则12c c =________.【解析】21e c x y c =经过ln z y =变换后，得到21ln ln z y c x c ==+，根据题意1ln 4c =-，故41e c -=，又1210300x x x ++⋅⋅⋅+=，故30x =，5012101210e ln ln ln 50y y y y y y ⋅⋅⋅=⇒++⋅⋅⋅+=，故5z =，于是回归方程为4zbx =- 一定经过(30,5)，故ˆ3045b -=，解得ˆ0.3b =，即20.3c =，于是12c c =40.3e -.故答案为：40.3e -.该景点为了预测2023年的旅游人数，建立了模型①：由最小二乘法公式求得的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图.。
非线性回归模型的求解与比较
非线性回归模型的求解与比较回归分析是一种用于研究变量之间相互依赖关系的统计方法。
线性回归模型是回归分析中最基本的模型，他假设自变量和因变量之间是线性关系。
然而，在实际应用中，很多变量之间的关系都是非线性的。
非线性回归模型因此应运而生，可以更好地描述这些变量之间的关系。
一、非线性回归模型的定义非线性回归模型是指因变量y和一个或多个自变量x之间的关系用非线性方程表示的回归模型，通常可以写成以下形式：y=f(x,β)+ε其中，f是一个已知的非线性函数，x是自变量，β是未知参数，ε是误差项。
二、非线性回归模型的求解非线性回归模型的参数估计和线性回归模型有所不同。
由于函数是非线性的，无法使用最小二乘法来求解参数，需要使用其它方法。
1. 极大似然估计法极大似然估计法是非线性回归模型参数估计的一种常用方法，其核心思想是寻找最大化数据集的联合概率密度函数的参数值。
该方法需要指定一个概率分布的形式，并假设数据样本之间是相互独立的，然后利用极大似然函数来求解参数。
对于非线性回归模型，可以将极大似然函数写成以下形式：L(β)=∏[f(xi,β)]^(yi)exp[-f(xi,β)]其中，xi是自变量，yi是因变量，f是非线性函数，β是未知参数。
通过求导数得到似然方程的一阶和二阶导数，使用牛顿法或拟牛顿法求解。
2. GARCH模型GARCH模型是一种广泛应用于金融领域的时间序列模型，也可以用于非线性回归模型的参数估计。
该方法的核心思想是使用ARCH (自回归条件异方差)模型来描述误差项的方差随时间变化的规律，从而达到对非线性回归模型参数的估计。
三、非线性回归模型的比较对于不同的非线性回归模型，我们需要对其进行比较，以确定最优模型。
1. 拟合优度的比较拟合优度是评价非线性回归模型拟合效果的常用指标，常用来比较各种模型。
常用的拟合优度指标有R-Squared和Adjusted R-Squared。
R-Squared越接近1，表示模型的拟合效果越好；Adjusted R-Squared同时考虑了数据集容量和模型的自由度，比R-Squared更具有说服力。
高中数学 选修1-2 2.非线性回归模型 (2)
欢迎共阅2.非线性回归模型教学目标 班级____姓名________1.进一步体会回归分析的基本思想.2.通过非线性回归分析，判断几种不同模型的拟合程度. 教学过程一、非线性回归模型.非线性回归分析的步骤：（1）确定研究对象；（2）采集数据；（3）作散点图；（4）选取函数模型，并转化成线性回归模型，并转化数据；（5）求线性回归方程；（6）建线性回归模型，求残差，画残差图；（7）求2R ，刻画拟合效果. 二、例题分析.例1：研究红铃虫产卵数与温度的关系. （例见教科书2P ） 1.确定研究对象：红铃虫产卵数与温度的关系. 2.采集数据：3.作散点图：4.选取函数模型，并转化成线性回归模型，并转化数据： （1）根据样本点的变化趋势，选取函数模型：x c e c y 21=（指数函数模型）； （2）令yz ln =，将指数函数模型转化成一次函数模型a bx z +=（1ln c a =，2c b =）； （3）数据转化： 温度C x / 21 23 25 27 29 32 35 产卵数/y 个 71121246611532521 23 25 27 29 32 351.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784欢迎共阅（4）新散点图： 5.求线性回归方程：运用公式求得272.0ˆ=b，849.3ˆ=a ，线性回归方程为849.3272.0ˆ-=x z ， 而红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为849.3272.0)1(ˆ-=x e y. 6.建线性回归模型，求残差，画残差图；残差849.3272.0)1()1(ˆˆ--=-=i x i i i i e y yy e7.求2R ，刻画拟合效果. 注意事项：（1）根据样本点的变化趋势，选取函数模型时，可能的选择不止一个； （2）本例可选取二次函数模型423c x c y +=，（3）令2x t =，将二次函数模型转化成一次函数模型43c tc y +=； （4）不同模型拟合效果不同，可根据2R 来判断，2R 越大，拟合效果越好. 作业：为了研究某种细菌随时间x 变化时，繁殖个数y 的变化，收集数据如下： 天数x /天 1 2 3 4 5 6 繁殖个数y /个612254995190（1）用天数x 作解释变量，繁殖个数y 作预报变量，作出这些数据的散点图； （2）描述解释变量x 与预报变量y 之间的关系； （3）计算相关指数2R .（4）。
非线性回归课件
§8.1 可化为线性回归的曲线回归
C o effi ci en ts
St andardi zed
U ns tandardize Cdoef f icie C oef f icients nts
Model
B Std. ErrorBeta
t
1
(C ons t8a.n1t9) 0 .043
190. 106
《非线性回归》PPT课件
§8.2 多项式回归
称回归模型
yi=β0+β1xi1+β2xi2+β11
x
2 i1
+β22
x
2 i2
+β12xi1xi2+εi
为二元二阶多项式回归模型。
它的回归系数中分别含有两个自变量的线性项系数β1 和β2， 二次项系数β11 和β22，并含有交叉乘积项系数β12。 交叉乘积项表示 x1与 x2的交互作用。
线性回归 y=b0+b1t
Regression Residuals
Analysis of Variance:
DF Sum of Squares
1
9454779005.1
16
1588574273.6
Mean Square 9454779005.1
99285892.1
F
Signif F
95.22782 .0000
Adjus t ed Rof t he
Model R R SquareSquareEs t imD atuerbin-W at s on
1
. 996a . 992
.89.971601E-02
. 616
a.Predic t ors : (C onst ant ), T
第二节第2课时非线性回归模型与曲线拟合课件-2025届高三数学一轮复习
9
16
25
36
49
μ= x
1
2
3
4
5
6
7
y
0
4
7
9
11
12
13
易得μ = 4,y = 8.
n
因此cො
=
∑ μiyi−nμ y
i=1
i=∑n1μi2−nμ2
=
283−7×4×8 140−7×16
=
2589,
∵ 回归直线yො = cμ + d过点 μ, y ,
∴ d = y − cොμ = − 37,
∑ ui−u 2
i=1
解 令ω = ln x,则yො = cො + dω ,
10
10
因为 ∑ ωi − ω yi − y = 66, ∑ ωi − ω 2 = 6.6,
i=1
i=1
10
所以d
=
∑ ωi−ω
i=1 10
yi−y
∑ ωi−ω 2
=
66 6.6
=
10.
i=1
又因为y = 30.3,ω = 2,所以cො = y − dω = 30.3 − 10 × 2 = 10.3,
故y关于μ
的回归直线方程为yො
=
59 28
μ
−
37,
从而可得y关于x的回归方程为yො
=
59 28
x − 37,
令x
=
144,则yො
=
174 7
≈
24.9,
∴ 预测第144天这株幼苗的高度为24.9 cm.
［对点训练1］ 某省自“国家反诈中心”APP推出后,持续采取多措并举的推广方式,积极
新教材高中数学第8章第2课时回归分析及非线性回归模型pptx课件新人教A版选择性必修第三册
2．在两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它
们的决定系数R2如下，其中拟合效果最好的模型是(
2为0.98
A．模型1的决定系数R
√
B．模型2的决定系数R2为0.80
C．模型3的决定系数R2为0.50
D．模型4的决定系数R2为0.25
A
[R2越大拟合效果越好．]
)
3．从某省“双一流”大学中随机选出8名女大学生，得到其身高
残差图
观测值等，这样作出的图形称为______．在残差图中，残差点比较
均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的
带状区域的宽度____，说明模型拟合精度越高．
越窄
残差
(3)残差分析：____是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以
判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据
建立两个变量间的非线性经验回归方程．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)残差平方和越接近0，线性回归模型的拟合效果越好．
(√ )
(2)在画两个变量的散点图时，响应变量在x轴上，解释变量在y轴
上．
( × )
(3)R2越小，线性回归模型的拟合效果越好．
( × )
(4)在残差图中，纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号．( √ )
和幂函数模型的求解过程．(数学运算、数学建模)
01
必备知识·
情境导学探新知
设某幼苗从观察之日起，第x天的高度为y cm，测得的一些数据如表
所示：
第x天
1
4
9
16
25
36
49
高度y/cm
0
4
7
9
《非线性回归》课件
挑战与未来发展趋势
• 数据收集和质量 • 参数估计和模型拟合 • 算法选择和性能评估 总结当前非线性回归面临的挑战，并展望其未来发展的趋势和应用前景。
3
Dropout
解释dropout技术如何防止过拟合，并提升模型的泛化能力。
4
Early Stopping
介绍early stopping方法来优化非线性回归模型的训练过程。
实例分析：Pytho n 实现
通过Python编程语言示例，演示如何使用非线性回归模型来解决实际问题。
非线性回归的应用案例
指数回归
1 背景
探索指数回归模型在描述 增长趋势时的优势。
2 应用
介绍指数回归在经济、生 物、市场等领域的实际应 用案例。
3 模型拟合
讨论如何通过最小二乘法 获取指数回归模型的参数。
对数回归
数学基础
介绍对数函数和对数回归模型的 数学原理。
金Байду номын сангаас市场预测
探索对数回归在金融市场预测中 的应用案例。
生物医学领域
非线性回归
探索非线性回归的概念、应用场景和解决方案。比较线性回归与非线性回归 的区别，并介绍求解非线性回归模型的最小二乘法。
多项式回归
1
简介
利用多项式函数逼近非线性关系，探索多项式回归的应用和优缺点。
2
示例
通过案例研究，展示如何使用多项式回归模型来拟合实际数据。
3
拟合度
介绍如何选择合适的多项式阶数以获得最佳拟合度。
展示对数回归在生物医学领域中 用于研究和分析的实际应用。
非线性回归模型
由于是非线性形式出现，非线性最小二乘法 的解，一般没有线性情形那样的公式可用，只 能通过一个数学分支“最优化”的方法使SSE达 到极小。最优化的理论和方法非常丰富，有多 种方法使SSE达到极小。
例 已知牧草重量y与生长天数x的关系是
y a exp{ exp{b cx}}
9次观察的数据为表4.13,试估计a,b,c的值,并预 报第101天牧草的重量。
data hw; input x y; cards; 9 8.93 14 10.8 21 18.59 28 22.33 42 39.35 57 56.11 63 61.73 70 64.62 79 67.08 ; proc nlp data=hw tech=nmsimp; min u; parms a=70,b=1.48884,c=0.05601; u=abs(y-a*exp(-exp(b-c*x))); run;
医学实例
Brown(1980)在术前检查了53例前列腺 癌患者，拟用年龄(AGE)、酸性磷酸酯酶 (ACID)两个连续型的变量，X射线(X_RAY)、 术前探针活检病理分级(GRADE)、直肠指检 肿瘤的大小与位置(STAGE)三个分类变量与 手术探查结果变量NODES（1、0分别表示癌 症淋巴结转移与未转移 ）建立淋巴结转移 的预报模型。
95.7 -24 2.86 -4
96.8 -21 2.82 -3
97 -23 2.99 -3
36
96.6 -19 3.18 -3
96.9 -22 3
-3
93.6 -26 3.32 -3
非线性回归模型
将模型(1)化为标准线性模型 y*=β0 + β1 x * +u *
e (2) y = β0 + β1x +u 1− e 通过变换 y y* = ln( ) y +1 将模型(2)化为标准线性化模型 : y* = β 0 + β1 x + u
β0 + β1x +u
另一种多项式方程的表达形式是
令z1 = xt , z2 = xt2 , 上式线性化为 y = β 0 + β1 z1 + β 2 z2 + ut 如经济学中的边际成本曲线, 平均成本曲线与图1相似
2. 双曲线函数模型
3. 对数函数模型
4. 指数函数模型
5. 幂函数模型
第二节 非线性模型的标准线性化
1. 非线性模型变量的间接代换: 美国经济学家柯布和道格拉斯根据1899-1922年美国 关于生产方面的数据研究得出柯布-道格拉斯(CoobDouglas)生产函数:
Q = AL K e
α
β u
其中Q代表产出,L代表劳动力投入,K代表资本投入,u 是随机误差项,A,α,β是参数. 这一类非线性模型通过适当的变换就可以转化为标 准线性模型,这种模型称为可线性化模型.
2. 不可线性化模型的处理方法: 模型:
y = β 0 + β1 x1 + β 2 x2 勒级数展开式进行逐次的线性近似估计.
例: 试将下列非线性模型线性化
x2 (1) y = β 0 x 2 + β1 x + u 通过变换 : 1 1 u y = , x* = , u* = 2 y x x
第七章 非线性回归模型
在实际经济活动中，经济变量的关系是 复杂的，直接表现为线性关系的情况并不多 见。 如著名的恩格尔曲线 恩格尔曲线(Engle curves)表现为 恩格尔曲线 幂函数曲线形式、宏观经济学中的菲利普斯 幂函数曲线 菲利普斯 曲线（Philips curves）表现为双曲线 双曲线形式等。 曲线 双曲线 但是，大部分非线性关系又可以通过一 些简单的数学处理，使之化为数学上的线性 关系，从而可以运用线性回归的方法进行计 量经济学方面的处理。
非线性回归数学知识点总结
非线性回归数学知识点总结非线性回归分析通常基于统计原理和方法，通过对观测数据的分析来估计模型参数，从而找到自变量和因变量之间的关系。
对于不同类型的非线性关系，可以采用不同的非线性回归模型来进行分析。
本篇文章将从以下几个方面来总结非线性回归的相关数学知识点：非线性回归模型的基本概念、非线性回归模型的参数估计、非线性回归模型的假设检验、非线性回归模型的模型选择和验证等。
1. 非线性回归模型的基本概念非线性回归模型是一种描述自变量和因变量之间非线性关系的数学模型。
非线性回归模型通常可以表示为如下形式：Y = f(X,θ) + ε其中，Y是因变量，X是自变量，f()是非线性函数，θ是模型参数，ε是误差项。
在实际问题中，我们可以根据问题的特点选择合适的非线性函数f()来描述自变量和因变量之间的关系。
比如，如果我们观测到因变量Y与自变量X之间存在指数关系，那么我们可以选择指数函数来描述这种关系。
如果我们观测到因变量Y与自变量X之间存在对数关系，我们可以选择对数函数来描述这种关系。
2. 非线性回归模型的参数估计在实际问题中，我们通常需要通过观测数据来估计非线性回归模型的参数。
参数估计的目标是求解模型参数θ的值，使得模型与观测数据的拟合程度最好。
参数估计的方法通常包括最小二乘法、最大似然估计、贝叶斯方法等。
其中，最小二乘法是应用最广泛的一种参数估计方法。
最小二乘法的基本思想是求解参数θ，使得模型预测值与观测数据的残差平方和最小。
3. 非线性回归模型的假设检验在参数估计之后，我们通常需要对非线性回归模型的拟合效果进行假设检验。
假设检验的目的是判断模型的拟合程度是否显著。
在假设检验中，通常会进行F检验、t检验、残差分析等。
F检验是用来判断整个模型的符合程度，t检验是用来判断模型参数的显著性。
残差分析是用来检验模型对观测数据的拟合程度。
4. 非线性回归模型的模型选择和验证在实际问题中，我们通常会遇到多个可能的非线性回归模型。
《非线性回归模型》课件
本课件为《非线性回归模型》的详细介绍，将探讨回归分析基础、线性回归 模型、非线性回归模型的概述及其应用。欢迎加入深度学习的世界。
回归分析基础
1
简介
2
通用步骤
3
模型评估
为什么使用回归分析
数据的收集，变量的选择，模 型建立，参数估计
MAE，MSE，R-squared
线性回归模型简介
非线性回归模型的预测方法
1
分析预测
确定哪些变量与哪些结果相关，并对预测值进行估算
2
金融预测
预测股票价格、汇率、总销售额等金融领域问题
3
质量控制
预测产品中的缺陷率或生产在过程中的异常状态
非线性回归模型的局限与未来 展望
传统模型的缺陷：缺少解释远离原始数据，高维图像空间，数据木桶在小样 本训练中展示如何使用深度学习技术处理非线性问题，尽管深度学习旨在模 拟大脑和信号通路，但仍然有很多问题需要解决。
逻辑模型
双曲正切模型
适用于分类任务，可能导致过拟合
类似于逻辑模型，但实现更加易 于构建
指数模型
适用于需要处理非常大或非常小 的数字时
幂函数模型
适用于需要处理具有比例关系的 数字时
非线性回归模型的选择标准
拟合优度
使用最小二乘法时使用的拟合优度
可解释性
参数有意义，可解释为什么这样设计模型
稳定性
向较小的变化具有很大的承受能力
Bayesian Inform ation
型简化程度的分析
系数
Criteria、A d justed R-
squared、Mallows’s Cp、
Akaike Inform ation
高中数学选择性必修三 第二课时 非线性回归模型及其应用
第二课时非线性回归模型及其应用课标要求素养要求1.进一步掌握一元线性回归模型参数的统计意义，会用相关统计软件.2.了解非线性回归模型.3.会通过分析残差和利用R2判断回归模型的拟合效果. 通过学习回归模型的应用，提升数学运算及数据分析素养.新知探究在实际问题中，有时两个变量之间的关系并不是线性关系，这就需要运用散点图选择适当的函数模型来拟合观测数据，然后通过适当的变量代换，把非线性问题转化为线性问题，从而确定未知参数，建立相应的线性回归方程．问题具有相关关系的两个变量的线性回归方程为y^＝b^x＋a^.预测值y^与真实值y 一样吗？预测值y^与真实值y之间误差大了好还是小了好？提示不一定；越小越好．1．残差的概念对于响应变量Y ，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的y ^称为预测值，观测值减去预测值称为残差．残差是随机误差的估计结果，通过残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析． 2．刻画回归效果的方式 (1)残差图法作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域越窄，则说明拟合效果越好． (2)残差平方和法残差平方和∑ni ＝1 (y i －y ^i )2，残差平方和越小，模型拟合效果越好，残差平方和越大，模型拟合效果越差． (3)利用R 2刻画回归效果决定系数R 2是度量模型拟合效果的一种指标，在线性模型中，它代表解释变量客户预报变量的能力．R 2＝1－∑ni ＝1（y i －y ^i ）2∑n i ＝1 （y i －y －）2，R 2越大，即拟合效果越好，R 2越小，模型拟合效果越差．拓展深化[微判断]1．残差平方和越接近0, 线性回归模型的拟合效果越好．(√)2．在画两个变量的散点图时， 响应变量在x 轴上，解释变量在y 轴上．(×) 提示 在画两个变量的散点图时， 响应变量在y 轴上，解释变量在x 轴上． 3．R 2越小， 线性回归模型的拟合效果越好．(×) 提示 R 2越大， 线性回归模型的拟合效果越好． [微训练]1．在残差分析中， 残差图的纵坐标为__________．答案 残差2．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x ，y 的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的决定系数R 2分别如下表：甲 乙 丙 丁 R 20.980.780.500.85哪位同学建立的回归模型拟合效果最好？解 R 2越大，表示回归模型的拟合效果越好，故甲同学建立的回归模型拟合效果最好． [微思考]在使用经验回归方程进行预测时，需要注意哪些问题？提示 (1)经验回归方程只适用于所研究的样本的总体；(2)所建立的经验回归方程一般都有时效性；(3)解释变量的取值不能离样本数据的范围太远．一般解释变量的取值在样本数据范围内，经验回归方程的预报效果好，超出这个范围越远，预报的效果越差；(4)不能期望经验回归方程得到的预报值就是响应变量的精确值.题型一 线性回归分析【例1】 已知某种商品的价格x (单位：元/件)与需求量y (单位：件)之间的关系有如下一组数据：x 14 16 18 20 22 y1210753求y 对x 的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的好坏．解 x －＝15(14＋16＋18＋20＋22)＝18， y －＝15(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，∑5i ＝1x 2i ＝142＋162＋182＋202＋222＝1 660，∑5i ＝1x i y i＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620， 所以b ^＝∑5i ＝1x i y i －5x － y －∑5i ＝1x 2i －5x －2＝620－5×18×7.41 660－5×182＝－1.15， a^＝7.4＋1.15×18＝28.1， 所以所求回归直线方程是y ^＝－1.15x ＋28.1. 列出残差表：所以∑5i ＝1 (y i －y ^i )2＝0.3， ∑5i ＝1(y i －y －)2＝53.2， R 2＝1－∑5i ＝1 （y i －y ^i ）2∑5i ＝1 （y i －y －）2≈0.994，所以回归模型的拟合效果较好．规律方法 (1)解答线性回归问题，应通过散点图来分析两变量间的关系是否线性相关，然后再利用求回归方程的公式求解回归方程，并利用残差图或相关指数R 2来分析函数模型的拟合效果，在此基础上，借助回归方程对实际问题进行分析．(2)刻画回归效果的三种方法①残差图法：残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适．②残差平方和法：残差平方和∑ni ＝1 (y i －y ^i )2越小，模型的拟合效果越好． ③决定系数法：R 2＝1－∑ni ＝1 （y i －y ^i ）2∑n i ＝1 （y i －y －）2越接近1，表明回归的效果越好．【训练1】 某地区2011年到2017年农村居民家庭人均纯收入y (单位：千元)的数据如下表：年份 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9(1)求y 关于t 的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，分析2011年到2017年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为解 （1）由所给数据计算得t －＝17× (1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，y －＝17×(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，∑7i ＝1(t i －t －)2 ＝9+4+1+0+1+4+9=28,∑7i ＝1(t i －t －) (y i －y －)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14， b ^＝∑7i ＝1(t i －t －) (y i －y －)∑7i ＝1(t i －t －)2=1428＝0.5，a ^＝y －－b ^ t －＝4.3－0.5×4＝2.3， 所以所求回归方程为y ^＝0.5t ＋2.3.(2)由(1)知b^＝0.5>0，故2011年到2017年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2020年的年份代号t ＝10代入(1)中的回归方程，得y ^＝0.5×10＋2.3＝7.3.故预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入为7.3千元．题型二 残差分析与相关指数的应用【例2】 假定小麦基本苗数x 与成熟期有效穗y 之间存在相关关系，今测得5组数据如下：x 15.0 25.8 30.0 36.6 44.4 y39.442.942.943.149.2(1)以x 为解释变量，y 为预报变量，作出散点图；(2)求y 与x 之间的回归方程，对于基本苗数56.7预报有效穗； (3)计算各组残差，并计算残差平方和；(4)求R 2，并说明(2)中求出的回归模型的拟合程度． 解 (1)散点图如下．(2)由(1)中散点图看出，样本点大致分布在一条直线的附近，有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系．设回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，又x －＝30.36，y －＝43.5，∑5i ＝1x 2i＝5 101.56，x － y － ＝1 320.66，x －2＝921.729 6，∑5i ＝1x i y i＝6 746.76. 则b ^＝∑5i ＝1x i y i －5x － y －∑5i ＝1x 2i －5x －2≈0.29，a ^＝y －－b ^ x －≈34.70.故所求的回归直线方程为y ^＝0.29x ＋34.70. 当x ＝56.7时，y ^＝0.29×56.7＋34.70＝51.143. 故估计成熟期有效穗为51.143.(3)由y ^i ＝b ^x i＋a ^，可以算得e ^i ＝y i －y ^i 分别为e ^1＝0.35，e ^2＝0.718，e ^3＝－0.5，e ^4＝－2.214，e ^5＝1.624，残差平方和：∑5i ＝1e ^2i ≈8.43. (4) ∑5i ＝1 (y i －y －)2＝50.18，故R 2≈1－8.4350.18≈0.832.所以(2)中求出的回归模型的效果较好.规律方法 (1)利用残差分析研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据，然后通过残差e ^1，e ^2，…，e ^n 来判断模型拟合的效果．(2)若残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，带状区域越窄，说明模型拟合度越高，回归方程预报精确度越高．【训练2】 为研究质量x (单位：g)对弹簧长度y (单位：cm)的影响，对不同质量的6个物体进行测量，数据如下表：(1)作出散点图并求回归直线方程； (2)求出R 2并说明回归模型拟合的程度； (3)进行残差分析．解 (1)散点图如图所示．样本点分布在一条直线附近，y 与x 具有线性相关关系．由表中数据，得x －＝16×(5＋10＋15＋20＋25＋30)＝17.5，y －＝16×(7.25＋8.12＋8.95＋9.90＋10.9＋11.8)≈9.487，∑6i ＝1x 2i ＝ 2 275，∑6i ＝1x i y i＝1 076.2. 计算得b^≈0.183，a ^≈6.285. 故所求回归直线方程为y ^＝6.285＋0.183x . (2)列表如下：y i －y ^i0.05 0.005 －0.08 －0.045 0.04 0.025 y i －y －－2.237－1.367 －0.5370.4131.4132.313可得∑6i ＝1 (y i －y ^i )2≈0.013 18, ∑6i ＝1(y i －y －)2≈14.678 3. 所以R 2＝1－0.013 1814.678 3≈0.999 1，回归模型的拟合效果较好．(3)由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大，需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错误，如果有的话，需要纠正错误，重新建立回归模型；由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在宽度不超过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高，由以上分析可知，弹簧长度与所挂物体的质量成线性关系． 题型三 非线性回归分析【例3】 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．x －y －w －∑8i ＝1(x i －x －)2∑8i ＝1(w i －w －)2∑8i ＝1(x i －x －)·(y i －y －)∑8i ＝1(w i －w －)·(y i －y －)46.65636.8289.81.61 469108.8表中w i ＝x i ，w －＝18∑8i ＝1w i . (1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程； (3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x . 根据(2)的结果回答下列问题：①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ^＝α^＋β^u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑ni ＝1 （u i －u －）（v i －v －）∑ni ＝1（u i －u －）2，a ^＝v －－β^u －. 解 (1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．(2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程．由于d^＝∑8i＝1（w i－w－）（y i－y－）∑8i＝1（w i－w－）2＝108.81.6＝68，c^＝y－－d^w－＝563－68×6.8＝100.6，所以y关于w的线性回归方程为y^＝100.6＋68w，因此y关于x的回归方程为y^＝100.6＋68x.(3)①由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值y^＝100.6＋6849＝576.6(t)，年利润z的预报值z^＝576.6×0.2－49＝66.32(千元)．②根据(2)的结果知，年利润z的预报值z^＝0.2(100.6＋68x)－x＝－x＋13.6x＋20.12.所以当x＝13.62＝6.8，即x＝46.24时，z^取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．规律方法求非线性回归方程的步骤(1)确定变量，作出散点图．(2)根据散点图，选择恰当的拟合函数．(3)变量置换，通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题，并求出线性回归方程．(4)分析拟合效果：通过计算决定系数或画残差图来判断拟合效果．(5)根据相应的变换，写出非线性回归方程．【训练3】下表为收集到的一组数据：y 711212466115325(1)作出x与y的散点图，并猜测x与y之间的关系；(2)建立x与y的关系，预报回归模型并计算残差；(3)利用所得模型，预报x＝40时y的值．解(1)作出散点图如下图，从散点图可以看出x与y不具有线性相关关系，根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y＝c1e c2x的周围，其中c1，c2为待定的参数．(2)对y＝c1e c2x两边取对数，得ln y＝ln c1＋c2x，令z＝ln y，则有变换后的样本点应分布在直线z＝bx＋a(a＝ln c1，b＝c2)的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立y与x之间的非线性回归方程了，数据可以转化为x 21232527293235z 1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.784求得回归直线方程为z^＝0.272x－3.849，^＝e0.272x－3.849.∴y残差y i711212466115325 y^i 6.44311.10119.12532.95056.770128.381290.325 e^i0.557－0.101 1.875－8.9509.23－13.38134.675 (3)当x＝40时，y^＝e0.272×40－3.849≈1 131.一、素养落地1．通过本节课的学习，进一步提升数学运算及数据分析素养．2．当根据给定的样本数据得到的散点图并不是分布在一条直线附近时，就不能直接求其回归直线方程了，这时可根据得到的散点图，选择一种拟合得最好的函数，常见的函数有幂函数、指数函数、对数函数等，然后进行变量置换，将问题转化为线性回归分析问题．二、素养训练1．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是()A．角度和它的余弦值B．正方形的边长和面积C．正n边形的边数和内角度数和D．人的年龄和身高解析函数关系就是变量之间的一种确定性关系．A，B，C三项中的两个变量之间都是函数关系，可以写出相应的函数表达式，分别为f(θ)＝cos θ，g(a)＝a2，h(n)＝(n－2)π.D选项中的两个变量之间不是函数关系，对于年龄确定的人群，仍可以有不同的身高，故选D.答案 D2．(多选题)关于残差图的描述正确的是()A．残差图的横坐标可以是样本编号B．残差图的横坐标也可以是解释变量或预报变量C．残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小D．残差点分布的带状区域的宽度越窄残差平方和越小解析残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，则残差平方和越小，此时，R2的值越大，故描述错误的是C.答案ABD3．某产品在某零售摊位的零售价x(单位：元)与每天的销售量y(单位：个)的统计资料如下表所示：由上表可得回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^＝－5，据此模型预测当零售价为14.5元时，每天的销售量为( ) A ．51个 B ．50个 C ．54个D ．48个解析 由题意知x －＝17.5，y －＝39，代入回归直线方程得a ^＝126.5，126.5－14.5×5＝54，故选C. 答案 C4．在研究硝酸钠的溶解度时，观察它在不同温度(x )的水中溶解度(y )的结果如下表：由此得到回归直线的斜率是__________． 解析 x －＝15(0＋10＋20＋50＋70)＝30，y －＝15(66.7＋76.0＋85.0＋112.3＋128.0)＝93.6，由公式b ^＝∑5i ＝1 （x i －x －）（y i －y －）∑5i ＝1（x i －x －）2可得b^≈0.880 9.答案 0.880 95．在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：试建立y 与x 之间的回归方程． 解 由数值表可作散点图如图，根据散点图可知y 与x 近似地呈反比例函数关系， 设y ^＝k x ，令t ＝1x ，则y ^＝kt ，原数据变为：t 4 2 1 0.5 0.25 y1612521由置换后的数值表作散点图如下：由散点图可以看出y 与t 呈近似的线性相关关系，列表如下：I t i y i t i y i t 2i 1 4 16 64 16 2 2 12 24 4 3 1 5 5 1 4 0.5 2 1 0.25 5 0.25 1 0.25 0.062 5 ∑7.753694.2521.312 5所以t －＝1.55，y －＝7.2.所以b ^＝∑5i ＝1t i y i －5t － y －∑5i ＝1t 2i －5t －2≈4.134 4，a ^＝y －－b ^t －≈0.8. 所以y ^＝4.134 4t ＋0.8.所以y 与x 之间的回归方程是 y ^＝4.134 4x ＋0.8.基础达标一、选择题1．已知某地财政收入x 与支出y 满足回归方程y ^＝b ^x ＋a ^＋e i (单位：亿元)(i ＝1，2，…)，其中b ^＝0.8，a ^＝2，|e i |<0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过( ) A ．10亿元 B ．9亿元 C ．10.5亿元D ．9.5亿元解析 y ^＝0.8×10＋2＋e i ＝10＋e i ， ∵|e i |<0.5，∴9.5＜y ^<10.5. 答案 C2．对变量x ，y 进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是( )解析 用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高． 答案 A3．在回归分析中，R 2的值越大，说明残差平方和( ) A ．越大B ．越小C ．可能大也可能小D ．以上均错解析 因为R 2＝1－∑n i ＝1 （y i －y ^i ）2∑n i ＝1 （y i －y －）2，所以当R 2越大时，∑n i ＝1 (y i －y ^i )2越小，即残差平方和越小． 答案 B4．若一函数模型为y ＝sin 2α＋2sin α＋1，为将y 转化为t 的回归直线方程，则需作变换t 等于( ) A ．sin 2 α B ．(sin α＋1)2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α＋122D ．以上都不对解析 因为y 是关于t 的回归直线方程，实际上即y 是关于t 的一次函数，又因为y ＝(sin α＋1)2，若令t ＝(sin α＋1)2，则可得y 与t 的函数关系式为y ＝t ，此时变量y 与变量t 是线性相关关系． 答案 B5．甲、乙、丙、丁4位同学各自对A ，B 两变量进行回归分析，分别得到散点图与残差平方和∑ni ＝1(y i －y ^i )2如下表：甲乙丙丁散点图残差平方和115106124103哪位同学的试验结果体现拟合A ，B 两变量关系的模型拟合精度高( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙D ．丁解析 根据线性相关的知识，散点图中各样本点条状分布越均匀，同时保持残差平方和越小(对于已经获取的样本数据，R 2的表达式中∑n i ＝1(y i －y －)2为确定的数，则残差平方和越小，R 2越大)，由回归分析建立的线性回归模型的拟合效果越好，由试验结果知丁要好些． 答案 D 二、填空题6．某种产品的广告支出费用x (单位：万元)与销售额y (单位：万元)的数据如下表：已知y 关于x 的线性回归方程为y ^＝6.5x ＋17.5，则当广告支出费用为5万元时，残差为__________万元．解析 当x ＝5时，y ^＝6.5×5＋17.5＝50，表格中对应y ＝60，于是残差为60－50＝10(万元)． 答案 107．某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量(单位：件)与月平均气温x (单位：℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，数据如下表：由表中数据算出线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^≈－2.气象部门预测下个月的平均气温约为 6 ℃，据此估计，该商场下个月该品牌羽绒服的销售量的件数约为________．解析 由表格中数据可得x －＝17＋13＋8＋24＝10，y －＝24＋33＋40＋554＝38.又∵b ^≈－2，∴a ^＝y －－b ^ x －≈38＋2×10＝58，∴y ^＝－2x ＋58.当x ＝6时，y ^＝－2×6＋58＝46. 答案 468．在研究气温和热茶销售杯数的关系时，若求得决定系数R 2≈0.85，则表明气温解释了__________的热茶销售杯数变化，而随机误差贡献了剩余的__________，所以气温对热茶销售杯数的效应比随机误差的效应大得多． 解析 由决定系数R 2的意义可知，R 2≈0.85表明气温解释了85%，而随机误差贡献了剩余的15%. 答案 85% 15% 三、解答题9．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑10i ＝1x i ＝80，∑10i ＝1y i ＝20，∑10i ＝1x i y i ＝184，∑10i ＝1x 2i ＝720. (1)求家庭的月储蓄y 关于月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄． 解 (1)由题意知n ＝10，x －＝1n ∑10i ＝1x i ＝110×80＝8，y －＝1n ∑10i ＝1y i ＝110×20＝2，所以b ^＝∑10i ＝1x i y i －n x － y － ∑10i ＝1x 2i －nx －2＝184－10×8×2720－10×82＝2480＝0.3， a ^＝y －－b ^x －＝2－0.3×8＝－0.4，故所求线性回归方程为y ^＝0.3x －0.4.(2)将x ＝7代入回归方程，可以预测家庭的月储蓄约为y ^＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．10．为了研究甲型H1N1中的某种细菌随时间x 变化的繁殖个数y ，收集数据如下：天数x 1 2 3 4 5 6 繁殖个数y612254995190求y 对x 的回归方程． 解 作出散点图如图(1)所示．由散点图看出样本点分布在一条指数型曲线y ＝c e bx 的周围，则ln y ＝bx ＋ln c . 令z ＝ln y ，a ＝ln c ，则z ＝bx ＋a .x 1 2 3 4 5 6 z1.792.483.223.894.555.25相应的散点图如图(2)所示．从图(2)可以看出，变换后的样本点分布在一条直线附近，因此可以用线性回归方程来拟合．由表中数据得到线性回归方程为z ^＝0.69x ＋1.112.因此细菌的繁殖个数对温度的非线性回归方程为y ^＝e 0.69x ＋1.112.能力提升11．若对于变量x ，y 的10组统计数据的回归模型中，计算R 2＝0.95，又知残差平方和为120.55，那么∑10i ＝1(y i －y －)2的值为( )A ．241.1B ．245.1C ．2 411D ．2 451解析 由题意知残差平方和∑10i ＝1(y i －y ^i )2＝120.55，又R 2＝1－∑10i ＝1 （y i －y ^i ）2∑10i ＝1 （y i －y －）2＝0.95，所以∑10i ＝1 (y i －y －)2＝2 411.答案 C12．某电容器充电后，电压达到100 V ，然后开始放电，由经验知道，此后电压U 随时间t 变化的规律用公式U ＝A e bt (b <0)表示，现测得时间t (s)时的电压U (V)如下表：t /s 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 U /V100755540302015101055试求：电压U 对时间t 的回归方程(提示 对公式两边取自然对数，把问题转化为线性回归分析问题)．解 对U ＝A e bt 两边取对数得ln U ＝ln A ＋bt ，令y ＝ln U ，a ＝ln A ，x ＝t ，则y ＝a ＋bx ，y 与x 的对应数据如下表：x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y4.64.34.03.73.43.02.72.32.31.61.6根据表中数据画出散点图，如图所示，从图中可以看出，y 与x 具有较好的线性相关关系，由表中数据求得x －＝5，y －≈3.045，由公式计算得b ^≈－0.313，a ^＝y －－b ^x －＝4.61，所以y 对x 的线性回归方程为y ^＝－0.313x ＋4.61.所以ln U ^＝－0.313t ＋4.61，即U ^＝e －0.313t ＋4.61＝e －0.313t ·e 4.61，因此电压U 对时间t 的回归方程为U ^＝e －0.313t ·e 4.61.创新猜想13．(多选题)如图四个散点图中，适合用线性回归模型拟合其中两个变量关系的是()A．①B．②C．③D．④解析由图易知①③两个图中样本点在一条直线附近，因此适合用线性回归模型．答案AC14．(多选题)下列说法正确的是()A．残差的绝对值越小，回归方程的拟合效果越好B．残差平方和越小，决定系数R2越大C．决定系数R2可以大于1D．通过经验回归方程得到的预报值是响应变量的可能取值的平均值，不一定是响应变量的精确值解析R2的计算公式，知B正确，C错误；A，D均正确．答案ABD。
第6章、非线性回归
第6章、非线性回归前面所学的多元线性回归，假定被解释变量与解释变量之间是线性关系。
本章的非线性回归，就放松了这个假定。
例如：CES 生产函数（constant elasticity of substitution ）()(1)y KLλρρργδδ---=+-§1、可以线性化的非线性回归模型1、本质上是线性回归模型的非线性回归模型 原模型 变换模型1y a bx=+ '1/,'y y x x ==y =2','y y x x== 2y a bx cx =++ 222','y y x x ==ln y a b x =+'l n x x =23y a bx cx dx =+++ 22323',','y y x x x x ===by ax = 12'ln ,'ln ,ln ,y y x x a b ββ==== bxy ae= 12'ln ,',ln ,y y x x a b ββ====3(1)xy k ae-=- 1/31/312',',,x y y x e k akββ-====-例子：我们已经多次接触的CD 函数。
y AL Kαβ=ln ln ln ln y A L Kαβ=++Eviews ：ls log(x) c log(l1) log(k1)Dependent Variable: LOG(X) Method: Least SquaresDate: 11/11/04 Time: 20:30 Sample: 1929 1967Included observations: 39Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -3.937714 0.236999 -16.61488 0.0000 LOG(L1) 1.450786 0.083228 17.43137 0.0000 LOG(K1)0.3838080.0480187.9930350.0000R-squared 0.994627 Mean dependent var 5.687449 Adjusted R-squared 0.994329 S.D. dependent var 0.460959 S.E. of regression 0.034714 Akaike info criterion -3.809542 Sum squared resid 0.043382 Schwarz criterion -3.681576 Log likelihood 77.28607 F-statistic 3332.181 Durbin-Watson stat 0.858080 Prob(F-statistic) 0.000000 或者：先转化为新的序列，然后对新的序列进行多元线性回归。
人教A版 选修1-2 回归分析的初步应用——非线性回归模型(一) 教案
章节
课时
备课人
二次备课人
课题名称
回归分析的初步应用——非线性回归模型（一）
三维目标
重点目标
探究用线性回归模型研究非线性回归模型
难点目标
如何选择非线性回归模型，如何将非线性回归模型转化为线性回归模型
导入示标
目标三导
学做思一：知识总结
对于以前，我们知道能够设一次函数模型去假设线性模型，但是对于上述非线性问题，如何去假设方程和求出回归模型？
学做思三：方法归纳
对于非线性回归方程的求法，是将非线性回归方程转化为线性回归方程，利用回归系数公式求出回归系数。
达标检测
反思总结
课后练习
解答： ,
于是y与x的回归方程为
例2：在实验中得到变量y与x的数据如下：
x
0.0667
3.0388
0.0333
0.0273
0.0225
y
39.4
42.9
41.0
43.1
42.9
由以上数据发现y与 之间具有线性相关系，试求y与x之间的回归方程；预测当x0=0.038时，求预测值？
解答：令 将数据进一步整理，利用上题方法求出回归系数
学做思二：讨论（师生互动）
非线性回归问题
例题示范：
例1：某食品每公斤的生产成本y（元）与该食品生产的重量x（公斤）有关，仅生产统计得到一下数据
x
1
2
3
5
10
20
30
50
100
200
y
10.15
5.52
4.08
2.852Biblioteka 111.621. 41
1.3
1.21
1.15
非线性回归模型与函数拟合
非线性回归模型与函数拟合在统计学和机器学习领域中，回归模型是一种用于预测因变量和自变量之间关系的工具。
传统的线性回归模型假设自变量和因变量之间存在线性关系，但实际问题中，很多关系都是非线性的。
因此，非线性回归模型应运而生，通过拟合非线性函数来更准确地描述数据。
一、非线性回归模型的基本原理非线性回归模型是建立在线性回归模型基础上的，它通过引入非线性项，将自变量的某些函数形式引入模型中。
常见的非线性函数包括多项式函数、指数函数、对数函数、幂函数等。
以多项式函数为例，非线性回归模型可以表示为：y = β0 + β1x + β2x^2 + ... + βpx^p + ε其中，y为因变量，x为自变量，β0, β1, ..., βp为回归系数，ε为误差项。
通过最小化误差项，可以得到最优的回归系数，从而拟合出最佳的非线性函数。
二、非线性回归模型的拟合方法1. 数值优化方法数值优化方法是非线性回归模型拟合的常用方法之一。
它通过迭代计算，寻找使误差最小的回归系数。
其中，最常用的方法是最小二乘法，即通过最小化观测值与拟合值的平方差来求解回归系数。
除此之外，还有梯度下降法、Levenberg-Marquardt算法等。
2. 遗传算法遗传算法是一种基于进化思想的优化算法，它通过模拟进化过程，逐步搜索最优解。
在非线性回归模型中，遗传算法可以用于确定最佳的回归系数。
具体实现过程是通过选择、交叉和变异等操作，逐代迭代产生新的回归系数，并通过适应度评估保留适应度最高的个体，最终得到最优解。
三、应用案例非线性回归模型在实际问题中有着广泛的应用。
以下是一个简单的案例，展示了非线性回归模型与函数拟合的应用场景。
假设我们要研究一个物种的生长速度与环境温度之间的关系。
首先，我们采集了一些数据，包括物种的生长速度和环境温度。
接下来，我们可以使用非线性回归模型来拟合这些数据，从而得到生长速度与温度之间的非线性函数关系。
通过对数据进行分析和拟合，我们可以得到一个非线性回归模型，比如：生长速度= β0 + β1温度+ β2温度^2 + ε根据最小二乘法或其他优化方法，我们可以计算出最优的回归系数β0, β1, 和β2。
非线性回归模型概述
非线性回归模型概述非线性回归模型是一种用于建立非线性关系的统计模型，它可以用来描述自变量和因变量之间的复杂关系。
与线性回归模型相比，非线性回归模型可以更准确地拟合非线性数据，并提供更准确的预测结果。
在本文中，我们将对非线性回归模型进行概述，包括其基本原理、常见的非线性回归模型以及应用案例。
一、非线性回归模型的基本原理非线性回归模型的基本原理是通过拟合非线性函数来描述自变量和因变量之间的关系。
与线性回归模型不同，非线性回归模型的函数形式可以是任意的非线性函数，例如指数函数、对数函数、幂函数等。
通过最小化残差平方和来确定模型的参数，使得模型的预测值与观测值之间的差异最小化。
二、常见的非线性回归模型1. 多项式回归模型多项式回归模型是一种常见的非线性回归模型，它通过多项式函数来拟合数据。
多项式回归模型的函数形式为：y = β0 + β1x + β2x^2 + ... + βnx^n其中，y是因变量，x是自变量，β0、β1、β2...βn是模型的参数，n是多项式的阶数。
通过最小二乘法来估计模型的参数，可以得到最佳的拟合曲线。
2. 对数回归模型对数回归模型是一种常用的非线性回归模型，它通过对数函数来拟合数据。
对数回归模型的函数形式为：y = β0 + β1ln(x)其中，y是因变量，x是自变量，β0、β1是模型的参数。
对数回归模型适用于自变量和因变量之间呈现指数增长或指数衰减的情况。
3. 指数回归模型指数回归模型是一种常见的非线性回归模型，它通过指数函数来拟合数据。
指数回归模型的函数形式为：y = β0e^(β1x)其中，y是因变量，x是自变量，β0、β1是模型的参数。
指数回归模型适用于自变量和因变量之间呈现指数增长或指数衰减的情况。
三、非线性回归模型的应用案例非线性回归模型在实际应用中具有广泛的应用领域，以下是一些常见的应用案例：1. 生物学研究非线性回归模型在生物学研究中被广泛应用，例如用于描述生物体的生长曲线、药物的剂量-反应关系等。
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2.非线性回归模型
教学目标 班级____姓名________ 1.进一步体会回归分析的基本思想.
2.通过非线性回归分析，判断几种不同模型的拟合程度. 教学过程
一、非线性回归模型.
非线性回归分析的步骤：（1）确定研究对象；（2）采集数据；（3）作散点图；（4）选取函数模型，并转化成线性回归模型，并转化数据；（5）求线性回归方程；（6）建线性回归模型，求残差，画残差图；（7）求2
R ，刻画拟合效果. 二、例题分析.
例1：研究红铃虫产卵数与温度的关系. （例见教科书2P ） 1.确定研究对象：红铃虫产卵数与温度的关系. 2.采集数据：
3.作散点图：
4.选取函数模型，并转化成线性回归模型，并转化数据： （1）根据样本点的变化趋势，选取函数模型：x
c e
c y 21=（指数函数模型）；
（2）令y z ln =，将指数函数模型转化成一次函数模型a bx z +=（1ln c a =，2c b =）； （3）数据转化：
温度C x
/
21 23 25 27 29 32 35 产卵数/y 个 7
11
21
24
66
115
325
x 21 23 25 27 29 32 35 z
1.946
2.398
3.045
3.178
4.190
4.745
5.784
（4）新散点图：
5.求线性回归
方程：
运用公式求得272.0ˆ=b
，849.3ˆ=a ，线性回归方程为849.3272.0ˆ-=x z ， 而红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为849.3272.0)
1(ˆ-=x e y
.
6.建线性回归模型，求残差，画残差图；
残差849.3272.0)1()
1(ˆˆ--=-=i x i i i i e y y
y e
7.求2
R ，刻画拟合效果. 注意事项：
（1）根据样本点的变化趋势，选取函数模型时，可能的选择不止一个；
（2）本例可选取二次函数模型42
3c x c y +=，
（3）令2
x t =，将二次函数模型转化成一次函数模型43c t c y +=； （4）不同模型拟合效果不同，可根据2
R 来判断，2
R 越大，拟合效果越好.
作业：为了研究某种细菌随时间x 变化时，繁殖个数y 的变化，收集数据如下： 天数x /天 1 2 3 4 5 6 繁殖个数y /个
6
12
25
49
95
190
（1）用天数x 作解释变量，繁殖个数y 作预报变量，作出这些数据的散点图； （2）描述解释变量x 与预报变量y 之间的关系； （3）计算相关指数2
R .。