传递函数
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X 0 ( s) K G( s) X i ( s) Ts 1
式中: K－环节增益（放大系数）； T－时间常数，表征环节的惯性，和环 节结构参数有关
例
如：弹簧－阻尼器环节
dx 0 ( t ) C Kx 0 ( t ) Kx i ( t ) dt K 1 C G (s) , T Cs K T s 1 K
xo(t)、xi(t)—分别为环节的输出和输入量； K—比例环节的增益或放大环节的放大系数，等于输出量
与输入量之比。
比例环节的传递函数为
Xo (s) G(s) K Xi (s)
例
求图示一齿轮传动副的传递函数, n i (t) 和 no (t) 分别 为输入轴及输出轴转速,Z1和Z2为齿轮齿数,(当齿轮 副无传动间隙,且传动系统刚性无穷大时,为理想状 态). 因为：
式中：τ－微分环节的时间常数 在物理系统中微分环节不独立存在，而 是和其它环节一起出现
4、积分环节 输出量正比于输入量对时间的积分。
运动方程为： x (t ) 1 t x (t )dt 0 0 i
T
X 0 ( s) 1 传递函数为： G( s) X i ( s) Ts
式中，T－积分环节的时间常数。
2.2系统的传递函数
传递函数的基本定义 ： 线性定常系统的传递函数，定义为零初始条 件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏 变换之比。 三要素：线性定常系统 零初始条件 输出与输入的拉氏变换之比
零初始条件： 输入及其各阶导数在t =0-时刻均为0； 输出及其各阶导数在t =0-时刻均为0。
传递函数的一般形式 设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述
(s z ) (s p
j 1 i 1 n i j
m
)
• 传递函数分子多项式的根zi称为传递函数的零点；分 母多项式的根pj称为传递函数的极点。K*称为传递函数 的零极点增益。
• 零、极点分布图。
S平面 j
0
传递函数列写大致步骤： 方法一：列写系统的微分方程 消去中间变量 在零初始条件下取拉氏变换 求输出与输入拉氏变换之比 方法二：列写系统中各元件的微分方程 在零初始条件下求拉氏变换 整理拉氏变换后的方程组，消去中间变 量 整理成传递函数的形式
d n y(t) d n 1y(t) an a n 1 n n 1 dt dt d m x(t) d m1x(t) a 0 y(t) bm bm1 m m 1 dt dt b0 x(t)
式中，n m，当初始条件全为零时，对上式进行 拉氏变换可得系统传递函数的一般形式：
m m 1 b s b s b0 Y(s) m m 1 G(s) X(s) a ns n a n 1s n 1 a 0
传递函数与输入、输出之间的关系，可用图表示。
R(s)
G (s)
C(s)
传递函数的主要特点 传递函数是复变量s的有理真分式函数， m≤n，且所具有复变量函数的所有性质 G(s)取决于系统或元件的结构和参数，与输 入量的形式（幅度与大小）无关 G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但 它不提供任何该系统的物理结构 传递函数的量纲是根据输入量和输出量来决
定，可有可无
传递函数是系统脉冲响应的拉氏变换；
传递函数的零点和极点
传递函数分子多项式与分母多项式经因式分解可写 为如下形式：
b0 ( s z1 )(s z 2 ) ( s z m ) G( s) K* a 0 ( s p1 )(s p2 ) ( s pn )
典型环节的传递函Байду номын сангаас ：
具有某种确定信息传递关系的元件、元件组 或元件的一部分称为一个环节
任何复杂系统可看做由一些基本的环节组成， 控制系统中常用的典型环节有： 比例环节、惯性环节、微分环节、积分环节、 振荡环节和延迟环节等
1、比例环节
输出量不失真、无惯性地跟随输入量，两者成比例关系。 其运动方程为：xo(t)=Kxi(t) 拉氏变换为：Xo(s)=KXi(s)
6、延迟环节（也称传输滞后环节）
运动方程： 传递函数：
x 0 (t) x i (t )
G(s) e
s
式中， 为纯延迟时间。 其输出滞后输入时间τ，但不失真地反映输入，延迟 环节一般与其它环节共存，不单独存在。
延迟环节与惯性环节的区别
惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅由于惯性，输 出要滞后一段时间才接近所要求的输出值； 延迟环节从输入开始之初，在0～τ时间内,没有输出，但t =τ之后，输出完全等于输入。
z1ni (t) z2n o (t)
其拉换变换：
z1Ni (s) z2 No (s)
No (s) z1 G(s) K Ni (s) z 2
2、惯性环节
凡运动方程为一阶微分方程：
d T x0 (t ) x0 (t ) Kxi (t ) dt
形式的环节称为惯性环节。其传递函数为：
5、振荡环节 是二阶环节，含有两个独立的储能元件，且所 存储的能量能够相互转换，从而导致输出带有振荡 的性质，其运动方程为
d d T x (t ) 2 T x0 (t ) x0 (t ) Kxi (t ) , 0< <1 2 0 dt dt
2
2
传递函数：
X 0 ( s) K G( s) 2 2 X i ( s) T s 2 Ts 1
此环节与比例环节相比，不能立即复现输 出，而需要一定的时间。说此环节具有 “惯性”，这是因为其中含有储能元件K与 阻能元件C的原因。惯性大小由T来决定。
3、微分环节 输出量正比于输入量的微分。 运动方程为：
dxi (t ) x0 (t ) dt 传递函数为： G(s) X 0 ( s) s X i ( s)
式中: K－环节增益（放大系数）； T－时间常数，表征环节的惯性，和环 节结构参数有关
例
如：弹簧－阻尼器环节
dx 0 ( t ) C Kx 0 ( t ) Kx i ( t ) dt K 1 C G (s) , T Cs K T s 1 K
xo(t)、xi(t)—分别为环节的输出和输入量； K—比例环节的增益或放大环节的放大系数，等于输出量
与输入量之比。
比例环节的传递函数为
Xo (s) G(s) K Xi (s)
例
求图示一齿轮传动副的传递函数, n i (t) 和 no (t) 分别 为输入轴及输出轴转速,Z1和Z2为齿轮齿数,(当齿轮 副无传动间隙,且传动系统刚性无穷大时,为理想状 态). 因为：
式中：τ－微分环节的时间常数 在物理系统中微分环节不独立存在，而 是和其它环节一起出现
4、积分环节 输出量正比于输入量对时间的积分。
运动方程为： x (t ) 1 t x (t )dt 0 0 i
T
X 0 ( s) 1 传递函数为： G( s) X i ( s) Ts
式中，T－积分环节的时间常数。
2.2系统的传递函数
传递函数的基本定义 ： 线性定常系统的传递函数，定义为零初始条 件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏 变换之比。 三要素：线性定常系统 零初始条件 输出与输入的拉氏变换之比
零初始条件： 输入及其各阶导数在t =0-时刻均为0； 输出及其各阶导数在t =0-时刻均为0。
传递函数的一般形式 设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述
(s z ) (s p
j 1 i 1 n i j
m
)
• 传递函数分子多项式的根zi称为传递函数的零点；分 母多项式的根pj称为传递函数的极点。K*称为传递函数 的零极点增益。
• 零、极点分布图。
S平面 j
0
传递函数列写大致步骤： 方法一：列写系统的微分方程 消去中间变量 在零初始条件下取拉氏变换 求输出与输入拉氏变换之比 方法二：列写系统中各元件的微分方程 在零初始条件下求拉氏变换 整理拉氏变换后的方程组，消去中间变 量 整理成传递函数的形式
d n y(t) d n 1y(t) an a n 1 n n 1 dt dt d m x(t) d m1x(t) a 0 y(t) bm bm1 m m 1 dt dt b0 x(t)
式中，n m，当初始条件全为零时，对上式进行 拉氏变换可得系统传递函数的一般形式：
m m 1 b s b s b0 Y(s) m m 1 G(s) X(s) a ns n a n 1s n 1 a 0
传递函数与输入、输出之间的关系，可用图表示。
R(s)
G (s)
C(s)
传递函数的主要特点 传递函数是复变量s的有理真分式函数， m≤n，且所具有复变量函数的所有性质 G(s)取决于系统或元件的结构和参数，与输 入量的形式（幅度与大小）无关 G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但 它不提供任何该系统的物理结构 传递函数的量纲是根据输入量和输出量来决
定，可有可无
传递函数是系统脉冲响应的拉氏变换；
传递函数的零点和极点
传递函数分子多项式与分母多项式经因式分解可写 为如下形式：
b0 ( s z1 )(s z 2 ) ( s z m ) G( s) K* a 0 ( s p1 )(s p2 ) ( s pn )
典型环节的传递函Байду номын сангаас ：
具有某种确定信息传递关系的元件、元件组 或元件的一部分称为一个环节
任何复杂系统可看做由一些基本的环节组成， 控制系统中常用的典型环节有： 比例环节、惯性环节、微分环节、积分环节、 振荡环节和延迟环节等
1、比例环节
输出量不失真、无惯性地跟随输入量，两者成比例关系。 其运动方程为：xo(t)=Kxi(t) 拉氏变换为：Xo(s)=KXi(s)
6、延迟环节（也称传输滞后环节）
运动方程： 传递函数：
x 0 (t) x i (t )
G(s) e
s
式中， 为纯延迟时间。 其输出滞后输入时间τ，但不失真地反映输入，延迟 环节一般与其它环节共存，不单独存在。
延迟环节与惯性环节的区别
惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅由于惯性，输 出要滞后一段时间才接近所要求的输出值； 延迟环节从输入开始之初，在0～τ时间内,没有输出，但t =τ之后，输出完全等于输入。
z1ni (t) z2n o (t)
其拉换变换：
z1Ni (s) z2 No (s)
No (s) z1 G(s) K Ni (s) z 2
2、惯性环节
凡运动方程为一阶微分方程：
d T x0 (t ) x0 (t ) Kxi (t ) dt
形式的环节称为惯性环节。其传递函数为：
5、振荡环节 是二阶环节，含有两个独立的储能元件，且所 存储的能量能够相互转换，从而导致输出带有振荡 的性质，其运动方程为
d d T x (t ) 2 T x0 (t ) x0 (t ) Kxi (t ) , 0< <1 2 0 dt dt
2
2
传递函数：
X 0 ( s) K G( s) 2 2 X i ( s) T s 2 Ts 1
此环节与比例环节相比，不能立即复现输 出，而需要一定的时间。说此环节具有 “惯性”，这是因为其中含有储能元件K与 阻能元件C的原因。惯性大小由T来决定。
3、微分环节 输出量正比于输入量的微分。 运动方程为：
dxi (t ) x0 (t ) dt 传递函数为： G(s) X 0 ( s) s X i ( s)