全等三角形证明基础知识梳理及证明
三角形全等的证明方法
三角形全等的证明方法三角形全等是几何学中一个重要的概念，它表示两个三角形具有完全相同的形状和大小。
证明三角形全等可以使用多种方法，这里我们将介绍几种常用的证明方法。
方法一：SSS（边边边）全等法SSS全等法是三角形全等的基础方法之一，它是通过对应边相等来证明三角形全等的。
首先，对于给定的两个三角形ABC和DEF，假设AB＝DE，BC＝EF和AC＝DF。
我们需要证明∠A＝∠D，∠B＝∠E和∠C＝∠F。
由于AB＝DE，BC＝EF，所以线段AC＝DF。
根据三角形的性质，我们可以得出结论∠BAC＝∠EDF，∠ABC＝∠DEF和∠ACB＝∠DFE。
综上所述，我们可以得出结论，两个三角形ABC和DEF的对应角相等，因此它们全等。
方法二：SAS（边角边）全等法SAS全等法也是证明三角形全等的常用方法，它是通过对应边和夹角相等来证明三角形全等的。
假设给定的两个三角形ABC和DEF，我们需要证明∠A＝∠D，∠B＝∠E和AB＝DE。
首先，我们知道∠A＝∠D，即两个三角形的一对夹角相等。
然后，假设AB＝DE。
接下来，我们需要证明AC＝DF或者CB＝FE。
分别考虑两种情况：情况1：假设AC＝DF。
那么根据SAS全等法，我们可以得出结论，两个三角形ABC和DEF全等。
情况2：假设CB＝FE。
那么我们可以通过将三角形ABC和DEF旋转180度，使得点B重合，然后通过SAS全等法继续证明它们全等。
综上所述，我们可以得出结论，通过SAS全等法，可以证明两个三角形ABC和DEF全等。
方法三：ASA（角边角）全等法ASA全等法是通过对应角和边相等来证明三角形全等的方法。
给定两个三角形ABC和DEF，假设∠A＝∠D，∠B＝∠E和线段AC＝DF。
我们需要证明∠C＝∠F和AB＝DE。
由于∠A＝∠D和∠B＝∠E，我们可以得出结论，∠C＝∠F。
然后，假设AB＝DE。
通过ASA全等法的证明过程，我们可以得出结论，两个三角形ABC和DEF全等。
全等三角形的判定方法五种的证明
全等三角形的判定方法五种的证明全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：全等三角形（即三角形的所有对应边和角都相等）在几何学中具有重要意义，因为它们有着很多共性特征和性质。
在实际问题中，我们常常需要判定两个三角形是否全等，以便解决一些几何问题。
下面我们将介绍五种判定方法，并给出它们的证明。
一、SSS法则（边边边全等）首先我们来介绍SSS法则，即如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。
设有两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE，AC=DF，BC=EF。
我们要证明三角形ABC全等于三角形DEF。
【证明过程】由已知条件可知，三角形ABC和三角形DEF的三边分别相等。
所以可以得到以下对应关系：AB=DEAC=DFBC=EF三角形的两边之和大于第三边，所以我们有以下结论：AB+AC>BCDE+DF>EF由于AB=DE，AC=DF，BC=EF，所以根据上述两个不等式可得：AB+AC>BCAB+AC>BC所以三角形ABC与三角形DEF全等。
由于∠C=∠F，所以我们有以下结论：∠A+∠C+∠B=180°∠A+∠F+∠E=180°由于∠C=∠F，所以可以将两个等式相减，得到：∠B-∠E=0∠B=∠E四、HL法则（斜边-直角-斜边全等）由于∠A=∠D，∠B=∠E，所以可以使用AA法则证明三角形ABC 与三角形DEF全等。
我们介绍了五种全等三角形的判定方法以及它们的证明。
这些方法在解决几何问题中起着至关重要的作用，希望大家能够掌握并灵活运用这些方法。
如果遇到类似的题目，可以根据不同情况灵活选择合适的方法来判定三角形的全等关系。
通过不断练习和思考，相信大家能够在几何学习中取得更好的成绩。
【2000字】第二篇示例：全等三角形是指具有完全相同的三边和三角形的一种特殊情况。
在几何学中，全等三角形之间具有一些特殊的性质和关系。
正确判断两个三角形是否全等是解决几何问题的关键。
全等三角形的判定方法五种证明
全等三角形的判定方法五种证明方法一：SSS判定法（边边边判定法）该方法基于全等三角形的定义，即三角形的三边相等。
假设有两个三角形ABC和DEF，若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则可以得出两个三角形全等。
证明：假设有两个三角形ABC和DEF，且已知AB=DE，BC=EF，AC=DF。
通过图形可以发现，若容器DAB将图形DEF旋转并平移后完全重合于ABC，则两个三角形全等。
因此，通过旋转和平移操作，将DEF旋转至直线AC上的点F与C匹配，同时将点F移动至点C。
由于线段DE和线段AC相等，而由已知条件可知线段DF与线段AC相等，所以线段DC也与线段AC相等。
因此，可以得出点C与点D重合，即三角形DEF重合于三角形ABC，证明了两个三角形全等。
方法二：SAS判定法（边角边判定法）该方法基于全等三角形的定义，即当两个三角形的两边和夹角分别相等时，它们全等。
假设有两个三角形ABC和DEF，若AB=DE，角A=角D，BC=EF，则可以得出两个三角形全等。
证明：假设有两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE，角A=角D，BC=EF。
根据已知条件可以得出角D与角A相等，以及线段DE与线段AB相等。
通过这两个已知条件可以得出点D与点A重合，即三角形DEF与三角形ABC重合，证明了两个三角形全等。
方法三：ASA判定法（角边角判定法）该方法基于全等三角形的定义，即当两个三角形的两角和一边分别相等时，它们全等。
假设有两个三角形ABC和DEF，若角A=角D，角B=角E，AB=DE，则可以得出两个三角形全等。
证明：假设有两个三角形ABC和DEF，已知角A=角D，角B=角E，AB=DE。
根据已知条件可以得出角D与角A相等，角E与角B相等，以及线段AB与线段DE相等。
通过这三个已知条件可以得出三角形DEF与三角形ABC完全重合，证明了两个三角形全等。
方法四：HL判定法（斜边和高判定法）该方法基于全等三角形的定义，即当两个三角形的斜边和高分别相等时，它们全等。
有答案-直角三角形全等判定(基础)知识讲解
有答案-直角三角形全等判定(基础)知识讲解本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March直角三角形全等判定要点一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS ”，“ASA ”或“SAS ”判定定理.要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL ”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：（1）“HL ”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS 、ASA 、AAS 、SSS 、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt ”.【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定——“HL”1、 已知：如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AD ＝BC ．求证：（1）AB ＝CD ：（2）AD ∥BC ．【思路点拨】先由“HL ”证Rt △ABD ≌Rt △CDB ，再由内错角相等证两直线平行.【答案与解析】证明：（1）∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，∴∠ABD ＝∠CDB ＝90°在Rt △ABD 和Rt △CDB 中，AD BC BD DB⎧⎨=⎩＝∴Rt △ABD ≌Rt △CDB （HL ）∴AB ＝CD （全等三角形对应边相等）（2）由∠ADB ＝∠CBD∴AD ∥BC .【总结升华】证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.【变式】已知：如图，AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，AE ＝AB ，ED ＝AC ．求证：ED ⊥AC ．【答案】证明：∵AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，∴∠DAE ＝∠CBA ＝90°在Rt △DAE 与Rt △CBA 中，ED AC AE AB ⎧⎨⎩＝＝，∴Rt △DAE ≌Rt △CBA （HL ）∴∠E ＝∠CAB∵∠CAB ＋∠EAF ＝90°，∴∠E＋∠EAF＝90°，即∠AFE＝90°即ED ⊥AC ．2、 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（ ）（2）一个锐角和斜边对应相等； （ ）（3）两直角边对应相等； （ ）（4）一条直角边和斜边对应相等． （ ）【答案】（1）全等，“AAS ”；（2）全等，“AAS ”；（3）全等，“SAS ”；（4）全等，“HL ”.【解析】理解题意，画出图形，根据全等三角形的判定来判断.【变式】下列说法中，正确的画“√”；错误的画“×”，并举出反例画出图形.（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．（ ）（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．（ ）（3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等．（ ）【答案】（1）√；（2）×；在△ABC 和△DBC 中，AB ＝DB ，AE 和DF 是其中一边上的高，AE ＝DF（3）×. 在△ABC 和△ABD 中，AB ＝AB ，AD ＝AC ，AE 为第三边上的高，3、已知：如图，AC ＝BD ，AD ⊥AC ，BC ⊥BD ．求证：AD ＝BC ；【答案与解析】证明：连接DC∵AD ⊥AC ，BC ⊥BD∴∠DAC ＝∠CBD ＝90°在Rt △ADC 与Rt △BCD 中，DC CD AC BD=⎧⎨⎩＝∴Rt △ADC ≌Rt △BCD （HL ）∴AD ＝BC .（全等三角形对应边相等）【变式】已知，如图，AC 、BD 相交于O ，AC ＝BD ，∠C ＝∠D ＝90° .求证：OC ＝OD.【答案】∵∠C ＝∠D ＝90°∴△ABD 、△ACB 为直角三角形在Rt △ABD 和Rt △BAC 中AB BA BD AC =⎧⎨=⎩∴Rt △ABD ≌Rt △BAC(HL)∴AD ＝BC在△AOD 和△BOC 中D C AOD BOC AD BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOD ≌△BOC(AAS)∴OD ＝OC ．4、如图，将等腰直角三角形ABC 的直角顶点置于直线l 上，且过A ，B 两点分别作直线l 的垂线，垂足分别为D ，E ，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程.【答案与解析】解：全等三角形为：△ACD ≌△CBE.证明：由题意知∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE在△ACD 与△CBE 中，90ADC CEB CAD BCEAC BC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△CBE （AAS ）.【总结升华】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.【巩固练习】一、选择题1．下列说法正确的是 （ ）A ．一直角边对应相等的两个直角三角形全等B ．斜边相等的两个直角三角形全等C ．斜边相等的两个等腰直角三角形全等D ．一边长相等的两等腰直角三角形全等2．如图，AB ＝AC ，AD ⊥ BC 于D ，E 、F 为AD 上的点，则图中共有（ ）对全等三角形．A ．3B ．4C ．5D ．63. 能使两个直角三角形全等的条件是( )A.斜边相等B.一锐角对应相等C.两锐角对应相等D.两直角边对应相等4. 在Rt △ABC 与Rt △'''A B C 中, ∠C ＝ ∠'C ＝ 90, A ＝ ∠'B , AB ＝''A B , 那么下列结论中正确的是( ) A. AC ＝ ''A C ＝ ''B C C. AC ＝ ''B C D. ∠A ＝ ∠'A5. 直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（ ）A ．形状相同B ．周长相等C ．面积相等D ．全等6. 在两个直角三角形中，若有一对角对应相等，一对边对应相等，则两个直角三角形（ ）A.一定全等B.一定不全等C.可能全等D.以上都不是二、填空题7．如图，BE ，CD 是△ABC 的高，且BD ＝EC ，判定△BCD ≌△CBE 的依据是“______”．8. 已知，如图，∠A ＝∠D ＝90°，BE ＝CF ，AC ＝DE ，则△ABC ≌_______.9. 如图，BA ∥DC ，∠A ＝90°，AB ＝CE ，BC ＝ED ，则AC ＝_________.10. 如图，已知AB ⊥BD 于B ，ED ⊥BD 于D ，EC ⊥AC ，AC ＝EC ，若DE ＝2，AB ＝4，则DB ＝______.11．有两个长度相同的滑梯，即BC ＝EF ，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯的水平方向的长度DF 相等，则∠ABC ＋∠DFE ＝________．12. 如图，已知AD 是△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，且BF ＝AC ，FD ＝CD.则∠BAD ＝_______.三、解答题13. 如图，工人师傅要在墙壁的O 处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的B 点处打开，墙壁厚是35cm ，B点与O 点的铅直距离AB 长是20cm ，工人师傅在旁边墙上与AO 水平的线上截取OC ＝35cm ，画CD ⊥OC ，使CD ＝20cm ，连接OD ，然后沿着DO 的方向打孔，结果钻头正好从B 点处打出，这是什么道理呢请你说出理由．13.【解析】解：在Rt △AOB 与Rt △COD 中，(3590AOB COD AO CO A C ∠=∠⎧⎪==⎨⎪∠=∠=︒⎩对顶角相等） ∴Rt △AOB ≌Rt △COD （ASA ） ∴AB ＝CD ＝20cm14. 如图，已知AB ⊥BC 于B ，EF ⊥AC 于G ，DF ⊥BC 于D ，BC ＝DF. 求证：AC ＝EF.证明：由EF ⊥AC 于G ，DF ⊥BC 于D ，AC 和DF 相交，可得：∠F ＋∠FED ＝∠C ＋∠FED ＝90°即 ∠C ＝∠F （同角或等角的余角相等），在Rt △ABC 与Rt △EDF 中B EDF BC DF C F ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABC ≌△EDF （ASA ），∴AC ＝EF （全等三角形的对应边相等）.15. 如图，已知AB ＝AC ，AE ＝AF ，AE ⊥EC ，AF ⊥BF ，垂足分别是点E 、F.求证：∠1＝∠ 2.证明：∵AE ⊥EC ，AF ⊥BF ，∴△AEC 、△AFB 为直角三角形在Rt △AEC 与Rt △AFB 中AB AC AE AF⎧⎨⎩＝＝∴Rt △AEC ≌Rt △AFB （HL ）∴∠EAC ＝∠FAB∴∠EAC －∠BAC ＝∠FAB －∠BAC ，即∠1＝∠2.【答案与解析】一、选择题1. 【答案】C ； 【解析】等腰直角三角形确定了两个锐角是45°，可由AAS 定理证明全等.2. 【答案】D ；【解析】△ABD ≌△ACD ；△ABF ≌△ACF ；△ABE ≌△ACE ；△EBF ≌△ECF ；△EBD ≌△ECD ；△FBD ≌△FCD.3. 【答案】D ；4. 【答案】C ；【解析】注意看清对应顶点，A 对应'B ，B 对应'A .5. 【答案】C ；【解析】等底等高的两个三角形面积相等.6. 【答案】C ；【解析】如果这对角不是直角，那么全等，如果这对角是直角，那么不全等.二、填空题7. 【答案】HL ；8. 【答案】△DFE9. 【答案】CD ；【解析】通过HL 证Rt △ABC ≌Rt △CDE.10.【答案】6；【解析】DB ＝DC ＋CB ＝AB ＋ED ＝4＋2＝6；11.【答案】90°；【解析】通过HL 证Rt △ABC ≌Rt △DEF ，∠BCA ＝∠DFE.12.【答案】45°；【解析】证△ADC 与△BDF 全等，AD ＝BD ，△ABD 为等腰直角三角形.。
(完整版)全等三角形知识点总结
全等三角形 知识梳理一、知识网络⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪→⇒⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎨⎩对应角相等性质对应边相等边边边 S S S 全等形全等三角形应用边角边 S A S 判定角边角 A S A 角角边 A A S 斜边、直角边 H L 作图 角平分线性质与判定定理二、基础知识梳理（一）、基本概念1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。
同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。
（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上（二）灵活运用定理1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。
2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。
3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。
（1）已知条件中有两角对应相等，可找：①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS)（2）已知条件中有两边对应相等，可找①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找①任一组角相等(AAS 或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：1.确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系）；2.回顾三角形判定公理，搞清还需要什么；3.正确地书写证明格式（顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题）。
全等三角形证明判定方法分类总结.
全等三角形（一）SSS【知识要点】1．全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形．2．全等图形的性质：（1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等（2）全等图形的面积相等3．全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形（1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，读作“全等于”如DEFABC∆∆与全等，记作ABC∆≌DEF∆（2）符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等．（3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角．（4）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．4．全等三角形的判定（一）：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS”．【典型例题】例1．如图，ABC∆≌ADC∆，点B与点D是对应点，=∠BAC且︒=∠20B，1=∆ABCS，求ACDDCAD∠∠∠,,的度数ACD∆的面积．例2．如图，ABC∆≌DEF∆，cmCEcmBCA5,9,50==︒=∠，求EDF∠的度数及CF的长．例3．如图，已知：AB=AD，AC=AE，BC=DE，求证：CADBAE∠=∠例4．如图AB=DE，BC=EF，AD=CF，求证：（1）ABC∆≌DEF∆（2）AB//DE，BC//EF例5．如图，在,90︒=∠∆C ABC 中D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且BE=BC ，DE=DC ，求证：（1）AB DE ⊥；（2）BD 平分ABC ∠【巩固练习】1．下面给出四个结论：①若两个图形是全等图形，则它们形状一定相同；②若两个图形的形状相同，则它们一定是全等图形；③若两个图形的面积相等，则它们一定是全等图形；④若两个图形是全等图形，则它们的大小一定相同，其中正确的是（ ）A 、①④B 、①②C 、②③D 、③④2．如图，ABD ∆≌CDB ∆，且AB 和CD 是对应边，下面四个结论中 不正确的是（ ）A 、CDB ABD ∆∆和的面积相等 B 、CDB ABD ∆∆和的周长相等C 、CBD C ABD A ∠+∠=∠+∠ D 、AD//BC 且AD=BC3．如图，ABC ∆≌BAD ∆，A 和 B 以及C 和D 分别是对应点，如果︒=∠︒=∠35,60ABD C ，则BAD ∠的度数为（ ）A 、︒85B 、︒35C 、︒60D 、︒804．如图，ABC ∆≌DEF ∆，AD=8，BE=2，则AE 等于（ ） A 、6 B 、5 C 、4 D 、35．如图，要使ACD ∆≌BCE ∆，则下列条件能满足的是（） A 、AC=BC ，AD=CE ，BD=BE B 、AD=BD ，AC=CE ，BE=BDC 、DC=EC ，AC=BC ，BE=AD D、AD=BE ，AC=DC ，BC=EC 6．如图，ABE∆≌DCF ∆，点A 和点D 、点E 和点F 分别是对应点，则AB= ，=∠A ，AE= ，CE= ，AB// ，若BC AE ⊥，则DF 与BC 的关系是 ． 7．如图，ABC ∆≌AED ∆，若=∠︒=∠︒=∠︒=∠BAC C EAB B 则,45,30,40 ，=∠D ，=∠DAC ．8．如图，若AB=AC ，BE=CD ，AE=AD ，则ABE ∆ ACD ∆，所以=∠AEB ，=∠BAE ，=∠BAD ．D第4题图第5题图B第6题图第7题图第8题图第9题题图9．如图，ABC ∆≌DEF ∆，︒=∠90C ，则下列说法错误的是（ ） A 、互余与F C ∠∠ B 、互补与F C ∠∠C 、互余与E A ∠∠D 互余与D B ∠∠ 10．如图，ACF ∆≌DBE ∆，cm CD cm AD ACF E 5.2,9,110,30==︒=∠︒=∠，求D ∠的度数及BC 的长．11．如图，在ABD ABC ∆∆与中，AC=BD ，AD=BC ，求证：ABC ∆≌ABD ∆全等三角形（一）作业1．如图，ABC ∆≌CDA ∆，AC=7cm ，AB=5cm.，则AD 的长是（ ） A 、7cm B 、5cm C 、8cm D 、无法确定2．如图，ABC ∆≌DCE ∆，︒=∠︒=∠62,48E A ，点B 、C 、E 在同一直线上，则ACD ∠的度数为（ ）A 、︒48B 、︒38C 、︒110D 、︒623．如图，ABC ∆≌DEF ∆，AF=2cm,CF=5cm ，则AD= ． 4．如图，ABE ∆≌ACD ∆，︒=∠︒=∠25,100B A ，求BDC ∠的度数．5．如图，已知，AB=DE ，BC=EF ，AF=CD ，求证：AB//CD6．如图，已知AB=EF ，BC=DE ，AD=CF ， 求证：①ABC ∆≌FED ∆②AB//EFAEAD CAB CDEACDFA C E FD7．如图，已知AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证：CAE BAD ∠=∠E全等三角形（二）【知识要点】定义：SAS两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”，几何表示如图，在ABC∆和DEF∆中，ABCEFBCEBDEAB∆∴⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=≌)(SASDEF∆【典型例题】【例1】已知：如图，AB=AC，AD=AE，求证：BE=CD.【例2】如图，已知：点D、E在BC上，且BD=CE，AD=AE，∠1=∠2，由此你能得出哪些结论？给出证明.【例3】如图已知：AE=AF，AB=AC，∠A=60°，∠B=24°，求∠BOE的度数.【例4】如图，B，C，D在同一条直线上，△ABC，△ADE是等边三角形，求证：①CE=AC+DC；②∠ECD=60°.【例5】如图，已知△ABC、△BDE均为等边三角形。
三角形全等的证明
三角形全等的证明三角形的全等是指两个或多个三角形的所有对应元素（两边和夹角）都相等。
证明三角形全等的方法有很多种，其中包括使用SSS（边边边）、SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）以及HL（斜边和对边的垂直高度）准则等。
以下将介绍四种常用的三角形全等证明方法。
1.使用SSS准则（边边边）证明三角形全等：SSS准则要求两个三角形的三条边长度相等。
即如果两个三角形的三条边长度分别相等，则这两个三角形全等。
证明过程：假设有两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE,BC=EF,AC=DF。
画出三角形ABC和三角形DEF，并标出对应边的长度。
然后根据已知条件，我们可以得出AB=DE,BC=EF,AC=DF。
由于三角形的边长相等，根据SSS准则，三角形ABC和三角形DEF全等。
2.使用SAS准则（边角边）证明三角形全等：SAS准则要求两个三角形的两边长度成比例，夹角大小相等。
即，如果两个三角形的两条边长度依次成比例，并且夹角大小相等，则这两个三角形全等。
证明过程：假设有两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE,BC=EF,∠ABC=∠DEF。
画出三角形ABC和三角形DEF，并标出对应边的长度，以及已知的夹角。
根据已知条件，我们可以得出AB=DE,BC=EF,∠ABC=∠DEF。
由于两个三角形之间存在一对边和夹角均相等的关系，根据SAS准则，三角形ABC和三角形DEF全等。
3.使用ASA准则（角边角）证明三角形全等：ASA准则要求两个三角形的两个角度大小相等，夹边长度相等。
即，如果两个三角形的两个角度大小依次相等，并且夹边长度相等，则这两个三角形全等。
证明过程：假设有两个三角形ABC和DEF，已知∠BAC=∠EDF，∠ABC=∠DEF,AC=DF。
画出三角形ABC和三角形DEF，并标出对应角度和边长。
根据已知条件，我们可以得出∠BAC=∠EDF，∠ABC=∠DEF,AC=DF。
由于两个三角形之间存在一对边和夹角均相等的关系，根据ASA准则，三角形ABC和三角形DEF全等。
全等三角形判定一(SAS、ASA、AAS)(基础)知识讲解
全等三角形判定一（SAS,ASA ，AAS ）（基础）撰稿：常春芳【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边角边”，判定方法2——“角边角”，判定方法3——“角角边”；能运用它们判定两个三角形全等．2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等． 【要点梳理】要点一、全等三角形判定1——“边角边” 1. 全等三角形判定1——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.要点诠释：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.要点二、全等三角形判定2——“角边角” 全等三角形判定2——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）. 要点诠释：如图，如果∠A ＝∠'A ，AB ＝''A B ，∠B ＝∠'B ，则△ABC ≌△'''A B C .要点三、全等三角形判定3——“角角边” 1.全等三角形判定3——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.要点四、如何选择三角形证全等1.可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；2.可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；3.由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；4.如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.【典型例题】类型一、全等三角形的判定1——“边角边”1、已知：如图，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2．求证：BC＝DE．【思路点拨】由条件AB＝AD，AC＝AE，需要找夹角∠BAC与∠DAE，夹角可由等量代换证得相等.【答案与解析】证明：∵∠1＝∠2∴∠1＋∠CAD＝∠2＋∠CAD，即∠BAC＝∠DAE在△ABC和△ADE中AB ADBAC DAEAC AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC≌△ADE（SAS）∴BC＝DE（全等三角形对应边相等）【总结升华】证明角等的方法之一：利用等式的性质，等量加等量，还是等量.2、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B、D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝90°），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论．【答案】AE＝CD，并且AE⊥CD证明：延长AE交CD于F，∵△ABC和△DBE是等腰直角三角形∴AB＝BC，BD＝BE在△ABE和△CBD中90AB BCABE CBDBE BD=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABE≌△CBD（SAS）∴AE＝CD，∠1＝∠2又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等）∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC＝90°∴AE⊥CD【总结升华】通过观察，我们也可以把△CBD看作是由△ABE绕着B点顺时针旋转90°得到的.尝试着从变换的角度看待全等.举一反三：【变式】已知：如图，PC⊥AC，PB⊥AB，AP平分∠BAC，且AB＝AC，点Q在PA上，求证：QC＝QB【答案】证明：∵ AP平分∠BAC∴∠BAP＝∠CAP在△ABQ与△ACQ中∵∴△ABQ≌△ACQ(SAS)∴ QC＝QB类型二、全等三角形的判定2——“角边角”【高清课堂：379110 全等三角形判定二，例5】2、已知：如图，E，F在AC上，AD∥CB且AD＝CB，∠D＝∠B．求证：AE＝CF．【答案与解析】证明：∵AD∥CB∴∠A＝∠C在△ADF与△CBE中A CAD CBD B∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADF≌△CBE （ASA）∴AF ＝CE ，AF＋EF＝CE＋EF故得：AE＝CF【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．举一反三：【变式】如图，AB∥CD，AF∥DE，BE＝CF.求证：AB＝CD.【答案】证明：∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠C.∵AF ∥DE ，，∴∠AFB ＝∠DEC.又∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE. 在△ABF 和△DCE 中，B C BF CEAFB DEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABF ≌△DCE （ASA ）∴AB ＝CD （全等三角形对应边相等）.类型三、全等三角形的判定3——“角角边”【高清课堂：379110 全等三角形的判定二，例6】3、已知：如图，AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∠E ＝∠B ，DE ＝CB ．求证：AD ＝AC ．【思路点拨】要证AC＝AD，就是证含有这两个线段的三角形△BAC≌△EAD.【答案与解析】证明：∵AB⊥AE，AD⊥AC，∴∠CAD＝∠BAE＝90°∴∠CAD＋∠DAB＝∠BAE＋∠DAB ，即∠BAC＝∠EAD在△BAC和△EAD中BAC EADB ECB=DE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴△BAC≌△EAD（AAS）∴AC ＝AD【总结升华】我们要善于把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．举一反三：【变式】如图，AD是△ABC的中线，过C、B分别作AD及AD的延长线的垂线CF、BE.求证：BE＝CF.【答案】证明：∵AD为△ABC的中线∴BD＝CD∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED＝∠CFD＝90°，在△BED和△CFD中BED CFDBDE CDFBD CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（对顶角相等）∴△BED≌△CFD（AAS）∴BE＝CF4、已知：如图，AC与BD交于O点，AB∥DC，AB＝DC．（1）求证：AC与BD互相平分；（2）若过O点作直线l，分别交AB、DC于E、F两点，求证：OE＝OF.【思路点拨】（1）证△ABO≌△CDO，得AO＝OC，BO＝DO（2）证△AEO≌△CFO或△BEO≌△DFO【答案与解析】证明：∵AB∥DC∴∠Ａ＝∠Ｃ在△ABO与△CDO中A C(AOB COD∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝对顶角相等）AB=CD∴△ABO≌△CDO（AAS）∴AO＝CO ，BO=DO在△AEO和△CFO中A C(AOE COF∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝AO=CO＝对顶角相等）∴△AEO≌△CFO（ASA）∴OE＝OF.【总结升华】证明线段相等，就是证明它们所在的两个三角形全等．利用平行线找角等是本题的关键.类型四、全等三角形判定的实际应用5、在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望，为了炸掉敌军的碉堡，要知道碉堡与我军阵地的距离.在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一名战士想出了这样一个办法：他面向碉堡站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部.然后，他转身向后，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己这岸的某一点上.接着，他用步测的办法量出了自己与该点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离.这名战士的方法有道理吗？请画图并结合图形说明理由.【答案与解析】设战士的身高为AB，点C是碉堡的底部，点D是被观测到的我军阵地岸上的点，由在观察过程中视线与帽檐的夹角不变，可知∠BAD＝∠BAC，∠ABD＝∠ABC＝90°.在△ABD和△ABC中，ABD ABCAB ABBAD BAC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABD≌△ABC（ASA）∴BD＝BC.这名战士的方法有道理.【总结升华】解决本题的关键是结合图形说明那名战士测出的距离就是阵地与碉堡的距离，可以先画出示意图，然后利用全等三角形进行说明.解决本题的关键是建立数学模型，将实际问题转化为数学问题并运用数学知识来分析和解决.。
全等三角形证明基础知识梳理及证明
全等三角形证明基础知识梳理及证明1.SSS（边-边-边）判定法：如果两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。
证明的思路是通过对应边相等可以限定三角形的位置和角度，从而确定三角形全等。
2.SAS（边-角-边）判定法：如果两个三角形的两边分别相等，并且夹角也相等，则这两个三角形全等。
证明的思路是通过对边和角度的限定可以确定三角形全等。
3.ASA（角-边-角）判定法：如果两个三角形的两角分别相等，并且夹边也相等，则这两个三角形全等。
证明的思路是通过对角和边的限定可以确定三角形全等。
4.AAS（角-角-边）判定法：如果两个三角形的两角分别相等，并且夹边夹角相等，则这两个三角形全等。
证明的思路是通过对角和夹边夹角的限定可以确定三角形全等。
在证明全等三角形时，一般可以按照以下步骤进行：1.给出题目中的已知条件和要证明的结论，例如已知∠ABC≌∠DEF，AB≌DE，AC≌DF，要证明△ABC≌△DEF。
2.根据已知条件使用相应的全等定理或判定法，例如根据SAS定理可以得出△ABC≌△DEF。
3.根据证明结论可以得出相应的结论，例如根据全等三角形的性质，可以得出BC≌EF。
4.如果题目需要，可以通过相似三角形的性质推导出其他结论。
下面举例说明如何证明两个三角形全等：例题：已知△ABC中，∠A=∠E，BC=EF，AB=DE，要证明△ABC≌△DEF。
证明：根据已知条件，可以得到∠A=∠E，BC=EF，AB=DE，而∠A=∠E，BC=EF，两边夹角相等且夹边相等，因此根据AAS判定法，可以得出△ABC≌△DEF。
根据全等三角形的性质，可以得出AC≌DF，BC≌EF，以及∠B=∠E，∠C=∠F。
因此，根据给出的三边和三角形角度的相等关系，可以证明两个三角形全等。
除了全等三角形的证明方法，还需要掌握与之相关的知识点，例如三角形的角平分线性质、垂直平分线性质、中位线性质等。
总结：全等三角形的证明基于已知条件和全等定理或判定法，通过对边的相等和角度的相等进行推导，并根据全等三角形的性质得出结论。
全等三角形判定知识讲解
全等三角形判定一（SSS,ASA ，AAS ）（基础）【要点梳理】要点一、全等三角形判定1——“边边边”全等三角形判定1——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）.要点诠释：如图，如果''A B ＝AB ，''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC ≌△'''A B C .要点二、全等三角形判定2——“角边角”全等三角形判定2——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）. 要点诠释：如图，如果∠A ＝∠'A ，AB ＝''A B ，∠B ＝∠'B ，则△ABC ≌△'''A B C .要点三、全等三角形判定3——“角角边”1.全等三角形判定3——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”） 要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC 和△ADE 中，如果DE ∥BC ，那么∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，又∠A ＝∠A ，但△ABC 和△ADE 不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.【典型例题】类型一、全等三角形的判定1——“边边边”1、已知：如图，△RPQ 中，RP ＝RQ ，M 为PQ 的中点．求证：RM 平分∠PRQ ．举一反三：【变式】（2015•武汉模拟）如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，求证：△ABC≌△DCB．类型二、全等三角形的判定2——“角边角”2、如图，点P在∠AOB的平分线上，若使△AOP≌△BOP，则需添加的一个条件是．（1）小明添加的条件是：AP=BP．你认同吗？（2）你添加的条件是，请用你添加的条件完成证明．举一反三：【变式】如图，AB∥CD，AF∥DE，BE＝CF.求证：AB＝CD.类型三、全等三角形的判定3——“角角边”3、已知：如图，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠B，DE＝CB．求证：AD＝AC．举一反三：【变式】如图，AD是△ABC的中线，过C、B分别作AD及AD的延长线的垂线CF、BE.求证：BE＝CF.4、已知：如图，AC与BD交于O点，AB∥DC，AB＝DC．（1）求证：AC与BD互相平分；（2）若过O点作直线l，分别交AB、DC于E、F两点，求证：OE＝OF.【巩固练习】一、选择题1. 能确定△ABC≌△DEF的条件是（）A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠EB．AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠EC．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠DD．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E2．（2015•杭州模拟）用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明∠CAD=∠DAB的依据是（）A． SSS B． SAS C．ASA D． AAS3．AD是△ABC的角平分线，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，下列结论错误的是（）A．DE＝DF B．AE＝AF C．BD＝CD D．∠ADE＝∠ADF 4．（2016•黔西南州）如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（）A ．AB=DEB ．AC=DFC ．∠A=∠D D ．BF=EC5. 某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的方法是( )A.带①去B.带②去C.带③去D.①②③都带去6．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下面结论中错误的是（ ）A ．△ADC ≌△BCDB ．△ABD ≌△BAC C ．△ABO ≌△CDOD ．△AOD ≌△BOC二、填空题7.（2014秋•石林县校级月考）如图，AC=AD ，BC=BD ，则△ABC≌△ ；应用的判定方法是（简写） ．8. 在△ABC 和△'''A B C 中，∠A ＝44°，∠B ＝67°，∠'C ＝69°，∠'B ＝44°，且AC ＝ ''B C ，则这两个三角形_________全等.（填“一定”或“不一定”）9. 已知，如图，AB ∥CD ，AF ∥DE ，AF ＝DE ，且BE ＝2，BC ＝10，则EF ＝________.10. 如图，AB∥CD，AD∥BC，OE ＝OF ，图中全等三角形共有______对.11.（2016•通州区一模）在学习“用直尺和圆规作射线OC ，使它平分∠AOB”时，教科书介绍如下：*作法：（1）以O 为圆心，任意长为半径作弧，交OA 于D ，交OB 于E ；（2）分别以D ，E 为圆心，以大于DE 的同样长为半径作弧，两弧交于点C ；（3）作射线OC ．则OC 就是所求作的射线．小明同学想知道为什么这样做，所得到射线OC 就是∠AOB 的平分线．小华的思路是连接DC 、EC ，可证△ODC ≌△OEC ，就能得到∠AOC=∠BOC ．其中证明△ODC ≌△OEC 的理由是 ．12. 已知:如图，∠B ＝∠DEF ，AB ＝DE ，要说明△ABC ≌△DEF ，（1）若以“ASA ”为依据，还缺条件（2）若以“AAS ”为依据，还缺条件三、解答题13．阅读下题及一位同学的解答过程：如图，AB 和CD 相交于点O ，且OA ＝OB ，∠A ＝∠C ．那么△AOD 与△COB 全等吗？若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由．答：△AOD ≌△COB ．证明：在△AOD 和△COB 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠),(),(),(对顶角相等已知已知COB AOD OB OA C A∴ △AOD ≌△COB （ASA ）．问：这位同学的回答及证明过程正确吗？为什么？14. 已知如图，E 、F 在BD 上，且AB ＝CD ，BF ＝DE ，AE ＝CF ，求证：AC 与BD 互相平分.15. 已知：如图, AB ∥CD, OA ＝ OD, BC 过O 点, 点E 、F 在直线AOD 上, 且∠E ＝∠F. 求证：EB=CF.全等三角形判定二（SAS ）（基础）要点一、全等三角形判定4——“边角边”1. 全等三角形判定4——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.要点诠释：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.要点二、判定方法的选择已知条件可选择的判定方法一边一角对应相等SAS AAS ASA两角对应相等ASA AAS两边对应相等SAS SSS要点三、如何选择三角形证全等1.可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；2.可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；3.由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；4.如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.要点四、全等三角形证明方法1．证明线段相等的方法：(1) 证明两条线段所在的两个三角形全等.(2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.(3) 等式性质.2．证明角相等的方法：(1) 利用平行线的性质进行证明.(2) 证明两个角所在的两个三角形全等.(3) 利用角平分线的判定进行证明.(4) 同角（等角）的余角（补角）相等.(5) 对顶角相等.3．证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法；可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明. 4．辅助线的添加:(1)作公共边可构造全等三角形；(2)倍长中线法；(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.类型一、全等三角形的判定4——“边角边”1、在△ABC中，AB=AC，点E，F分别在AB，AC上，AE=AF，BF与CE相交于点P．求证：△EBC≌△FCB．2、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B、D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝90°），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论．举一反三：【变式】（2014•雁塔区校级模拟）如图，由∠1=∠2，BC=DC、AC=EC，最后推出△ABC≌△EDC 的根据是（）A．SAS B． ASA C． AAS D． SSS类型二、全等三角形的性质和判定综合3、（2014•如东县模拟）如图1，已知△ABC的六个元素，则图2甲、乙、丙三个三角形中和图1△ABC全等的图形是（）A.甲乙B．丙C．乙丙D．乙举一反三：【变式】如图，已知：AE⊥AB，AD⊥AC，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE.【巩固练习】一、选择题1．在△ABC 中，∠B＝∠C，与△ABC 全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC 中与这100°角对应相等的角是（ ）A. ∠AB. ∠BC. ∠CD. ∠B 或∠C2.（2015•莆田）如图，AE ∥DF ，AE=DF ，要使△EAC ≌△FDB ，需要添加下列选项中的（ ）A ．AB=CDB ． EC=BFC ． ∠A=∠D D ． AB=BC3．（2016•东城区一模）如图，有一池塘，要测池塘两端A ，B 间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A 和B 的点C ，连接AC 并延长至D ，使CD=CA ，连接BC 并延长至E ，使CE=CB ，连接ED ．若量出DE=58米，则A ，B 间的距离为（ ）A ．29米B ．58米C ．60米D ．116米4．如图，AB 、CD 、EF 相交于O ，且被O 点平分，DF ＝CE ，BF ＝AE ，则图中全等三角形的对数共有（ ）A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对5．如图，将两根钢条'AA ，'BB 的中点O 连在一起，使'AA ，'BB 可以绕着点O 自由转动，就做成了一个测量工件，则''A B 的长等于内槽宽AB ，那么判定△OAB≌△''OA B 的理由是( )A.边角边B.角边角C.边边边D.角角边6．如图，已知AB⊥BD 于B ，ED⊥BD 于D ，AB ＝CD ，BC ＝ED ，以下结论不正确的是（ ）A.EC⊥ACB.EC＝ACC.ED ＋AB ＝DBD.DC ＝CB二、填空题7．如图，AB＝CD，AC＝DB，∠ABD＝25°，∠AOB＝82°，则∠DCB＝_________.8．（2016春•灵石县期末）如图，黄芳不小心把一块三角形的玻璃打成三块碎片，现要带其中一块去配出与原来完全一样的玻璃，正确的办法是带第块去配，其依据是根据定理（可以用字母简写）9.（2015•齐齐哈尔）如图，点B、A、D、E在同一直线上，BD=AE，BC∥EF，要使△ABC≌△DEF，则只需添加一个适当的条件是．（只填一个即可）10．如图，AC＝AD，CB＝DB，∠2＝30°，∠3＝26°，则∠CBE＝_______.11．如图，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD＝AE，AB＝AC，若∠B ＝20°，则∠C＝_______．12．已知，如图，AB＝CD，AC＝BD，则△ABC≌，△ADC≌ .三、解答题13.（2015•重庆校级三模）如图已知，AB∥DC，AB=DC，AE=CF．求证：△ABF≌△CDE．14.（2016•曲靖）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D．（1）求证：AC∥DE；（2）若BF=13，EC=5，求BC的长．【课后作业】1．（2020•徐州）若一个三角形的两边长分别为3cm、6cm，则它的第三边的长可能是（）A．2cm B．3cm C．6cm D．9cm2.（2020•大连）如图，△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，DE∥BC，则∠AED的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．80°3.（2020•永州）如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA4.（2020秋•滦南县期末）如图，已知AC＝DB，下列四个条件：①∠A＝∠D；②∠ABD＝∠DCA；③∠ACB＝∠DBC；④∠ABC＝∠DCB．其中能使△ABC≌△DCB的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5.（2020秋•天河区期末）如图，AE∥DF，AE＝DF．添加下列的一个选项后．仍然不能证明△ACE≌△DBF的是（）A．AB＝CD B．EC＝BF C．∠E＝∠F D．EC∥BF6.（2020•齐齐哈尔）如图，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB＝∠CAB，点A、B、E在同一条直线上，若使△ABD≌△ABC，则还需添加的一个条件是．（只填一个即可）7.（2020秋•花都区期末）如图，D、C、F、B四点在同一条直线上，BC＝DF，AC⊥BD于点C，EF⊥BD于点F，如果要添加一个条件，使△ABC≌△EDF，你添加的条件是（注：只需写出一个条件即可）．8.（2020•无锡）如图，已知AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF．求证：（1）△ABF≌△DCE；（2）AF∥DE．9.（2020•温州）如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE，求证：△ABC≌△DCE．。
(完整版)全等三角形的性质及判定
全等三角形第 1 节全等三角形的性质和判断【知识梳理】1、全等图形：能够完整重合的两个图形就是全等图形．2、全等三角形的观点与表示：能够完整重合的两个三角形叫作全等三角形．能够互相重合的极点、边、角分别叫作对应极点、对应边、对应角．全等符号为“≌”．3、全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角均分线相等，面积相等．4、全等三角形的判断方法：(1)边角边定理 ( SAS) ：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2)角边角定理 ( ASA) ：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3)边边边定理 ( SSS) ：三边对应相等的两个三角形全等．(4)角角边定理 ( AAS ) ：两个角和此中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5)斜边、直角边定理 ( HL ) ：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．【诊疗自测】1、假如ABC≌Δ DBC，则 AB的对应边是_____，AC的对应边是_____，∠DBC的对应角是_____，∠ DCB的对应角是_____．2、如图，已知△ABE≌△ DCE， AE＝2 cm， BE＝1.5 cm，∠ A＝25°，∠ B＝48°；那么 DE＝_____cm，EC＝ _____cm，∠C＝ _____°；∠D＝ _____°．C 和点E，点 B 和点D 分别是对应点，则另一3、假如△ABC和△ DEF这两个三角形全等，点组对应点是，对应边是，对应角是，表示这两个三角形全等的式子是．【考点打破】种类一：全等形例 1、由同一张底片冲刷出来的两张五寸照片的图案 _____全等图案，而由同一张底片冲刷出来的五寸照片和七寸照片 ____全等图形。
（填“是”或许“不是”）种类二：全三角形的定义和性质例 2、如图，点 E，F 在线段 BC 上，△ ABF 与△ DCE 全等，点 A 与点 D ，点 B 与点 C 是对应极点， AF 与 DE 交于点 M ，则∠ DCE= （）A ．∠B B．∠ A C．∠ EMF D ．∠ AFB例 3、如图，△ ABE 和△ ADC 是△ ABC 分别沿着AB 、AC 边翻折 180°形成的，若∠ BAC ：∠ABC ：∠ BCA=28 ： 5： 3，则∠α的度数为（）A ． 90° B． 85° C． 80° D． 75°种类三：全等三角形的判断（SSS）例 4、用直尺和圆规作一个角等于己知角的作图印迹如下图，则作图的依照是（）A ． SSS B． SAS C． ASA D． AAS例 5、已知：如图 2－ 1，△ RPQ 中， RP＝ RQ， M 为 PQ 的中点．求证： RM 均分∠ PRQ．剖析：要证 RM 均分∠ PRQ，即∠ PRM＝ ______，只需证 ______≌ ______证明：∵M 为 PQ 的中点（已知），∴______＝ ______在△ ______和△ ______中，RP RQ(已知 ),PM ______,______ ______(),∴______≌ ______（）．∴∠ PRM ＝ ______（ ______）．即 RM．例 6．已知：如图， AD ＝BC． AC＝ BD ．试证明：∠ CAD ＝∠ DBC .种类四：全等三角形的判断（SAS）例 7. 已知：如图3－1，AB、CD订交于O点，AO＝CO，OD＝OB．求证：∠ D＝∠ B．剖析：要证∠ D＝∠ B，只需证 ______≌ ______证明：在△ AOD 与△ COB 中，AO CO ( ),______ ______( ),OD ______( ),∴△ AOD ≌△ ______ （）．∴∠D＝∠ B （ ______）．例8、小红家有一个小口瓶（如下图），她很想知道它的内径是多少？可是尺子不可以伸在里边直接测，于是她想了想，唉！有方法了．她拿来了两根长度同样的细木条，而且把两根长木条的中点固定在一同，木条能够绕中点转动，这样只需量出AB 的长，就能够知道玻璃瓶的内径是多少，你知道这是为何吗？请说明原因．（木条的厚度不计）例 9、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接∠ABC= ∠ EBD=90 °），连结 AE 、 CD，试确立 AE 结论．（A 、B、D 三点共线，AB=CB ，EB=DB ，与 CD 的地点与数目关系，并证明你的种类五：全等三角形的判断（AAS和 ASA）例 10、某同学把一块三角形的玻璃打坏成了 3 块，现要到玻璃店去配一块完整同样的玻璃，同学小明知道只需带③ 去就行了，你知道此中的道理是（）A ． SAS B． SSA C． ASA D． HL例 11.如图，已知△ ABC的六个元素，则以下甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是例 12、已知：如图，PM ＝ PN，∠ M＝∠ N．求证： AM＝ BN．剖析：∵ PM＝ PN，∴要证AM＝BN，只需证PA＝ ______，只需证 ______≌ ______．证明：在△ ______与△ ______中，______ ______( ),______ ______( ),______ ______( ),∴△ ______≌△ ______ （）．∴ PA＝ ______ （）．∵PM＝PN （），∴PM － ______＝ PN－ ______，即 AM ＝ ______．例 13、已知： AB ⊥ AE ，AD ⊥ AC ，∠ E=∠ B， DE=CB ．求证： AD=AC ．．例 14、如图，在△ ABC中，∠ ACB＝90°， AC＝BC，BE⊥CE于点 E． AD⊥CE于点D．求证：△ DEC≌△ CDA．种类六：全等三角形的判断（HL）例 15. 已知在△ ABC和△ DEF中 , ∠ A=∠D=90°, 则以下条件中不可以判断△ABC和△DEF全等的是 ( )A.AB=DE,AC=DFB.AC=EF,BC=DFC.AB=DE,BC=EFD.∠C=∠ F,BC=EF例 16、如下图，在△ ABC中，∠ C=90°， DE⊥AB 于点 D， BD=BC,若 AC=6，则AE+DE=_____BDAE C【易错优选】1、如下图，△ABC ≌△ DEC，则不可以获得的结论是（）A ． AB=DEB ．∠ A= ∠ D C． BC=CD D ．∠ ACD= ∠ BCE2、如图，梯形 ABCD中，AD∥BC，点 M是 AD的中点，且 MB=MC，若 AD=4，AB=6，BC=8，则梯形 ABCD的周长为（）A．22 B．24 C．26 D． 283、如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等，则∠ ABC+∠ DFE=__________度【精髓提炼】判断三角形全等的基本思路：找夹角SAS已知两边 SS找直角HL找另一边SSS边为角的对边→找随意一角→AAS找这条边上的另一角→ASA已知一边一角 SA边就是角的一条边找这条边上的对角→AAS找该角的另一边→ SAS找两角的夹边ASA已知两角 AA找随意一边AAS备注：找寻对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边 ( 或最大角 ) 是对应边 ( 或对应角 ) ，一对最短边 ( 或最小角 ) 是对应边 ( 或对应角 ) ．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是重点．全等三角形的图形概括起来有以下几种典型形式：⑴ 平移全等型⑵ 对称全等型⑶ 旋转全等型【本节训练】训练【 1】如图， E 为线段 BC 上一点， AB ⊥BC，△ ABE ≌△ ECD ，判断 AE 与 DE 的关系，并证明你的结论．训练【 2】如图，点A、F、C、D在同向来线上，点 B 和点 E 分别在直线 AD的双侧，且 AB＝DE，∠ A＝∠ D，AF＝ DC．求证： BC∥EF．训练【 3】已知图中的两个三角形全等，则∠ 1 等于度．【训练 4】．如图，∠ BAC= ∠DAE ，∠ ABD= ∠ ACE ，AB=AC ．求证： BD=CE ．基础稳固一、选择题1、以下说法：①有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；②有斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等；③有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等；④有一条边相等的两个等腰直角三角形全等．此中正确的有（）．A、1 个B、2 个C、3 个D、4 个DE=BC，以D、 E 为两个极点作地点不一样的三2、如图，△ABC是不等边三角形，角形，使所作三角形与△ABC全等，这样的三角形最多能够画出[ ] ．A．2 个B．4 个C．6 个D．8 个3、以下说法正确的选项是（）A、全等三角形是指周长和面积都同样的三角形;B、全等三角形的周长和面积都同样;C、全等三角形是指形状同样的两个三角形;D、全等三角形的边都相等4、以下两个三角形中，必定全等的是（）A.两个等边三角形B.有一个角是 40°，腰相等的两个等腰三角形C.有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形D.有一个角是 100°，底相等的两个等腰三角形5、如图，△ ABC与△ BDE都是等边三角形， AB<BD，若△ ABC不动，将△ BDE绕点CD的大小关系为( )B 旋转，则在旋转过程中，AE与A．AE=CD B ． AE>CD C．AE<CD D．没法确立ECA B D6、如图，已知 AB=AD，那么增添以下一个条件后，仍没法判断△ABC≌△ ADC的是（）A．CB=CD B ．∠ BAC=∠DAC C．∠ BCA=∠ DCA D．∠ B=∠D=90°二、填空题6、如图，在△ ABC 中，AD⊥ BC 于 D，BE⊥ AC 于 E，AD 与 BE 订交于点F，若 BF=AC，则∠ ABC=_______7、如图，等腰直角三角形ABC的直角极点 B 在直线 PQ上，AD⊥ PQ于 D，CE⊥PQ 于 E，且 AD=2cm，DB=4cm，则梯形 ADEC的面积是 _____ ．8、（着手操作实验题）如下图是小明自制对顶角的“小仪器”表示图：（1）将直角三角板 ABC的 AC边延伸且使 AC固定；（2）另一个三角板 CDE?的直角极点与前一个三角板直角极点重合；（3）延伸 DC，∠PCD与∠ ACF就是一组对顶角，已知∠ 1=30°，∠ ACF为多少？三、简答题9、如图，已知AB=AC ，∠ 1=∠ 2，AD=AE ，求证：∠ C=∠ B．10、如图，在△ ABC中， AD是∠ BAC的均分线， DE、DF分别是△ ABD和△ ACD的高线，求证： AD⊥EF。
全等三角形证明方法归纳经典-（1）
..【第1部分 全等基础知识归纳、小结】1、全等三角形的定义： 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。
两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。
概念深入理解：（1）形状一样，大小也一样的两个三角形称为全等三角形。
（外观长的像）（2）经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。
（位置变化）2、全等三角形的表示方法：若△ABC 和△A′B′C′是全等的，记作“△ABC≌△A′B′C′”其中，“≌”读作“全等于”。
记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3、全等三角形的性质：全等是工具、手段，最终是为了得到边等或角等，从而解决某些问题。
（1）全等三角形的对应角相等、对应边相等。
（2）全等三角形的对应边上的高，中线，角平分线对应相等。
（3）全等三角形周长，面积相等。
4、寻找对应元素的方法图3图1图2（1）根据对应顶点找如果两个三角形全等，如果两个三角形全等，那么，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边以对应顶点为端点的边是对应边。
通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。
（2）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。
通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的；运动一般有3种：平移、对称、旋转；5、全等三角形的判定：（深入理解）①边边边（①边边边（SSS SSS SSS）） ②边角边（②边角边（SAS SAS SAS）） ③角边角（③角边角（ASA ASA ASA）） ④角角边（④角角边（AAS AAS AAS）） ⑤斜边，直角边（⑤斜边，直角边（HL HL HL）） 注意：（容易出错）（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等（边定全等）；（2）不能证明两个三角形全等的是，㈠三个角对应相等，即AAA AAA；；㈡有两边和其中一角对应相等，即SSA SSA。
直角三角形全等判定(基础)知识讲解.doc
直角三角形全等判定（基础）责编：某老师【学习目标】1．理解和掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边，直角边”（即“HL ”）.2．能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法判定两个直角三角形全等.【要点梳理】【高清课堂：379111 直角三角形全等的判定，知识点讲解】要点一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS ”，“ASA ”或“SAS ”判定定理. 要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL ”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：（1）“HL ”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS 、ASA 、AAS 、SSS 、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt ”.【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定——“HL”1、 已知：如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AD ＝BC ．求证：（1）AB ＝CD ：（2）AD ∥BC ．【思路点拨】先由“HL ”证Rt △ABD ≌Rt △CDB ，再由内错角相等证两直线平行.【答案与解析】证明：（1）∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，∴∠ABD ＝∠CDB ＝90°在Rt △ABD 和Rt △CDB 中，AD BC BD DB⎧⎨=⎩＝∴Rt △ABD ≌Rt △CDB （HL ）∴AB ＝CD （全等三角形对应边相等）（2）由∠ADB ＝∠CBD∴AD ∥BC .【总结升华】证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.举一反三：【高清课堂：379111 直角三角形全等的判定，例3】【变式】已知：如图，AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，AE ＝AB ，ED ＝AC ．求证：ED ⊥AC ．【答案】证明：∵AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，∴∠DAE ＝∠CBA ＝90°在Rt △DAE 与Rt △CBA 中，ED AC AE AB ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △DAE ≌Rt △CBA （HL ）∴∠E ＝∠CAB∵∠CAB ＋∠EAF ＝90°，∴∠E ＋∠EAF ＝90°，即∠AFE ＝90°即ED ⊥AC ．2、 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（ ）（2）一个锐角和斜边对应相等； （ ）（3）两直角边对应相等； （ ）（4）一条直角边和斜边对应相等． （ ）【答案】（1）全等，“AAS ”；（2）全等，“AAS ”；（3）全等，“SAS ”；（4）全等，“HL ”.【解析】理解题意，画出图形，根据全等三角形的判定来判断.【总结升华】直角三角形全等可用的判定方法有5种：SAS 、ASA 、AAS 、SSS 、HL. 举一反三：【变式】下列说法正确的有（ ）（1）一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等；（2）一个锐角及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；（3）两个锐角对应等的两个直角三角形全等；（4）有两条边相等的两个直角三角形全等；（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】C ．解：（1）一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等，根据AAS 可判定两个直角三角形全等；（2）一个锐角及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，根据AAS 或ASA 可判定两个直角三角形全等；（3）两个锐角对应等的两个直角三角形全等，缺少“边”这个条件，故不可判定两个直角三角形全等；（4）有两条边相等的两个直角三角形全等，根据SAS 或HL 可判定两个直角三角形全等；（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，根据HL 可判定两个直角三角形全等．所以说法正确的有4个．故选C ．3、（2016春•深圳校级月考）如图，AB ⊥AC 于A ，BD ⊥CD 于D ，若AC=DB ，则下列结论中不正确的是（ ） O B C DAA ．∠A=∠DB ．∠ABC=∠DCBC ．OB=OD D ．OA=OD【思路点拨】根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．【答案与解析】解：∵AB ⊥AC 于A ，BD ⊥CD 于D∴∠A=∠D=90°（A 正确）又∵AC=DB ，BC=BC∴△ABC ≌△DCB(HL)∴∠ABC=∠DCB （B 正确）∴AB=CD又∵∠AOB=∠C∴△AOB ≌△DOC(AAS)∴OA=OD （D 正确）C 中OD 、OB 不是对应边，不相等．故选C ．【总结升华】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．4、已知：如图1，在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，C=∠C′=90° 求证：Rt△ABC 和Rt△A′B′C′全等．（1）请你用“如果…，那么…”的形式叙述上述命题；（2）将△ABC 和△A′B′C′拼在一起，请你画出两种拼接图形；例如图2：（即使点A 与点A′重合，点C 与点C′重合．）（3）请你选择你拼成的其中一种图形，证明该命题．【答案与解析】解：（1）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等．（2）如图：图②使点A与点A′重合，点B与点B′重合图③使点A与B′重合，B与点A′重合．（3）在图②中，∵A和A′重合，B和B′重合，连接CC′．∵∠ACB=∠A′C′B′=90°，∠ACB﹣∠ACC′=∠A′C′B′﹣∠AC′C，即∠BCC′=∠BCC′，∴BC=B′C′．在直角△ABC和直角△A′B′C′中，，∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）．【总结升华】本题考查了直角三角形的全等中HL定理的证明，正确利用等腰三角形的性质是关键．。
(完整版)全等三角形知识总结和经典例题
全等三角形复习[ 知识要点 ]一、全等三角形1．判定和性质一般三角形直角三角形边角边（ SAS）、角边角（ ASA）具备一般三角形的判定方法判定斜边和一条直角边对应相等（ HL ）角角边（ AAS）、边边边（ SSS）对应边相等，对应角相等性质对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等注：①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；② 全等三角形面积相等．2．证题的思路：找夹角（ SAS）已知两边找直角（ HL ）找第三边（ SSS）若边为角的对边，则找任意角（ AAS）找已知角的另一边（SAS）已知一边一角边为角的邻边找已知边的对角（AAS）找夹已知边的另一角（ASA）找两角的夹边（ASA）已知两角找任意一边（AAS）性质1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。
2、全等三角形的对应边上的高对应相等。
3、全等三角形的对应角平分线相等。
4、全等三角形的对应中线相等。
5、全等三角形面积相等。
6、全等三角形周长相等。
( 以上可以简称 : 全等三角形的对应元素相等)7、三边对应相等的两个三角形全等。
（SSS)8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
(SAS)9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
(ASA)10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
(AAS)11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
(HL)运用1、性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。
而全等的判定却刚好相反。
2、利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。
在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便。
3，当图中出现两个以上等边三角形时，应首先考虑用 SAS找全等三角形。
4、用在实际中，一般我们用全等三角形测等距离。
以及等角，用于工业和军事。
有一定帮助。
5、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上做题技巧一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。
全等三角形及基本判定定理
全等三角形全等三角形【知识要点】1．全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形． 2．全等图形的性质：（1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等 （2）全等图形的面积相等3．全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形（1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，读作“全等于” 如DEF ABC ∆∆与全等，记作ABC ∆≌DEF ∆ （2）符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等．（3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角．（4）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．全等三角形的判定1：SSS三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS ”．如图，在ABC ∆和DEF ∆中⎪⎩⎪⎨⎧===DF AC EF BC DEABABC ∆∴≌DEF ∆【典型例题】例1．如图，ABC ∆≌ADC ∆，点B 与点D 是对应点，︒=∠26BAC ，且︒=∠20B ，1=∆ABC S ，求A C D D C A D ∠∠∠,,的度数及ACD ∆的面积．A BC DEFABDC例2．如图，ABC ∆≌DEF ∆，cm CE cm BC A 5,9,50==︒=∠，求ED F ∠的度数及CF 的长．例3．如图，已知：AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证：CAD BAE ∠=∠例4．如图AB=DE ，BC=EF ，AD=CF ，求证：（1）ABC ∆≌DEF ∆ （2）AB//DE ，BC//EFA B E C FD A BE CD ABCDFE例5．如图，在,90︒=∠∆C ABC 中D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且BE=BC ，DE=DC ，求证：（1）AB DE ⊥；（2）BD 平分ABC ∠ （角平分线的相关证明及性质）全等三角形判定定理2：SAS两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS ”。
三角形全等的证明
三角形全等的证明证明：三角形全等的定义是两个三角形的三个对应边长相等，那么需要证明所有三个对应角度也相等。
（一）SAS 全等法通过已知两个三角形的两边长度和它们夹角的大小相等，可以证明这两个三角形是全等的。
证明过程如下：①已知两个三角形 ABC 和 DEF，它们有两个相等的边 AB=DE，BC=EF，以及它们夹角 ACB 和 DFE 相等。
②在三角形 ABC 和 DEF 的相等边上分别取两个点 M 和 N，使得AM=DN，BM=EN。
③由已知，两个三角形 ABC 和 DEF 的夹角 ACB 和 DFE 是相等的，而且三边长分别相等，所以根据余弦定理有：∠AMB=∠DNE∠CBA=∠FEDBM=EN根据 SSS 准则可以得到三角形 AMB 和 DNE 相等，即AM=DNBM=EN∠AMB=∠DNE因此，两个三角形 ABC 和 DEF 相等。
（二）ASA 全等法通过已知两个三角形的恰好一组对应角度和两边长度相等，可以证明这两个三角形是全等的。
证明过程如下：①已知两个三角形 ABC 和 DEF，它们有角 A 和角 D 相等，以及边AB=DE，AC=DF。
②再假设角 B 和角 E 相等，根据同位角定理，可以得到角 C 和角 F 相等。
③根据已知条件，可以继续得知 BC 和 EF 相等，又因为 AB=DE，所以根据 SSS 准则可以得到两个三角形 ABC 和 DEF 相等。
（三）SSS 全等法通过已知两个三角形的三边长度分别相等，可以证明它们是全等的。
证明过程如下：①已知两个三角形 ABC 和 DEF，它们的三个对应边 AB=DE，BC=EF，AC=DF。
②根据三角形的边长可以得到它们两个的周长相等，即AB+BC+AC=DE+EF+DF③将两个三角形平移重合，将此时 B 点与 E 点重合，AC 与 DF 重合，那么 A 点和 D 点也将重合。
④根据已知条件，可以将三角形 ABC 旋转到与三角形 DEF 相重叠，此时三角形 ABC 和 DEF 完全重合，因此它们是全等的。
证明三角形全等的方法
证明三角形全等的方法三角形是几何学中的基本概念之一，在我们的日常生活和学习中都会经常接触到三角形。
而在解决几何问题时，经常会涉及到三角形的全等性质。
那么，如何证明三角形全等呢？接下来，我们将介绍几种常用的方法来证明三角形全等。
1. SSS全等定理。
SSS全等定理是指如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。
这个定理的证明方法比较简单直接，只需要通过对应边的长度相等来进行推导即可。
例如，如果三角形ABC的三条边分别与三角形DEF的三条边相等，那么我们可以通过比较各边的长度来证明这两个三角形全等。
2. SAS全等定理。
SAS全等定理是指如果两个三角形的一条边和夹角分别相等，则这两个三角形全等。
证明SAS全等定理的方法通常是通过对应边和夹角的相等来进行推导。
例如，如果三角形ABC的一条边和夹角分别与三角形DEF的一条边和夹角相等，那么我们可以通过夹角的相等以及对应边的相等来证明这两个三角形全等。
3. ASA全等定理。
ASA全等定理是指如果两个三角形的两个夹角和夹边分别相等，则这两个三角形全等。
证明ASA全等定理的方法通常是通过对应角和夹边的相等来进行推导。
例如，如果三角形ABC的两个夹角和夹边分别与三角形DEF的两个夹角和夹边相等，那么我们可以通过角的相等以及对应边的相等来证明这两个三角形全等。
4. HL全等定理。
HL全等定理是指如果两个直角三角形的一条直角边和斜边分别相等，则这两个三角形全等。
证明HL全等定理的方法通常是通过对应直角边和斜边的相等来进行推导。
例如，如果直角三角形ABC的一条直角边和斜边分别与直角三角形DEF的一条直角边和斜边相等，那么我们可以通过直角边和斜边的相等来证明这两个三角形全等。
通过上述几种方法，我们可以比较容易地证明三角形的全等性质。
在实际的几何问题中，掌握这些证明方法对于解题非常有帮助。
通过对应边、角、斜边的相等性质，我们可以准确地判断两个三角形是否全等，从而解决各种几何问题。
三角形全等证明方法
三角形全等证明方法在几何学中，全等是指两个或多个几何体的大小、形状以及内部结构完全相同。
对于三角形而言，如果两个三角形的对应边长相等，对应的角度也相等，则它们是全等三角形。
在证明两个三角形全等时，有多种方法可以使用，本文将详细介绍其中的几种方法，并给出说明和举例。
【1. SSS (Side-Side-Side) 全等法】SSS全等法则是指如果两个三角形的三边分别相等，则它们是全等的。
这个证明方法简单直接，可以通过以下步骤来证明：Step 1: 确定两个三角形的三边分别相等；Step 2: 可以使用尺规作图工具在纸上绘制出两个三角形；Step 3: 通过测量确定两个三角形的三边分别相等；Step 4: 通过观察可以得出结论，即两个三角形是全等的。
例如，我们要证明△ABC ≡ △DEF。
我们已知AB = DE，BC = EF，AC = DF。
根据SSS全等法则，根据给定的条件可以得出结论，即△ABC ≡ △DEF。
【2. SAS (Side-Angle-Side) 全等法】SAS全等法则是指如果两个三角形的两个边和夹角分别相等，则它们是全等的。
这个证明方法也是常用的，可以通过以下步骤来证明：Step 1: 确定两个三角形的两个边和夹角分别相等；Step 2: 可以使用尺规作图工具在纸上绘制出两个三角形；Step 3: 通过测量确定两个三角形的两个边和夹角分别相等；Step 4: 通过观察可以得出结论，即两个三角形是全等的。
例如，我们要证明△ABC ≡ △DEF。
我们已知∠BAC = ∠EDF，AB = DE，AC = DF。
根据SAS 全等法则，根据给定的条件可以得出结论，即△ABC ≡ △DEF。
【3. ASA (Angle-Side-Angle) 全等法】ASA全等法则是指如果两个三角形的两个角和夹边分别相等，则它们是全等的。
这个证明方法也非常常用，可以通过以下步骤来证明：Step 1: 确定两个三角形的两个角和夹边分别相等；Step 2: 可以使用尺规作图工具在纸上绘制出两个三角形；Step 3: 通过测量确定两个三角形的两个角和夹边分别相等；Step 4: 通过观察可以得出结论，即两个三角形是全等的。
《三角形全等的判定》 知识清单
《三角形全等的判定》知识清单三角形全等是初中几何中非常重要的一个概念，它在解决几何问题、证明几何定理等方面都有着广泛的应用。
下面我们来详细了解一下三角形全等的判定方法。
一、全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
二、三角形全等的判定方法1、“边边边”（SSS）判定法如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
例如，有三角形 ABC 和三角形 DEF，AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC＝ DF，那么三角形 ABC 全等于三角形 DEF。
2、“边角边”（SAS）判定法如果两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
比如，在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，AB ＝ DE，∠A ＝∠D，AC ＝ DF，则三角形 ABC 全等于三角形 DEF。
3、“角边角”（ASA）判定法如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
假设三角形 ABC 和三角形 DEF 中，∠A ＝∠D，AB ＝ DE，∠B＝∠E，那么三角形 ABC 全等于三角形 DEF。
4、“角角边”（AAS）判定法如果两个三角形的两个角分别对应相等且其中一组等角的对边相等，那么这两个三角形全等。
例如，三角形 ABC 和三角形 DEF 中，∠A ＝∠D，∠C ＝∠F，BC ＝ EF，那么三角形 ABC 全等于三角形 DEF。
5、直角三角形的“斜边、直角边”（HL）判定法对于两个直角三角形，如果斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。
比如，在直角三角形 ABC 和直角三角形 DEF 中，∠C ＝∠F ＝90°，AB ＝ DE，AC ＝ DF，则直角三角形 ABC 全等于直角三角形DEF。
三、三角形全等判定方法的应用1、证明线段相等如果要证明两条线段相等，可以通过证明它们所在的两个三角形全等，利用全等三角形的对应边相等来得出结论。
全等三角形讲义
ADB C E FO A DEB C F 平移型对称型全等三角形讲义【知识要点】1、全等三角形的定义：（1）操作方式：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形； （2）几何描述：大小、形状完全相同的两个三角形叫全等三角形；（几何中就是借助于边、角以及其它可度量的几何量来描述几何图形的大小和形状） 2、全等三角形的几何表示：如图，△ABC ≌△DEF ；（注意对应点、对应边、对应角） 3、全等的性质：（求证线段相等、求证角相等的常规思维方法） 性质1：全等三角形对应边相等； 性质2：全等三角形对应角相等； 几何语言 ∵△ABC ≌△DEF∴AB=DE ；AC=DF ，BC=EF ；∠A=∠D ，∠B=∠E ，∠C=∠F. 性质3：全等三角形的对应边上的高、对应角平分线、对应边上的中线相等 性质4：全等三角形的周长、面积相等 4、三角形全等的常见基本图形【新知讲授】例1、如图，△OAB ≌△OCD ，AB ∥EF ，求证：CD ∥EF.例2、如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点 D ，BE ⊥AC 于 点E ，AD 、BE 交于点F ，△ADC ≌△BDF （1）∠C=50°，求∠ABE 的度数.（2）若去掉原题条件“AD ⊥BC 于点 D ，BE ⊥AC 于 点E ”，仅保持“△ADC ≌△BDF ”不变，试问：你能证明：“AD ⊥BC 于点 D ，BE ⊥AC ”吗？AD B CE 例3、如图，△ABC ≌△ADE ，延长边BC 交DA 于点F ，交DE 于点G.（1）求证：∠DGB=∠CAE ； （2）若∠ACB=105°，∠CAD=10°，∠ABC=25°，求∠DGB 的度数.例4、如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，将Rt △ABC 沿DE 折叠，使A 点与B 点重合，折痕为DE. （1）图中有全等三角形吗？请写出来；（2）若∠A=35°，求∠CBD 的度数；（3）若AC=4，BC=3，AB=5，求△BCD 的周长.例5、如图，△ABF ≌△CDE.（1）求证：AB ∥CD ；AF ∥CE ；（2）若△AEF ≌△CFE ，求证：∠BAE=∠DCF ；（3）在（2）的条件下，若∠B=35°，∠CED=30°，∠DCF=20°，求∠EAF 的度数.AE F C【课后练习】一、选择题1、下面结论是错误的是（ ）. （A ）全等三角形对应角所对的边是对应边 （B ）全等三角形两条对应边所夹的角是对应角 （C ）全等三角形是一个特殊的三角形（D ）如果两个三角形都与另一个三角形全等，那么这两个三角形全等 2、如图，△ABC ≌△AEF ，则下列结论中不一定成立的是( ).（A ）AC=AF （B ）∠EAB=∠FAC （C ）EF=BC （D ）EF 平分∠AFB3、如图，已知△ABC ≌△DEF ，AB=DE ，AC=DF ，则下列结论：①BC=EF ；②∠A=∠D ；③∠ACB=∠DEF ；④BE=CF ，其中正确结论的个数是（ ）.（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个4、如图，△ABD ≌△EFC ，AB=EF ，∠A=∠E ，AD=EC ，若BD=5，DF=2.2则CD=（ ）. （A ）2.2 （B ）2.8 （C ）3.4 （D ）4（第2题图） （第3题图） （第4题图） 5、如图，已知△ABD≌△ACD，下列结论： ①△ABC 为等腰三角形；②AD 平分∠BAC ；③AD ⊥BC ；④AD=BC. 其中正确结论的个数是( ).(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个二、填空题6、已知：如图，△ACD ≌△AEB ，其中CD=EB ，AB=AD ，则∠ADC 的对边是 ，AC 的对应边是 ，∠C 的对应角是 .7、如图，已知△ABD ≌△DCA ，AB 的对应边是DC ，AD 的对应边是 ，∠BAD 的对应角是 ，AB 与CD 的位置关系是 .8、如图，若△OAD ≌△OBC ，且∠O=65°，∠C=20°则∠OAD= ．AAFA D C E F（第6题图） （第7题图） （第8题图）三、解答题9、如图，直线l ⊥BC ，将△ABC 沿直线l 翻折得到△DEF ，AB 分别交DF 、DE 于M 、Q 两点，AC 交DF 于点Q.（1）图中共有多少对全等三角形？（不添加其它字母）（2）写出（1）中所有的全等的三角形. 10、如图，△ABC ≌△ADE ，点E 正好在线段BC 上.（1）求证：∠DEB=∠EAC ；（2）若∠1=50°，求∠DEB 的度数.【知识要点】全等三角形判定定理 1、“SAS ”定理：有两边及夹角对应相等的两个三角形全等；①求证全等的格式：（“全等五行”）如：②利用全等进行几何证明的三大环节：预备证明、“全等五行”、全等应用； ③“边边角”不能证明两个三角形全等；DBDA1FB CDAA BC D EO在△ABC 和△DEF 中：AB DE A D AC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ∽△DEF.（SAS ）【新知讲授】“SAS”公理的运用例1、如图，C为AB的中点，CD∥BE，CD=BE，求证：∠D=∠E.巩固练习1、如图，点E、A、C在同一条直线上，AB∥CD，AB=CE，AC=CD，求证：BC=DE.2、已知：如图，AB=AC，D、E分别为AB、AC的中点，求证：∠B=∠C.例2、已知：如图，AB=CD，∠ABC=∠DCB，求证：∠ABD=∠ACD.巩固练习：1、已知：如图，AB ∥CD ，AB=CD ，AE=DF ，求证：CE ∥BF.2、已知：如图，AB=AD ，AC=AE ，∠1=∠2，求证：∠DEB=∠2.例3、如图，BD 、CE 为△ABC 的两条中线，延长BD 到G ，使BD=DG ，延长CE 到F ，使CE=EF.（1）求证：AF=AG ；（2）试问：F 、A 、G 三点是否在同一直线线？证明你的结论.巩固练习：1.已知：如图，AB ⊥BD 于点B ，CD ⊥BD 于点D ，AB=CD ，BE=DF ，求证：∠EAF=∠ECF.A BC DEF A B C D EF2.已知：如图，AB=AC，AD平分∠BAC，求证：∠DBE=∠DCE.例4、已知：如图，OA=OB，OC=OD，求证：∠ACD=∠BDC. （提示：不能用等腰三角形的性质）巩固练习：1、已知：如图，OD=OE，OA=OB，求证：∠A=∠B.2、已知：如图，AB=CD，BE=CF，∠B=∠C，求证：∠EAF=∠EDF.AD B C EF A D B C EA DC B 【课后作业】1、已知：如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AB=DE ，BE=CD ，试判断△ACE 的形状并说明理由.2、如图，点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，EA ⊥AD ，FD ⊥AD ，AE=DF ，AB=DC ，求证：∠ACE=∠DBF.3、已知：如图，OD=OE ，OC 平分∠AOB ，求证：∠A=∠B.4、如图，四边形ABCD 中，AD=BC ，AD ∥BC ，求证：AB=CD ，AB ∥CD.5、如图，已知，AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE.（1）求证：BD=CE ；（2）若∠BAC=∠DAE=α，延长BD 交CE 于点P ，则∠BPC 的度数为 .（用含α的式子表示）ABED C ADBC EF6、如图，C 是线段AB 的中点，CD 平分∠ACE ，CE 平分∠BCD ，CD=CE ．(1)求证：△ACD≌△BCE； (2)若∠D=50°，求∠B 的度数．2、“SSS ”定理：三边对应相等的两个三角形全等；如：3、①“ASA ”定理：两角及两角所夹的边对应相等的两个三角形全等；②“AAS ”定理：两角及其中一角所对的边对应相等的两个三角形全等； 如：【定理运用】例1、如图，E 、F 两点在线段BC 上，AB=CD ，AF=DE ，BE=CF ，求证：∠AFB=∠DEC.巩固练习：1、如图，已知，AB=AC ，AD=AE ，BD=CE ，延长BD 交CE 于点P ，求证：∠BAC=∠DAE ；在△ABC 和△DEF 中：AB DE BC EF AC DF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABC ∽△DEF.（SSS ）在△ABC 和△DEF 中： B E BC EF C F ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ ∴△ABC ∽△DEF.（ASA ） 在△ABC 和△DEF 中：A DB E BC EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ∽△DEF.（AAS ）C A E BD例2、已知：如图，AB=AC ，AD=AE ，∠1=∠2，求证：AF=AG.巩固练习：1、如图，已知，AB=CD ，BE=DF ，AF=CE ，求证：AD ∥BC.例3、如图，C 为线段AB 的中点，AD ∥CE ，∠D=∠E ，求证：CD=EB.巩固练习1、如图，AD 为△ABC 的高线，E 、F 为直线AD 上两点，DE=DF ，BE ∥CF ，求证：AB=AC.E AF DC B 2、如图，∠ABC=∠DCB，BD 、CA 分别是∠ABC、∠DCB 的平分线，求证：AB=DC.例4、如图，△ABC 中，AB=AC ，D 、E 分别在BC 、AC 的延长线上，∠1=∠2=∠3，求证：AD=AE.巩固练习：1、已知：如图，∠A=∠D ，OA=OD ，求证：∠1=∠2.2、已知：AD ∥BC ，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，AE=CF ，求证：AB=CD.E A D C B 例5、已知：如图，AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠ABC=∠DCB.巩固练习：1、已知：如图，AB=AC ，AD=AE ，求证：∠DBC=∠ECB.2、已知：如图，△ABC 中，∠BAC=∠BCA ，延长BC 边的中线AD 到E 点，使AD=DE ，F 为BC 延长线上一点，且CE=CF ，求证：AF=2AD.例6、在△OAB 和△OCD 中，OA=OB ，OC=OD ，∠AOB=∠COD ，AC 、BD 交于点P.（1）①如图1，∠AOB=∠COD=60°，则∠APD= ，AC 与BD 的数量关系是 ；②如图2，∠AOB=∠COD=90°，则∠APD= ，AC 与BD 的数量关系是 ；（2）如图3，∠AOB=∠COD=α°，则∠APD 的度数为 （用含α的式子表示），AC 与BD 之间的等量关系是 ；填写你的结论，并给出你的证明；图1 图2 图3AB CE FDO P D C BA O P D CB AααO P D CB AEBCD CEABE A D B CF ADF图1图2图3F巩固练习：点C 为线段AB 上一点，分别以AC 、BC 为腰在直线AB 的同侧作等腰△ACD 和等腰△BCE ，且CA=CD ，CB=CE ，∠ACD=∠BCE ，直线AE 、BD 交于点F.（1）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB= ；（2）如图2，若∠ACD=α°，则∠AFB= ；（用α的代数式表示） （3）如图3，将图2中的△ACD 绕点C 顺时针旋转一个角度，延长BD 交线段AE 于点F ，试探究∠AFB 与α之间的数量关系，并给出你的证明.例7、已知：AB=AC ，AD=AE ，AF ⊥CD ，AG ⊥BE ，求证：AF=AG.巩固练习：1、如图，已知，AB=AD ，AC=AE ，∠1=∠2.（1）求证：BC=DE ；（2）若AF 平分∠BAC ，求证：AF=AC.AB EDC2、已知：如图，AB=AC ，AD=AE ，求证：AO 平分∠BAC.3、如图，等腰Rt △ABC 中AB=AC ，过A 任作直线l ，BD ⊥l 于点D ，CE ⊥l 于点E. (1) 若l 与BC 不相交，求证：BD+CE=DE ；(2) 当直线l 绕A 点旋转到与BC 相交时，其它条件不变，试猜想BD 、CE 和DE 的关系？ 画图并给出证明.课后作业：1、如图，等腰Rt △ABC 和等腰Rt △ADE 中，AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE=90°. （1）求证：BD=CE ；（2）求证：BD ⊥CE.A B C D EA B CA BDCOA DBC E AD C B 2、已知：如图，AB=AC ，AD=AE ，BD=CE ，求证：∠BAE=∠CAD.3、如图，四边形ABCD 中，AB=CD ，AD=BC ，求证：AB ∥CD ，AD ∥BC.4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AB=CB ，AD=CD ，求证：∠A=∠C.5、已知：如图，AD=BC ，AC=BD ，求证:∠D=∠C.A DBCC M E A BD 6、如图1，等腰△ABC 中AB=AC ，D 、E 分别在AC 、AB 上，且AD 、AE ，M 、N 分别BE 、CD 的中点.（1）CD BE ，AM AN ；（填“＞”、“=”、“＜”）（2）如图2，把图1中的△ADE 绕A 点逆时针旋转任意一个角度，（1）中的两个结论是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由．7、如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ，求证：AB=CD ，AD=BC.8、已知：如图，AB//DE ，AE//BD ，AF=DC ，EF=BC 。
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高坪剑桥英语一对一讲义：第一讲全等三角形证明基础知识梳理及证明一、填空题1．_ ____的两个图形叫做全等形.2．全等三角形的对应边_____，对应角_____，这是全等三角形的重要性质．3．如果ΔABC≌ΔDEF，则AB的对应边是_____，AC的对应边是_____，∠C的对应角是_____，∠DEF的对应角是_____．图1－1 图1－2 图1－34．如图1－1所示，ΔABC≌ΔDCB．（1）若∠D＝74°∠DBC＝38°，则∠A＝_____，∠ABC＝_____ （2）如果AC＝DB，请指出其他的对应边_____；（3）如果ΔAOB≌ΔDOC，请指出所有的对应边_____，对应角_____．5．如图1－2，已知△ABE≌△DCE，AE＝2 cm，BE＝1.5 cm，∠A＝25°，∠B＝48°；那么DE＝_____cm，EC＝_____cm，∠C＝_____°；∠D＝_____°．6．一个图形经过平移、翻折、旋转后，_____变化了，但__________都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形二、选择题7．已知：如图1－3，ΔABD≌CDB，若AB∥CD，则AB的对应边是（）A．DB B．BC C．CD D．AD8．下列命题中，真命题的个数是（）①全等三角形的周长相等②全等三角形的对应角相等③全等三角形的面积相等④面积相等的两个三角形全等A．4 B．3 C．2 D．19．如图1－4，△ABC≌△BAD，A和B、C和D是对应顶点，如果AB＝5，BD＝6，AD＝4，那么BC等于（）A．6 B．5 C．4 D．无法确定图1-4 图1-5 图1-610．如图1－5，△ABC≌△AEF，若∠ABC和∠AEF是对应角，则∠EAC等于（）A．∠ACB B．∠CAF C．∠BAF D．∠BAC11．如图1－6，△ABC≌ΔADE，若∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．25°三、解答题12．已知：如图1－7所示，以B为中心，将Rt△EBC绕B点逆时针旋转90°得到△ABD，若∠E＝35°，求∠ADB的度数．图1－7 图1－8图1－9一、填空题13．如图1－8，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，则∠α的度数为______．14．已知：如图1－9，△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝2．（1）求∠F的度数与DH的长；（2）求证：AB∥DE．15．如图1－10，AB⊥BC，ΔABE≌ΔECD．判断AE与DE的关系，并证明你的结论．图1－10三角形全等的判定（一）一、填空题图2－1 图2－2 图2－31．已知：如图2－1，△RPQ中，RP＝RQ，M为PQ的中点．求证：RM平分∠PRQ．分析：要证RM平分∠PRQ，即∠PRM＝______，只要证______≌______证明：∵M为PQ的中点（已知），∴______＝______ 在△______和△______中，⎪⎩⎪⎨⎧===),______(____________,),(PMRQRP已知∴______≌______（）．∴∠PRM＝______（______）．即RM．2．已知：如图2－2，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF. 求证：∠A＝∠D．分析：要证∠A＝∠D，只要证______≌______．证明：∵BE＝CF（），∴BC＝______．在△ABC和△DEF中，⎪⎩⎪⎨⎧===______,______,______,ACBCAB∴______≌______（）．∴∠A＝∠D（______）．3．如图2－3，CE＝DE，EA＝EB，CA＝DB，求证：△ABC≌△BAD．证明：∵CE＝DE，EA＝EB，∴______＋______＝______＋______，即______＝______．在△ABC和△BAD中，⎪⎩⎪⎨⎧===),______(______),______(______),______(______已证已知∴△ABC≌△BAD（）．4．已知：如图2－4，AD＝BC．AC＝BD．试证明：∠CAD＝∠DBC.图2－4三角形全等的判定（二）一、填空题1．已知：如图3－1，AB、CD相交于O点，AO＝CO，OD＝OB．求证：∠D＝∠B．分析：要证∠D＝∠B，只要证______≌______证明：在△AOD与△COB中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=),______(),______(______),(ODCOAO∴△AOD≌△______ （）．∴∠D＝∠B（______）．2．已知：如图3－2，AB∥CD，AB＝CD．求证：AD∥BC．分析：要证AD∥BC，只要证∠______＝∠______，又需证______≌______．证明：∵AB∥CD（），∴∠______＝∠______ （），在△______和△______中，⎪⎩⎪⎨⎧===),______(______),______(______),______(______∴Δ______≌Δ______ （）．∴∠______＝∠______ （）．∴ ______∥______（）．一、解答题3．已知：如图3－3，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD．求证：∠B＝∠C．图3－3 图3－4 图3－5 图3－64．已知：如图3－4，AB＝AC，BE＝CD．求证：∠B＝∠C．5．已知：如图3－5，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2．求证：BC＝DE．6．如图3－6，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B、D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，∠ABC ＝∠EBD＝90°），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论．三角形全等的条件（三）一、填空题1．（1）全等三角形判定方法3——“角边角”（即______）指的是_________________________________________________________________________________；（2）全等三角形判定方法4——“角角边”（即______）指的是_________________________________________________________________________________．图4－12．已知：如图4－1，PM＝PN，∠M＝∠N．求证：AM＝BN．分析：∵PM＝PN，∴要证AM＝BN，只要证PA＝______，只要证______≌______．证明：在△______与△______中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠),______(______),______(______),______(______∴ △______≌△______ （ ）． ∴PA ＝______ （ ）． ∵PM ＝PN （ ），∴PM －______＝PN －______，即AM ＝______． 3．已知：如图4－2，AC BD ．求证：OA ＝OB ，OC ＝OD ． 4．分析：要证OA ＝OB ，OC ＝OD ，只要证______≌______． 证明：∵ AC ∥BD ，∴ ∠C ＝______．在△______与△______中，⎪⎩⎪⎨⎧==∠∠=∠),______(______),______(),______(C AOC∴______≌______ （ ）． ∴ OA ＝OB ，OC ＝OD （ ）．图4－2二、选择题4．能确定△ABC ≌△DEF 的条件是 （ ）A ．AB ＝DE ，BC ＝EF ，∠A ＝∠E B ．AB ＝DE ，BC ＝EF ，∠C ＝∠E C ．∠A ＝∠E ，AB ＝EF ，∠B ＝∠D D ．∠A ＝∠D ，AB ＝DE ，∠B ＝∠E5．如图4－3，已知△ABC 的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC 全等的图形是 （ ）图4－3A ．甲和乙B ．乙和丙C ．只有乙D ．只有丙6．AD 是△ABC 的角平分线，作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，下列结论错误的是（ ）A ．DE ＝DFB ．AE ＝AFC ．BD ＝CD D ．∠ADE ＝∠ADF 三、解答题7．阅读下题及一位同学的解答过程：如图4－4，AB 和CD 相交于点O ，且OA ＝OB ，∠A ＝∠C ．那么△AOD 与△COB 全等吗？若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由． 答：△AOD ≌△COB ．证明：在△AOD 和△COB 中，图4－4⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠),(),(),(对顶角相等已知已知COBAODOBOACA∴△AOD≌△COB（ASA）．问：这位同学的回答及证明过程正确吗？为什么？8．已知：如图4－5，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠B，DE＝CB．求证：AD＝AC．图4－59．已知：如图4－6，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．求证：HN＝PM.图4－610．已知：AM是ΔABC的一条中线，BE⊥AM的延长线于E，CF⊥AM于F，BC＝10，BE＝4．求BM、CF的长．11．填空题（1）已知：如图4－7，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E.欲证明BD＝CE，需证明Δ______≌△______，理由为______．（2）已知：如图4－8，AE＝DF，∠A＝∠D，欲证ΔACE≌ΔDBF，需要添加条件______,证明全等的理由是______；或添加条件______，证明全等的理由是______；也可以添加条件______，证明全等的理由是______．图4－7 图4－812．如图4－9，已知ΔABC≌ΔA'B'C'，AD、A'D'分别是ΔABC和ΔA'B'C'的角平分线．（1）请证明AD＝A'D'；（2）把上述结论用文字叙述出来；（3）你还能得出其他类似的结论吗？图4－913．如图4－10，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．（1）当直线l不与底边AB相交时，求证：EF＝AE＋BF．图4－10（2）如图4－11，将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D，请你探究直线l在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系．①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD．图4－11直角三角形全等的条件(四)一、填空题1．判定两直角三角形全等的“HL”这种特殊方法指的是_____．2．直角三角形全等的判定方法有_____ （用简写）．3．如图5－1，E、B、F、C在同一条直线上，若∠D＝∠A＝90°，EB＝FC，AB＝DF．则ΔABC≌_____，全等的根据是_____．图5－14．判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（）（2）一个锐角和这个角的邻边对应相等；（）（3）一个锐角和斜边对应相等；（）（4）两直角边对应相等；（）（5）一条直角边和斜边对应相等．（）二、选择题5．下列说确的是（）A．一直角边对应相等的两个直角三角形全等B．斜边相等的两个直角三角形全等C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等D．一边长相等的两等腰直角三角形全等6．如图5－2，AB＝AC，AD⊥BC于D，E、F为AD上的点，则图中共有（）对全等三角形．A．3 B．4 C．5 D．6图5－2三、解答题7．已知：如图5－3，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．图5－3求证：（1）AB＝DC：（2）AD∥BC．8．已知：如图5－4，AC＝BD，AD⊥AC，BC⊥BD．图5－4 求证：AD＝BC；。